FISICA III -LABORATORIO-
CARGA Y DESCARGA DE UN CAPACITOR
Giancarlo Callaoapaza Chávez
Universidad Privada del Norte Facultad de Ingeniería Industrial
e-mail: gianc_ch@hotmail.com internet: gianc-rz.blogspot.com
ABSTRACT:
En el desarrollo del análisis experimental que se llevó a cabo, se determinó el comportamiento de los procesos de carga y descarga de un capacitor, el cual se encontraba conectado en serie con un resistor y una fuente de alimentación utilizando como instrumentos de medición el multitester en las opciones correspondientes y el cronómetro. Se comprobó que el comportamiento de los datos obtenidos (voltaje y tiempo) toma la forma de curvas exponenciales así como también se dedujeron las ecuaciones de este fenómeno mediante la segunda ley de Kirchhoff y el cálculo infinitesimal, corroborándose las relaciones existentes entre estas ecuaciones matemáticas y el fenómeno mismo, Se calculó además las constantes de tiempo experimentales mediante regresión lineal y se determinó el error del mismo respecto a la constante de tiempo teórico RC medida previamente (la cual no se diferenciaba
sustancialmente de lo provisto por el fabricante), llegando a un error experimental
superior al 5 % permisible a pesar de la precisión en la toma de datos; este error se debe a que la placa de pruebas, un circuito pre armado, tenía fallos en su construcción ya que agregaba al sistema una resistencia adicional no deseada de aproximadamente 550 Ω, dificultando la tarea de análisis.
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1. FUNDAMENTO TEÓRICO:
Para comenzar con el experimento pasaremos a definir primero el fenómeno de carga y descarga de un capacitor en un circuito RC, conformado en este caso por un resistor y un capacitor conectados en serie a través de una fuente de alimentación con un voltaje terminal igual a la FEM de la batería, despreciando la resistencia interna de la misma, para poder simplificar el análisis presentado a continuación: CARGA DE UN CAPACITOR En la figura 1 pasaremos a mostrar un diagrama de este circuito para comenzar con el análisis.
Figura 01. Diagrama de circuito RC para la carga del capacitor Partimos de un sistema en el cual el capacitor esta inicialmente descargado, como el interruptor no cierra el circuito no existe corriente alguna en el sistema por lo que si definimos t=0 al cerrar el interruptor, la carga comenzara a recorrer por el circuito estableciendo una corriente en el mismo y el capacitor empezara a cargarse. Este proceso de carga del capacitor terminara cuando el mismo se encuentre a la misma diferencia de potencial que la mal llamada FEM E de la batería (debido a que la
denominación fuerza electromotriz no es correcta y a que en si no se está describiendo a una fuerza sino una diferencia de potencial proveniente de la fuente)
entrando en un estado estacionario al no existir corriente alguna recorriendo ninguna de las ramas que contiene el capacitor. Para describir cuantitativamente este proceso de carga que varía en el tiempo y en el cual la resistencia R del resistor influye aplicamos la segunda ley de Kirchhoff o ley de las mayas, el cual define lo siguiente: 2 JUNIO 03, 2008
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El cual señala que la suma de las diferencias de potencial aplicadas a todos los elementos que conforman un circuito cerrado debe ser igual a 0. Mediante esta ley obtenemos lo siguiente:
Donde E es la diferencia de potencial de la fuente, capacitor y
la diferencia de potencial del
la diferencia de potencial del resistor. Para la determinación de los
signos utilizamos la manera convencional, equívoca1 pero funcional de asignación de la dirección de la corriente, el cual señala que esta tiene la misma dirección que el flujo de la carga positiva, por lo tanto al recorrer del extremo derecho al izquierdo de la fuente tenemos un voltaje positivo, al recorrer del extremo inferior al superior del capacitor tenemos un voltaje negativo y al recorrer el circuito en la misma dirección que la corriente en el resistor el voltaje en el mismo es negativo teniendo el voltaje del circuito igual a 0 que necesitamos. Tenemos que tener presente que tanto capacitor. Ahora determinaremos los valores máximos tanto de la corriente como de la carga en el sistema. En t=0 como mencionábamos la tenemos: en el capacitor es igual a 0 por lo que al hacer la variación respectiva en nuestra ecuación de la segunda ley de Kirchoff como representan valores instantáneos, ya
que estos dependen del tiempo en el cual sucede tanto la carga como la descarga del
Es decir en el estado inicial, la diferencia de potencial presente en el resistor es la misma que en la fuente y por lo tanto la corriente presente en este estado del circuito es máxima.
