DE TOAN THI THU DH 2011 LAN 5- by traibavi231

VIEWS: 24 PAGES: 4

									Tr-êng L-¬ng thÕ Vinh –Hµ néi.                 §Ò thi thö §H lÇn I . M«n To¸n
(180’)

                    PhÇn b¾t buéc.
                                     2x  1
C©u 1.(2 ®iÓm) Cho hµm sè        y
                                      x 1
  1. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (C) cña hµm sè .
  2. T×m täa ®é ®iÓm M sao cho kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm I (1; 2) tíi tiÕp
     tuyÕn cña (C) t¹i M lµ lín nhÊt .
C¢U 2. (2 ®iÓm).
 1. Gi¶i ph-¬ng tr×nh : 2 sin 2 x  sin 2 x  sin x  cos x  1  0 .
 2. T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ph-¬ng tr×nh sau ®©y cã nghiÖm duy nhÊt :
                                  log 0,5 (m  6x)  log 2 (3  2x  x2 )  0
                                           4  x2
                                               2
C¢U 3 . (1®iÓm) TÝnh tÝch ph©n: I               dx .
                                        1
                                            x2
C¢U 4. (1    ®iÓm). Cho tø diÖn ABCD cã ba c¹nh AB, BC, CD ®«i mét
vu«ng gãc   víi nhau vµ AB  BC  CD  a . Gäi C’ vµ D’ lÇn l­ît lµ h×nh
chiÕu cña   ®iÓm B trªn AC vµ AD. TÝnh thÓ tÝch tÝch tø diÖn ABC’D’.
C¢U 5. (1    ®iÓm) Cho tam gi¸c nhän ABC , t×m gi¸ trÞ bÐ nhÊt cña
biÓu thøc:
                        S  cos3A  2 cos A  cos2B  cos2C .

                                PhÇn tù chän (thÝ sinh chØ lµm mét trong
hai phÇn : A hoÆc B )
        PhÇn A
C¢U 6A. (2 ®iÓm).
1. Trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy cho tam gi¸c ABC, víi A(1;1) , B(2; 5) ,
   ®Ønh C n»m trªn ®-êng th¼ng x  4  0 , vµ träng t©m G cña tam gi¸c
   n»m trªn ®-êng th¼ng 2 x  3 y  6  0 . TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC.
2. Trong kh«ng gian víi hÖ täa ®é Oxyz cho hai ®-êng th¼ng d vµ d’
                                                     y2
   lÇn l-ît cã ph-¬ng tr×nh :               d : x          z          vµ      d’ :
                                                       1
   x2          z5
         y 3     .
     2           1
   Chøng minh r»ng hai ®-êng th¼ng ®ã vu«ng gãc víi nhau. ViÕt
   ph-¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ( ) ®i qua d vµ vu«ng gãc víi d’
C¢U7A. (1 ®iÓm) TÝnh tæng : S  Cn  2Cn  3Cn  4Cn      (1) n (n  1)Cn
                                      0     1   2      3                      n


       PhÇn B.
C¢U 6B. (2 ®iÓm)
1. Trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy cho tam gi¸c ABC, víi A(2;1) , B(1; 2) ,
   träng t©m G cña tam gi¸c n»m trªn ®-êng th¼ng x  y  2  0 . T×m täa
   ®é ®Ønh C biÕt diÖn tÝch tam gi¸c ABC b»ng 13,5 .
2. Trong kh«ng gian víi hÖ täa ®é Oxyz cho hai ®-êng th¼ng d vµ d’
                                                     y2
   lÇn l-ît cã ph-¬ng tr×nh :               d : x          z          vµ      d’ :
                                                       1
   x2          z5
         y 3     .
     2           1
    ViÕt ph-¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ( ) ®i qua d vµ t¹o víi d’ mét gãc
   300
C¢U7B. (1 ®iÓm) TÝnh tæng : S  Cn  2Cn  3Cn      (n  1)Cn
                                      0      1  2                n



                                           1
    §¸p ¸n m«n To¸n.
C©u 1. 1. TËp x¸c ®Þnh : x  1 .
            2x  1        3             3
     y             2      , y'             ,
             x 1       x 1        ( x  1) 2
B¶ng biÕn thiªn:


   TiÖm cËn ®øng : x  1 , tiÖm cËn ngang y  2
                          3 
2. NÕu M  x0 ; 2 
                                 (C ) th× tiÕp tuyÕn t¹i M cã ph-¬ng tr×nh
                        x0  1 
                                
           3           3
 y2                        ( x  x0 ) hay          3( x  x0 )  ( x0  1) 2 ( y  2)  3( x0  1)  0
        x0  1 ( x0  1) 2
  . Kho¶ng c¸ch tõ I (1;2) tíi tiÕp tuyÕn lµ
    3(1  x0 )  3( x0  1)          6 x0  1                      6
d                                                                               . Theo bÊt ®¼ng thøc
          9  x0  1              9  ( x0  1) 4
                       4
                                                             9
                                                                      ( x0  1) 2

