Statistika dasar

Document Sample
Statistika dasar Powered By Docstoc
					                    Kursus Statistika
                                                                                       Bagian 1
                    Dasar
                    Bambang Suryoatmono                                                Statistika Deskriptif




Pengelompokan Statistika                                        Pengelompokan Statistika lainnya
 Statistika Deskriptif: statistika yang menggunakan data           Statistika Parametrik:
 pada suatu kelompok untuk menjelaskan atau menarik                   Menggunakan asumsi mengenai populasi
 kesimpulan mengenai kelompok itu saja                                Membutuhkan pengukuran kuantitatif dengan level
    Ukuran Lokasi: mode, mean, median, dll                            data interval atau rasio
    Ukuran Variabilitas: varians, deviasi standar, range, dll      Statistika Nonparametrik (distribution-free
    Ukuran Bentuk: skewness, kurtosis, plot boks
                                                                   statistics for use with nominal / ordinal data):
 Statistika Inferensi (Statistika Induksi): statistika yang           Menggunakan lebih sedikit asumsi mengenai
 menggunakan data dari suatu sampel untuk menarik                     populasi (atau bahkan tidak ada sama sekali)
 kesimpulan mengenai populasi dari mana sampel                        Membutuhkan data dengan level serendah-
 tersebut diambil                                                     rendahnya ordinal (ada beberapa metode untuk
                                                                      nominal)




Istilah-istilah Dasar                                           Jenis Data
 Populasi: sekumpulan orang atau objek yang                                                            Nominal   Ordinal   Interval   Rasio
 sedang diteliti                                                Bilangan menunjukkan perbedaan            √         √         √         √

 Sensus: pengumpulan data pada seluruh                                                                              √         √         √
                                                                Pengukuran dapat digunakan untuk
 populasi                                                       membuat peringkat atau mengurutkan
 Sampel: sebagian dari populasi yang, apabila                   objek
 diambil dengan benar, merupakan representasi
 dari populasi                                                  Perbedaan bilangan mempunyai arti                             √         √


 Parameter: ukuran deskriptif dari populasi                     Mempuyai nol mutlak dan rasio antara                                    √

 Statistik: ukuran deskriptif dari sampel                       dua bilangan mempunyai arti




                                                                                                                                              1
    Distribusi Frekuensi                                                                                     Histogram (contoh MINITAB)
       Ungrouped Data vs Grouped data                                                                         Data:
       Range                                                                                                  60, 65, 70, 73, ……… , (tulis di C1)
       Class midpoint                                                                                         MINITAB:
       Frekuensi Relatif                                                                                      Stat -> Basic Statistics -> Display
                                                                                                              Descriptive Statistics
       Frekuensi Kumulatif




                                                  Histogram of Nilai


                              7                                                                                                           Boxplot of Nilai
                              6

                              5
                  Frequency




                              4

                              3

                              2

                              1

                              0

                                  30    40   50       60       70      80     90     100

                                                           Nilai




Descriptive Statistics: Nilai

                                                                                                                    30      40     50      60           70   80   90    100
Variable                   N             Mean           Median              TrMean         StDev   SE Mean                                      Nilai
Nilai                     40            72.83            74.50               73.39         18.37      2.90

Variable      Minimum                  Maximum                Q1               Q3
Nilai           35.00                   100.00             59.25            89.50                            Informasi di dalam Boxplot: Minimum, Q1, Median (Q2), Q3, dan Maksimum




                                                                                                                                                                                      2
Ogive (Poligon Frekuensi
Kumulatif)
MINITAB:
Graph -> Histogram




                                                                                                         Pie Chart
                              40
                                                                                                         MINITAB: Graph -> Pie Chart
       Cumulative Frequency




                              30



                              20



                              10



                               0

                                     30      40      50       60      70   80      90      100
                                                                   Nilai



                                                                   Ogive




                                                     Pie Chart Pemilih

                                                                                                         Bar Chart
                                                                                B ( 500, 11.8%)
                                   C (1500, 35.5%)
                                                                                                           MINITAB: Graph ->
                                                                                        A ( 350, 8.3%)     Chart



                                                                                      E ( 680, 16.1%)




                                            D (1200, 28.4%)




                                                                                                                                       3
                                                                         Stem-and-leaf
                  1500                                                     MINITAB: Graph ->
                                                                           Character Graph ->
                                                                           Stem-and-leaf
 Sum of Pemilih




                  1000




                   500



                         A          B            C   D      E
                                             Calon




                         Character Stem-and-Leaf Display
                                                                         Ukuran Lokasi pada data tak
                         Stem-and-leaf of HrgTanah          N     = 50   terkelompok
                         Leaf Unit = 10
                                                                             Mean = rata-rata hitung = rata-rata
                                                                             µ = rata-rata populasi, X = rata-rata sampel
                               1         4   5
                               2         5   5                               Median = nilai tengah dari data yang diurutkan
                               3         6   5                               Mode = nilai yang paling sering terjadi pada suatu data
                               7         7   2699
                              20         8   0012455555669                   Persentil = ukuran lokasi yang membagi sekelompok
                             (18)        9   000000345555556779              data menjadi 100 bagian
                              12        10   0000                            Quartil = ukuran lokasi yang membagi sekelompok data
                               8        11   0000
                                                                             menjadi 4 bagian atau subkelompok
                               4        12   0
                               3        13   00
                               1        14
                               1        15   0




Ukuran Lokasi pada data tak                                              Ukuran Variabilitas pada data tak
terkelompok (lanjutan)                                                   terkelompok
Mencari persentil ke p:                                                   Range = maksimum – minimum
 - Urutkan n data dari kecil ke besar                                     Interquartile range = Q3 – Q1
 - Hitung lokasi persentil i = (p/100) * n                                Q3 = persentil ke 75, Q1 = persentil ke 25
 - Jika i = bil bulat, maka persentil ke p                                                                                ∑ X −µ
                                                                          Deviasi absolut rata-rata          MAD =
   adalah (bil ke i + bil ke i+1) / 2                                                                                          N
 - Jika i bukan bil bulat, maka persentil ke p
                                                                          Varians populasi
   adalah bil ke int(i) + 1
                                                                                       σ2 = ∑                    ∑X
                                                                                                ( X − µ )2                − ( ΣX )
                                                                                                                                     2
                                                                                                                      2

                                                                                                             =                 N

                                                                                                  N                   N




                                                                                                                                         4
Ukuran Variabilitas pada data tak                                                Ukuran Variabilitas pada data tak
terkelompok (lanjutan)                                                           terkelompok (lanjutan)
 Varians sampel:                                                                   Deviasi Standar Populasi
                                                                                                                    ( X − µ )2
             S   2
                     =
                       ∑(X − X )   2

                                       =
                                         ∑X       2
                                                      −   ( ΣX ) 2
                                                             n                                            σ=
                                                                                                                        N
                          n −1                   n −1
                                                                                   Deviasi Standar Sampel
 Catatan: N = ukuran populasi, n = ukuran                                                                 S=
                                                                                                                   ( X − X )2
 sampel                                                                                                               n −1
                                                                                                                                                 σ
                                                                                   Note: Koefisien Variasi                       CV =              100%
                                                                                                                                                 µ




Ukuran Lokasi pada data                                                          Ukuran Variabilitas pada data
terkelompok                                                                      terkelompok
 Rata-rata                                                                         Varians populasi dan deviasi standar populasi

             µ grouped = ∑                 ∑
                                                                                   σ2 = ∑                         ∑ fM
                                 fM            fM                                              f (M − µ )2                   2
                                                                                                                                 − ( ΣfM )
                                                                                                                                             2

                                       =                                                                      =                        N
                                                                                                                                                  ; σ = σ2
                            ∑f                N                                                   N                          N

 f = frekuensi kelas                                                               Varians sampel dan deviasi standar sampel
 N = frekuensi total
                                                                                          ∑ f (M − X )            ∑ fM       − ( ΣfM )
                                                                                                                                         2
                                                                                                          2              2

                                                                                   S2 =                       =                    n
                                                                                                                                                 ; S = S2
                                                                                                n −1                   n −1




Ukuran Bentuk                                                                    Ukuran Bentuk (lanjutan)
 Skewness                                                                        Kurtosis (peakedness of a distribution)




  Mean                                       Mode                         Mean
  Median                                Median                         Median
  Mode                                                               Mode
                                 Mean

  simetris               Negatively skewed                   Positively skewed       Distr. Platikurtis            Distr. Mesokurtis                Distr. Leptokurtis
                                                                                  (datar dan menyebar)                 (normal)                     (tinggi dan tipis)




                                                                                                                                                                         5
                                                             Probabilitas
                                                              P(A) = peluang (probabilitas) bahwa kejadian A
                                                              terjadi
                 Bagian 2                                     0 < P(A) < 1
                                                              P(A) = 0 artinya A pasti terjadi
                                                              P(A) = 1 artinya A tidak mungkin terjadi
                                                              Penentuan nilai probabilitas:
                 Probabilitas                                   Metode Klasikal
                                                                Menggunakan Frekuensi Relatif Kejadian
                                                                Dengan carai subyektif




Metode Klasikal untuk menentukan                             Metode Frekuensi Relatif Kejadian
Probabilitas                                                 untuk Menentukan Probabilitas
 Metode ini menggunakan:                                      Pada metode ini probabilitas suatu event
   Eksperimen, yaitu proses yang menghasilkan outcome, dan
   Event, yaitu outcome dari suatu ekrperimen                 didapat dari banyaknya event tersebut
                                ne                            terjadi di masa lalu, dibagi dengan banyak
                     P( E ) =                                 total kesempatan event tersebut terjadi.
                                N
 N = total banyaknya outcome yang mungkin pada suatu
 eksperimen
 ne = banyaknya outcome di mana event E terjadi
 Pada metode ini probabilitas dapat ditentukan sebelum
 eksperimen dilakukan (a priori)




Probabilitas Subyektif                                       Struktur Probabilitas
 Hanya didasarkan atas perasaan, intuisi,                     Eksperimen. Contoh: Mencatat kurs US$
                                                              terhadap rupiah setiap hari Senin pukul 9 pagi
 atau pengetahuan orang yang                                  selama 12 bulan
 menentukan probabilitas                                      Event. Contoh: mendapati kurs US$ terhadap
                                                              rupiah kurang dari 10000
 Meskipun bukan merupakan cara yang                           Elementary Event: adalah event yang tidak
 ilmiah, namun pendekatan ini dapat saja                      dapat dipecah lagi menjadi event lain.
 menghasilkan probabilitas yang cukup                         Ruang sampel (sample space): adalah daftar
 akurat                                                       atau tabel lengkap yang memuat semua
                                                              elementary event pada suatu eksperimen.