1
Realmente la corriente sigue la dirección de la carga negativa (electrones) por las ramificaciones del circuito, solo que esta convención es una de las tantas malas costumbres como el término flujo de calor.
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Ahora en el otro extremo, cuando
la diferencia de potencial presente en el
capacitor será la misma2 que en la fuente y por lo tanto al no existir corriente (por ser despreciable por la tendencia al infinito en el tiempo) la diferencia de potencial aplicada al resistor resultar ser 0 y entonces la segunda ley de Kirchhoff aplicada a nuestra malla es:
Es decir, la diferencia de potencial aplicada en el capacitor es la misma que la de la fuente y por ende la carga del mismo es máxima. Ahora realizaremos un análisis de cómo varía la carga y la corriente en el tiempo en nuestro sistema para lo cual expresaremos la malla en términos infinitesimales y resolvemos la ecuación diferencial por variables separables y determinaremos la expresión final aplicando propiedades de logaritmos y exponenciales.
Y finalmente obtenemos la expresión de la carga en función del tiempo reacomodando esta última línea, llegando a lo siguiente:
2
Nunca llega a ser la misma, se considera así solo en términos prácticos ya que estrictamente a nivel teórico la ecuación no tiene solución, y en nuestro contexto esto significa que pase el tiempo que pase el voltaje del capacitor nunca será exactamente el mismo que el de la fuente.
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Ó
Para fines prácticos aplicados en el laboratorio podemos expresar la carga como el voltaje aplicado al capacitor en función del tiempo de la siguiente manera:
……..
(1)
Para hallar la corriente del sistema en tenemos que derivar la carga respecto del tiempo:
Para los fines prácticos aplicados en el laboratorio podemos expresar la corriente como el voltaje aplicado a la resistencia en función del tiempo de la siguiente manera:
…………
[2]
Una manera de relacionar el voltaje del capacitor y del resistor [1] y [2] de interés para el análisis tabular de datos obtenidos es el siguiente: En el voltaje de la ecuación (2) es , el mismo de la fuente de , como es deducible, dándonos alimentación y el voltaje de la ecuación (1) es la siguiente ecuación:
………. (3)
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FISICA III -LABORATORIODESCARGA DE UN CAPACITOR Una vez terminado el proceso de carga del condensador pasaremos a analizar la descarga del mismo en función del tiempo, para esto imaginemos que el condensador del circuito de la figura 1(cuyo interruptor debe cerrar el circuito) ahora esta totalmente cargado y no existe corriente alguna en el sistema (lo cual es una consecuencia simplemente); entonces pasaremos a abrir el interruptor y extraer del sistema la fuente de alimentación (todo esto se realiza mediante un selector, el cual es comúnmente usado para que ahora el circuito cerrado comprenda solo el capacitor cargado y el resistor original) resultando el diagrama de circuito siguiente:
Figura 02. Diagrama de un circuito RC para la descarga del capacitor Una vez que el circuito se encuentre cerrado por el interruptor comenzar a fluir corriente desde la placa positiva inferior del capacitor hacia la placa superior negativa del mismo, descargándose, pero a la vez esta corriente pasa a través del resistor por lo cual nuestra malla para este sistema es:
Tanto los valores de q como los de I son instantáneos, para ahora analizar la variación de la carga en el tiempo, expresamos la malla en términos infinitesimales de carga y mediante variables separables y propiedades de los logaritmos y exponenciales resolver la ecuación diferencial.
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Para fines prácticos aplicados en el laboratorio podemos expresar la carga el voltaje aplicado al capacitor en función del tiempo de la siguiente manera:
como
…………..
