Graphes de la pratique à la théorie… by cuiliqing

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									Graphes : de la pratique
    à la théorie…
   Catherine Philippe & Christian Vassard
               IREM de Rouen
  groupe arithmétique et groupe statistiques.
Quelques dates
1736….
         …problème des ponts de Königsberg, résolu par Euler en
         1736 dans Solutio problematis ad geometriam situs
         pertinentis, Commetarii Academiae Scientiarum
         Imperialis Petropolitanae 8




                                           Leonhard Euler
                                           (1707-1783)
1852…
           …À partir d’une lettre de Morgan à Hamilton :

        Autrement dit : Un de mes étudiants m’a demandé de lui
                        expliquer un fait dont je ne savais pas
                         suffisent-elles à colorier une sais
        quatre couleurs que c’était un fait – et je ne lecarte de
                        toujours que deux pays on divise une
        géographie de façon à cepas. Il dit que si limitrophes
        ne soient pas coloriés de la même couleur ?et qu’on
                        figure n’importe comment,
                        colorie les compartiments de façon que
                        les parties ayant une frontière commune
                        soient de couleurs différentes, quatre
                        couleurs suffisent (…) Si vous voyez
                        une explication simple, je n’aurais plus
                        qu’à faire comme le Sphinx….
                        Cité dans Bréal page 219.
Augustus de Morgan
(1806-1871)
En 1857…
 Hamilton invente un jeu, The
 icosian game, qu’il commercialise
 en 1859.
 Le jeu est constitué d’un
 dodécaèdre dont les 20 sommets
 portent le nom d’une grande ville
 dans le monde.
 Le but du jeu consistait à trouver un
 chemin sur les arêtes du dodécaèdre
 permettant de visiter chaque ville      Hamilton (1805-1865)
 une fois et une fois seulement, en
 revenant à la ville de départ.
1878…

  … le mot graphe est introduit pour
  la première fois par l’anglais J. J.
  Sylvester (1814-1897)
XXe siècle…


      La théorie des graphes devient une branche des
      mathématiques avec les travaux de König, Kuratowski et
      plus récemment de Berge, Erdös et Harary.
Claude Berge, dans le discours inaugural des Journées
internationales d’études de la théorie des graphes (1966),
déclare:

«Je remercie les deux cent cinquante participants de ce
congrès venus si nombreux à Rome pour un sujet qui, il y
a dix ans seulement, n’aurait attiré qu’une dizaine de
personnes. Étrange évolution que celle de la théorie des
graphes, qui se développe par à-coups, sous l’impulsion
tour à tour du rôle de l’électricité, de la géométrie des
polyèdres, de la théorie des jeux, et surtout maintenant de
la recherche opérationnelle et du calcul électronique.»
Parcours du programme en 7
           étapes
Point de départ : un peu partout
         des graphes…
  Plan de métro




Contenu : graphe, sommet, arête
   Un polyèdre convexe




                                  ou




Contenu : graphe, sommet, arête
     Le plan d’une ville, avec ses sens interdits…




Contenu : graphe, graphe orienté
Un autre exemple, pris dans le Déclic page 234




Contenu : graphe, graphe orienté
      Une carte routière…




Contenu : graphe pondéré
 En chimie organique




    Butane…



                        Alanine


Contenu : multigraphe
Première étape : modéliser une
  situation avec des graphes
Nous sommes en 3002. Il existe un transport interplanétaire
entre les neuf planètes du système solaire. Des navires
spatiaux assurent les liaisons suivantes :
Pluton-Vénus, Uranus-Neptune, Terre-Mercure, Jupiter-Mars,
Mercure-Vénus, Saturne-Neptune, Terre-Pluton, Saturne-
Jupiter, Uranus-Mars, Pluton-Mercure.
Peut-on partir de la Terre et arriver sur Mars ?
                                               (Bréal page 221)
                               Mercure
            Vénus



                                                      Pluton




        Terre




                Mars


                                                           Neptune




                 Jupiter



                                             Uranus
                                   Saturne


Contenu : chaîne, graphe connexe
Loup, chèvre, chou
Un passeur doit faire traverser une rivière à un loup, une chèvre
et un chou, dans une barque si petite qu’il ne peut emporter que
l’un d’eux à chaque voyage. Pour des raisons évidentes, il ne
peut laisser le loup et la chèvre seuls sur une rive, pas plus que
la chèvre et le chou. Comment s’y prend-il ?
Hyperbole
page 267
              L C Chou rien
              L C Chou // rien




L C // Chou
L C Chou      L Chou // C
              L Chou C           C Chou L
                                 C Chou // L




L // C Chou
L C Chou      C // L Chou
              C L Chou           Chou L C
                                 Chou // L C




              rien L C Chou
              rien // L C Chou
Un exemple d’activité que nous ne trouvons pas très intéressante :
activité 1 page 230 Déclic
Ne pas confondre un graphe avec sa représentation.


