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Finanzmathematik - IFIP

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					                                           Zinsrechnung


Arbeitsblatt 1 zur Vorlesung "Finanzmathematik": Zinsrechnung

Bezeichnung                      Symbole       EXCEL-Funktionen bzw. -Parameter

Anfangskapital                   K0            BW (Barwert)
Endkapital                       Kn            ZW (Zukunftswert)
Zinssatz                         i             ZINS
Laufzeit                         n             ZZR (Zahlungszeiträume)
Rentenzahlung                    r             RMZ (Regelmäßige Zahlung)
(Renten-) Barwert                R0            BW (Barwert)
(Renten-) Barwert                R0            NBW (Nettobarwert, Kapitalwert)
(Renten-) Endwert                Rn            ZW (Zukunftswert)
Fälligkeit                                     F (default-Wert: 0 = nachschüssig)
Schätzwert (f. Zins)                           Schw (default-Wert: 10%)


Fragestellung und Rechenbeispiel               EXCEL-Funktion und Ergebnis

Endkapital                                     ZW(Zins; Zzr; Rmz;Bw;F)
n
i
K0




Anfangskapital                                 BW(Zins; Zzr; Rmz;Zw;F)
n
i
Kn




Zinssatz                                       ZINS(Zzr; Rmz;Bw;Zw;F;Schw)
n
K0
Kn




Laufzeit                                       ZZR(Zins; Rmz;Bw;Zw;F)
K0
i
Kn




Stetige Verzinsung: Endkapital                                     Kn = K0*exp(i*n)
n
i                                              monatl. Verzinsung (mit ZW-Formel):
K0
                                     Zinsrechnung


Stetige Verzinsung: Anfangskapital                  K0 = Kn*exp(-i*n)
n
i
Kn


Stetige Verzinsung: Zinssatz                         i= ln(Kn/K0)/n
n
K0
Kn


Stetige Verzinsung: Laufzeit                         n= ln(Kn/K0)/i
i
K0
Kn
                                           Unterjährig


Arbeitsblatt 1a: Nomineller, relativer, effektiver und konformer Zinssatz


Beispiel zu unterjähriger Verzinsung: Berechnung der Zinssätze

Nominaler Zinssatz:        11.00%

m                               2      4          12        360   stetig
Relativer Zinssatz
Effektiver Zinssatz
Konformer Zinssatz


unter Verwendung der Funktionen EFFEKTIV und NOMINAL

irel = inom/m

ieff = EFFEKTIV(inom; m)

ikon = NOMINAL(inom; m)/m




                                             Seite 3
                                    Rentenrechnung


Arbeitsblatt 2 zur Vorlesung "Finanzmathematik": Rentenrechnung


Fragestellung und Rechenbeispiel                     EXCEL-Funktion und Ergebnis

Rentenendwert                                        ZW(Zins; Zzr; Rmz;Bw;F)
n
i
r


(Renten) Barwert                                     BW(Zins; Zzr; Rmz;Zw;F)
n
i
r


Gleichbleibende Rente                                RMZ(Zins;Zzr;BW;Zw;F)
n
i
Rn


Gleichbleibende Rente                                RMZ(Zins;Zzr;BW;Zw;F)
n
i
R0


Zinssatz                                             ZINS(Zzr; Rmz;Bw;Zw;F;Schw)
n
r
Rn


Zinssatz                                             ZINS(Zzr; Rmz;Bw;Zw;F;Schw)
n
r
R0


Zahlungszeitraum                                     ZZR(Zins; Rmz;Bw;Zw;F)
r
i
Rn


Zahlungszeitraum                                     ZZR(Zins; Rmz;Bw;Zw;F)
r
i
R0
                                            Rentenrechnung


Ewige Rente                                                  Barwert R0 = r/i
r
i


Einheitswert
r                                                     1
R0                                                   18

Variante 1: unendliche Nutzung   i = r/R0                                       5.56%

