Docstoc

de thi thu dai hoc mon toan 2011 2

Document Sample
de thi thu dai hoc mon toan 2011 2 Powered By Docstoc
					                              ÐỀ THI thö ĐẠI HỌC lÇn ii
                                       NĂM häc: 2010-2011
                                         Môn thi : TOÁN
                        lµm bµi:180 phótThêi gian (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò)
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I:(2 điểm) Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + 1 có đồ thị là (Cm); ( m là tham số)
        1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3.
        2. Xác định m để (Cm) cắt đường thẳng: y = 1 tại ba điểm phân biệt C(0;1), D, E
         sao cho các tiếp tuyến của (Cm) tại D và E vuông góc với nhau.
Câu II:(2 điểm)
                                       x  2 y  xy  0
                                      
         1.    iải hệ phư ng tr nh:   
                                       x 1  2 y 1  1
                                      
                                                                                            cos 2 x             1
         2. T×m x  (0;  ) tho¶ m·n ph-¬ng tr×nh: cotx – 1 =                                         sin 2 x  sin 2 x .
                                                                                           1  tan x            2
Câu III: (2 điểm)
          1. Trên cạnh AD của h nh vuông ABCD có độ dài là a, lấy điểm M sao cho AM = x (0 < x  a).
            Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại A, lấy điểm S sao cho SA = 2a.
            a) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SAC).
            b) KÎ MH vu«ng gãc víi AC t¹i H . T×m vÞ trÝ cña M ®Ó thÓ tÝch
khèi chãp SMCH lín nhÊt
                                                    
                       2. Tính tích phân: I =   
                                                0
                                                 4
                                                        ( x  sin 2 2 x) cos 2 xdx .

Câu IV: (1 điểm) : Cho c¸c sè thùc d-¬ng a,b,c thay ®æi lu«n tho¶ m·n :
a+b+c=1.
                                  a  b2 b  c 2 c  a 2
              Chứng minh rằng :                         2.
                                   bc    ca     ab
PHẦN RIÊNG (3 điểm)             ( Chó ý!:ThÝ sinh chØ ®-îc chän bµi
lµm ë mét phÇn)
A. Theo chương trình chuẩn
Câu Va :1.Trong mÆt ph¼ng Oxy cho tam gi¸c ABC biÕt A(2; - 3), B(3; -
                                3
          2), cã diÖn tÝch b»ng   vµ träng t©m thuéc ®-êng th¼ng  : 3x
                                2
       – y – 8 = 0. T×m täa ®é ®Ønh C.
               2.Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz cho hai ®iÓm
A(1;4;2),B(-1;2;4)
                                                                    x 1 y  2 z
                          vµ ®-êng th¼ng                      :              .T×m to¹ ®é ®iÓm M
                                                                     1    1   2
trªn     sao cho: MA2  MB2  28
                                                                    2
                                                                         2 x 1                  2
                                                                                                       2 x 1        4
Câu VIa : Gi¶i bÊt ph-¬ng tr×nh: (2                         3) x                   (2  3 ) x                  
                                                                                                                     2 3
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu Vb: 1. Trong mpOxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 – 6x + 5 = 0. T m M thuộc trục tung sao cho
          qua M kẻ được hai tiếp tuyến của (C) mà góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng 600.
        2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2 ; 1 ; 0) và đường thẳng d víi
                x 1 y  1 z
          d:                 .Viết phư ng tr nh chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M,
                  2   1     1
       cắt và vuông góc với đường thẳng d vµ t×m to¹ ®é cña ®iÓm M’ ®èi xøng
víi M qua d
                             4log3 xy  2  ( xy )log3 2
                             
Câu VIb: iải hệ phư ng tr nh 
                             log 4 ( x  y )  1  log 4 2 x  log 4 ( x  3 y )
                                       2    2
                             

     ………………… …..………………..Hết…………………………………….
                                 (C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i
thÝch g× thªm)

