Docstoc

Analisa Dinamik

Document Sample
Analisa Dinamik Powered By Docstoc
					Bahan Kuliah Matematika Ekonomi Lanjutan                      Prof. Nachrowi Djalal Nachrowi, PhD.   1




Analisis Dinamik: Aplikasinya dalam Ilmu Ekonomi
• Model Statik
   Mencari nilai dari suatu variabel yang memenuhi syarat – syarat keseimbangan.

       - Variabel yang memaksimumkan keuntungan

       - Variabel yang meminimumkan biaya produksi

                       FONC       ≡    Keseimbangan / Equilibrium



• Model Dinamik
   Melihat gerakan variabel berdasarkan pada pola perubahannya .

   H : Populasi yang berubah dengan kecepatan / rate H′(t)

          Ingin dilihat : - bagaimana gerakan populasi tadi

                               - atau perubahan setiap saat H (t)

   Misal : (i) Kita tahu situasi populasi pada waktu t, H (t) . Dari Kuliah terdahulu,

                   kita dapat mencari H′ (t), dengan mencari turunannya,

                   H′ (t) = du
                            dt

             (ii) Jadi, bila kita tahu perubahannya, dan ingin mengetahui populasi seperti
   apa setiap saat, bagaimana mencarinya? Metode ini yang akan kita pelajari .
Bahan Kuliah Matematika Ekonomi Lanjutan                                Prof. Nachrowi Djalal Nachrowi, PhD.   2



   Integrasi
                                  ½                                                                       ½
   Bila kita tahu H′(t) = t −         , dengan mudah kita dapat membuat dugaan H(t) = 2 t
                                                   ½
   yang dapat mengakibatkan H′(t) = t − , kalau begini mudah, perlukah kita
   mempelajari teknik integrasi ?

   Masalah :

                  ½
   H (t) = 2 t         + 10                *   Semua empat bentuk H (t) ini bila diturunkan

                  ½                                                            ½
   H (t) = 2 t         + 100                   menghasilkan H′ (t) = t−

                  ½
   H (t) = 2 t         + 1000              *   Mana H (t) yang tepat ?

                  ½
   H (t) = 2 t         + C

• Kalau kita tahu keadaan populasi pada t = 0 , H(0), maka dari dugaan – dugaan
                                                             ½
   tersebut H ( 0 ) = C . Akibatnya H (t) = 2 t                  + H (0)

• Teknik mencari H (t) dari H´ (t) disebut : Integrasi; sedangkan kebalikannya disebut
   Diferensiasi.

• Notasi untuk memudahkan:

   Didefinisikan: f (x) = F′ (x); f(x): derivative; F(x): anti – derivative

   Sehingga       d      F(x) = ƒ(x)                   : diferensiasi
                  dt

                   ʃƒ(x)dx = F(x) + C                        : integrasi
Bahan Kuliah Matematika Ekonomi Lanjutan                           Prof. Nachrowi Djalal Nachrowi, PhD.   3




     ATURAN INTEGRASI

I.   Kepangkatan:

                       1 xn +1 + C
      ∫ x dx =                                   ; untuk n ≠ − 1
         n
                     n +1

                d   ⎡ 1      n + 1⎤
     Ingat :        ⎢ n +1 x      ⎥=x
                                      n
                                           ;   n ≠ −1
               dx   ⎣             ⎦


                                                  6
        Contoh : (i) ∫ x n dx = 1 x 5 + 1 + C = x + C
                                5 +1             6

                    (ii) ∫ x 3 / 2 dx =   1    x3 / 2 + 1 + C = 2 x5 / 2 + C
                                        3 2 +1                  5


                    (iii) ∫ 1 dx ? TIDAK BISA PAKAI “ aturan kepangkatan”
                            x

                          karena 1 = x − 1        ;       n = −1
                                 x

II. Exponensial                  ʃ e x dx = e x + C .




                                1 dx = ln x + C
III. Logaritma              ∫                             ; x > 0
                                x

     II a . ʃ f ′ ( x ) e ƒ (x) dx = e ƒ (x) + C


               f ' (x )
      III a. ∫          dx = ln f ( x ) + C           ;    f(x) > 0
               f (x)
Bahan Kuliah Matematika Ekonomi Lanjutan                                Prof. Nachrowi Djalal Nachrowi, PhD.   4



IV. Penjumlahan            ʃ [ ƒ ( x ) + g( x ) ] dx =      ʃ f (x) dx + ʃ g(x) dx


     Contoh : (i) ʃ ( x 3 + x + 1 ) dx = ʃ x 3 dx + ʃ x dx + ʃ 1 dx



                          ⎢ 4
                             ⎡ 4
                                1⎥
                                       ⎤
                                     ⎢ 2   2⎥
                                             ⎡ 2
                        = ⎢x + C ⎥ + ⎢x + C ⎥ + x + C
                                                      3
                                                       ⎤
                                                             [      ]
                          ⎣      ⎦   ⎣      ⎦

