Docstoc

modul aljabar linier

Document Sample
modul aljabar linier Powered By Docstoc
					                             MODUL

                             Aljabar Linear




                                Disusun oleh :
                             Vivi Aida Fitria, S.Si




SEKOLAH TINGGI MANAJEMEN INFORMATIKA DAN KOMPUTER
                                   MALANG
                                     2011

Pertemuan 1 Aljabar Linear                            Page 1
Pertemuan 1
POKOK BAHASAN                : PENDAHULUAN DAN VEKTOR
TIU                          : Agar mahasiswa dapat memahami tentang:
                               1. Vektor secara ilmu ukur
                               2. Operasi pada vektor
                               3. Vektor di dalam ruang berdimensi banyak
Sub Pokok Bahasan            : 1. Pengertian cakupan materi & aplikasi aljabar linier
                              2. Difinisi Vektor
                              3. Vektor secara ilmu ukur
                              4. Operasi pada vektor
                              5. Vektor di dalam ruang berdimensi n
TIK                          : Agar mahasiswa mampu dan bisa:
                               1. Memahami Pengertian aljabar linier
                               2. Memahami Definisi Vektor
                               3. Menjelaskan pengertian vektor
                               4. Menyatakan suatu vektor secara ilmu ukur
                               5. Menemukan hasil dari suatu operasi yang dilakukan
                                   terhadap dua vektor atau lebih
                               6. Menjelaskan pengertian dalam ruang berdimensi satu dua,
                                   tiga dan n
                               7. Menyatakan suatu vektor dalam susunan koordinat ruang
                                   berdimensi satu, dua dan tiga
PEMBAHASAN
   1. Perkenalan dan kesepakatan
      Penilaian : 5% kehadiran + 10% tugas + 10% Kuis + 30% UTS + 45% UAS
      Keterlambatan :…….
      Ketidakhadiran di atas 75% tidak dapat mengikuti UAS maka dinyatakan tidak lulus.
      Buku :
      1 . Hadley, G., Linier Algebra, Addison-Wesley, Reaching, Mass., 1974
      2 . Ayres, F., Linier Algebra, Schaum’s Outline Series.
      3 . Leon, Steven J,Aljabar Linier dan Aplikasinya, Erlangga,2001.
      4. Budnick, Fran S, Applied mathematicts for business Economics and the Sciences,
         4th edition Mc-Graw-Hill, Inc, New York (1993).
      Bab yang akan dibahas di semester ini :
         NO                          POKOK BAHASAN
          1.    Pendahuluan dan Vektor
          2.    Ruang Vektor
          3.    Matriks
          4.    Determinan
          5.    Matriks Invers
          6.    Sistem persamaan linier
          7.    Transformasi Linier


Pertemuan 1 Aljabar Linear                                                        Page 2
      14 pertemuan : 1-4 (pendahuluan dan vektor, ruang vektor, matriks)
                     5 : kuis (open book)
                     6 : matriks
                     7 : review persiapan UTS
                     UTS ( 30 Mei – 5 Juni 2011)
                     8-13 (determinan, matriks invers, SPL, transformasi linear) +kuis 2
                     14 : review persiapan UAS + pengumuman mahasiswa yang tidk perlu
                     mengikuti UAS (1-7 Agustus 2011)
      Jika kehadiran minimal 80% (11 pertemuan) + kuis 1 & 2 dg nilai A (< 85) + tugas dg
      nilai A (100) maka diperbolehkan tidak mengikuti UAS
   2. Pengertian Aljabar Linear
      Aljabar linear adalah bidang studi matematika yang mempelajari sistem persamaan
      linear dan solusinya, vektor, serta transformasi linear,matriks dan operasinya juga
      merupakan hal yang berkaitan erat dengan bidang aljabar linear. Aljabar linear adalah
      ilmu dasar untuk mempelajari mata kuliah selanjutny (pengolahan citra dan pola).
      Satu hal dalam gambaran warna dibuat oleh layar computer dibuat oleh layar
      komputer dengan menyiapkan setiap [pixel] (sebuah titik yang mempunyai alamat
      dalam layar) 3 angka yang menjelaskan hue, saturasi, dan kecerahan dari pixel. Lalu
      sebuah gambaran warna yang komplit bisa diliahat sebgai 5-topel dari bentuk v = (x,
      y, h, s, b) dalam x dan y adalah kordinat layar dari pixel dan h, s, b adalah hue,
      saturation, dan brightness.
   3. Memahami definisi vector
      Vektor dalam matematika merupakan besaran dengan arah tertentu
   4. Menjelaskan pengertian vector
      Vektor dinyatakan dalam pasangan berurutan bilangan riil
   5. Menyatakan suatu vektor secara ilmu ukur
      Vektor-vektor dapat dinyatakan secara geometris sebagai segmen – segmen garis
      terarah ataupun panah-panah di ruang-2 atau ruang-3; arah panah menentukan arah
      vektor dan panjang panah menyatakan besarnya. Ekor panah disebut titik awal
      (initial point) dari vektor, dan ujung panah dinamakan titik terminal (terminal point).