                                                             H-íng dÉn chÊm         m«n to¸n

C©u     ý                               Néi Dung                                         §iÓm
I                                                                                         2
        1     Kh¶o s¸t hµm sè (1 ®iÓm)                                                    1
              y = x3 + 3x2 + mx + 1       (Cm)
                              3     2
              1. m = 3 : y = x + 3x + 3x + 1    (C3)
                     + TXÑ: D = R
                     + Giới hạn: lim y  , lim y                                    0,25
                                x         x


                    + y’ = 3x2 + 6x + 3 = 3(x2 + 2x + 1) = 3(x + 1)2  0; x
                             hµm sè ®ång biÕn trªn R                                    0,25
                      Baûng bieán thieân:



                                                                                         0,25


                    + y” = 6x + 6 = 6(x + 1)
                      y” = 0  x = –1  tâm đối xứng U(-1;0)
                    * Ñoà thò (C3):

              Qua A(-2 ;-1) ; U(-1 ;0) ; A’(0 ;1)



                                                                                         0,25




        2                                                                                 1
                     Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (Cm) vaø ñöôøng
              thaúng y = 1 laø:                                                0,25
                                                           x  0
              x3 + 3x2 + mx + 1 = 1  x(x2 + 3x + m) = 0   2
                                                           x  3x  m  0 (2)
               * (Cm) caét ñöôøng thaúng y = 1 taïi C(0;1), D, E phaân bieät:
          Phöông trình (2) coù 2 nghieäm xD, xE  0.
             9  4m  0     m  0
                               
          2                     4 (*)                                       0,25
            0  3 0  m  0  m  9
                               

         Luùc ñoù tieáp tuyeán taïi D, E coù heä soá goùc laàn löôït laø:
                 kD=y’(xD)= 3x2  6x D  m  (3x D  2m);                      0,25
                              D

                 kE=y’(xE)= 3x2  6x E  m  (3x E  2m).
                              E
            Caùc tieáp tuyeán taïi D, E vuoâng goùc khi vaø chæ khi: kDkE = –1
                    (3xD + 2m)(3xE + 2m) =-1
                     9xDxE+6m(xD + xE) + 4m2 = –1                               0,25
          9m + 6m(–3) + 4m = –1 (vì xD + xE = –3; xDxE = m theo ñònh lý Vi-ét).
                             2

                                     9  65
                                m 
                                         8
          4m2 – 9m + 1 = 0  
                                     9  65
                                m 
                                        8
                                      1
             So s¸nhÑk (*): m = 9  65
                                      8
                                                 
II                                                                                2
     1                                                                            1
                 x  1
                                                                               0,5
          1. §k:     1
                 y  2
                 
         (1)
                      x  y  ( y  xy )  0  ( x  y )( x  2 y )  0
                       x 2 y 0
                                        x 2 y
                       x  y  0(voly )
                      
             x = 4y Thay vµo (2) cã                                            0,25
            4 y 1  2 y 1  1  4 y 1  2 y 1  1
           4 y 1  2 y 1 2 2 y 1  1  2 y 1  2 2 y 1
                              1
            2 y 1  0   y  2 (tm)  x  2
                                 
            2 y 1  2
                         y  (tm)  x  10
                               5
                         
                              2
             V©y hÖ cã hai nghiÖm (x;y) = (2;1/2) vµ                 (x;y) =    0,25
         (10;5/2)

     2                                                                            1
                    sin 2 x  0          sin 2 x  0
                  ®K:                
                    sin x  cos x  0 tan x  1
                    cos x  sin x cos 2 x.cos x                                 0,25
               PT                                sin 2 x  sin x cos x
                        sin x       cos x  sin x
                        cos x  sin x
                                      cos 2 x  sin x cos x  sin 2 x  sin x cos x
                            sin x

                  cos x  sin x  sin x(1  sin 2 x)                                   0,25
                     (cos x  sin x)(sin x cos x  sin 2 x  1)  0