                                          a
      b                              d
                  c
          f                  b
  a                   d                          f
                                          c
                                 e
              e
      Deuxième étape :
échanger des poignées de mains
 Dans une réunion de 5 personnes, combien de poignées de
 mains sont échangées ? On suppose que tout le monde salue
 tout le monde…
 Même question avec 35 personnes.




Contenu : graphe complet, lemme des poignées de mains
            Une personne


Une poignée de
mains




                  Comptons donc les arêtes de ce graphe…
       La somme des degrés des sommets d’un graphe est
       égale au double du nombre d’arêtes

                      d ( x)  2  card(A)
                     xX

       où X est l’ensemble des sommets du graphe et A
       l’ensemble des arêtes.


C’est donc un nombre pair !
Que vous inspire le tableau
ci-contre ?
Graphe numéro G36                        Graphe numéro G37
                                                  S1
          S1



                                                  S2


          S5

                                                  S5


  S2                S4


                                          S3                 S4
          S3


               De type (1, 2, 2, 2, 3)
Quelques exercices classiques

              1) Est-il possible de relier 15 ordinateurs de sorte que
              chaque appareil soit relié exactement avec 3 autres ?

2) Montrer que le nombre total de gens qui ont habité
la terre et qui ont donné un nombre impair de
poignées de mains est pair.

    3) Construire un graphe d’ordre 8, ayant 13 arêtes, 2 sommets de
    degré 5, deux sommets de degré 3, 1 sommet de degré 4 et les trois
    autres sommets de même degré.
    Construire un graphe d’ordre 8, ayant 13 arêtes, 2 sommets de degré
    4, deux sommets de degré 3 et les quatre autres sommets de même
    degré pair. (exercice 11 page 241 Déclic)

4) Construire un graphe dont les sommets ont pour degré respectif
(4, 4, 5, 5, 5, 5, 6)
    Et les coups de pieds aux fesses ?

                     Albert

                                            C’est un graphe orienté…


       Edouard                          Bernard




             Denis            Charles


nombre de coups de pieds donnés = nombre de coups de pieds reçus
                                 = nombre d’arêtes (orientées)
Troisième étape : représenter un
     graphe par sa matrice
       S1
                      S2          Matrice d’adjacence d’un
                                  graphe simple
S6                                     0   1 1 1 1 0
                                       1   0 0 1 0 0
                                                    
                                       1   0 0 0 0 0
                                                    
                             S3

      S5                               1   1 0 0 0 0
                                       1   0 0 0 0 0
                S4
                                                    
                                       0   0 0 0 0 0

• La matrice est symétrique.
• La somme des nombres d’une même ligne (ou d’une même
colonne) donne le degré du sommet correspondant.
• La diagonale ne contient que des zéros.
                                            Matrice d’adjacence
               S1
                                            d’un graphe orienté
                                      S5


                                              1   1   1   0   0
                                              0   0   1   0   0
                                                               
          S4
                                              0   1   0   1   0
                                S2
                                                               
                                              1   0   0   1   1
                                              1               0
                                                  0   0   1    
                S3


• La matrice n’est plus symétrique.
• La somme des nombres d’une ligne donne le degré sortant du
sommet correspondant ; la somme des nombres d’une colonne
donne le degré entrant du sommet correspondant. Ces deux
nombres ne sont plus forcément égaux.
• La trace de la matrice donne le nombre de boucles du graphe.
Quatrième étape : cheminer dans
         les graphes
              Quand elle n’utilise
              pas plusieurs fois la
Une chaîne…   même arête, la chaîne
              est dite simple.




