Statistik Untuk Management by oht14582

VIEWS: 17 PAGES: 48

More Info
									   Statistik Pentaabiran:
Penganggaran untuk Populasi
            Tunggal




                              1
    Penganggaran Statistik

   Penganggaran titik  nilai tunggal statistik
    yang dikira dari sampel
   Penganggaran selang  nilai selang yang
    dikira dari sampel statistik dan statistik
    piawai, seperti Z.
    – Pemilihan statistik piawai adalah ditentukan
       oleh taburan persampelan.

    – Pemilihan nilai kritikal bagi statistik piawai
       adalah ditentukan oleh keperluan paras
       keyakinan.                                      2
        Selang Keyakinan terhadap
            Penganggaran 
          apabila n adalah besar

Penganggaran Titik:
                       X 
                             X
                             n


Penganggaran selang: X  Z 
                             n

             atau
                                     
                      X Z    X Z
                            n          n
                                           3
Taburan Min Sampel bagi
   Keyakinan (1-)%




                          4
Taburan Min Sampel bagi
   Keyakinan (1-)%




                          5
Taburan Min Sampel bagi
   Keyakinan (1-)%




                          6
Tafsiran Kebarangkalian bagi
       Paras Keyakinan

                                
  Pr ob[X  Z         X  Z    ]  1 
             2    n            2  n




                                               7
Taburan Min Sampel bagi
    Keyakinan 95%




                          8
     95% Selang Keyakinan untuk 
    Sebuah syarikat talipon cellular telah mengenalpasti min panggilan
    talipon untuk pelanggan ialah 153 minit dari sampel 85 orang
    pelanggannya. Katakan rekod lepas dan kajian yang sama
    menunjukkan bahawa sisihan piawai populasi ialah 46 minit.
    Anggarkan min populasi masa panggilan setiap pelanggan
    sebulan dengan selang keyakinan 95%.
                                   
  X  Z /2          X  Z /2
                n                    n
                                         /2=0.025                     /2=0.025
  X  Z 0.025        X  Z 0.025
                n                    n                 0.4750       0.4750
              46                     46
153  1.96           153  1.96                              
                                                                                X
               85                     85

     153 – 9.78    153 + 9.78
        143.22    162.78                                                    9
                   Contoh 1
Satu kajian telah dilakukan kepada syarikat di Malaysia
yang menjalankan kajian di Cina. Satu daripada soalan
ialah: Telah berapa lamakah syarikat anda menjalankann
perniagaan dengan Cina? Satu sampel rawak 44 syarikat
telah dipilih menghasilkan min 10.455 tahun. Katakan
sisihan piawai populasi bagi soalan ini ialah 7.7 tahun.
Menggunakan maklumat ini, jalankan selang keyakinan
90% min bilangan tahun syarikat di Malaysia telah
menjalankan perniagaan di Cina bagi populasi syarikat
Malaysia yang menjalankan perniagaan di Cina.


                                                     10
              σ              σ 
        X - Z
                  μ  X  Z
                                
                                  
               n              n

                7.7                        7.7 
10.455 - 1.645 
                        10.455  1.645 
                                                
                                                  
                44                         44 

         10.455 – 1.91    10.455 + 1.91
                8.545    12.365
      Kebarangkalian (8.545    12.365 = 0.90


                                                      11
     Faktor Pembetulan Finit

Selang Keyakinan untuk Menganggar 
Menggunakan Faktor Pembetulan Finit


             σ   N-n                  σ    N-n
X - Z α/ 2              X  Z α/ 2
             n   N-1                   n   N-1




                                             12
                      Contoh 2
Satu kajian telah dilakukan di dalam syarikat yang mempunyai 800
jurutera. Sampel rawak 50 jurutera ini mendapati purata umur
sampel ialah 34.3 tahun. Rekod lama mendapati sisihan piawai
umur jurutera syarikat ialah 8 tahun. Lakukan selang keyakinan 98%
untuk menganggar unur semua jurutera di dalam syarikat ini.


