LE RISQUE by jizhen1947

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                         LE RISQUE (fin du chapitre 6)

Le risque c’est essentiellement, quand on fait un projet avec une certaine rentabilité,
c’est le risque de faire moins que cette rentabilité.
Il faut donc placer le risque dans des comparaisons que vous effectuez quand vous faites
un projet d’investissement.

Par exemple, vous venez avec un projet et vous dites « voilà nous avons une VAN de
autant et donc une rentabilité (en pourcentage) de autant. On va dire ici de 8%. Le
décideur en face de nous va comparer cette rentabilité avec un placement bancaire qui
rapporte du 4%. Nous nous disons alors que nous optons pour le projet car il rapporte
8% > 4%. Mais en fait, le décideur va tenir du RISQUE du projet et se dire alors « au
plus il y a du risque, au plus j’attends une rentabilité moyenne élevée »  plutôt que
d’avoir du 4.5% au lieu de 4% avec un risque énorme, on préfère avoir du 4% certains
plutôt que du 4.5% avec une chance sur deux de rien avoir. Si par contre, j’ai un projet
de 4.5% à du 100% certain, je prends le projet car 4.5%>4%.
En conclusion, le risque est important dans la mesure où on le compare avec des
placements alternatifs ou des placements sans risque (taux bancaire) ou avec un taux de
rentabilité attendue pour un risque similaire.

Comment percevoir la notion de risque ?

Nous devons regarder à quelles variables le projet est le plus sensible (variable vente,
inflation,…). On détermine ces variables, on les fait varier et on regarde celles qui
influencent le projet et la VAN de celui-ci. Quand les variables ont une grande influence
sur le projet, ce sont des variables sensibles qui augmentent le risque du projet.

Comment déterminer alors si projet a un risque important ou un risque réduit ? → On fait
des scénarios tel Monte-Carlo, avec scénarios de hasard. On simule avec des facteurs
aléatoires, on regarde alors si le projet se passe bien ou si il se passe mal. On regarde
donc la sensibilité du projet par rapport aux facteurs du projet.

Par exemple dans le secteur de la grande distribution, c’est un secteur peu risqué car peu
importe ce qui se passe, on ira toujours à manger. Pour le secteur des agences de
voyage par contre, il y a des facteurs fort sensibles ce qui augmente le risque dans ce
secteur ; les bénéfices peuvent être énormes tout comme ils peuvent être très faibles à
cause de facteurs économiques. (ex : diminution du salaire → diminution des voyages
commandés mais par contre pas de diminution de la consommation de biens de nécessité
tels que les produits proposés dans les supermarché). Le risque des projets est donc
différent selon les secteurs.
Dans le secteur pharma par contre, on aurait tendance à penser que le taux de risque est
plus élevé pour un projet de vaccin pour une maladie telle le cancer que pour un projet
de maladie commune. Or c’est faux car il faut des médicaments agréés : quand on fait un
projet, faut tout d’abord savoir si le projet sera agréé ou non avant d’investir car cela
n’aurait aucun sens de se lancer dans un investissement si c’est pour être copié par
d’autres sociétés pharmaceutiques. De plus, une fois agréé, un médicament contre le
cancer aura moins de risque pour rentrer sur le marché car il existe peu de médicament
qui sont efficace pour cette maladie.

1. Break-even comptable et financier

Une autre manière de voir les choses c’est de faire le break-even (BE) comptable càd
qu’on est pas intéressé de savoir partir de quel point je commence à faire des bénéfices
mais juste de savoir que je ne vais pas perdre. En d’autres termes, il calcule la quantité à
vendre pour que le bénéfice comptable total =0.
Mais le BE comptable a un défaut : il ne tiens pas compte des cash-flow investis.
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Point-mort comptable:
Ben = (CA – Fvar – Ffixes – Dam)  (1-Tc)

Marge unitaire m = (Prix–Fvar/unité)

Ben = m  (1- Tc)  Q – (Ffixes+Dam)(1-Tc)
                                            F fixes  Dam
                        Qcompta 
Point-mort comptable:                                 m
Dans notre exemple:

            (30  15)10 6
Q compta                   60,000
           (3,750  3,000)
Il faut donc vendre 60 000 unités pour ne pas perdre d’argent.