              Au sens du programme,
              un cycle est une chaîne
              simple qui revient à son
              point de départ.
Les ponts de Königsberg
                 A


                P2         P5
              P1


                 B         P6           C


                P4
              P3           P7


                 D




Contenu : chaîne, cycle, chaîne et cycle eulériens
Théorème d’Euler
1) Un graphe connexe admet un cycle eulérien si et
seulement si tous ses sommets sont de degré pair.
2) Un graphe connexe admet une chaîne eulérienne
si et seulement si le nombre de ses sommets de
degré impair est 0 ou 2.
Principe de la construction d’un cycle eulérien
                       S2

    S1
                                           S3




         S7                                     S4




                                                  Premier pas : cycle
                                    S5            S1 S2 S4 S3 S1
                  S6
                                          Deuxième pas : cycle
                                          S1 S2 S6 S7 S2 S4 S3 S1
                                   Troisième pas : cycle
                                   S1 S2 S6 S7 S5 S1 S7 S2 S4 S3 S1
Les dominos
   Peut-on aligner tous les dominos d’un jeu ?
Prolongement : à quelle condition un graphe complet admet-
il un cycle eulérien ?
Est-il possible de tracer les figures suivantes sans lever le
crayon et sans repasser deux fois par le même trait ?
Expliquer pourquoi.




http://www.ac-bordeaux.fr/Pedagogie/Maths/peda/lyc/graphes.htm
Est-il possible de tracer une courbe, sans lever le crayon,
qui coupe chacun des 16 segments de la figure suivante ?
Dénombrement de chaînes en utilisant la matrice d’adjacence

Soit le graphe de matrice d’adjacence M.
Le nombre de chaînes de longueur p joignant le sommet Si au
sommet Sj est égal au coefficient aij, situé à la ie ligne et à la je
colonne de M p.




 Attention aux éléments de la diagonale :
 Ils dénombrent les chaînes de longueur p qui reviennent à
 leur point de départ, et non pas les cycles au sens du
 programme (voir par exemple les exercices 39-40-41 page
 244 du Déclic).
 Un exemple proposé par Michel Zehler, sur le site de l’académie
 de la Réunion (http://www.ac-reunion.fr)


Ci-dessous est donné le plan d’un parcours de santé : il est
constitué de chemins à sens unique et de points de repère,
distants les uns des autres de 800 mètres. E désigne
l’entrée du parcours et S la sortie.
Combien y a-t-il de trajets différents ayant 1,6 Km ? 3,2
Km ? 8 Km ?
Cinquième étape : colorier les
         graphes
Déclic page 250




Contenu : nombre
chromatique
Coloriage d’un graphe complet



                           =3
    =2                                          =4




                        =5




 Le nombre chromatique d’un graphe complet est égal à son ordre.

Important    Si un graphe contient un sous-graphe complet d’ordre p,
             alors le nombre chromatique est supérieur ou égal à p.
Comment colorier un graphe ?
On utilise l’algorithme de Welsh et Powell…



                  1                           6




       2                4               5         8




                  3                           7



 Les sommets ont été ordonnés par numéro.
                       3              5




         1         2                       7   8




                        4             6




Les sommets ont été ordonnés par numéro…
                            3              5




             7         1                        2         8




                            4              6


Les sommets ont été ordonnés par ordre décroissant de leurs degrés

Attention, l’algorithme de Welsh-Powell ne donne pas
forcément le nombre chromatique…
Notion d’algorithme
Un algorithme peut être défini comme un processus, une suite
d'instructions permettant la résolution d'un problème donné
dans toute sa généralité et en particulier quelle que soient les
données du problème.

                               Le terme algorithme tire son
                               origine du nom du
                               mathématicien Al-Khwarizmi,
                               né vers 780 dans la région du
                               Kharezm (d'où son nom
                               d'ailleurs), située au sud de la
                               mer d'Aral, et mort vers 850.
Quelques exemples classiques d’utilisation

         organisation d’examens ;
         organisation de conseil de classes (Bréal 59
         page 251) ;
         coloriage de cartes (Bréal 57 page 250) ;
         incompatibilité d’humeur (Déclic TD4 page
         258) ;
         approvisionnement de chantiers par différentes
         routes (Déclic 53 page 289).
Sixième étape : pondérer les
         graphes
Longueur d’une chaîne d’un graphe quelconque = nombre des
arêtes qui la constituent.
Distance entre deux sommets = longueur de la plus courte chaîne
joignant ces sommets.
Diamètre d’un graphe = la plus grande distance entre deux
sommets.




