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A.) ALLGEMEINES ............................................................................................................................................. 3
1.) PROBLEMSTELLUNG:........................................................................................................................................... 3
2.) BEGRIFFSDEFINITION:.......................................................................................................................................... 3
3.) BSP.: DAMPFÜBERHITZER FÜR WÄRMEKRAFTWERK ........................................................................................... 3
4.) ALLGEMEINES BLOCKSCHALTBILD...................................................................................................................... 4
5.) REGELEINRICHTUNGEN ....................................................................................................................................... 4
6.) ART DER REGELUNG ........................................................................................................................................... 5
   Unstetige Regelung: z.B.: 2-Punkt Temperaturregelung.................................................................................... 5
   Stetige Regelung:................................................................................................................................................ 5
6a.) ART DER FÜHRUNGSGRÖßE ............................................................................................................................... 5
   Festwertregelung ................................................................................................................................................ 5
   Folgeregelung..................................................................................................................................................... 5
   Programmregelung............................................................................................................................................. 5
6b.) ANWENDUNGSGEBIET ....................................................................................................................................... 6
   Verfahrenstechnik............................................................................................................................................... 6
   Antriebstechnik ................................................................................................................................................... 6
   Regelung elektrischer Größen ............................................................................................................................ 6
   Lagerregelung .................................................................................................................................................... 6
   Kursregelung ...................................................................................................................................................... 6
7.) ALLGEMEIN ......................................................................................................................................................... 6
B.) REGELSTRECKE UND IHR VERHALTEN BEI STELLGRÖßEN- UND
STÖRGRÖßENÄNDERUNG............................................................................................................................... 7
1.) VERZÖGERUNGSARME UND PROPORTIONALE REGELSTRECKE (P-STRECKE)....................................................... 7
2.) REGELSTRECKE MIT VERZÖGERUNG (PT1) ......................................................................................................... 8
   Beispiel Einschaltvorgang .................................................................................................................................. 9
   Übertragungsfunktion: (der Regelstrecke) ....................................................................................................... 10
   Amplitudengang................................................................................................................................................ 11
   Fasengang ........................................................................................................................................................ 11
   Zusammenfassung für PT1: .............................................................................................................................. 13
   Amplitudengang: .............................................................................................................................................. 14
   Fasengang ........................................................................................................................................................ 14
   Bodediagramm ................................................................................................................................................. 15
3.) REGELSTRECKE MIT 2 VERZÖGERUNGEN (PT2-STRECKE)................................................................................ 16
   Beispiel Einschaltvorgang mit zwei Verzögerungen......................................................................................... 17
   3.1.) PT2-Strecke mit schwingenden Verhalten................................................................................................ 19
4.) REGELSTRECKE MIT TOTZEIT (BS 206)............................................................................................................. 23
5.) REGELSTRECKE OHNE AUSGLEICH (BS 207)..................................................................................................... 23
C.) REGLER ........................................................................................................................................................ 24
1.) PROPORTIONALREGLER (P-REGLER) ................................................................................................................. 24
   1.1.) Elektronischer P-Regler:.......................................................................................................................... 25
2.) INTEGRALREGLER (I-REGLER) .......................................................................................................................... 27
   2.1.) Elektronischer I-Regler ............................................................................................................................ 28
3.) PI-REGLER ........................................................................................................................................................ 29
   3.1) Elektronischer PI-Regler........................................................................................................................... 30
   3.2.) Pneumatischer PI-Regler ......................................................................................................................... 31
4.) PID-REGLER (PROPORTIONAL-INTEGRAL-DIFFERENTIAL-REGLER) .................................................................. 32
   4.1.) Elektronischer PID-Regler....................................................................................................................... 33
D.) REGELKREIS
1.) AUFNAHME DER SPRUNGFUNKTION BZW. ÜBERTRAGUNGSFUNKTION .............................................................. 35
2.) FÜHRUNGS- UND STÖRVERHALTEN................................................................................................................... 36
3.) REGELABWEICHUNG MIT STETIGEM REGLER (VERHALTEN) .............................................................................. 40
4.) STABILITÄT DES REGELKREISES ........................................................................................................................ 44
E.) ANWENDUNGSBEISPIELE ...........................................................................................................................
1.) GEREGELTER GLEICHSTROMMOTOR .....................................................................................................................
2.) KOMBINATION VON DIGITAL- UND ANALOGKONZEPTE AM BEISPIEL EINER FOLGEREGELUNG ..............................


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3.) DIGITALE REGELUNG ............................................................................................................................................
   3.1.) Einführung....................................................................................................................................................
   3.2.) Digitaler Regelkreis .....................................................................................................................................
   3.3.) Diskretisierung des PID-Reglers..................................................................................................................
   3.4.) Adaptive Regler bzw. Mehrkreisregelung ....................................................................................................
4.) FUZZY LOGIC IN DER REGELUNGSTECHNIK.......................................................................................................
5.) UNSTETIGE REGLER BZW. REGELKREISE...............................................................................................................
   5.1.) 2-Punkt-Regler .............................................................................................................................................
   5.2.) 3-Punkt-Regler .............................................................................................................................................
   5.3.) Zweipunktregler mit verzögerter Rückführung (PD - Verhalten).................................................................
   5.4.) Dreipunktregler mit quasistetigem Verhalten: .............................................................................................
   5.5.) Schrittregler .................................................................................................................................................




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A.) Allgemeines

1.) Problemstellung:

An einer Anlage soll eine bestimmte physikalische Größe; z.B.: Temperatur, Drehzahl, Druck;
auf einen bestimmten vorgegebenen Wert gebracht und diesen entgegen allen
Störeinwirkungen konstant gehalten werden. (Festwertregelung)

2.) Begriffsdefinition:

Unter Regeln wird ein Vorgang verstanden, bei dem die zu regelnde Größe (Regelgröße ...
Istwert) "X" mit dem vorgegebenen Wert (Führungsgröße ... Sollwert) W verglichen wird. Die
Regelabweichung (Differenz W-X) dient zur Ansteuerung der Stellgröße "Y", die ein
Angleichen an den gewünschten Wert durchführt, entgegen allen Störgrößen Z.

3.) Bsp.: Dampfüberhitzer für Wärmekraftwerk
                                                                                         Regelstrecke

                                                  Energie- (Masse-) fluß


                                Überhitzer
                                                                                                           Meßwerterfasser
Dampf



                                                                                                        "X"...ϑ
                            Rauchgas                                                                    Temperatur
                                                                                                        ... Regelgröße
                                                      Z...Störgröße


                                                          Regelkreis

                            Motor                                                               XIST
    Stellglied
    Stellgröße "Y"                           Verstärker            Regler      Vergleicher

                                                                                                XSOLL
                                                      Regeleinrichtung                   400°    500°
                             Ventil                                                        C      C
                     H2 O                                                             300°          600°
                                                                                       C              C
                                                                                                             "W"
                                                                                                             ... Führungsgröße
                                                                                       100°
                                                                                        C




Der überhitzte Dampf soll in seiner Temperatur konstant gehalten werden (Turbinenleistung).
Mit einer kleinen Wassermenge (hohe spezifische Wärme) läßt sich die Temperatur wirksam
beeinflussen. Das Ventil wird mit Hilfe eines Servomotors verstellt. Die Stellgröße ist die
Stellhöhe des Ventils bzw. die Durchflußmenge. Die Regelstrecke beginnt beim Ventil und
endet bei der Meßwerterfassung. Auftretende Störungen werden durch die Regelung
ausgeglichen. Regelungstechnisch ergibt sich auch eine Störung, wenn sich die Belastung
ändert.
Soll-Ist-Wert sind phys. gleiche Größen: zum Beispiel „Spannung“ oder „Binäre Codierung“.



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4.) Allgemeines Blockschaltbild

                              Störungen "Z"
                                                                       Meßort
                                                  Störgröße
 Energie -         Stellort
                              Regelstrecke                                      X Regelgröße
 (Masse-) fluß



                                 Regelkreis
             Stellglied                                      Meßwerterfasser
 Stellgröße Y


             Verstärker             Regler                      Vergleicher




                                               Programmgeber       oder       Festwertgeber
                                                                Führungsgeber
                                                                                 W Führungsgröße


Vereinfachtes Blockschaltbild für weitere Betrachtungen:
(ohne Störgröße X ist eine Regelung unnötig)
                                             Störgröße Z


                                             Regelstrecke



                                Y                                  X

                                               Regler


                                                                 W


5a.) Regeleinrichtungen

   Meßeinrichtung:                   Erfaßt die Regelgröße und wandelt diese in eine für den
                                     Vergleicher brauchbare Form um z.B.: Temperatur in
                                     elektrische Spannung

   Programm- bzw. Festwertgeber: Die Führungsgröße wird entweder von Hand oder
                                 automatisch in geeigneter Form vorgegeben. z.B.:
                                 Spannung an einem Potentiometer, binäre Codierung

   Vergleicher:                      Bildet die Differenz von Führungs- und Regelgröße
                                     z.B.: Spannungsdifferenz ... Subtrahieren mit
                                     Operationsverstärker


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                                          GESR-Skriptum                Georg Tschida 5HBa 1996/97

   Regler:                        Verstärkt die Regelabweichung und gibt zusätzlich eine
                                  zeitabhängige Funktion ein.

   Verstärker, Übertrager:        In den seltensten Fällen reicht die Regelabweichung aus,
                                  um das Stellglied zu steuern. Der Übertrager bzw.
                                  Verstärker wandelt die Signale des Reglers in eine
                                  geeignete Form um z.B.: Phasenanschnitt bei einer
                                  Thyristorbrücke, Anschnittswinkel entspricht
                                  Spannungsmittelwert, damit lassen sich verschiedene
                                  Drehzahlen eines Motors einstellen.

   Stelleinrichtung:              Beeinflußt Energie bzw. Masse z.B.: Ventil, Thyristor,
                                  usw.

5.b) Regelstrecke:                Zwischen Stellgröße und Regelgröße gibt es, wenn keine
                                  Störgrößenänderung auftritt, einen eindeutigen
                                  Zusammenhang, der auch zeitabhängig ist.

Wir unterscheiden nach:

6.) Art der Regelung

Unstetige Regelung: z.B.: 2-Punkt Temperaturregelung.

      Die Regelgröße schwankt ständig um einen Sollwert, d.h.: zwischen einem oberen und
      unteren Stellwert ... Raumthermostat - Bimetall. (BS 200)

Stetige Regelung:

      Die Regelgröße kann jeden beliebigen Wert innerhalb des Stellbereichs einnehmen
      (BS 201).

6a.) Art der Führungsgröße

Festwertregelung

      Die Führungsgröße wird dabei nur gelegentlich verstellt (z.B.: Raumtemperatur).

Folgeregelung

      Die Führungsgröße wird laufend verstellt, wobei die Regelgröße möglichst schnell der
      Führungsgröße angepaßt werden soll (z.B.: Plandrehen mit konstanter
      Schnittgeschwindigkeit).

Programmregelung

      Die Änderung der Führungsgröße folgt schrittweise nach einem Programm, in
      Abhängigkeit der Zeit, Prozeß, usw.


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6b.) Anwendungsgebiet (Zeiten der Regelung)

Verfahrenstechnik

      Regelung von Druck, Temperatur, Durchfluß, usw. in der chemischen Industrie,
      Kraftwerke, usw. Zur Ausregelung stehen meist Zeiten in der Größenordnung von
      Minuten zur Verfügung.

Antriebstechnik

      Regelung von Drehzahl, Drehmoment, Zugkraft, usw. für Walzwerke, Textil- und
      Papiermaschinen, Werkzeugmaschinen, Roboter. Es entstehen Zeiten von
      Millisekunden.

Regelung elektrischer Größen

      z.B.: Strom, Spannung, Frequenz

Lagerregelung

      z.B.: WZ, Militärtechnik, usw.

Kursregelung

      z.B.: Schiffe, Flugzeuge, Raketen

7.) Allgemein

In vielen Fällen läßt sich eine geregelte Anlage auf Grund von Erfahrungswerten nicht
bemessen. Wir benötigen Regelmodelle bzw. versuchen mathematische Lösungen zu finden
und diese zu übertragen, z.B.: wenn aus Sicherheitsgründen oder aus wirtschaftlichen
Gründen ein Probieren nicht möglich ist.




