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A2-Raisonnement et logique

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A2-Raisonnement et logique Powered By Docstoc
					Raisonnement et logique
« A l’issue de la seconde, l’élève devra
avoir acquis une expérience lui
permettant de commencer à distinguer
les principes de la logique
mathématique de ceux de la
logique du langage courant »
1. Logique du langage courant et logique
   mathématique
      •Valeur de vérité
      •Causalité et temporalité
      •Implication et équivalence
2.   Place de la logique dans l’enseignement
3.   Propositions d’activités
 Raisonnement et logique

1. Logique « naturelle » et
    logique mathématique
Raisonnement et logique

   Valeur de vérité
Raisonnement et logique

Causalité et temporalité
      Cause de la conclusion

     Si tu pars après 9h
tu vas rater le train de 9h15.


     Effet de l’hypothèse
   Si tu fais allemand LV2 alors tu as cours
 le jeudi à 16h.

     Si le triangle a un angle obtus
l’orthocentre est à l’extérieur du triangle.
Raisonnement et logique

     Implication
Condition
nécessaire ou suffisante ?

Si tu manges ta soupe
 tu auras un dessert
Exemple : le labyrinthe
                          Sortie


           T     S    R         Q   P


           K    L     M         N   O


           J     I    H         G   F


           E    D     C         B   A


                       Entrée

Vrai ? passé par P est passé par X est passé savoir ?
XX              par ?
Si estest passé FauxL alors M peut pas par K
                  X          On ne
g est une fonction définie
sur IR




Valeurs    –∞                2   +∞
de x
Variations                   2
   de g
 Valeurs    –∞                  2                   +∞
 de x
 Variations                     2
    de g
                         Vrai       Faux   On ne peut pas savoir

     ���� −1 < ����(0)
        ���� −1 < 2
       ���� 2 > ����(4)
     ���� −2 < ����(4)
Si x et y sont deux
nombres réels tels que
���� < ���� alors
       ���� ���� < ����(����)
  Logique et raisonnement

Dans les programmes et les manuels
Dans Belin (1994) :
Implications et encadrements
Objectif : repérer si une implication concernant les encadrements est vraie
ou fausse. On pourra lier ces implications aux inclusions des intervalles
correspondants aux encadrements.
Le professeur pourra donner un sens au mot
« implication ».

Implication et fonction carré
Objectif : repérer si une implication mettant en jeu la fonction carré est vrai
ou fausse.
Le professeur pourra donner le sens du mot
« implication ».


Dans Indice (2000) :
La phrase « si A alors B » est une implication.
On note AB et on lit « A implique B » ou « A donc B ».
Dans Hyperbole (2009):
La proposition « si P, alors Q » est appelée implication.
On dit que P est l’hypothèse et que Q est la conclusion.
Pour établir que la proposition « si P, alors Q » est vraie,
on suppose que P est vraie et on démontre qu’alors
Q est vraie.

Dans Indice (2009) :
Pour prouver qu’un énoncé de la forme « si P alors Q »
est vrai, on peut chercher un raisonnement qui permet,
à partir de l’hypothèse P, d’obtenir la conclusion Q.
On dit que P implique Q et l’on note PQ.
Pour prouver qu’un énoncé de la forme « si P alors Q »
est faux, on peut chercher un contre-exemple pour
lequel la propriété P est vraie et la propriété Q est fausse
  Logique et raisonnement

Comment travailler avec les élèves ?
 Une évaluation diagnostique
Exercice 1-1
Un nombre est toujours inférieur ou égal à son carré.
Cette phrase est-elle vraie ? Expliquez votre réponse.

Exercice 1-2
ABC est un triangle et I milieu de [BC].
Quel est des triangles AIB ou AIC
celui qui a la plus grande aire ?
Expliquez votre réponse

Exercice 1-3
La somme de trois nombres entiers consécutifs est toujours
multiple de 3.
Cette phrase est-elle vraie ? Expliquez votre réponse
MODULE :
EXERCICE 2-1
On demande à Pierre et à Paul de dire si cette phrase est vraie : « Un nombre est
toujours inférieur ou égal à son carré ».
- Pierre répond « cette phrase est vraie » car
Si je prends 3 : son carré est 9 et 3 < 9
Si je prends 1,3 : son carré est 1,69 et 1,3 < 1,69
Si je prends -2,1 : son carré est 4,41 qui est plus grand que -2,1
Si je prends 11,6, son carré est 134,56 plus grand que 11,6
Tu vois, le carré est toujours plus grand que le nombre choisi au départ, donc la
phrase est vraie.
- Paul répond « cette phrase est fausse » car
Si je prends 0,7 : son carré est égal à 0,49 et 0,49 < 0,7

Cochez la case qui correspond à votre réponse
Pierre a raison et Paul a tort
Pierre a tort et Paul a raison
Ni Pierre ni Paul n’ont raison
Pierre et Paul ont raison tous les deux

Expliquez votre réponse.
EXERCICE 2-2
ABC est un triangle et I milieu de [BC].
On demande à Valérie et à Sonia de dire quel est celui des
triangles AIB ou AIC celui qui a la plus grande aire.

Valérie répond « ils ont la même aire car
Pour le triangle AIB, j’ai mesuré le coté [AI] : 5cm et la hauteur [BH] : 1,3cm ;
donc l’aire de AIB est (5×1,3) / 2 = 3,25cm². Pour le triangle AIC, j’ai mesuré le
coté [AC] : 6,6cm et la hauteur [IK] : 1cm donc l’aire de AIC est (6,6×1) / 2 =
3,3cm².
Ces deux résultats sont très proches, compte tenu de la précision des mesures
permises par la règle, j’en conclus que les deux triangles ont la même aire.