                                                                                                               6
Struktur Probabilitas (lanjutan)                              Struktur Probabilitas (lanjutan)
                                                               Union = “atau” = gabungan. Simbol: U.
 Contoh Ruang Sampel:                                          Intersection = “dan” = irisan. Simbol: ∩.
 Wawancara dengan pertanyaan jenis                              Contoh: Jika diketahui X = {1, 4, 7, 9} dan Y =
                                                               {2, 3, 4, 5, 6}, maka
 penanaman modal (PMA atau PMDN),
                                                                 XUY = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9}
 maka ruang sampelnya adalah:                                    X∩Y = {4}
    Utk 1 responden: {PMA, PMDN}
                                                                                     S                        S
    Utk 2 responden: {PMA-PMA, PMA-PMDN,
    PMDN-PMA, PMDN-PMDN}
                                                                     X         Y                  X      Y




                                                                    XUY                           X∩Y




Struktur Probabilitas (lanjutan)                              Struktur Probabilitas (lanjutan)
 Mutually Exclusive Events: adalah kejadian-                   Independent Events: adalah kejadian-kejadian
 kejadian yang tidak mempunyai irisan. Artinya,                satu sama lain tidak saling mempengaruhi.
 kejadian yang satu meniadakan kejadian yang                   Artinya, terjadi atau tidak terjadinya satu
                        X∩Y
 lainnya; kedua kejadian tidak dapat terjadi                   kejadian tidak mempengaruhi terjadi atau tidak
                                                                                        X∩Y
                                                               terjadinya kejadian yang lainnya. Jadi:
 secara simultan. Jadi:
                                                                          P(X|Y) = P(X) dan P(Y|X) = P(Y)
            P(X∩Y) = 0
                                                               apabila X dan Y adalah kejadian independen.
 apabila X dan Y mutually exclusive.                           P(X|Y) artinya probabilitas bahwa X terjadi
                                                               apabila diketahui Y telah terjadi.




Struktur Probabilitas (lanjutan)                              Aturan hitungan mn
 Collectively Exhaustive Events: adalah daftar semua           Untuk suatu operasi yang dapat dilakukan
 kejadian elementer (elementary events) yang mungkin
 terjadi pada sebuah eksperimen. Jadi sebuah ruang             dengan m cara dan operasi ke dua yang
 sampel selalu terdiri atas Collectively Exhaustive Events.    dapat dilakukan dengan n cara, maka
 Komplemen dari kejadian A, diberi notasi A’ yang artinya
 “bukan A” adalah semua kejadian elementer pada suatu          kedua operasi dapat terjadi dalam mn
 eksperimen yang bukan A. Jadi: P(A)+P(A’) = 1                 cara. Aturan ini dapat dikembangkan
                                       S                       untuk tiga atau lebih operasi.
                   A’       A




                                                                                                                  7
Pengambilan Sampel dari Suatu                      Marginal, Union, Joint, and
Populasi                                           Conditional Probabilities
 Pengambilan sampel berukuran n dari dari           Marginal Probability: P(A) = probabilitas bahwa
 populasi berukuran N dengan penggantian (with      A terjadi
 replacement) akan menghasilkan
                Nn kemungkinan                      Union Probability: P(AUB) = probabilitas bahwa
                                                    A atau B terjadi
 Pengambilan sampel berukuran n dari dari
 populasi berukuran N tanpa penggantian             Joint Probability: P(AB) = P(A∩B) = probabilitas
 (without replacement) akan menghasilkan            bahwa A dan B terjadi
                   ⎛N⎞       N!                     Conditional Probability: P(A|B) = probabilitas
          N   Cn = ⎜ ⎟ =
                   ⎜ n ⎟ n!( N − n)!                bahwa A terjadi apabila diketahui B telah terjadi
                   ⎝ ⎠
 kemungkinan




Aturan Perjumlahan                                 Aturan Perkalian
 Aturan Umum Perjumlahan:                           Aturan Umum Perkalian:
                                                       P(X∩Y) = P(X) * P(Y|X) = P(Y) * P(X|Y)
          P(XUY) = P(X) + P(Y) – P(X∩Y)
                                                    Aturan Khusus Perkalian:
 Aturan Khusus Perjumlahan:
                                                    Apabila X dan Y adalah kejadian yang
 Apabila X dan Y adalah kejadian yang
 mutually exclusive, maka                           independen, maka
                                                            P(XUY) = P(X) * P(Y)
          P(XUY) = P(X) + P(Y)




Aturan untuk Probabilitas Bersyarat                Contoh Soal tentang Probabilitas
(Conditional Probability)
                                                    Di sebuah kota, diketahui bahwa:
                                                       41% penduduk mempunyai sepeda motor
 Probabilitas bahwa X terjadi apabila                  19% mempunyai sepeda motor dan mempunyai mobil
 diketahui Y telah terjadi                             22% mempunyai mobil
                                                    Apakah kepemilikan sepeda motor dan kepemilikan mobil di kota
                                                    tersebut independen? Gunakan data di atas untuk menjawabnya.
                P ( X ∩ Y ) P ( X ) * P (Y | X )    Bila seorang penduduk di kota tersebut diambil secara acak berapa
 P( X | Y ) =              =                        probabilitas bahwa ia memiliki sepeda motor dan tidak memiliki
                                                    mobil?
                   P (Y )          P(Y )            Bila seorang penduduk di kota tersebut diambil secara acak dan
                                                    diketahui ia memiliki mobil, berapa probabilitas bahwa ia tidak
                                                    memiliki sepeda motor?
                                                    Bila seorang penduduk di kota tersebut diambil secara acak,
                                                    berapakah probabilitas bahwa ia tidak memiliki sepeda motor dan
                                                    tidak memiliki mobil?




                                                                                                                        8
Jawab                          S
                                                                      Contoh Soal tentang Probabilitas
                                                 M
                              0.22       0.19    0.03      0.56
                                                                       Hasil sebuah survai yang menanyakan “Apakah
                                                                       Anda mempunyai komputer dan/atau kalkulator
                                                                       di rumah?” adalah sebagai berikut. Apakah
 S = memiliki sepeda motor; M = memiliki mobil                         kepemilikan kalkulator dan kepemilikan
 P(S) = 0.41, P(SM) = 0.19, P(M) = 0.22.                               komputer independen?
    Karena P(S)P(M) ≠ P(SM), maka kepemilikan sepeda                                               Kalkulator
    motor dan kepemilikan mobil tidak independen.
                                                                                                  Ya       Tdk
    dengan diagram Venn didapatkan P(SM’) = 0.22.
    P(S’|M) = P(S’M) / P(M) = 0.03 / 0.22 = 0.1364
                                                                          Komputer      Ya        46         3
    P(S’M’) = 0.56 (dari diagram Venn)                                                 Tdk        11        15




Jawab          A = memiliki komputer; B = memiliki kalkulator
                                     Kalkulator
                                     Ya     Tdk
           Komputer       Ya         46       3             49
                          Tdk        11      15             26                     Bagian 3
 P(A) =
         49
            = 0.653                  57      18             75
         75
         57
 P(B) =     = 0.76                                                                 Variabel Acak Diskret
         75
          46
 P(AB) =      = 0.613
          75
 P(A) * P(B) = 0.653 * 0.76 = 0.49628 ≠ P(AB)
               → A dan B tidak independen




Variabel Acak (X)                                                     Variabel Acak Diskret
 Variabel acak diskret: X hanya mempunyai sejumlah terbatas nilai
 Variabel acak kontinu: X dapat mempunyai tak hingga nilai             Rata-rata
                                                                                   µ = E ( X ) = ∑ X * P( X )

    P(X)                                 f(X)
                                                                       Deviasi Standar
                                                                                   σ=    ∑ (X − µ)   2
                                                                                                         * P( X )


                          X               ∞                       X
           ∑ P( X ) = 1                   ∫ f ( x)dx = 1
                                         −∞




                                                                                                                     9
Distribusi Binomial                                            Distribusi Binomial (lanjutan)
                                          n!
 Distribusi Binomial      P( X ) =                p X q n− X
                                     X !(n − X )!
 n = # trials
 X = # sukses
 p = probabilitas sukses pada satu trial
 q = 1 - p = probabilitas gagal pada satu trial
 Rata-rata Distribusi Binomial     µ = n* p
 Deviasi Standar Distribusi Binomial        σ = n* p*q
 Terjadi pada: eksperimen yang terdiri atas n trials,
 dengan setiap trial mempunyai probabilitas sukses p
 (konstan)
 MINITAB: Calc -> Probability Distribution -> Binomial




Distribusi Poisson
 Distribusi Poisson:
                                  λX e −λ
                       P( X ) =
                                     X!
 X = 0, 1, 2, ….
 λ = rata-rata
 e = 2.718282
 Rata-rata Distribusi Poisson µ = λ
 Deviasi standar Distribusi Poisson σ = √λ
 Distribusi Poisson merepresentasikan kejadian yang
 amat jarang. X = banyaknya kejadian tersebut terjadi
 pada suatu waktu atau area
 MINITAB: Calc -> Probability Distribution -> Poisson




                                                               Distribusi Normal dan Normal
                                                               Standar
                                                                Distribusi Normal (=Gauss)
                                                                Parameter: µ = rata-rata, dan σ = deviasi standar
                                                                                            f(x)

                 Bagian 4

                 Variabel Acak Kontinu
                                                                                                          X
                                                                                        µ