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B.) Regelstrecke und ihr Verhalten bei Stellgrößen- und Störgrößenänderung

Allgemein:           Stromschwankung             Erwärmung              Drehzahl    => Sörung bei Motor
                                                 Störgröße Z



                       Stellgröße Y                                     Regelgröße X
                                                 Regelstrecke



                                                     X=f(y,z)


1.) Verzögerungsarme und proportionale Regelstrecke (P-Strecke) Idealstrecke gibt es
nicht

        proportional = Stellglied und Meßglied müssten eins sein
         Y                                                              Z




                                 Y                                                                 Z


                                             t                                                            t


         X                                                              X




                                 X
                                                                                                   X

                                                 t                                                        t

                      x=Ks.        y                                               x=Ks.     z
                                         Ks ... Übertragungsbeiwert

        Zwischen Stellgröße und Regelgröße herrscht im allgemeinen über einen Teilbereich
        ein linearer Zusammenhang (z.B.: bei einem Ventil: Durchflußmenge - Hub, bei
        konstantem Druck) BS 208. X=F*Z          X=F*Y

        a) keine bedeutende zeitliche Verzögerung
        b) abhängig von Stell- und Störgröße

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      c) zwischen Stell- und Regelgröße herrscht Proportionalität
      Bsp.) Ein Gebläse ergibt bei einer Drehzahländerung um 100 Umdrehungen pro
             Minute eine Erhöhung des Drucks um 30 mbar.


                                                            30mbar
                                                    KS =
                                                           1001 / min

      Bsp.) Ein Glühofen ergibt bei einer Steigerung der Gaszufuhr um 5 m3/h eine
            Temperaturerhöhung von 700° auf 800°.

                                                             100°
                                                     KS =
                                                            5m3 / h

2.) Regelstrecke mit Verzögerung 1. Ordnung PT1

       Y                                                                Z




                                 ∆ Y
                                                                                                    ∆ Z


                                                t                                                          t




       X                                                                X



                          τs
                                   ∆ X
                                                                                                         ∆ X

                                                t
                                                                                       τs                  t


      z.B.:        Wasserturbine mit angeschlossenem Generator;
                   Heizgerät, daß sich erwärmt, bzw. abkühlt usw.

      Die Sprungantwort ist eine Differentialgleichung 1. Ordnung. Allgemein ergibt sich
      für eine beliebige Regelstrecke ein mathematischer Zusammenhang zwischen Ein- und
      Ausgang.
              ..      .                ..   .

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...+a2Y+a1Y+a0 = ...b2X+b1X+b0X+C

z.B.: Ladevorgang Kondensator (Einschaltvorgang):


                                         I∗R                     I

                                           R
                                 U                       C                 U1



∑U = 0                                   Kondensator:
                                         Q = C • U1
U = I ⋅ R + U1
                                          dQ = C • dU1
          dQ
I ⇒i =
          dt

         dQ 1                                   dU1
U = R⋅     + ⋅Q                      U = R•C•       + U1
         dt C                                    dt

Differentialgleichung 1. Ordnung mit konstantem Störglied

dQ   1        U
   +     ⋅Q =
dt R × C      R

homogene Gleichung

Ansatz: Q = A ⋅ e Bt
                             t
                         −
Qt = Qmax ⋅ (1 − e τ )

τ = R ⋅C
                     t
                 −
U 1 = U ⋅ (1 − e τ )

allgemeine Regeltechnik

                                                                              t
                                                                          −
τ S ⋅ X + X = KS ⋅ Y
      &                                                X = KS ⋅ Y ⋅ (1 − e τ )

Eine Regelstrecke läßt sich elektrisch nachbilden mit R, C und Operationsverstärker.
Heute meist mit Prozeßrechner, die ausreichend schnell sind ... Prozeßrechentechnik
(inklusive Regler). Neben der Sprungantwort (Extremfall) ist auch das Verhalten bei


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sinusförmigen Eingangssignal von Interesse (homogene Veränderung) ...
Stabilitätskriterium.




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      Übetragungsverhalten für Sinusfunktion:


                                    y *sin ωt
                                    $                                       kompl. Ebene
                                                                                   j   r
        Y                                                                              z
                                                                                                   jB
                                                                        t                           ωt
                                                                                        A

                                                                            r
                                                                            Z = A + jB
                                                                             r
                                                                            Z = A2 + B 2
                                       x * s in ( ω t ± ϕ )
                                       $
                                                                                   j
        X
                                                                                                 ωt ± ϕ
                                                                        t
               ϕ

                                                                            r
                                                                            Z = A + jB
                                                                               r
                                                     e jωt + e − jωt       ⇒ Z • [cos ωt + j sin ωt ]
                                            cosωt =                           r
                                                            2              ⇒ Z • e jωt
                                            
      Mathematische Regel:                  
                                                      jωt     − jωt
                                            sin ωt = e − e
                                            
                                                           2j


      Der komplexe Zusammenhang für die Regelstrecke ergibt sich nun wie folgt:
       v v v
       X = F ⋅Y

Übertragungsfunktion: (... der Regelstrecke)

              X ⋅ e j (ωt −ϕ )
          v   $                  $
       v X                       X − jϕ
       F= v ⇒                  =   ⋅e
          Y     Y ⋅ e jωt
                $                $
                                 Y

Amplitudengang

                              Z =     A2 + B 2 = ( A + jB)( A − jB)


                                           v  $
                                              X − jϕ
                                           F=   ⋅e
                                              $
                                              Y



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                                                v   $
                                                    X
                                                F =                Realteil
                                                    $
                                                    Y
Fasengang

                                                          A + jB           A2 + B 2
                                                                                      ⋅ e j (α 1 − α 2 )
                    imag           B
     α = arctan           = arctan                   Z=          =
                     real          A                      a + jb              2
                                                                           a +b   2


                            B          b
     α 1 − α 2 = arctan       − arctan
                            A          a

                   $ j (ωt − ϕ )
                v X ⋅e                                             imag
     aus        F=                          folgt    ϕ = arctan
                    $
                    Y ⋅ e jωt                                       real

     ϕ = f (ω )


     allg.:

              A + jB Z 1 [ cos(ω t ± ϕ ) + j ⋅ sin(ω t ± ϕ )]
      Z=             =    =                                   =
              a + jb   Z2      [ cosω t + j ⋅ sin ωt ]

      =
          [ cosω t ⋅ cosϕ ± sinω t ⋅ sinϕ + j ⋅ sinω t ⋅ cosϕ ± j ⋅ cosω t ⋅ sinϕ ] =
                                        cosω t + j ⋅ sinω t


      =
          [ cosω t ⋅ cosϕ ± sinω t ⋅ sinϕ + j ⋅ sinω t ⋅ cosϕ ± j ⋅ cosω t ⋅ sinϕ ] ⋅ [ cosω t - j ⋅ sinω t] =
                                    (cosω t + j ⋅ sinω t) ⋅ (cosω t - j ⋅ sinω t)

      =
          cos ²ω t ⋅ cosϕ + sin²ω t ⋅ cosϕ ± j ⋅ sin²ω t ⋅ sinϕ ± j ⋅ cos ²ω t ⋅ sinϕ .........
      =                                                                                         =
                                       (cosω t)² + (sinω t)²


          Z1
      =        = [ cosϕ + j ⋅ sin ϕ ]
          Z2




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Praktisch kommen wir über die komplexe Rechnung zur gewünschten Funktion

Bsp.)
                                        R


                       Y=U                                 U1=X
                                                  C



        1                     −j
xc =                   xc =
        jωc                   ωc

U = I ⋅ R + U1

       U1
I=
       xc

        U1
U =         ⋅ R + U1
         1
        jωC
       v
v U1 X        I ⋅ xc      xc        1
F=   = v =             =       =
   U   Y I ⋅ R + I ⋅ xc R + xc   R
                                     +1
                                 xc

v         1       1        1
F=             =       =
       jωRC + 1 jωτ + 1 1 + jωτ

v
X  v                   $              1      $
v =F                   X = KS ⋅            ⋅ Y Allgemein
Y                                  1 + jωτ

Daraus folgt Differentialgleichung

$
X (1+ jωτ) = KS ⋅ Y

X + τ ⋅ x = KS ⋅ Y
        &

Ersetzen wir die Ableitung nach der Zeit durch j und so kommen wir rasch zur
Übertragungsfunktion. Es gilt auch die Umkehrung d.h.: liegt die
Übertragungsfunktion vor, so kann die Differentialgleichung bestimmt werden
(LAPLACE - Transformation). Die Sprungfunktion als auch die Sinusfunktion sind
Grenzfälle.



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Zusammenfassung für PT1:

     z.B.:

                         R

                                                                     Y                                      X
                                                                           Regelstrecke
       U=>Y                      C            U1=>X




     Differentialgleichung              Q1 = C ⋅ U 1                 &
                                                                    U1 R ⋅ C + U1 = U

       U                                       U1




                                       t                                                 t

                                                                          t 
                                                       U1 = U ⋅  1 − e − Rc 
                                                                            
                                                                            
     komplexe Methode für Sinusfunktion:

     U 1 ( jωRC + 1) = U

                                    1
     Lösung:          U1 =               ⋅U
                                1 + jωRc
     Allgemein:
                                                                                     t
                                                                                 −
      X τ S + X = KS Y
      &                                Lösung:                X = KS ⋅ y (1 − e τ )  S



      v v v
      X = F⋅y

                                        v        KS
      X ( jωτ S + 1) = KS ⋅ y           F=                          Übertragungsfunktion
                                              1 + jωτ S




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Amplitudengang:

         v          K S (1 − jωτ S )       A ± jB            v     A2 + B 2
         F⇒                              ⇒                   Z =
                (1 + jωτ S )(1 − jωτ S )     a                        a2

      v      KS (1 + ω 2 τ S )
                2            2
                                   KS
      F =                      =
              (1 + ω τ S )
                        2 2
                                 1+ ω2τS
                    2                    2




      v           KS
      F =
             1 + ω 2τ S 2

     Aus der Gleichung ist ersichtlich, daß mit zunehmender Frequenz die Amplitude
     immer kleiner wird.

     Bsp.) Durchfluß bei einem Ventil (Schieber), der mit Hilfe eines Kurbeltriebes auf
     und zu gemacht wird. Je rascher der Vorgang desto weniger fließt durch (deto
           Verstärker: hohe Frequenzen ergeben am Ausgang kein Signal mehr)

Fasengang

                    B
     ϕ = arctan
                    A

                    KS (−ωτ S )
                 1 + ω 2τ S 2
      ϕ = arctan              = arctan( −ωτ S )
                     KS
                    1 + ω 2τ S 2

      ϕ = arctan( −ωτ S )
       v v v
      X = F⋅y

                                    v       KS
      X ( jωτ S + 1) = KS ⋅ y       F=                       Übertragungsfunktion
                                         1 + jωτ S




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Bodediagramm

           1


      0,1



           0,01 0,1 1 10 100 1000




                                       gegen 90°
     -90


     -180


     Differentialgleichung:
            Sprungantwort
                     1
                x + ∗ x = Ks∗ y
                 &
                    Ts
                Ts∗ x + x = Ks∗ y
                     &
                             ↓
                 d           d2
                    = jω ;        = ( jω ) 2
                 dt          dt 2
                         dx
                     x⇒
                      &      ⇒ jω x
                         dt
                        d 2x
                    && ⇒ 2 ⇒ jω x
                    x
                        dt
     Übertragungsfunktion:
            Sinusantwort
             r r r
            X = F∗Y
             r        1          r
            X=             ∗ ks∗ Y
                 1 + jω Fs
             r                   r
            X ( jω Ts + 1) = ks∗ Y

     Zusammenhang zw. Differentialgleichung und komplexe Rechenmethode(Caplace-
     Funktion):




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3.) Regelstrecke mit 2 Verzögerungen (PT2-Strecke)

Gekennzeichnet durch einen Übertragungsbeiwert und 2 Verzögerungen.

