Euler by ΣωκράτηςΡωμανίδης

VIEWS: 629 PAGES: 20

									                Ó×ÇÌÁÔÁÊÉÁ ÓÔÏ ÅÐÉÐÅÄÏ.


                              ÄçìÞôñçò Ðáíáãüðïõëïò

                                     6 Ìáñôßïõ 2006


        Oh glad day to celebrate
        'Neath the cloudless sky
        Recruit the dreams that sing to thee

1 ÅéóáãùãÞ.
Áò ãõñßóïõìå ëßãï ðßóù óôï ÷ñüíï. ÊÜðïõ åêåß óôçí áñ÷áßá ðüëç ôçò
ÌéëÞôïõ èá äïýìå ôï ÈáëÞ íá áíáêáëýðôåé ôï èåþñçìá ôïõ. Åßíáé ,ßóùò,
ç óôéãìÞ ðïõ ôï áíèñþðéíï ðíåýìá êÜíåé Ýíá áðü ôá óçìáíôéêüôåñá âÞìáôá
åìðñüò, åßíáé ç óôéãìÞ ðïõ äéáôõðþíåôáé êáé áðïäåéêíýåôáé ãéá ðñþôç öïñÜ
óôçí éóôïñßá ìéá êáèáñÜ ìáèçìáôéêÞ ðñüôáóç! Êáé ôé ðñüôáóç ìå ðÜñá ðïëëÝò
åöáñìïãÝò! ÁëëÜ üðùò èá Ýëåãå êáé G.H.Hardy ðïéüò åíäéáöÝñåôáé ãéá ôéò
åöáñìïãÝò, áõôü ðïõ ìåôñÜåé åßíáé ç ïìïñöéÜ!
    Áò îáíáãõñßóïõìå óôçí åðï÷Þ ìáò. Ïé êáôÜ ôá öáéíüìåíá ðåñéóóüôåñïé
ìáèçìáôéêïß öáéíïìåíéêÜ Ý÷ïõí îå÷Üóåé ôçí "ãåùìåôñßá". Ôé äïõëåéÜ Üëëùóôå
Ý÷åé ôï ôáðåéíü åðßðåäï ìå ôá áöçñçìÝíá áíôéêåßìåíá ðïõ ôïõò áðáó÷ïëïýí.
Êáé üìùò áõôü äåí åßíáé áëçèéíü, ôï åðßðåäï êñýâåé ôüóï üìïñöá ìáèçìáôéêÜ
ðïõ äåí èá ìðïñïýóå íá åßíáé áëÞèåéá!
    Ðéo êÜôù èá äïýìå ìåñéêÜ áðü áõôÜ. Ç ïìéëßá áõôÞ ìðïñåß íá ìïéÜæåé üôé
áðïôåëåßôáé áðü Ýíá óõíïèýëåõìá áóýíäåôùí ìåôáîý ôïõò ðñáãìÜôùí üìùò
êáôáâÜèïò ôá üìïñöá ìáèçìáôéêÜ åßíáé ï óõíäåôéêüò êñßêïò. 1 ÓõãêåêñéìÝíá
ôï ðñüãñáììá Ý÷åé:
      • "ÊëáóéêÞ" ãåùìåôñßá.

      • Ðëáêïóôñþóåéò.

      • Ôï ÷ñùìáôéóìïýò ÷áñôþí. - Ôï èåþñçìá ôùí (ó÷åäüí) 4 ÷ñùìÜôùí.
  1
      Beauty of course is in the eye of the beholder.




                                              1
2 "ÊëáóéêÞ" ãåùìåôñßá.
Áò îåêéíÞóïõìå ìå ìåñéêÜ áðëÜ ðáñáäåéãìáôÜêéá.

2.1   ÁðëÝò ðñïôÜóåéò.


Ðñüôáóç 2.1  Áðü üëá ôá ôñßãùíá       üðïõ ïé êáé Ý÷ïõí óôáèåñü
                                          ÁÂ Ã          ÁÂ          ÁÃ

ìÞêïò áõôü ìå ôï ìåãáëýôåñï åìâáäü åßíáé ôï ïñèïãþíéï ( = 90◦).      Á


Áðüäåéîç.      Äýï áðïäåßîåéò.




  1. Ìå ôñéãùíïìåôñßá.
     ¼ðùò öáßíåôáé êáé áðü ôï ó÷Þìá ôï åìâáäüí ôïõ ôñéãþíïõ åßíáé ßóï
     ìå:
                        Å ìâ         = ÁÃ · õ = ÁÃ · ÁÂ · çìè
                               ÁÂÃ
      êáé ùò ãíùóôüí ôï çìè ðáßñíåé ôç ìÝãéóôç ôéìÞ üôáí è = 90◦ .
  2. "ÊáèáñÞ" ãåùìåôñßá.
     Ôï åìâáäüí ôïõ ôñéãþíïõ åßíáé ßóï ìå          Å ìâ         =   ÁÃ   · õ . Ðñïöáíþò
                                                          ÁÂÃ
      Ý÷ïõìå: õ ≤ Á (áöïý Á õðïôåßíïõóá ôïõ Á Ä). ¢ñá ç ìÝãéóôç ôéìÞ
      ôïõ åìâáäïý ðáßñíåôáé ãéá õ = ÁÂ Þôïé üôáí ôï ÁÂ Ã åßíáé ïñèïãþíéï.



Åñþôçóç 2.1 (Ôï ðñüâëçìá ôïõ ¹ñùíá.)   Áí Ý÷ïõìå ìéá åõèåßá å êáé
äýï óçìåßá ôçò êáé ,ôüôå ðùò ðñïóäéïñßæïõìå ôï óçìåßï ðÜíù óôçí
                   Á     Â                                                Ì

åõèåßá å þóôå ôï Üèñïéóìá + íá åßíáé ôï ìéêñüôåñï äõíáôü;
                                 ÁÌ     ÌÂ


Ëýóç..     ¸óôù    Â ôï óõììåôñéêü ôïõ Â ùò ðñïò ôçí åõèåßá. Ôüôå ÁÌ +

ÌÂ    =   ÁÌ   + Ì Â . Óõíåðþò ãéá íá åßíáé ôï Üèñïéóìá ôï ìéêñüôåñï äõíáôü
ðñÝðåé ôï Á íá åßíáé åõèåßá êáé óõíåðþò ôï         Ì     åßíáé ôï óçìåßï ôïìÞò ôçò
åõèåßáò å ìå ôï åõèýãñáììï ôìÞìá ÁÂ .