Point-mort financier:

Le BE financier est plus difficile à atteindre car il faut actualiser toutes les marges
dégagées chaque année. De plus, la vente en année 10 doit couvrir une partie de
l’investissement de départ en année 0 (contrairement au BE comptable où la vente de
l’année 10 ne doit couvrir que l’année 10).
Le BE financier calcule la quantité à vendre pour que le total des cash-flow annuels=0 et
donc pour que je ne perde de l’argent (la différence avec le BE comptable : but à
atteindre est que bénéfice total=0).

Cash Flow CF = Ben + Dam
             = m (1-Tisoc)  Q – Ffixes  (1-Tisoc) + Tisoc Dam


                  marge nette       Coûts réels des   Tx d’amortissement au niveau financier
                sur les quantités     frais fixes      déductible fiscalement donc bénéfique

VAN = - Inv + VA(CF)

Coût annuel équivalent de l’investissement: coût annuel de même valeur actuelle que
l’investissement initial.

On transforme donc l’investissement de départ de 150 en coût annuel équivalent càd
qu’on trouve les cash-flow d’investissement qui sont équivalents pour chaque année et
dont la VAN=150.

CAE= Investissement / Facteur d’annuité
CAE = 150 / 6.145 = 24.4

VAN = (- CAE + CF) Facteur d’annuité = 0 si

CAE = m (1-Tc)Q – Ffixes  (1-Tc) + Tc Dam
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        CAE  Ffixes ( 1-Tc )-Tc Dam
Q fin 
                     m( 1-Tc )
        24 .4  30 (1  0.50 )  0.50  15
Q fin                                      85,094
           (3,750  3,000 )(1  0.50 )
                                       CAE-Dep
Remarque:
             Qcompta  Q fin 
                                       m  ( 1-Tc )
On obtient ici une quantité de 85 094 alors qu’on avait obtenu 65000 unités pour le BE
comptable. Il faut donc être certain ici que je vende 85 094 unités pour que le projet
commence à être rentable, càd l’objectif à atteindre pour que je ne fasse pas de pertes.
Enfin, nous voyons qu’il y a des ventes plus loin dans le temps, ces dernières ont un
poids plus faible. Contrairement au BE comptable, nous devons vendre plus sur 10 ans
pour le BE financier que le BE comptable.
Ici il n’y a pas de notion de risque mais bien un objectif à atteindre pour ne pas faire de
pertes.

2. Decisions trees and options

La VAN classique est statique: décider et attendre…
En réalité, il peut exister des possibilités d’influencer l’évolution d’un projet.

Cette méthode permet de réduire l’incertitude des variables et donc de réduire le risque
sur le projet. On peut décider maintenant de faire le projet ou non ou on peut très bien
postposer ma décision afin de récolter plus d’information.

Exemple : dans le secteur pharma, on paie des chercheurs pendant 1 an afin de décider
dans 1 an si on investit dans le projet oui ou non. Au pire donc, si je décide de ne pas
investir, je n’aurai perdu que le salaire payé à mes chercheurs et je saurai un peu plus
sur l’état d’avancement de mes recherches.

On vient avec un projet :

          75% de chance de succès avec une VAN de 1517
          25% de chance d’avoir un échec avec une VAN de -3611. A cela se rajoute les
           frais sans que je n’obtienne des recettes.




                                            p=0.75

                                           Succes               VAN= 1,517
              Tester                       s
                                             Echec               VAN = -3,611
                                          1-p = 0.25
                       Ne pas tester
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Analyse traditionnelle:

E(VAN1) = 0.75  1, 571 + 0.25  (-3,611)
         = 235

La E(VAN1) est un simple calcul de probabilité.

