Dap an toan tu Bo GD de thi DG mon Toan shopkienthuc.net by nguyenduc308

VIEWS: 73 PAGES: 5

									    BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                              ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
         ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯                                                ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2011
         ĐỀ CHÍNH THỨC                                                     Môn: TOÁN; Khối A
                                                                     (Đáp án - thang điểm gồm 05 trang)
                                                ĐÁP ÁN − THANG ĐIỂM
  Câu                                                                 Đáp án                                    Điểm

     I       1. (1,0 điểm)
(2,0 điểm)
                                           ⎧1 ⎫
             • Tập xác định: D =         \ ⎨ ⎬.
                                           ⎩2⎭
             • Sự biến thiên:
                                                    −1                                                          0,25
                 Chiều biến thiên: y ' =                         < 0, ∀x ∈ D.
                                                 ( 2 x −1)
                                                             2


                                                                ⎛     1⎞    ⎛1      ⎞
                             Hàm số nghịch biến trên các khoảng ⎜ − ∞; ⎟ và ⎜ ; + ∞ ⎟ .
                                                                ⎝     2⎠    ⎝2      ⎠
                                                        1                       1
                 Giới hạn và tiệm cận: lim y = lim y = − ; tiệm cận ngang: y = − .
                                       x → −∞ x → +∞    2                       2
                                                                                                                0,25
                                                                                                  1
                                                  lim − y = − ∞, lim + y = + ∞; tiệm cận đứng: x = .
                                                    ⎛1⎞
                                                x →⎜ ⎟
                                                                    ⎛1⎞
                                                                 x →⎜ ⎟
                                                                                                  2
                                                   ⎝2⎠                           ⎝2⎠

                  Bảng biến thiên:                                           1
                                            x −∞                                           +∞
                                                                             2
                                            y’               −                         −
                                                    1                                                           0,25
                                                  −                              +∞
                                            y       2                                          1
                                                                                           −
                                                                      −∞                       2
             • Đồ thị:                                               y

                                                                                 (C)
                                                                     O 1          1                x
                                                                         2
                                                                     1
                                                                 −                                              0,25
                                                                     2
                                                                 –1




             2. (1,0 điểm)
                                                                                                        −x +1
             Hoành độ giao điểm của d: y = x + m và (C) là nghiệm phương trình: x + m =
                                                                                                        2x −1
                                                                                                                0,25
                                                1                     2
             ⇔ (x + m)(2x – 1) = – x + 1 (do x = không là nghiệm) ⇔ 2x + 2mx – m – 1 = 0 (*).
                                                2
             ∆' = m2 + 2m + 2 > 0, ∀m. Suy ra d luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt với mọi m.                  0,25
             Gọi x1 và x2 là nghiệm của (*), ta có:
                                1            1          4( x1 + x2 ) 2 − 8 x1 x2 − 4( x1 + x2 ) + 2             0,25
             k1 + k2 = –               –             =−                                             .
                           (2 x1 − 1) 2 (2 x2 − 1) 2          (4 x1 x2 − 2( x1 + x2 ) + 1) 2
             Theo định lý Viet, suy ra: k1 + k2 = – 4m2 – 8m – 6 = – 4(m + 1)2 – 2 ≤ – 2.
                                                                                                                0,25
             Suy ra: k1 + k2 lớn nhất bằng – 2, khi và chỉ khi m = – 1.

                                                                     Trang 1/5
  Câu                                                              Đáp án                                    Điểm