                                                        ( x0  1) 2
           9
C«si               ( x0  1) 2  2 9  6 , v©y d  6 . Kho¶ng c¸ch d lín nhÊt b»ng
      ( x0  1) 2
  6 khi
             ( x0  1) 2   x0  1  3  x0  1  3 .
     9                               2

( x0  1) 2
      VËy cã hai ®iÓm M : M  1  3 ;2  3                                    
                                                                 hoÆc M  1  3 ;2  3              
C¢U 2.
1) 2 sin 2 x  sin 2 x  sin x  cos x  1  0  2 sin 2 x  (2 cos x  1) sin x  cos x  1  0 .
        (2 cos x  1) 2  8(cos x  1)  (2 cos x  3) 2 . VËy sin x  0,5 hoÆc sin x  cos x  1.
                                                           5
Víi sin x  0,5 ta cã x   2k hoÆc x                         2k
                                  6                          6
                                                                              2       
Víi sin x  cos x  1         ta cã sin x  cos x  1  sin x                 sin   , suy ra
                                                                          4   2        4
                                      3
            x  2k hoÆc x               2k
                                       2
2)       log 0,5 (m  6x)  log 2 (3  2x  x2 )  0  log 2 (m  6 x)  log 2 (3  2 x  x 2 ) 
        3  2 x  x 2  0
                                   3  x  1
                               
        m  6 x  3  2 x  x 2   m   x  8 x  3
                                             2
        
XÐt hµm sè f ( x)   x 2  8 x  3 ,  3  x  1 ta cã f ' ( x)  2 x  8 , f ' ( x)  0 khi
x  4 , do ®ã f (x) nghÞch biÕn trong kho¶ng (3; 1) , f (3)  18 , f (1)  6 .                          VËy
hÖ ph-¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm duy nhÊt khi  6  m  18
                                                                                     
C¢U 3. §Æt x  2 sin t th× dx  2 costdt , khi x  1 th× t                              , khi x  2 th×
                                                                                     6
     
t        , vËy:
     2
                                                             
                                                                     
     2
           4 x    2     2
                       cos t    2
                                       1
                                        2
                                              
                                                     2
                                                                                          
I             dx           dt    2  1dt    d (cott )  t  
                                                                     2               3
     1
            x2        sin 2 t        sin t                      6
                                                                                          3
                         6              6                      6


C¢U 4. V× CD  BC , CD  AB nªn CD  mp(ABC) vµ do ®ã
                                                           2
mp( ABC)  mp( ACD) .V× BC'  AC nªn BC  mp(ACD) .
                                                                            1
Suy ra nÕu      V lµ thÓ tÝch tø diÖn ABC’D’ th× V                           dt ( AC' D' ).BC' .
                                                                            3
                                                   a 2
V× tam gi¸c ABC vu«ng c©n nªn AC '  CC '  BC '      .
                                                    2
Ta cã AD2  AB2  BD2  AB2  BC2  CD 2  3a 2 nªn AD  a 3 . V× BD’ lµ ®­êng
                                                              a
cao cña tam gi¸c vu«ng ABD nªn AD'.AD  AB2 , VËy AD '          .
                                                               3
                       1              ˆ     1       CD 1 a 2 a 3 1         a2 2
Ta cã dt ( AC' D' )     AC'.AD' sin CAD  AC'.AD'.                            . VËy
                       2                    2       AD 2 2       3     3      12
   1 a2 2 a 2 a3
V         .        
   3 12        2      36
C¢U 5. S  cos3A  2 cos A  cos2B  cos2C = cos3 A  2 cos A  2 cos(B  C ) cos(B  C ) .
      cos 3 A  2 cos A1  cos(B  C ) .
V× cos A  0 , 1  cos(B  C )  0 nªn S  cos3A , dÊu b»ng xÈy ra khi cos(B  C )  1
            180 0  A
hay B  C            . Nh-ng cos3A  1 , dÊu b»ng xÈy ra khi                              3 A  1800 hay A =
                2
600
Tãm l¹i : S cã gi¸ trÞ bÐ nhÊt b»ng -1 khi ABC lµ tam gi¸c ®Òu.

PhÇn A (tù chän)
C¢U 6A.
                                                  1 2  4           1  5  yC     y
 1.    Ta cã C  (4; yC ) . Khi ®ã täa ®é G lµ xG          1, yG              2 C .
                                                     3                    3          3
§iÓm G n»m trªn ®-êng th¼ng 2 x  3 y  6  0 nªn 2  6  yC  6  0 , vËy yC  2 , tøc
lµ
C  (4; 2) . Ta cã AB  (3; 4) , AC  (3;1) , vËy AB  5 , AC  10 , AB. AC  5 .

