19 phuog phap chung minh bat dang thuc

Document Sample
19 phuog phap chung minh bat dang thuc Powered By Docstoc
					                          19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức
                                          PHẦN 1
                               CÁC KIẾN THỨC CẦN LƢU Ý
                      A  B  A  B  0
1/Định nghĩa          
                      A  B  A  B  0
      2/Tính chất
      + A>B  B  A
      + A>B và B >C  A  C
      + A>B  A+C >B + C
      + A>B và C > D  A+C > B + D
      + A>B và C > 0  A.C > B.C
      + A>B và C < 0  A.C < B.C
      + 0 < A < B và 0 < C <D  0 < A.C < B.D
      + A > B > 0  A n > B n n
      + A > B  A n > B n với n lẻ
      + A > B  A n > B n với n chẵn
      + m > n > 0 và A > 1  A m > A n
      + m > n > 0 và 0 <A < 1  A m < A n
                                        1 1
      +A < B và A.B > 0                 
                                        A B

      3/Một số hằng bất đẳng thức

      + A 2  0 với  A ( dấu = xảy ra khi A = 0 )
      + An  0 với  A ( dấu = xảy ra khi A = 0 )
      + A  0 với A (dấu = xảy ra khi A = 0 )
      + - A <A= A
      + A  B  A  B ( dấu = xảy ra khi A.B > 0)
      + A  B  A  B ( dấu = xảy ra khi A.B < 0)
                                           PHẦN II
              CÁC PHƢƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Phương pháp 1 : Dùng định nghĩa
      Kiến thức : Để chứng minh A > B. Ta lập hiệu A –B > 0
                 Lưu ý dùng hằng bất đẳng thức M 2  0 với M
Ví dụ 1  x, y, z chứng minh rằng :
        a) x 2 + y 2 + z 2  xy+ yz + zx
        b) x 2 + y 2 + z 2  2xy – 2xz + 2yz
        c) x 2 + y 2 + z 2 +3  2 (x + y + z)
      Giải:
                                                              1
      a) Ta xét hiệu : x 2 + y 2 + z 2 - xy – yz – zx = .2 .( x 2 + y 2 + z 2 - xy – yz – zx)
                                                              2
      =
       1
       2
                                        
          ( x  y ) 2  ( x z ) 2  ( y  z ) 2  0 đúng với mọi x;y;z  R

     Vì (x-y)2  0 vớix ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y
        (x-z)2  0 vớix ; z Dấu bằng xảy1ra khi x=z
                           19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức
                2
          (y-z)  0 với z; y Dấu bằng xảy ra khi z=y
          Vậy x 2 + y 2 + z 2  xy+ yz + zx. Dấu bằng xảy ra khi x = y =z
       b)Ta xét hiệu: x 2 + y 2 + z 2 - ( 2xy – 2xz +2yz ) = x 2 + y 2 + z 2 - 2xy +2xz –2yz
       = ( x – y + z) 2  0 đúng với mọi x;y;z  R
       Vậy x 2 + y 2 + z 2  2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z  R
       Dấu bằng xảy ra khi x+y=z
       c) Ta xét hiệu: x 2 + y 2 + z 2 +3 – 2( x+ y +z ) = x 2 - 2x + 1 + y 2 -2y +1 + z 2 -2z +1
       = (x-1) 2 + (y-1) 2 +(z-1) 2  0. Dấu(=)xảy ra khi x=y=z=1
       Ví dụ 2: chứng minh rằng :
                                           a2  b2  c2  a  b  c 
                                                                        2
          a2  b2  a  b 
                              2

       a)                ;         b)                                 c) Hãy tổng quát bài toán
             2     2                          3            3     
       Giải:
                              a2  b2  a  b 
                                                 2

       a) Ta xét hiệu                       
                                 2       2 
          2a 2  b 2  a 2  2ab  b 2
                                        = 2a 2  2b 2  a 2  b 2  2ab = a  b 2  0
                                          1                                1
        =              
               4               4          4                                4
          a2  b2  a  b 
                                  2

      Vậy                .          Dấu bằng xảy ra khi a=b
             2     2 
       b)Ta xét hiệu

                                                                        a2  b2  c2  a  b  c 
                                                                                                        2
     a2  b2  c2  a  b  c  1
                                  2

                             = a  b   b  c   c  a   0 .Vậy                        
                                          2          2          2