                                           2
Ðñüôáóç 2.2     1. ¸óôù åõèýãñáììï ôìÞìá ,ôüôå áðü üëá ôá ôñßãùíá
                                             ÂÃ

     ìå óôáèåñü åìâáäü áõôü ðïõ Ý÷åé ôç ìéêñüôåñç ðåñßìåôñï åßíáé ôï
                        Ð

     éóïóêåëÝò.
  2. ¸óôù åõèýãñáììï ôìÞìá ,ôüôå áðü üëá ôá ôñßãùíá ìå ßäéï Üèñïéóìá
                              ÂÃ

     ðëåõñþí + áõôü ìå ôï ìåãáëýôåñï åìâáäü åßíáé ôï éóïóêåëÝò.
              ÁÂ   ÁÃ



Áðüäåéîç.



  1. Áí ôï  à êáé ôï åìâáäü ôïõ ôñéãþíïõ  Áà åßíáé óôáèåñÜ ôüôå ôï
     Á âñßóêåôáé óå ìéá åõèåßá å ðáñÜëëçëç ôïõ  à ðïõ áðÝ÷åé áðü áõôü
                   Ð
     áðüóôáóç õ = Âà . Ãéá íá Ý÷åé ôï ôñßãùíï ôç ìéêñüôåñç äõíáôÞ ðåñßìåôñï
     ðñÝðåé ôï Á + Áà íá åßíáé åëÜ÷éóôï. Óõíåðþò áðü ôï ðñüâëçìá ôïõ
     ¹ñùíá 2.1 êáé åðåéäÞ ôá  êáé à áðÝ÷ïõí ôï ßäéï áðü ôç åõèåßá å èá
     ðñÝðåé Á = Áà .




  2. ¸óôù ôñßãùíï  Áà ìå  à êáé Á + Áà óôáèåñÜ êáé ôï ïðïßï Ý÷åé ôï
     ìåãáëýôåñï äõíáôü åìâáäü. Ôüôå áõôü åßíáé éóïóêåëÝò ãéáôß áí äåí Þôáí
     ôüôå ôï éóïóêåëÝò ôñßãùíï  Á1 à , (Á1  = Á1 à ) üðïõ ÁÄ = Á1 Ä1 èá

                                    3
      åß÷å ôï ßäéï åìâáäü êáé èá ßó÷õå áðü ôï (1) Á1  + Á1 à < Á + Áà . ¢ñá
      èåùñþíôáò ôï éóïóêåëÝò ôñßãùíï  Á2 à þóôå Á2  + Á2 à = Á + ÁÃ
      èá åß÷áìå üôé áõôü èá åß÷å ìåãáëýôåñï åìâáäü áðü ôï  Áà . ÁÔÏÐÏ.




2.2   Ôï éóïðåñéìåôñéêü ðñüâëçìá.

Åñþôçóç 2.2 (Éóïðåñéìåôñéêü ðñüâëçìá.)      Áðü üëåò ôéò êëåéóôÝò êáìðýëåò
(äçë. ìå ôçí ßäéá áñ÷Þ êáé ôÝëïò) ìå Ýíá óôáèåñü ìÞêïò ðïéÜ ðåñéêëåßåé
                                                           L

ôï ìåãáëýôåñï åìâáäüí;
ÁðÜíôçóç.    Ï êýêëïò.


Ãéá ôçí áðÜíôçóç èá ÷ñåéáóôïýìå ôï åîÞò ëÞììá.

ËÞììá 2.1   Áí ìéá êáìðýëç éêáíïðïåß ôéò óõíèÞêåò ôïõ ðñïâëÞìáôïò 2.2
,ôüôå ôï ó÷Þìá ðïõ ðåñéêëåßåé åßíáé êõñôü.
Áðüäåéîç.  ¼ðùò öáßíåôáé êáé áðü ó÷Þìá áí ç ðåñéï÷Þ äåí Þôáí êõñôÞ ,ôüôå
èá ìðïñïýóáìå íá ó÷åäéÜóïõìå Ýíá åõèýãñáììï ôìÞìá ðïõ ìüíï ôá Üêñá
ôïõ èá áíÞêáí ó'áõôÞ (åäþ ôï ÁÃ). Óôç óõíÝ÷åéá áí ðáßñíáìå ôçí êáìðýëç
üðïõ èá åß÷áìå áíôéêáôáóôÞóåé ôï ÁÂà ìå óõììåôñéêü ôïõ (ùò ðñïò ôç ÂÃ)
ÁÂ'à èá åß÷áìå óáí áðïôÝëåóìá ìéá êëåéóôÞ êáìðýëç ìå ôï ßäéï ìÞêïò ìå ôçí
áñ÷éêÞ ç ïðïßá üìùò èá ðåñéÝêëåéå ðåñéï÷Þ ìå ìåãáëýôåñï åìâáäü (èá Þôáí
ìåãáëýôåñï êáôÜ ôï åìâáäü ôùí ðåñéï÷þí 1 êáé 2).ÁÔÏÐÏ.



                                     4
Áðüäåéîç éóïðåñéìåôñéêïý ðñïâëÞìáôïò..       ¸óôù ëïéðüí C ìéá êáìðýëç
ðïõ åßíáé ëýóç ôï éóïðåñéìåôñéêïý ðñïâëÞìáôïò. ¸óôù Á; Ã Â äýï óçìåßá ôçò
Ýôóé þóôå ôï åõèýãñáììï ôìÞìá ÁÂ íá ÷ùñßæåé ôçí ðåñéï÷Þ ðïõ ïñßæåé ç C
óå äýï éóåìâáäéêÜ êïììÜôéá. (Ôï Á áíÞêåé ìÝóá óôçí ðåñéï÷Þ ðïõ ïñßæåé ç
êáìðýëç áöïý óýìöùíá ìå ôï ðñïçãïýìåíï ëÞììá áõôÞ åßíáé êõñôÞ.)




Áðü ôá ðáñáðÜíù ðñïêýðôåé üôé ç ëýóç ôïõ éóïðåñéìåôñéêïý ðñïâëÞìáôïò
åßíáé éóïäýíáìç ìå ôç ëýóç ôïõ åîÞò ðñïâëÞìáôïò:
     Áí Ý÷ïõìå åõèåßá å êáé Á;  óçìåßá ôçò ,ôüôå íá âñåèåß ðïéÜ áðü
     üëåò ôéò êáìðýëåò ìå Ýíá óõãêåêñéìÝíï ìÞêïò êáé Üêñá ôá Á; Ã
     ïñßæïõí ìáæß ìå ôçí åõèåßá å ôï ìåãáëýôåñï åìâáäü.
¸óôù C ìéá ôÝôïéá êáìðýëç. Áí Ï óçìåßï ôçò êáìðýëçò äéáöïñåôéêü áðü ôá
Á;  ,ôüôå èá ðñÝðåé Ï = 90
                             ◦ ãéáôß èá ìðïñïýóáìå äéáöïñåôéêÜ êñáôþíôáò
                                                        ∧
ßäéåò ôéò ãñáììïóêéáóìÝíåò ðåñéï÷Ýò íá êÜíïõìå ôç ãùíßá Ï ßóç ìå 90◦ . Ôüôå
áðü ðñïçãïýìåíç ðñüôáóç 2.1 èá åß÷áìå üôé ôï åìâáäü ôïõ ôñéãþíïõ ÁÏÂ
èá Þôáí ìåãáëýôåñï áðü ôï áñ÷éêü åíþ ç êáìðýëç C èá åß÷å ôï ßäéï ìÞêïò.
ÁÔÏÐÏ.