DiÖn tÝch tam gi¸c ABC lµ S 
                                     1
                                     2
                                                             2
                                                              
                                          AB2 . AC 2  AB. AC 
                                                                1
                                                                2
                                                                        
                                                                  25.10  25 =
                                                                               15
                                                                                2
2.§-êng th¼ng d ®i qua ®iÓm M (0;2;0) vµ cã vect¬ chØ ph-¬ng u (1;1;1)
     §-êng th¼ng d’ ®i qua ®iÓm M ' (2;3;5) vµ cã vect¬ chØ ph-¬ng u '(2;1;1)
                                                          
Ta cã MM  (2;1;5) , u ; u '  (0; 3; 3) , do ®ã u; u ' .MM '  12  0 vËy d vµ d’ chÐo
nhau.
MÆt ph¼ng ( ) ®i qua ®iÓm M (0;2;0) vµ cã vect¬ ph¸p tuyÕn lµ u '(2;1;1) nªn cã
ph-¬ng tr×nh: 2 x  ( y  2)  z  0 hay 2 x  y  z  2  0
C¢U 7A. Ta cã           (1  x) n  Cn  Cn x  Cn x 2      Cn x n , suy ra
                                     0    1      2                n


                                           x(1  x) n  Cn x  Cn x 2  Cn x 3      Cn x n 1 .
                                                         0      1        2                n


     LÊy ®¹o hµm c¶ hai vÕ ta cã :
                                 (1  x) n  nx(1  x) n 1  Cn  2Cn x  3Cn x 2      (n  1)Cn x n
                                                               0     1       2                       n


      Thay x  1 vµo ®¼ng thøc trªn ta ®-îc S.

 PhÇn B (tù chän)
C¢U 6B.




                                                      3
 1. V× G n»m trªn ®-êng th¼ng x  y  2  0 nªn G cã täa ®é G  (t; 2  t ) . Khi ®ã
AG  (t  2;3  t ) , AB  (1;1) VËy diÖn tÝch tam gi¸c ABG lµ

S
   1
   2
                       
       AG2 . AB2  AG. AB 
                             2
                               1
                                2
                                                               
                                   2 (t  2) 2  (3  t ) 2  1 =
                                                                  2t  3
                                                                    2
 NÕu diÖn tÝch tam gi¸c ABC b»ng 13,5 th× diÖn tÝch tam gi¸c ABG b»ng
                         2t  3
13,5 : 3  4,5 . VËy             4,5 , suy ra t  6 hoÆc t  3 . VËy cã hai ®iÓm G :
                           2
G1  (6;4) , G 2  (3;1) . V× G lµ träng t©m tam gi¸c ABC nªn xC  3xG  ( xa  xB ) vµ
yC  3 yG  ( ya  yB ) .
Víi G1  (6;4) ta cã              C1  (15;9) , víi G 2  (3;1) ta cã C2  (12;18 )
2.§-êng th¼ng d ®i qua ®iÓm M (0;2;0) vµ cã vect¬ chØ ph-¬ng u (1;1;1)
    §-êng th¼ng d’ ®i qua ®iÓm M ' (2;3;5) vµ cã vect¬ chØ ph-¬ng u '(2; 1;1) .
Mp ( ) ph¶i ®i qua ®iÓm M vµ cã vect¬ ph¸p tuyÕn n vu«ng gãc víi u vµ
                           1
cos(n; u ' )  cos600       . Bëi vËy nÕu ®Æt n  ( A; B; C ) th× ta ph¶i cã :
                           2
A  B  C  0
                                   B  A  C
                                                                   B  A  C
   2A  B  C     1                                              2
                                  2 3 A  6 A  ( A  C )  C
                                    
                                                   2        2    2
                                                                    2 A  AC  C  0
                                                                                 2

 6 A  B C       2
       2     2 2


Ta cã 2 A  AC  C  0  ( A  C )( 2 A  C )  0 . VËy A  C hoÆc 2 A  C .
           2       2


NÕu A  C ,ta cã thÓ chän A=C=1, khi ®ã B  2 , tøc lµ n  (1;2;1) vµ mp( ) cã
ph-¬ng tr×nh
x  2( y  2)  z  0 hay x  2 y  z  4  0
NÕu 2 A  C ta cã thÓ chän A  1, C  2 , khi ®ã B  1 , tøc lµ n  (1;1;2) vµ
mp( ) cã ph-¬ng tr×nh x  ( y  2)  2 z  0 hay x  y  2 z  2  0
C¢U 7B. Ta cã      (1  x) n  Cn  Cn x  Cn x 2      Cn x n , suy ra
                                0    1      2                n


                                               x(1  x) n  Cn x  Cn x 2  Cn x 3      Cn x n 1 .
                                                             0      1        2                n


    LÊy ®¹o hµm c¶ hai vÕ ta cã :
                                     (1  x) n  nx(1  x) n 1  Cn  2Cn x  3Cn x 2      (n  1)Cn x n
                                                                   0     1       2                       n


     Thay x  1 vµo ®¼ng thøc trªn ta ®-îc S.




                                                          4

								
To top