          3            3      9                                              3            3     
       Dấu bằng xảy ra khi a = b =c
           a 2  a 2  .... a n  a1  a 2  .... a n 
                               2                       2

c)Tổng quát 1 2                                       
                     n                     n           
     Tóm lại các bước để chứng minh A  B theo định nghĩa
      Bước 1: Ta xét hiệu H = A - B
      Bước 2:Biến đổi H=(C+D) 2 hoặc H=(C+D) 2 +….+(E+F) 2
      Bước 3:Kết luận A  B
Ví dụ 1: Chứng minh m,n,p,q ta đều có : m 2 + n 2 + p 2 + q 2 +1 m(n+p+q+1)
      Giải:
          m2              m2              m2              m2       
        
          4   mn  n 2   
                           4   mp  p 2   
                                             4               4  m  1  0
                                                   mq  q 2           
                                                                   
                    2             2          2             2
         m     m         m          m 
         n     p     q     1  0 (luôn đúng)
         2     2         2          2        
                             m
                              2 n 0             m
                             m               n  2
                               p0               m
                             2               p            m2
      Dấu bằng xảy ra khi                         2 
                               m
                              q 0               m       n  p  q  1
                             2                q
                             m               m 2
                             2  1  0             2
                             
Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi a, b, c ta luôn có : a 4  b 4  c 4  abc(a  b  c)
                                                      2
                                              19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức
      Giải: Ta có : a  b 4  c 4  abc(a  b  c) , a, b, c  0
                                      4


       a 4  b 4  c 4  a 2 bc  b 2 ac  c 2 ab  0
        2a 4  2b 4  2c 4  2a 2 bc  2b 2 ac  2c 2 ab  0
             
        a2  b2             
                             2
                                                     
                                      2a 2 b 2  b 2  c 2       2
                                                                                           
                                                                        2b 2 c 2  c 2  a 2                
                                                                                                             2
                                                                                                                      2a 2 c 2
                                                               2a 2 bc  2b 2 ac  2c 2 ab  0
             
        a2  b2               b
                             2            2
                                               c2     c
                                                     2        2
                                                                   a2     2
                                                                                 (a 2 b 2  b 2 c 2  2b 2 ac)  (b 2 c 2  c 2 a 2  2c 2 ab)
                                                                                                                  (a 2 b 2  c 2 a 2  2a 2 ab)  0
             
       a2  b2  b2  c2     
                             2
                                                       c
                                                     2        2
                                                                   a2     ab  bc  bc  ac  ab  ac
                                                                            2                       2                          2                    2
                                                                                                                                                        0
      Đúng với mọi a, b, c.
Phương pháp 2 : Dùng phép biến đổi tương đương
      Kiến thức:
      Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng hoặc
bất đẳng thức đã được chứng minh là đúng.
       Nếu A < B  C < D , với C < D là một bất đẳng thức hiển nhiên, hoặc đã biết là đúng thì có
bất đẳng thức A < B .
Chú ý các hằng đẳng thức sau:
                        A  B 2  A 2  2 AB  B 2
                          A  B  C 2  A 2  B 2  C 2  2 AB  2 AC  2 BC
                          A  B 3  A3  3 A 2 B  3 AB 2  B 3
      Ví dụ 1: Cho a, b, c, d,e là các số thực chứng minh rằng
                      b2
             a) a   ab2

                       4
             b) a  b 2  1  ab  a  b
                  2


             c) a 2  b 2  c 2  d 2  e 2  ab  c  d  e
      Giải:
          b2
     a) a 2  ab  4a 2  b 2  4ab  4a 2  4a  b 2  0  2a  b   0
                                                                      2

           4
                                       b2
      (BĐT này luôn đúng). Vậy a   ab (dấu bằng xảy ra khi 2a=b)
                                    2

                                        4
      b) a  b  1  ab  a  b  2(a  b 2  1   2(ab  a  b)
           2   2                      2


       a 2  2ab  b 2  a 2  2a  1  b 2  2b  1  0
       (a  b) 2  (a  1) 2  (b  1) 2  0      Bất đẳng thức cuối đúng.
      Vậy a  b  1  ab  a  b . Dấu bằng xảy ra khi a=b=1
              2     2


      c) a 2  b 2  c 2  d 2  e 2  ab  c  d  e  4 a 2  b 2  c 2  d 2  e 2                                                               4ab  c  d  e
         a  4ab  4b   a  4ac  4c   a  4ad  4d
                   2                          2          2                      2      2                               2
                                                                                                                             a   2
                                                                                                                                         4ac  4c 2  0
         a  2b   a  2c   a  2d   a  2c   0
                                 2                   2                  2                       2