                            4   2
                        = x + x +x +C
                           4   2

                       ⎡            14 x ⎤
IIa & IIb ⇒ (ii) ∫ ⎢2e 2 x +             ⎥ dx = (e
                                                      2x
                                                           + C1 ) + ln ( 7x 2 + 5 ) + C2
                       ⎢
                       ⎣           7x + 5⎥
                                     2
                                         ⎦


                                                   = e 2 x + ln (7 x 2 + 5) + C




V. Perkalian .          ʃ k f (x ) dx = k ʃ f (x ) dx               ;      k : constant.




Contoh : (*) ʃ ( 5 e x − x −2 + 3/x ) dx = 5 ʃ e x dx − ʃ x −2 dx + 3 ʃ 1/ x dx


                     = 5 e x + x −1 + 3 ln x + C
Bahan Kuliah Matematika Ekonomi Lanjutan                          Prof. Nachrowi Djalal Nachrowi, PhD.   5




                           ⎡       du ⎤ dx =
VI. Substitusi           ∫ ⎢ f (u)             ʃ f (u) d u = F (u) + C
                           ⎣       dx ⎥
                                      ⎦



Contoh :           (i)    ʃ 2x (x 2 + 1) d x     ; u = x2 +1 ;            du    = 2x
                                                                          dx
                       ʃ 2x (x 2 + 1) d x = ∫ f (u) du = ʃ ƒ (u) du = F (u) +C
                                                     dx
                                                   2
                                             = u + C = 1/2 (x 2 + 1) + C
                                                  2
                  (ii) ʃ 6 x 2 ( x 3 + 2 ) 99 d x ; u = x 3 + 2 ; du = 3 x 2
                                                                     dx

                         = ʃ ƒ (u) du = 2 ʃ u                  u100 + C = ⎡ x 3 + 2 ⎤ + C
                                                   99
                                                        du = 2            2⎢        ⎥
                                                               100         ⎢ 100 ⎥
                                                                           ⎣        ⎦
                  (iii) ʃ 8 e2 x + 3 d x   ; u = 2x +3 ;            du = 2
                                                                    dx
                          = ʃ ƒ (u) du     = 4 ʃeu       du = 4 e 2x +3
                                                                        + C


VII. Partisi :           ʃ v du = u . v − ∫ u d v              u = u(x) ; v = v(x)


       Contoh : (i) ʃ x ( x + 1 ) 1/ 2 d x ; v = x; du =(x + 1)1/ 2 d x ; u = 2 (x + 1) 3/ 2
                                                                              3
                     = ʃ v du = u . v − ʃ u dv
                     =     2 (x + 1) 3/ 2 . x     − ʃ 2 (x + 1) 3/ 2 . dx
                           3                             3
                      =     2 x (x + 1) 3/ 2 − (2/5) 2 (x + 1) 5/ 2 + C
                            3                              3
                (ii) ʃ ln x d x; v = ln x ; d v = 1 d x
                                                              x
                                                 u = x        ; d u = dx
                                           = ʃ v du =      u v − ʃ u dv
                                                        = x ln x − ʃ (x) 1 d x
                                                                         x
                                                        = x ln x − x + C
Bahan Kuliah Matematika Ekonomi Lanjutan                                             Prof. Nachrowi Djalal Nachrowi, PhD.   6




Definit Integral
• ʃ f ( x ) dx            =        F (x) + C                  ;         x dan C tidak mempunyai nilai definit

                                                                        ⇒ “ indefinite integral “

• Bila      F (x) + C l                      =       F (a) + C
                      x =a



            F (x) + C l                      =       F (b) + C                   ;    dan a < b
                      x=b



            maka                  F (b) + C          −            F (a) + C          = F (b) − F (a)

           mempunyai nilai yang spesifik yang bebas dari x dan C ⇒ “definite integral“




• Notasi:
               b                                      b
               ∫ f (x) dx = F ( x ) a
                                    l                             = F (b) − F (a)
               a

                          5                               5
     Contoh (i)           ∫3 x
                                   2
                                       dx = x3 l =                      5 3 − 1 3 = 124
                                               1
                          1




                              b

                              ∫k
                                                                    b
                   (ii)             ex d x       =        k ex l = k ( eb − ea)
                              n                                     a



• Intepretasi Geometris:


                                                                         b
                                                 ƒ (x )                   ∫ dx : luas yang diarsir
                                                                         a

           a                           b
Bahan Kuliah Matematika Ekonomi Lanjutan                      Prof. Nachrowi Djalal Nachrowi, PhD.   7




