A viagem da joana.ppt

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					                             Funções
                1. Interpretação de Gráficos
O gráfico representa a viagem da Joana num dia em que resolveu
visitar uns amigos

    Distância
      ( Km)




                                               Tempo
                                               (horas)
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   Ana Arromba - Instituto de Almalaguês
  Manuela Pedro - Instituto de Almalaguês
Paula Curto - Escola Básica 2,3/Secundária de
              Condeixa-a-Nova


            Circulo de Estudos
Desenvolvimento do Programa de 10º ano de
  Matemática B para o Ensino Secundário
           Janeiro e Maio 2002
    Escola Secundária Martinho Árias
                    Funções
      1. Interpretação de Gráficos

 A que distância de casa estava a Joana quando
efectuou a primeira paragem?
  A Joana estava a 10m de casa.
 Durante a viagem, qual foi a distância máxima que a
separou de casa?
 A distância máxima que a separou de casa foi 15m.
 Quanto tempo demorou a viagem?
 A viagem demorou 3h30m.
 Quanto tempo esteve parada a Joana?
  A Joana esteve parada 1h30m.
  A que horas chegou a Joana a casa?             Voltar
   A Joana chegou ás 3h30m.
                               Funções
              1. Noção de Função

   Considera os seguintes conjuntos A e B
                  A        f          B
                                               C
                                      5
                 1
                                  6
                      2
                                 7
                3
                                  8
                 4                       9

Definição de Função:
Dados dois conjuntos A e B, se f é uma correspondência entre
A e B e se a cada elemento de A corresponde um e um só
elemento de B, então f é uma função ou aplicação de A para B.
                                                          Voltar
                             Funções
                1. Noção de Função
•A esta correspondência chama-se _________.
                                    função
•Ao conjunto A chamamos conjunto de partida ou _________________
                                                    Domínio
e representa-se por ______. Df = {
                      D                  1, 2, 3, 4  }
                      f
•A todo o elemento de A chamamos _____________.
                                    Objectos
•Ao conjunto B chamamos _______________________ da função.
                          Conjunto de Chegada
  Conjunto de chegada de f = {      5, 6, 7, 8, 9   }
•A todo o elemento de B ao qual corresponde um elemento de A
chamamos ___________.
                 imagem
Estabelece o conjunto C formado pelas imagens dos elementos de A
• Ao conjunto C chamamos ______________ da função e representa-se
                          contradomínio
   por    D’f     D’f = {      5, 6, 7        }                Voltar
                              Funções
                1. Noção de Função

    Simboliza-se do seguinte modo:
             f: A               B

                x               y=f(x)


• x é variável independente e y a variável dependente
• Ao conjunto A chamamos Domínio e representa-se por Df
• Ao conjunto B chamamos Conjunto de Chegada
• Ao conjunto das imagens chama-se Contradomínio da função e
representa-se por D‘f
 • A cada objecto x corresponde uma e uma só imagem y=f(x);
                             Funções
               1. Interpretação de diagramas
  Exemplo 1:



A correspondência não é uma função porque o objecto 1 tem duas
imagens, 4 e 5, logo mais do que uma imagem.
Exemplo 2:




A correspondência não é uma função porque o objecto 2 não tem
imagens.
                                         Funções
                       2. Representação gráfica de uma Função
      Num determinado dia registaram-se as temperaturas de ar na cidade de
      Aveiro, de hora a hora e, a partir delas, elaborou-se o gráfico das temperaturas
      em função da hora do dia.



  Temperatura
     ºC



                                                                          Horas


Indique:                                     • os intervalos de tempo onde a
• o domínio;    1      0;24]                temperatura: - é positiva; - é negativa;
                                                                                         4
                                             • os intervalos onde a temperatura: -
• o contradomínio;    2         -3;6]
                                             aumenta; -aumenta e é positiva; -
                                                                                      5
• as horas do dia em que se registou         diminui; - diminui e é positiva; - é
                                         3
a temperatura 0ºC                            constante;
                           Funções
              2. Representação gráfica de uma Função
 • Como averiguar se se trata de uma função
  Um gráfico de uma função só pode ser intersectado no
  máximo uma vez por uma qualquer recta vertical.




 Não se trata de uma
representação de uma    Trata-se de uma representação de uma
       função                          função
                        Funções
             Interpretação gráfica do domínio

Domínio
  O domínio de uma função obtém-se projectando o seu gráfico
  sobre o eixo dos xx




                                                      Voltar
                       Funções
            Interpretação gráfica do Contradomínio

Contradomínio
  O Contradomínio de uma função obtém-se projectando o seu
  gráfico sobre o eixo dos yy




                                                     Voltar
                                 Funções
                  3. Noções gerais de uma função
  • Zeros de uma função
Definição: Zero de uma função é todo o
objecto que tem imagem nula.