                                                                                        0,25
             (cos x  sin x)(sin 2 x  cos 2 x  3)  0
                                                      cos x  sinx  0
             (cos x  sinx)( 2 sin(2 x  )  3)  0  
                                         4              2 sin(2 x   )  3(voly)
                                                                        4


                                                                                       0,25
              cos x  sin x  0  tanx = 1  x                k (k  Z ) (tm®k)
                                                           4
                                             
            Do x  0;   k  0  x 
                                             4

III                                                                                      2
      1                                                                                  1
              SA  ( ABCD)
          Do                ( SAC )  ( ABCD)                                          0,25
              SA  (SAC )
          Lai cã
          MH  AC  ( SAC )  ( ABCD )
                                                                   x
           MH  ( SAC )  d ( M , SAC )  MH  AM .sin 45o 
                                                                    2

          Ta cã
                                           x                         x
                        AH  AM .cos 450      HC  AC  AH  a 2 
                                            2                         2                 O,5
                                 1            1 x          x
                         SMHC  MH .MC         (a 2       )
                                 2            2 2           2
                                 1            1    x           x
                         VSMCH  SA.S MCH  2a      (a 2       )
                                 3            6     2           2


            Tõ biÓu thøc trªn ta cã:
                                                                                        0,25
                      x         x
                          a 2
                  1                              a3
                  a  2         2
                                         
                                         2
          VSMCH                              
                  3         2                    6
              x          x
                a 2
               2          2
           xa
                                           M trïng víi D




     2                                                                                 1

                                                                                   0,25
               4                             4             4

                                                         
         I = ( x  sin 2 x)cos 2 xdx  xcos 2 xdx  sin 2 xcos2 xdx  I 1  I 2
                      2                                2

               0                             0             0
         TÝnh          I1
                                                                                 
             u  x            du  dx                                              0,25
                                                x           14
         ®Æt                  1           I1  sin 2 x 4   sin 2 xdx
              v   cos 2 xdx v  sin 2 x       2           20
                               2                         0

                                 
           1            1
           cos 2 x 4  
          8 4           8 4
                     0


         TÝnh          I2
                   
                                                                                     0,25
                   4
              1                        1 3 4 1
         I 2   sin 2 2 xd (sin 2 x)  sin 2 x 
              20                       6          6
                                               0




                                  1 1  1                                            0,25
           VËy              I=       
                                 8 4 6 8 12




IV   1                                                                                 1
                                                                  2       2       2
                                      a   b   c       b   c   a
            .Ta cã :VT = (                     )(            )  A B             0,25
                                     bc ca ab     bc ca a b




                               (a  b)  (b  c)  (c  a) 
                             1                                  1      1       1     0,25
                   A3                                      a b  b  c  c  a
                             2                                                   
                    1                               1   1   1   9
                    3 3 (a  b)(b  c)(c  a )3 3            
                    2                              ab bc ca 2
                          3
                    A
                          2
                                  a2    b2   c2
                12  (a  b  c) 2  (        )(a  b  b  c  c  a )
                                 ab bc ca                                                                     0,25
                                1
                 1  B.2  B 
                                2
                                       3 1
               Tõ ®ã tacã         VT    2  VP
                                       2 2                                                                       0,25
               DÊu       ®¼ng thøc x¶y ra khi                                   a=b=c=1/3

V.a                                                                                                               2
           1                                                                                                      1
                                                                                     5 5                          0,25
               Ta cã: AB =                   2 , trung ®iÓm M (                       ;  ),
                                                                                     2 2
               pt (AB): x – y – 5 = 0
                         1                       3                                             3                  0,25
                S ABC =   d(C, AB).AB =             d(C, AB)=
                         2                       2                                              2
               Gäi G(t;3t-8) lµ träng t©m tam gi¸c ABC                                         th× d(G, AB)=
                1
                 2
                              t  (3t  8)  5    1                                                               0,25
                d(G, AB)=                     =      t = 1 hoÆc                              t = 2
                                      2            2
                G(1; - 5) hoÆc G(2; - 2)