            Y




                                                         t


            X

                              Τg
                           {




Wendepkt.                                        X=Ks ·Y

                                                             t
                       {




                        TV
      Tv=Verzugszeit
BS. 209                                           g=Anregelzeit

Bsp.) Warmwasserheizung
Nach dem Einschalten wird zuerst Wasser erwärmt, dieses durch ein Rohrsystem gepumpt.
Über die Heizkörper wird Wärme an die Umgebung abgegeben ... praktisch eine PT-Strecke.
Nachbildung durch RC-Elemente (PT2)



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                            I2
                     R2               R1

                I1+I2                 I1
 U=>Y                                                 U1=>X
                          C2               C1


    v
X = F ⋅Y

                                                      U 2 − U1      
     v
U1 = F ⋅ U                                       I1 =     R1        
                                                         v          
                                                U 2 = ( X + R) ⋅ I1 
                                                                    

v U
F= 1
  U

U 2 = I1 ⋅ R1 + U 1

         U = I ⋅ R + U2

            U = ( I 1 + I 2 ) ⋅ R2 + R1 ⋅ I 1 + U 1

Q1 = C1 ⋅ U 1

       U1
I1 =
       X1

       U 2 I1 ⋅ R1 + U 1
I2 =      =
       X2        X2

       U 1 ⋅ R1 U 1
I2 =           +
       X1 ⋅ X 2 X 2

        R        R ⋅R     R     R
U = U1 ⋅ 2 + U1  1 2 + 2  + U1 ⋅ 1 + U1
        X1       X1 ⋅ X 2 X 2   X1

U1 v              1
  =F=
U     R1 ⋅ R2  R    R  R
              + 2 + 2 + 1 +1
      X1 ⋅ X 2 X 2 X 2 X1

         1                                               1
X1 =                                            X2 =
        jωC1                                           jωC2
v                                      1
F=
       R1 ⋅ jωC1 ⋅ R2 jωC2 + R2 ⋅ jωC2 + R1 jωC1 + R2 jωC1 + 1

                                                           Seite 18
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v                              1
F=
     − ω R1 ⋅ C1 ⋅ R2 ⋅ C2 + jω ( R2 C2 + R1C1 + R2 C1 ) + 1
           2
              4
         14 244         3       1444 444   2        3
                           τB2                                 τA


v                      1
F=
     −ω ⋅ τ B
           2       2
                       + jωτ A + 1

Allgemein:

v                  KS                                              v
F=                                                             X = F ⋅Y                     Übertragungsfunktion
     −ω τ B        + jωτ A + 1
           2   2



v                      KS
F=
      (1 − ω τ B 2 ) + jωτ A
               2


v                                KS
F =                                                                                               Amplitudengang
        (1 − ω         2
                           τB     )
                                 2 2
                                       +ω τ A  2       2



               B
ϕ = arctan
               A

           v                          K S (1 − ω 2 τ B 2 ) − K S jωτ A
           F=
                [(1 − ω τ ) + jωτ ][(1 − ω τ ) − jωτ ]
                                  2
                                       B
                                           2
                                                           A
                                                                    2
                                                                        B
                                                                            2
                                                                                        A


                − ωτ A
ϕ = arctan                                                                                        Phasengang
               1− ω2τ B
                        2



                                                                            v
− ω 2 τ B X + jωτ A X + X = KS ⋅ Y                                      X = F ⋅Y
       2
                                                                                                  komplexe Gleichung

τ B 2 X + τ A X + X = KS ⋅ Y
      &&      &                                                                                   Differentialgleichung

                   −
                       t
                            −
                               t                   
                     τ1      τ2                   
                         +e
x = ks ⋅ y ⋅ 1 −                                  
                  e
                        2                         
                                                  
                                                  




                                                                            Seite 19
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3.1.) PT2-Strecke mit schwingenden Verhalten

                    R               L


 U                                                        U1
                                          C



                   dI
U = I ⋅ R + L⋅        + U1
                   dt

    Q
U1 =
    C
   dQ
I=
   dt

         dU 1
I = C⋅
          dt

                dU1          dU
U = C⋅R⋅            + L ⋅ C ⋅ 21 + U 1
                 dt          dt

       &&           &
L ⋅ C ⋅U1 + C ⋅ R ⋅U1 + U1 = U

L ⋅ C = Τ2                              C ⋅ R = 2⋅ D⋅Τ
     &&               &
Τ 2 ⋅U1 + 2 ⋅ D ⋅ Τ ⋅U1 + U1 = U

     &&              &
Τ2 ⋅ X + 2 ⋅ D ⋅ Τ ⋅ X + X = kS ⋅Y

D>1      aperiodische Schwingung (schwingt nicht => wie oben)

D=1      Grenzfall

D<1      gedämpfte Schwingung

Lösung der homogenen Differentialgleichung

        &&            &
L ⋅ C ⋅ U1 + C ⋅ R ⋅ U1 + U 1 = 0

Ansatz:            U 1 = A ⋅ e Bt ... 2x differenzierbar, stetig usw.

L ⋅ C ⋅ A ⋅ B 2 ⋅ e Bt + C ⋅ R ⋅ A ⋅ B ⋅ e Bt + A ⋅ e Bt = 0




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       R      1
B2 +     ⋅B+     =0
       L     L⋅C

           R    R2    1                                 R2     1
1 B2 = −      ±     −                                       >
           2L   4L L⋅C
                  2
                                                        4L2
                                                              L⋅C

aperiodischer Fall
        − R + t       R
                        − −
                                             
       e  2 L
U1 = A   
                   
                   
                     + e 2 L
                                            t
                                             
                                                ... Ausschaltvorgang
       
                                               
                                                
U1




                         t
Lösung mit konstanter Störgröße U
        e − ( ) t + e −( ) t 
U1 = U 1 −                   ... Einschaltvorgang
       
       
                   2          
                              

U1




                              t

gedämpfte Schwingung

       1  R2
für      > 2 gilt
      L⋅C 4L

           R      1  R2
3 B4 = −      ±j    − 2
           2L    L⋅C 4L

          R          1     R2               R      1   R2   
          − 2 L + j  LC − 4 L2   t
                                
                                                −
                                                 2L −j    − 2  t 
                                                         LC 4 L  
U 1 = A  e                        
                                        +   e                      
                                                                       
                                                                       
                                                                       




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                  R         j ⋅  1 − R 2  ⋅t
                                          
                                                       1
                                                   −j    −
                                                            R2  
                                                                t
             −
                         ⋅ e
                    t             LC 4 L2            LC 4 L2  
U1 = A ⋅ e       2L
                                                +e
                                                                  
                            4444 244444
                                                                  
                           1               4                    3
                                              1   R2
                                       cos      −     ⋅t
                                             L⋅C 4 L2


                  R
             −      ⋅t             1  R2
U1 = U ⋅ e       2L
                         ⋅ cos       − 2 ⋅t
                                  L⋅C 4L
U1



                                                       t



Lösung mit konstanter Funktion U

               R
              − ⋅t      1  R2  
U 1 = U 1 − e 2 L cos    − 2  ⋅t
                       LC 4 L  
                                  

Die Antwort auf die Sprungfunktion PT2 allgemein
                −
                   t
                              
X = Ks ∗ Y 1 − e τ x *cosω t 
                             

x




                                                           t

PT2

Differentialgleichung

     &&              &
Τ2 ⋅ X + 2 ⋅ D ⋅ Τ ⋅ X + X = ks ⋅Y

Τ 2 ( j ⋅ ω ) ⋅ X + 2 ⋅ D ⋅ Τ ⋅ ( jω ) ⋅ X + X = k s ⋅ Y
           2




                                                                          Seite 22
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v                    ks
F=
        1 + jω ⋅ 2 ⋅ D ⋅ Τ − ω 2 Τ 2

v                        ks                                                 − ω 2 DΤ
F =                                                            ϕ = arctan
            (1 − ω 2Τ2 ) + (ω 2 DΤ)                                         1 − ω 2Τ 2
                          2            2




                              D>1                                       D<1
| |F|                                              | |F|




                                           !                                                     !
  "                                                   "
                                                    +90
                                           !


                                                                                                 !


                                                   -90




Regelstrecken 2. und höherer Ordnung entsprechen grundsätzlich je nach Größe der
Dämpfung den gezeigten Schaubildern. Bei starker Dämpfung 2 Verzögerungszeiten, bei
schwacher Dämpfung schwingendes Verhalten mit stark abnehmender Amplitude. Im
Zusammenhang mit einem Regler können dabei Schwierigkeiten auftreten, d.h. das System ist
nicht mehr stabil.

PTN-Strecke

Es ergibt sich im wesentlichen nichts Neues. (BS 206)




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4.) Regelstrecke mit Totzeit (BS 210)

z.B.: Förderband, Thyristor im Wechselstromnetz ... ist er gezündet, so ist innerhalb einer
Halbperiode keine Änderung mehr möglich.

   )
v X ⋅ e j⋅ω (t − Τ )                         v X $
F=   )                                       F = . e − jω T
     Y ⋅ e j⋅ωt                                 Y$

v
F = k s . e− jωT

y




                                 t

x




           T                    t
Praktisch haben die meisten Regelstrecken kleine Totzeiten,
z.B.: Heizung ... Warmwasserpumpzeit
5.) Regelstrecke ohne Ausgleich (BS 211)
∆x = k s ⋅ ∆y ⋅ ∆t                       y


x = k s ∫ y∆t + x 0
x0 = Anfangsbedingung

                                                                                     t
Die Regelgröße steigt (fällt) nach einer
Störung zu einem Grenzwert d.h.: sie
nimmt dazwischen keinen stabilen Wert an             x
z.B.: Motor mit Schlitten, Schiff (Ruder).
Aufnahme der Sprungantwort einer
Regelstrecke mittels Schreiber.

                                                                                         t




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C.) Regler

lassen sich unterteilen in stetige und unstetige Regler, wobei sich beide weiter in mit oder
ohne Hilfsenergie unterteilt werden können.
Unstetige Regler können nur 2 oder 3 Positionen am Ausgang einnehmen, stetige Regler
können innerhalb eines Bereichs jede beliebige Position am Ausgang einnehmen.
1.) Proportionalregler (P-Regler)




                #
                                                                                      l2
                                                                   Verstärkung V =
                                                                                      l1




         groß      mittel      klein
                                            0
y = −k R (W − X)            Regelabweichung: W-X

Kernaussage: Beim P-Regler gibt es immer eine Regelabweichung!

z.B.:
Damit Ventil (Y) offen ist und ein dynamischer Vorgang stattfindet,
oder
ein Motor, der nur im Leerlauf betrieben wird, braucht keine Regelung

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1.1.) Elektronischer P-Regler:

                           R                   RA

                               IX     IA
                               IW
                                           -
 -UX                       R
          UW                         I0                             UA
                                           +



R0 = ∞
I0 ≅ 0            Verstärkereingang (ohne Beschaltung)

         =>      ∑I =0
I A + I X + IW + I 0 = 0

I A = −( IW + I X )

UA    1
   = − ⋅ (UW − U X )
RA    R

       R
U A = − A (UW − U X )
        R

bzw. allgemein Y = − k R ⋅ (W − X ) = − k R ⋅ e

       RA
KR =      ... Verstärkung des P-Reglers
       R

Regelgröße: Drehgröße bzw. Drehzahl wird mittels Tachogenerator in eine
proportionale     Spannung umgesetzt, z.B.: n = 1000 min-1 = 60V

Führungsgröße:             Winkel an einem Drehknopf entspricht einer Spannung an
einem                            Potentiometer, z.B.: 3000 min-1 = 300° Drehwinkel =
10V

Diese physikalisch gleichen Größen.....Istwert-Sollwert.....werden als Differenz vom
Regler proportional verstärkt => Ausgangsspannung treibt Leistungstransistor, der die
Motorspannung bestimmt.




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v v v
Y = FR ⋅ X

           RA
FR =          ...   nicht frequenzabhängig
           R
                    praktisch ca. 104 Hertz ... Abfall              "=arctan .... = 0

2.) Integralregler (I-Regler)

Bei diesen nimmt die Stellgröße bei sprunghafter Änderung der Regelgröße zu oder
ab. Das
Stellglied wird solange verändert, bis die Regelabweichung null ist.
Das heißt, der I-Regler folgt langsam der Regelabweichung, dafür bleibt aber keine
Regelabweichung bestehen.

                                      t
                             1
Y = Y0 + Y = Y0 + K R ⋅
                            ΤR        ∫ (W - X)dt
                                      0
     w-x




                                          t

      y




                     y        y
y                     1
 0                                2       t


Bsp.:




Ändert sich der Druck (Regelabweichung) bzw. die Führungsgröße, so befindet sich
der Eisenkern mehr in der oberen oder unteren Hälfte der Sekundärspule. Dadurch
bekommen die zwei Sekundärspulen ungleiche Spannungen induziert. Diese werden
dann gleichgerichtet und ergeben als Differenz eine positive oder negative Spannung.