[4]
Para hallar la corriente del sistema tenemos que derivar la carga respecto del tiempo:
El signo menos en esta expresión no indica que la corriente es negativa, lo cual no existe, sino que la dirección de la corriente es inversa a la del proceso de carga del capacitor. Para los fines prácticos aplicados en el laboratorio podemos expresar la corriente como el voltaje aplicado a la resistencia en función del tiempo de la siguiente manera:
……………..
(5)
Una manera de relacionar el voltaje del capacitor y del resistor [4] y [5] que es de interés para el análisis tabular de los datos obtenidos es el siguiente:
………. (6)
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FISICA III -LABORATORIOCONSTANTE DE TIEMPO Podemos observar que en todas las expresiones hasta ahora desarrolladas se encuentra un término muy particular, el cual nos indica que si el tiempo llegará (36.79%) del
a ser igual a RC los procesos de carga y descarga tendrían el
valor máximo de la corriente máxima en el caso de la carga del capacitor, y de la
carga máxima y la corriente máxima en el caso de la descarga del capacitor y el
(63.21%) del valor máximo de la carga máxima del capacitor en el proceso
de carga del mismo. A este término RC [en segundos] que acabamos de mencionar y
utilizar para este análisis, se le conoce como la constante de tiempo.
2. MATERIALES, EQUIPO E INSTRUMENTOS Materiales
Cables eléctricos conectores Un condensador (C=3300 µF) Un resistor (R=4.66 kΩ)
Equipo
Placa de pruebas (circuito pre armado) Fuente de alimentación
Instrumentos
Multímetro digital Cronómetro (Precisión=±0.01)
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3. DATOS OBTENIDOS
CARGA DEL CAPACITOR TABLA 01: Datos experimentales del voltaje y el tiempo para el proceso de carga del condensador
N° de toma de datos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Voltaje capacitor (V) 0.02 3.25 4.42 5.00 5.89 6.55 7.16 7.50 8.23 8.25 8.78 9.16 9.79 10.10 10.47 10.82 11.05 11.30 11.96 0.00 5.1.0 7.41 8.68 10.47 12.31 14.40 15.34 18.09 18.46 20.60 22.57 26.25 28.69 31.75 35.81 39.19 43.35 70.22 Tiempo (s)
DESCARGA DEL CONDENSADOR TABLA 02: Datos experimentales del voltaje y el tiempo para el proceso de descarga del condensador
N° toma de datos 1 2 3 Voltaje capacitor (V) 12.13 10.54 9.13 0.00 2.75 5.25 Tiempo (s)
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FISICA III -LABORATORIO4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8.88 7.64 6.99 6.67 6.18 5.83 5.62 4.77 4.02 3.63 3.16 2.92 2.53 1.54 1.09 0.21 5.66 7.59 9.00 10.76 11.28 12.54 12.35 15.53 17.97 19.59 22.07 23.28 25.25 33.57 39.65 72.16
4. ANÁLISIS DE DATOS Y DISCUSIÓN
Se presenta un resumen de las ecuaciones deducidas previamente en la sección anterior para el análisis de datos correspondiente y después se realiza el cálculo correspondiente para las ecuaciones de regresión lineal de datos para la obtención de los RC experimentales.
Voltaje del capacitor en función del tiempo durante el proceso de carga
………..
(1)
Voltaje del resistor en función del tiempo durante el proceso de carga
……….
(3)
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FISICA III -LABORATORIOVoltaje del capacitor en función del tiempo durante el proceso de descarga
…………..
[4]
Voltaje del resistor en función del tiempo durante el proceso de descarga
……….
Regresión lineal para la obtención de capacitor
(6)
en el proceso de carga del
........
Donde
[7]
Regresión lineal para la obtención de capacitor
en el proceso de descarga del
……....
Donde
[8]
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FISICA III -LABORATORIOError experimental asociado a las constantes de tiempo experimental calculadas
…… [9]
Ahora pasaremos a realizar el análisis de los datos obtenidos en el laboratorio tanto para carga como para la descarga del capacitor.