Variante 2: 50 Jahre Nutzung     Funktion ZINS                                  5.09%
       Rentenrechnung




nach

vor




nach

vor
     Abbildung: Zeitstruktur einer endlichen nachschüssigen Rente



             R1       R2        R3       R4        R5               Rn-1   Rn

             r1        r2       r3       r4        r5               rn-1   rn
0


                                                                                t

0            1         2        3         4        5                n-1    n




     Abbildung: Zeitstruktur einer endlichen vorschüssigen Rente


             R1       R2        R3       R4        R5               Rn-1   Rn

             r2        r3       r4       r5        r6                rn
r1


                                                                                t

0            1         2        3         4        5                n-1    n
Rentenendwertfaktor                              (qn -1)/i




n                        2.50%        5.00%                  7.50%               10.00%
           1           1.00000      1.00000
           2           2.02500      2.05000
           3           3.07563      3.15250
           4           4.15252      4.31013
           5           5.25633      5.52563
           6           6.38774      6.80191
           7           7.54743      8.14201
           8           8.73612      9.54911
           9           9.95452     11.02656
          10          11.20338     12.57789
          20          25.54466     33.06595
          30          43.90270     66.43885




Fehler bei der Anwendung der ewigen Rente als Schätzmethode

r                      720,000                                       Barwert
i                       6.00%    Laufzeit         ewige Rente           Rentenbarwert     Fehler in %

                                             5      12,000,000                3,032,902         296%
                                            10      12,000,000                5,299,263         126%
                                            15      12,000,000                6,992,819          72%
                                            20      12,000,000                8,258,343          45%
                                            25      12,000,000                9,204,016          30%
                                            30      12,000,000                9,910,678          21%
                                            35      12,000,000               10,438,737          15%
                                            40      12,000,000               10,833,334          11%
                                            45      12,000,000               11,128,199           8%
                                            50      12,000,000               11,348,540           6%
                                            55      12,000,000               11,513,191           4%
                                            60      12,000,000               11,636,228           3%
                                                         Variable Renten


Arbeitsblatt 3 zur Vorlesung "Finanzmathematik": variable Renten


Variable Zahlungsströme: Rentenendwert                                                              Rn = qn.S(rt.q-t)

                i         6.50%
                                                     zwei Alternativen:
                                                    -t
         Periode    Einzahlung               rt.q              NBW(Zins; Wert1;Wert2)
               1         1,200
               2         2,100
               3         1,700
               4             0
               5         2,600
         Summe:          7,600

                q         1.065




Variable Zahlungsströme: Rentenbarwert                                                                 R0 =S(rt.q-t)

                i         4.50%
                                                     zwei Alternativen:
         Periode    Einzahlung               rt.q-t            NBW(Zins; Wert1;Wert2)
               1        18,000
               2        24,000                                                                      Achtung:
               3        28,000                                                                   Zahlungen immer
               4        24,000                                                                    nachschüssig!
         Summe:         94,000

                q         1.045


    Beispiel: Barwert einer Investition und deren Erträge, Zinssatz 8%
    (die Investitionszahlung findet am Anfang der ersten Periode statt,
    die Erträge fallen am Ende des jeweiligen Jahres an)

                               i             0.08

                                                    -t
         Periode       Zahlung               rt.q
               0        -40,000
               1          8,000
               2          9,200
               3         10,000
               4         12,000                                 alternativ (mit NBW-Funktion):
               5         14,500
                                                                              Investition                -40,000.00
                                                                      Barwert der Erträge                 41,922.06

                q           1.08                                                    Summe                  1,922.06
                                               Variable Renten




Arithmetisch fortschreitende Zahlungsströme: Rentenendwert




      Differenz d           110
                r         1,000
                i        4.00%
                n             4
                q          1.04

    2. Möglichkeit: über Berechnung einer sich regellos ändernden Rente
               1
               2
               3
               4




Geometrisch fortschreitende Zahlungsströme: Rentenendwert

                                                wenn q ungleich g:        Rn = r.(qn - gn)/(q-g)
      Quotient g           1.10
               r          1,000
               i         4.00%
               n              4
               q           1.04                 wenn q = g:                        Rn = r.n.qn-1

                                                (z.B. Wachstumsrate
                                                und Zinssatz je 4%,
                                                also g=q=1,04)

    2. Möglichkeit: über Berechnung einer sich regellos ändernden Rente
               1
               2
               3
               4
Anwendung des Newton-Verfahrens