Je peux faire un test pour finaliser mon étude. Le coût du test = 250. Dd ce fait, le VAN
en année 0 devient :

VAN0 = -250 + 235/1.15 = -46


           VAN dans l’année 0 :
           faut actualiser VAN1 ce qui
          donne une VAN de 204 (=235/1.15)

On voit donc ici que si on fait un test qui coûte 205 pour savoir si je gagnerai 204,
finalement on a une perte de 46. Ce n’est donc pas la peine.


Nous allons donc essayer de décomposer la décision.
Nous devons partir du fait que nous décidons de faire le test aujourd’hui et nous
déciderons alors dans un an si nous investissons dans le projet ou pas. Je m’offre donc
une option. Cela nous coûtera donc 250 aujourd’hui pour pouvoir décider l’année
prochaine si nous investissons ou pas.

Nous avons donc deux décisions :
       nous testons ou pas
       nous lançons le projet ou pas

[Illustration d’un test : l’élaboration d’un prototype de voiture qui consomme moins. On
fait des tests avec ce prototype et regarde si effectivement il consomme moins que les
autres voitures]
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Nouvel arbre de décision
                                   Successs
Cost of test = 250                                                      VAN1 = 1,517
                                          p=0.75

                                                                 Investir            VAN1= 0
                 Tester

                                          Echece                  Ne pas investir
                                         1-p = 0.25
              Ne pas tester
                                                                     Investir
                                                                              NPV=-3,611



Nous voyons grâce à l’arbre de décision que dans 75% des cas, notre test sera positif
(par analyse préalable du projet cf. point précédent sans le test). Donc à priori, le test
sera positif → on investira → 1517 de VAN.

Si par contre, notre test s’avère être un échec, il nous reste deux possibilités : investir ou
pas. Vu que le test est négatif, on n’investit pas, logique. Nous n’avons donc plus la
probabilité de perdre 3611 donc la VAN1 =0 car je n’investis pas mais j’ai payé les 250
(coût de mon test).

E(VAN1) = 0.75  1, 571 + 0.25  (0) = 1,138 = gain moyen en année 1

La VAN1 est donc différente ici (nous avions sans le test une VAN1 de 235) car nous
avons 75% de chance de gagner 1517 et 25% de chance de gagner 0 (car on n’investit
pas, le test étant un échec).

Mais maintenant il faut actualiser cette VAN1 en l’année 0 :

VAN0 = - 250 + 1,138 / 1.15 = 740

-250 représentant le coût initial du test et l’actualisation pour l’année 0 de la VAN1. Nous
obtenons donc une VAN0 de 740> 235 (VAN0 sans test).

Valeur de l’option d’abandon:
       740 – (-46) = 786


    les 46 étant ici la perte
   en cas d’échec sans avoir
    fait de test donc sans la
   décomposition de la décision.


En conclusion donc, ce test qui paraissait comme idiot car il coûtait cher est en réalité
une bonne idée car il apparaît alors comme un bon projet lui-même. Il permet donc
d’augmenter la VAN du projet. Or tout ce qui augmente la VAN est une décision
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supplémentaire à prendre car il permet de prendre LA bonne décision en matière
d’investissement ou pas. Il faut donc découper dans le temps les décisions à prendre
d’investir ou pas dans un projet.

Exemple : secteur pharmaceutique : peut-on breveter quelques chose ? On a un bon
médicament mais peut-on le breveter ? Si l’on investit dans ce médicament mais qu’il
n’y a aucun brevet qui est déposé, nous risquons de voir nos concurrents nous imiter.
Afin d’éviter cela, il faut déposer le brevet avant même d’investir et donc de commencer
le projet. Au pire, j’aurai payer le brevet mais au moins nous sommes certain que
l’investissement que nous ferons, ne sera pas copier par tout le monde et cela nous
évitera de perdre en rentabilité si notre investissement aura porté ses fruits.

L’arbre de décision est donc composé de points où je peux décider oui ou non de me
lancer dans le projet (points go/no go). Plus il y a de points, plus je réduis le risque du
projet et donc plus j’augmente mes chances d’avoir une VAN positive.
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             Séance 7 (2ième partie) :           Introduction au risque


   1. Nature du problème

Comment se traduit le risque ? Le risque doit se traduire dans la rentabilité attendue. Il
faut donc un lien entre le risque et l’augmentation de la rentabilité du projet que nous
exigeons.

