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Numerical Power Analisys

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Numerical Power Analisys Powered By Docstoc
					Numerical Power
Analysis


       Anna Achilli
    Diego Bellantuono
Excursus
 Introduzione alla NPA
 Classe di domini P(B,E)
 P(B,E) come reticolo completo: astrazione di (B )
 Proprietà: ACC, Elementi Meet-Irriducible
 Combinazione con altri domini astratti
 Calcolo della semantica astratta e concreta in esempi
  pratici
      Il problema di Collatz e sua risoluzione tramite l‟NPA
      Programmi in linguaggio PCCP
 Osservazioni conclusive.

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Introduzione alla NPA
 NPA è la Power Analysis di valori numerici
  interi o razionali.
     La Power Analysis è un strumento importante
      per prevedere risultati statistici significativi in
      un determinato esperimento scientifico prima
      che l‟esperimento sia effettuato
     Come funziona la PA:
          E‟ necessario avere in mente una ipotesi
           alternativa a quella che si vuole dimostrare
     Utilizzata in particolare assieme ai metodi
      statistici
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Power Analisys: Esempio
 Scopo: Effettuare un Sondaggio di Marketing
    Sia π ( chiamato parametro di interesse )la porzione
     di persone favorevoli all‟oggetto del sondaggio
    E‟ interrogato un campione casuale di persone. Sia N
     questo campione:
       generalmente N sarà un valore molto piccolo rispetto
         alla popolazione in generale. Il calcolo delle persone
         interrogate è una statistica chiamata P.
       Già prima di eseguire lo studio si sa che P  π

      di una quantità chiamata errore di campionamento
 La PA è utilizzata per rispondere a domande relative
  a velocità, semplicità, accuratezza ( dimensione
  del campione per minimizzare l‟errore )
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Alternative alla PA:
Intervalli di confidenza

 In alternativa alla PA, esiste un approccio
  basato su intervalli di confidenza.
     se lo scopo è solo di illustrare i risultati è
      sufficiente questa tecnica,
     se invece si vuole approfondire uno studio è
      più utile la PA




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Scopo: Costruire domini astratti
 Progettare domini astratti per l‟analisi delle potenze
  numeriche
 Questi domini
          sono dimostrati corretti nel framework adjoint
           dell‟interpretazione astratta
              Il progettista di domini è facilitato a dimostrare la
               correttezza e l„ottimalità dell‟analisi
          Altre proprietà rilevanti:
              Possono avere infinite catene discendenti ma soddisfano
               l‟ACC ( “Ascending Chain Condition” )
                   Non sono permesse infinite catene ascendenti
                   Importante nell‟analisi statica perché dimostra che
                    non ci possono essere cicli infiniti nella semantica
                    astratta
              Domini visti come reticoli con elementi meet-irriducible


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Analisi
 Consideriamo la nostra analisi come la soluzione di un sistema
  di equazioni di punti fissi associate alla semantica concreta del
  programma
    Ogni equazione è interpretata nel dominio astratto che
      restituisce una trasformazione approssimata
      dell‟invarianza del programma in ogni suo punto
 Perché questa analisi sia effettiva
    La soluzione iterativa del sistema di equazioni approssimato
      deve terminare.
    Condizione di terminazione raggiunta
           Staticamente disegnando domini astratti senza catene
            ascendenti
           Dinamicamente calcolando i punti fissi tramite operazioni di
            widening/narrowing per velocizzare la convergenza


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Domini e proprietà
 Questi domini sono ideati per scoprire
  proprietà del tipo:
                       la variabile x, con x  N , Z ,
                       è la potenza numerica di c k ,
                       con k che gode della
                       proprietà :
                       c   
                         proprietàdi n i   
                       dove c,  sono
                       determinate automaticamente


Esempio
PROBLEMA DI COLLATZ: applicando la NPA a questo
problema è possibile individuare automaticamente delle
proprietà