                                                                                                                    10
Distribusi Normal dan Normal                                                   Pilihan Distribusi Probabilitas di
Standar (lanjutan)                                                             dalam MINTAB
 Distribusi Normal Standar = distribusi normal untuk µ = 0                      Calc -> Probability Distribution -> [nama
 dan σ = 1. Konversi dari X yang terdistribusi normal ke Z
 yang terdistribusi normal standar:                                             distribusinya, misalnya Normal].
                               X −µ                                             Ada 3 Pilihan:
                       z=
                                σ                                                  Probability Density
                                                                                   Cumulative Probability
 MINITAB: Calc -> Probability Distribution -> Normal                               Inverse Cumulative Probabilty




Probability Density                                                            Cumulative Probability
                                f(x)                                                                         f(x)
                                       f(input) = output (untuk kontinu)                                              P(X < input) = output
                                       P(X = input) = output (untuk diskret)

                                                                                           output


                      output




                                                                   X                                                                          X
                                       input                                                                        input
                          µ                                                                              µ




                                                                               Contoh Soal Distribusi Kontinu
Inverse Cumulative Probabilty
                                                                                Contoh: Diketahui X terdistribusi normal dengan rata-rata
                                f(x)
                                                                                120 dan deviasi standar 15. Carilah x agar P(X>x) = 5%.
                                         P(X < output) = input


           intput




                                                                   X
                                       output
                          µ
                                                                                Ans: x = 144.6728




                                                                                                                                                  11
                                                                    Contoh Pendekatan Normal untuk
Pendekatan Normal untuk Binomial
                                                                    Binomial
 Binomial: diskret, parameter n dan p                                  Untuk X yang terdistribusi bimonial
 Normal: kontinu, parameter µ dan σ                                    dengan n = 80 dan p = 0.3, carilah
 Untuk n besar, distribusi binomial akan                                   P(X=24)
 menyerupai distribusi normal. Jadi untuk
 masalah binomial dengan n besar, dapat                                    P(X>30)
 didekati dengan distribusi normal                                         P(30<X<34)
 Ingat:                                                                    P(X<33)
     Untuk diskret: P(X=x) = ada nilai
     Untuk kontinu: P(X=x) = 0
                                                                    Jawab:




                                                                                                                30.5 − 24
 Untuk distribusi bimonial:                                         P ( X > 30) = P ( X > 30.5) = P( Z >                  )
                                                                                                                  4.0988
    Rata-rata = µ = np = 80*0.3 = 24                                                                           = P(Z > 1.5858)
                                                                     diskret        kontinu
    Deviasi Standar = σ = n * p * q              = 4.0988                                                      = 0.5 − 0.4441 = 0.0559
 Rata-rata dan deviasi standar tersebut                                               koreksi kontinuitas
 digunakan sebagai parameter distribusi normal                                                                        30.5 − 24       34.5 − 24
                                                                    P (30 < X ≤ 34) = P (30.5 < X < 34.5) = P(                  <Z <            )
                                       23.5 − 24      24.5 − 24                                                         4.0988         4.0988
P ( X = 24) = P (23.5 < X < 24.5) = P(           <Z <           )
                                        4.0988          4.0988                                                = P(1.5858 < Z < 2.5617)
                                                                          diskret                  kontinu
 diskret             kontinu
                                  = P(-0.122 < Z < 0.122)                                                     = 0.4948 − 0.4441 = 0.0507
                                  = 2 * 0.0478 = 0.0956                                       koreksi kontinuitas
                koreksi kontinuitas                                                                            33.5 − 24
                                                                    P ( X ≤ 33) = P ( X < 33.5) = P ( Z <                )
 Cek dengan rumus Binomial:                                                                                     4.0988
                        80!                                                                                   = P(Z < 2.3177)
    P( X = 24) =                 0.324 0.780− 24 = 0.0969513        diskret         kontinu
                                                                                                              = 0.5 + 0.4898 = 0.9898
                   24!(80 − 24)!
                                                                                     koreksi kontinuitas




Distribusi Eksponensial                                             Distribusi Eksponensial (lanjutan)
                                      f ( x ) = λ e − λx             Adalah distribusi kontinu
                                                                     Adalah kelompok distribusi dengan parameter = λ yang
                                      dengan x ≥ 0                   terjadi pada X = 0
                                                                     Mempunyai ekor di sebelah kanan
                                             λ >0                    Nilai x mulai dari nol sampai tak hingga
                                                                     Puncaknya selalu ada di X = 0
                                             e = 2.71828...          Kurvanya selalu mengecil untuk X yang membesar
                                                                     Menunjukkan distribusi probabilitas untuk waktu antara
                                                                     kejadian acak
                                                                     Rata-rata dan deviasi standarnya:
                                                                                                    1                 1
                                                                                              µ=        dan σ =
                                                                                                    λ                 λ




                                                                                                                                                    12
                                                            Contoh Soal Distribusi
   Distribusi Eksponensial (lanjutan)
                                                            Eksponensial
f(X)
                                                             Di restoran sebuah kota kecil kedatangan
                                                             pelanggan dapat dianggap terdistribusi Poisson
 λ                         P( X ≥ x0 ) = e − λx0             dengan rata-rata 3.2 pelanggan per 30 menit.
                                                               Berapa menit waktu rata-rata antar kedatangan
                                                               pelanggan di restoran tersebut?
                                                               Berapa probabilitas bahwa antar kedatangan
                                                               pelanggan ada selang 1 jam atau kurang?
                                                               Berapa probabilitas bahwa dua pelanggan datang
                                                               dengan selang waktu kedatangan 15 menit atau
                                                               lebih?

                   x0                                 X




   Jawab
       µ = 1/3.2 = 0.313. Jadi rata-rata 0.313*30
       menit = 9.39 menit waktu antar
       kedatangan pelanggan
                                                                           Bagian 5
       1 jam = 2 interval, yaitu 2 * 30 menit. Jadi
       x = 2. P(X>2) = 1-exp( -3.2*2) = 0.998
                                                                           Sampling dan Distribusi
       15 menit = 0.5 interval. Jadi x = 0.5.                              Sampling
       P(X>0.5) = exp( -3.2*0.5) = 0.202




   Sampling (pengambilan sampel)                            Random Sampling
       Dapat menghemat biaya                                 Simple random sampling
       Dapat menghemat waktu
       Untuk sumberdaya yang terbatas, pengambilan           Stratified random sampling
       sampel dapat memperluas cakupan studi                 Systematic random sampling
       Bila proses riset bersifat destruktif, pengambilan
       sampel dapat menghemat produk                         Cluster random sampling
       Apabila akses ke seluruh populasi tidak dapat
       dilakukan, pengambilan sampel adalah satu-
       satunya pilihan




                                                                                                                13
                                                              Sampling Distribution (distribusi sampling)
Nonrandom Sampling                                            untuk Rata-rata Sampel
                                                                                                                      Sampel

 Convenience sampling                                                                        Populasi             Ukuran sampel = n
 Judgement sampling                                                                                               Rata-rata sampel =

 Quota sampling                                                                           Rata-rata = µ                    X
                                                                                          Deviasi standar = σ


                                                                Sampel                                              Sampel


                                                            Ukuran sampel = n                                   Ukuran sampel = n
                                                            Rata-rata sampel =                                  Rata-rata sampel =

                                                                   X             Jadi    X Variabel acak               X




Teorema Limit Tengah untuk Rata-                              Sampling Distribution (distribusi sampling)
                                                              untuk Proporsi Sampel
rata                                                                                                                    Sampel

 Apabila sampel berukuran n besar (>30) diambil dari                                                                             Λ


 populasi yang mempunyai rata-rata µ dan deviasi standar
                                                                                             Populasi               Proporsi =   p
 σ, maka rata-rata sampel X akan terdistribusi normal                                                               Ukuran sampel = n
 dengan rata-rata µ dan deviasi standar σ/√n                                              Proporsi = P
 Khusus: apabila populasinya terdistribusi normal, maka n
 pada teorema di atas tidak harus besar. Jadi
                                                                Sampel                                                  Sampel
        X −µ
   Z=                   adalah normal standar                            Λ

          σ
                                                                                                                                 Λ
                                                            Proporsi =   p                                          Proporsi =   p
                                                            Ukuran sampel = n                                      Ukuran sampel = n
            n                                                                           ˆ
                                                                                        p Variabel acak




Teorema Limit Tengah untuk
Proporsi
 Apabila sampel berukuran n diambil dari populasi
 yang proporsinya P, dengan n*P > 5 dan n*Q > 5,
                              Λ

 maka proporsi sampel p akan terdistribusi                                          Bagian 6
 normal dengan rata-rata P dan deviasi standar
 √(P*Q/n). Jadi
                p−P
                ˆ                                                                   Estimasi untuk Populasi
       Z=                   adalah Normal standar
                 P *Q                                                               Tunggal
                   n




                                                                                                                                        14
Statistika Inferensial                                                              Estimasi Interval untuk µ
                      Populasi
                                                                                        Selang kepercayaan                                      σ
                                                                                        100(1-α)% untuk µ                       X ± Zα
                                                                                        pada sampel besar:                                  2    n
                                                                        Sampel                           ⎛         σ               σ ⎞
                                                                                        Artinya:        P⎜ X − Z α
                                                                                                         ⎜            ≤ µ ≤ X + Zα   ⎟ = 100(1 − α )%
                                                                                                         ⎝       2  n            2  n⎟
                                                                                                                                     ⎠
                                                                                                                        Distribusi Normal Standar

Simpulkan (estimasi) tentang parameter                      mendapatkan statistik   α                                               α                Note: apabila σ
                                                                                    2                                               2                tidak diketahui
                                                                                                           1-α                                       dapat digantikan
                                                                                                                                                     dengan s
                                                                                                                                        Z
      Estimasi: Estimasi titik, estimasi interval, uji hipotesa                                            0
                                                                                          − Zα                          Zα
                                                                                             2                              2