               Mµ CM  3GM  C = (-2; -10) hoÆc C = (1; -1)                                                      0,25


           2                                                                                                     1
                       x  1 t
                                                                                                                0,5
               ptts :  y  2  t  M (1  t ; 2  t ; 2t )
                        z  2t
                       


               Ta cã: MA2  MB2  28  12t 2  48t  48  0  t  2                                              0,25

                Tõ ®ã suy ra : M (-1 ;0 ;4)                                                                      0,25



VI.a   1                                                                                                         1

               Bpt       
                      2 3              x 2 2 x
                                                      
                                                      2 3          
                                                                     x 2 2 x
                                                                                4
                                                                                                                 0,25




                            
                             x 2 2 x                                             1                              0,25
               t  2 3                 (t  0)           BPTTT :               t 4
                                                                                  t
                                                                    t 2  4t  1  0  2  3  t  2  3 (tm)
                                                                                                                 0,25
                                                          
                                                           x 2 x
                                                               2
               Khi ®ã : 2  3  2  3                                     2  3  1  x 2  2 x  1
            x  2x  1  0  1  2  x  1  2
                2                                                                                 0,25


V.b                                                                                                2
      1                                                                                            1
              . (C) có tâm I(3;0) và bán kính R = 2; M  Oy  M(0;m)
                Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA và MB ( A và B là hai tiếp điểm)                       0,5
                      AMB  600 (1)
                Vậy                     V MI là phân giác của AMB
                      AMB  1200 (2)
                     
                                           IA
           (1)  AMI = 300  MI               0
                                                  MI = 2R  m2  9  4  m              7
                                        sin 30
                                            IA           2 3              4 3
          (2)  AMI = 600  MI                 0
                                                   MI =     R  m2  9      Vô
                                         sin 60           3                3                      0,5
          nghiệm
            Vậy có hai điểm M1(0; 7 ) và M2(0;- 7 )
      2                                                                                            1
            ọi H là h nh chiếu vuông góc của M trên d, ta có MH là đường thẳng đi qua M,
          cắt và vuông góc với d.                                                        0,25
                                         x  1  2t
                                        
          d có phư ng tr nh tham số là:  y  1  t
                                        z   t
                                        
          Vì H  d nên tọa độ H (1 + 2t ;  1 + t ;  t).Suy ra : MH = (2t  1 ;  2 + t ;  t)
          Vì MH  d và d có một vect chỉ phư ng là u = (2 ; 1 ; 1), nên :                        0,25
                                                         2
          2.(2t – 1) + 1.( 2 + t) + ( 1).(t) = 0  t = . V thế, MH =  1 ;  4 ;  2 
                                                                                       
                                                         3              3      3     3
          uMH  3MH  (1; 4; 2)

          Suy ra, phư ng tr nh chính tắc của đường thẳng MH là: x  2  y  1  z                 0,25
                                                                        1     4    2
                              1 2   7
          Theo trªn cã H ( ;  ;  ) mµ H lµ trung ®iÓm cña MM’
                              3 3   3                                                             0,25
                         8   5   4
          nªn to¹ ®é M’ ( ;  ;  )
                         3   3   3
          ĐK: x>0 , y>0
VIb
          (1)      22 log3 xy  2log3 xy  2  0                                                 0,5

                                              3                                                   0,25
                log3xy = 1  xy = 3y=
                                              x
             (2) log4(4x +4y ) = log4(2x +6xy)  x2+ 2y2 = 9
                         2   2           2


                                                                                    6             0,25
             Kết hợp (1), (2) ta được nghiệm của hệ: (      3 ; 3 ) hoặc ( 6 ;        )
                                                                                   2
    S




            M
    A               D

        H


                C
B

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Categories:
Tags:
Stats:
views:157
posted:6/18/2011
language:Vietnamese
pages:8