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Campi di applicazione
   Combinazione di domini
 NPA è molto utile se combinata con altre tecniche di analisi di valori
   numerici
     Analisi di Congruenza di Granger, Interval Analysis
     La combinazione avviene tramite ad esempio
            Prodotto ridotto
                Studiato per superare le limitazioni del prodotto diretto ( è il dominio
                 ottenuto dal prodotto cartesiano dei due domini astratti )
                     Mancanza di precisione perché manca l‟interazione tra le
                       componenti
                Prodotto cartesiano + riduzione ( processo che trasforma una GC una
                 GI )
            Prodotto di Granger
                Definisce due nuove operazioni sul prodotto cartesiano dei domini, che
                 riducono rispettivamente ogni componente
 Vantaggi
       Costruzione di analisi più sofisticate
       Riutilizzo di implementazioni esistenti

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Campi di Applicazione
        Probabilistic Concurrent Constraint Program

 NPA usata nell‟analisi statica di linguaggi di
  programmazione probabilistica a scelta casuale
          Si è la traccia di stati intermedi con probabilità Pi  0,1
          dove
           s0 , p0   ...   si , pi 
          pstato finale   pi
                           i

          pstato finale spesso è la potenza numerica di una frazione
          NPA approssima in modo accuratoprodottirazionali

      Posso usare NPA per approssimare la probabilità
       risultante in computazioni casuali
          Caso studio: programmi in linguaggio PCCP



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Il dominio delle potenze numeriche
 Consideriamo tipi numerici standard:
    Naturali, Interi, Razionali
    Identifichiamo gli elementi utili alla nostra analisi
     come collezioni di insiemi ognuno dei quali
     contiene potenze numeriche di un particolare
     valore intero o razionale

    base B  Ζ, Q l' esponente E  Ex  ( X ) | X  N , Z ,
                   ,
                                                      
    a  B, X  E : si definiscono X - POWERS ax  a k | k  X   

                                                                      11
Il dominio concreto
 Le variabili assumono valore in Z o Q, quindi i
  possibili valori che assumono durante l‟esecuzione
  del programma appartengono al (Z ) o al(Q)
 ( X ), , Z ,0,, con X Z , Q
  è un reticolo booleano che rappresenta il dominio
  concreto dell‟interpretazione
      Un reticolo booleano è un reticolo distributivo
       complementato




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Classe di domini con X-Powers
 Introduciamo la classe di domini che include tutte le X-
   Powers di valori interi o razionali
                                   
               P ( B, E )  , B a | a  B and X  E
                                       X
                                                            
 con la condizione che se E  E       allora B  Q
                                               Z

 In P( B, E) consideriamo all‟inizio solo insiemi di potenze di
  elementi atomici e poi assegnamo i risultati ottenuti alla
  stessa P(B, E)
 Atomo esponenziale di A (a ) è il più piccolo elemento b X
  tale che a  b k con k  N e X  N , Z , Q e a  X
                               0

 a è atomico se a  a allora a  a  con X  E , a  B , k  N ,
                           
                                           X
                                                   
                                                       kX



 In particolare quando B  Q e E  E lavoriamo solo conZ

  insiemi di potenze con valori maggiori di 1 e quindi
  possiamo estendere i risultati agli insiemi delle potenze di
  tutti i valori razionali

                                                                       13
Domino delle potenze degli interi




     Dominio delle potenze degli interi



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Analisi della Base
 Introduciamo due domini astratti:
  P( B, X ) con X  N , Z 
 P( B, X ) formano RETICOLI COMPLETI:
    PB, X  è un RETICOLO
          Definire lub e glb