                                    5
¢ñá ôï åõèýãñáììï ôìÞìá Á öáßíåôáé áðü êÜèå óçìåßï Ï ôçò êáìðýëçò C
õðü ãùíßá 90 ìïéñþí. Óõíåðþò ç êáìðýëç áõôÞ åßíáé Ýíá çìéêýêëéï ìå Üêñá
ôá Á; Â .


ÐáñáôÞñçóç 2.1       1. Èá ìðïñïýóå êÜðïéïò íá ÷ñçóéìïðïéÞóåé ôç ðñüôáóç
     2.2 ãéá íá ëýóåé ôï ðñüâëçìá. Èá ÷ñçóéìïðïéïýóå áõôÞ ôçí ðñüôáóç
     ãéá íá ðåé üôé áðü üëá ôá 2í-ãùíá ìå óôáèåñÞ ðåñßìåôñï áõôü ìå
     ôï ìåãáëýôåñï åìâáäü åßíáé ôï êáíïíéêü êõñôü 2í-ãùíï. (Ãéáôß áí
               äýï äéáäï÷éêÝò ìç ßóåò ðëåõñÝò ôïõ ,ôüôå ÷ñçóéìïðïéüíôáò
        ÁÂ ; Â Ã


     ôçí ðñüôáóç 2.2 ãéá ôï ôñßãùíï       åß÷áìå üôé áí èåùñïýóáìå =
                                                ÁÂ Ã                               ÁÂ

        ÂÃôï åìâáäüí ôï ðïëõãþíïõ èá Þôáí ìåãáëýôåñï. ÁÔÏÐÏ.) Óôç
     óõíÝ÷åéá èåùñþíôáò → +∞ èá åß÷áìå ôï óõìðÝñáóìá.
                                     í


  2. ÅéäéêÜ ãéá ôï ðáñáðÜíù åðé÷åßñçìá õðÜñ÷ïõí êÜðïéåò åíóôÜóåéò. Ðéï
     óõãêåêñéìÝíá áðü ôç óôéãìÞ ðïõ ðáßñíïõìå ìéá äéáäéêáóßá ïñßùí èá
     ðñÝðåé íá åßìáóôå ðñïóå÷ôéêïß ìçí ôõ÷üí êÜíïõìå êáìßá ãêÜöá.2 Ôï
     ðñüâëçìá óõæçôåßôáé äéåîïäéêÜ óôá [3, óåë. 376 ê.å.] êáé [5, óåë. 58
     ê.å.] êáé áöïñÜ ôçí ðñïóðÜèåéá ôïõ Steiner íá ëýóåé ôï éóïðåñéìåôñéêü
     ðñüâëçìá.
3 Ðëáêïóôñþóåéò.
Áò ðåñÜóïõìå ôþñá óå Ýíá íÝï èÝìá: ôéò ðëáêïóôñþóåéò ôïõ åðéðÝäïõ!

Åñþôçóç 3.1          Ìðïñïýìå íá êáëýøïõìå ìéá óêáêéÝñá (8x8) ìå êïììÜôéá ôïõ
íôüìéíï (1x2);
  2
      Ð.÷.   áí Á   = [0; 1). Ôüôå   óôï Á õðÜñ÷åé áêïëïõèßá óôïé÷åßùí ðïõ íá ðëçóéÜæåé ôï

sup A = 1    áëëÜ   sup A ∈ A.
                           =




                                                6
   Ç áðÜíôçóç åßíáé ðñïöáíÞò! Ãéá íá äïýìå êÜôé ðéï äýóêïëï ìá êáé
êëáóéêü.
Åñþôçóç 3.2   Ìðïñïýìå íá êáëýøïõìå ìéá óêáêéÝñá (8x8) áðü ôçí ïðïßá
Ý÷ïõìå áöáéñÝóåé ôï ðÜíù áñéóôåñÜ êáé ôï êÜôù äåîéÜ ôåôñáãùíÜêé ìå êïììÜôéá
ôïõ íôüìéíï;
ÁðÜíôçóç..        Ìéá êëáóéêÞ óêáêéÝñá åßíáé ÷ñùìáôéóìÝíç. ¢ñá èá Ý÷ïõìå:




Ôþñá áí ôá íôüìéíï åßíáé êáé áõôÜ ÷ñùìáôéóìÝíá ôüôå êÜèå íôüìéíï èá Ý÷åé
Ýíá ôåôñáãùíÜêé ìáýñï êáé Ýíá Üóðñï.3 ¼ìùò ç óêáêéÝñá ðáñáðÜíù ìáò Ý÷åé
30 ëåõêÜ êáé 32 ìáýñá ôåôñÜãùíá åíþ êÜèå ðëáêüóôñùóç ìå íôüìéíï èá Ý÷åé
ßóï áñéèìü ëåõêþí êáé ìáýñùí ôåôñáãþíùí. Óõíåðþò ç ðáñáðÜíù óêáêéÝñá
äåí êáëýðôåôáé ìå íôüìéíï!


Åñþôçóç 3.3        Ìðïñïýìå íá ðëáêïóôñþóïõìå ôï ðáñáêÜôù ó÷Þìá ìå íôüìéíï;




ÁðÜíôçóç.. Áò õðïèÝóïõìå üôé ðÝñá áðü ôï íá ÷ñùìáôßóïõìå ôá ôåôñÜãùíá
ôïõ íôüìéíï âÜæïõìå êáé ìÝóá ôïõò êáé ôá óýìâïëá • óôá ìáýñá êáé ? óôá
  3
      ÌÜëéóôá ïé ÷ñùìáôéóìïß áõôïß åßíáé ìïíáäéêïß áí õðïèÝóïõìå üôé ãåéôïíéêÜ ôåôñÜãùíá

ïñéæïíôßùò êáé êáèÝôùò Ý÷ïõí äéáöïñåôéêü ÷ñþìá.