              8  750 
                   
                                                   
                             34.3  2.33  8  750 
                                                         
 34.3 - 2.33 
                 
                   799                    
                                                 
                                                  
              50                          50  799 
                                                        


              34.3 – 2.554    34.3 + 2.554
                     31.75    36.85
                                                                13
  Selang Keyakinan untuk
Menganggar  apabila  Tidak
    Diketahui (n  30)


                            S
               X  Z α/ 2
                            n
                    atau

                S                       S
  X  Z α/ 2            X  Z α/ 2
                 n                      n
                                            14
                         Contoh
Sebuah syarikat sewa kereta mahu menganggar purata jarak
perjalanan sehari bagi setiap kereta yang disewakannya. Sampel
rawak 110 kereta dipilih dan mendapati min sampel jarak perjalanan
sehari ialah 85.5 km, dengan sisihan piawai 19.3 km. Kirakan 99%
selang keyakinan untuk menganggar .

                          S                        S
            X  Z α/ 2            X  Z α/ 2
                           n                        n
                     19.3                      19.3 
       85.5 - 2.575 
                              85.5  2.575 
                                                     
                                                       
                      110                       110 

                  85.5 – 4.7    85.5 + 4.7
                        80.8    90.2                          15
Nilai Z bagi beberapan Paras
          Keyakinan
   yang biasa Digunakan

         Selang
                    Nilai Z
        Keyakinan

          90%        1.645

          95%        1.960

          98%        2.330

          99%        2.575


                               16
 Penganggaran Min Populasi:
       Saiz Sampel Kecil, 
      Tidak Diketahui

   Populasi mempunyai taburan normal
   Nilai sisihan piawai populasi tidak diketahui.

 Saiz sampel adalah kecil, n < 30.
 Taburan Z tidak sesuai digunakan dalam situasi ini

 Taburan t adalah lebih sesuai

                                                     17
                     Taburan t

 Dibentuk oleh ahli statistik British, William Gosset
 Keluarga kepada taburan – taburan yang unik bagi
  setiap nilai parameternya, darjah kebebasan (d.f.)

 Simetri, Unimodal, Min = 0, Lebih rata berbanding Z

Formula t
                    X 
                 t
                      S
                       n
                                                         18
  Perbandingan Taburan t
dengan Keluk Normal Piawai




                             19
               Jadual Nilai Kritikal t
df    t0.100 t0.050 t0.025 t0.010 t0.005
 1     3.078   6.314   12.706   31.821   63.656
 2     1.886   2.920    4.303    6.965    9.925
 3     1.638   2.353    3.182    4.541    5.841
 4     1.533   2.132    2.776    3.747    4.604
 5     1.476   2.015    2.571    3.365    4.032


23     1.319   1.714    2.069    2.500    2.807
24     1.318   1.711    2.064    2.492    2.797
25     1.316   1.708    2.060    2.485    2.787

29     1.311   1.699    2.045    2.462    2.756
30     1.310   1.697    2.042    2.457    2.750


40     1.303   1.684    2.021    2.423    2.704
60     1.296   1.671    2.000    2.390    2.660
120    1.289   1.658    1.980    2.358    2.617
      1.282   1.645    1.960    2.327    2.576


                                                  20
Selang Keyakinan untuk Menganggar
 Apabila  Tidak Diketahui dan Saiz
        Sampel adalah Kecil


                                  S
                X  t /2,n-1
                                  n
                S                         S
X - t /2,n-1          X  t /2,n-1
                n                         n
                     df = n - 1

                                              21
                            Contoh
Katakan penyelidik mahu menganggarkan purata masa cuti gantian
yang terkumpul bagi saorang pengurus. Sampel rawak jam lebih
masa 18 pengurus telah direkodkan di dalam minggu tertentu dan
ditunjukkan sebagaimana berikut (di dalam jam)

6      21      17      20      7        0       8     16     29
3       8      12      11      9       21      25     15     16

Dapatkan 90% selang keyakinan untuk menganggarkan purata
masa kerja lebih masa seminggu oleh pengurus syarikat tersebut.



