Transformasi Laplace (PowerPoint download) by ay3ckaja

VIEWS: 291 PAGES: 17

									         Transformasi Laplace
                     
           X ( s )   x(t ).e dt  st

                     0
                           j
                    1
           x(t )        jX (s).e ds
                                   st

                   2j  
          s    j
• X(s) = ζ[x(t)]
• x(t) = ζ-1[X(s)]
         Transformasi Laplace
    x(t)          X(s)         ROC
    δ(t)           1          Semua s
    u(t)           1          Re(s)>0
                   s
                   n!         Re(s)>0
   tn   u(t)
                  s n 1
                  1
  e-at u(t)                Re(s)+Re(a)>0
                 sa
                    s         Re(s)>0
u(t) Cos ω0t     s2  0
                       2


                   0         Re(s)>0
u(t) Sin ω0t     s2  0
                       2
   Sifat-sifat Transformasi Laplace
      Sifat              x(t)              X(s)

   Kelinearan       a x(t) + b y(t)   a X(s) + b Y(s)
                                         1 s
   Penskalaan            x(at)            X 
                                         a a

 Geseran waktu          x(t-a)           e-sa X(s)

Geseran frekuensi      e-at x(t)         X(s+a)

Konvolusi waktu       x(t) * y(t)       X(s) Y(s)
     Sifat-sifat Transformasi Laplace
       Sifat             x(t)                   X(s)

Konvolusi frekuensi                        1
                      x(t) y(t)               X (s) * Y ( s)
   (modulasi)                             2j
   Diferensiasi                              dn
                      (-t)n x(t)                n
                                                  X (s )
    frekuensi                                ds
                       dn                         n 1
Diferensiasi waktu        n
                            x(t )   s X ( s )   s n 1 k x((0  )
                                     n                         k)
                       dt                        k 0


                                               s n X (s )
                                     Untuk TL dua sisi
     Sifat-sifat Transformasi Laplace
      Sifat                 x(t)            X(s)
                     
                                           X (s)
 Integrasi waktu      x(t )dt
                     0
                                             s
                                              0
                                     X ( s) 1
                      x(t )dt               x(t )dt
                                     s    s 
Teorema nilai awal   lim x(t )      lim sX (s)
                     t 0            s 
  Teorema nilai
      akhir
                         lim x(t )   lim sX (s)
                         t         s0
          Pecahan Parsial X(s)
• Jika X(s) berbentuk pecahan parsial yang pembilang dan
  penyebutnya berbentuk polinomial

                             P( s)
                    X ( s) 
                             Q( s)
  • Derajat P(s) < derajat Q(s)
            Pecahan Parsial X(s)
• Akar-akar Q(s) berbeda, tidak ada yang sama
                            P( s)
       X (s) 
               ( s  p1 )(s  p2 )...(s  pn )
                    A1         A2         An
        X (s)                      ...
                ( s  p1 ) ( s  p2 ) ( s  pn )


        Ak  lim ( s  pk ).X ( s)
               s   pk

        k  1,2,...n
  x(t) menjadi :
         x(t )  A1e  p1t  A2 e  p2t  ...  An e  pnt
           Pecahan Parsial X(s)
• Jika pi = pk*, maka penyelesaian dapat diselesaikan secara
  khusus yang menghasilkan x(t) merupakan fungsi
  Cosinus dan Sinus
                Pecahan Parsial X(s)
• Q(s) mempunyai akar rangkap
                              P( s)
    X (s) 
             ( s  p1 ) r ( s  p2 )...(s  pn )
                 A11            A12                A1r
    X (s)                              ...
             ( s  p1 ) ( s  p1 ) 2           ( s  p1 ) r
          A2                  An
                 ...
      ( s  p2 )          ( s  pn )


       Ak  lim ( s  pk ).X ( s )
              s   pk

                1 d r l 
       Akl                        lim ( s  pk ) r . X ( s)
             (r  l )! ds r l  s  pk
                                                            s   pk
                                                            
   Sistem LTI dengan penyelesaian Pers
       Diferensial koefisien konstan
         x(t)       Sistem        y(t)
                     LTI
• Sistem mempunyai hubungan

           dny      d n 1 y  dy
        an n  an 1 n 1  a1  ... a0 
           dt       dt        dt
           d mx     d m 1 x      dx
        bm m  bm 1 m1  ... b1  b0
           dt        dt           dt
        atau
         n
             diy m       d jx
         ai dt i  b j dt j
        i 0       j 0
     Sistem LTI dengan Pers Diferensial

