Honey bee good

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					                                       Honey bee good.

Le but de cet exercice est de comprendre comment font les abeilles pour construire leurs alvéoles
dans lesquelles elles stockent le miel et la gelée royale (hmmmm ! ! !). En fait, le gâteau de cire
est constitué de deux couches d’alvéoles opposées par leur fond. Une alvéole ressemble à un
prisme droit à base hexagonale régulière (l’ouverture), mais le fond est un assemblage non plan
de trois losanges identiques qui appartiennent chacun à deux alvéoles opposées.

        Histoire : Aristote (IVième s av. J.C.) dans son Histoire
des animaux et Pline l’ancien (Ier siècle) dans son Histoire
naturelle sont les premiers à mentionner la forme hexagonale
des alvéoles. Le premier à traiter le problème géométriquement
est Pappus (IVième siècle) dans ses Collections (livre IV). En
revanche, la forme rhomboïdale du fond ne semble avoir été
remarquée qu’au XVIIIième siècle : En 1712, à l’observatoire
de Paris, l’astronome Maraldi (neveu de Cassini) détermina
expérimentalement avec précision les angles des losanges ; il
trouva 109°28’ et 70°52’ pour les valeurs de ces angles. En
1739, Réaumur, soupçonnant que les abeilles devaient être
guidées dans la construction du fond par la raison d’économie,
proposa au géomètre allemand Koening, sans lui faire connaître
au préalable les résultats de Maraldi, la résolution du problème
suivant : « Entre toutes les cellules hexagonales à fond composé
de trois rhombes égaux, déterminer celle qui peut être
construite avec le moins de matière. » Koening traita le problè-
-me par le calcul différentiel et trouva que les angles des losanges de la cellule minimum
devaient être 109°26’ et 70°54’. La concordance avec les mesures de Maraldi était surprenante,
et on pouvait déjà dire « pas bête la bête » ; mais il y a mieux encore. Les tables de valeurs
utilisées par Koening étaient aussi très prisées dans la marine, et il fallut attendre le naufrage
d’un sous-marin pour se rendre compte qu’elles étaient légèrement fausses et que les bons
chiffres étaient ceux de Maraldi, donc ceux des abeilles !

        Nous allons tenter, pour un instant, de mesurer nos neurones à celles de l’abeille en
réglant ces deux problèmes de minimum :
        A. L’hexagone régulier est, des polygones réguliers réalisant un pavage du plan
            (juxtaposition sans vide et sans recouvrement de polygones identiques), celui qui,
            pour une surface donnée, a le plus petit périmètre (donc exigeant le moins de cire
            pour une ouverture donnée).
        B. La surface rhomboïdale du fond correspond, à volume fixé, à la plus petite surface
            latérale totale pour l’alvéole, donc à la plus petite quantité de cire utilisée.
Partie 1 : Recherche de polygones réguliers permettant de réaliser un pavage plan.
Soit A1A2…An un polygone régulier à n côtés
1. Montrer que la mesure en radians de chaque angle            ;Ai-1AiAi+1 est égale à Error!.
2. Montrer que la réalisation d’un pavage du plan avec des polygones réguliers à n côtés, n 3,
    n’est possible que si un=Error! est un entier naturel.
3. Etudier le sens de variation de (un), puis calculer sa limite. En déduire les valeurs de n pour
    lesquelles unI; N.
4. Conclure quels sont les trois pavages du plan exécutés à l’aide des mêmes polygones
    réguliers.


Partie 2 : Aire Sn d’un polygone régulier à n côtés de périmètre constant égal p.
1. Montrer que Sn= Error!.
2. Etude de g(x)=x.tan(Error!) :
         a. Montrez que g’’(x)=2 Error!tan(Error!).[1+tan2(Error!)].
         b. Calculez lim;     g’(x) et en déduire le signe de g’(x) sur [3 ;+[.
                          x  +
        c. Dressez le tableau de variation de g sur [3 ; +[.
3. Comparer Sn+1 et Sn et en déduire le sens de variation de la suite (Sn) pour n 3.
4. Conclure le problème A.
5. Soit r le rayon du cercle de périmètre p. Calculer en fonction de r la limite lim;n  + Sn.

Partie 3 : La surface latérale : (ABCD est un
demi-hexagone régulier)
On pose a=AB, l=AT et BK=x où x>0. On note
aussi h(x) l’aire latérale égale à
3(AKUT+KCVU+ASCK).
1. Exprimer h(x) en fonction de a, l et x.
2. On pose (x)= 3Error! - x.
    a. Montrer que h(x) est minimum lorsque
        (x) est minimum.
    b. Etudier les variations de  et en déduire
        la valeur de x en fonction de a pour
        laquelle l’aire latérale est minimale.
    c. Calculer, pour la valeur de x trouvée dans la question précédente, la mesure en degrés de
        l’angle       ;SAK à 10-2 près.
3. Conclure le problème B.
Bravo petite abeille !
Remarque : L’angle          ;ASC a un cosinus qui vaut – Error! se retrouve dans la molécule de
méthane, le carbone étant au centre d’un tétraèdre régulier, les sommets étant occupés par des
atomes d’hydrogène ; l’angle est         ;HCH. Ou encore dans une pyramide à base carré et à faces
triangulaires équilatérales , il s’agit de l’angle entre deux faces.

				
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posted:10/18/2011
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