                                            7
ëåõêÜ. Ôüôå óå ìéá ðëáêüóôñùóç ìå íôüìéíï èá Ýðñåðå ôá ãéá êÜèå ðåñéï÷Þ
ðïõ Ý÷åé n ? íá Ý÷ïõìå áõôÜ íá åßíáé ãåéôïíéêÜ ìå n •. ¼ìùò óôçí ðáñáêÜôù
ìåñéêÞ ðëáêüóôñùóç Ý÷ïõìå 6 • íá óõíïñåýïõí ìå 5 ?. ¢ñá ôï ó÷Þìáìá ìáò
äåí ðëáêïóôñþíåôáé ìå íôüìéíï.




    Áò õðïèÝóïõìå üôé èÝëïõìå íá ðëáêïóôñþóïõìå üëï ôï åðßðåäï. Ãíùñßæïõìå
üôé ìðïñïýìå íá ôï êÜíïõìå ÷ñçóéìïðïéþíôáò éóüðëåõñá ôñßãùíá,ôåôñÜãùíá
Þ åîÜãùíá.4 ÕðÜñ÷åé üìùò êáé Üëëïò ôñüðïò;
    Áóöáëþò! ÊÜèå "ðïëéôéóìÝíïò" ìáèçìáôéêüò èá Ý÷åé õð' üøç ôïõ áí ü÷é
ôïí C.M.Escher ôïõëÜ÷éóôïí ôç äïõëåéÜ ôïõ. Ôá Ýñãá ôïõ ìáò áíïßãïõí óôçí
êõñéïëåîßá íÝïõò êüóìïõò üóïí áöïñÜ ôï ðñüâëçìá ìáò.




Åìåßò ðùò èá ìðïñïýóáìå íá êÜíïõìå êÜôé ôÝôïéï; Ìéá éäÝá åßíáé (ãéáôß
âÝâáéá äåí åßìáóôå ï Mauritius ååå! sorry o Escher Þèåëá íá ðù!) íá
   4
       ¸íá åýêïëï åðé÷åßñçìá äåß÷íåé üôé ìüíï áõôÜ ôá êáíïíéêÜ ðïëýãùíá ìðïñïýí íá

ðåôý÷ïõí êÜôé ôÝôïéï!




                                          8
÷ñçóéìïðïéÞóïõìå ôçí Ýííïéá ôïõ fundamental domain. Áõôü ãéá íá ôï èÝóù
ëßãï ÷ïíôñïêïììÝíá åßíáé Ýíá ðëáêÜêé ôï ïðïßï áí åðáíáëÜâïõìå óõíå÷þò
ðñïò êÜðïéåò êáôåõèýíóåéò èá ìáò êáëýøåé ôï åðßðåäï. ÅðéðëÝïí èá ðñÝðåé íá
èåùñïýìå ðùò Ý÷ïõìå ôáõôßóåé êÜðïéåò ðëåõñÝò ôïõ ìåôáîý ôïõò.
   Èá ìðïñïýóáìå íá ðÜñïõìå ãéá ðáñÜäåéãìá Ýíá ôåôñÜãùíï êáé íá èåùñïýìå
ðùò Ý÷ïõìå ôáõôßóåé ôéò ðáñÜëëçëåò ðëåõñÝò ôïõ. Óôç óõíÝ÷åéá ó÷åäéÜæïõìå
ðÜíù ôïõ êáé áðëÜ ðñïóÝ÷ïõìå áí ó÷åäéÜóïõìå êÜôé ðïõ íá îåðåñíÜ ôç ìéá
ðëåõñÜ (ð.÷. åäþ ôç äåîéÜ) íá ó÷åäéÜóïõìå êáé ôï áíôßóôïé÷ï ôïõ óôçí Üëëç
(åäþ óôçí áñéóôåñÞ). Ôá ðáñáêÜôù ó÷Þìáôá íïìßæù èá åîçãÞóïõí ôé åííïþ.




Ðåñßðëïêï; Åõôý÷þò õðÜñ÷ïõí ðñïãñÜììáôá ðïõ áíáëáìâÜíïõí áõôÞ ôç äïõëåéÜ.
    ¼ìùò äå ôåëåéþóáìå åäþ! ÕðÜñ÷ïõí ðïëëÜ áêüìá. дñùôá áðü üëá èá
ðñÝðåé íá óþóù ôç óïâáñüôçôá ìïõ. Èá ëÝôå ôþñá ôé ðáé÷íßäéá åßíáé áõôÜ,
áõôü ôï ðáéäß äå èá óïâáñåõôåß ðïôÝ! ºóùò áëëÜ èá ðñÝðåé íá óáò ðþ üôé
äåí åßìáé ï ìüíïò! Ï ßäéïò ï Hilbert óå åêåßíç ôçí ïìéëßá ôïõ ìå ôá 23
ðñïâëÞìáôá áó÷ïëÞèçêå ìå ôï èÝìá. Ôï 18ï ðñüâëçìá áðïôåëïýíôáí áðü 3
ìÝñç, ôï äåýôåñï áöïñïýóå ôçí ýðáñîç ðëáêïóôñþóåùí ðïõ äå ðñïêýðôïõí
áðü ôçí ðáñáðÜíù äéáäéêáóßá. ¹ôïé áíáæçôïýóå ðëáêïóôñþóåéò ôïõ åðéðÝäïõ
ðïõ äåí êáëýðôïõí áêñéâþò ôá fundamental domains! Ãéá ôçí éóôïñßá íá ðýìå
üôé ôï ðñþôï ðáñÜäåéãìá äþèçêå áðü ôïí Reinhardt ãéá ôéò 3 äéáóôÜóåéò åíþ
ôï 1932 ï Heesch Ýäùóå ôï ðáñÜäåéãìá ãéá ôéò 2 äéáóôÜóåéò.



                                    9
                       Ôï ðáñÜäåéãìá ôï Heesch.
Ãåñìáíïß êåñáìïðïéïß ìÜëéóôá åöôéÜîáí ôÝôïéá ðëáêÜêéá ôá ïðïßá ôïðïèåôÞèçêáí
óôçí ïñïöÞ ôïõ êôéñßïõ ðïõ óÞìåñá óôåãÜæåé ôç âéâëéïèÞêç ôïõ ðáíåðéóôçìßïõ
ôïõ Gottingen[4]. ¢ëëï ðáñáäåßãìá åßíáé ðéï êÜôù.
      ¨




Åíþ ôï ðáñáêÜôù óýíïëï ðëáêéäßùí Ý÷åé ôçí éäéüôçôá íá êáëýðôåé ìüíï ìå
ìç ðåñéïäéêü ôñüðï ôï åðßðåäï êáé ôï Ý÷åé êáôáóêåõÜóåé ï R.Penrose [6].