    PB, X  è un reticolo COMPLETO
          GI tra (B ) e PB, X 

          Consideriamo domini EXPONENTIAL-CLOSED

          Proprietà: ACC e elementi MEET-IRRIDUCIBLE

 PB, X  è un‟ASTRAZIONE DI (B)
    PB, X  è una MOORE – FAMILY

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Fase 1:dimostrazione RETICOLO
 Individuiamo Least Upper Bound - lub (e Greatest Lower Bound
  - glb)
 Sia a, b  B tale che a  a , b  b con k , h  N
                             k        h


 Consideriamo X  N , Z 

                 aX  bX  
                                        
                                   d gcd(k ,h ) X se a  b  d
                                                            
                                  
                                  B
                                                   altrimenti

 Idea della dimostrazione:
 Caso     a b d
                


    Visto che a  a , b  b
                      k      h       allora a  bh  d gcd(k ,h )
                                                     k


    Quindi sappiamo che aX , bX  d gcd(k ,h) 
                                                        X



    Dimostriamo che           d gcd(k ,h) X è contenuto nell‟insieme   cX
    con c  a , b       e cB
              X     X    X




                                                                                 16
Fase 1: dimostrazione RETICOLO
 In altri termini d gcd(k ,h)   cX  d gcd(k ,h) 
                                       X                        X


                       , aX  bX  d lcm( k ,h) 
                                                      X
    Se a  b  d
    Sappiamo che d è atomico ( d = d  ) e c  d
    Quindi l‟intersezione esiste

 Per dimostrarlo considero                          eX  tale che
  a, b   gcd(k ,h )      X
                       X     X
          d                c    e                       con c  B
 Ciò implica che a , b                          c
                     X     X                                X




  e quindi e  d  gcd(k , h )



 Ma al tempo stesso per le proprietà dell‟intersezione
   eX  d gcd(k ,h) X e quindi e  d gcd(k ,h)
 Possiamo concludere che e  d gcd(k ,h )         cioè
                             c  d  
                                X   gcd(k , h ) X       17
Esempio 1: calcolo lub con B=Z
 Consideriamo     a, b  Z , a  312  56   e   b  316  58

 Troviamo il lub= a  b
                         N          N




    Calcoliamo il gcd per definire k e h
    k  gcd(6,12)  6 quindi a  3  5  d
                                          2


    h  gcd( ,16)  8
               8            quindi b  32  5  d
    Allora a  d         e b  d8
                   6


    Usando la notazione del teorema per il calcolo del lub
        m  gcd(6,8)  2       per cui

               Lub =   3
                         4
                              52   
                                    N




                                                                18
Esempio 2: calcolo lub
con B=Q e X={N,Z}

                                54 4
                                        
                                      23           2 4
                                                                 54 6
                                                               q  12 
                                                                         
                                                                        2  33   
                                                                                 6

 Consideriamo             p                             e      5      512
                                 58    58


 Calcoliamo k e h come gcd degli esponenti:
                                              2  33
     k  gcd(4,8)  4  quindi         p 
                                               52

     h  gcd(6,12)  6  quindi q  p          
                                                    r

   Calcoliamo il gcd tra k e h
   m=gcd(4,6)=2
                                           X
                           2  32  2 
    Allora il lub è: r 2              
                              2  
                              5  
                                   

                                                                                     19
Domini Exponential-Closed
 Finora abbiamo visto che P( B, E ) è un reticolo ordinato per
   inclusione
     Consideriamo ora un tipo particolare di dominio chiamato
       exponential-closed
     Tale assunzione è imposta dalla caratterizzazione di E:
       consideriamo E come collezione di insiemi di interi o naturali
         In particolare E può essere visto come una astrazione
         di (N ) e(Z)
          Questa generalizzazione permette di analizzare le potenze
          combinando P( B, X ) con altri domini astratti
         ma pone un problema che può essere superato

          introducendo questo tipo di domini


                                                                      20
Domini Exponential-Closed
 Problema:
    Dati
            E N e E z domini astratti
            con E N  uco  N , EZ  uco Z e
                                          