       Bất đẳng thức đúng vậy ta có điều phải chứng minh
      Ví dụ 2: Chứng minh rằng: a10  b10 a 2  b 2   a 8  b 8 a 4  b 4 
      Giải:
       a   10
                                                 
                  b10 a 2  b 2  a 8  b 8 a 4  b 4           a a b a b b              12       10       2          2 10          12
                                                                                                                                                a12  a 8b 4  a 4 b 8  b12
        a 8b 2 2  b 2 a2 8  2   2
                                            a b b  a   0  a2b2(a2-b2)(a6-b6)  0
          2 2 2 2 2 4      2 2   4
        a b (a -b ) (a + a b +b )  0
                                                                                           3
                     19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức
      Bất đẳng thứccuối đúng vậy ta có điều phải chứng minh
                                                                x2  y2
      Ví dụ 3: cho x.y =1 và x  y           Chứng minh                 2 2
                                                                 x y
             x2  y2                                 2  2
      Giải:           2 2 vì :x  y nên x- y  0  x +y  2 2 ( x-y)
              x y
           2   2                        2  2
       x +y - 2 2 x+ 2 2 y  0  x +y +2- 2 2 x+ 2 2 y -2  0
          2    2       2
       x +y +( 2 ) - 2 2 x+ 2 2 y -2xy  0 vì x.y=1 nên 2.x.y=2
                   2
       (x-y- 2 )  0 Điều này luôn luôn đúng . Vậy ta có điều phải chứng minh
      Ví dụ 4: Chứng minh rằng:
      a/ P(x,y)= 9 x 2 y 2  y 2  6 xy  2 y  1  0 x, y  R
       b/ a 2  b 2  c 2  a  b  c (gợi ý :bình phương 2 vế)
       c/ Cho ba số thực khác không x, y, z thỏa mãn:
                           x. y.z  1
                        1 1 1
                            x yz
                        x y z
                        

      Chứng minh rằng :có đúng một trong ba số x,y,z lớn hơn 1
       Giải: Xét (x-1)(y-1)(z-1)=xyz+(xy+yz+zx)+x+y+z-1
                             1   1    1                1    1     1        1    1   1
 =(xyz-1)+(x+y+z)-xyz(   )=x+y+z - (   )  0 (vì   < x+y+z theo gt)
                             x   y    z                x    y     z        x    y   z
      2 trong 3 số x-1 , y-1 , z-1 âm hoặc cả ba sỗ-1 , y-1, z-1 là dương.
      Nếu trường hợp sau xảy ra thì x, y, z >1  x.y.z>1 Mâu thuẫn gt x.y.z=1 bắt buộc
phải xảy ra trường hợp trên tức là có đúng 1 trong ba số x ,y ,z là số lớn hơn 1
                                                  a   b   c
      Ví dụ 5: Chứng minh rằng : 1                        2
                                                 ab bc ac
          Giải:
                                 1      1     a    a
                                   
          Ta có : a  b  a  b  c                 (1)
                                ab abc    ab abc
                            b    b            c    c
          Tương tự ta có :          (2) ,            (3)
                           bc abc         ac abc
          Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1), (2), (3), ta được :
           a       b       c
                              1 (*)
          ab bc ac
                                 a     ac
          Ta có : a  a  b                         (4)
                               ab abc
                        b        ab                    c   cb
          Tương tự :                   (5) ,                            (6)
                      bc abc                        ca abc
          Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (4), (5), (6), ta được :
            a   b   c
                     2                 (**)
           ab bc ac
                                             a   b   c
      Từ (*) và (**) , ta được : 1                    2 (đpcm)
                                            ab bc ac
Phương pháp 3:               Dùng bất đẳng thức phụ
    Kiến thức:
    a) x 2  y 2  2 xy                               4
                       19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức
   b) x  y  xy dấu( = ) khi x = y = 0
           2       2


   c) x  y 2  4 xy
       a       b
   d)   2
       b       a
   Ví dụ 1 Cho a, b ,c là các số không âm chứng minh rằng
                      (a+b)(b+c)(c+a)  8abc
   Giải: Dùng bất đẳng thức phụ: x  y 2  4 xy
   Tacó a  b 2  4ab ; b  c 2  4bc ; c  a 2  4ac
    a  b  b  c  c  a   64 a 2 b 2 c 2  8abc  (a+b)(b+c)(c+a)  8abc
             2        2        2                         2