Rappelons-nous tout d’abord quels sont les critères de choix pour investir ? Critères de
choix d’investissement:
       VAN > 0          TRI > r (r étant la rentabilité attendue d’un projet de risque nul)

Quand on a besoin d’argent et qu’on emprunte, cet argent nous coûte. Il faut donc voir si
le return de l’investissement qu’on aura fait avec cet argent sera supérieur au coût de
notre emprunt.

Taux d’actualisation:
       reflète le coût du capital

Une autre manière de voir les choses, est le coût d’opportunité. Si on a de l’argent et
qu’on a une proposition de projet, on regarde si le projet qu’on nous propose a une
rentabilité supérieure à un autre projet car lorsque nous investissons dans un projet nous
perdons l’opportunité d’investir dans un autre projet.

Si financement par fonds propres:
        Coût des actions = coût d’opportunité
        Rentabilité attendue d’un placement de risque comparable

        Soit on a pas d’argent et on emprunte alors le coût = coût du capital
                   Soit on a de l’argent alors le coût = coût d’opportunité

= Taux d’intérêt (sans risque) + Prime de risque


Il reste maintenant deux choses à voir :

          1) comment mesurer le risque en distinguant actions et portefeuille. En effet,
           on ne mesure pas de la même manière le risque d’une action (part de
           propriété dans une entreprise) comme on mesure le risque d’un portefeuille
           d’actions.
          2) quelle est la relation entre le risque et la rentabilité attendue ? En effet, si
           j’ai un risque d’un certain niveau, comment cela va-t-il se traduire par rapport
           à la rentabilité attendue exigée par l’investisseur.
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2. Que sait-on des rentabilités boursières?

Nous allons regarder les     cycles de variations des rentabilités boursières sur plusieurs
années. Depuis 5 ans, le     tableau, n’a pas été réactualisé car de 1998 à 2004 il y a eu
trop de volatilité donc le   tableau n’aurait servi à rien. Nous n’avons malheureusement
pas encore assez de recul    pour pouvoir travailler sur ces dernières années.

Dans les tableaux, nous avons distingué les actions, les obligations et les certificats de
trésorerie.

Penser que le taux bancaire est le taux sans risque est FAUX ! En effet, une banque peut
très bien s’écrouler. Une obligation d’entreprise est moins risquée qu’une action.
L’emprunt à long terme (LT) est maintenant considéré comme une obligation avec
présence d’un risque car dans les années 80 par exemple, l’Etat belge a bien remboursé
son emprunt mais il avait avant cela dévaluer le BEF. Le certificat de trésorerie est quant
à lui considéré comme sans risque car c’est un emprunt d’Etat mais à très court terme.
Le risque est donc nul car un non remboursement ou encore une dévaluation est
annoncée bien à l’avance or ici c’est un emprunt très court terme.


2.1. Etudes historiques

Ex: Bourse de Bruxelles 1951-1999

Rentabilités nominales avant précompte → nominales donc on n’enlève pas l’effet
inflatoire. Avant précompte donc on a introduit un biais car il faut encore déduire la taxe
sur les transactions. Si on prend les rentabilités avant précompte c’est pour voir la
rentabilité dégagée par les entreprises et leurs projets.

                                        Moyenne                    Ecart-type
Actions                                  14,36                       18,87
Obligations                               7,91                        5,86
Certificats de Trésorerie                 6,53                        3,37




Rentabilités réelles avant précompte

                                MOYENNE                  ECART-TYPE
Actions                         10,25                    18,80
Obligations                      3,98                     6,53
C.Tres.                          2,59                     3,12

On remarque quand on compare les 2 tableaux que l’inflation est d’environs 4% pour
toute la période 51 à 98. En 80, elle était de 10-12% et en 60 d’environs 0-1% ce qui
nous conduit à une inflation moyenne d’environs 4% pour toute la période.