    II       1. (1,0 điểm)
(2,0 điểm)   Điều kiện: sin x ≠ 0 (*).
                                                                                                             0,25
             Phương trình đã cho tương đương với: (1 + sin2x + cos2x)sin2x = 2 2 sin2xcosx
             ⇔ 1 + sin2x + cos2x = 2 2 cosx (do sinx ≠ 0) ⇔ cosx (cosx + sinx –                 2 ) = 0.     0,25
                                        π
               • cosx = 0 ⇔ x =           + kπ, thỏa mãn (*).                                                0,25
                                        2
                                             π            π
               • cosx + sinx = 2 ⇔ sin(x +     ) = 1 ⇔ x = + k2π, thỏa mãn (*).
                                             4            4
                                                                                                             0,25
                                               π          π
             Vậy, phương trình có nghiệm: x = + kπ; x = + k2π (k ∈ Z).
                                               2          4
             2. (1,0 điểm)
             ⎧5 x 2 y − 4 xy 2 + 3 y 3 − 2( x + y ) = 0 (1)
             ⎪
             ⎨
             ⎩
                     2     2
             ⎪ xy ( x + y ) + 2 = ( x + y )
                                              2
                                                        (2).                                                 0,25
             Ta có: (2) ⇔ (xy – 1)(x2 + y2 – 2) = 0 ⇔ xy = 1 hoặc x2 + y2 = 2.
                • xy = 1; từ (1) suy ra: y4 – 2y2 + 1 = 0 ⇔ y = ± 1.
                                                                                                             0,25
                    Suy ra: (x; y) = (1; 1) hoặc (x; y) = (–1; –1).
                • x2 + y2 = 2; từ (1) suy ra: 3y(x2 + y2) – 4xy2 + 2x2y – 2(x + y) = 0
                                                                2  2
                                                  ⇔ 6y – 4xy + 2x y – 2(x + y) = 0                           0,25
                                                  ⇔ (1 – xy)(2y – x) = 0 ⇔ xy = 1 (đã xét) hoặc x = 2y.
                  Với x = 2y, từ x2 + y2 = 2 suy ra:
                                       ⎛ 2 10 10 ⎞                    ⎛ 2 10       10 ⎞
                             (x; y) = ⎜⎜ 5 ; 5 ⎟ hoặc (x; y) = ⎜ − 5 ; − 5 ⎟ .
                                                       ⎟              ⎜               ⎟
                                       ⎝               ⎠              ⎝               ⎠                      0,25
                                                             ⎛ 2 10 10 ⎞ ⎛ 2 10         10 ⎞
             Vậy, hệ có nghiệm: (1; 1), (– 1; – 1), ⎜        ⎜ 5 ; 5 ⎟ , ⎜ − 5 ; − 5 ⎟.
                                                                        ⎟ ⎜                 ⎟
                                                             ⎝          ⎠ ⎝                 ⎠
                   π                                          π        π
   III             4                                          4        4
                     ( x sin x + cos x) + x cos x                             x cos x
(1,0 điểm)   I =   ∫
                   0
                            x sin x + cos x
                                                  dx =        ∫ dx +
                                                              0
                                                                       ∫ x sin x + cos x dx.
                                                                       0
                                                                                                             0,25

                               π
                               4           π
                                                π
                       Ta có: ∫ dx = x 04 =                                                                  0,25
                               0
                                                4
                               π                          π
                               4                          4                                              π
                                       x cos x              d(x sin x + cos x)
                          và   ∫
                               0
                                   x sin x + cos x
                                                   dx =   ∫ x sin x + cos x = ( ln x sin x + cos x
                                                          0
                                                                                                     )   4
                                                                                                         0
                                                                                                             0,25


                                ⎛ 2 ⎛ π ⎞⎞                   π       ⎛ 2 ⎛ π ⎞⎞
                           = ln ⎜     ⎜ + 1⎟ ⎟ . Suy ra: I = + ln ⎜
                                ⎜ 2 ⎝ 4 ⎠⎟                           ⎜ 2 ⎜ 4 + 1⎟ ⎟ .                        0,25
                                ⎝             ⎠              4       ⎝     ⎝    ⎠⎟⎠
   IV         S                         (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với (ABC) ⇒ SA ⊥ (ABC).
(1,0 điểm)                                   AB ⊥ BC ⇒ SB ⊥ BC ⇒ SBA là góc giữa (SBC) và                    0,25
                                             (ABC) ⇒ SBA = 60o ⇒ SA = AB tan SBA = 2a 3.
                                             Mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N
                     H
                      D N               C    ⇒ MN //BC và N là trung điểm AC.
              A                                      BC              AB
                    M                        MN =        = a, BM =        = a.                               0,25
                           B                          2                2
                                  ( BC + MN ) BM 3a 2                          1
             Diện tích: SBCNM =                    =     ⋅ Thể tích: VS.BCNM = S BCNM ⋅ SA = a 3 3 ⋅
                                          2           2                        3

                                                                  Trang 2/5
  Câu                                                    Đáp án                                               Điểm