            E  E X | X  N , Z 

     Dove una funzione è UCO se è estensiva, monotona e
      idempotente
     Un UCO identifica un‟inserzione di Galois
     Se    E e k  N  o kZ   
           in generalenon è detto che kχ  E
           e quindi,nell'ambito della Moore - Family,
           non è detto che a  b sia nella forma
                             X        Y


           cZ con Z  E                                  21
Domini Exponential-Closed
 Se C è un reticolo completo allora X  C è una
  Moore-Family di C ( M (X ) ) se X  glb S | S  X 
 Un dominio exponential-closed assicura che
  l‟astrazione dell‟esponente in un dominio E sia una
  Moore-Family ( e quindi una astrazione del (B) )
  Una Moore-Family E X è un dominio exponential-
  closed se per ogni
       , Y  E X e k , h  X : z  X ,W  E x
      | kχ  hY  zW
      E x è infinitame nte esponentia l - closed
      se tale proprietà vale anche con infinite
      intersezio ni                                      22
E: dominio exponential-closed
 Noi assumiamo che E  E x  uco ( X )  | X  N , Z 
                                  
  Visto che

           X  N , Z  allora X è un dominio esponentia - closed
                                                        l
           perchè kX  hY  lcm(k , h) X , quindi
           E è un dominio esponentia l - closed

 I domini così costruiti (con E che soddisfa ACC)
  non possono avere infinite catene ascedenti ( ma
  le possono avere infinite discedeti )


                                                                    23
Ascending Chain Condition (ACC)
 Consideriamo un poset P:
    P soddisfa ACC se per ogni


         x1  ...  xn  ...
         Aumentando la sequenza degli elementi di P
         k  N | xk  xk 1  ...
                                   
         Se X  N , Z  allora P(B, X ) rispetta ACC


 Diamo ora una caratterizzazione degli elementi
  meet-irriducible di P(B,E).

                                                         24
Elementi Meet-Irriducible
 Sia C un reticolo con Mirr(C) è l‟insieme degli
  elementi meet-irriducible in un reticolo C.
          P  C e P  T P si chiama
          meet - irriducible se P  x glb c y
          implica che P  x o P  y, cioè non può
          essere ottenuto come glb di x o y


      C è definito meet-generated dai suoi elementi meet-
       irriducible se e solo se C=M(Mirr(C))

 Sia A un insieme e                XA
                                  allora X
  è meet-irriducible in ( A)  a  A | x  A \ 0
                         ( A)  M ( Mirr(( A))
                         P( B, E )  M(Mirr(P(B E)))
                                                   ,         25
P(B,E): Reticolo Completo
 Dimostriamo ora che P(B,E) con E dominio
  esponential-closed è un reticolo completo.
      Per far ciò bisogna trovare una G.I. tra P(B,E) e il
       powerset di B

   Sia  :(B)  P(B,E)e  : P ( B, E )  ( B ), con  ,  monotone
   GI di P(B,E)in (B):
   1) x   ( ( x))
                     P ( B, E ) ,  ,  ,( B)   Adjunction(( B), P ( B, E ))
   2)  ( ( x))  x 
   3)     x.x
   Sia Y  E
              
    Y    ax | x  E e Y  ax    
        
    ax  ax
   Se E  N , Z  oppure se E è un dominio infinitame nte esponentia l - closed
   allora P(B,E),α, γ,(B) è una GI
    P(B,E) e (B) sono reticoli completi
                                                                                       26
  P(B,E): astrazione di (B)
 Finora abbiamo dimostrato che P( B, E ) e (B)
  sono reticoli completi.
 Osserviamo che P( B, E )    è una astrazione di (B )
  cioè che P( B, E ) è una Moore-Family del (B)
 Una GI può essere caratterizzata nei termini di una Moore-
  Family (Ward):

   ( P( B, E ), ,  ,( B)) è una GI  P(B,E)è isomorfo
   ad una Moore - Family di( B)
    P( B, E ) è una astrazione di( B)