PRIME DE RISQUE HISTORIQUE 7,66%

Si on investit dans le LT, 50 ans par exemple, on remarque qu’on a intérêt à placer son
argent en actions plutôt qu’en obligations. Mais comment analyser le risque et le
réduire ?
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2 La distribution des rentabilités:

Rappel : deux variables qui gagnent ou perdent en même temps sont autos corrélées.

a. Les cours boursiers sont peu prévisibles

* Autocorrelation des rentabilités  0

Marchés efficients : toute l’information disponible est reflétée dans les prix

b. La distribution des rentabilités est approximativement normale

Mesure du risque d’un portefeuille =
Dispersion de la rentabilité autour de la moyenne: écart type de la rentabilité

Remarque:
Risque mesure la probabilité que la rentabilité soit inférieure à la valeur attendue


En moyenne quand la Bourse de Bruxelles a eu une rentabilité positive, l’année d’après
elle a eu une rentabilité positive ou négative. On ne peut donc pas dire prédire la
rentabilité d’une année par rapport à une autre → pas d’auto corrélation entre les
années. Sur 50 ans, la rentabilité du marché de la Bourse de Bruxelles a une forme de
courbe normale.

Pour mesurer le risque d’une action ou d’un portefeuille, on utilise l’écart type des
rentabilités (on estime qu’il faut environs 1000 données pour pouvoir estimer le risque).
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Intervalles de variation de la courbe normale :

   Proba de 2/3 que la rentabilité se trouve dans l’intervalle :
       moyenne +/- 1 fois écart type

   Proba de 95/100 que la rentabilité se trouve dans l’intervalle :
       moyenne +/- 0 fois écart type




Sur base des chiffres historiques:

Rentabités réelles

Proba                                          66%                             95%
Actions                                 -8%< r <+29%                    -26%< r <+48%
Obligations                             -2%< r <+10%                     -7%< r <+15%




                               2 années sur 3, il y a              2 années sur 3, il y a
                               66% de chance que                   95% de chance que la
                               la rentabilité se situe             rentabilité se situe
                               dans cet intervalle                 dans cet intervalle


Remarque : en 2002 et 2003, les assurances se sont basées sur cette méthode. Elles
plaçaient l’argent qu’elles recevaient (assurance vie,…) à du LT. Mais au lieu de perdre du
26% (avec une probabilité de 95%) elles ont perdu 2 fois 26%.

Remarque : les actions sont plus risquées mais elle rapportent plus.

Remarque : On a tendance a représenter la rentabilité attendue d’un projet par des
probabilités de rentabilités espérées d’un projet. Quand on a une courbe normale, un
projet va être représenté par une rentabilité moyenne = à la moyenne des possibilité de
rentabilité. La courbe donne alors l’écart moyen des rentabilités par rapport à la
moyenne. Au plus l’espérance de rentabilité est proche de la moyenne, au moins il y a de
risque. Généralement on préférera investir dans un projet peu risqué. Quand on investit
dans un projet fort risqué, on préférera obtenir une rentabilité moyenne attendue
beaucoup plus élevée.

Notes supplémentaires : En matière de taux d’intérêt

Imaginons qu’on emprunte 100€à du 4% par an. On doit donc payer un intérêt de 4€.
Mais le banquier nous demande payer par mois → on paie intérêt de 4€ / 12. Il faut donc
non actualiser non pas par an mais par mois puisque nous payons les intérêts par mois.
On ramène donc en valeur d’aujourd’hui l’argent que l’on paie dans un mois. Nous
verrons que ce n’est pas la même chose. En effet, ce n’est pas la même chose de payer
une fois par mois au lieu de une fois par an car nous pourrions placer les 11 mois restant
afin d’en retirer un intérêt.

Plaçons-nous maintenant du côté de la banque. On a r= tx annuel en % par an. La
banque, elle va toucher (1+r)/n, n étant le nombre de virement par an qu’il faut faire ou
encore le nombre de mois dans ce cas-ci. Cet argent, la banque le replace pendant les 11
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mois restants. Après un an, la banque aura placée [(1+r) / n] n car tous les mois la
banque replace l’argent pour les mois restants dans l’année.