                                   10
    Åäþ èá ðñÝðåé íá áíáöÝñïõìå üôé õðÜñ÷ïõí ðïëý ðåñéóóüôåñá ðïõ èá
ìðïñïýóå íá ðåé êÜðïéïò ìéáò êáé ôï üëï èÝìá óõíäÝåôáé ìå ôçí êñõóôáëïãñáößá
êáé ôéò ðñüóöáôá áíáêëõöèÝíôåò çìéêñõóôáëéêÝò äéáôÜîåéò. Êáé áóöáëþò ôï
ðñüâëçìá åáí Ýíá ðåðåñáóìÝíï óýíïëï áðü ðïëõãùíéêÜ ó÷Þìáôá ðëáêïóôñþíåé
ôï åðßðåäï åßíáé áëãïñéèìéêÜ ìç áðïöáóßóéìï (ôï Ýäåéîå ï Robert Robinson ôï
1966) [6, óåë. 156-158]. Ãéá ðåñéóóüôåñåò ðëçñïöïñßåò äåßôå åðßóçò ôá [?] êáé
[1]. Á! ãéá ôï Tetris äå ìßëçóá êáèüëïõ ãéáôß ðáñüëï ðïõ ôï ðáé÷íßäé áöïñÜ
ðëáêïóôñþóåéò ï ìüíïò ôñüðïò ðïõ îÝñù ãéá íá áðïäåßîåéò üôé äå ìðïñåßò íá
ðáßæåéò åð' Üðåéñï Ý÷åé ëßãåò áëãåâñéêÝò ðñÜîåéò äåßôå ðÜíôùò ôï [?]!

4 ×ñùìáôéóìïß ÷áñôþí.
Èá áó÷ïëçèïýìå ôþñá ìå ôï èåþñçìá ôùí ôåóóÜñùí ÷ñùìÜôùí. Ôï èåþñçìá
áõôü ðïëý áðëÜ ëÝåé üôé
     ÊÜèå ÷Üñôçò ðïõ ó÷åäéÜæåôáé óôï åðßðåäï ÷ñåéÜæåôáé ôï ðïëý 4
     ÷ñþìáôá Ýôóé þóôå äýï ãåéôïíéêÝò ÷þñåò íá ìç Ý÷ïõí ôï ßäéï
     ÷ñþìá.
Èá ðñÝðåé åäþ íá åðéóçìÜíïõìå üôé èåùñïýìå üôé êÜèå ÷þñá åßíáé óõíåêôéêÞ
êáé ðùò ùò ãåéôïíéêÝò èåùñïýìå ìüíï ôéò ÷þñåò ìå êïéíÞ áêìÞ. Áëëïéþò ôï
èåþñçìá èá Þôáí ëáíèáóìÝíï.




                                    11
Óôï áñéóôåñü ó÷Þìá áí èåùñÞóïõìå üôé ïé 5 ÷þñåò óõíïñåýïõí óôï êÝíôñï
   ,ôüôå èÝëïõìå 5 ÷ñþìáôá. Óôï äåîß áí èåùñÞóïõìå üôé ôï åóùôåñéêüò
 êýêëïò áíÞêåé óôçí ßäéá ÷þñá ìå áõôÞ ðïõ âñßóêåôáé óôï åîùôåñéêü ôüôå
                        ðÜëé èÝëïõìå 5 ÷ñþìáôá.
Ôï ðñüâëçìá áõôü ôï äéáôýðùóå ï Francis Guthrie êáé ãéá ðñþôç öïñÜ ôï
óõíôÜìå ãñáììÝíï ó' Ýíá ãñÜììá ôïõ A. De Morgan ðñïò ôï W.R.Hamilton
ìå çìåñïìçíßá 23 Ïêôùâñßïõ 1852. Åêåß ï De Morgan áíáöÝñåé ðùò ï ìáèçôÞò
ôïõ Frederick Guthrie ôïõ áíÝöåñå ôï åí ëüãù ðñüâëçìá. Áñãüôåñá üìùò ï
Frederick åßðå ðùò ôï ðñüâëçìá ôï åß÷å äéáôõðþóåé ï áäåñöüò ôïõ Francis
ðñþôá.
    Ãéá íá îåðåôÜîïõìå ãñÞãïñá êÜðïéåò ðåñéðôþóåéò íá ðüõìå üôé äå ÷ñåéÜæåôáé
ðñïöáíþò íá óõæçôÞóïõìå ãéá ìç óõíåêôéêïýò ÷Üñôåò, êáèþò åðßóçò ðùò
áí äïýìå ôï ÷Üñôç óá ãñÜöçìá üðïõ ôá óýíïñá åßíáé ïé áêìÝò ôïõ ,ôüôå
äå ÷ñåéÜæåôáé íá äïýìå ãñáöÞìáôá ðïõ Ý÷ïõí êïñõöÝò ìå âáèìü 2. Åðßóçò
ôï ðáñáêÜôù ó÷Þìá (Ýíá êüëðï ôïõ Cayley) ìáò äåß÷íåé üôé ìðïñïýìå íá
õðïèÝóïõìå ðùò ï âáèìüò êÜèå êïñõöÞò åßíáé áêñéâþò 3.




     Áí Ý÷ïõìå êïñõöÞ âáèìïý 5 ãéá ðáñÜäåéãìá ,ôüôå ìðïñïýìå íá
öïõóêþóïõìå ôï êåíôñéêü óçìåßï. Ôþñá óôï íÝï ÷Üñôç êÜèå êïñõöÞ Ý÷åé
   âáèìü 3. Áí ôï èåþñçìá éó÷ýåé ãéá áõôïýò ôïò ÷Üñôåò Ý÷ïõìå Ýíá
÷ñùìáôéóìü ìå 4 ôï ðïëý ÷ñþìáôá. Áðü áõôüí ðáßñíïõìå ÷ñùìáôéóìü ôïõ
             áñ÷éêïý îåöïõóêþíïíôáò ôçí áñ÷éêÞ ðåñéï÷Þ!
ÎåêéíÜìå ãéá ôçí áðüäåéîç.
ËÞììá 4.1 (Euler's formula)       Óå Ýíá ãñÜöçìá éó÷ýåé
                              V   −E+F =2

                                     12
üðïõ V:áñéèìüò ôùí êïñõöþí ôïõ, Å: ï áñéèìüò ôùí áêìþí ôïõ êáé F:ï
áñéèìüò ôùí ÷ùñßùí ôïõ (óõìðåñéëáìâáíïìÝíïõ êáé ôïõ åîùôåñéêïý).
Áðüäåéîç.     ¸óôù Ýíá ãñÜöçìá. Áí óâÞóïõìå ìéá áêìÞ ôïõ ,ôüôå
      • Ç áêìÞ áðïôåëïýóå óýíïñï Üñá ôï E ìåéþíåôáé êáôÜ 1 üðùò êáé ôï F
        Üñá ç ðáñÜóôáóç V − E + F äåí áëëÜæåé ôéìÞ.
      • Ç áêìÞ äåí áðïôåëïýóå óýíïñï Üñá áðëÜ "êñåìüôáí" áðü ôï õðüëïéðï
        ãñÜöçìá. Ôüôå èá ðñÝðåé íá óâÞóïõìå êáé ìéá êïñõöÞ Üñá ôï V ìåéþíåôáé
        êáôÜ 1 üðùò êáé ôï E Üñá ç ðáñÜóôáóç V − E + F äåí áëëÜæåé ôéìÞ.
Ìå äéáäï÷éêÜ óâçóÞìáôá öôÜíïõìå óôï ãñÜöçìá ìå          V   = 1; E = 0; F = 1
üðïõ ðñïöáíþò V − E + F = 2.