                            t0.05,17 = 1.740
                                                                  22
Min sampel ialah 13.56 jam, dan sisihan piawai ialah 7.8 jam.


                                     S
                    X  t /2,n-1
                                      n
                           7.8
           13.56  1.740             13.56  3.20
                             18
        Kebarangka lian(10.36    16.76)  0.90

                10.36    16.76

                                                           23
                   Contoh 8.3
Syarikat menyewa kereta telah cuba untuk membuat anggaran
purata bilangan hari pelanggan menyewa kereta daripada
syarikatnya. Oleh kerana ketiadaan maklumat, pengurus syarikat
tersebut telah mengambil sampel rawak 14 pelanggan dan
mencatitkan     bilangan hari ia menyewa kereta tersebut
subagaimana di bawah.         Ia menggunakan data tersebut
membina 99% selang keyakinan untuk menganggar purata
bilangan hari menyewa kerata dan mengandaikan bilangan hari
untuk setiap penyewaan adalah bertaburan normal di dalam
populasi.


   3       1       3      2       5       1       2
   1       4       2      1       3       1       1
                                                                 24
Oleh kerana n = 14, df =13. Paras keyakinan 99% dihasilkan di
dalam /2 = 0.005 keluasan di dalam setiap ekor taburan. Nilai
jadual t ialah

                        t0.005,13 = 3.012

Min sampel ialah 2.14 dengan sisihan piawai sampel ialah 1.29.
Selang keyakinan ialah

                                  S
                      Xt
                                   n
                           1.29
           2.14  3.012              2.14  1.04
                              14
                        1.10    3.18
             Kebarangkalian (1.10    3.18) = 0.99
                                                                 25
   Penganggaran
Perkadaran Populasi

           ˆˆ
           pq              ˆˆ
                           pq
  p  Z
  ˆ            P  p  Z
                    ˆ
       2   n             2 n
  dim ana :
  ˆ
  p = perkadaran sampel
  ˆ      ˆ
  q = 1- p
  P = perkadaran populasi
  n = size sampel
                                26
                        Contoh
kajian terhadap 87 syarikat yang dipilih secara rawak dengan
operasi tele-pemasaran mendapati 39% daripada sampel syarikat
telah menggunakan tele-pemasaran untuk membantu mereka
memproses pesanan. Menggunakan maklumat ini, bagaimana
penyelidik menganggarkan perkadaran populasi syarikat tele-
pemasaran yang menggunakan operasi tele-pemasaran untuk
membantu mereka di dalam memproses pesanan, dengan selang
keyakinan 95%?



      ^                  ^       ^
      p = 0.39 , n = 87, q = 1 – p = 1.00 – 0.39 = 0.61

                                                                27
                 ^ ^                          ^ ^
     ^           pq       ^         pq
     p - Z /2       P  p  Z /2
                 n                  n

            (0.39)(0.6 1)                   (0.39)(0.6 1)
0.39 - 1.96                P  0.39  1.96
                 87                              87

             0.39 – 0.10  P  0.39 + 0.10
                    0.29  P  0.49
         Kebarangkalian(0.29  P  0.49) = 0.95



                                                            28
                     Contoh 8.5
 Syarikat pakaian mengeluarkan jean untuk lelaki. Jean tersebut
 dibuat dan dijual sama ada potongan biasa atau potongan ‘boot’.
 Dalam usaha untuk menganggar perkadaran pasaran jean lelaki
 tersebut di Kuala Lumpur untuk jean potongan ‘boot’,
 penganalisis mengambil sampel rawak 212 jean yang dijual oleh
 syarikat tersebut dari dua kedai di Kuala Lumpur. Hanya 34
 daripada jualan adalah jean potongan ‘boot’. Jalankan 90%
 selang keyakinan untuk menganggar perkadaran populasi di
 Kuala Lumpur yang mengemari jean potongan ‘boot’.
                             ^
^ = 34/212 = 0.16 , n = 212, q = 1 – ^ = 1.00 – 0.16 = 0.84
p                                    p