Pertemuan 1 Aljabar Linear                                                             Page 3
                               B




        A
               a                                     b
                         bb


                                             Gambar 1.1
      Pada gambar 1.1a, titik awal vector v adalah A da titik terminalnya adalah B, maka
      dituliskan
                    
             v=     AB
      Vektor – vektor yang mempunyai panjang dan arah yang sama, seperti pada gambar
      1.1b disebut ekivalen.
      Untuk menuliskan panjang vektor v digunakan notasi |v|
   6. Menemukan hasil dari suatu operasi yang dilakukan terhadap dua vektor atau lebih
      a.Penjumlahan Vektor
      Ada 2 metode yang dapat digunakan untuk menjumlahkan 2 buah vector
      a.1   Metode Jajaran Genjang

                                                          a+b



                   b


                         a

                                       Gambar 1.2
      Vektor hasil (resultant) yaitu a + b diperoleh dari diagonal jajaran genjang yang
      dibentuk oleh vektor a dan b setelah titik awal dan titik akhir ditempatkan berimpit.
      a.2   Metode Segitiga

                   a               b


                       a+b             Gambar 1.3


Pertemuan 1 Aljabar Linear                                                            Page 4
       Resultan diperoleh dengan menempatkan titik awal salah satu vektor pada titik ujung
       vektor yang lain, maka resultannya adalah vektor bertitik awal di titik awal a dan
       bertitik ujung di titik ujung b


       Catatan :


       1. Penjumlahan vektor bersifat komutatif, a + b = b + a
       2. Metode Segitiga baik sekali digunakan untuk menjumlahkan lebih dari 2 vektor.
           Misalnya a + b + c + d + e , maka resultannya adalah vektor dengan titik awal di
           titik awal vektor a dan bertitik ujung di titik ujung vektor e
       3. Pengurangan vektor a dan b adalah a – b = a + (-b)


       b. Perkalian Skalar
       Jika k adalah suatu skalar bilangan riil, a suatu vektor, maka perkalian skalar ka
       menghasilkan suatu vektor yang panjangnya |k| kali panjang a dan arahnya sama
       dengan arah a bila k positif atau berlawanan arah bila k negatif. Bila k = 0 maka ka
       =0 disebut vektor nol, yaitu vektor yang titik awal dan titik ujungnya berimpit.




               a          a


                   2a                                               -2a



                                              Gambar 1.4


Sifat perkalian scalar n vector :




Pertemuan 1 Aljabar Linear                                                                Page 5
      Hasil kali Skalar
      Misal ada dua vektor a,b dan ө adalah adalah sudut antara kedua vektor ,maka hasil
      kali scalar dan b adalah a.b = | || |
      Perhitungan vektor
      Diketahui a dan b vektor–vektor di ruang yang komponen – komponennya adalah a =
      ( a1,a2,a3 ) dan b = ( b1,b2,b3 )
      Maka
      a + b = (a1 +b1, a2+b2, a3+b3 )
      a b = (a1 – b1, a2 – b2, a3 – b3 )
      k . a = ( ka1, ka2, ka3 )
      Jika c = AB kemudian titik koordinat A = ( a1,a2,a3 ) dan B = ( b1,b2,b3 )
      maka
      c = (b1 a1 , b2 -a2, b3 -a3 )
   7. Menjelaskan pengertian dalam ruang berdimensi satu dua, tiga dan n
   8. Menyatakan suatu vektor dalam susunan koordinat ruang berdimensi satu, dua dan
      tiga
                                  1
   a. Ruang dimensi satu (R )




                         R                           O    P        E      A


                                  Gambar 1.5


      Titik O mewakili bilangan nol, titik E mewakili bilangan 1. Ditulis O(0), E(1), P( 2 5 )
      artinya P mewkili bilangan          2
                                              5   dan kita letakkan P sehingga OP =   2
                                                                                          5   satuan ke arah E
      (arah positif).



      b. Ruang dimensi dua (R2)

      Setiap pasangan bilangan riil (koordinat titik) dapat diwakili oleh sebuah titik pada
      suatu bidang rata, yang membentuk susunan koordinat di dalam ruang dimensi dua,
      ditulis R2.