Sonia répond « ils ont la même aire car ces deux triangles ont la même hauteur
issue de A ; les côtés [BI] et [IC] correspondants à cette hauteur ont même
longueur. Donc, quand on multiplie cette longueur par celle de la hauteur, on
trouve la même chose, et aussi quand je divise par 2.

Parmi ces deux réponses, laquelle vous semble la plus convaincante ? Pourquoi ?
   Donner un enjeu
Les énoncés suivants sont ils vrais ou faux ?

1.      Si ABCD est un carré et I le milieu de [CD],
alors       = 60°.
2.      Quels que soient les nombres réels non nuls
a et b,
Si a  b alors

3.    Un quadrilatère qui a deux angles droits a
deux côtés parallèles.

4.    La somme de deux nombres entiers naturels
impairs consécutifs est multiple de 4.
Avec un tableur :

Chercher des multiples de 15 qui sont aussi
multiples de 22.
Peut-on les trouver tous jusqu’à 5000 ?
Chercher des multiples de 15 qui sont aussi
multiples de 99.
Peut-on les trouver tous jusqu’à 5000 ?
Les énoncés suivants sont ils vrais ou faux ?
•Il existe des nombres multiples à la fois de 15 et 99
qui ne sont pas des multiples de 1485.
•Si un nombre quelconque est multiple à la fois de 15
et de 22, et s’il est plus petit que 5000, alors il est un
multiple de 330.

Formuler des résultats

Construire des phrases sur le modèle des
précédentes et se prononcer sur leur valeur
de vérité
Progressivité des apprentissages

Un exemple :
    le sens de variation des fonctions
Etape 1 :
Démonstration fondée sur l’utilisation
de la situation que la fonction
modélise.
Lorsqu’on monte une côte à vélo, la vitesse
est-elle une fonction croissante ou
décroissante de la pente ?
Etape 2 :
Description des variations de g
Considérons la fonction g définie sur IR
par .
Etape 3 :
Etude d’un tableau de variations
    Valeurs de x   –∞       2         +∞

    Variations              2
      de g
                        Vrai Faux On ne peut
                                  pas savoir
  ���� −1 < ����(0)
    ���� −1 < 2
   ���� 2 > ����(4)
  ���� −2 < ����(4)
Etape 4 :
formalisation de la définition

Imaginer un point M(x ; f(x))variable

 savoir lire l’évolution de son ordonnée
en fonction de celle de son abscisse
Utilisation de règles connues
Voici une règle :

Règle : Si un produit de deux facteurs est nul alors l’un ou
l’autre de ces facteurs est nul.
Dire si cette règle peut s’appliquer dans chacun des cas suivants
Si oui, expliquer pourquoi et dire ce que son utilisation permet
d’affirmer
Si non, expliquer pourquoi.
   (x + 3) (y – 2) = 0
   (x + 3) + (y – 2) = 0
    x (2x – 5) = 0
   (x + 1) (x + 7) = 7
   (5x + 1) (3x – 1) = (5x + 1) (x – 8)
   (7x – 3) (x + 1) = 0
   (x – 3) (y + 2) (z + 6) = 0
Logique et algorithmique
                   phrases                     V / contre- réciproque   V/    contre-
                                               F   exemple              F    exemple

1- Si un quadrilatère est un rectangle alors
ses diagonales ont même longueur.
2- a, b, c et d désignent des nombres
quelconques. Si a = b et c = d alors ac =bd
3- Si un nombre entier naturel est multiple
de 3 alors il est multiple de 6.
4- Dans tout triangle, une droite qui passe
par les milieux de deux des côtés est
parallèle au troisième côté.
5- Dans le plan, si deux droites sont
parallèles alors toute perpendiculaire à
l’une l’est à l’autre.
6- Si un triangle est rectangle alors son
hypoténuse est un diamètre de son cercle
circonscrit.
Toujours vrai, toujours faux, parfois vrai, parfois faux ?
                                                 Vrai ou
                                                 faux
Aucun carré n'est un losange
Tous les rectangles sont des carrés
Certains losanges sont des rectangles
Il y a des rectangles qui ne sont pas des
carrés
Parmi les losanges aucun n'est rectangle
Tous les carrés sont des losanges
Il y a des carrés qui ne sont pas des losanges
Parmi les rectangles, aucun n'est losange
Tous les carrés sont des rectangles
Tout losange est un parallélogramme
Tout parallélogramme est un losange
Tout trapèze est un parallélogramme
Trouver un quadrilatère tel que...
Construire un quadrilatère dont les diagonales sont
perpendiculaires et de même longueur et qui ne soit pas
un trapèze.

2- Soit un cercle de centre O et une corde [AB] de ce
cercle. Soit C le symétrique de O par rapport à la droite
(AB) et D le symétrique de O par rapport au point A.
- démontrer que AOBC est un losange.
- démontrer que ABCD est un parallélogramme.
Démontrer qu’un quadrilatère est un...
1- Soit SAB un triangle isocèle en S, et soit I le
milieu de [AB].
 Le cercle de centre I et de rayon IS coupe la
droite (IS) en T. Démontrer que SATB est un
losange.
Démontrer qu’un quadrilatère est un...

2- Soit un cercle de centre O et une corde [AB] de ce
cercle. Soit C le symétrique de O par rapport à la droite
(AB) et D le symétrique de O par rapport au point A.
- démontrer que AOBC est un losange.
- démontrer que ABCD est un parallélogramme.
ABCD est un quadrilatère.
On note I, J, K et L les milieux respectifs
des segments [AB], [BC], [CD] et [DA].
Quelle est la nature du quadrilatère
IJKL ?
A quelles conditions IJKL est-il un losange ?

Si IJKL est un losange, peut-on affirmer
que ABCD est un rectangle ?
Cherchez l’erreur

				
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posted:10/18/2011
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