ËÞììá 4.2 (To ëÞììá ôùí 5 ãåéôüíùí.)            ÊÜèå ÷Üñôçò Ý÷åé ìéá ÷þñá ìå
5 ôï ðïëý ãåßôïíåò.
Áðüäåéîç.   ¸óôù üôé êÜèå ÷þñá Ý÷åé ôï ëéãüôåñï 6 ãåßôïíåò. Åßðáìå üôé
ìðïñïýìå íá èåùñÞóïõìå ðùò êÜèå êïñõöÞ ôïõ ÷Üñôç ìáò Ý÷åé âáèìü ôïõëÜ÷éóôïí
3. 5 ¢ñá áí V åßíáé ï áñéèìüò ôùí êïñõöþí Ý÷ïõìå Å ≥ 3 V ⇔ V ≤ 2 . Áðü
                                                      2           3
ôçí õðüèåóç Ý÷ïõìå üôé Å ≥ 6 F ⇒ E ≥ 3F ⇔ F ≤ 1 E . Áðü ôç öüñìïõëá
                             2                    3
ôïõ Euler êáé ôá ðáñáðÜíù Ý÷ïõìå:
                                        2         1
                      2=V −E+F ≤          E − E +   E = 0
                                        3         3
¢ôïðï.


ËÞììá 4.3 (Counting formula)    Áí n åßíáé ï áñéèìüò ôùí n-ãùíéêþí
                                            C

÷ùñþí åíüò ÷Üñôç ðïõ êÜèå êïñõãöÞ ôïõ åßíáé âáèìïý 3 ,ôüôå éó÷ýåé:
              4C2 + 3C3 + 2C4 + C5 + 0C6 − C7 − 2C8 − : : : = 12
  5
      Ãéá ôï èåþñçìá ôùí 4 ÷ñùìÜôùí áñêåß ôï ßóï ìå 3 áëëÜ äåí õðÜñ÷åé ëüãïò íá

ðåñéïñßóïõìå ôçí áðüäåéîç ìáò.




                                       13
Áðüäåéîç.  Ìå ôïõò ðñïçãïýìåíïõò óõìâïëéóìïýò Ý÷ïõìå F = C2 + C3 + : : :.
Åðßóçò   Å
            2 (2C2 + 3C3 + : : :). Áöïý êÜèå êïñõöÞ Ý÷åé âáèìü 3 Ý÷ïõìå
            1
             =
3V = 2E . Óõíåðþò ç öüñìïõëá ôïõ Euler äßíåé

    2 =      V  −E+F
             2
         =     E − E + F
             3
             1                      1
         =     (2C2 + 3C3 + : : :) − (2C2 + 3C3 + : : :) + (C2 + C3 + : : :):
             3                      2
ÐïëëáðëáóéÜæïíôáò ìå 6 êáé êÜíïíôáò ðñÜîåéò Ý÷ïõìå ôï áðïôÝëåóìá.


Ðüñéóìá 4.1   ÊÜèå ÷Üñôçò ðïõ äåí Ý÷åé äßãùíá,ôñßãùíá êáé ôåôñÜãùí Ý÷åé
ôïõëÜ÷éóôïí 12 ðåíôÜãùíá.
Áðüäåéîç.    ¢ìåóç áðü ôï ðñïçãïýìåíá áí èÝóïõìå C2 = C3 = C4 = 0.


Èåþñçìá 4.1 (Ôï èåþñçìá ôùí 5 ÷ñùìÜôùí.)               ÊÜèå ÷Üñôçò ÷ñùìáôßæåôáé
ìå 5 ÷ñþìáôá.
Áðüäåéîç.  Åßäáìå ðñéí üôé êÜèå ÷Üñôçò Ý÷åé ìéá ÷þñá ìå 5 ôï ðïëý ãåßôïíåò.
Áõôü óçìáßíåé üôé êÜèå ÷Üñôçò Ý÷åé ìéá ÷þñá ó÷Þìáôïò äéãùíéêïý, ôñéãùíéêïý,
ôåôñáãùíéêïý Þ ðåíôáãùíéêïý. Ôï ðáñáðÜíù óýíïëï êáëåßôáé áíáðüöåõêôï
óýíïëï (unavoidable set).




                          ¸íá áíáðüöåõêôï óýíïëï.
¸óôù üôé ôï èåþñçìá ìáò äåí éó÷ýåé ôüôå õðÜñ÷åé Ýíáò ÷Üñôçò ðïõ èÝëåé 6
ôïõëÜ÷éóôïí ÷ñþìáôá êáé ï ïðïßïò Ý÷åé ôï ìéêñüôåñï äõíáôü áñéèìü ÷ùñþí,
Þôïé áí èåùñÞóïõìå Ýíá ÷Üñôç ìå ëéãüôåñåò ÷þñåò ôüôå ÷ñùìáôßæåôáé. (Áõôüò
ëÝãåôáé åëÜ÷éóôïò åãêëçìáôßáò -minimal criminal.) Áõôüò äå ìðïñåß íá ðåñéÝ÷åé
êÜðïéï áðü ôá 4 ðñþôá ó÷Þìáôá ãéáôß ôüôå óâÞíïíôáò ìéá ðåñéï÷Þ èá åß÷áìå
Ýíá ÷Üñôç ðïõ ÷ñùìáôßæåôáé êáé Üñá èá ìðïñïýóáìå ìåôÜ Ýõêïëá íá îáíáãõñßóïõìå
óå Ýíá ÷ñùìáôéóìü ôïõ áñ÷éêïý.