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Selbige wird verstärkt, wodurch der Motor entweder links oder rechts läuft. Solange
Spannung vorhanden ist, läuft der Motor weiter, das heißt, Integrale wirken.




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2.1.) Elektronischer I-Regler




für Rx = Rw :

∑I =0
I A = −( IW − I X )

                                               dU A
QA = C ⋅ U A                         IA = C⋅
                                                dt

     dU A    1
C⋅        = − (UW − U X )            /∫
      dt     R

                1
∫ dU A = − R ⋅ C ∫ (UW − U X )dt + Anfangsbedingung
          1
              (UW − U X )dt + U AA
         R⋅C∫
UA = −


                               KR
allgemein:          Y = Y0 +
                               ΤR   ∫ (W − X)dt
Solange eine Regelabweichung W-X am Eingang des Reglers vorliegt, wird der
Ausgang, das heißt die Stellgröße Y verändert.
Da vorher die Stellgröße einen Wert gehabt hat, bezieht sich der Integralanteil nur auf
die Regelabweichung.




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W-X= C




            t
 Y


 Y
     0


            t




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Übertragungsfunktion:

v         UA
F=                                                IW − I X + I A = 0
        UW − UX

v            I A ⋅ XC
F=                                        IW − I X = − I A
         IW ⋅ R − I X ⋅ R

v  X       1      1   j
F=− C =−      =−    =
    R    jωRC    jωΤ ωΤR

          1                                  B          −...
F =                            ϕ = arctan      = arctan      = arctan− ∞ = − 90°
         ωΤ                                  A           0

                     v −K R
allgemein:           F=
                        jωΤR

                     v K
                     F= R                         ϕ = − 90°
                       ωΤR

|F|




                                  !
      0,01 0,1 1 10 100 1000

                                      !

-90

  "
                                                     1
                                                       ⇒ ∫ dt
                                                    jω




                                                                Seite 31
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3.) PI-Regler

Eine sprunghaft auftretende Regelabweichung ergibt durch den P-Anteil eine sofortige
Änderung der Stellgröße, der I-Anteil kompensiert die Regelabweichung gegen Null.

     w-x




                                        t

      y




                                                                                   1             
                                                           Y = Y0 + kR * ( w - x) + ∫ ( w − x)dt 
y
                      y         y                                                  τ             
                       1            2
 0                                      t

3.1) Elektronischer PI-Regler

                           R                    RA


                                                -(IW+IX)
                                            -
 UW                        R
           -UX                                                          UA
                                            + I0



∑I =0
I w − I x + Ia = 0

Ia = −( I w − I x )

           Uw              Ux
Iw =             Ix =
            R              R

           Q
Uc =             U a = U c + I a Ra
           C

dQ
   = Ia          Q = ∫ I a dt
dt


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       1
       c∫
Ua =      I a dt +I a Ra


     U − U r     1 U −Ux 
U = − w      Ra + ∫ w   dt 
        R        c    R    

      − Ra                                     
           (U w − U x ) +
                            1
Ua =
       R                  cRa ∫ (U w − U x )dt  + Anfangsbedingung
                                                
Solange eine Regelabweichung (W-X) am Eingang vorliegt, regelt der I-Anteil die
Abweichung gegen Null aus.
                        v
Übertragungsfunktion F wird zum Sinus.

r y − y0     U − U a 0 I a ( Ra + X c )
F=       => a           =                                           allg.:
   w− x      Uw −Ux       R( I w − I x )
                   1 
     F = − KR 1 +
                  jωτ 
                       

I a = −[ I w − I x ]
         v            1
         F = − KR 1 + 2 2
                     ϖ τ


r − ( Ra + X c )   R            Xc    Ra         1                              1
F=               =− a       1 +    =−      1 +                  ϕ = arctan −
        R           R           Ra    R        jϖRa C                          ωτ
                           IW
                       R             RA




 UW                    R
                           IX                                  UA
       -UX                           I0=0




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   F
                      kR




       0,01 0,1   1    10 100 1000




                             -90°-> null
-90


-180




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3.2.) Pneumatischer PI-Regler




Ist der Hauptdruck zu gering, so ist die Anströmplatte des Balkens wegen der Feder relativ
weit von der Düse entfernt. Die Luft entweicht und das Hauptventil hat einen verringerten
Druck und öffnet sich. Durch die einstellbare Drossel und dem Hilfstank ergibt sich eine
Verzögerung bei jeder Änderung, welches einem I-Anteil entspricht.....der untere Balg reagiert
sofort, beim oberen muß vom Tank zuerst Luft entweichen oder aufgebaut werden.



4.) PID-Regler (Proportional-Integral-Differential-Regler)

Ändert sich bei Störungen die Regelgröße rasch, so muß anfangs das Stellglied durch starke
Verstellung (Überproportionen versuchen diese Änderungen abzufangen). Danach Rückgang
auf den notwendigen Wert der Stellgröße. Das heißt, es ist ein Regelteil notwendig, der
proportional der Änderung der Regelgröße wirkt.

Eine Einstellung dieser Regler erfordert viel Erfahrung, da sehr leicht Schwingungen im
Schwingkreis auftreten können ... Optimierung.

                                      w-x




                                                                    t

                                        y
                                            I-Anteil
                             d-Anteil

                             p-Anteil
                                                   y        y
                                 y                  1
                                  0                             2   t




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                          1                   d (w − x) 
y = y0 + KR  ( w − x ) +
                         τn ∫ (w − x )dt + τ v dt      
4.1.) Elektronischer PID-Regler




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                                                dQ
∑I = 0                                     I=
                                                dt
                                                                              Q = ∫ Idt


Q = ∫ I e dt = − ∫ I A dt                  Q=C.U

                        Uc dQc      Ue   dU 
I A = −(I R + I C ) = −   +     = −    +c e
                       R    dt     R      dt 

       U A − U CA
IA =              ⇒ U A = I A ⋅ R A + U CA
           RA

      R             dU                                                              1
                                                                                     CA ∫ A
UA = − A  Ue + R ⋅ C e  + UCA                                              UcA =       I dt
       R             dt 

      R             dU  1                                                         U      dU e 
                      dt  CA ∫ A
UA = − A  Ue + R ⋅ C e  +    I dt                                   I A = − Ie = − e + C      
       R                                                                            R      dt 

      R             dU  1  Ue       dU 
                      dt  CA ∫  R
UA = − A  Ue + R ⋅ C e  −        + C e  dt
       R                               dt 

                                                      1  Ue     dU          1            C
                                                     CA ∫  R                CA R ∫ e     CA ∫ e
                                                 -           + C e  dt = −     ⋅ U dt −     dU
                                                                  dt 

                                                   
       RA         R ⋅C       1               dUe 
                             CA ⋅ RA ∫ e
UA = −     U 1+            +        ⋅ U dt + RC      + U0
       R  e RA ⋅ CA  144 44
          144244 
             
                         3         2    3 12dt 
                                             4 4 3
              P −Anteil       I−Anteil     D−Anteil

Allgemein:

                     1                   d (w − x) 
y = KR  ( w − x ) +
                    τn ∫ (w − x )dt + τ v dt  + y0

Übertragungsfunktion:

v Y − Y0            1⋅ X        
F=       = K R 1 +       + jωτ v
   W−X             jωτ N        


                                       2
v                   1 
F = KR 1 +  ωτ v −      
                   ωτ N 

                                 1
                   ωτ V −
             B                  ωτ N
ϕ = arctan     =
             A              1


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   |F|




                                             !
       0.1    1   10   102   103   104




 90°


                                         !


-90°
 y




Praktische Ausführung




                                                 -
                                                     P-Regler
                                                 +




                                                 -                         -
                                                     D-Regler
                                                 +                         +


                                                                           Addierer
             Ue
                                                                                              Ua
                                                 -
                                                     I-Regler
                                                 +




                                                                Seite 38
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D.) Regelkreis

1.) Aufnahme der Sprungfunktion bzw. Übertragungsfunktion




                                                           x-t Schreiber für t > 2
                                                           Sek




               Umforme




               x            y
 Funktions-
 generator         Regler



                                  y x




Signalverknüpfung

         xe1                                                            xa1
                     xa
                                                      xe
                     xa=xe1+xe2
                                         xe=xa1=xa2
         xe2                                                             xa2

         Adddition                               Verzweigung




                                           Seite 39
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                                                                  F1               F2
                 xe            -xa                xe1                                   xa2
                                                                       xa1 = xe2

         Vorzeichenumkehr
                                                            Steuerkette

                                                     v x     x x
                                                     F = a2 = a2 ⋅ a1
                                                        xe1 xe2 xe1
                                                              v v v
                                                              F = F1 ⋅ F2
             xe                 F1                      xa
                  -
                 (+)            F2


                 -     ... Gegenkoppelung -> Regelung
                 +     ... Mitkoppelung

v x
F= a = ?
    xe
     x
F1 = a                         xe1 = xe ± xa2
    xe1

       xa2
F2 =                           xe2 = xa
       xe2

                    xa
v       xa          x      F1
F=               = e1 =
     xe1 m xa2       x    x ⋅x
                  1m a2 1m a2 a
                      xe1 xe1 ⋅ xe2

xa         F1
   = F=                        Nenner => 0         (instabil)             F => ∞
xe      1m F1 ⋅ F2


2.) Führungs- und Störverhalten

                                                        z          z1 z2 z3 z4

                          w     w-x                 y                                     x
                                          FR                              FS
                           -                                y+z



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Störungen treten meist innerhalb der Regelstrecke auf. Hier sind die mathematisch
schlecht oder nicht erfaßbar. Daher werden Störungen auf den Eingang der
Regelstrecke (Stellglied) bezogen. Die Störung ist eine zeitlich wirkende Größe. Am
Ende kann sie sofort erfaßt werden. Tritt sie am Beginn der Regelstrecke auf, so
bedeutet dies die größtmögliche Verzögerung d.h. der ungünstigste Fall.




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Beispiele.
       Elektromotor: Ausgang:             Last, Laständerung
                     Eingang:             Spannung
                     Mitte:               Temperaturänderung

         Gasheizung: Ausgang:            Fenster öffnen, Außentemperaturänderung
                     Eingang:            Gasdruck, Heizwert
                     Mitte:              Störungen im Strömungskreislauf

Bsp)
Gasbeheizter Ofen, Ventilhub 1mm, Temp.steigerung 15°C, 1mm Druckänderung
bewirkt eine Temperaturänderung von 20°C, 1° Temperaturänderung am Regler
bewirkt 0,8mm Hub.
Gesucht:     Die bleibende Regelabweichung bei einem P-Regler (PD) auf einer P-
             Strecke.
             KR+KS und die Regelabweichung mit und ohne Regler bei einer
             Druckschwankung von 3mbar.

        y − y0                   x
FR =                     FS =
        w−x                     y+ z

xstationär = ?    x = Fs ⋅( y + z) = FS[ FR (w − x) + y0 + z]

x = FR ⋅ FS ⋅ x = FS ⋅ FR ⋅ w + F(y0 + z)

                                      FS ⋅ FR           FS
                     xstationä r =              ⋅w +           ⋅ (y + z)
                                     1+ FS ⋅ FR      1+ FS ⋅ FR 0

                 FS ⋅ FR = V0 ⇒ KS ⋅ KR = V0              ... Kreisverstä rkung

Störverhalten:

                           dx    FS
∆w = 0                        =
                           dz 1+ FS ⋅ FR

                  ∆x =     .... ∆z

Führungsverhalten:

                 dx   F ⋅F
∆z = 0              = S R
                 dw 1+ FS ⋅ FR

                  ∆x =     .... ∆w



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Beispiele:

1.)
Gesucht oist die bleibende Regelabweichung bei einem P- (PD-) Regler auf eine P-Strecke.
Gasbeheizter Ofen: Ventilhub 1mm bewirkt eine Temperatursteigerung um 10°C. Eine
Gasdruckänderung von einem 1mbar bewirkt eine Temperaturänderung um 5°C.
Regler: 1°C Tempereaturänderung bedeutet 0,8 mm Ventilhub, z=5mbar.
Gesucht: Abweichung mit und ohne Regler

                  08mm
                   ,
      FR = KR =
                   1° C

      v         10° C
      Fs ⇒ KS =
                1mm

      ∆z = 5mbar ⇒ }mm

      = 25° C ⇒ 2,5mm
      $

      ∆xohne = 25° C             ... je größer V0 desto kleiner ist die Regelabweichung

             10° C
                   ⋅ 2,5mm
      ∆xmit = mm           = 2,8° C              ... mit Regler
               1+ 08⋅10
                    ,

             siehe Buch Seiten 209 und 210

2.)
PT1 Strecke mit PI - Regler
Üblicherweise wird das Verhalten auf der Sprungfunktion symbolisch in der Blockschaltung
eingezeichnet.