L’intérêt que nous payons par mois, nous allons le comparer au RAE (return annuel
équivalent) = au taux si nous payions une seule fois par an.

Remarque : Il y en a qui font du taux d’intérêt continu càd à chaque seconde on
considère qu’il y a 1 intérêt qui est reporté. C’est un calcul de limite tel que le RAE = e rn,
e étant un facteur.

Mais reprenons notre exemple et illustrons le fait qu’on paie plus d’intérêt si on paie
autrement que une fois par an :

      Si on a un taux d’intérêt de 8% annuel mais la banque nous demande de payer
      deux fois par an, on paie en fait 8.16% car on paie ½ de l’intérêt après 6mois. Or
      cet argent on aurait pu le replacer au lieu de le payer déjà après 6 mois.
      On paie donc ½ de l’intérêt → 100 à du 8% → 8€ par an → on paie 4€ après 6
      mois.
      C’est différent que de payer 8€ en décembre car on aurait pu placer cet argent à
      du 8% sur 6 mois soit 4€ * 8% = 32€ sur 6mois ça donne 16€ → 8,16% et 8%.
      (Cet argent là, la banque va le placer pendant 6mois à du 8%). Si on payait
      trimestriellement ce serait alors du 8.24% au lieu de 8% et si c’était
      mensuellement ce serait alors du 5.33% au lieu de 8%. Ce n’est pas énorme mais
      quand même car on se rend compte qu’on paie plus que prévu. Les banques nous
      donne le taux annuel mais ne nous dit pas ce que nous payons vraiment quand on
      paie mensuellement ou trimestriellement. C’est donc pour cette raison
      qu’aujourd’hui les banques sont obligées d’indiquer sur les contrats (même si elle le
      font qu’en tout petit…) le TAEG = Taux Annuel Effectif (ou équivalent) global.
      Même sur les cartes de crédit maintenant, le TAEG doit y figurer.
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           Séance 7 (1ière partie) : Timing des investissements

Quand on fait un projet d’investissement, il faut rajouter des objets d’analyse :

- à la date : quand faut-il investir?

- à la comparaison d’investissements de durées de vie différentes:

- à la durée : pendant combien de temps?

Analysées ici dans sous l’hypothèse de certitude


Quand faut-il investir ?

Projet d’investissement :
Coût du projet = I
V= Valeur actuelle des cash flows

Présentation classique du choix d’investissement :
le projet est réalisé si VAN = V-I >0
soit F(V) = Max(0, V-I) [c’est la fonction de rentabilité]


                      si <0, on ne fait pas le projet donc valeur minimale = 0

F(V) = valeur du projet (valeur de l’option d’investir) avec hypothèse implicite : « now or
never »




                                        Quand V>I → on fait le projet.
                                        Augmente d’autant plus que
                                        mes cash-flows futurs sont
                F(V)                    importants.




                                                I                         V
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       Maintenant, il faut voir ce que nous allons faire l’année prochaine (ou dans 2 ou 3
       ans). Toutefois, certains projets ne peuvent être fait quand on veut comme par
       exemple l’achat d’un terrain. Imaginons qu’un terrain est mis en vente. On ne sait
       pas encore trop si on y construira un golf ou un hôtel de luxe mais je dois me
       décider maintenant à l’acheter ou pas. On ne peut pas attendre, on ne peut pas
       reporter le projet d’achat du terrain. La VAN des cash-flows sera plus importante
       plus tard que maintenant. C’est le cas des jeunes marchés comme par exemple le
       marché du GSM : au début quelques personnes qui achètent des GSM et nous
       déciderons de produire des GSM quand beaucoup plus de gens seront prêts à
       acheter nos GSM.
       Quand faut-il se lancer ? Plus on attend, plus la valeur des cash-flows futurs sera
       plus importante.