                                       14
                   ×ñùìáôéóìüò ÷Üñôç ìå ôåôñÜãùíï.
Ãéá ôçí ðåñßðôùóç ðïõ Ý÷ïõìå ðåíôÜãùíï ôüôå ÷ñçóéìïðïéïýìå ôï åðé÷åßñçìá
ìå ôéò áëõóßäåò ôïõ Kempe. Ôï ðñüâëçìá åßíáé üôáí ìåôÜ áðü ôç äéáäéêáóßá
ðïõ áöáéñïýìå ôç ðåíôáãùíéêÞ ÷þñá ÷ñùìáôßóïõìå ôï ÷Üñôç ðïõ ðñïêýðôåé
êáé îáíáãõñßóïõìå óôï ìåãÜëï ç ðåíôáãùíéê´´ç ÷þñá Ý÷åé ðÝíôå ãåßôïíåò
ðïõ Ý÷ïõí 5 äéáöïñåôéêÜ ÷ñþìáôá (áí ü÷é ôüôå èá ìáò ðåñßóóåõå Ýíá ÷ñþìá
ãéá íá ôç âÜøïõìå!).
    Èåùñïýìå ôéò ÷þñåò ðïõ åßíáé ÷ñùìáôéóìÝíåò êüêêéíï-ðñÜóéíï. Îåêéíþíôáò
áðü áõôÞ ðïõ åöÜðôåôáé óôï ðåíôÜãùíï ìðïñïýìå íá ðÜñïõìå ìéá áëýóßäá
÷ùñþí ìå áõôÜ ôá ÷ñþìáôá.




                         Red-green Kempe chains.
¸÷ïõìå äýï ðåñéðôþóåéò
   • Ïé äýï áëõóßäåò äåí óõíáíôéïýíôáé (áñéóôåñü ó÷Þìá). Óå áõôÞ ôçí
     ðåñßðôùóç ìðïñïýìå óå ìéá áðü ôéò áëõóßäåò íá áíôáëëÜîïõìå ôï êüêêéíï
     ìå ôï ðñÜóéíï. ¸ôóé ïé ÷þñåò ðïõ óõíïñåýïõí ìå ôï ðåíôÜãùíï åßíáé
     âáìÝíåò ìå 4 ìüíï ÷ñþìáôá êáé ÷ñçóéìïðïéïýìå ôï 5ï ãéá íá ÷ñùìáôßóïõìå
     ôï ðåíôÜãùíï.
   • Ïé áëõóßäåò óõíáíôéïýíôáé (Üñá Ý÷ïõìå ìéá áëõóßäá - äåîß ó÷Þìá).
     Ôüôå êïéôÜìå Ýíá Üëëï æåõãÜñé ÷ñùìÜôùí ð.÷. êßôñéíï-ìðëå. Äåí
     åßíáé äõíáôü íá óõíäÝïíôáé êáé ïé áëõóßäåò êßôñéíïõ-ìðëå áöïý ç ìéá
     ðåñéêëåßåôáé áðü ôï ðåíôÜãùíï êáé ôçí áëõóßäá êüêêéíïõ-ðñÜóéíïõ (óôï

                                   15
     ó÷Þìá ç áëõóßäá êßôñéíïõ-ìðëå óôá äåîéÜ ðåñéêëåßåôáé áðü áõôÞ êüêêéíïõ-
     ðñÜóéíïõ). Óõíåðþò ìðïñïýìå óå áõôÞ íá åíáëëÜîïõìå ôï êßôñéíï ìå
     ôï ðñÜóéíï êáé Ýôóé ðëÝïí ôï ðåíôÜãùíï èá óõíïðñåýåé ìå ÷þñåò ðïõ
     Ý÷ïõí ìüíï 4 ÷ñþìáôá.



ÐáñáôÞñçóç 4.1    Ìéá êáëÞ ðáñáôÞñçóç åßíáé ãéáôß äåí äïõåëåýåé ôï ßäéï
ôñéê êáé ìå 4 ÷ñþìáôá. Ðïëý áðëÜ ìå 4 ÷ñþìáôá ôï ôñéê èá ìáò Ýëõíå ôï
ðñüâëçìá ìå ôï ôåôñÜãùíï (ç ðåñßðôùóç ôïõ äåí èá Þôáí áðëÞ üðùò åäþ).
Ãéá ôï ðåíôÜãùíï õðÜñ÷åé ôï åíäå÷üìåíï íá ÷ñåéáóôåß íá åíÜëëÜîïõìå 2
÷ñþìáôá êáé ôüôå ìðïñåß íá ìçí åßíáé äõíáôü íá êÜíïõìå áõôÞ ôçí åíáëëáãÞ.
Åßíáé ôüóï áðëü íá ôï äåé êÜðïéïò ðïõ ãéá 11 ïëüëêëçñá ÷ñüíéá áðü ôï
1879 ðïõ ï Alfred Bray Kempe áíáêïßíùóå áõôÞ äéáäéêáóßá óáí ëýóç ôï
ðñïâëÞìáôïò ôùí ôåóóÜñùí ÷ñùìÜôùí êáíåßò äåí ôï åß÷å ðñïóÝîåé. Ôï 1890
ï Pearcy Heawood âñÞêå ôï åîÞò áíôéðáñÜäåéãìá.




                                   16
Ìðïñïýìå íá åíáëëÜîïõìå ôá êüêêéíá-ðñÜóéíá (a)-(b). Ôá êüêêéíá-êßôñéíá
               (c)-(d). ÁëëÜ ü÷é êáé ôá äýï ôáõôü÷ñïíá!



                                 17
Êáé ôþñá ôé êÜíïõìå; Á!, åßíáé ðÜñá ðïëý áðëü áëëÜæïõìå ôï áíåðüöåõêôï
óýíïëï Ýôóé þóôå íá ðåñéÝ÷åé ó÷Þìáôá ãéá ôá ïðïßá íá ìðïñïýìå íá äåßîïõìå
üôé áí åìöáíßæïíôáé óå Ýíáí åëÜ÷éóôï åãêëçìáôßá ôüôå ìðïñïýìå íá ôïí
÷ñùìáôßóïõìå (áõôÜ ôá ó÷Þìáôá ëÝãïíôáé reducible)! Ìéá éäÝá åßíáé íá
÷ñçóéìïðïéÞóïõìå ìéá "çëåêôñéêÞò åêêÝíùóçò" (discharging method) ðïõ
ïöåßëåôáé óôïí Heinrich Heesch.

Èåþñçìá 4.2   Ôï áêüëïõèï óýíïëï åßíáé áíáðüöåõêôï.




                       ¸íá áíáðüöåõêôï óýíïëï.

