Docstoc

University of Florida Dept. of Computer _ Information Science ..._1_

Document Sample
University of Florida Dept. of Computer _ Information Science ..._1_ Powered By Docstoc
					MAT 231: คณิตศาสตร์ ไม่ ต่อเนื่อง
                  (4)
   ความสั มพันธ์ (Relations)

          ดร.ธนา สุ ขวารี
         ดร.สุ รศักดิ์ มังสิ งห์
   SPU, Computer Science Dept., 2/2553
                                         1
                  วัตถุประสงค์

• เพื่อศึกษาความสัมพันธ์ และสมบัติความสัมพันธ์
                         ั
• ประยุกต์ความสัมพันธ์กบข้อมูล และปฏบัติการกับ
  ข้อมูลในกระบวนการทางคอมพิวเตอร์




                                                 2
                 ความสั มพันธ์ (relation)
• นิยาม : ให้ A และ B เป็ นเซต จะเรี ยก R ว่าเป็ น ความสัมพันธ์ ทวิภาค
  (Binary Relation ) จาก A ไป B ถ้า R เป็ นเซตย่อยของ A  B
• R เป็ นเซตของคู่อนดับ(ordered pair) โดยที่คู่อนดับตัวแรกมาจาก A
                    ั                           ั
  และคู่อนดับตัวที่สองมาจาก B
         ั
• a สัมพันธ์กบ b โดย R เมื่อ a, b   R
             ั
• Example :

        ลงทะเบียนเรียน (รหัสนักศึกษา, รหัสวิชา)

                    R               A             B
                                                                    3
                  ความสั มพันธ์ บนเซต
                                                 ่
• EX: ให้ A = {0,1,2,} และ B = { a, b} แล้วจะได้วา
  R1 = { (0,a) , (0,b) , (1,a) , (2,b) }
  เป็ นความสัมพันธ์จาก A ไป B
              A      0               a     B
                     1
                     2               b

   R = { (0,a), (0,b), (1,a), (1,b), (2,a), (2,b) }
               R1 ⊂ R (อ่านว่าR1 เป็น สับเซตของ       4
                       ความสั มพันธ์ บนเซต
• EX: ให้ Aและ B เป็ นเซต {1, 2, 3, 4} จงเขียนคู่ลาดับของความสัมพันธ์
        R = {(a,b)| a หาร b ลงตัว}
                                                      table
                                                  1   2   3    4
            1            1                   1    X   X    X X
            2            2
                                             2        X        X
            3            3
                                             3             X
            4            4
                                             4                 X

          A              B
                                                                        5
EX:            R1   a, b  a  b 

               R 2   a, b  a  b 

               R 3   a, b  a  b หรือ อ
                                      หรื     a  b
               R 4   a, b  a  b 
               R 5   a, b a  b  1       เมื่อ a, b ϵ จานวนเต็ม

               R1     R2      R3        R4    R5

      (1,1)

      (1,2)

      (2,1)

      (1,-1)

      (2,2)                                                        6
                ปฏิบัติการบนความสั มพันธ์
EX. กาหนดให้ A = {1, 2, 3} , B = {1, 2, 3, 4} และ
  R1 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)},
  R2 = {(1, 1),(1, 2),(1, 3),(1, 4)} จงหา
R1 U R2 = {(1, 1),(1, 2),(1, 3),(1, 4), (2, 2), (3, 3) }
R1 ∩ R2 = {(1, 1)}
R1 - R2 = {(2, 2), (3, 3)}
R2 - R1 = {(1, 2),(1, 3),(1, 4)}
                                                           7
                                       สมบัติของความสั มพันธ์
            • นิยาม ให้ R เป็ นความสัมพันธ์บนเซต A และ a, b, c เป็ นสมาชิกใด ๆ
                     ของ A จะเรี ยก R ว่า มี
ความสัมพันธ์สมมูล




                    1. สมบัติสะท้ อน ( Reflexive ) ถ้า a, a   R ทุก a ϵ A
                    2. สมบัติสมมาตร ( Symmetric )
                        ถ้า a, b   R แล้ว b, a   R
                     3. สมบัติถ่ายทอด ( Transitive )
                       ถ้า a, b   R และ b, c   R แล้ว a, c   R
                    4.   สมบัติปฏิสมมาตร (Antisymmetric)
                         ถ้า   a, b   R   และ b, a   R แล้ว a = b
                                                                                 8
                ความรู้ ทางตรรก
              ตารางค่ าความเป็ นจริง
        AND                        IF…THEN               NOT
A   B   A^B          A        B    A --> B
                                                     A   ~A
                     T        T            T
T   T   T            T        F            F
                                                     T   F
T   F   F            F        T            T         F   T
F   T   F            F        F            T