                                                                  Z
                                                 PI-Regler                PT1-Strecke
                          W                W-X                    Y+Z
                                                                                            X
                                 -X




                                    1             
PI-Regler:        y = KR ⋅ (w − x) + ⋅ ∫ (w − x)dt + y0
                                    τI            
      v    y − y0         1 
      FR =        = KR 1+
           w−x          jωτ R 
                               

PT1 Strecke:           dx
                  τ⋅      + x = ks ⋅ ( y + z)
                       dt


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v      v
       x           1
FS =      =
     y + z kS ⋅ [1 + jωτ S]


∆w = 0
           v                           Ks
           FS                     1+ jϖτ s
   ∆x =            ⋅ ∆τ =                                ⋅ ∆z
        1+ FS ⋅ FR           KS                  1 
                      1+             ⋅ KR ⋅ 1+        
                         1+ jϖτ S            jϖτ R 
                        Ks
                     1 + jϖτ s
   ∆x =                                           ⋅ ∆z
        1 + jϖτ S    KS                     1 
                  +         ⋅ K R ⋅ 1 +        
        1 + jϖτ S 1 + jϖτ S          jϖτ R 
                               K ⋅K 
 ∆x ⋅ (1+ KS ⋅ KR ) + j⋅ ϖτ S − R S   = KS ⋅ ∆z
                                 ϖτ R  
         v ∆x                       KS
         F=       =
             ∆z                             K ⋅K 
                    (1+ KR ⋅ KS) + j⋅ ϖτ S − R S 
                                             ϖτ R 
         v                       KS
         F=
                                                  2
                                         KR ⋅ K
                (1+ KR ⋅ KS)2 + jϖτ S − ϖτ S 
                                  
                                  
                                                
                                              R 

                                 KR ⋅ KS
                        ϖτ S −
                                  ϖτ R
 ϕ = − arctan
                          1 + KR ⋅ KS

  d    d 2 ⋅ (∆x)                 dx 1               d(∆z)
    =τ            + (1 + K R ⋅ KS) +     ⋅ ∆x = KS ⋅
  dt s dt                         dt τ R               dt

              d 2(∆x)                            dx                   d(∆x)
 τ R ⋅τ S ⋅         2
                         + τ K ⋅ (1 + KR ⋅ KS)      + ∆x = τ R ⋅τ S ⋅
               dt                                dt                     dt

                             homogene Differentialgleichung 2. Ordnung = 0

 siehe Differentialgleichung PT2 Strecke


∆Z


                                                     konst

                                                      t


                                                                      d(∆x)
                                                                            =0
                                                                        dt




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      ∆X




                                                   t




    Wie aus der mathematischen Lösung ersichtlich ist, ergibt sich eine Differentialgleichung
    2. Ordnung. diese beinhaltet aber auch je nach Dämpfung ein schwingendes Verhalten.


    D <1


    2Dτ ⇒ (τ R (1 + k R * k s))


    τ 2 = τ R *τS


           τR                              1 + k R * kS τ R
    D=              * (1 + k R kS) ⇒ D =               ⋅    <1
                                                 2       τS
         2 τ Rτ S


    D. h. jede Störung ergibt in diesem Fall eine kurzzeitige Schwingung der Regelgröße.

3.) Regelkreise und Ihr Verhalten mit stetigen Reglern (Verhalten)

       Nach Beendigung des Anfahrens (Hochlauf, usw.) soll der Regler den vorgegebenen
       Wert halten und die Regelgröße keine periodischen Schwankungen aufweisen, d.h.:
       stabil sein. Störungsänderungen sollen mit möglichst kleiner Überschwingweite und
       kurzer Ausregelzeit ausgeglichen werden.
       Führungsänderungen ebenfalls mit kurzer Anregelzeit und kleiner Überschwingweite
       den stabilen Wert erreichen.

             z
                                   x
                 FS

y                                 -x
                 FR
                                  w



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w




z                                                          t




                                                           t
 x


                stabil

 w
                             Ta u s
                                         Führungsänderung
                          anfahren

                                                           t


        x

                x                            Toleranzband z.b. +-2%

     Xneu




       Xalt         Tan
                                                               t
                               Taus




τan ... Zeit von Beginn des Ereignisses bis zum ersten Mal der neue Wert erreicht wird.
τaus ... Beginn bis zum ersten mal innerhalb eines Toleranzbereiches

Neben der Überschwingweite und Ausregelzeit wird die Regelfläche ein Maß für die Qualität
der Regelung.


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                                                                    ∞

                                                                    ∫ ( xτ − x
                                                                    0
                                                                                 ∞   )dτ ⇒ min




                                                                    oder




                                                                    ∞

                                                                    ∫ ( xτ − x
                                                                    0
                                                                                 ∞   ) 2 dτ ⇒ min



                                                                    oder



                                                                    ∞

                                                                    ∫ ( xτ − x
                                                                    0
                                                                                 ∞   )τ dτ ⇒ min




                                                                    optimal




Die Regelstellung muß entsprechend variiert werden, wobei entweder Rechner oder diverse
Tabellen mit Erfahrungswert B.S. 215 bzw. 210 als Hilfsmittel dienen.

MS: Dabei ist zu beachten, daß ein gutes Führungsverhalten nicht immer ein gutes
Störverhalten beinhaltet und umgekehrt.



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4.) Stabilität des Regelkreises




Zur Stabilitätsermittlung wird der Regelkreis zwischen Stellglied und Reglerausgang getrennt
und eine Störsimulation durchgeführt. Für die Dauerschwingung (Stabilitätsgrenze) muß der
Wert des Stellgrößeneinganges gleich dem negativen Reglerausgang sein.
Der Regler muß der Störwirkung entgegen arbeiten. Dies bedeutet eine natürliche
Phasenverschiebung von 180° (-Y). Durch die Zeitverzögerungen in der Regelstrecke und
dem Regler ergibt sich eine weitere Phasenverschiebung .




Als Grenzbedingung gilt daher:
Kein Aufschaukeln der Schwingung bzw. <180°. In Summe ergebe sich dann eine
Verschiebung von 360° und aus der Gegenkopplung wird eine Mitkopplung.

Im Normalfall ist durch die Regelwirkung eine entgegengesetzte Regelgröße am Ausgang
erwünscht (-180°). Tritt innerhalb der Regelstrecke und des Reglers eine weitere
Phasenverschiebung um 180° auf so ist aus der Gegenkopplung eine Mitkopplung geworden.
Das System schwingt sich auf.

1.Bsp.: PT3-Strecke und Regler
       bestimme die kritische Gesamtverstärkung v bzw. Verstärkung des Reglers

a) Schaltung zur Aufnahme dieser Strecke mittels Analogrechner



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b) Der Kreis schwingt beimSchließen konstant weiter, wenn F=-1 d.h. |F|=1 und ϕ= -180°
       bestimme daraus die kritische Gesamtverstärkung v bzw. die kritische Frequenz

Überprüfung mittels Experiment oder mathematischer Methoden.

Das Stellglied wird sinusförmig verändert und gleichzeitig diese sinusförmige Änderung auf
einen Kanal eines Osziloskop aufgezeichnet. Auf den 2.Kanal wird der Wert des
Reglerausganges aufgenommen. Ein direkter Vergleich ist damit möglich.


                                                                   1         1          1
                         FGES = − 1 = FR * FS = VS * V R *              *          *
                                                               1 + jωτ 1 1 + j ωτ 1 1 + j ωτ 1


FS = F1 * F2 * F3

                                                                                     3
             1                                                           1      
F1 = k *                                          FG E S   = VR *1*             
         1 + jω τ        1                                           1 + jω τ 1 

v                    1                 1
Fges = VR ⋅                    ⋅
              1 + ω 2 ⋅τ     2
                                   1 + ω 2 ⋅τ 2

                 1
1 = VR ⋅
           (1+ ω 2 ⋅τ 2)
                             3



ϕ = −180°         daher für eine PT1 Strecke -60°

             B           ωτ
ϕ = arctan     = − arctan 1 = −60°
             A            1




                                                               Seite 49
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         1
F=
1    1 + jωτ 1

                  ωτ
tan60°= 3 =
                   1
           3
ω kr =       = 8,6sek −1
         0,2
        ω
                                             (                )
                                                              3
fkr =      = 136Hz
              ,                     VR = 1⋅ 1 + 8,62 ⋅ 0,22        = 7,99 ≈ 8
        2π

Wenn die Verstärkung des Reglers den Wert 8 erreicht, schwingt das System! Dies ergibt
einen wichtigen Erfahrungswert für die Einstellung von Regelkreisen (Siehe Kriterium nach
Ziegler-Nicols).
Zur Ermittlung günstiger Einstellwerte für die Regeleinrichtung dienen z.B. die von Ziegler
und Nichols gefundenen Näherungswerte. Sie gelten allerdings nur für Regler mit
Störverhalten, nicht für solche mit Führungsverhalten. Dazu wird der Regler zunächst als P-
Regler eingestellt. Dann vergrößert man langsam den Übertragungsbeiwert Kp des Regler und
zwar solange, bis der Regelvorgang gerade ungedämpfte Schwingungen ausführt, d.h. bis der
Kreis gerade instabil wird. Die Schwingungsdauer dieser Dauerschwingung wird gemessen.
Dieser Einstellwert des P-Reglers wird als kritischer Wert bezeichnet KR krit=kritische
Reglerkonstante. Die Schwingungszeit wird als kritische Schwingungszeit Tkrit bezeichnet.
Mit diesen Werten kann man eine günstige Einstellung der Regler näherungsweise
bestimmen. Bei Regelstrecken, die durch eine Totzeit Tt’ eine Zeitkonstante Ts und den
Übertragungsbeiwert Ks gekenntzeichnet sind, kann man die Regelparameter auch nach
Formeln errechnen.

 Regler        Ziegler-Nichols         Strecken mit                       Chien, Hrones, Reswick
                                        Tt, TS, KS                     Führung                Störung
P-Regler         KP = 0,5 KR krit               TS                           T                      T
                                       KP =                       X P = 3,3 * U * 100    X P = 3,3 * U * 100
                                             KS * Tt                         Tg                     Tg

PI-Regler KP = 0,45 KR krit                         TS                           TU                         TU
                                    KP = 0,9 *                    X P = 2,9 *       * 100    X P = 1,66 *      * 100
           Tn = 0,85 Tkrit                        KS * Tt                        Tg                         Tg
                                    Tn = 3,3 * Tt                 Tn = 1,2 * Tg              Tn = 4 * TU
  PID-         KP = 0,6 KR krit                     TS                            TU                        TU
                                    KP = 1,2 *                    X P = 1,66 *       * 100   X P = 1,05 *      * 100
 Regler         Tn = 0,5 Tkrit                    KS * Tt                         Tg                        Tg
               TV = 0,125 Tkrit
                                    Tn = 2 * Tt                   Tn = Tg                    Tn = 2,4 * TU
                                    TV = 0,5 * Tt                 TV = 0,5 * TU              TV = 0,42 * TU

Wenn der Regelkreis nicht zum Schwingen gebracht werden darf, aber Störgrößen- oder
Stellgrößensprünge auf die Strecke gegeben werden können, bedient man sich der
Einstellregeln nach Chien, Hrones und Reswick.




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Welcher Wert τIR eines I-Reglers an eine PT2-Strecke entspricht der Stabilitätsgrenze
VS = 1; τS1 = τS2 = 0,1 sek.
Der I-Regler besitzt bei allen Frequenzen eine Phasendrehung von -90°. ωkritisch ist daher jene
Frequenz, bei der die Regelstrecke einen Phasenwinkel von -90° hat.