Projet réalisable n’importe quand

Supposons maintenant que le projet puisse être réalisé :
   - à n’importe quelle date
   - que la valeur actuelle des cash flows augmente avec le temps (ce qui implique de
      fato au minimum une croissance annuelle des cash flows)

VA des cash flows à l’instant t = V(t)

En t = 0 V(o) = V
En t :    V(t) = V (1+α)
avec α = taux de croissance de la valeur actuelle des cash flows résultant du projet.


Si l’on investit à la date T, la VAN en t=0 est :


       VAN (T) = V(1+    α)T –I / (1+r)T

On peut mathématiquement optimiser F(V) = Max (0, VAN(T)) et déterminer l’année idéale
de l’investissement.

Je cherche donc la VAN aujourd’hui la plus élevée. Pour ce faire, je calcule la VAN de
chaque année, puis j’actualise en 0 et je prends la plus élevée
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Investissements de durées de vie différentes

Imaginons que j’ai le choix entre la construction d’un terrain de golf (projet1) et la
construction d’un hôtel de luxe (projet2). Le projet 1 requiert un très gros investissement
puis on est tranquille pour longtemps alors que le projet 2 a une durée plus courte car
après 10 ou 15 ans nous devons rénover  VAN(projet1) > VAN (projet2) mais durée du
projet 1> durée du projet 2.
Si l’on compare avec un projet alternatif, la VAN sera exprimée en gain de richesse et en
pouvoir d’achat selon le nombre d’année pendant lequel l’argent sera bloqué. Quand le
projet est au total plus long, les cash-flows dégagés sont plus grands (plus de bénéfice
sur 20 ans que sur 10 ans).


Donc, supposons que l’on soit confronté à deux investissements mutuellement exclusifs
de durées de vie différentes: le projet 1 a une valeur actuelle nette plus importante mais
dure plus longtemps:

                                              Valeur actuelle           Durée
                                                  nette
                       Projet 1                   VAN1                    T1
                       Projet 2                   VAN2                    T2

VAN1 > VAN2 et T1>T2

Faut-il choisir le projet 1?

Ces projets ne sont pas directement comparables dans la mesure où leurs durées de vie
sont différentes.

Pour les rendre comparables, on peut calculer les revenus annuels equivalents qu’ils
génèrent. Pour se faire, on remplace l’investissement d’une année par les cash-flows
fictifs d’une année dont la valeur est identique.

Le revenu annuel équivalent du projet j, Rj, est défini comme l’annuité de même durée
de vie et de même valeur actuelle nette:

VANj = Rj A(r,Tj)

On choisit alors le projet ayant le revenu annuel équivalent le plus élevé.
L’hypothèse sous-jacente est qu’un projet peut être reproduit à l’infini. Donc, lorsqu’un
projet se termine, on pourra lancer un autre projet de même type.

Exemple : On a un projet sur 5 ans dont VAN(1)>0 et puis un projet sur 7 ans de VAN
(2) avec VAN(1) < VAN (2) ce qui est normal vu que plus longtemps. On va ensuite
chercher un cash flow annuel, pendant 5 ans, constant (durée du projet1) = VAN du
projet 1. Ce qui revient au même financièrement. Ensuite on convertit la VAN(1) dans
l’autre sens càd on cherche un projet équivalent qui a le même cash-flow chaque année
pendant 5 ans et dont la VAN = VAN du projet.
Je fais pareil pour l’autre projet (celui à 7 ans) et je regarde celui qui a le revenu annuel
équivalent le plus élevé.

Cette méthode permet de choisir entre 2 projets mais avec l’hypothèse que quand un des
projet se termine, on puisse en trouver un autre → si VAN>0 → projet dont rentabilité >
rentabilité attendue d’un autre projet :
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Si on termine notre projet plus tôt, c’est pour le replacer notre argent dans un autre
projet. Si par contre, nous savons que nous n’aurons pas d’autre projet à venir, nous
avons intérêt à investir dans le projet le plus long (C’est le cas d’investissement dans des
plateformes de forage ou des mines d’extraction. Quand c’est fini, c’est fini).