F   F   F                                                xor
                          A            B       A xor B
        OR
A   B   AVB               T            T         F
T   T   T                 T            F         T
T   F   T                 F            T         T
F   T   T                 F            F         F
                                                             9
F   F   F
                                        สมบัติของความสั มพันธ์
            • นิยาม ให้ R เป็ นความสัมพันธ์บนเซต A และ a, b, c เป็ นสมาชิกใด ๆ
                     ของ A จะเรี ยก R ว่า มี
ความสัมพันธ์สมมูล




                    1. สมบัติสะท้ อน ( Reflexive ) ถ้า a, a   R ทุก a ϵ A
                    2. สมบัติสมมาตร ( Symmetric )
                        ถ้ า a, b   R แล้ว b, a   R
                     3. สมบัติถ่ายทอด ( Transitive )
                       ถ้ า a, b   R และ b, c   R แล้ ว a, c   R
                    4.    สมบัติปฏิสมมาตร (Antisymmetric)
                         ถ้ า   a, b   R   และ b, a   R แล้ว a = b
                                                                               10
                สมบัติของความสั มพันธ์
EX: พิจารณาความสัมพันธ์ บนเซต A={1,2,3} ต่อไปนี้
  R={(1,1), (1,2), (1,3), (3,3)}
  S={(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,3)}
  T={(1,1), (1,2), (2,2), (2,3)}




                                                   11
                         Reflexive
R={(1,1), (1,2), (1,3), (3,3)} S={(1,1), (1,2), (2,1), (2,2),
   (3,3)}
T={(1,1), (1,2), (2,2), (2,3)} เมื่อ R,S และ T เป็ นเซทของคู่ลาดับที่มี
            ่
   สมาชิกอยูในเซทของ A และB ซึ่งประกอบด้วยสมาชิก {1,2,3}
คุณสมบัติสะท้ อน
R ไม่มี refexive เพราะ 2 ϵ A แต่ (2,2) ϵ R
T ไม่มี refexive เพราะ 3 ϵ A แต่ (3,3) ϵ T
S มี refexive
                                                                          12
                          Symmetric

R={(1,1), (1,2), (1,3), (3,3)} S={(1,1), (1,2), (2,1), (2,2),
  (3,3)}
T={(1,1), (1,2), (2,2), (2,3)} เมื่อ R,S และ T เป็ นเซทของคู่ลาดับที่มี
           ่
  สมาชิกอยูในเซทของ A และB ซึ่งประกอบด้วยสมาชิก {1,2,3}
สมบัติสมมาตร
R ไม่มี symmetric เพราะ (1,2) ϵ R แต่ (2,1) ϵ R
ในทานองเดียวกัน T ไม่มี symmetric
S มี symmetric
                                                                          13
                          Transitive

R={(1,1), (1,2), (1,3), (3,3)} S={(1,1), (1,2), (2,1), (2,2),
  (3,3)}
T={(1,1), (1,2), (2,2), (2,3)} เมื่อ R,S และ T เป็ นเซทของคู่ลาดับที่มี
             ่
  สมาชิกอยูในเซทของ A={1,2,3}
สมบัติถ่ายทอด
-T ไม่มี transitive เพราะ (1,2)และ(2,3)อยูใน T แต่ (1,3) ไม่อยูใน T
                                          ่                    ่
- R และ S มี transitive


                                                                          14
                         Antisymmetric

R={(1,1), (1,2), (1,3), (3,3)} S={(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,3)}
                                                                                ่
T={(1,1), (1,2), (2,2), (2,3)} เมื่อ R,S และ T เป็ นเซทของคู่ลาดับที่มีสมาชิกอยูใน
  เซทของ A={1,2,3}
สมบัติปฏิสมมาตร
                                              ่
- S ไม่เป็ น Antisym เพราะ (1,2) และ (2,1) อยูใน S แต่ 1 ไม่
  เท่ากับ 2
- R และ T เป็ น Antisym


                                                                                15
                          โจทย์ คาถาม
EX:จงพิจารณาความสัมพันธ์ R1,R2, ..,R6 บน A={1, 2, 3, 4} เมื่อ
  R1 = { (1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,4),(4,1),(4,4)}
  R2 = { (1,1),(1,2),(2,1)}
  R3 = { (1,1),(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(3,3),(4,1),(4,4)}
 R4 = { (2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3)}
  R5 = { (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),
     (3,3),(3,4),(4,4)}
 R6 = { (3,4)}
  ความสัมพันธ์ใดมี สมบัติสะท้อน สมบัติสมมาตร สมบัติปฏิสมมาตร และสมบัติ
  ถ่ายทอด


                                                                    16
                            โจทย์ คาถาม

 EX: ให้ Ri เป็ นความสัมพันธ์บนเซตของจานวนเต็ม
             R1   a, b  a  b 

                R 2   a, b  a  b 

               R 3   a, b  a  b หรือ อ
                                      หรื     a  b
                R 4   a, b  a  b 
               R 5   a, b a  b  1 