                                                                   29
                       ^ ^                    ^ ^
          ^            pq       ^         pq
          p - Z /2        P  p  Z /2
                       n                  n
                       ^ ^                        ^ ^
          ^            pq       ^          pq
          p - Z 0.05       P  p  Z 0.05
                       n                   n

               (0.16)(0.8 4)                       (0.16)(0.8 4)
0.16 - 1.645                  P  0.16  1.645
                   212                                 212

           0.16 – 0.04  P  0.16 + 0.04
                  0.12  P  0.20
       Kebarangkalian (0.12  P  0.20) = 0.90


                                                                   30
                    Varian Populasi

 Varian ialah songsangan ukuran homogeniti kumpulan.


 Varian adalah petunjuk penting jumlah kualiti untuk piawaian
keluaran dan perkhidmatan. Pengurus perlu memperbaiki proses
untuk mengurangkan varian.


 Varian mengukur risiko kewangan. Varian kadar pulangan
membantu pengurus mengenalpasti alternatif pelaburan kewangan
dan pelaburan.

 Variabiliti adalah realiti dalam pasaran global. Produktiviti, upah,
dan taraf hidup adalah berbagai-bagai diantara kawasan dan negara.
                                                                  31
Menganggar Varian Populasi

• Parameter Populasi 2

   Penganggar 2:         S2   
                                   (X - X)   2


                                       n 1

   Formula 2 untuk varian tunggal:
                                         2
                       2    ( n - 1)S
                                 2
                              
                      darjah kebebasan  n - 1
                                                  32
Selang Keyakinan untuk 2


   n  1S  2
                        n  1S  2

                  
                   2


                        
       2                    2
                             
                           1
         2                    2
   df  n  1
     1  paras keyakinan

                                      33
Beberapa Taburan 2
      Terpilih




                      34
df       0.975      0.950   0.100    0.05     0.025
                                                          Jadual 2
                                     0
 1 9.82068E-043.93219E-03 2.70554 3.84146 5.02390
 2   0.0506357 0.102586 4.60518 5.99148 7.37778
 3   0.2157949 0.351846 6.25139 7.81472 9.34840
 4    0.484419   0.710724 7.77943 9.48773 11.14326
 5    0.831209   1.145477 9.23635 11.07048 12.83249
 6    1.237342    1.63538 10.6446 12.5916 14.4494
 7    1.689864    2.16735 12.0170 14.0671 16.0128
 8    2.179725    2.73263 13.3616 15.5073 17.5345
 9    2.700389    3.32512 14.6837 16.9190 19.0228
10     3.24696    3.94030 15.9872 18.3070 20.4832

20     9.59077   10.8508   28.4120   31.4104   34.1696
21    10.28291   11.5913   29.6151   32.6706   35.4789
22     10.9823   12.3380   30.8133   33.9245   36.7807
23     11.6885   13.0905   32.0069   35.1725   38.0756
24     12.4011   13.8484   33.1962   36.4150   39.3641
25     13.1197   14.6114   34.3816   37.6525   40.6465

 70   48.7575    51.7393 85.5270 90.5313        95.0231
 80   57.1532    60.3915 96.5782 101.8795      106.6285
 90   65.6466    69.1260 107.5650 113.1452     118.1359
100   74.2219    77.9294 118.4980 124.3421     129.5613
                                                                      35
                  Dua Nilai Jadual 2

                                df = 7               df
                                                      1
                                                                 0.950
                                                          3.93219E-03
                                                                             0.050
                                                                          3.84146
                                                      2      0.102586     5.99148
                                                      3      0.351846     7.81472
                                                      4      0.710724     9.48773
                                                      5      1.145477    11.07048
    .05                                               6       1.63538     12.5916
                                                      7       2.16735     14.0671
                                                      8       2.73263     15.5073
                                .95                   9       3.32512     16.9190
                                                     10       3.94030     18.3070

                                                     20       10.8508     31.4104
                                                     21       11.5913     32.6706
                                               .05   22       12.3380     33.9245
                                                     23       13.0905     35.1725
                                                     24       13.8484     36.4150
0    2    4   6   8   10   12   14   16   18    20   25       14.6114     37.6525

          2.16735                    14.0671

                                                                                36
                         Contoh
    Katakan lapan selinder aluminium 7-sm di dalam sampel yang
diukur di dalam garispusat sebagaimana berikut:

   6.91 sm     6.93 sm         7.01 sm        7.02 sm
   7.05 sm     7.00 sm         6.98 sm        7.01 sm

    Kirakan selang selang keyakinan 90% bagi varian selinder
aluminium tersebut.