Poids (ou valeur) d’une chaîne d’un graphe pondéré (ou
valué) = somme des poids des arêtes qui la constituent.
L’algorithme de Moore permet de déterminer la
distance entre deux sommets.
             1
             1
Départ
0
0
                     2

         1
         1
                             4

2
                 3       3




         3
                     4
                             4
                             Arrivée
L’algorithme de Dijkstra permet de déterminer une chaîne de
poids mimum reliant deux sommets.
                            B
                            B, 15 (A)
                15                   13
    A, 0
    A
                       13                         I 28 (B)
                                                  I, 30 (C)
           10
                             20
                                                              8
                 C
                 C,10 (A)
                                                     17                J 53 (H)
                                                                       J,
           7

                 15               F 32 (D)
                                  F,                              11
    D
    D, 17 (C)                                10
                                                             45 (I)
                                                          H 42 (F)
                                                          H, 49 (E)
       8
                             24
                                                     18           15
            E 25 (D)
            E,
                            20
                                                  G
                                                  G, 45 (E)
                                                          13
                                                                       K,
                                                                       K 57 (H)

La marque d’un sommet donne la longueur d’une chaîne de poids
minimal reliant le point A de départ à ce sommet.
Plusieurs chaînes de poids minimum sont parfois possibles :
voir par exemple Déclic numéro 9 page 282.
Septième étape : travailler avec
  des graphes probabilistes
Etude d’une situation (à partir de l’exercice 36 page 244 du Bréal)
On dispose d’une urne rouge contenant une boule rouge et quatre
boules noires.
On dispose aussi d’une urne noire contenant trois boules rouges et une
boule noire.
On effectue une suite de tirage d’une boule selon les règles suivantes :
1) le premier tirage a lieu dans l’une des deux urnes choisies au hasard ;
2) après chaque tirage dans une urne, la boule est remise dans la même
urne ;
3) après chaque tirage, on tire dans l’urne qui a la couleur de la boule
tirée.
Modéliser cette situation.




                Urne rouge            Urne noire
Première idée : l’arbre de probabilité
     Choix de l’urne Premier tirage        Deuxième tirage   …
                                         1/5   br
                             br UR
                   1/5
                                         4/5    bn
             UR
                                         3/4    br
                    4/5      bn UN
     1/2                                        bn    Urne rouge
                                          1/4




     1/2                                  1/5    br
                              br UR
                    3/4
                                          4/5    bn
             UN
                                          3/4    br
                    1/4       bn UN                   Urne noire
                                          1/4    bn
               ne tirage           (n + 1)e tirage
                                1/5     br
                     br UR
          pn
                                 4/5    bn

          qn                     3/4     br
                     bn UN
                                 1/4     bn

     (probabilités            (probabilités
     simples)                 conditionnelles)
On en déduit que :
                                 1    3
                           pn1  pn  qn
                                 5    4
                                 4    1
                           qn1  pn  qn
                                 5    4
             1     3    1    3              11      3
       pn1   pn  qn  pn  (1  pn )      pn 
             5     4    5    4              20      4
             4     1
       qn1  pn  qn
             5     4
 Si la suite (pn) a une limite p, elle vérifie nécessairement :
                              11       3
                        p       p
                              20       4
Ce qui donne p = 15/31 (et donc q = 16/31).

Travaillons donc avec pn – 15/31. La relation de récurrence donne :
                            15     11       15
                     pn1    ( pn  )
                            31     20       31


 La suite (pn – 15/31) est géométrique de raison – 11/20 : elle
 converge vers 0, et ce quel que soit le choix de p0.
Deuxième représentation : le graphe probabiliste
   Deux états possibles : premier état, boule rouge ; deuxième état,
   boule noire.
   Quatre probabilités conditionnelles :
   probabilité d’avoir une boule rouge sachant qu’au tirage
   précédent, on a eu une boule noire, etc.
   Un graphe pondéré (le graphe probabiliste) qui visualise cette
   situation
                           4/5
                                                         1/4
       1/5

                               3/4
                                                              1/ 5   4 / 5
     La matrice de transition du graphe probabiliste : M = 
       1     3                                                3/ 4   1/ 4 
                                                                           
pn1  pn  qn
                                                              1/ 5   4 / 5
                  se traduit par :  pn1 qn1    pn qn  
       5     4
      4      1                                                3/ 4   1/ 4 
                                                                           
qn1  pn  qn
      5      4
À l’aide de la matrice, on peut calculer simplement les probabilités pn
et qn et voir comment elles évoluent.

                      pn   qn    p0   q0  M n


Problème : comment calculer M n ?