Estimasi Interval untuk µ (lanjutan)                                                Estimasi Interval untuk µ (lanjutan)
    MINITAB: Stat -> Basic Statistics -> 1-sample z
                                                                                    Output MINITAB:

                                                                                     Confidence Intervals


                                                                                     The assumed sigma = 120

                                                                                     Variable       N        Mean   StDev       SE Mean          95.0 % CI
                                                                                     HrgTanah      50       924.2   174.7          17.0     (   890.9,   957.5)




Estimasi Interval untuk µ, sampel kecil.                                            Estimasi Interval untuk µ sampel
Asumsi: Populasi terdistribusi Normal
    Selang kepercayaan
                                                                                    kecil (lanjutan)
                                                                            s        MINITAB: Stat -> Basic Statistics -> 1-sample t
    100(1-α)% untuk µ                                   X ± tα
                                                                   , n −1    n
    pada sampel kecil:                                         2

                       ⎛                s                      s ⎞
    Artinya:          P⎜ X − t α
                       ⎜                   ≤ µ ≤ X + tα          ⎟ = 100(1 − α )%
                       ⎝       2
                                 , n −1  n            2
                                                        , n −1  n⎟
                                                                 ⎠
                                           distribusi t dengan df = n-1
α
                                                          α
2
                                                           2
                          1-α


                                                               t
      − tα                0              tα
             , n −1                            , n −1
         2                                 2




                                                                                                                                                                        15
 Estimasi Interval untuk µ sampel                                                       Estimasi Interval untuk P
                                                                                        Syarat: nP>5 dan nQ>5
 kecil (lanjutan)
                                                                                                   Populasi
Output MINITAB:                                                                                                                          Sampel
Confidence Intervals
                                                                                              Proporsi = P                             Ukuran = n
                                                                                            (akan diestimasi)
                                                                                                                                       proporsi   ˆ
                                                                                                                                                  p
Variable          N                Mean   StDev        SE Mean          95.0 % CI
HrgTanah         15               952.7   243.4           62.8    (    817.9, 1087.5)                                                                              q = 1− p
                                                                                                                                                                   ˆ      ˆ

                                                                                          Selang kepercayaan                                            ˆˆ
                                                                                                                                                        pq
                                                                                                                                         p ± Zα
                                                                                                                                         ˆ
                                                                                          100(1-α)% untuk P                                       2     n

                                                                                                               ⎛           ˆˆ
                                                                                                                           pq                         pq ⎞
                                                                                                                                                      ˆˆ
                                                                                          Artinya:            P⎜ p − Z α
                                                                                                               ⎜
                                                                                                                 ˆ            ≤ P ≤ p + Zα
                                                                                                                                    ˆ                    ⎟ = 100(1 − α )%
                                                                                                               ⎝       2
                                                                                                                           n             2
                                                                                                                                                      n ⎟⎠




 Estimasi Interval untuk Varians                                                        Estimasi Interval untuk Varians
 Populasi σ2                                                                            Populasi σ2
       Syarat:                                                                           Selang kepercayaan 100(1-α)% untuk varians populasi σ2
       -  Populasi terdistribusi Normal                                                                             ⎛                         ⎞
       -  Sampel besar                                                                                              ⎜ (n − 1) S 2 (n − 1) S 2 ⎟
                                                                                                                    ⎜            , 2          ⎟
                                                                                                                    ⎜ χ α ,n −1    χ α
                                                                                                                          2
                                                                                                                                    1− , n −1
                                                                                                                                              ⎟
                                                                                                                    ⎝     2            2      ⎠
                              Populasi
                                                                  Sampel                 Artinya
                                                                                                    ⎛                              ⎞
                  Varians Populasi = σ2                        Ukuran = n                           ⎜ (n − 1) S 2      (n − 1) S 2 ⎟
                    (akan diestimasi)                          Varians sampel                      P⎜             ≤σ2 ≤ 2          ⎟ = 100(1 − α )%
                                                                                                    ⎜ χ α ,n −1         χ α
                                                                                                          2
                                                                     = S2                                                1− , n −1
                                                                                                                                   ⎟
                                                                                                    ⎝     2                 2      ⎠




 Estimasi Interval untuk Varians                                                        Estimasi Interval untuk Varians
 Populasi σ2 (lanjutan)                                                                 Populasi σ2 (lanjutan)
       Distribusi χ2                                                                     Contoh distribusi χ2 untuk df = 34 dan α = 0.05
                                                                                         MINITAB: Calc -> Probability Distribution -> Chisquare
         ( )
        f χ2




                                                           α
   α
                                                           2
   2                        1-α

          0    χ2 α
                1− , n −1
                                            χα
                                             2
                                                  , n −1
                                                           χ2    dengan derajat
                  2                           2
                                                                 bebas = n-1




                                                                                                                                                                              16
Estimasi Interval untuk Varians                                                  Ukuran Sampel dalam
Populasi σ2 (lanjutan)                                                           Mengestimasi Rata-rata Populasi µ
     f χ2( )                                                                      Dalam mengestimasi rata-rata populasi µ, ukuran
                                                                                  sampel minimum untuk suatu α dan E yang ditetapkan,
                                                                                  adalah
                                                                                                         ⎛z σ ⎞
                                                                                                                  2

                                                                                                     n = ⎜ α /2 ⎟
                                                                                                         ⎝ E ⎠
                                                           0.025
 0.025                                                                            dengan
                             0.95                                                 E = galat estimasi = error of estimation = x − µ
                                                                                  σ = deviasi standar populasi,
          0
               χ 02.975,34                   χ 02.025,34     χ 2dengan derajat      = range/4 apabila tidak diketahui
                 = 19.8063                   = 51.9660         bebas = 34         α = taraf keterandalan
                                                                                  100(1 – α)% = tingkat keyakinan = level of confidence




Contoh                                                                           Jawab
 Seorang manajer bank ingin menentukan rata-                                      X = besarnya deposito bulanan nasabah,
 rata deposito bulanan per nasabah di bank                                        dinyatakan dalam juta rupiah
 tersebut. Untuk itu ia akan mengestimasi
 dengan menggunakan selang kepercayaan.                                           σ = 1000
 Berapa ukuran sampel yang harus ia ambil                                         Tingkat keyakinan 99% → α = 0.01 dan α/2 =
 apabila ia ingin yakin 99% dan kesalahannya                                      0.005, sehingga zα/2 = z0.005 = 2.5758
 tidak lebih dari 200 juta rupiah. Ia asumsikan                                   E = 200
 bahwa deviasi standar untuk deposito bulanan
 semua nasabah adalah 1 milyar rupiah                                             Ukuran sampel minimum
                                                                                           ⎛ z σ ⎞ ⎛ 2.5758 *1000 ⎞
                                                                                                   2                  2

                                                                                       n = ⎜ α /2 ⎟ = ⎜             ⎟ = 165.87 = 166
                                                                                           ⎝ E ⎠ ⎝         200      ⎠




Ukuran Sampel dalam
                                                                                 Contoh
Mengestimasi Proporsi Populasi p
 Dalam mengestimasi proporsi populasi p, ukuran sampel                            Seseorang ingin menyelidiki berapa proporsi
 minimum untuk suatu α dan E yang ditetapkan, adalah                              sekretaris di seluruh perkantoran di Bandung
                                         zα / 2 pq                                yang diperlengkapi dengan komputer di ruang
                                    n=                                            kerjanya. Ia akan menjawab pertanyaan ini
                                           E2
 dengan                                                                           dengan melakukan survai acak. Berapa ukuran
 E = galat estimasi = error of estimation = p − p
                                             ˆ                                    sampel yang harus ia ambil apabila ia ingin
 p = proporsi populasi,                                                           yakin 95% dan galat pada selang kepercayaan
   = 0.5 apabila tidak diketahui (agar n maksimum)                                tidak dapat lebih dari 0.05? Anggap bahwa
 q=1-p
 α = taraf keterandalan
                                                                                  proporsi aktual tidak diketahui sebelumnya.
 100(1 – α)% = tingkat keyakinan = level of confidence




                                                                                                                                          17
Jawab
 p = proporsi sekretaris di seluruh perkantoran di
 Bandung yang diperlengkapi dengan komputer di ruang
 kerjanya
 Karena p tidak diketahui, asumsikan nilainya 0.5
                                                                                            Bagian 7
 q = 1 – p = 0.5
 Tingkat keyakinan 95% → α = 0.05 dan α/2 = 0.025,
 sehingga zα/2 = z0.025 = 1.96
 E = 0.05
                                                                                            Uji Hipotesa untuk Populasi
 Ukuran sampel minimum                                                                      Tunggal
                    2
              zα / 2 pq 1.962 * 0.5 * 0.5
        n=             =                  = 384.16 = 385
                 E2          0.052




                                                                        Beberapa Uji Hipotesis pada
Uji Hipotesis
                                                                        Statistika Parametrik
                                                                         Uji z 1 sampel: mengestimasi rata-rata populasi dengan
 Hipotesis Riset:                                                        menggunakan sampel besar
                                              H0 benar     H0 salah
 menyatakan hubungan                                                     Uji t 1 sampel: mengestimasi rata-rata populasi dengan
                                                                         menggunakan sampel kecil pada populasi yang terdistribusi normal
    Hipotesa nol (H0) vs
    Hipotesa alternatif (H1 =                                            Uji t 2 sampel: mengestimasi perbedaan rata-rata 2 populasi
                                  Pertahank   Keputusan    Galat Tipe    independen dengan menggunakan sampel kecil pada populasi yang
    Ha)                             an H0       benar        II (β)      terdistribusi normal
    Galat (error) tipe I, galat                                          Anova 1 arah (completely randomized design): mempelajari apakah
    tipe II, dan power            Tolak H0    Galat Tipe   Keputusan
                                                                         rata-rata c populasi semuanya sama, atau ada yang berbeda
                                                I (α)        benar       Anova 2 arah (factorial design):
                                                            (power)         mempelajari apakah rata-rata c populasi semuanya sama, atau ada
                                                                            yang berbeda
                                                                            mempelajari apakah rata-rata r populasi semuanya sama, atau ada
                                                                            yang berbeda
 R = Rejection Region. Apabila statistik uji (test statistic)               mempelajari apakah efek interaksi ada atau tidak ada
 ada di daerah ini, maka tolak H0. Bila tidak, maka
 pertahankan H0.