                                                               27
Operazioni astratte
 Dopo aver descritto P(B,E) consideriamo il linguaggio di
   programmazione con operazioni aritmetiche standard su N o Q
   e ne definiamo l‟interpretazione astratta




 Queste operazioni sono corrette e in particolare
   è un‟operazione astratta che rappresenta una astrazione
   ottimale della corrispondente operazione concreta del (B)

                                                                 28
Domini infinitamente exponential-closed
    I domini conosciuti nell‟ambito della NPA di interi o
     razionali sono infinitamente exponential-closed
   Quindi sono utilizzabili per approssimare le
     proprietà dell‟insieme esponente
  1. Dominio di congruenza di Granger:

          Consente di analizzare potenze numeriche nella
           forma mZ+n con n,m  Z
  2.   Dominio di intervalli di Cousot:

          Utilizzato per analizzare la dimensione dell‟insieme
           esponente in N o Z
          Considereremo la restrizione a N:
                                                                  29
C(Z), Int(Z), Int(N), P(Z,{N})
3.   Dominio per NPA: P(B,E)
        Per analizzare le proprietà dell‟insieme esponente di
         essere un power-set in P(Z,{N})
    C(Z), Int(Z), P(Z, {N})  uco(Z) e Int(N)  uco(N)
     sono domini infinitamente exponential-closed
        sono cioè nella forma kX∩hX=zW
         per infinite intersezioni
    Consideriamo alcuni esempi di intersezioni e lub nei
     domini considerati per dimostrare che sono
     infinitamente exponential-closed

                                                                 30
Esempio con E = Int(N)
 Dati B=Z, E=Int(N) determiniamo l‟intersezione:


 Dove:                 e
 Calcoliamo i valori di k e h:
                      quindi
                      quindi
 Gli e-atomi di a e b sono uguali quindi l‟intersezione esiste
 Possiamo trovare l‟intersezione come:


    Dove: 6N=2N 3N, 4,20   k 2,10 ; 12,45   h4,15 
 Cioè c=      e


                                                                  31
Esempio con E = C(Z)
   Dati B=Q e E=C(Z),
   Trovare
   Si noti che
   Calcoliamo k e h:
                        quindi
                        quindi
        Anche in questo caso i 2 e-atomi sono uguali perciò:

             Perché                 =
 Concludendo               e
    ([          ] /6)

                                                                32
Esempio con E = Int(Z)
 Dati B=Q, E=Int(Z)
 Troviamo
 Consideriamo gli elementi nella forma


 Quindi
  e
 Gli e-atomi di a e b sono pari a 2
 Determiniamo il lub:


 Perché
                                          33
Programma per NPA con PN , Z 
 Applichiamo i domini per
  le potenze numeriche
  all‟analisi statica dei
  programmi tramite
  l‟interpretazione astratta
 Questo frammento di
  programma ci illustra
  l‟analisi statica di potenze
  numeriche in PN , Z 



                                 34
Semantica concreta e astratta
 Semantica concreta S:
                    con π che indica un determinato
  punto del programma e                 rappresenta
  uno stato concreto
 Vogliamo calcolare la semantica concreta del
  programma P al punto




         è l‟estensione point-wise alle funzioni dell‟insieme
       unione
                                                                 35
Soluzione del sistema
 Semantica astratta


      È il minimo punto fisso dell‟equazione:



      Otteniamo la soluzione in 3 passi:




                                                 36
Il problema di Collatz
 Si presta bene ad essere usato dalla NPA




 si può esprimere come iterazione della seguente
  funzione
                      n
                             se n è pari
             S ( n)   2
                      3n  1 se n è dispari
                      
                                                    37
Il grafo di Collatz
 I risultati delle iterazioni possono essere
  rappresentati con un grafo chiamato grafo di
  Collatz della funzione S(n)