•   Supaya dapat diselesaikan, sistem harus diketahui
      1. x(t) untuk t>0
      2. y(0-),y´(0-),...,y(n-1)(0-)
      3. x(0-),x´(0-),...,x(m-1)(0-)
    Secara fisis butir 3 sulit dipenuhi, oleh karena itu hanya
    dipakai keadaan awal x(0),x´(0)... Walaupun ini juga
    beresiko menyebabkan hasil tidak tepat 100%.
         Transformasi Laplace
                                  s4
• Contoh soal   X (s) 
                         ( s  1)(s  2)(s  3)
                           A        A      A
                X (s)  1  2  3
                         s 1 s  2 s  3
                           s4                  3
                A1                           
                     ( s  2)(s  3) s  1 2
                            s4
                A2                            2
                       ( s  1)(s  3) s  2
                             s4               1
                A3                          
                       ( s  1)(s  2) s  3 2
                           3         2         1
                X (s)         2
                                          2
                          s 1 s  2 s  3
                x(t )  3 e t  2e  2t  1 e 3t
                        2                  2

                t 0
         Transformasi Laplace
• Contoh soal                    1
                X (s) 
                        s ( s 2  2 s  2)
                        A        A s  A3
                X (s)  1  2 2
                         s s  2s  2
                        A1 ( s 2  2 s  2)  s ( A2 s  A3 )
                X (s) 
                                   s ( s 2  2 s  2)
                         ( A1  A2 ) s 2  (2 A1  A3 ) s  2 A1
                X (s) 
                                    s ( s 2  2 s  2)
                     1
                A1 
                     2
                        1
                A2  
                        2
                A3  1
Transformasi Laplace

          1   s 1 1
X (s)   2   2    2
       s s  2s  2
       1   1    s2
X (s)  2

       s 2 ( s  1) 2  12
       1   1    s 1         1   1
X (s)  2
                           
       s 2 ( s  1)  1 2 ( s  1) 2  12
                    2    2


x(t )  1  1 e t Cos(t )  1 e t Sin(t )
        2   2                2

t 0
Transformasi Laplace
                   s
  X (s) 
           ( s  1)(s  2) 2
             A       A       A12
  X ( s )  1  11 
           s  1 s  2 ( s  2) 2
               s
  A1                         1
          ( s  2 ) 2 s  1
             1     d s                 1
  A11                                              1
          (2  1)! ds s  1 s  2 ( s  1) 2 s  2
             1       s
  A12                          2
          (2  2)! s  1 s  2
              1     1        2
  X (s)               
             s  1 s  2 ( s  2) 2
  x(t )  e t  e  2t  2te  2t
  t0
     Transformasi Laplace
                 
y  7 y  10 y  x  3 x
dengan
             t
x(t )  e , t  0
     
y (0 )  1

     
y (0 )       1
              2
 2                             
                                                       
                        .


                   
  s Y ( s )  sy (0 )  y (0  )  7 sY ( s )  y (0  )  10Y ( s )  sX ( s )  x(0  )  3 X ( s )
                               
walaupun x(0  )  e 0  1, x(0  )  0 karena belum ada masukan
s Y (s)  s   7sY (s)  1  10Y (s)  sX (s)  3 X (s)
  2                   1
                      2

s  7s  10Y (s)  s  7  s  3X (s)
  2                             1
                                2


s  7s  10Y (s)  s  7  s  3 s 1 1
  2                             1
                                2
                                        
          ( s  3)
          ( s 1)     s  15
Y (s) 
                            2

        s  7 s  10
             2


                ( s  3)             s  15
Y (s)                         2          2
        ( s  1)(s  7 s  10) ( s  7 s  10)
                   2


                ( s  3)            s  15
Y (s)                                  2
        ( s  1)(s  2)(s  5) ( s  2)(s  5)
          12             13          16   112     5    
Y (s)                                          2 
          ( s  1) ( s  2) ( s  5)   ( s  2) ( s  5) 
                                                         
y (t )  1 e t  1 e t  1 e t  11 e t  5 e t
         2        3        6         2        2

								
To top