                                                                        Uji Hipotesis tentang Rata-rata Populasi
Beberapa Uji Hipotesis pada
                                                                        dengan menggunakan Sampel Besar, Uji
Statistika Nonparametrik                                                z 1 sampel
                                                                                                   X − µ0
 Uji U Mann-Whitney: membandingkan dua                                   Statistik uji       Z=
 populasi independen                                                                                  σ
 Uji peringkat bertanda Wilcoxon:                                                                       n
 membandingkan dua populasi yang related
 Uji K Kruskal-Wallis: menguji apakah c populasi                         H0: µ = µ0 vs H1: µ > µ0
 identik atau berbeda pada completely random                                                                 Distribusi Normal Standar
 design                                                                                                        R: Z > Zα
 Uji Friedman: menguji apakah c populasi identik
 atau berbeda, pada randomized block design                                                 1-α                     α

                                                                                                                        Z
                                                                                             0
                                                                                                             Zα




                                                                                                                                              18
Uji Hipotesis tentang Rata-rata Populasi                               Uji Hipotesis tentang Rata-rata Populasi
dengan menggunakan Sampel Besar, Uji                                   dengan menggunakan Sampel Besar, Uji
z 1 sampel (lanjutan)                                                  z 1 sampel (lanjutan)
 H0: µ = µ0 vs H1: µ < µ0                                                H0: µ = µ0 vs H1: µ ≠ µ0
                                                                                                                                   Distribusi Normal Standar

                                                                                           R                                                R
   R: Z < -Zα                              Distribusi Normal Standar
                                                                                 α                                                              α
                                                                                 2                                   1-α
                                                                                                                                                2
      α                    1-α
                                                                                                                                                    Z
                                                                                            − Zα                    0                  Zα
                                                      Z                                            2                                    2
                           0
                − Zα
                                                                          R : Z > Zα
                                                                                               2




Uji Hipotesis tentang Rata-rata Populasi                               Uji Hipotesis tentang Rata-rata Populasi
dengan menggunakan Sampel Besar, Uji                                   dengan menggunakan Sampel Besar, Uji
z 1 sampel (lanjutan)                                                  z 1 sampel (lanjutan)
                                                                                                                    Distribusi
 Cara lain: dengan menggunakan nilai p (p-value),                                                                 Normal Standar
 berlaku untuk ketiga hipotesa alternatif:
                                                                       Nilai p                                                                  Untuk kasus:
             Tolak H0 jika p < α
                                                                                                                                                 H1: µ < µ0

                                 Distribusi Normal Standar                                                                         Z
                                                                                     Z                 0
                                                                                                                    Distribusi
                                                                                                                  Normal Standar

                                      Nilai p
                                                     Untuk kasus:
                                                      Ha: µ > µ0                                                                                Untuk kasus:
                                            Z                                                                                                    H1: µ ≠ µ0
                                                                                                                                   Z
                       0                                                             -Z                0                   Z
                                 Z
                                                                                          Jumlahnya = nilai p




Contoh Aplikasi Uji Z 1 sampel                                         Data                                9.7
                                                                                                           8.5
                                                                                                                                       10.5
                                                                                                                                       10.2
                                                                                                           9.8                         5.5
                                                                                                           11.0                        7.0
 Sebuah laporan menyebutkan bahwa rata-                                                                    11.5
                                                                                                           13.0
                                                                                                                                       7.2
                                                                                                                                       8.0
 rata penjualan harian di restoran A tidak                                                                 8.7                         8.0
                                                                                                           7.9                         9.5
 melebihi 10 juta rupiah. Untuk menguji                                                                    8.4                         9.5
 apakah hal ini benar, maka                                                                                7.6
                                                                                                           10.6
                                                                                                                                       7.8
                                                                                                                                       10.5
 dikumpulkanlah data penjualan di restoran                                                                 10.9                        11.0
 A selama 30 hari (dalam juta rupiah).                                                                     11.0
                                                                                                           9.1
                                                                                                                                       12.0
                                                                                                                                       9.8
 Gunakanlah taraf keterandalan α = 5%.                                                                     10.0                        7.0

 Kesimpulan apakah yang dapat ditarik?
                                                                       MINITAB: Stat -> Basic Statistics -> 1-sample Z
                                                                       Note: Hitung dahulu deviasi standar sampel, S




                                                                                                                                                               19
                                                                                      Output MINITAB
                                                                                     Z-Test

                                                                                     Test of mu = 10.000 vs mu < 10.000
                                                                                     The assumed sigma = 1.71

                                                                                     Variable          N            Mean       StDev    SE Mean            Z          P
                                                                                     Masuk            30           9.373       1.715      0.313        -2.00      0.023


                                                                                      • Dengan metode nilai p: terlihat bahwa nilai p = 0.023 < α =
                                                                                      0.05. Jadi, tolak H0. Artinya: rata-rata penjualan di restoran A
                                                                                      tidak melebihi 10 juta rupiah.

                                                                                      • Dengan metode nilai kritis: Z = -2.00 berada di R, yaitu Z < -
                                                                                      1.645. Kesimpulan: tolak H0. Artinya: rata-rata penjualan di
                                                                                      restoran A tidak melebihi 10 juta rupiah.




Uji Hipotesis tentang Rata-rata Populasi                                              Uji Hipotesis tentang Rata-rata Populasi dengan
dengan menggunakan Sampel Kecil, Uji t 1                                              menggunakan Sampel Kecil, Uji t 1 sampel.
sampel. Asumsi: Populasi Terdistribusi Normal                                         Asumsi: Populasi Terdistribusi Normal (lanjutan)
                    X − µ0
  Statistik uji  t=                                                                      H0: µ = µ0 vs H1: µ < µ0
                      s
                       n
                                                                                                                                            Distribusi t dengan
                                                                                                                                            derajat bebas = n-1
  H0: µ = µ0 vs H1: µ > µ0                                                                    R: t < -tα

                                           Distribusi t dengan derajat bebas = n-1

                                               R: t > tα                                         α                         1-α

                               1-α                       α
                                                                                                                                                       t
                                                                                                                           0
                                                                t                                          − tα ,n −1
                               0
                                           tα ,n −1




Uji Hipotesis tentang Rata-rata Populasi dengan                                       Uji Hipotesis tentang Rata-rata Populasi dengan
menggunakan Sampel Kecil, Uji t 1 sampel.                                             menggunakan Sampel Kecil, Uji t 1 sampel.
Asumsi: Populasi Terdistribusi Normal (lanjutan)                                      Asumsi: Populasi Terdistribusi Normal (lanjutan)
  H0: µ = µ0 vs H1: µ ≠ µ0                                                               Cara lain: dengan menggunakan nilai p (p-value),
                                                      Distribusi t dengan                berlaku untuk ketiga hipotesa alternatif:
                                                      derajat bebas = n-1                            Tolak H0 jika p < α
                                                                                                                                 Distribusi t dengan
           R                                                  R                                                                  derajat bebas = n-1

      α                                                              α
      2                              1-α
                                                                     2
                                                                                                                                       Nilai p
                                                                                                                                                       Untuk kasus:
                                                                         t                                                                              H1: µ > µ0
           − tα                      0                 tα
                                                            , n −1
                      , n −1                                                                                                                 t
                  2                                     2
                                                                                                                   0
                                                                                                                                 t
  R : t > tα
               , n −1
           2




                                                                                                                                                                          20
Uji Hipotesis tentang Rata-rata Populasi dengan
menggunakan Sampel Kecil, Uji t 1 sampel.                                      Contoh Aplikasi Uji t 1 sampel
Asumsi: Populasi Terdistribusi Normal (lanjutan)
                                   Distribusi t dengan
                                   derajat bebas = n-1                            Majalah A menyebutkan bahwa rata-rata usia
Nilai p                                                        Untuk kasus:
                                                                                  direktur utama bank di sebuah kota 41 tahun.
                                                                H1: µ < µ0        Untuk menguji apakah hal ini benar, maka
                                                                                  dikumpulkanlah data acak dari 11 direktur utama
                                                  t
          t            0                                                          bank di kota tersebut. Asumsikan bahwa usia
                                 Distribusi t dengan
                                 derajat bebas = n-1
                                                                                  direktur utama bank di kota tersebut terdistribusi
                                                                                  normal. Gunakanlah taraf keterandalan α = 5%.
                                                                                  Kesimpulan apakah yang dapat ditarik?
                                                               Untuk kasus:
                                                                H1: µ ≠ µ0
                                                                                  Data: 40, 43, 44, 50, 39, 38, 51, 37, 55, 57, 41
                                                  t
          -t           0                 t                                        MINITAB: Stat -> Basic Statistics -> 1 Sample t
               Jumlahnya = nilai p




                                                                               Output MINITAB
                                                                              T-Test of the Mean

                                                                              Test of mu = 41.00 vs mu not = 41.00

                                                                              Variable        N           Mean       StDev   SE Mean          T                 P
                                                                              Usia           11          45.00        7.07      2.13       1.88             0.090


                                                                               • Dengan metode nilai p: terlihat bahwa nilai p = 0.090 > α =
                                                                               0.05. Jadi, pertahankan H0. Artinya: data yang ada mendukung
                                                                               pernyataan bahwa rata-rata usia direktur bank di kota tersebut
                                                                               41 tahun.

                                                                               • Dengan metode nilai kritis: t = 1.88 berada di luar R, yaitu |t| <
                                                                               2.2281. Kesimpulan: pertahankan H0 (sama dengan kesimpulan
                                                                               di atas).