CARGA DEL CONDENSADOR Utilizando los datos de la tabla 01 pasaremos a graficar el voltaje del capacitor durante el proceso de carga del mismo
V(t)Capacitor vs. T
14 12 10 Voltaje (V) 8 6 4 2 0 0 10 20 30 40 tiempo (s) 50 60 70 80
Gráfico 01. Voltaje del capacitor durante el proceso de carga en el tiempo Podemos verificar por el trazado de puntos la tendencia exponencial propuesta por la ecuación [1] Ahora se pasará a calcular el , para lo cual tenemos que reajustar los datos
de la tabla 01 para poder utilizar la regresión lineal definida mediante la ecuación [7]
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FISICA III -LABORATORIOTABLA 03: Datos experimentales del voltaje y el tiempo para el proceso de carga del condensador
N° de toma Voltaje (V) de datos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 0.02 3.25 4.42 5.00 5.89 6.55 7.16 7.50 8.23 8.25 8.78 9.16 9.79 10.10 10.47 10.82 11.05 11.30 11.96 0.00 5.1.0 7.41 8.68 10.47 12.31 14.40 15.34 18.09 18.46 20.60 22.57 26.25 28.69 31.75 35.81 39.19 43.35 70.22 Tiempo (s) FUENTE E (V) 12.17 12.17 12.17 12.17 12.17 12.17 12.17 12.17 12.17 12.17 12.17 12.17 12.17 12.17 12.17 12.17 12.17 12.17 12.17 (V) 2.50 2.19 2.05 1.97 1.84 1.73 1.61 1.54 1.37 1.37 1.22 1.10 0.87 0.73 0.53 0.30 0.11 -0.14 -1.56 (V) 2.50 2.50 2.50 2.50 2.50 2.50 2.50 2.50 2.50 2.50 2.50 2.50 2.50 2.50 2.50 2.50 2.50 2.50 2.50 (adimensional) 0.00164 0.31068 0.45128 0.52907 0.66160 0.77264 0.88754 0.95781 1.12779 1.13288 1.27814 1.39703 1.63187 1.77143 1.96835 2.19887 2.38565 2.63824 4.05962
Pasaremos a graficar los datos de la última columna en función del tiempo para poder hallar la pendiente de la recta determinada por la ecuación [7], la cual es el inverso del que estamos buscando.
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Ln[E/(E-V(t)capacitor)] vs. T
4.50000 4.00000 Ln[E/(E-V(t))] (Adimensional) 3.50000 3.00000 2.50000 2.00000 1.50000 1.00000 0.50000 0.00000 0 10 20 30 40 Tiempo (s) 50 60
y = 0.058x + 0.051
70
80
Gráfico 02. Regresión lineal para la determinación de
en el proceso de carga
Constante de tiempo para la carga aplicando la ecuación [7] es:
Constante de tiempo teórico del sistema
Ahora pasaremos a determinar el error asociado a esta parte del experimento aplicando la ecuación [9]
Utilizando los datos provistos por la tabla 01 podemos determinar la variación de la corriente de carga del capacitor mediante la variación del voltaje del resistor ya que ambas son proporcionales.
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FISICA III -LABORATORIOTABLA 04: Datos experimentales del voltaje y el tiempo para el proceso de carga del condensador y cálculo del voltaje del resistor en el tiempo
N° de toma de datos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Voltaje capacitor (V) 0.02 3.25 4.42 5.00 5.89 6.55 7.16 7.50 8.23 8.25 8.78 9.16 9.79 10.10 10.47 10.82 11.05 11.30 11.96 0.00 5.1.0 7.41 8.68 10.47 12.31 14.40 15.34 18.09 18.46 20.60 22.57 26.25 28.69 31.75 35.81 39.19 43.35 70.22 Tiempo (s) FUENTE E (V) 12.17 12.17 12.17 12.17 12.17 12.17 12.17 12.17 12.17 12.17 12.17 12.17 12.17 12.17 12.17 12.17 12.17 12.17 12.17 Voltaje resistor (V)* 12.15 8.92 7.75 7.17 6.28 5.62 5.01 4.67 3.94 3.92 3.39 3.01 2.38 2.07 1.70 1.35 1.12 0.87 0.21
*obtenido mediante la ecuación [3]
Ahora al graficar la variación del voltaje del resistor en el tiempo podremos visualizar esta proporcionalidad entre la corriente y el voltaje antes mencionada.
