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ODDS Algorithmus
Oder
Die Kunst, sich richtig zu entscheiden
Jana Fenske / Bernhard Früh
Ein Autokauf steht an:
Ein Schnäppchen ??? 55.000 Km, 75 PS, 5 Türen, aus 04/06
Mit Klima, Navi, aus 1.Hand...
SIE müssen den Preis bieten...
Modellierung:
-keine zweite Chance
-nur ein Angebot
-Sie brauchen ein Auto..
WAS ist Ihr Preis ???
Ein Schnäppchen ??? 55.000 Km, 75 PS, 5 Türen, aus 04/06
Mit Klima, Navi, aus 1.Hand...
Als Verkäufer brauche ich eine
Strategie...
• - ich will verkaufen
• - möglichst hohen Preis erzielen
• - keine Chance auf ein Wiedersehen
• - wenig bis keine Informationen vom Markt
• Was ist zu tun ???
Neues Beispiel, Neues Glück
• Sie würfeln mit einem Würfel
• Genau zwölfmal
• Sie gewinnen, wenn Sie die „letzte“ Sechs
richtig vorhersagen
• Bsp: 3, 6, 4, 1, 2, 6, 3, 6, 2, 5, 1, 3
• Wenn Sie falsch liegen, oder gar keine
Sechs fällt, gewinnt die Bank
• Welche Strategie verspricht Erfolg...???
Die Kunst der richtigen
Entscheidung
• Grundüberlegungen:
• Jeder Wurf ist ein unabhängiges Ereignis
• Nach der letzten Gelegenheit gibt es kein
„Zurück“ mehr
• Ungewissheit der Zukunft
Der Odds-Algorithmus
• Sei E1,E2, E3, ...En eine Folge von n unabhängigen
Ereignissen
• Sei pk die Wahrscheinlichkeit, dass sich Ek als
Gelegenheit herausstellt
• Wir definieren qk als Gegenwahrscheinlichkeit:
qk=1-pk pk
• Wir bilden rk=
qk
• Wir schreiben pk,qk,rk untereinander
• Wir summieren die rk von hinten bis der Wert 1
erreicht oder überschritten wird
• Diese Stelle heißt Stopp-Stelle s
• Strategie ist: Nimm die nächste Gelegenheit nach s
Der Odds-Algorithmus
beim Würfeln
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
pk 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6
qk 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6
rk 1
1
1
1
1
1 1
1
1
1
1 1
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
Summe 1.0 4 3 2 1
5 5 5 5
Ziel
erreicht
• rückwärts aufaddiert: R=rn+rn-1+rn-2+... Bis R 1
• der Wert 1 wird erreicht beim fünftletzten Wurf
• wir nehmen also die erste Sechs ab dem achten Wurf
Optimale Strategie ?
• Wir bilden Qk= q q q ...q mit s als
n n1 n2 s
Stopp-Index
5
5
• Q= 6 0.4019
• Erfolgswahrscheinlichkeit:
W=Rs*Qs= 1.0*0.4019 = 40.19%
Der Odds-Algorithmus beim
Autoverkauf
• Annahme: 8 ernsthafte Interessenten
1 k 1 1
• p k= qk= k rk= k 1
k
n 1 2 3 4 5 6 7 8
pk 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 3 4 5 6 7 8
qk 0 1 2
3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
rk 1 1 1 1 1 1 1
2 3 4 5 6 7
Summe 153 319 107 13 1
140 420 210 42 7
Ziel
erreicht
Optimale Strategie ?
• Wahrscheinlichkeit für Optimum:
• W=Rs*Qs
• hier: 1.093*0.375=0.4099...ca. 41%
Der Odds-Algorithmus
beim Arzt
• Idee der Vorstellung der Behandlungen:
Folge von: - + - - + - - - - -
• Aufgabe: finde optimalen Stopp-Punkt der
Versuchsreihe (Analog Würfelspiel)
• aber jetzt: unbekannte pk : Annahme konstant:
muss geschätzt werden (Idee: Würfel ist gezinkt)
• oder: unbekannte pk : Annahme nicht konstant:
muss geschätzt werden (je schlechter es dem
Patienten geht, desto mehr sinken die Aussichten)
Odds-Algorithmus
in der Politik
• Frage: Timing für Argumente ( im Wahlkampf)
• (die Stichhaltigkeit der Argumente wird vorausgesetzt)
• Es gibt interessante und uninteressante Ereignisse
• Aus jedem Tag k kann mit der WS ek ein Ereignis
hervorgehen, das wiederum mit der WS gk interessant ist.
• Unter Annahme der Unabhängigkeit gilt: pk=ek*gk
• Beispiel: Die „Anderen“ sagen alle 14 Tage was zum
1
Thema Pendlerpauschale: ek=
14
• Einschätzen der Chance, dass eigene Äußerungen dazu
erfolgreich sind (einer von drei Fällen): gk= 1
1 1 1 3
• pk= *
14 3 42
Odds-Algorithmus
Ausblick:
• viele Alltagsprobleme können modelliert
werden
• Sekretärinnen-Prinzessin-
Problem/Hausverkauf
• aber:Aktienkurse (Kurs von morgen ist sehr
wohl vom Kurs von heute abhängig!)