S2 = 0.0022125, df = n – 1 = 8 – 1, = 1.00 – 0.90 = 0.10.

                                                               37
Dari Jadual 2

       0.05,7  14.0671 dan
        2
                                             0.95,7  2.16735
                                              2


Oleh itu selang keyakinan 2
   (n - 1 ) S 2      (n - 1 ) S 2
                 
                  2

      χ α/ 2
        2
                       χ12α/ 2

  (n - 1) S2       (n - 1) S2
                 2
                 2
                                      0.05
    χ 0 , 5, 7
      2
                     χ 0.95,7                    0.95                0.05


                                       0.95,7  2.16735    0.05,7  14.0671
                                                             2
                                        2
          125)
 (7)(0.0022                    125)
                      (7)(0.0022
                2 
    14.0671              2.16735

 0.001101  2  0.007146
 Kebarangkalian (0.001101  2  0.007146) = 0.90
                                                                       38
                      Contoh 8.6

Jabatan Buruh telah mengeluarkan data kos tuntutan pekerja sektor
perkilangan diseluruh negara. Angka terakhir menunjukkan purata
gaji sejam pekerja pengeluaran disektor perkilangan ialah RM9.63.
Katakan kerajaan mahu menentukan berapa konsistennya angka ini.
Ia mengambil 25 sempel rawak pekerja disektor perkilangan
diseluruh negara dan menentukan sisihan piawai gaji sejam pekerja
ialah RM1.12. Menggunakan maklumat ini untuk bentukkan 95%
selang keyakinan untuk menganggar varian populasi untuk gaji
sejam pekerja pengeluaran di dalam sektor perkilangan. Andaikan
gaji sejam pekerja pengeluaran diseluruh negara disektor
perkilangan adalah bertaburan normal.

S = 1.12 ,S2 = 1.2544 , n = 25, df = n – 1 = 25 – 1 = 24,
= 1.00 – 0.95 = 0.05.
                                                                    39
Dari Jadual 2

   0.025,24  39.3641 dan
    2
                                   0.975,7  12.4011
                                    2


Oleh itu selang keyakinan 2

(n - 1 ) S 2        (n - 1 ) S 2
              2 
   χ α/ 2
     2
                      χ12α/ 2
         4)
(24)(1.254       (24)(1.2544)
             
              2

  39.3641          12.4011

0.7648  2  2.4277

Kebarangkalian (0.7648  2  2.4277) = 0.95
                                                        40
41
      Menganggar Saiz Sampel
      apabila Menganggarkan 
                                  X 
                             Z
   Formula Z                      
                                        n

   Ralat Penganggaran       E  X 
    (ralat boleh diterima)
                                  Z                 Z  
                                    2           2               2


   Anggaran Saiz Sampel     n     2
                                                       2
                                                            
                                                      E 
                                            2
                                   E
                                  1
   Anggaran                     range
                                  4
                                                                    42
                         Contoh
Katakan penyelidik mahu menganggarkan purata perbelanjaan bulanan
ke atas roti oleh penduduk Kuala Lumpur. Ia mahu 90% keyakinan bagi
keputusannya. Berapa banyak ralat yang sanggup ia terima di dalam
keputusannya? Katakan ia mahu menganggarkan disekitar RM1.00
angka sebenar dan sisihan piawai purata pembelian roti sebula ialah
RM4.00. Apakah saiz sampel penganggaran bagi masalah ini? Nilai Z
bagi 90% selang keyakinan ialah 1.645. Menggunakan Formula 8.8
dengan E = RM1.00,  = RM4.00, dan Z = 1.645 memberikan