             Kẻ đường thẳng ∆ đi qua N, song song với AB. Hạ AD ⊥ ∆ (D ∈ ∆) ⇒ AB // (SND)
             ⇒ d(AB, SN) = d(AB, (SND)) = d(A, (SND)).                                                        0,25
             Hạ AH ⊥ SD (H ∈ SD) ⇒ AH ⊥ (SND) ⇒ d(A, (SND)) = AH.
             Tam giác SAD vuông tại A, có: AH ⊥ SD và AD = MN = a
                                         SA. AD         2a 39                                                 0,25
             ⇒ d(AB, SN) = AH =                     =         ⋅
                                   SA2 + AD 2             13
     V                                  1     1      2
             Trước hết ta chứng minh:      +     ≥       (*), với a và b dương, ab ≥ 1.
(1,0 điểm)                            1 + a 1 + b 1 + ab
             Thật vậy, (*) ⇔ (a + b + 2)(1 +      ab ) ≥ 2(1 + a)(1 + b)
                                                                                                              0,25
                             ⇔ (a + b) ab + 2 ab ≥ a + b + 2ab
                             ⇔ ( ab – 1)( a –    b )2 ≥ 0, luôn đúng với a và b dương, ab ≥ 1.
                          Dấu bằng xảy ra, khi và chỉ khi: a = b hoặc ab = 1.
             Áp dụng (*), với x và y thuộc đoạn [1; 4] và x ≥ y, ta có:
                    x           1        1         1           2
             P=            +         +       ≥           +           .
                 2x + 3y 1 + z 1 + x            2+
                                                     3y            x
                                                            1+                                                0,25
                                  y        z          x            y
                                                  z  x    x
             Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi:       = hoặc = 1            (1)
                                                  y  z    y
                    x                               t2     2
             Đặt      = t, t ∈ [1; 2]. Khi đó: P ≥ 2    +      ⋅
                    y                             2t + 3 1 + t
                             t2     2                           − 2 ⎡t 3 (4t − 3) + 3t (2t − 1) + 9) ⎤
                                                                    ⎣                                ⎦ < 0.
             Xét hàm f(t) = 2    +      , t ∈ [1; 2]; f '(t ) =                                               0,25
                           2t + 3 1 + t                                   (2t 2 + 3) 2 (1 + t ) 2
                               34                                            x
             ⇒ f(t) ≥ f(2) =      ; dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi: t = 2 ⇔   = 4 ⇔ x = 4, y = 1 (2).
                               33                                            y
                    34
             ⇒P≥        . Từ (1) và (2) suy ra dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi: x = 4, y = 1 và z = 2.
                    33
                                                                                                              0,25
                                                34
             Vậy, giá trị nhỏ nhất của P bằng      ; khi x = 4, y = 1, z = 2.
                                                33
  VI.a       1. (1,0 điểm)
(2,0 điểm)                                   Đường tròn (C) có tâm I(2; 1), bán kính IA =        5.
                   A                                                                 o
                                             Tứ giác MAIB có MAI = MBI = 90 và MA = MB                        0,25
                               I
                                             ⇒ SMAIB = IA.MA
                                             ⇒ MA = 2 5 ⇒ IM = IA2 + MA2 = 5.                                 0,25

                                   B         M ∈ ∆, có tọa độ dạng M(t; – t – 2).
                                                                                                              0,25
                                             IM = 5 ⇔ (t – 2)2 + (t + 3)2 = 25 ⇔ 2t2 + 2t – 12 = 0
              M                ∆             ⇔ t = 2 hoặc t = – 3. Vậy, M(2; – 4) hoặc M(– 3; 1).             0,25

             2. (1,0 điểm)
                                                             ⎧2 x − y − z + 4 = 0
                                                             ⎪
             Gọi M(x; y; z), ta có: M ∈ (P) và MA = MB = 3 ⇔ ⎨( x − 2) 2 + y 2 + ( z − 1) 2 = 9               0,25
                                                             ⎪ x 2 + ( y + 2) 2 + ( z − 3) 2 = 9
                                                             ⎩