                360°     =     -180°     -90°              -90° -> Mitkopplung
                         Gegenkopplung   Regler            Strecke

τS1 -> ϕ1 =-45° = ϕ2
tan 45° => 1

PT2-.Strecke
 r        1         1
FS =           *
      1 + jωτ 1 1 + jωτ 2
ϕ 1 = -arctan ωτ 1
ωτ = 11


                  1
ωkritisch =            = 10 sek -1
                  τ1
f
    krit   =
               ω = 10 = 1,6 Hz
               2π 2π
                r     r
− 1 = Fges = FR * FS
                        1                    1
Fges = 1 =                         * VR *
                 (a + b) * (a + b)          ω ²τR ²
r       VS * 1       1         1          1         1
Fges =          *           *      =             *
       1 + j * 1 1 + j * 1 jωτR 1 + 2 j − 1 jωτR




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E.) Anwendungsbeispiele

Beispiel 1:

Geregelter Gleichstrommotor


Motorprinzip:    F = B* I * l * N       M = F*r               Φ = B*A

                                        M=      k1 * Φ * I
                                               2* π *r *n
Generatorprinzip: U0 = B * N * l *v     v=
                                                   60
                 U0 = k 2 * Φ * n

Maschenregel:    ∑U=0

                 Uklemm = U0 + I * Ri

                        U0     U      I * Ri   U        M * Ri
                 n=          = kL −          = kl −
                      k 2 * Φ k 2 * Φ k i * Φ k 2 * Φ k1* k2 * Φ2

$=konst.         z.B. Permanentmagnet
                 n = c1 * Uklemm − c2 * M

   n                          Spannung erhöhen


                              Uklemm = konst


                                            M

Die Drehzahl hängt von der Spannung und dem Moment ab. Soll bei Belastung die Drehzahl
konstant gehalten werden, dann muß die Spannung gleichzeitig erhöht werden, dabei darf der
Motor über seine Grenzleistung hinaus nicht betrieben werden, d.h. die Verlustwärme, die
durch eine Art Isolation und Kühlung nach oben hin festgelegt ist, ergibt eine zulässige
Grenztemperatur und damit einen maximalen Strom, da Wärme entsprechend
P = I 2 * R + PFe erzeugt wird.




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Der Spannungsmittelwert läßt sich beeinflussen mittels:
a.) gepulster Gleichspannung

 -24




                                                            _
                                                   Umittel =
                                                    t
       τ1     τ=
                    1                 0 < τ1 <
                    f   f = 20

                                                 variabel

z.B.: Schaltung:
                        N




                                 L1   L2   L3



                                                         C     Kondensator

                                                                             Feld




b.) gleichgerichtete Wechselspannung mittels Thyristorbrücke

            U

                                                  ≈220V
                                  U


                                 ωt
            Izünd                                                                          Feld




                                 ωt




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Blockschaltbild für Regelung:
                         Steuerteil                                          Leistungsteil

                                      =
                                                 ~
                                                       Syncronisation
         Führungsgröße


                                                      =
                                                                                    Anker
n-Soll                     n-Regler       I-Regler   Zündungsimpuls

                                                                   Stromwandler
                                               Regelgröße

                                                                                  Tachogenerator


                                  SIGNALZWEIG ⇐                         ⇒ENERGIEZWEIG

Ein Sollwert in Form einer Gleichspannung proportional einer Drehzahl wird mit dem Istwert
in Form einer Spannung vom Tachogenerator verglichen. Die Differenz wird über einen
Regler verstärkt. Der Reglerausgang ergibt einen Wert proportional einem Sollstrom. Dieser
wird mit einem Iststrom verglichen und dann einem Stromregler zugeführt. Diese sogenannte
unterlagerte Stromregelung ergibt eine Verbesserung der Regeleigenschaften und ermöglicht
gleichzeitig eine Strombegrenzung (siehe vorher allg. Text).
Der Ausgang eines Stromreglers ergibt eine Gleichspannung; diese wird dem Steuersatz
zugeführt, indem sowohl der Zündimpuls als auch der Phasenwinkel (Alpha klein, Strom groß
usw. ) erzeugt wird.
Über die Grenzlast hinaus darf der Strom nicht ansteigen (Einstellung I-Regler), die Drehzahl
ist dann nicht mehr konstant, sondern sinkt bei weiterer Belastung ab.

Beispiel 2:
Kombination von Analog- und Digitalkonzepten am Beispiel der Folgeregelung




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                                           =
                                                                          Anker
                  n-Regler   I-Regler     Zündungsimpuls

                                                         Stromwandler                  Tachogenerator
                                  Regelgröße



            DAC
=
                                          < Differenzzähler
                                                           Drehrichtungserkennung    Winkelschritt-
                                                                                    geber (Position)



                              13200               Programmgeber & PC

                        Dekadenschalter

Der Winkelschrittgeber erzeugt Rechteckimpulse die proportional dem zurückgelegten Weg
sind. Mit Hilfe 2er Photodioden, versetzt um eine halbe Impulsbreite (Zahnbreite), ergeben
sich 2 Impulsfolgen die um eine halbe Impulsbreite versetzt sind. Je nachdem welche
Impulsfolge zuerst da ist, ergibt sich eine Auswertung für die Drehrichtung bzw. für den
Zähler. Der Differenzzähler bekommt seinen Sollwert von einem Dekadenschalter bzw. von
einem Programmgeber (-> Inkremental wird daher auf Null herunter gezählt) vorgegeben.
Entsprechend wandelt el. DAC den Zahlenwert in eine Sollspannung für den Drehzahlregler
um (wenn Position erreicht ist, ist die Drehzahl Null).
Der Antrieb muß in 4 Quadranten wirksam sein, d.h. Motor Links- & Rechtslauf;
Motorbremse Links- & Rechtslauf.
Wird der Gleichstromtacho und der Regler durch einen Prozessor ersetzt, so ist die Impulszahl
des Winkelschrittgebers, nach der Zeit differenziert, ein Maß für die Geschwindigkeit. Die
Regler werden rein math. nachgebildet, siehe Digitalregler. Der Prozessorausgang muß dann
mit einem DAC verbunden werden, der den Ziffernwert in eine Gleichspannung umsetzt.
Genauso muß der analoge Strom-Istwert mittels ADC in einen Zahlenwert umgesetzt werden,
der dann den Prozessor zugeführt wird.

                       DAC         =
                                                                      Anker
                                 Zündungsimpuls

 PROZESSOR             ADC




Für inkrementale Wegmeßsysteme ist ein Referenzpunkt notwendig (Stromausfall).



3.) Digitale Regelung
3.1.) Einführung
3.2.) Digitale Regler-Regelkreise


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     Durch die Entw. der Mikroelektronik und der Prozeßrechner, werden immer mehr digitale
     Regler verwendet. Es ergibt sich damit für einen Regelkreis folgendes Strukturbild:
                                     Regelstrecke                    Z

                                                                Anlage                                               X
                                                               (Prozeß)
                                                                                                                     X

                   Stellglied
                                                                                                        Meßwert-
                                                                                                        erfassung
Y                  Verstärker                                                                                                        t
                                Y

                   Halteglied        DAC            Abtaster         Digitaler           ADC             Abtaster
               t                                                      Regler
    ∆t


                         YDig                                                XDig


                                t              t                                                          t
                                                                                         Abtastzeit τ
                                ∆t
                                                                                    ∆t

     Durch die Meßgrößenerfassung wird eine physikalische Größe in eine elektrische umgesetzt
     ... Im Rechner kann notfalls eine Linearisierungskennlinie mathematisch durchgeführt werden.
     z.B. ein Thermoelement ergibt keine lineare Spannung in Abhängigkeit der Temperatur.
     Innerhalb einer Abtastzeit wird die Meßgröße erfaßt, durch den ADC quantifiziert, und in ein
     binäres Signal umgewandelt. Jedem Meßwert wird daher ein Zahlenwert zugeordnet. Im
     Digitalsystem wird die Differenz zwischen Soll und Istwert gebildet, und der
     Regelalgorithmus für den Stellwert dazugegeben. Diese Ausgangsgröße wird als
     binärcodiertes Signal taktweise angegeben, und muß, wenn eine analoge Stellgröße benötigt
     wird, über einen DAC und einem Halteglied der entsprechenden Stelleinrichtung zugeführt
     werden.
     Das Halteglied sorgt dafür, daß das ausgegebene Signal auch zwischen den Abtastzeitpunkten
     erhalten bleibt. Je mehr digitale Stell- und Meßeinrichtungen direkt vorhanden sind, desto
     geringer sind die Störeinflüsse. Ein weiterer Vorteil ergibt sich bei kurzzeitigen Störungen
     innerhalb des Abtastintervalls, da diese nicht übertragen werden.

     Als diskret auftretende Stelleinrichtungen werden Schrittmotoren, Magnetschalter und Relais
     eingesetzt, die über geeignete Interfacebausteine direkt vom Mikrorechner angesteuert
     werden. z.B.: SPS mit Analogwertverarbeitung und/oder binärem Analogausgang.

     3.3) Digitaler PID-Regler

     Der übliche Regelalgorithmus ist dabei der eines PID-Reglers, der mathematisch nachgebildet
     wird. Dadurch ist es auch möglich z.B. in Abhängigkeit der Führungsgröße, Parameter zu
     ändern oder z.B. in Abhängigkeit des Prozesses, wobei dann mathematische Modelle des
     Prozesses eingegeben werden müssen.

                                                                 Seite 56
                                                    GESR-Skriptum                             Georg Tschida 5HBa 1996/97




                                                                  YP = KP ⋅ e = K ⋅ en
            P-Anteil                                                                                        n
                                                                              1                       ∆t
                                                                  YI = KI ⋅        ⋅ ∫ e ⋅ dt = K ⋅        ⋅ ∑ ei
                        Σ                                                     τN                      τN
w-x=e       I-Anteil          y                                                                            i =1
                                                                                    de    τ
                                                                  YD = K D ⋅ τ A       = K v ⋅ ( e n − e n −1 )
            D-Anteil                                                                dt    ∆t
                                                                  Y = YP + YI + YD
3.4.)
a) Adaptive-Regler
Wir verstehen darunter einen Regler der sich selbst an die vorhandene Regelstrecke anpassen
kann. Dies geschieht dadurch, daß das Eingangssignal der Regelstrecke mit dem
Ausgangssignal der Regelstrecke verglichen wird, und aufgrund der sich dabei ergebenden
Daten eine Optimierung der Regelparameter vorgenommen wird, und zwar so, daß der
gewünschte Führungsgrößenwert möglichst schnell erreicht wird.

                                         y’            Regelstrecke                  x
                         Stellglied
                                                            (Prozeß)

                                                  Wandler                           Wandler
                       Verstärker
                          Wandler             x

                                                      Prozeßrechner
                            Regler                    mit Modell und
                                                      Anpaßrechner

                                     w

                                                             Mikrorechner

Dies verhindert, daß sich dabei alle Parameter in einem zu großem Umfang pro Regelzyklus
ändern, und damit verbundene Fehlfunktionen bei rasanter Änderung der Regelparameter.
Wird die Führungsgröße in Form eines Programmes vorgegeben, so können zusätzlich die
PID Parameter in Abhängigkeit der Führungsgröße geändert werden.


b) Mehrkreisregelung
Der Mikrorechner übernimmt dabei die Funktion von mehreren Eingrößenreglern, indem er
alle Werte zeitlich versetzt, die einzelnen Regelgrößen (meist 8 oder mehr) innerhalb eines
Abtastintervalls ∆t nacheinander erfaßt, verarbeitet und die Stellgrößen berechnet und
ausgegeben werden.
Meist ist ein Rechner an mehrere Regelkreise angeschlossen. Im Bild hat das System die
Aufgabe, den Vergleich der Regelgrößen mit den Sollwerten bzw. Führungsgrößen
durchzuführen, und über die Regler die Stellgrößen zu erzeugen.