                                                 38
  P termina sempre con 1
   È facilmente osservabile che il risultato finale
    è sempre 1
   Esempio: partiamo da 7
E' dispari, quindi faccio 3x7+1=22.   Dispari, 16.
Pari, 22:2=11.                        Pari, 8.
Dispari, 11x3+1=34.                   Pari, 4.
Pari, 34:2=17.                        Pari, 2.
Dispari, 17x3+1=52.                   Pari, 1.
Pari, 26.                             Da questo punto in poi : 4,2,1,4,2,1,4,2,1.....
Pari, 13.
Dispari, 40.
Pari, 20.
Pari, 10.
Pari, 5.
                                                                                 39
Formalizziamo
 Ciò equivale a dire che
  è una tripla di Hoare valida, con:
      c può essere ogni potenza di 2
 Cioè il programma P termina con n=1 ogni qual volta


 Consideriamo le seguenti operazioni astratte:




                                                    40
Calcolo della semantica astratta
 La semantica astratta per il programma P al punto




 Quindi se                 con
 Allora               è un punto fisso dell‟equazione




                                                         41
Analisi statica di PCCP casuali
 La NPA dei razionali è adatta ad approssimare la
  probabilità dei programmi casuali
    Gli oggetti astratti in P Q, E  si prestano ad
                                                 N

       approssimare le componenti di probabilità delle
       computazioni riguardanti scelte casuali
      Inoltre il dominio E N può caratterizzare le proprietà
       degli esponenti della probabilità elaborata
 Consideriamo l‟operazione prodotto astratto con
    E  N , E
       N          N
                       Int ( N ), a  b  d   , g  gcd( k , h)



                                                                     42
Linguaggio PCCP
 Per modellare questa situazione come un
  programma di analisi statica consideriamo
  una versione probabilistica del calcolo
  constraint concorrente (PCCP)
 PCCP si basa sul paradigma ask-tell che fa
  riferimento alla nozione di bloking-ask
     Un processo è sospeso quando lo store non
      comporta l‟ask-constraint e rimane sospeso
      fino a quando ciò accade

                                                   43
Sintassi PCCP
 Basata sulla nozione di constraint system C
    Reticolo algebrico completo
       C= insieme di constraint

         = relazione d‟implicazione che ordina C
         = lub
       True= bottom di C

       False= top di C

 Un programma PCCP chiamato P è un oggetto nella
  forma D.A
      D= insieme di dichiarazioni di procedure nella forma p(x)
      A= agente PCCP

                                                                   44
Sintassi agenti PCCP




                       45
Semantica PCCP
 Semantica operazionale
       Sistema di transizioni + probabilità (per ogni transizione)
 Significato operazionale del costrutto scelta probabilistica
       Controlla se i constranit ci sono implicati nello store
       Normalizza le distribuzioni di probabilità considerando solo gli agenti
        abilitati
          Ciò significa che abbiamo ridefinito le distribuzioni di probabilità
             solo con agenti aventi probabilità diversa da 0 e somma delle
             probabilità pari a 1




            Con       =probabilità di transizione normalizzata

                       =somma su tutti gli agenti abilitati

                                                                                  46
Semantica: idea di base
 Associare ad ogni agente una descrizione
  matematica del suo funzionamento computazionale
           Spesso la computazione è influenzata dal
            funzionamento I/O
           Ciò viene descritto da un insieme di constraint che
            rappresentano i possibili store finali dopo l‟esecuzione
            di un agent
 L‟I/O è rappresentabile con la distribuzione di
  probabilità su un sistema constraint:
      Cioè su un insieme di coppie (c,p) dove
         c= risultato

         p= probabilità della computazione risultante

                                                                   47
Semantica e punti fissi
 Semantica
     Ottenuta tramite applicazione iterativa dell‟operatore di
      punto fisso         (sull‟insieme dell‟interpretazione) partendo
      dall‟interpretazione iniziale      che assegna ad ogni agente
      l‟insieme {true}
          Interpretazione: agenti → sottoinsieme di C (descrive i

           risultati della computazione agente)
     Operatore di punto fisso




     Con    (per gli insiemi di constraint       ) così definito:

                                                                         48
Spazio vettoriale su C
 Restrizione sintattica
      Consideriamo PCCP libero da sincronizzazioni
      Così ignoriamo gli aspetti relativi alla concorrenza che
       richiedono strutture più complicate
 Distribuzione di probabilità
      Rappresentata da vettori nello spazio vettoriale reale libero
       V(C) sul sistema constraint C
      Spazio costruito come insieme di tutte le combinazioni
       lineari di constraint




           O equivalentemente
                                                                       49
Equazioni ricorsive su spazio vettoriale

 Semantica di PCCP
    Costruita definendo il significato degli agenti tramite un
     insieme di equazioni ricorsive su uno spazio vettoriale
     libero
 Esempi
    Agente stop può solo produrre uno store vuoto con
     probabilità pari a 1



      Agente tell aggiunge sempre c allo store con
       probabilità 1

                                                              50
Semantica relazionale
 Semantica relazionale I/O di un programma P



       Dove
          Constraint c=      = lub dei constraint prodotti da ogni
           agente Ai
          Probabilità p=     = prodotto delle probabilità associate
           ad ogni constraint
 Semantica astratta su GI PQ, N ,  ,  ,(Q)




                                                                       51
Soundness
 Processo di astrazione
    Introduce una perdita di informazioni
    L‟importante è che ciò che mantengo nel concreto lo
     sia anche nel‟astratto
    Soundness del dominio astratto importante
                       allora esiste
    Tale che           cioè p    A   p #
    Sia




      quindi
                                                           52
Utilizzo di NPA in PCCP
 Consideriamo questo algoritmo di calcolo casuale in PCCP




 Il programma P genera una sequenza infinita di numeri casuali
  con probabilità decrescente:


 Questa informazione può essere ottenuta automaticamente
  tramite interpretazione astratta in PQ, N 
      Dominio concreto: ( N  Q)

   


                                                                  53
Conclusioni
 Abbiamo visto come progettare una famiglia di domini
  astratti, utili per l‟analisi delle potenze numeriche
 Questo studio consente di creare nuovi domini astratti
  per NPA considerando astrazioni sull‟insieme
  esponente
      Si può generalizzare questa costruzione con le strutture
       algebriche dell‟insieme base B
         Gli anelli eucludei offrono strutture algebriche che
           consentono la fattorizzazione dei loro elementi
      Perciò si possono trovare strutture algebriche astratte
       per B tale che P(B,E) sia un‟astrazione di (B)
      Importante per generalizzare la NPA alle potenze di
       altri oggetti non numerici
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Bibliografia
 Isabella Mastroeni, Numerical Power Analysis, Univ. degli Studi
    di Verona,2005
   Isabella Mastroeni, Abstract Non-Interference -An Abstract
    Interpretation-based approach to Secure Information Flow,
    Ph.D. Thesis, Univ. Degli Studi di Verona
   Isabella Mastroeni, Algebric Power Analysis by Abstract
    Interpretation, Univ. Degli Sutdi di Verona, 2004, Kluwer
    Academic Publishers
   A.Di Pierro and H.Wiklicky. An operational semantics for
    probabilistic concurrent constraint programming. In Proc. Of the
    1998 IEEE Internat. Conf. On Computer Languages (ICCL ‟98).
    IEEE Computer Society Press, Los Alamitos, Calif., 1998
   Tino Cortesi, Manipulating Abstract Domains and Abstract
    Operations for Static Analysis of (Declarative) Programs, Univ.
    degli Studi di Venezia Ca‟ Foscari
   L'algoritmo di Collatz, Gianfranco Bo,
    http://utenti.quipo.it/base5/numeri/collaz.htm


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