                        Zα/ 2σ 2
                         2
                                     (1.645) 2 (4) 2
                     n            
                         E2               12
                                    43.33  44
                                                                 43
                        Contoh 8.7
Katakan kita mahu menganggarkan purata usia semua kapalterbang
Boeig 727 yang masih digunakan diseluruh Malaysia. Kita mahukan
95% keyakinan, dan memerlukan anggaran disekitar 2 tahun dari
angka sebenar. Boeing 727 pertama kali digunakan 30 tahun yang
lepas, tetapi kita percaya kapal terbang ini tidak aktif lagi lebih dari 25
tahun. Berapa besarkan saiz sampel yang perlu diambil?



                                                Z
                                                    2       2
E = 2 tahun,
Nilai Z untuk 95% = 1.94,                  n           2
 dianggarkan = ¼                                E
(Selangdiperlukan)                                              2       2
               = ¼ (25)                           .
                                                (196) (6.25)
               = 6.25.                                             2
                                                     2
                                               37.52 or 38                 44
Menentukan Saiz Sampel apabila
       menganggar P

                                pP
 Formula Z                Z
                                 PQ
                                  n

 Ralat Penganggaran
                           E  p P
   (Ralat yang diterima)


                                Z PQ
                                      2

 Anggaran Saiz Sampel       n
                                 E
                                          2


                                              45
                    Contoh 8.8
Satu kajian telah dijalankan untuk menentukan sejauh manakah
majikan menggalakkan kesihatan dan kesegaran dikalangan
pekerjanya.    Satu soalah telah ditanya, Adakah syarikat anda
menawarkan kelas latihan ditempat kerja? Katakan telah dianggarkan
sebelum kajian dijalankan tidak lebih 40% daripada syarikat menjawab
YA.    Berapa besarkah sampel yang pelu diambil di dalam
menganggarkan perkadaran populasi untuk menentukan 98%
keyakinan di dalam keputusan dan disekitar 0.03 perkadaran populasi
sebenar?                                      2

E = 0.03                              n Z PQ 2
Anggaran P = 40% = 0.40                    E
                                        (2.33) 0.400.60
                                                  2
Selang keyakinan 98%  Z = 2.33
Q = 1 – P = 1.00 – 0.40 = 0.60        
                                            0.003        2


                                       1,447.7 or 1,448         46
 Menentukan Saiz Sampel apabila
 menganggar P Tanpa Maklumat
             Awal
P         PQ       400                                                 Z = 1.96
                   350                                                 E = 0.05
0.5       0.25
                   300
0.4       0.24     250
                 n 200
0.3       0.21
                   150
0.2       0.16     100
                   50
0.1       0.09
                    0
                        0   0.1   0.2   0.3   0.4   0.5   0.6   0.7   0.8   0.9   1
                                                    P
          1
    Z
      2

 n       4
    E
          2


                                                                                  47
                        Contoh 8.9
  Satu keputusan kajian mendapati lebih kurang dua per tiga rakyat
  Malaysia mencuba satu keluaran baru di dalam tempoh 12 bulan yang
  lepas. Katakan satu organisasi industri keluaran mahu mengkaji rakyat
  Malaysia dan menyoal sama ada mereka memakan buah-buahan dan
  sayuran segar atau tidak di dalam tempoh satu tahun lepas. Organisasi
  tersebut mahu 90% keyakinan di dalam keputusannya dan mengekalkan
  ralat disekitar 0.05. Berapa besarkah sampel yang perlu diambil?
                                                     2

                                              n
                                                 Z PQ    2
E = 0.05
Tanpa anggaran awal P, gunakan P = 0.50.            E
                                                (1645)  0.50 0.50
                                                             2
90% keyakinan  Z = 1.645                         .
Q = 1- P = 1 – 0.50 = 0.50                    
                                                      .05      2



                                               270.6 or 271         48

								
To top