DDeterminação dos zeros de uma função:
Graficamente
Averiguar as abcissas dos pontos do gráfico para
os quais o gráfico da função intersecta o
eixo das abcissas ( xx )

Analiticamente
Determinar os valores de x para os quais f(x)=0    zeros
isto é, x: f (x)=0


                                                           Voltar
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                     3. Noções gerais de uma função
  • Sinal de uma função
Definição : Seja f uma função de domínio D, dizemos que :
   - f é positiva em I (I D) se e só se f(x) > 0, para todo o xI.
   - f é negativa em I (I D) se e só se f(x) < 0, para todo o xI.

DDeterminação do sinal de uma função:

Graficamente
-A função é positiva para todos os valores de x cujas
imagens estão acima do eixo das abcissas.
                                                          f(x) >0
-A função é negativa para todos os valores de x                       f(x) < 0
 cujas imagens estão abaixo do eixo das abcissas.



                                                                        Voltar
                                             Funções
                           Noções gerais de uma função

         • Monotonia de uma função

  f(b)                    g(b)       g              f(b)                      g(b)         g
             f
                                                           f
                          g(a)
  f(a)                                              f(a)
                                                                              g(a)
         O   a   b          O    a       b
                                                           a   b                     a     b
A função f é crescente   A função g é decrescente   A função f é
                                                                             A função g é estritamente
num intervalo E.         num intervalo E.           estritamente crescente   decrescente num intervalo
                                                    num intervalo E.         E.

Definição : Diz-se que f é crescente / estritamente crescente em EDf se para todos os
números reais a e b pertencentes a E, se a < b, então f(a)f(b) / se a < b, então f(a)< f(b).
Definição : Diz-se que g é decrescente / estritamente decrescente em EDf se para
todos os números reais a e b pertencentes a E, se a < b então g(a)  g(b) / se a < b, então
g(a)>g(b).
Definição : Uma função crescente ou decrescente diz-se monótona.
                                                                                         Voltar
Observação: Uma função constante é considerada crescente e decrescente.
                                         Funções
                         Noções gerais de uma função

     • Monotonia de uma função
Definição : Seja f uma função de domínio D.
   f(a) é um máximo absoluto de f se, para todo o x pertencente a D, f(a)  f(x)
   f(b) é um mínimo absoluto de f se, para todo o x pertencente a D, f(b) f(x)


Definição : Seja f uma função de domínio D.
    f(a) é um máximo relativo de f se existir um intervalo aberto E contendo a tal que
f(a)  f(x), qualquer que seja o x  E  D
    f(b) é um mínimo relativo de f se existir um intervalo aberto E contendo a tal que
f(b) f(x), qualquer que seja o x  E  D


Definição : Aos valores do domínio a que correspondem os máximos / mínimos relativos da
função chamam-se maximizantes / minimizantes
                                                                                  Voltar
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                  Noções gerais de uma função

• Injectividade de uma função
FDefinição : Uma função f é
injectiva num intervalo EDf se
para dois valores quaisquer de E,
x1 e x2, se x1  x2 então f(x1) 
f(x2).




Definição : Uma função f é não
injectiva num intervalo EDf se
existem     pelo  menos    dois
objectos distintos com a mesma
imagem.

                                                Voltar
                               Funções
                  Noções gerais de uma função
 • Injectividade de uma função
Graficamente
Vê-se que uma função é não injectiva se existir pelo menos uma recta
horizontal que intersecte o gráfico da função em mais do que um ponto.




 f é função injectiva                   f é função não injectiva
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               Noções gerais de uma função

• Sobrejectividade de uma função


FDefinição : Uma função g é
sobrejectiva    se    o   seu
contradomínio coincide com o
conjunto de chegada.

                                    g é sobrejectiva




                                    f é não sobrejectiva
                            Funções
                 Noções gerais de uma função

 • Taxa de Variação Média


A taxa de variação média
(t.v.m) entre a e b traduz a
                                f(b)
rapidez de variação da função
e obtém-se dividindo a                      f         f(b)-f(a)
variação da função pela f(a)
amplitude do intervalo, isto é:
                                            b-a
              f(b) - f(a)
  t.v.m. =                              a         b
   [a, b]        b-a
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                Noções gerais de uma função

• Observações

  • se a função é crescente a taxa de variação média é positiva
  nesse intervalo
  • se a função é decrescente num dado intervalo então a taxa de
  variação média é negativa nesse intervalo.
  • se a função é constante num dado intervalo então a taxa de
  variação média é zero nesse intervalo

				
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posted:8/13/2011
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