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V(t)resistor vs. T
14 12 10 Voltaje (V) 8 6 4 2 0 0 10 20 30 40 Tiempo (s) 50 60 70 80
Gráfico 03. Voltaje del resistor durante el proceso de carga en el tiempo DESCARGA DEL CONDENSADOR Utilizando los datos de la tabla 02 pasaremos a graficar el voltaje del capacitor durante el proceso de descarga del mismo.
V(t)capacitor vs. T
14 12 10 Voltaje (V) 8 6 4 2 0 0 10 20 30 40 Tiempo (s) 50 60 70 80
Gráfico 04. Voltaje del capacitor durante el proceso de descarga en el tiempo Podemos verificar por el trazado de puntos la tendencia exponencial propuesta por la ecuación [4].
16 JUNIO 03, 2008
FISICA III -LABORATORIOAhora se pasará a calcular el , para lo cual tenemos que reajustar los datos
de la tabla 02 para poder utilizar la regresión lineal propuesta mediante la ecuación [8]. TABLA 05: Datos experimentales del voltaje y el tiempo para el proceso de descarga del condensador
N° de toma Voltaje (V) de datos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 12.13 10.54 9.13 8.88 7.64 6.99 6.67 6.18 5.83 5.62 4.77 4.02 3.63 3.16 2.92 2.53 1.54 1.09 0.21 0.00 2.75 5.25 5.66 7.59 9.00 10.76 11.28 12.54 12.35 15.53 17.97 19.59 22.07 23.28 25.25 33.57 39.65 72.16 Tiempo (s) FUENTE E (V) 12.13 12.13 12.13 12.13 12.13 12.13 12.13 12.13 12.13 12.13 12.13 12.13 12.13 12.13 12.13 12.13 12.13 12.13 12.13 (V) 2.50 2.36 2.21 2.18 2.03 1.94 1.90 1.82 1.76 1.73 1.56 1.39 1.29 1.15 1.07 0.93 0.43 0.09 -1.56 (V) 2.50 2.50 2.50 2.50 2.50 2.50 2.50 2.50 2.50 2.50 2.50 2.50 2.50 2.50 2.50 2.50 2.50 2.50 2.50 (adimensional) 0.00000 0.14050 0.28412 0.31188 0.46228 0.55120 0.59806 0.67436 0.73266 0.76935 0.93334 1.10440 1.20645 1.34511 1.42410 1.56746 2.06390 2.40950 4.05633
Pasaremos a graficar los datos de la última columna en función del tiempo para poder hallar la pendiente de la recta determinada por la ecuación [8], la cual es el inverso del que estamos buscando.
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Ln[E/V(t)capacitor] vs. T
4.50000 4.00000 Ln[E/V(t)] (adimensional) 3.50000 3.00000 2.50000 2.00000 1.50000 1.00000 0.50000 0.00000 0 10 20 30 40 Tiempo (s) 50
y = 0.057x + 0.034
60
70
80
Gráfico 05. Regresión lineal para la determinación de descarga Constante de tiempo para la carga aplicando la ecuación [8] es:
en el proceso de
Constante de tiempo teórico del sistema
Ahora pasaremos a determinar el error asociado a esta parte del experimento aplicando la ecuación [9]
Utilizando los datos provistos por la tabla 02 podemos determinar la variación de la corriente de descarga del capacitor mediante la variación del voltaje del resistor ya que ambas son proporcionales.