Uji Hipotesis tentang Proporsi Populasi.                                       Uji Hipotesis tentang Proporsi Populasi.
nP>5 dan nQ>5                                                                  nP>5 dan nQ>5 (lanjutan)
                                  p − P0
                                  ˆ
  Statistik uji            Z=                                                     H0: P = P0 vs H1: P < P0
                                    P0Q0
                                      n
                                                                                                                                Distribusi Normal Standar
  H0: P = P0 vs H1: P > P0                                                           R: Z < -Zα

                                             Distribusi Normal Standar

                                                R: Z > Zα                                α                       1-α

                           1-α                         α
                                                                                                                                           Z
                                                                                                                 0
                                                           Z                                      − Zα
                           0
                                             Zα




                                                                                                                                                                    21
  Uji Hipotesis tentang Proporsi Populasi.                                                          Uji Hipotesis tentang Proporsi Populasi.
  nP>5 dan nQ>5 (lanjutan)                                                                          nP>5 dan nQ>5 (lanjutan)
     H0: P = P0 vs H1: P ≠ P0                                                                            Cara lain: dengan menggunakan nilai p (p-value),
                                                                                                         berlaku untuk ketiga hipotesa alternatif:
                                                             Distribusi Normal Standar                               Tolak H0 jika p < α
                       R                                                 R
                                                                                                                                                    Distribusi Normal Standar
             α                                                               α
             2                                 1-α
                                                                             2
                                                                                                                                                           Nilai p
                                                                                                                                                                          Untuk kasus:
                                                                                 Z                                                                                         H1: P > P0
                        − Zα                  0                  Zα
                               2                                     2
                                                                                                                                                                 Z
                                                                                                                                  0
                                                                                                                                                   Z
       R : Z > Zα
                           2




  Uji Hipotesis tentang Proporsi Populasi.                                                          Contoh Uji Hipotesis Tentang
  nP>5 dan nQ>5 (lanjutan)                                                                          Proporsi Populasi
                                              Distribusi
                                            Normal Standar                                               Untuk menyelidiki kebenaran apakah manajer
   Nilai p                                                                   Untuk kasus:                restoran yang wanita di sebuah kota kurang dari
                                                                              H1: P < P0                 30%, seseorang mengumpulkan data dari 20
                                                             Z                                           restoran di kota tersebut yang diambil secara
                                    0
                 Z
                                              Distribusi
                                                                                                         acak. Hasilnya: ada 5 restoran yang manajernya
                                            Normal Standar                                               wanita, sisanya mempunyai manajer pria. Apa
                                                                                                         kesimpulan dari data tersebut, apabila α yang
                                                                             Untuk kasus:                digunakan 5%?
                                                                              H1: P ≠ P0
                                                             Z
                 -Z                 0                Z

                      Jumlahnya = nilai p




  Jawab                                                                                              Uji Hipotesis tentang Varians Populasi.
     H0: P = 0.30 vs H1: P < 0.30
                                                                                                     Asumsi: Populasi Terdistribusi Normal
        5                                                                                                                                    (n − 1) S 2
     p=
     ˆ     = 0.25                                                                                         Statistik uji               χ2 =
        20                                                                                                                     σ 02
         0.25 − 0.30                                                                                     H0: σ2 = σ2 0 vs H1: σ2 < σ2 0
     Z=               = −0.488
          0.30 * 0.70                                                            Distribusi                 ( )
                                                                                                           f χ2
              20                                                                 Normal
                                                                                 Standar
                                   R: Z < -1.645
                                                                                                  R : χ 2 < χ12−α ,n −1
Z di luar R,
jadi terima H0.
Artinya, tidak benar                0.05
bahwa manajer
                                                                                                       α
restoran yang                                                                                                               1-α
wanita di kota                                       -0.488                                   Z
                                                                 0
tesrsebut kurang
dari 30%
                                           -1.645
                                                                                                              0
                                                                                                                   χ12−α ,n −1                                  χ2   dengan derajat
                                                                                                                                                                     bebas = n-1




                                                                                                                                                                                         22
Uji Hipotesis tentang Varians Populasi.                                          Uji Hipotesis tentang Varians Populasi.
Asumsi: Populasi Terdistribusi Normal                                            Asumsi: Populasi Terdistribusi Normal
(lanjutan)                                                                       (lanjutan)
 H0: σ2 = σ2 0 vs H1: σ2 > σ2 0                                                   H0: σ2 = σ2 0 vs H1: σ2 ≠ σ2 0

           ( )
         f χ2                                                                                ( )
                                                                                            f χ2


                                                                                 R:χ2 < χ2α
                                                                                            1− , n −1
                                                                                                                                        R : χ 2 > χα
                                                                                                                                                   2
                                     R : χ > χα ,n −1
                                            2       2                                         2
                                                                                                                                                    2
                                                                                                                                                        , n −1

                                                                                        α                                                       α
                    1-α
                                                α                                                                   1-α
                                                                                        2                                                       2
            0
                                                        χ   2                                  0
                                                                                                        χ   2
                                                                                                                                χα
                                                                                                                                 2                  χ2
                                 χα ,n −1
                                  2                             dengan derajat                                  α
                                                                                                            1− , n −1                , n −1
                                                                                                                                                             dengan derajat
                                                                bebas = n-1                                   2                  2                           bebas = n-1




                                                                                 Data
Contoh Uji Hipotesis Tentang                                                                                105           100
Varians Populasi                                                                                            110
                                                                                                            106
                                                                                                                          101
                                                                                                                          102
                                                                                                            111           103
 Spesifikasi mesin pemotong menyebutkan                                                                     101           100
 bahwa deviasi standar hasil potongan                                                                       100           103
                                                                                                            101            99
 kurang dari 6 mm. Untuk menguji hal ini,                                                                   101            99
 dikumpulkan 30 hasil potongan mesin                                                                        100            98
                                                                                                             95            98
 tersebut. Dengan menggunakan α = 10%,                                                                       97            94
 kesimpulan apakah yang dapat ditarik dari                                                                  108           100
                                                                                                             99           100
 data tersebut.                                                                                              99           101
                                                                                                            100           100




Jawab

 N = 30
 S = 3.82 (Stat -> Basic Statistic -> Descriptive Statistics)
 H0: σ2 = 36 vs H1: σ2 < 36                                                                                     Bagian 8
 Untuk df = 29 dan α = 0.10, χ20.90,29 = 19.7677 (Calc ->
 Probability Distribution -> Chisquare)
 R: χ2 < χ20.90,29 = 19.7677

                  χ2 =
                          (30 − 1)3.82 2
                                         = 11.7550
                                                                                                                Statistika Inferensi untuk Dua
 Statistik uji:
                               62                                                                               Populasi
 Karena 11.7550 < 19.7677, maka tolak H0. Artinya, benar
 bahwa deviasi standar hasil potong mesin tersebut
 kurang dari 6 mm.




                                                                                                                                                                              23
                                                                                    Uji Hipotesis tentang Perbedaan Rata-rata 2
  Statistika Inferensi Tentang Rata-
                                                                                    Populasi Independen dengan menggunakan
  rata Dua Populasi Independen                                                      Sampel Besar
                       Populasi 1                                                                      X 1 − X 2 − (µ1 − µ 2 ) Catatan: Bila deviasi
                                                               Sampel 1               Statistik uji Z=                                                standar populasi σ
                                                                                                                        σ 12       σ2
                                                                                                                                    2
                                                                                                                                                      tidak ada, dapat
                                                          Ukuran = n1 (besar)                                                  +                      digantikan dengan
                     Rata-rata = µ1                       Rata-rata = X 1                                               n1          n2                deviasi standar
                  (tidak diketahui)                       Deviasi Standar = S1
                                                                                                                                                      sampel S

                                                                                      H0: µ1 – µ2 = µ0 vs H1: µ1 – µ2 > µ0
independen                                                                                                                     Distribusi Normal Standar
                       Populasi 2
                                                              Sampel 2                                                             R: Z > Zα

                                                         Ukuran = n2 (besar)
                  Rata-rata = µ2                         Rata-rata = X 2
                                                                                                         1-α                             α
                                                         Deviasi Standar = S2
                 (tidak diketahui)
                                                                                                                                              Z
                                                                                                         0
                                                                                                                               Zα




  Uji Hipotesis tentang Perbedaan Rata-rata 2                                       Uji Hipotesis tentang Perbedaan Rata-rata 2
  Populasi Independen dengan menggunakan                                            Populasi Independen dengan menggunakan
  Sampel Besar (lanjutan)                                                           Sampel Besar (lanjutan)
     H0: µ1 – µ2 = µ0 vs H1: µ1 – µ2 < µ0                                             H0: µ1 – µ2 = µ0 vs H1: µ1 – µ2 ≠ µ0
                                                                                                                                   Distribusi Normal Standar

                                                                                                 R                                            R
        R: Z < -Zα                                   Distribusi Normal Standar
                                                                                            α                                                     α         R : Z > Zα
                                                                                            2                     1-α
                                                                                                                                                  2                        2
             α                        1-α
                                                                                                                                                        Z
                                                                                                  − Zα            0                      Zα
                                                                Z                                    2                                    2
                                      0
                      − Zα                                                            Catatan: sebagai alternatif, metode nilai p juga
                                                                                      dapat digunakan




  Selang Kepercayaan 100(1-α)% Perbedaan                                            Uji Hipotesis tentang Perbedaan Rata-rata 2
  Rata-rata 2 Populasi Independen µ1 – µ2                                           Populasi Independen dengan menggunakan
  dengan menggunakan Sampel Besar                                                   Sampel Kecil. Asumsi: Kedua Populasi terdistribusi
                      ⎡                                                             Normal dan Deviasi standar kedua populasi sama
                                           σ 12 σ 2 ⎤
                                                  2
                      ⎢( X 1 − X 2 ) ± Z α     +    ⎥                                                   X 1 − X 2 − (µ1 − µ 2 )
                      ⎢
                      ⎣                  2 n1 n2 ⎥  ⎦                                  Statistik uji t=
                                                                                                                 1 1
                                                                                                            S       +
  Artinya:                                                                                                       n1 n2
    ⎛                     σ 12 σ 2
                                 2
                                                                  σ 12 σ 2
                                                                         2      ⎞
   P⎜ ( X 1 − X 2 ) − Z α     +    ≤ µ1 − µ 2 ≤ X 1 − X 2 ) + Z α     +         ⎟
    ⎜                     n1 n2                                   n1 n2         ⎟     S = pooled standard deviation
    ⎝                   2                                       2               ⎠
                                                    = 100(1 − α )%
                                                                                                             S12 (n1 − 1) + S 2 ( n2 − 1)
                                                                                                                              2
                                                                                                  S=
        Catatan: Bila deviasi standar populasi σ tidak ada, dapat
        digantikan dengan deviasi standar sampel S
                                                                                                                     n1 + n2 − 2




