4.3 Transformations de Lorentz

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4.3 Transformations de Lorentz Powered By Docstoc
					ce qui donne :
                                           ∂2     ∂   2
                                           ∂x2
                                              = ∂x 2
                          ∂2         ∂2                      ∂2
                          ∂t2   =   ∂t 2   − 2v ∂t ∂x + v 2 ∂x 2
                                                 ∂ ∂

                  `                             e
Nous en arrivons a l’expression suivante pour l’´quation de Maxwell dans
            ee
le nouveau r´f´rentiel :
                          1 ∂2φ     2v ∂ ∂      v2 ∂ 2 φ    ρ
                 −Δ φ +    2 ∂t 2
                                  +          φ − 2      2
                                                          =
                          c          c ∂t ∂x    c ∂x         0

      e
Les ´quations de Maxwell ne sont donc manifestement pas identiques suite
a                              e
` une transformation de Galil´e.
              e            a
Trois hypoth`ses s’offrent ` nous :
i) Il existe un mouvement absolu.
          e
ii) Les ´quations de Maxwell sont fausses.
                                  e
iii) Les transformations de Galil´ene sont pas les bonnes.
        e                e
Il s’av`re que les hypoth`ses i) et ii) sont exclues par les faits
     e
exp´rimentaux.


4.3    Transformations de Lorentz
                   `                   e                         e e
Il nous reste donc a envisager l’hypoth`se (iii) du paragraphe pr´c´dent.
                                                             e
Nous allons donc chercher une transformation qui laisse les ´quations de
Maxwell invariantes.
                           e                                             e
Nous restons ici dans le mˆme cadre que plus haut : seules les coordonn´es
                 e                                                   `
x et t sont affect´es par la transformation. Nous nous limitons donc a un
                                   e
espace de dimension 2. Nous repr´sentons alors la transformation cherch´e e
par une matrice 2 × 2 not´e Λ, telle que nous ayons :
                           e
                                    ct                    ct
                                             =Λ
                                    x                     x
avec
                                             Λ11 Λ12
                                Λ=
                                             Λ21 Λ22
                                   e        e
Nous obtenons, en terme de coordonn´es, les ´quations :
                                ct = Λ11 ct + Λ12 x
                                x = Λ21 ct + Λ22 x
      e
Les op´rateurs se transforment :
                              ∂
                             ∂x
                                           ∂
                                    = Λ22 ∂x + Λ12 1 ∂t
                                                   c
                                                      ∂
                            1 ∂
                            c ∂t
                                           ∂         ∂
                                    = Λ21 ∂x + Λ11 1 ∂t ,
                                                   c


                                                 35