Le résultat général d’une situation à deux états est au programme (deux
démonstrations dans les manuels : par les suites, comme dans notre
exemple, ou par le calcul explicite de Mn par la formule du binôme,
comme dans le document d’accompagnement.)
La visualisation de la limite peut être faite avec une calculatrice :
dans notre exemple, Mn semble avoir pour limite :
                             15 / 31 16 / 31
                             15 / 31 16 / 31
                                              




On démontre que c’est bien la limite en utilisant une des deux
méthodes précédemment exposées.
L’état limite est indépendant des probabilités des états initiaux…



              lim pn
               n
                              
                        lim qn   p0
                        n
                                           q0  lim M n
                                               n

                                              15 / 31 16 / 31
                                    p0 q0  
                                               15 / 31 16 / 31 
                                     15              16             
                                    ( p0  q0 )        ( p0  q0 ) 
                                     31              31             
                                    15 16 
                                         
                                    31 31 
Quelques définitions :
Matrice stochastique : matrice dont les coefficients sont positifs et dont
la somme sur chaque ligne vaut 1. C’est le cas par exemple de la matrice
de transition d’un graphe probabiliste.
Chaîne de Markov : on les rencontre quand on a affaire à un système
qui peut prendre un nombre fini d’états et qui évolue par étapes
successives d’un état à un autre. La probabilité qu’à une étape donnée le
système soit dans un état ne dépend que l’état précédent.
Plus précisément, une chaîne de Markov est une suite de variables
aléatoires (Xn), chacune prenant pour valeurs les différents états
possibles.
Graphe probabiliste : graphe orienté à k sommets, pondéré par des
nombres positifs tels que la somme des poids des arêtes sortant de
chaque sommet vaut 1. Chacun des poids peut s’interpréter comme une
probabilité conditionnelle.
Andrei A. MARKOV
    1856-1922
Résultat général
On considère un graphe probabiliste à k états (numérotés de 1 à k).
On appelle M la matrice de transition de ce graphe (mij est la
probabilité de passer de l’état i à l’état j) et on suppose que les mij
sont tous strictement positifs.
On note Pn le vecteur à une ligne et k colonnes donnant les
probabilités des k états à l’étape n.
1) La suite (Pn) admet une limite P, indépendamment du vecteur
initial P0.
2) La suite (Mn) converge vers une matrice M, dont les k lignes
sont identiques, la somme des termes d’une ligne valant 1.
3) P M = P.
4) P M = P.
(On dit que P est un état stable de la matrice M)
Remarques sur les puissances de matrice…

L’habitude pour calculer la puissance n-ième d’une matrice M
(stochastique ou non) est de la réduire en calculant ses valeurs propres
c’est-à-dire en cherchant les nombres réels ou complexes tels que :
                                 MV = V
Si la matrice M est diagonalisable, on peut écrire :
                               M  PDP 1
donc
                              M n  PD n P 1
Et la limite de Dn, et de Mn, est facile à obtenir.

Que sait-on des valeurs propres d’une matrice stochastique ?
1 est toujours valeur propre, associée au vecteur propre constitué d’une
colonne de 1 ;
si les coefficients de la matrice M sont tous strictement positifs, 1 est
valeur propre simple et les autres valeurs propres ont un module
strictement inférieur à 1.
Voir aussi l’exemple de Gérard Grancher… (Kevin et ses retards au
lycée)
http://www.univ-rouen.fr/upresa6085/Persopage/Grancher/cdm2001.html
Kévin n’arrive pas toujours à l’heure au lycée :
• il n’est jamais en retard ou en avance deux jours consécutifs ;
• s’il était en retard la veille, il sera en avance une fois sur deux ;
• quand un jour il est en avance, le lendemain Kévin sera en
         retard une fois sur quatre ;
• Kévin a la même probabilité d’être en retard, ponctuel ou en
         avance, quand la veille il était à l’heure.

                                       
                                   P                
                
                                             

                                                     
            R                                               A
                                   
Questions :

• Kévin était en avance le jour de la rentrée, que peut-on
       prévoir pour le troisième jour ?
• Quand il est en retard, Kévin doit venir chercher un billet de
       retard auprès du conseiller principal d’éducation. Avec
       quelle fréquence Kévin visitera le bureau du CPE ?
• Au troisième retard, un avertissement sera décerné à Kévin.
       En moyenne, au bout de combien de jours,
       cet événement se réalisera-t-il ?
• Jérémie, le copain de Kévin, fréquente lui aussi assez
       régulièrement le bureau du CPE. Pouvez-vous aider le
       CPE à estimer la matrice de transition modélisant le
       comportement de Jérémie ?

								
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