                                                                                                                                                                               24
Uji Hipotesis tentang Perbedaan Rata-rata 2 Populasi                            Uji Hipotesis tentang Perbedaan Rata-rata 2
Independen dengan menggunakan Sampel Kecil.                                     Populasi Independen dengan menggunakan
Asumsi: Kedua Populasi terdistribusi Normal dan                                 Sampel Kecil. Asumsi: Kedua Populasi
Deviasi standar kedua populasi sama (lanjutan)                                  terdistribusi Normal dan Deviasi standar kedua
                                                                                populasi sama (lanjutan)
  H0: µ1 – µ2 = µ0 vs H1: µ1 – µ2 > µ0
                                                                                  H0: µ1 – µ2 = µ0 vs H1: µ1 – µ2 < µ0
                                          Distribusi t, df = n1 + n2 - 2                                                      Distribusi t, df = n1 + n2 - 2
                                                                                     R: t < -tα
                                               R: t > tα

                          1-α                          α                                   α                     1-α

                                                           t
                           0                                                                                                                 t
                                          tα                                                                     0
                                                                                                   − tα




Uji Hipotesis tentang Perbedaan Rata-rata 2 Populasi                            Selang Kepercayaan 100(1-α)% Perbedaan Rata-rata 2
Independen dengan menggunakan Sampel Kecil. Asumsi:                             Populasi Independen µ1 – µ2 dengan menggunakan
Kedua Populasi terdistribusi Normal dan Deviasi standar                         Sampel Kecil. Asumsi: Kedua populasi terdistribusi normal
kedua populasi sama (lanjutan)                                                  dan deviasi standarnya sama
  H0: µ1 – µ2 = µ0 vs H1: µ1 – µ2 ≠ µ0                                                            ⎛                            ⎞
                                                                                                  ⎜ ( X 1 − X 2 ) ± tα S 1 + 1 ⎟           Derajat bebas t adalah
                                                                                                  ⎜                      n1 n2 ⎟
                                         Distribusi t, df = n1 + n2 - 2                           ⎝                  2         ⎠           n1 + n2 -2

            R                                      R                            Artinya:

       α                                               α           R : t > tα    ⎛                       1 1                                    1 1            ⎞
                                1-α                                             P⎜ ( X 1 − X 2 ) − t α S
                                                                                 ⎜                         +   ≤ µ1 − µ 2 ≤ X 1 − X 2 ) + t α S   +            ⎟
                                                                                                                                                               ⎟
        2                                              2                    2    ⎝                   2   n1 n2                              2   n1 n2          ⎠
                                                               t                                                                 = 100(1 − α )%
                − tα           0           tα
                   2                           2



 Catatan: sebagai alternatif, metode nilai p juga dapat digunakan




                                                                                                          Row   Jakarta   Bandung
Contoh Uji Hipotesis Perbedaan Rata-rata 2                                                                  1
                                                                                                            2
                                                                                                                    5.6
                                                                                                                    7.1
                                                                                                                              8.1
                                                                                                                              7.9
Populasi dengan menggunakan Sampel                                              Data                        3       6.8       5.4
                                                                                                            4      10.2       4.5
Kecil                                                                                                       5      12.5       5.6
                                                                                                            6      13.5       6.8
  Sebuah laporan menyebutkan bahwa rata-rata                                                                7       6.8       9.2

  gaji bulanan direktur bank di Jakarta lebih tinggi                                                        8
                                                                                                            9
                                                                                                                    5.8
                                                                                                                    9.9
                                                                                                                              8.1
                                                                                                                              7.2
  dari pada di Bandung. Untuk menyelidiki                                                                  10      10.2       4.5
  kebenaran hal ini, seorang peneliti                                                                      11
                                                                                                           12
                                                                                                                   15.6
                                                                                                                    7.7
                                                                                                                              5.2
                                                                                                                              6.8
  mengumpulkan data yang diambil secara acak                                                               13       9.8       6.7
  di Jakarta dan di Bandung, sebagaimana                                                                   14       6.8       5.7

  tercantum dalam data berikut (dalam juta                                                                 15
                                                                                                           16
                                                                                                                    5.8
                                                                                                                    6.8
                                                                                                                              5.8
                                                                                                                              5.8
  rupiah). Dengan menggunakan taraf                                                                        17       8.9      10.3
  keterandalan α = 5%, kesimpulan apa yang                                                                 18
                                                                                                           19
                                                                                                                    9.4
                                                                                                                   10.5
                                                                                                                              4.5
                                                                                                                              5.8
  dapat ditarik mengenai laporan tersebut di atas.                                                         20      12.6      10.2
                                                                                                           21                 9.8
                                                                                                           22                 5.8
                                                                                                           23                 5.5
                                                                                                           24                 5.6
                                                                                                           25                 7.2




                                                                                                                                                                    25
Solusi (asumsi: gaji bulanan direktur bank di                        Solusi (asumsi: gaji bulanan direktur bank di
Bandung dan Jakarta terdistribusi normal)                            Bandung dan Jakarta tidak terdistribusi normal)
Ho: µJ – µB = 0 vs H1: µJ – µB > 0                                   -> Statistika Nonparametrik
                                                                     Ho: µJ – µB = 0 vs H1: µJ – µB > 0

Two-sample T for j vs b                                              Mann-Whitney Test and CI: Jakarta, Bandung

     N         Mean          StDev   SE Mean                         Jakarta    N = 20      Median =       9.150
j   20         9.12           2.83      0.63                         Bandung    N = 25      Median =       5.800
b   25         6.72           1.75      0.35                         Point estimate for ETA1-ETA2 is       2.100
                                                                     95.2 Percent CI for ETA1-ETA2 is (0.899,3.800)
Difference = mu j - mu b                                             W = 593.5
Estimate for difference: 2.395                                       Test of ETA1 = ETA2 vs ETA1 > ETA2 is significant at
95% lower bound for difference: 1.240                                   0.0012
T-Test of difference = 0 (vs >): T-Value = 3.48 P-Value =            The test is significant at 0.0012 (adjusted for ties)
   0.001 DF = 43
Both use Pooled StDev = 2.29                                         Kesimpulan: tolak Ho: µJ – µB = 0. Jadi: laporan bahwa
Kesimpulan: tolak Ho: µJ – µB = 0. Jadi: laporan bahwa                  rata-rata gaji bulanan direktur bank di Jakarta lebih
   rata-rata gaji bulanan direktur bank di Jakarta lebih                tinggi dari pada di Bandung didukung data.
   tinggi dari pada di Bandung didukung data.




Uji Hipotesis tentang Perbedaan Rata-rata 2
                                                                     Contoh Aplikasi. Uji Hipotesis tentang
Populasi Terkait (related) dengan menggunakan
Sampel Kecil. Asumsi: Perbedaan tersebut
                                                                     Perbedaan Rata-rata 2 Populasi Terkait
Terdistribusi Normal                                                 (related) dengan menggunakan Sampel
                                         Banyak data: n pairs        Kecil
                                                                       Sebuah lembaga kursus Bahasa Inggris mengklaim
                                                                       bahwa apabila seseorang mengikuti kursus selama 2
                                                                       bulan di lembaga tersebut, maka nilai TOEFL orang
         Populasi
                                         Sampel 1         Sampel 2
                                                                       tersebut akan meningkat sedikitnya 30. Untuk menguji
    Yang Terkait (related)                                             klaim tersebut, 11 orang diukur nilai TOEFL mereka
                                                                       sebelum dan sesudah mengikuti kursus Bahasa Inggris
                                                                       di lembaga tersebut. Data terlampir. Dengan
                                                                       menggunakan α = 10%, kesimpulan apakah yang dapat
                                         “Before”         “After”
                                                                       ditarik mengenai klaim lembaga tersebut? Asumsikan
     Hitung d = perbedaan antara before dan after untuk                perbedaan nilai TOEFL seblm dan sesdh kursus
     setiap pasang data. Selanjutnya, lakukan uji t 1 sampel           terdistribusi normal
     dengan data d tersebut.




Data              Row     Krywan     Before     After          D

                    1     Adi            450        470      20
                    2     Budi           503        535      32
                    3     Cica           400        433      33
                    4     Dedi           435        450      15
                    5     Edi            370        450      80
                    6     Feri           550        570      20
                    7     Gina           525        555      30
                    8     Hedi           378        410      32
                    9     Iwan           440        480      40
                   10     Joni           510        555      45
                   11     Kia            522        535      13
                   12     Lena           533        566      33

    D = after - before
    Untuk menghitung D, Calc -> Calculator




                                                                                                                                26
MINITAB: Stat -> Basic Statistics -> 1 Sample t
                                                                                        Output MINITAB
                                                                                     T-Test of the Mean

                                                                                     Test of mu = 30.00 vs mu > 30.00

                                                                                     Variable      N        Mean     StDev       SE Mean      T               P
                                                                                     D            12       32.75     17.77          5.13   0.54            0.30



                                                                                       Nilai p = 0.30 dan α = 0.10. Ternyata nilai p > α, maka terima H0.
                                                                                       Kesimpulan: klaim lembaga kursus Bahasa Inggris bahwa
                                                                                       setelah kursus peningkatan nilai TOEFL sedikitnya 30, tidak
                                                                                       didukung data.