Odds-Algorithmus
Anwendung:
• 10 Zahlen auf 10 (gemischten) Karten
• Ziel: die größte Zahl zu finden
• Dabei: Umdrehen, annehmen oder
verwerfen, keine zweite Chance
Odds-Algorithmus
Anwendung:
• 10 Zahlen auf 10 (gemischten) Karten
• Ziel: die größte Zahl zu finden
• Dabei: Umdrehen, annehmen oder
verwerfen, keine zweite Chance
• Näherung nach Odds-Algorithmus:
• Multipliziere die Anzahl der Angebote mit
0.367 und runde ab als Näherung für s
Der Mann-Whitney-U-Test
ein Rangsummentest für eine
besondere Entscheidungssituation
mit kleinen Datenmengen
Häuserverkäufe durch Makler
Rita Rasant Walter Kommtgleich
48 109
97 145
103 160
117 165
145 185
151 250
220 251
300 350
• Rita (n1=8) Walter (n2=8)
• voneinander unabhängige Daten
• Gibt es einen Unterschied der Verkaufszeiten ???
Häuserverkäufe durch Makler
Rita Rasant Walter Kommtgleich
48 109
97 145
103 160
117 165
145 185
151 250
220 251
300 350
was sagt uns der Vergleich der Boxplots ?
Testen der Hypothese mit
Rangsummentest
• H0 Hypothese: Die Verkaufszeiten
unterscheiden sich nicht signifikant
• H1 Hypothese: Die Verkaufszeiten sind
signifikant unterschiedlich
Testen der Hypothese mit
Rangsummentest
• Ordnen der Daten von kleinsten zu größten
• Rangplätze vergeben
Bei gleichen Werten
(hier 145) wird der Rang
aufgeteilt. Beide erhalten
den Rang 6.5
Rangsumme T von Rita
Bilde: TR
Auswertung der Teststatistik
• Bei 0.05 werden die Werte für TL und TU aus
der Tabelle bestimmt:
Es ergibt sich:
TL =49 und TU =87
• Hier: TR= 52.5 => Wir können H0 nicht ablehnen.
Auswertung der Teststatistik
• Der Stichprobenumfang ist relativ gering (8Werte)
• Die Standardabweichung liegt in beiden Fällen bei
über 70, was relativ groß im Vergleich zum
Median ist.
• Die Wahrscheinlichkeit, mit der das Testergebnis
zufällig eintreten könnte, unter der Voraussetzung,
dass H0 richtig ist, kann nicht berücksichtigt
werden.
Erweiterte Anwendung
• Zwei Sportlerteams kommen für einen Wettkampf
aus dem Trainingslager zurück.
• Hier die Ergebnisse, es gab maximal 20 Pkt.
A 9 10 10 12 13
B 11 15 15 16 18
• H0: Beide Teams hatten das gleiche Training.
• H1: Das Training war signifikant unterschiedlich.
Erweiterte Anwendung
• Sortieren der Daten mit Gruppenzuordnung
9 10 10 11 12 13 15 15 16 18
A A A B A A B B B B
• U=Summe der B-Werte vor jedem A-Wert
• U´=Summe der A-Werte vor jedem B-Wert
• U > U´
• U=0+0+0+1+1=2 (U´=3+5+5+5+5=23)
Erweiterte Anwendung
• Tabelle mit:
• n2=5
• U=2
• ergibt:
• p= 0.016
• 2p=0.032
• H0 wird abgelehnt. H1 wird angenommen.
Übung
• 5 Labormäuse lernen, dass sie bei Hunger dem
Anführer folgen müssen, um Futter zu erhalten.
• Dann werden sie einer neuen Situation ausgesetzt,
bei der sie Elektroschocks vermeiden müssen,
indem sie wiederum dem Anführer folgen.
• Eine Kontrollgruppe von 4 Mäusen, die kein
voriges Training über die Futterbelohnung
erhalten hat, wird ebenfalls in der Elektroschock
Situation beobachtet.
• Lernt die erste Gruppe Mäuse schneller?
Aufgabe:
• Stellen Sie die Hypothesen H0 und H1 auf
• Überprüfen Sie diese mittels Mann-
Whitney-U-Test
• Sie erhalten folgende Beobachtungsdaten:
ExpM 78 64 75 45 82
KontrM 110 70 53 51
Auswertung:
• Rangordnung herstellen
45 51 53 64 70 75 78 82 110
E K K E K E E E K
• U=Summe der Anzahl der E Werte vor jedem K
Wert
• hier: U=1+1+2+5=9
Auswertung:
• mit U=9
und n2=5
aus Tabelle:
• p=0.452 abgelesen
• Wir können H0 nicht zurückweisen
• Es gibt keine Hinweise, dass das Futtertraining
übertragbar ist.
Zusammenhang: U und U´
• Behauptung:
• n1* n2= U + U´
• Beispiel Häuserverkauf
• n1=5 und n2=5
• U=0+0+0+1+1=2 und U´=3+5+5+5+5=23
• 5*5=23+2
Formel zur Berechnung von U
• Behauptung:
n1 (n1 1)
U n1 n2 R1
2
• oder auch: n2 (n2 1)
U n1 n2 R2
2
• ist n2>20: Annäherung der Stichprobenverteilung
von U die Normalverteilung
an
Literatur:
• Odds-Algorithmus: Prof.Dr.Thomas Bruss, Uni
Brüssel In: Spektrum der Wissenschaft, Juni 2005,
S.78-84
• Bas Kast: Wie der Bauch dem Kopf beim Denken
hilft, 2007
• Waldemar Hofmann: Das Testen von Hypothesen,
1986
• Deborah Ramsey: Weiterführende Statistik für
Dummies, 2008