                                                        Trang 3/5
  Câu                                                                  Đáp án                                     Điểm
               ⎧2 x − y − z + 4 = 0
               ⎪
             ⇔ ⎨x + y − z + 2 = 0                                                                                 0,25
               ⎪( x − 2) 2 + y 2 + ( z − 1) 2 = 9
               ⎩
               ⎧x = 2 y − 2
               ⎪
             ⇔ ⎨z = 3y                                                                                            0,25
               ⎪7 y 2 − 11y + 4 = 0
               ⎩
                                                     ⎛ 6 4 12 ⎞                           ⎛ 6 4 12 ⎞
             ⇔ (x; y; z) = (0; 1; 3) hoặc ⎜ − ;           ; ⎟ . Vậy có: M(0; 1; 3) hoặc M ⎜ − ; ; ⎟ .             0,25
                                                     ⎝ 7 7 7⎠                             ⎝ 7 7 7⎠
                                                                        2
  VII.a      Gọi z = a + bi (a, b ∈ R), ta có: z 2 = z + z ⇔ (a + bi)2 = a2 + b2 + a – bi                         0,25
(1,0 điểm)
                   2    2                2       2                     ⎧a 2 − b 2 = a 2 + b 2 + a
             ⇔ a – b + 2abi = a + b + a – bi ⇔ ⎨                                                                  0,25
                                                                       ⎩2ab = − b
                 ⎧a = − 2b 2
             ⇔ ⎨                                                                                                  0,25
                 ⎩b(2a + 1) = 0
                                      ⎛ 1 1⎞                                                  ⎛ 1    1⎞
                                            ⎟ hoặc (a; b) =
             ⇔ (a; b) = (0; 0) hoặc (a; b) = ⎜ − ;                                            ⎜ − ; − ⎟.
                                      ⎝ 2 2⎠                                                  ⎝ 2    2⎠
                                                                                                                  0,25
                                  1 1             1 1
             Vậy, z = 0 hoặc z = − + i hoặc z = − – i.
                                  2 2             2 2
  VI.b       1. (1,0 điểm)
(2,0 điểm)   Gọi A(x; y). Do A, B thuộc (E) có hoành độ dương và tam giác OAB cân tại O, nên:
                                                                                                                  0,25
             B(x; – y), x > 0. Suy ra: AB = 2| y | =                  4 − x2 .
                             y
                                                           Gọi H là trung điểm AB, ta có: OH ⊥ AB và OH = x.
                                                 A                             1                                  0,25
                                                           Diện tích: SOAB = x 4 − x 2
                                                 H                             2
                             O                           x                    1 2
                                                                            =    x (4 − x 2 ) ≤ 1.
                                                 B                            2                                   0,25
                                                               Dấu " = " xảy ra, khi và chỉ khi x =          2.
                    ⎛     2⎞      ⎛       2⎞        ⎛       2⎞      ⎛     2⎞
             Vậy: A ⎜ 2;
                    ⎜      ⎟ và B ⎜ 2; −   ⎟ hoặc A ⎜ 2; −   ⎟ và B ⎜ 2;   ⎟.                                     0,25
                    ⎝    2 ⎟
                           ⎠
                                  ⎜
                                  ⎝      2 ⎟
                                           ⎠
                                                    ⎜
                                                    ⎝      2 ⎟
                                                             ⎠
                                                                    ⎜
                                                                    ⎝    2 ⎟
                                                                           ⎠
             2. (1,0 điểm)

             (S) có tâm I(2; 2; 2), bán kính R = 2 3. Nhận xét: O và A cùng thuộc (S).
                                                                                                  OA 4 2          0,25
             Tam giác OAB đều, có bán kính đường tròn ngoại tiếp r =                                 =   .
                                                                                                   3   3
                                                     2
             Khoảng cách: d(I, (P)) =                R2 − r 2 =
                                                        .
                                                      3
                                                                                                                  0,25
             (P) đi qua O có phương trình dạng: ax + by + cz = 0, a2 + b2 + c2 ≠ 0 (*).
             (P) đi qua A, suy ra: 4a + 4b = 0 ⇒ b = – a.
                             2(a + b + c)                 2c                      2c              2
             d(I, (P)) =                         =                     ⇒                      =                   0,25
                                 2
                             a +b +c 2       2             2
                                                        2a + c    2                2
                                                                                 2a + c   2
                                                                                                   3

             ⇒ 2a2 + c2 = 3c2 ⇒ c = ± a. Theo (*), suy ra (P): x – y + z = 0 hoặc x – y – z = 0.                  0,25

                                                                  Trang 4/5
  Câu                                                 Đáp án                                Điểm

  VII.b      Gọi z = a + bi (a, b ∈ R), ta có: (2z – 1)(1 + i) + ( z + 1)(1 – i) = 2 – 2i
                                                                                            0,25
(1,0 điểm)   ⇔ [(2a – 1) + 2bi](1 + i) + [(a + 1) – bi](1 – i) = 2 – 2i
             ⇔ (2a – 2b – 1) + (2a + 2b – 1)i + (a – b + 1) – (a + b + 1)i = 2 – 2i         0,25
                                                       ⎧3a − 3b = 2
             ⇔ (3a – 3b) + (a + b – 2)i = 2 – 2i ⇔ ⎨                                        0,25
                                                       ⎩a + b − 2 = −2
                     1        1                                          2
             ⇔ a=      , b = − ⋅ Suy ra môđun: | z | = a 2 + b 2 =         ⋅                0,25
                     3        3                                         3
                                         ------------- Hết -------------




                                                     Trang 5/5

								
To top