Estimasi Interval untuk d, sampel kecil.
Asumsi: Populasi terdistribusi Normal
    Selang kepercayaan                                                      sd
    100(1-α)% untuk d                                   d ± tα
                                                                   , n −1    n
    pada sampel kecil:                                         2


    Artinya:
                       ⎛
                      P⎜ d − t α
                       ⎜
                                        sd
                                           ≤ d ≤ d + tα
                                                               sd ⎞
                                                                  ⎟ = 100(1 − α )%                           Bagian 9
                       ⎝       2
                                 , n −1  n            2
                                                        , n −1  n⎟⎠
                                           distribusi t dengan df = n-1
α                                                                                                            Anova
                                                           α
2
                                                           2
                         1-α


                                                               t
      − tα                0              tα
             , n −1                            , n −1
         2                                 2




Anova Satu Arah (One Way Anova)                                                         Anova Satu Arah (lanjutan)
    Membandingkan C (>2) populasi independen                                                Populasi 1              Populasi 2               Populasi C

    (completely randomized design)                                                          Varians σ2              Varians σ2                Varians σ2
    Asumsi:                                                                                                                          …..
                                                                                          Rata-rata = µ1           Rata-rata = µ2            Rata-rata = µC
      Populasi terdistribusi normal
      Sampel diambil secara acak dari masing-masing
      populasi
      Varians semua populasi sama
    H0: µ1 = µ2 = µ3 = …… = µC
    H1: sedikitnya ada 1 rata-rata populasi yang                                            Sampel 1                 Sampel 2                 Sampel C
    berbeda                                                                                                                          …..
                                                                                            Ukuran n1                Ukuran n2                Ukuran nc




                                                                                                                                                                  27
   Anova Satu Arah (lanjutan)                                                             Contoh Aplikasi Anova Satu Arah

          Source                 DF            SS             MS                F           Untuk mengetahui apakah ada pengaruh
                                                                                            kemasan suatu produk kecantikan terhadap
        Treatment (C
                                 C-1           SSC       MSC =
                                                                   SSC
                                                                           F=
                                                                                    MSC     penjualannya, sebuah pabrik alat-alat
                                                                   C −1
         =Column)                                                                   MSE     kecantikan melakukan pengujian dengan
                                                         MSE =
                                                                   SSE                      membuat 4 macam kemasan, yaitu A, B, C, D.
           Error                 N–C           SSE                 N -C                     Penjualan selama beberapa bulan (dalam juta
          Jumlah                 N–1           SST                                          rupiah) untuk masing-masing kemasan dicatat
                                                                                            (terlampir). Dengan menggunakan α = 5%,
                           C
                                                                                            kesimpulan apakah yang dapat ditarik?
    Catatan:       N = ∑ ni
                          i =1
                   Derajat bebas F adalah C-1 (pembilang) dan N-C
                   (penyebut)




                                                          Row       Sale       Tr
   Data                                                        1          15    1
                                                                                          MINITAB: Stat -> ANOVA -> One Way
                                                               2          11    1
                   A      B       C     D                      3
                                                               4
                                                                          10
                                                                           9
                                                                                1
                                                                                1
                   15      8       11     14                   5
                                                               6
                                                                           8
                                                                           8
                                                                                2
                                                                                2
                                                               7           7    2
                   11      8       11     11                   8           9    2
                                                               9          11    2
                   10      7        8     10                  10           8    2
                                                              11          11    3
                    9      9        8      9                  12          11    3
                                                              13           8    3
                          11        9     11                  14           8    3
                                                              15           9    3
                           8       10     12                  16          10    3
                                                              17          14    4
                                          12                  18          11    4
                                                              19          10    4
                                          10                  20
                                                              21
                                                                           9
                                                                          11
                                                                                4
                                                                                4
                                                              22          12    4
                                                              23          12    4
                                                              24          10    4




   Output MINITAB
One-Way Analysis of Variance
                                                                                          Dengan Metode Nilai Kritis Fα
Analysis of Variance for Sale
                                                                                            Distribusi F
                                                                                              f (F )
Source     DF        SS         MS                F       P                                                           F dengan derajat
Tr          3     31.21     10.40              3.67   0.029                                                           bebas = C-1 dan N-C
Error      20     56.62       2.83
Total      23     87.83
                                          Individual 95% CIs For Mean                                                        R: F > Fα
                                          Based on Pooled StDev
Level        N        Mean        StDev   -----+---------+---------+---------+-
1            4      11.250        2.630               (--------*--------)
2            6       8.500        1.378   (------*-------)                                                                        α
3            6       9.500        1.378        (------*-------)
4            8      11.125        1.553                 (------*-----)                                     1-α
                                          -----+---------+---------+---------+-
Pooled StDev =         1.683                 8.0      10.0      12.0      14.0                  0                       Fα
  Dengan metode nilai p:                                                                   Pada contoh ini: F = 3.67 dan F0.05 = 3.0984 untuk
  Nilai p = 0.029, sedangkan α = 0.05, sehingga nilai p < α. Tolak H0.
  Artinya sedikitnya ada satu rata-rata penjualan produk kecantikan yang
                                                                                           derajat bebas 3 dan 20. Karena F > F0.05, maka
  berbeda dengan yang lainnya                                                              tolak H0 (sama dengan kesimpulan di atas)




                                                                                                                                                28
 Anova Dua Arah (Two Way Anova)                                                                 Anova Dua Arah (lanjutan)
    Membandingkan C (>2) populasi sekaligus                                                                                         Variabel Independen Tunggal
    membandingkan efek blok (randomized block design)
    Asumsi:
         Populasi terdistribusi normal
                                                                                                                                                               .




                                                                                                  Variabel Blocking
         Sampel diambil secara acak dari masing-masing populasi
         Varians semua populasi sama
                                                                                                                                                               .
    H0: µ1 = µ2 = µ3 = …… = µC
     H1: sedikitnya ada 1 rata-rata treatment yang berbeda
                                                                                                                                                               .
    denga yang lain                                                                                                             .          .         .         .   .
    H0: µ1 = µ2 = µ3 = …… = µR
     H1: sedikitnya ada 1 rata-rata blok yang berbeda
    dengan yang lain
                                                                                                                                                               .
                                                                                                            Catatan: Setiap sel hanya berisi satu pengamatan




 Anova Dua Arah (lanjutan)
                                                                                                Contoh Aplikasi Anova Dua Arah
    Source              DF             SS               MS                          F
                                                             SSR                MSR               Untuk mengetahui apakah ada pengaruh kemasan
Block (R =Row)         R-1             SSR       MSR =                     F=                     (warna dan ukuran kemasan) suatu produk kecantikan
                                                             R −1               MSE               terhadap penjualannya, sebuah pabrik alat-alat
 Treatment (C                                                SSC                    MSC           kecantikan melakukan pengujian dengan membuat
                       C-1             SSC        MSC =                    F=                     kemasan berwarna: merah, kuning, biru, dan hijau
  =Column)                                                   C −1                   MSE           dengan ukuran kemasan kecil, sedang, dan besar.
                                                             SSE                                  Banyaknya produk kecantikan yang terjual selama satu
      Error          (C-1)(R-1)        SSE       MSE =
                                                         (C - 1)(R - 1)                           minggu untuk masing-masing kemasan dicatat
                                                                                                  (terlampir). Dengan menggunakan α = 5%, kesimpulan
     Jumlah            N–1             SST                                                        apakah yang dapat ditarik mengenai pengaruh ukuran
                                                                                                  kemasan? Kesimpulan apa pula yang dapat ditarik
• N = RC = total banyaknya data yang diamati                                                      mengenai pengaruh warna kemasan?
• Untuk pengujian efek Blok: derajat bebas F adalah R-1 (pembilang) dan
(C-1)(R-1) (penyebut)
• Untuk pengujian efek Treatment: derajat bebas F adalah C-1
(pembilang) dan (C-1)(R-1) (penyebut)




 Data                                                                                           MINITAB: Stat -> ANOVA -> Two Way


                                                  Row     NSale           Ukuran        Warna
            Merah    Kuning    Biru Hijau
                                                    1            6              1          1
                                                    2            7              2          1
                                                    3            9              3          1
 Kecil         6        5         6          7      4            5              1          2
                                                    5            9              2          2
                                                    6            8              3          2
                                                    7            6              1          3
Sedang         7        9         6          8      8            6              2          3
                                                    9           10              3          3
                                                   10            7              1          4
                                                   11            8              2          4
 Besar         9        8         10        12     12           12              3          4




                                                                                                                                                                       29
Output MINITAB
  Two-way Analysis of Variance                                            Topik-topik Lanjut
  Analysis of Variance for NSale
  Source
  Ukuran
                DF
                 2
                          SS
                       28.50
                                    MS
                                 14.25
                                                        F
                                                     9.00
                                                                   P
                                                               0.016
                                                                           Regresi Linear Sederhana
  Warna
  Error
                 3
                 6
                        6.25
                        9.50
                                  2.08
                                  1.58
                                                     1.32      0.353
                                                                           Regresi Berganda
  Total         11     44.25
                                                                           Deret Waktu
 Efek Blok (ukuran kemasan): F = 14.25/1.58 = 9.00. F0.05 = 5.1433
                                                                           Statistika Nonparametrik
 untuk df = 2 dan 6. Jadi F > F0.05, kesimpulan: Tolak H0. Artinya: ada
 pengaruh ukuran terhadap penjualan.                                       dan lain-lain
 Efek Treatment (warna kemasan): F = 2.08/1.58 = 1.32. F0.05 =
 4.7571 untuk df = 3 dan 6. Jadi F < F0.05, kesimpulan: Pertahankan
 H0. Artinya: tidak ada pengaruh warna kemasan terhadap penjualan
 Metode nilai p juga akan menghasilkan kesimpulan yang sama.




Daftar Pustaka
 Black, K. 2003. Business Statistics for
 Contemporary Decision Making. 4th Ed.
 West Publishing Co.
 MINITAB, Inc. 2003. Meet MINITAB
                                                                           Terima kasih
 Release 14 for Windows
 Lind, D.A. 2002. Basic Statistics for
 Business and Economics . 4nd Ed.
 McGraw-Hill Companies




                                                                                                      30

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Stats:
views:407
posted:10/10/2011
language:Indonesian
pages:30
Description: Statistika dasar