Pendant combien de temps ?
(Quand faut-il mettre le vin en bouteille?)

Nature du problème: décider de la durée d’un investissement

Caractéristique de la situation: le cash flow en cas de réalisation de l’actif est une
fonction croissante du temps mais le taux de croissance diminue

Exemple:
Vin: quand faut-il mettre le vin en bouteille?
Exploitation forestière: quand faut-il couper les arbres?


Le modèle
I le coût de l’investissement

C(t) le cash flow réalisé à la date t en cas de réalisation de l’actif à cette date

Hypothèses (sur l’évolution des cash-flows) :

C’ >0 (dérivée du cash flow en fonction du temps) →le cash flow augmente avec le
temps

C”<0 (dérivée seconde ou dérivée de la dérivée) → le croissance du cash flow diminue
avec le temps. La croissance est de plus en plus petite. L’augmentation du prix de
l’année 1 < à l’augmentation du prix de l’année 0.




                        C(t)




                    a                                               Temps t


Prenons l’exemple du vin et de l’exploitation forestière. En ce qui concerne le vin, plus on
attend, plus le vin a de la valeur, au plus son prix de vente sera grand, au plus ses cash-
flows futurs seront élevés mais l’argent est immobilisé jusqu’à ce qu’on mette le vin sur
le marché. Pour l’exploitation forestière, on coupe les arbres et on les vend. On replante
et on doit attendre plus de temps avant que ça repousse, faut donc attendre avant de
retrouver des cash flows.
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Le problème de l’amateur
On achète par exemple une bouteille de vin pour se faire plaisir → au plus on reporte la
vente, au plus le vin prend de l’âge, au plus son prix de vente sera grand. Mais au plus
on attend, moins vite on récupérera l’argent alors qu’on pourrait placer (coût
d’opportunité).

Choisit t de manière à maximiser la VAN de l’investissement (l’investissement est réalisé
une fois et n’est pas renouvelé → amateur).

L’allongement de la durée de l’investissement:

- accroît la valeur actuelle du cash flow futur C’(t)

- fait renoncer au revenu du placement du produit de la vente et entraîne donc un coût
d’opportunité r C(t)
                 A l’optimum, ces deux effets s’annulent: C’(t*) = r C(t*)


                                                          rentabilité du placement

Imaginons une bouteille à 100€. L’année prochaine elle vaut 104€. Or si on place cet
argent en banque, on gagne aussi 104€ → le prix n’augmente plus alors on met en vente
car l’augmentation du prix de vente < à la rentabilité si on place notre argent en banque.
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Le problème du professionnel
(reproduit l’opération régulièrement)

C’est un parallèle avec l’exploitation forestière. Au plus on attend, au plus ça prend de la
valeur mais au moins on replante car on ne perçois pas d’argent pour pouvoir réinvestir.

Le professionnel reproduit son investissement: à chaque réalisation de l’actif, il réinvestit
dans un nouveau projet dont la rentabilité est supérieure à r et qui dégage une nouvelle
VAN.

Son objectif est donc de maximiser non pas la VAN du projet mais la valeur de
l’entreprise V, càd la VAN des VAN des différents projets successifs.

On peut démontrer qu’à l’optimum t*, on obtient :

            C’(t*) = r C(t*) + V(t*)

On constate, en comparant cette condition nécessaire à celle obtenue précédemment
pour l’amateur que le professionnel met fin à son investissement plus rapidement que
l’amateur.




                                                           r(C(t)+V(t))


                                                                                rC(t)




                                                                              C’(t)




Plus on attend, plus le prix de vente augmente mais l’augmentation est de moins en moins
forte chaque année. Le prix de vente doit être comparé à un placement alternatif. Le
professionnel va revendre plus vite pour pouvoir réinvestir plus vite.

Celui qui veut chercher des bouteilles de vin chères, il va aller chez l’amateur car le
professionnel s’en sera débarrassé plus tôt pour faire place à d’autres bouteilles et pour
investir dans un autre vin.

								
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