Pertemuan 1 Aljabar Linear                                                                              Page 6
                        X2



                 D                A(1,2)


                 E2                              B(3,1)


                                                          X1
                    o            E1          C
                                             Gambar 1.6
      c. Ruang dimensi tiga (R3)



                            X3


                        C
                                           B(0,3,3)




                                                               X2




                A                     D



      X1



                                           Gambar 1.7


      d. Ruang dimensi n (Rn)
    Secara umum untuk Rn dimana n adalah bilangan bulat positif, suatu titik di dalam Rn
    dinyatakan sebagai n-tupel bilangan riil. Misalnya titik X(x1, x2, ...,xn)

    Vektor di dalam Ruang Rn


    Lebih dahulu kita pandang suatu susunan koordinat di R2. Suatu vektor disebut satuan
    bila panjangnya = 1.
    Kita ambil sekarang vektor satuan :

Pertemuan 1 Aljabar Linear                                                       Page 7
    e1 = OE1 yang titik awalnya O(0,0) dan titik ujungnya adalah E1(1,0)
    e2 = OE2 yang titik awalnya O(0,0) dan titik ujungnya adalah E2(0,1)


    Kemudian kita tulis       e1 = 1e1 + 0 e2
                              e2 = 0e1 + 1 e2

    Yang selanjutnya penulisan itu disingkat dengan
                              e1 = [1,0]
                              e2 = [0,1]


    Sekarang pandang vektor a yang titik awalnya O(0,0) dan titik ujungnya titik A(a1, a2).
    Vektor a disebut vektor posisi dari titik A.




                  a2e2                              A(a1, a2)



                    e2


                               e1                  a1e1


                              Gambar 1.8


    Bilangan – bilangan a1, a2 disebut komponen – komponen dari a
    Panjang vektor a adalah             2
                                a12  a 2

    Secara umum untuk vektor p yang titik awalnya P(p1, p2) dan titik ujungnya di Q(q1,
    q2 ) :

             PQ      =        (q1 – p1) e1 + (q2 – p2) e2
                     =        [(q1 – p1), (q2 – p2)]



    Kesimpulan (untuk Rn):

    1.   Vektor posisi dari titik A(a1, a2, …, an) adalah OA = [a1, a2, …, an]



Pertemuan 1 Aljabar Linear                                                          Page 8
    2.   Vektor bertitik awal di P(p1, p2, …, pn) dan bertitik ujung di Q(q1, q2, …, qn)
         adalah PQ = [q1 – p1, q2 – p2, … , qn – pn ]

    3.   Panjang vektor a = [a1, a2, …, an] adalah |a| =                      2            2
                                                                      a12  a 2  ....  a n

         Jarak 2 titik P(p1, p2, …, pn) dan Q(q1, q2, …, qn) adalah panjang vektor PQ yaitu :


             |PQ| =   (q1  p1 ) 2  ( p 2  q 2 ) 2  ....  ( p n  q n ) 2

    4.   Vektor – vektor satuan dari susunan koordinat adalah
         e1 = [1,0,0,…,0],
         e2 = [0,1,0,…,0],
         e3 = [0,0,1,0…,0], dst.


    Latihan :

 1. Carilah komponen – komponen vektor yang bertitik awal di P dan terminal di Q
    a.       P(3,5) dan Q(2,8)          b. P(6,5,8) dan Q(8, -7, -3)

 2. Carilah vektor yang bertitik awal P(2, -1, 4) yang mempunyai arah seperti v = [7,
    6, -3]

 3. Carilah vektor yang bertitik terminal Q(2, 0, -7) yang mempunyai arah berlawanan
    dengan v = [-2, 4, -1]

 4. Misalkan P adalah titik (2, 3, -2) dan Q adalah titik (7, -4, 1)
    a.   Carilah titik tengah dari segmen garis yang menghubungkan P dan Q
    b.   Carilah titik pada segmen garis yang menghubungkan P dan Q yang                       3
                                                                                                   4   dari P
         ke Q.

 5. Hitunglah panjang v bila
    a.   v = [3, 4]                     b.         v = [-8, 7, 4]

 6. Hitunglah jarak antara P dan Q bila
    a.   P(2,3) dan Q(7,8)                         b.        P(1, 1, 1) dan Q(6, -7, 3)




Pertemuan 1 Aljabar Linear                                                                             Page 9

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Categories:
Tags:
Stats:
views:1892
posted:9/16/2011
language:Indonesian
pages:9