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                                                              GESR-Skriptum                               Georg Tschida 5HBa 1996/97


                                            y1                                            x i1
                                                         R e g e ls tr e c k e 1

                                                     R e g e ls tr e c k e N
                                            yN                                            x iN



                                          R e g le r N                    P rozeß rech en -

                                          R e g le r 1                             s ys t e m


                                                                                           xS


Der Prozeßrechner kann auch die Funktion der einzelnen Regler übernehmen, d.h. er
verarbeitet die jeweilige Regelgröße und gibt entsprechende Stellgrößen an die Strecke weiter.
Außerdem übernimmt er eventuelle Dokumentationen. Die Stärke dieses Konzepts liegt darin,
bestimmte Regelaufgaben durchführen zu können, die sonst überhaupt nicht lösbar wären:
• Regelung von Strecken mit variablen Parametern
• nicht lineare Regelalgorithmen
• Störgrößenaufschaltung zur besseren Beherrschung schwieriger Regelstrecken
• Regelung von abgeleiteten Größen
Ein weiteres Konzept wäre, mehrere digitale Regler autonom zu verwenden. Der
Prozeßrechner hat dann die Aufgabe zu steuern, zu protokollieren und wenn möglich bei
Ausfall eines Reglers dessen Funktion zu übernehmen. Dadurch ergibt sich eine raschere
Einzelregelung und es sind geringere Rechenkapazitäten erforderlich.


4.) Fuzzy-Logik
Allg.: In den regelungstechnischen. Anwendungen erfolgt die Modellbildung nicht mit den
Methoden der herkömmlichen Mathematik, sondern mit Hilfe der Fuzzy-Logik in einer
umgangssprachlichen Form. Dabei füllt die Fuzzy-Logik die sprachliche Beschreibung mit
einem mathematisch präzisen Inhalt und macht sie so berechenbar. Die Verwendung
sprachlicher statt mathematischer Komponenten bietet auch bei komplexen Steuerungen
Übersichtlichkeit und einfache Modifizierbarkeit.
Die Fuzzy-Logik findet dort ihre Anwendung, wo die Lösung der Probleme nicht mehr oder
nur schwer mit Algorithmen exakt beschreibbar ist. Statt dessen muß der Prozeß mit
Erfahrungswerten (heuristisch) gesteuert werden.
In der Regelungstechnik hat die Fuzzy-Technik durch die vollständige, graphische
Entwicklungsdarstellung auf PC’s ein wichtiges Anwendungsgebiet gefunden.

                                     Prozeß, Anlage
Stellgröße
                                      Regelstrecke
      Y                                                                                                     X Regelgröße


                                                                                         linguistische      Xu Istwert
          Defuzzifizierung                Fuzzy Inferenz
 Yu                                                                                     Approximation
                                                                                            Annäherung


                             Kontroller                           Basiswissen                    Erfahrungswerte
                                                                                                  von Praktikern


                                                                    Seite 58
                                           GESR-Skriptum                 Georg Tschida 5HBa 1996/97



4.1.) Begriffe
- Linguistische Variablen: sind vom Menschen definierte Mengen ohne genaue Abgrenzungen
      der Bereiche, z.B. warm, kalt, hell, dunkel, langsam, schnell.
- Fuzzy Operatoren: sind jene Begriffe von UND, ODER bzw. NICHT Werten, die es
      erlauben die menschl. Sprache, z.B. ziemlich warm, sehr kalt, zum Zwecke der
      Erfassung in Form von Regeln darzustellen.
- Produktionsregeln: stellen die menschl. Schlußfolgerung dar, z.B. wenn sehr warm, dann
      schließe ich das Ventil von Heizung.
- Linguistische Approximationen: übersetzen der Werte in techn. verwertbaren Größen.
      Fuzzyfizierung und Defuzzyfizierung.
- Unschärfe der Präzision: die Fuzzy-Logik stellt schon allein von ihrer Bezeichnung her
      (unscharfe Logik) einen großen Widerspruch dar. Die Logik gilt als die genaueste
      Wissenschaft, und ihre Anwendung in der modernen Mathematik ist die Grundlage des
      Computers. Im menschlichen Denken gibt es viele unscharfe Begriffe: große Leute, viel
      Geld, usw. Eine genaue Definition dieser Begriffe (linguist. Var.) liegt nicht vor. Die
      Fuzzy-Logik erweitert die Begriffe Wahr und Falsch der klassischen Logik auf ziemlich
      Wahr bzw. recht Falsch.
 Linguistische Variablen:
Wie können Begriffe des menschl. Denkens dargestellt werden, so daß einerseits der
unscharfe Charakter nicht verloren geht, und anderseits ein Computer (Prozessor) dieses
nachvollziehen kann, z.B. linguist. Var. : Brennkammertemperatur.
mögliche Ausdrücke dieser Variable: nieder, mittel, hoch, ...
Wird diese mit mehr oder weniger Wahr der Fuzzy-Logik kombiniert, so entsteht eine
linguist. Var., die einen Wert, wie z.B. ziemlich hoch annehmen kann.
Der Grad, zu welcher Menge niedrig, mittel, hoch einen Wert von 1 ,50, 100 angehört, wird
durch eine Zahl zwischen 0 und 1 ausgedrückt. Für diese Definitionen sind keine willkürliche
Schwellwerte notwendig, sondern sanfte Übergänge.
Fuzzy-Operationen:
Zusammenhang zw. einer techn. Größe der linguist. Variablen, durch UND, ODER und/oder
NICHT. Der Wahrheitsgrad einer UND-Verknüpfung ist das Minimum der Wahrheitsgrade.
Dies ist die Negation als Differenz zu 1. Der Wahrheitsgrad zweier Aussagen, die durch
ODER verknüpft sind entsprechen dem Maximum der Wahrheitsgrade der beiden einzelnen
Aussagen.

Folgende Regeln sollen nun gelten:
1) Wenn die Geschwindigkeit „zu langsam“ und die Beschleunigung „Verzögerung“ ist, dann
   Leistung „kräftig erhöhen“.
2) Wenn die Geschwindigkeit „langsam“ und die Beschleunigung „Verzögerung“ ist, dann
   Leistung „etwas erhöhen“.
3) Wenn die Entfernung „nahe“ ist, dann Leistung „etwas weniger“.

Die Reglerausgabe hat auch einen Wahrheitsgrad die von den Wahrheitsgraden der Eingabe
abhängt. Im konkreten Fall wird die Ausgabe Leistung „etwas erhöhen“ sein.
Begründung: Die Geschwindigkeit ist eigentlich „zu langsam“ doch befindet sich der Zug in
der Nähe seines Zieles.
Es gibt keine Garantie, daß die Fuzzy-Logik komplexe Systeme erfolgreich behandeln kann,
da es schwierig ist die Stabilität solcher Regler zu beweisen.
Ein auf Fuzzy-Logik basierender Regler, basiert eigentlich auf einer Schätzfunktion für das
System.


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                                          GESR-Skriptum                Georg Tschida 5HBa 1996/97




4.2.) Entwicklungsprinzip für Fuzzy-Regeln
• Definition der Eingangs- und Ausgangsgrößen, anhand der vom Operator beobachteten und
   gesteuerten Prozeßgrößen.
• Vorbereitung der Regelgröße, die sich aus anderen Meßwerten ergeben (z.B.:
   Regelabweichung: zeitliche Abhängigkeit der Regelabweichung)
• Best. der Wertebereiche von Ein- und Ausgangsgrößen und ihrer Normierung 0-100%
• Definition und Zusammenstellung der Variablen für Ein- und Ausgang
• Quantifizierung der linguistischen Variablen mit Zugehörigkeitsfunktionen
• Formulierung der Fuzzy-Regeln

4.3.) Beispiele:
Automatische Regler für die Steuerung der Geschwindigkeit eines Zugs. Das Kriterium für
den Regler ist die Optimierung der Fahrzeit unter bestimmten eingeschränkten Bedingungen.
Die aktuelle Geschwindigkeit, die Beschleunigung und die Entfernung vom Zielort sind
Eingabedaten, der Regler muß die Motorleistung steuern.




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 Zugehörig-
 keitsgrad

    1
        zu langsam      langsam          optimal             schnell           zu schnell

    0                                                                                       Geschwindigkeit
                                         100 km/h                              200 km/h
           aktueller Zustand

 Zugehörig-
 keitsgrad

    1

        Verlangsamung          konst. Geschw.                  Beschleunigung

    0                                                                                       Beschleunigung
        -2,5m/s²                                                    +2,5m/s²
          aktueller Zustand
 Zugehörig-
 keitsgrad

    1
        sehr
                                   nah                                fern
        nah

    0                                                                                       Entfernung vom Ziel
                                  1500 m                              3000 m
         aktueller Zustand


Zugehörigkeitsgrad
 Motorleistung

    1
        kräftig         etwas              konstant            etwas             kräftig
        mindern         mindern            halten             erhöhen            erhöhen

    0                                                                                         Regler-Ausgang
Im aktuellen Zustand ist die Beschleunigung eine Verlangsamung aufgrund einer Steigung.
Die Geschwindigkeit gehört der Menge langsam mit der Gewichtung 0.8, und zu langsam mit
der Gewichtung 0.2, die Entfernung sei sehr nahe mit der Gewichtung 0.65, und nahe mit der
Gewichtung 0.35. Die aktuelle Beschleunigung ist eine Verzögerung und hat eine Gewichtung
von 1.

Beispiel: Regelung eines Methanventils




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P rozeß :
                            V en til               V ork am m er                                           B ren n kam m er
 M e th a n g a s


                                         Y                       P
     V e rs tä rk e r                                                                                      ϑ
                                                                                                           T e m p er a tu r
     W a n d le r
                                                                     Pu       D ruck
                                                                                                         ϑυ
                                       Yu
                                                                                          lin g u is tis c h e
                    D e fu z z ifiz ie r u n g         F u z z y I n fe r e n z
                                                                                         A p p r o x im a tio n



                                         K o n tr o ller                    B a s is w iss e n



Gesteuert wird ein Ventil, von dem der Druck in der Vorkammer abhängt. Die Gasmenge die
in die Brennkammer eindringt, bestimmt die Brenntemperatur. Als linguistische Variablen
werden Brennkammertemperatur und Vorkammerdruck festgelegt. Der Ausgang wird durch
die linguistische Variable Ventil dargestellt.

     Zugehörig-
     keitsgrad unter normal                      normal       über normal
              1



                                                                                   Vorkammerdruck [bar]
                    0
                           37       38       39     40 41             42
                                                   aktuell
    Zugehörig-
    keitsgrad             niedrig         mittel hoch                sehr hoch
             1
 sehr hoch 0,8

        hoch 0,2
                                                                                    Brennkammertemperatur [°C.]
               0
                        300 400 500 600 700 800 9001000
                                                           aktuell



Bsp.:
Temperatur=920°; Druck 40,5 bar
Fuzzyfizierung:     Temperatur 920°       {0,8-0,2}
              Druck 40,5 bar,      über normal: 0,5
                            normal:              0,5
                            unter normal: 0


                                                                 Seite 62
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4.4.) Fuzzy Inferenz
Die Verarbeitung unscharfer Informationen mit Fuzzy-Logik basiert auf Produktionsregeln,
die aus WENN-Teilen (Vorbedingung) und DANN-Teilen (Schlußfolgerung) bestehen.

Regel 1:   WENN Temperatur = sehr hoch
                ODER Vorkammerdruck = über normal
           DANN Methanventil = gedrosselt

Regel 2:   WENN Temperatur = hoch
                UND Vorkammerdruck = normal
           DANN Methanventil = halb offen

Daraus ermittelt man folgende Grade, wobei immer davon ausgegangen wird, daß die
Schlußfolgerung zum gleichen Grad erfüllt ist, wie ihre Vorbedingung.

     Regel 1:    max. {0,8;0,5} =0,8
     Regel 2:    min {0.2;0,5} =0,2

(d.h. das Ventil ist zu einem Grad von 0,8 gedrosselt und zu einem Grad von 0,2 halboffen)

Inferenzsysteme: In der Fuzzy Logik werden 2 Methoden angewandt, die sich nur geringfügig
voneinander unterscheiden:
a) max-min Inferenz(auch Trapezfunktion genannt)
b) max-prod Inferenz(auch Dreiecksfunktion genannt)


4.5.) MAX-MIN Inferenz
(auch Trapezfunktion genannt)

Die unscharfen Mengen der Terme der linguistischen Variablen (z.B.: Methanventil) werden
jeweils auf den Wahrheitsgrad der Vorbedingung begrenzt (Minimum). die so erhaltenen
unscharfen Mengen werden zu einer einzigen zusammengefaßt (Maximum). diese unscharfe
Menge ist das Resultat der Inferenz.