Áðüäåéîç.    ¸óôù Ýíáò ÷Üñôçò ðïõ äåí Ý÷åé êÜðïéï áðü ôá ó÷Þìáôá. ÁíáèÝôïõìå
óå êÜèå ÷ùñßï Ýíáí áñéèìü ôïí ïðïßï ìðïñïýìå íá âëÝðïõìå óáí öïñôßï. ÊÜèå
Cn ðáßñíåé öïñôßï 6 − n. ¸ôóé Ý÷ïõìå ïëéêü öïñôßï C5 + 0C6 − C7 − 2C8 −

3C9 − : : : áöïý C2 = C3 = C4 = 0. Áðü ôçí counting formula Ý÷ïõìå
C5 − C7 − 2C8 − 3C9 − : : : = 12. Èá áöÞóïõìå ôï öïñôßï íá êéíçèåß óýìöùíá

ìå êÜðïéïõò êáíüíåò ðïõ èá äéáôçñÞóïõí ôï ïëéêü öïñôßï. ¸íáò ôÝôïéïò
ôñüðïò åßíáé êÜèå ðåíôÜãùíï íá äþóåé ôï 1 ôïõ öïñôßïõ ôïõ óå êÜèå ãåßôïíá
                                          5
ôïõ. ÅðåéäÞ ï ÷Üñôçò äåí Ý÷åé 2 ãåéôïíéêÜ ðåíôÜãùíá Þ Ýíá åîÜãùíï ðïõ
íá óõíïñåýåé ìå Ýíá ðåíôÜãùíï ôï öïñôßï êÜèå ðåíôáãþíïõ ìçäåíßæåôáé åíþ
åîÜãùíá åîáêïëïõèïýí íá Ý÷ïõí ìçäåíéêü öïñôßï. Ôá åðôÜãùíá äåí ìðïñåß
íá áðïêôÞóïõí èåôéêü öïñôßï ãéáôß èá Ýðñåðå íá óõíïñåýïõí ìå 6 ðåíôÜãùíá.
Ìá ôüôå 2 áðü áõôÜ èá Þôáí ãåéôïíéêÜ ðñÜãìá ðïõ äåí óõìâáßíåé.´¼ìïéá êáé
ôá Üëëá n-ãùíá Ý÷ïõí áñíçôéêü öïñôßï. ¸ôóé ôï ïëéêü öïñôßï äå ìðïñåß íá
Ýéíáé ßóï ìå 12. ÁÔÏÐÏ.


ÔåëéêÜ áõôü ðïõ Ýãéíå åßíáé ïé Wolfagang Haken êáé Kenneth Appel ìå
ôç âïÞèåéá õðïëïãéóôÞ íá êáôáöÝñïõí íá âñïýí Ýíá áíáðÝöåõêôï óýíïëï
ôïõ ïðïßïõ üëá ôá ó÷Þìáôá åßíáé reducible êáé Ýôóé äåí ìðïñåß íá õðÜñ÷ïõí
åëÜ÷éóôïé åãêëçìáôßåò. Ç áíáêïßíùóç ôçò áðüóåéîçò Ýãéíå óôéò 22 Éïõëßïõ
1976.

                                   18
ÐáñáôÞñçóç 4.2   Íá áíáöÝñïõìå åäþ ãñÞãïñá ãñÞãïñá ìåñéêÜ ðñÜãìáôá.
  1. H åêôåôáìÝíç ÷ñÞóç çëåêôñïíéêïý õðïëïãéóôÞ îåóÞêùóå ðïëëÝò áíôéñÞóåéò.
  2. Ôï èåþñçìá Ý÷åé åöáñìïãÝò óôç èåùñßá ãñáöçìÜôùí ðïõ ìå ôç óåéñÜ
     ôçò åöáñìüæåôáé ð.÷. óå ðñïâëÞìáôá äéêôýùóçò Þ ðñïãñáììáôéóìïý.
  3. Åßíáé öáíåñü üôé ôï èåþñçìá éó÷ýåé êáé ãéá ÷Üñôåò ðïõ ó÷åäéÜæïíôáé
     óôç óöáßñá. Äåí éó÷ýåé ãéá åðéöÜíåéò ìå ãÝíïò äéáöïñåôéêü ôïõ ìçäåíüò.
     Ï Heawood ìÜëéóôá äéá´ôõðùóå ôçí åéêáóßá (ðïõ áðïäåß÷ôçêå óùóôÞ
     áñãüôåñá) ðùò ï áñéèìüò ôùí ÷ñùìÜôùí ðïõ áðáéôïýíôáé ãéá ðñïóáíáôïëßóéìç
     åðéöÜíåéá ãÝíïõò n åßíáé ( ) = 2 (7 + √1 + 48 ) . ÁõôÞ ç åéêáóßá
                             H n
                                       1
                                                     n

     ìÜëéóôá áðïäåß÷ôçêå ðñéí ôï èåþñçìá ôùí 4 ÷ñùìÜôùí, ãéá = 0 äßíåé
                                                             n

    H  (0) = 4 áëëÜ äõóôõ÷þò ç áðüäåéîç äåí êáëýðôåé ôçí ðåñßðôùóç ôçò
     óöáßñáò!




                         Óôï torus èÝëù 7 ÷ñþìáôá.
  4. Óôéò ôñåéò äéáóôÜóåéò äåí Ý÷ïõìå áíôßóôïé÷ï èåþñçìá.




                  Åäþ ãéá ðáñÜäåéãìá èÝëïõìå 5 ÷ñþìáôá.

                                   19
Ðéï áíáëõôéêÜ ç áðüäåéîç êáé Üëëá óôï [7].

ÁöéÝñùóç.
Êëåßíïíôáò èá Þèåëá íá áöéåñþóù ôçí ïìéëßá áõôÞ óå ìéá øõ÷Þ ðïõ êÜðïôå
åßäå êáé Üëëåò ðëáêïóôñþóåéò. Ôçí åõ÷áñéóôþ êáé ðÜëé.

Âéâëéïãñáößá
 [1] Federixo Ardilia, Richard P. Stanley,
     Tilings, äéÜëåîç ðïõ äþèçêå óôï Clay Institute (õðÜñ÷åé óôï äéáäéêôõáêü
     ôïõ ôüðï).
 [2] Heidi Burgiel,
    How to lose at Tetris, The mathematical Gazette, July 1997, vol.81,
    no.491.
 [3] Richard Courant, Herbert Robbins,
     What is mathematics?, Oxford Un. Press.
 [4] Jeremy J. Gray,
    The Hilbert Chalenge, Oxford Un. Press.
 [5] Nicholas D. Kazarino,
     Geometric Inequalities, The Mathematical Association of America.
 [6] Roger Penrose,
    Ï íÝïò áõôïêñÜôïñáò, åêä. ÃêïâïóôÞ.
 [7] Robin Wilson,
    Four colours suce, Penguin.




                                    20

								
To top