จงพิจารณาว่าความสัมพันธ์ใดมี สมบัติสะท้อน สมบัติสมมาตร สมบัติถ่ายทอด
หรื อสมบัติปฏิสมมาตร                                                   17
                    Answer: R5
• ให้ R 5   a, b  a  b  1  เป็ นความสัมพันธ์บนเซตของจานวน
   เต็ม
• สมบัติสะท้ อน : a Z, a, a  R 5
  เนื่องจาก 3  3  1 ดังนั้น        3, 3  R5
         นันคือ R5 ไม่มีสมบัติสะท้อน
           ่
• สมบัติสมมาตร : a, b  Z a, b  R 5  b, a R 5 

  เนื่องจาก 3  2  1 แต่          2 31
  ดังนั้น   3, 2  R 5 แต่       2, 3  R5
  นันคือ R 5 ไม่มีสมบัติสมมาตร
    ่
                                                               18
                        Answer: R5
สมบัติถ่ายทอด:           R 5   a, b a  b  1 
     a, b, c Z  a, b  R 5  b, c R 5  a, c R 5 
เนื่องจาก 4  3  1 และ 3  2  1
แต่       4 21

ดังนั้น    4, 3  R 5      และ   3, 2  R 5
แต่       4, 2  R 5
    นันคือ R5 ไม่มีสมบัติถ่ายทอด
      ่

                                                            19
Answer: R5

    R 5   a, b a  b  1 




                          20
              Answer: R3
      R 3   a, b  a  b หรือ อ
                             หรื     a  b



ให้




                                               21
        Answer: R3
R 3   a, b  a  b หรือ อ
                       หรื     a  b




                                         22
   Answer: R3
R 3   a, b  a  b หรือ อ
                       หรื     a  b




                                         23
       Answer: R3
R 3   a, b  a  b หรือ อ
                       หรื     a  b




                                         24
          การแทนความสั มพันธ์
      (Representing Relations)


•   คู่ลาดับ (ordered pair)
•   ตาราง (table)
•   เมตริ กซ์ (matrix)
•   กราฟ (graph)




                                 25
                   การแทนความสั มพันธ์
                        คู่ลาดับ
Ex: ให้ R เป็ นความสัมพันธ์จากเซต A ไปยังเซต B
เมื่อ A = {นงนุช, ภัทร, ธนพรรธน์}
      B = {CSE101, MAT231, CSE321}

  R = { (นงนุช, CSE101),(นงนุช, MAT231),
   (ภัทร, CSE101),(ภัทร, MAT231),(ภัทร, CSE321),
   (ธนพรรธน์, MAT231) }


                                                   26
                   การแทนความสั มพันธ์
                         ตาราง
R = { (นงนุช, CSE101),(นงนุช, MAT231),
      (ภัทร, CSE101),(ภัทร, MAT231),(ภัทร, CSE321),
      (ธนพรรธน์, MAT231) }
  ลงทะเบียนเรียน       MAT231          CSE101         CSE321
        นงนุช              X               X
         ภัทร              X               X          X
     ธนพรรธน์              X

                                                               27
                  การแทนความสั มพันธ์
                       เมทริกซ์
การแทนค่าของความสัมพันธ์ในรู ปแบบ Matrix (0-1) กาหนดให้ R เป็ น
 ความสัมพันธ์จากเซต A = {a1, a2, … , an} ไป เซต B = {b1, b2, … , bn}
 สามารถแทนด้วย matrix MR = [ mij ] โดยที่


                         1     ;   (ai , b j )  r
                  
            mij  
                         0     ;   (ai , b j )  r
                  
                                                                  28
                  การแทนความสั มพันธ์
                       เมทริกซ์
EX: ให้ A = { 1, 2, 3 } และ B = { 1, 2, 3, 4}
ให้ r เป็ นความสัมพันธ์จาก A ไป B ซึ่ง
       r   a, b  A  B a  b 
              1          2          3      4
     1        0          1          1       1
     2        0          0          1       1

     3       0           0          0      1    29
                           โจทย์ คาถาม
EX ให้ A = { a1 , a2 , a3 } และ B = { b1 , b2 , b3 , b4 , b5 } จงหา
  ความสัมพันธ์ r ในแบบคู่ลาดับ เมื่อ

                               b1 b2 b3 b4 b5

                         a1 0 1 0 0 0
               Mr      = a2 1 0 1 1 0
                         a3 1 0 1 0 1



                                                                      30
               การกระทาบนความสั มพันธ์
                     เมทริกซ์ 0-1
                                 ่
EX: ให้ความสัมพันธ์ R1 และ R2 อยูบน A
                 1 0 1                      1 0 1
      MR1 =      1 0 0         MR2 =        0 1 1
                 0 1 0                      1 0 0
จงแสดงผลลัพธ์ MR1 U MR2       และ MR1 ∩ MR2