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4.6.) MAX-PROD Inferenz
(auch Dreiecksfunktion genannt)
Die unscharfen Mengen der Terme werden nicht begrenzt, sondern sie bildet das Produkt aus
unscharfer Menge des Terms der Schlußfolgerung und des Wahrheitsgrades der Vorbed. .




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Als Ergebnis erhält man für die Stellung des Methanventils bei beiden Methoden eine
unscharfe Menge. Dies zeigt für alle möglichen Ventilstellungen, inwieweit sie zur unscharfen
Menge der Ventilstellungen gehören, aus der die tatsächliche Einstellung kommen muß. Da
aber Ventile kein Verständnis für unscharfe Mengen und linguistische Variablen haben,
müssen diese in eine reelle Zahl umgewandelt werden (=defuzzyfizieren), wobei aber ein Teil
der Information verloren geht.

4.7.) Unscharfes Schließen
Bei der Verwendung von Fuzzy-Expertensystemen und mehrstufigen Regelungen reichen
jedoch bisher genannte Methoden nicht aus, um eine funktionsfähige Regelung zu schaffen.
Dies ist dann der Fall, wenn die Schlußfolgerung nicht mehr zum gleichen Grad ,m sondern
nur zu einer bestimmten Wahrscheinlichkeit wahr ist wie die Voraussetzung.
Ein Mensch würde bei solchen Konflikten die Grade, zu denen die Vorbedingungen erfüllt
sind mit denen der „Richtigkeit“ der Regeln ins Verhältnis setzen.
In diesem Fall wird jeder Regel der Wissensbasis ein Glaubensmaß als reelle Zahl von 0 (kein
Vertrauen der Gültigkeit der Regel) bis 1 (volles Vertrauen) zugeordnet.

4.8.) Temperaturregelung eines chemischen Reaktors mit Fuzzy
Aufgrund dessen, daß die Temperaturregelung dieses Reaktors keine Linearität aufweist, wäre
die Anforderungserfüllung dieses Systems mit Standardreglern (P, PI, PID) nur schwer
realisierbar. Wegen der mathematisch schwer beschreibbaren Kinetik der Reaktionen wurde
die Temperaturregelung im Reaktor durch einen Experten manuell durchgeführt. Das Ergebnis
war gut, aber schlecht wiederholbar.
An diesem Punkt kommt der Einsatz der Fuzzy-Logik zur Geltung.
Die Fuzzy-Logik bietet somit eine praktische und ökonomische Art zur Lösung des gegebenen
Problems in kurzer Zeit und mit annehmbaren Resultaten.
Die Synthese besteht wird in zwei Bereiche gegliedert:
• Ablaufsteuerung von Chargenprozessen:
... beinhaltet die gesamte Problematik der Rezepturführung; d.h. alle Probleme, wie das
    System zur Lösung kommt.
• Regelung und Ablaufsteuerung der Reaktortemperatur:
... beinhaltet die Phasen zur Dosierung verschiedener Substanzen und die verschiedenen
    Reaktionen.

4.9.) Entwicklungsprinzip des Fuzzy-Reglers
Grundsätzlich wäre der Austausch eines konventionellen Reglers mit einem Fuzzy-Regler
eine Möglichkeit. Sinnvoller und zielführender jedoch ist es, den Regler zu belassen und ihn
mit einem Fuzzy-Regler zu ergänzen, der in kritischen Situationen (Nichtlinearität,
Störgrößen, ...) in den Prozeß eingreift.

Schritte der Entwicklung des Fuzzy-Reglers:
• Definition der Ein- und Ausgangsgrößen des Fuzzy-Reglers anhand der vom Operator
  beobachteten und gesteuerten Prozeßgrößen.
• Vorbereitung der Regelgrößen, welche sich aus anderen Meßwerten ergeben
  (Regelabweichung, ...)
• Bestimmung der Wertebereiche von Ein- und Ausgangsgrößen und ihrer Normierung
• Definition und Zusammenstellung der linguistischen Variablen für Ein- und
  Ausgangswerte.


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• Quantifizierung der linguistischen Variablen mit Zugehörigkeitsfunktionen
• Formulierung der Fuzzy-Regeln.
(Für jede Anforderung können eigene Regeln bestimmt werden, wobei zu beachten ist, daß
   sich die Regeln gegenseitig nicht ausschließen. Es ist überraschend, mit wie wenig Regeln
   ein brauchbares System aufgebaut werden kann.)

Eingangs-, Ausgangs- und ausgeführte Regelgrößen
Prinzipschema des Regelkreises:




Mit Rücksicht auf die bisherige manuelle Prozeßführung wurden folgende gemessene
Eingangsgrößen ausgewählt:
• Mediumtemperatur im Reaktor (= zu regelnde Größe)
• Wassertemperatur im Kühlsystem
• Reaktionsart (exotherm, endotherm, ohne chem. Reaktion)
Die errechneten Größen waren:
• Unterschied zw. SOLL- und IST-Wert der Reaktorinhalttemperatur
• Temperaturgradient im Reaktor.
Der meßbare Eingangswert war die Reaktortemperatur; die Regelabweichung wurde in der
SPS errechnet.
Bei der Kühlung war die Begrenzung durch die verfügbare Wassertemperatur gegeben, wobei
mit jahreszeitlichen Schwankungen zu rechnen war.
Um sich der bisherigen Arbeitsweise anzunähern, wurde als Ausgangsgröße die
Temperaturkorrektur im Reaktormantel gewählt.

4.10.) Zugehörigkeitsfunktionen und Regeln

Reaktortemperaturdifferenz e[ϑ ] = ϑ w − ϑ xt
                             dϑ ϑ xt − ϑ xt −1
Reaktortemperaturgradient       =
                             dt      ∆t



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Entscheidungsfunktion ist die Manteltemperaturkorrektur korϑ Mantel

Linguistische Variablen für:
Reaktortemperaturdifferenz (überhitzt, unterkühlt, ...)
Reaktortemperaturgradient (wird schnell erwärmt, wird leicht gekühlt, ...)
Manteltemperaturkorrektur (kühle stark, erwärme leicht, ...)

Das System der Regelung umfaßt Grund- und Zusatzregelungen.
• Grundregelungen:
Abhängigkeit zw. Regelabweichung der Reaktortemperatur, Gradienten der
  Reaktortemperatur und ausgerechneter Temperatur im Reaktormantel.
• Zusatzregeln:
Reaktionsart, Temperatur des Kühlsystems und die Dampftemperatur vor dem Kondensator.

Der größte Vorteil der Fuzzy-Logik ist, daß während des Betriebes ein Eingriff in die
Regelung möglich ist.

5 Unstetige Regler bzw. Regelkreise

5.1.) 2 Punktregler: z.B.: Bügeleisen stellt Regelkreis ohne Totzeit dar.

                                                             ϑ (x)
                                Heizwicklung                            τs




U∼
                                                       ∆     {
               ϑ                                                                τ
                                                                                                          W

         Bimetall               Sollwert-
                                einstellung
                                                                                                              t
                                                                 ∆x ... notwendiges Schaltspiel

                                                       y




                                                                                                              t

Die Verkleinerung der Regelabweichung Delta x ist nur durch eine Erhöhung der
Schaltfrequenz und damit durch eine Herabsetzung der Lebensdauer des Reglers möglich.

f= 1/τ     w= xmax /2    = 100% Leistungsüberschuß

Ohne Leistungsüberschuß ist keine Regelung möglich. Die Schaltfrequenz wird dann gegen


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Null gehen. Störeinflüsse könnten aber nicht mehr ausgeregelt werden. Ist der
Leistungsüberschuß sehr groß ,ist auch die Schaltfrequenz hoch.

w/τs    ≈ ∆x/(τ/2)                      f ⇒ w/2∆xτs

Ohne Leistungsüberschuß würde der Endwert der Temperatur erst nach 5τ erreicht werden.
τs hängt ab von der Wärmespeicherfähigkeit und von der Kühlung d.h. von Material, Masse
und Oberfläche bzw. zusätzlicher Wärmeabfuhr.

Regelkreis mit Totzeit (PT1 + τtod) z.B.: Etagenheizung
                                                                                      Das Schaltspiel des Reglers
                           τs                                                         wird vernachlässigt.
                            τs
 xmax                      a


 W
                                                             ∆x
                           τv
                                   τ
                                         b
                                                                                  t
   tv                                   ts

je höher Xmax Leistungsüberschuß, desto größer die Regelabweichung

                           t
                       −
ϑ auf = ϑ max(1 − e τs )
                  t
              −
ϑ ab = ϑ τ • e    τs
                                                    ϑ t ≠ ϑ max


        ( xmax − W )                    W
∆X =                           •τ v +        •τ v
         τs                             τs
           τ
∆X = xmax • v
           τs


Die Regelabweichung ist um so größer, je höher der Leistungsüberschuß ist. Ein
Leistungsüberschuß ist aber notwendig um möglichst rasch anzuregeln, z.B. beim Einschalten.
Bei sehr kleinen und sehr großen Überschuß wächst die Periodendauer. Eine Herabsetzung
des Leistungsüberschusses ist möglich mit

5.2.) 3 Punkt-Regler
2 Schaltpunkte eine Nullstellung
z.B. Zentralheizung für größeres Wohnhaus (Anlage) mit 2 getrennten Heizkesseln:
1. Kessel zu der Übergangszeit im Winter fährt dieser Kessel Grundlast.


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2. Kessel für Störungen (extrem kalte Tage) bzw. wird beim Hochfahren am Morgen
zugeschaltet.
z.B. Stern-Dreieck-Schaltung




   ϑ




Es ergibt sich eine kurze Hochregelzeit sowie kurze Stör-Ausregelzeiten.
z.B.: Schaltspiel 4° C,τv=1 min (Verzugszeit),τs=30 min, Xmax=800° C
     Ges.: ∆x Wie groß ist die Regelabweichung bei 133%
            Regelkreis mit Totzeit

  ∆x=Xmax*(τv/τs)+∆xSchalt
  ∆x=1,33*800 *1min/30min+4°C.=39,5°C.
wenn mit hoher Leistung: =4*800°C.*1/30+4=110°C.



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5.4.) Quasistetige Regelung

a) 2 Punkt-Regler mit verzögerter Rückführung.
z.B. Heizung eines Einfamilienhauses




                                        Temperaturverlauf des Bimetalls




Durch den Heizdraht wird das Bimetall zusätzlich erwärmt, während der eingeschalteten
Phase des Brenners (Abgleich auf Widerstand).
Dadurch kann mit größerem Leistungsüberschuß gefahren werden, denn die Heizspirale
simuliert die Wärme zum Teil, der andere Anteil ergibt sich durch die Raumtemperatur.

(Skizze)

Es bleibt im wesentlichen nur das Schaltspiel als Regelabweichung über.




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b) 3 Punkt-Regler mit quasistetigem Verhalten (Schrittregler)




Beim Auftreten einer Regelabweichung (Druckabweichung) zieht eines der beiden Relais an
und der Motor öffnet bzw. schließt das Ventil. Endschalter verhindern bei starker Differenz
d.h. z.B.: Ventil offen, ein Durchbrennen des Motors.
Die Regelgröße wird in eine elektrische Spannung umgesetzt, die verglichen wird mit dem
Sollwert entsprechend entgegengesetzter Spannungspolarität. Je nachdem ob die
Regelabweichung positiv oder negativ ist, schaltet einer der beiden Transistoren das Relais
ein, dabei ergibt sich eine Schalthysterese. Unabhängig davon reagiert ein Transistor ab einer
Schwellspannung. Der Regler funktioniert als P-Regler, d.h. er braucht eine
Regelabweichung. Der Stellmotor wirkt als I (Regler, Strecke). Soll ein PI- oder PID-
Verhalten vorliegen, so muß zwischen Regeldifferenz u. Transistoren ein elektronischer PID-
Regler dazwischen geschalten werden. In der Wirkungsweise ergibt sich dann eine
Treppenkurve.




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Der Regler verhält sich in vielen Fällen günstiger als ein stetiger Regler, da kurzzeitige
Störungen(Unruhen) den Schrittregler nicht beeinflusse. Darüber hinaus ist er fast so schnell
wie ein stetiger Regler.




                                                Seite 72

				
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