 Sifat – sifat Definite Integral:


           b                   a
I.         ∫ f (x) dx = - ∫ f (x) dx
           a                   b

           a
II.        ∫ f (x) dx = 0
           a

           d               b                      c       d
III.       ∫ f (x) dx = ∫ f (x) dx + ∫ f (x) dx + ∫ f (x) dx ; (a < b < c < d)
           a               a                      b       c

       b                           b
IV.    ∫ - f (x) dx =          − ∫ f (x) dx
       a                           a

       b                               b
V.     ∫ k f (x) dx =              k ∫ f (x) dx
       a                               a

       b                                   b          b
VI. ∫ [ f (x) + g (x) dx ] = ∫ f (x) dx + ∫ g (x) dx.
       a                                   a          a


       b               b       b
VII. ∫ v du = uv l − ∫ du ; u ( x ) ; v( x ).
       a               a       a
Bahan Kuliah Matematika Ekonomi Lanjutan                                    Prof. Nachrowi Djalal Nachrowi, PhD.   8



Improper Integral

    ∞                                 b
•   ∫ f (x) dx =          lim         ∫ f (x) dx
    a                  b→∞            a


     b                                        b
•       ∫ f (x) dx =       lim                ∫ f (x) dx
    −∞                    a → −∞              a


     ∞                                                b
•       ∫ f (x) dx =       lim a → −∞                 ∫ f (x) dx
    −∞                    b→∞                         a




             ∞ dx                         b                          b
                      =                           dx =             −1 l =         1
Contoh : ∫
                  2
                           lim            ∫                lim
                                                                    x       lim − b + 1 = 1
             0x            b→∞            1       x2       b→∞       1      b→∞



                                 1

                                 x2




                  1
Bahan Kuliah Matematika Ekonomi Lanjutan                       Prof. Nachrowi Djalal Nachrowi, PhD.   9



APLIKASI INTEGRAL: ILMU EKONOMI


( A ) Marginal Function → Total Function .

       (i). Bila MC dari suatu perusahaan diketahui ;
                                    0.2Q
             C′ (Q) = 2 e

             Dan bila fixed cost juga tahu , CF = 90

             Total cost bisa dicari sebagai berikut :

             C (Q ) =         ʃ C ′ (Q ) dQ = ʃ 2 e 0 . 2 Q dQ = 2 ( 1 ) e0 . 2 Q + k
                                                                     0 .2

                • Bagaimana mencari k ?

                • Pada saat Q = 0 , C( 0 ) = 10 + k

                    Sedangkan diketahui bahwa C( 0 ) = CF = 90

                                                      maka k = 80

             Dengan demikian C ( Q ) = 10 e 0. 2 Q + 80



       (ii). Bila MPS , S′(y) = 0.3 − 0.1 y − ½

                       Agregate saving = 0 , bila y = 81

                       Berapa S(y) ?


             * S (y) = ʃ S′(y) dy = ʃ (0.3 − 0.1 y − ½ ) dy = 0.3 y − 0.2 y                ½
                                                                                               +C

             * Kita ketahui bahwa S(81 ) = 0

                                           (0.3) (81) − (0.2) (9) + C = 0 → C = − 22.5

             * S ( y ) = 0.3 y − 0.2 y          ½
                                                    − 22.5
Bahan Kuliah Matematika Ekonomi Lanjutan                                   Prof. Nachrowi Djalal Nachrowi, PhD. 10



(B) Investasi dan Formasi Kapital
         K (t) : capital stock pada saat t ( stock )
         K′ (t) : rate of capital formation pada saat t ( flow )
         I (t) : net in investment flow pada saat t
                         ≈ rate of capital formation pada saat t
                         K′ (t) = I (t)

                         K (t) = ʃ I (t) dt = ʃ                   dK . dt = ʃ d K
                                                                  dt
Contoh (i) I (t) = 3 t ½                   ;        net investment flow
               K (0) di ketahui ; bagaimana K ( t )

               K (t) =         ʃ I ( t ) dt =        ʃ 3 t ½ dt = 2 t 2/3 + C
               t = 0 → K (0) = C                         ⇒ K ( t ) = 2 t 2/3 + K ( 0 )
               Untuk mengetahui capital accumulation pada interval [ a , b ]
                                     b                        b
                                     ∫ I dt = K (t) a =
                                                    l               K (b) − K (a)
                                     a



           (ii) Misalkan net investment : constant , I ( t ) = $1000 / tahun .
                   Berapa capital formation dari [ 0 , 1 ] , [ 1 , 2 ] , [ 0 , 2 ] .
               1           1                              1
               ∫ I dt = ∫ 1000 dt = 1000 t 0 = 1000
                                           l
               0           0

                               Analog : [ 1 , 2 ] → 1000; [ 0 , 2 ] → 2000


           (iii) I ( t ) = 3 t ½ $ / tahun ; tidak konstan .
                  Berapa capital formation dari t = 1 → t = 4 .
                                           4                           4
                                           ∫ 3t
                                                  1/ 2
                                                         dt = 2 t 3/2 1
                                                                      l     = 16 − 2 = 14
                                           1

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Categories:
Tags:
Stats:
views:51
posted:8/15/2011
language:Malay
pages:10