Arithmetisch fortschreitende Zahlungsströme: Laufzeit



r              1,000
i                0.06
Rn            22,000
d                  50




     k        nk            f(nk)        f'(nk)         nk+1
         0    15.0000    8172.611456     3,433.59       12.61981
         1    12.6198    672.8205495     2,881.01       12.38627
         2    12.3863    5.875298453     2,830.81       12.38420
         3    12.3842    0.000459833     2,830.37       12.38420
         4    12.3842              0     2,830.37       12.38420
         5    12.3842              0     2,830.37       12.38420
                                                    Tilgungsrechnung


Arbeitsblatt 4 zur Vorlesung "Finanzmathematik": Tilgungsrechnung



Ratentilgung                                                                            T1=T2=...=Tn

Kredit K0                     300,000
i                              7.00%
n                                   8

                    Kt = Kt-1 - Tt         Zt = i*Kt-1              Tt = K0/n            At = Zt + Tt

       Jahr             Schuldbetrag            Zinsbetrag             Tilgungsrate             Annuität

            0                 300,000
            1
            2
            3
            4
            5
            6
            7
            8

                                                             Gesamtkosten:


Annuitätentilgung                                                                       A1=A2=...=An

Kredit K0                     300,000
i                              7.00%
n                                   8

                    Kt = Kt-1 - Tt         Zt = i*Kt-1              Tt = At - Zt      At = RMZ(i; n; K0)

       Jahr             Schuldbetrag            Zinsbetrag             Tilgungsrate             Annuität

            0                 300,000
            1
            2
            3
            4
            5
            6
            7
            8
                Beträge jeweils am Ende der Periode t!       Gesamtkosten:


Berechnung ohne Tilgungsplan:
                                                             t=                                         3

                                                             Kt =
Tilgungsrechnung



      t=           8

      Tt =
Arbeitsblatt 4a: Unterjährige Tilgungsrechnung


Beispiel:
Ein Kredit von € 100.000.- soll mit 8% p.a. verzinst werden. Dieser Kredit soll durch vierteljährige Annuitäten
in der Höhe von € 3.000.- zurückgezahlt werden. Geben Sie den Tilgungsplan bis zum Ende des 4. Jahres an!


Lösung:
Berechnung des konformen Quartalszinssatzes                            ikonf =                                     1.943%
(siehe Blatt "Unterjährig"):

                                                Kt = Kt-1 - Tt                   Zt = i*Kt-1              Tt = At - Zt            vorgegeben

              Jahr                Quartal           Schuldbetrag                      Zinsbetrag              Tilgungsrate                Annuität

                 0                                       100,000
                 1                       1
                                         2
                                         3
                                         4
                 2                       1
                                         2
                                         3
                                         4
                 3                       1
                                         2
                                         3
                                         4
                 4                       1
                                         2
                                         3
                                         4
                                                                 ...                                ...                  ...                    ...


Beispiel:
Ein Kredit von € 12.000.- soll mit 7,6% p.a. verzinst werden. Dieser Kredit soll durch 48 Monatsraten zurückgezahlt werden.
Bestimmen Sie die Restschuld nach 24 Monaten und geben Sie den Tilgungsplan an!


Lösung:
Berechnung des konformen Monatszinssatzes                                                      ikonf =             0.612%
(siehe Blatt "Unterjährig"):                                                                     irel =

                                                Kt = Kt-1 - Tt                   Zt = i*Kt-1              Tt = At - Zt         At = RMZ(i; n; K0)

              Jahr                 Monat            Schuldbetrag                      Zinsbetrag              Tilgungsrate                Annuität

                 0                                         12,000
                 1                      1
                                        2
                                        3
                                        4
                                        5
                                        6
                                        7
                                        8
                                        9
                                       10
                                       11
                                       12
                 2                      1
                                        2
                                        3
                                        4
                                        5
                                        6
                                        7
                                        8
                                        9
                                       10
                                       11
                                       12
                 3                      1
                                        2
                                        3
                                        4
                                        5
                                        6
                                        7
                                        8
                                        9
                                       10
                                       11
                                       12
                 4                      1
                                        2
                                        3
                                        4
                                        5
                                        6
                                        7
                                        8
                                        9
                                       10
                                       11
                                       12

				
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posted:10/1/2011
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