Dynamique des fluides incompressibles

Document Sample
Dynamique des fluides incompressibles Powered By Docstoc
					Dynamique des fluides incompressibles

Définitions :
Dynamique : Fluide en mouvement => Vitesse, écoulement, débit.

Fluide incompressibles : Masse volumique ρ indépendante de P et T.

Débit : Quantité de matière qui traverse une section droite de conduite par unité de temps.

Débit massique QM = dm/dt      M.T-1 (kg.s-1

Débit volumique Qv = dV/dt L3.T-1 (m3.s-1)

Relation entre Qm et QV Qm=ρQV        puisque ρ = dm/dV



Vitesse moyenne d’écoulement : u=Qv/S

L3.T-1xL-2 = L.T-1. (m.s-1)

Ecoulement permanent ou stationnaire :

Caractéristiques du fluide (P.T. ρ.u …..) constantes dans le temps.

Lignes et tubes de courant :

Vitesse moyenne : La distribution des vitesses n’est pas uniforme dans une conduite.

Ligne de courant (L) : Courbe suivant laquelle se déplace un élément de fluide.

Tube de courant : Ensemble de lignes de courants qui s’appuient sur un élément de section dS où la
vitesse est uniforme.



                                  Principe de Conservation


3relations régissent l’écoulement :

Conservation de la matière : principe de continuité des débits

Conservation de la quantité de mouvement : Théorème d’Euler

Conservation de l’énergie : Théorème de Bernoulli.

Etude simplifiée : Fluide parfait en écoulement permanent, vitesse uniforme dans toute la section,
sans travail ni échange de chaleur.
Conservation de la matière :
Principe de continuité des débits : à t = 0, dS1 => dS2 masse de fluide m1

                                    A t = dt, dS’1 => dS’2 masse de fluide m2

Si dt est suffisamment petit, dS = dS’.

Ecoulement permanent => Quantité de matière contenue entre dS1 et dS2 = cste.

Donc m1 = m2 => ρ.V1 = ρ.V2 => ρ.S1.dL1 = ρ.S2.dL2

Ainsi ρ.S1.u1.dt=ρ.S2.u2.dt

                                              S1.u1. ρ = ρ.S2.u2




Conservation de la quantité de mouvement :
Théorème d’Euler

A t=0, Masse m de fluide entre dS1 et dS2

A t=dt Masse m de fluide entre dS’1 et dS’2

Accroissement d(m.u) de la quantité de mouvement de la masse m

De fluide entre t=0 et t=dt.

Entre DS’1 et dS2 => -m.u) inchangée => d(m.i)=0

Augmentation correspondant à la masse de fluide contenue entre dS2 et dS’2

                                           (ρ.S2.u2.dt)u2 = Qm.dt.u2

Diminutiuon correspondant à la masse de fluide contenue entre dS1 et dS’1

                                           (ρ.S1.u1.dt)u1=Qmdt.u1

D’où une variation de d(m.u) = Qm.dt.(u2-u1)

Or selon la loi de Newton : d(m.u)/dt = ΣFe

Donc ΣFe=Qm.(u2-u1)


Conservation de l’énergie
Relation de Bernoulli

Energie de l’unité de masse : énergie cinétique + énergie potentielle

= (u²/2 )+g.z
Accroissement de l’énergie de la masse m de fluide entre t=° et t=dt

Entre dS’1 et dS’2 => Energie inchangée => d(E)=0

Augmentation de l’énergie de la masse de fluide contenue entre dS2 et dS’2

                                 m.(u²2/2 + g.z2) = Qm.dt .(u²2/2 + g.z2)

Diminution de l’énergie de la masse de fluide contenue entre dS1 et dS’1

                                 m.(u²1/2 + g.z1) = Qm.dt .(u²1/2 + g.z1)

D’où une variation de d(E)=Dm.dt.[(u²2/2 +g.z2)-(u²1/2 + g.z1)]

Or le travail effectué par les forces de pression sur la masse m de fluide :

                                 D(E)=P1.dV1-P2.dV2 = (P1-P2)/ ρ.Qm.dt

Donc (u²2/2 +g.z2)-(u²1/2+g.z1)=(P1-P2)/ ρ

Conservation d’énergie : cinétique + potentielle+due aux pressions = Constance.

U²/2+g.z+P/ ρ=Constante

En pression : dynamique + pesanteur + statique = constante

Ρ.u²/2 + ρ.g.z+P=P1=Constante

En hauteur de fluide : Dynamique ou vive + Géométrique ou de niveau + due à la pression =
constante

U²/2g +z+ P/ ρ.g =H= Charge totale = constante.

                                             Applications


Principes fondamental de hydrostatiques :

Au point M P et z

Au point M’ P’ et z’                                          ρ masse volumique

                           ρ .u²/2 + ρ.g.z+P = ρ.u’²/2 + ρ.g.z’+P’ = constante

U=u’=I car statique

Si h = z-z’

                                             Alors P’-P = ρ.g.h

Théorème de Torricelli (Vitesse de sortie d’un fluide à travers un orifice)

  ρ.u²a/2 + ρ.g.za + Pa = ρ.u²b/2 + ρ.g.zb+Pb = constante
Hypothèses : S >> s donc ua << ub et ua² << ub² donc h constant et Pa=Pb.

Donc ub²=2.g.(za-zb)=2.g.h

D’où un débit massique Qm= ρ.ub.s= ρ.s.racine²(2.g.h)

En tenant compte des diverses corrections liées à la forme de l’orifice :

Qm=C. ρ.s.racine²(2.g.h)

Orifice circulaire dans une paroi très mince : C=0,62

Orifice en forme de tuyère C=0,98



Venturi : (Voir polycop pour schéma)
(U1²/2g)+z1+(P1/ ρ.g)=(u2²/2g)+z2+(P2/ ρ.g)=Htotale=(u1²/2g)+h1=(u2²/2g)+h2

Δh = Q²v/(2g.S2²).(1-S2²/S1²)

D’où QV=S2√((2g.Δh)/1-(S2/S1)²)

Sonde de Pitot :
U mesurée est locale.

A et A’ dans le même liquide en équilibre, donc :

PA+ ρgzA = PA’+ ρgzA’

M et M’ dans le même liquide en équilibre, donc :

PM+ ρgzM=PM’ +ρgzM

A’ et M’ dans le même fluide en équilibre donc PA+ ρ’gzA = PM+ ρ’gzM

ZA’-ZM’=h donc :

PA + ρgzA = PM+ ρ’gzM- ρ’gzA + ρgzA’=PM- ρ’gh+ ρgzA’

Donc PA-PM=( ρ- ρ’)gh

Si on applique Bernoulli entre A et qM :

PA+ ½ ρu²A+ ρgzA = PM+ ½ ρuM² + ρgzM

Ce qui donne PA-PM= ½ ρuM²

uM = √2gh(1-( ρ/ ρ’))

Comme ρ >> ρ’ : uM = √2gh
Sonde de Pitot (tube double) :


Comme précédemment : QV= S.uM = S.√(2ghρ’)/ρ

Rotamètre :
S : Section annulaire
S : Section du flotteur
V : Volume du Flotteur
ρS : Masse volumique du flotteur
ρF : Masse volumique du fluide

FP = sPcinétique=s.( ρF.u²)/2

Soit : ρs.V.g=ρF.V.g+s.( ρF.u²)/2

Donc QV =u.S = S √(2g.v ((ρZ-ρS)/(s. ρZ)))

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Categories:
Tags:
Stats:
views:15
posted:10/15/2011
language:French
pages:5