                 1 0 1                          1 0 1
MR1 U MR2 =      1 1 1       MR1   ∩    MR2 =   0 0 0
                 1 1 0                          0 0 0   31
                     การแทนความสั มพันธ์
                                ิ
                       กราฟระบุทศทาง
บทนิยาม กราฟระบุทิศทาง (Directed graph or digraph) ประกอบด้วย
  เซต V เรี ยกว่า เซตของจุด (vertices or node) และ เซต E V x V
  เรี ยกว่า เซตของเส้นเชื่อม (edges) จุด a เรี ยกว่า จุดเริ่ มต้น (initial
  vertex) ของด้าน (a, b) และจุด b เรี ยกว่า จุดปลาย (terminal vertex)
  ของด้าน (a, b)
             ่
  ด้านที่อยูในรู ปแบบ (c, c) ซึ่งจุดเริ่ มต้นกับจุดปลายเป็ นจุด
  เดียวกัน จะเรี ยกว่า วงวน (loop)

                                                                        32
                     การแทนความสั มพันธ์
                                ิ
                       กราฟระบุทศทาง
EX: กาหนดให้ R = {(1, 1), (3, 2), (3, 1), (1, 2),(2, 3)} เป็ น
    ความสัมพันธ์บนเซต AxA เมื่อ
   A = {1, 2, 3} จงแทน R ด้วย Digraph
                             1
                                               2


                                 3
                                                                 33
                          โจทย์ คาถาม
                                               ่
• จงเขียนกราฟระบุทิศทางที่มีจุดยอดอยูที่ a, b, c และ d ซึ่งประกอบด้วย
  ด้าน(a, b), (a, d), (b, b), (b, d), (c, a), (c, b) และ (d, b)
• จงเขียนคู่ อนดับและเมทริกซ์ ทั้งหมดที่แทนกราฟระบุทิศทางที่กาหนด
              ั

                           B
                                         C
          A
                                          D
                   E                                                34
                      ความสั มพันธ์ ประกอบ
                      (composite relation)

บทนิยาม ให้ R เป็ นความสัมพันธ์จาก A ไป B และ S เป็ นความสัมพันธ์จาก B ไป
  C ความสัมพันธ์ ประกอบของ R และ S (composite relation of R
  and S) คือ ความสัมพันธ์ซ่ ึ งประกอบด้วยคู่อนดับ (a, c) โดยที่ (a, b) ∈R
                                               ั
  และ (b, c) ∈ S เขียนแทนด้วย S o R นันคือ   ่
  S o R = { (a, c)∈ A × C มี b ∈ B ซึ่ ง (a, b) ∈R และ (b, c)
  ∈S}




                                                                      35
                                           ตัวอย่ าง
EX. ให้ A = { 1,2,3} , B = {1,2,3,4}, C = { 0, 1, 2}
R เป็ นความสัมพันธ์จาก A ไป B และ S เป็ นความสัมพันธ์จาก B ไป C กาหนดโดย
R = { (1,1) , (1,4), (2,3), (3,1) , (3,4) }, S = { (1,0), (2,0) ,(3,1) ,(3,2), (4,1) }
จงหา S o R

                           1                         1                     0
                           2                         2                     1
                           3                         3                     2
                                                     4
         SoR = {(1,0), (1,1), (2,1), (2,2), (3,0), (3,1) }
                                                                                         36
                        โจทย์ คาถาม
เมื่อกาหนดให้
        R = { (1, 1), (1, 4), (2, 3), (3, 1), (3, 4) } และ
        S = { (1, 0), (2, 0), (3, 1), (3, 2), (4, 1) }
  จงหา SoR




                                                             37
                         โจทย์ ท้ายบท
ให้ Aเป็ นเซตประกอบด้วย { 0, 1, 2, 3, 4} โดย R,S เป็ นความสัมพันธ์
     บน A
     R = { (1,1) , (2,2), (2,3), (3,2), (4,2), (4,4) }
     S = { (1,0), (2,0) ,(3,1) ,(3,2), (4,1) }
1. จงตรวจสอบว่าความสัมพันธ์ R และ S มีสมบัติ สะท้อน สมมาตร
     ถ่ายทอด และปฏิสมมาตร หรื อไม่
2. จงแทนความสัมพันธ์ R ในรู ปแบบ เมตริ กซ์ (0-1) Mr และ
     digraph
3. จงหา S o R
                                                                 38
                        Quiz -IV
ให้เลือกโจทย์ปัญหาท้ายบทเรื่ องความสัมพันธ์มาทดสอบอย่างน้อย 1 ข้อ


                (15 นาที)




                                                                39

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Categories:
Tags:
Stats:
views:108
posted:8/18/2011
language:Thai
pages:39