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FISICA III -LABORATORIOTABLA 06: Datos experimentales del voltaje y el tiempo para el proceso de descarga del condensador y cálculo de voltaje del resistor en el tiempo
N° toma de datos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Voltaje capacitor (V) 12.13 10.54 9.13 8.88 7.64 6.99 6.67 6.18 5.83 5.62 4.77 4.02 3.63 3.16 2.92 2.53 1.54 1.09 0.21 0.00 2.75 5.25 5.66 7.59 9.00 10.76 11.28 12.54 12.35 15.53 17.97 19.59 22.07 23.28 25.25 33.57 39.65 72.16 Tiempo (s) Voltaje resistor (V)* -12.13 -10.54 -9.13 -8.88 -7.64 -6.99 -6.67 -6.18 -5.83 -5.62 -4.77 -4.02 -3.63 -3.16 -2.92 -2.53 -1.54 -1.09 -0.21
*obtenido mediante la ecuación [6]
Ahora al graficar la variación del voltaje del resistor en el tiempo podremos visualizar esta proporcionalidad entre la corriente y el voltaje antes mencionada.
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V(t)resistor vs. T
0 -2 -4 Voltaje (V) -6 -8 -10 -12 -14 Tiempo (s) 0 10 20 30 40 50 60 70 80
Gráfico 6. Voltaje del resistor durante el proceso de descarga en el tiempo
5. RESULTADOS: Podemos resumir los resultados del presente informe en la siguiente tabla:
TABLA 07: Errores experimentales asociados a cada circuito analizado Constante de tiempo
[s] Carga del capacitor Descarga del capacitor 15.378 15.378 17.241 17.544
Constante de tiempo
[s]
Error experimental [%) 12.11 14.08
Los errores experimentales están muy por encima de lo permisible debido a que la
placa de pruebas, un circuito pre armado, el cual fue proveído para este experimento y en donde estaban conectados tanto la resistencia, el capacitor y la fuente de poder fue mal construido ya que agregaba al sistema una resistencia no deseada, adicional a los del resistor, de aproximadamente , lo cual dificultaba la tarea de análisis mediante los valores de R y C teóricos y su comparación con los experimentales.
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Hubo una toma de datos mucho más precisa en la carga del capacitor que en la
descarga del mismo, señalando esto, tanto las diferencias de errores de RC experimental entre ambos procesos mostrados en la tabla 07 como las respectivas gráficas del voltaje del capacitor en el tiempo (gráfico 1 y 4).
6. CONCLUSIONES:
Se corroboró que tanto en los procesos de carga y descarga del capacitor y la resistencia la carga y la corriente tienen un comportamiento exponencial. Se determinaron las ecuaciones que determinan el comportamiento de este fenómeno mediante el uso de la segunda ley de Kirchhoff y el cálculo infinitesimal. Se determinó la constante de tiempo RC experimental en los procesos de carga y descarga del capacitor, los cuales difieren en un porcentaje mucho más de lo permisible debido a un incremento en la resistencia del sistema por una mala construcción del tablero de pruebas utilizado en este experimento. Se analizaron las gráficas de voltaje versus tiempo en los circuitos RC tanto en los procesos de carga y descarga y se observó y confirmó la relación entre las ecuaciones que determinan este fenómeno y el comportamiento del fenómeno en mismo.
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REFERENCIAS
[1] Serway; Beichner, “Física Tomo 2”, Editorial Mc-Grawhill, 5ta edición, México, 2002. [2] Tipler; Mosca, “Física para la ciencia y la tecnología Vol. 2”, Editorial Reverté, 5ta edición, España, 2006.
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ANEXO
CUESTIONARIO:
I. En el proceso de carga, indique cuál es la diferencia de potencial entre los bornes del condensador, cuando ha sido conectado a una batería largo tiempo La diferencia de potencial entre los bornes del condensador cuando será el
mismo que la FEM E provista por la fuente de alimentación solamente en términos prácticos, porque a nivel estrictamente teórico nunca podrá ser exactamente igual a la FEM E, ya que:
Ahora teniendo V(t) = E tenemos:
Lo cual no tiene solución. II. ¿Cuál es el significado de la constante de tiempo en el proceso de descarga de un condensador? Explicado en el fundamento teórico. III. ¿Qué forma tiene la curva “corriente-tiempo” en la carga y descarga de del condensador También poseen una forma exponencial y son proporcionales al voltaje de la resistencia en el tiempo. Desarrollado en la sección 2, gráficos 3 y 6. IV. Deduzca teóricamente la ecuación (1) de la introducción de la hoja de práctica Desarrollado en el fundamento teórico.
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