      Dấu “=” xảy ra khi a = b = c
   Phương pháp 4:                 Bất đẳng thức Cô sy
   Kiến thức:
   a/ Với hai số không âm : a, b  0 , ta có: a  b  2 ab . Dấu “=” xảy ra khi a=b
   b/ Bất đẳng thức mở rộng cho n số không âm :
    a1  a 2  ...  a n  n n a1a 2 ..a n
                    a  a 2  ...  a n 
                                             n

    a1a 2 ..a n   1                   
                            n           
   Dấu “=” xảy ra khi a1  a 2  ...  a n
   Chú ý : ta dùng bất đẳng thức Côsi khi đề cho biến số không âm.
                                 2x   4x     2x     3
   Ví dụ 1 : Giải phương trình : x   x   x      
                                4 1 2 1 2  4 x
                                                    2
                                                                    a  2
   Giải : Nếu đặt t =2x thì pt trở thành pt bậc 6 theo t nên ta đặt 
                                                                                              x

                                                                            , a, b  0
                                                                           x
                                                                                     b  4
                                                                                     
                                                   a    b    1    3
   Khi đó phương trình có dạng :                              
                                                 b 1 a 1 a  b 2
   Vế trái của phương trình:

   a         b         1                a  b 1  a  b 1  a  b 1
        1       1       1  3                                     3
   b 1   a 1   a  b                  b 1   a 1   a  b 
              1      1       1                                            1      1      1 
 a  b  c                  3   b  1   a  1   a  b   
                                                                         b 1  a 1  a  b   3
              b 1 a 1 a  b                                                               


                           3 3 a  1b  1a  b.
                           1                                      3                  3
                                                                                3 
                           2                           3 a  1b  1a  b       2
   Vậy phương trình tương đương với :
    a 1  b 1  a  b  a  b  1  2x  4x  1  x  0 .
                                                                                           x    y    z
   Ví dụ 2 : Cho x, y , z > 0 và x + y + z = 1. Tìm GTLN của P =                                 
                                                                                         x 1 y 1 z 1
                           1    1    1
   Giải : P = 3- (                    ) = 3 – Q. Theo BDT Côsi , nếu a, b, c > 0 thì
                         x 1 y 1 z 1



                                                        5
                        19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức
                  1 1 1        1                 1 1 1        1 1 1      9
a  b  c  3 3 abc 
                     33          a  b  c      9    
                  a b c       abc                a b c        a b c a b c
                1    1      1     9               9                  9 3
   Suy ra Q =                  -Q   nên P = 3 – Q  3- =
              x 1 y 1 z 1 4                    4                  4 4
               3                    1
   Vậy max P = .khi x = y = z = .
               4                    3
                                                      1       1      1     abc
   Ví dụ 3: Cho a, b, c >0 . Chứng minh rằng: 2            2     2     
                                                    a  bc b  ac c  ab     2abc
   Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có :
                                   2      1  1 1   1 
       a 2  bc  2a bc                        
                                a  bc a bc 2  ab ac 
                                  2


   Tương tự :
                    2        1    1 1   1       2    1  1 1  1 
                                    2                
                 b   ac b ac 2  bc ab  c   ab c ab 2  ac bc 
                  2


                      2        2       2       abc
                  2        2      2       
                   a  bc b   ac c   ab     2abc
   Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.
                                                        a      b       c
   Ví dụ 4 : CMR trong tam giác ABC :                                     3 (*)
                                                      bca c a b a bc
   Giải : Theo bất đẳng thức Côsi :
         a     b       c                       abc
                          33                                   (1)
       bca ca b a bc      (b  c  a)(c  a  b)(a  b  c)
   Cũng theo bất đẳng thức Côsi :
                                      1
         (b  c  a)(c  a  b)        (b  c  a  c  a  b)  c (2)
                                      2
   Viết tiếp hai BDT tương tự (2) rồi nhân với nhau sẽ được
       (b  c  a )( c  a  b)( a  b  c)  abc
                           abc
                                               1 (3)
          (b  c  a )( c  a  b)( a  b  c)
   Từ (1),(3) suy ra (*). Dấu “=” xảy ra khi a = b = c hay ABC là đều .
   Ví dụ 5:
       0  a  b  c                                 x y z  a  c 
                                                                       2
   Cho               . Chứng minh rằng:  by  cz                           x  y  z 2
       0  x, y, z                                  a b c      4ac
   Giải: Đặt f ( x)  x 2  (a  c) x  ac  0 có 2 nghiệm a,c
   Mà: a  b  c  f (b)  0  b 2  (a  c)b  ac  0
              a  c  yb  ac  a  c  y
          ac                   y
   b
          b                    b
              x
     xa  ac   ( yb  ac )  ( zc  ac )  a  c x  a  c  y  (a  c) z
                            y             z
              a           b             c
                      x y z
    xa  yb  zc  ac     a  c  x  y  z 
                      a b c
   Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:

                                                         6
                        19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức
2       xa  yb  zc ac x  y  z   a  c x  y  z 
                                     
                            a         b        c
                    x y z
 4xa  yb  zc ac     a  c  x  y  z 
                                      2             2

                    a b c
                    x y z  a  c 
                                                           2
 xa  yb  zc ac              x  y  z 2 (đpcm)
                         a       b        c        4ac

Phương pháp 5                 Bất đẳng thức Bunhiacopski
Kiến thức:
Cho 2n số thực ( n  2 ): a1 , a 2 ,... a n , b1 , b2 ,..., bn . Ta luôn có:
(a1b1  a 2 b2  ...  a n bn ) 2  (a12  a 2  ...  a n )(b12  b2  ...  bn )
                                             2           2          2          2


                                      a1 a 2         a
Dấu “=” xảy ra khi                          ....  n
                                      b1 b2          bn
        b1 b2          b
Hay            ....  n (Quy ước : nếu mẫu = 0 thì tử = 0 )
        a1 a 2         an
Chứng minh:
    a  a 2  a 2  ...  a 2
Đặt 
    
          1     2           n

         b  b1  b2  ...  bn
           2    2           2
        
     Nếu a = 0 hay b = 0: Bất đẳng thức luôn đúng.
     Nếu a,b > 0:
          ai         b
Đặt:  i     ,  i  i i  1,2,...n  , Thế thì:  12   2  ...   n   12   22  ...   n2
                                                            2           2

           a          b
                      1
                      2
                              
Mặt khác:  i  i   i2   i2             
                                            1                            1
         1 1   2  2  ...   n  n  ( 12   2  ....  n )  ( 12   22  ...   n2 )  1
                                                       2           2

Suy ra:                                     2                            2
         a1b1  a 2 b2  ...  a n bn  a.b
Lại có: a1b1  a2b2  ... an bn  a1b1  a2b2  ... an bn
Suy ra: (a1b1  a2 b2  ...  an bn ) 2  (a12  a2  ...  an )(b12  b22  ...  bn2 )
                                                  2          2


                             i   i i  1,2,...,n   a   a          a
Dấu”=” xảy ra                                           1  2  ....  n
                                     
                           1 1 .... n  n cùng dáu     b1 b2          bn
Ví dụ 1 :
                                                                           1
Chứng minh rằng: x  R , ta có: sin 8 x  cos8 x 
                                                                           8
Giải: Ta có: sin 2 x  cos 2 x  1, x  R
Theo bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có:
                            
1  sin 2 x.1  cos 2 x.1  sin 4 x  cos 4 x 12  12                
    1                      1
                                                              
                                                                   2
      sin 4 x  cos 4 x   sin 4 x  cos 4 x
    2                      4
Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski một lần nữa:

                                                                   7
                                   19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức
          1
                                   1
                                                                                   
                                                                                      1
                                                                                                               
                                  2
           sin 4 x.1  cos 4 x.1   sin 8 x  cos8 x 12  12  sin 4 x  cos 4 x 
          4                         4                                                 8
         Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có các góc A,B,C nhọn. Tìm GTLN của:
         P  1  tan A. tan B  1  tan B. tan C  1  tan C. tan A
         Giải:
         * Bất đẳng thức Bunhiacopski mở rộng
         Cho m bộ số, mỗi bộ số gồm n số không âm: (ai , bi ,..., ci )(i  1,2,...., m)
         Thế thì:
(a1 a 2 ...a m  b1b2 ...bm  ...  c1c 2 ...c m ) 2  (a1m  b1m  ...  c1m )( a 2  b2  ...  c 2 )( a m  bm  ...  c m )
                                                                                   m    m           m      m    m           m


          Dấu”=” xảy ra   bô số (a,b,….,c) sao cho: với mỗi i = 1,2,…,m thì  t i sao cho:
a  t i ai , b  t i bi ,..., c  t i ci , Hay a1 : b1 : ... : c1  a 2 : b2 : ... : c 2  a n : bn : ...c n
                       a12  a 2  ...  a n  3
                                2           2
Ví dụ 1: Cho 
                            n  Z, n  2
                                        a1 a 2         a
         Chứng minh rằng:                      .... n  2
                                        2   3         n 1
         Giải:
                                 1         1                   1
         k  N * ta có:                           
                                 k2
                                        k2 
                                               1            1    1
                                                         k   k  
                                               4            2    2
              1      1      1
               2
                        
              k        1      1
                    k     k
                       2      2
                                                                      
           1 1           1  1      1   1    1           1      1  1     1     2
          2  2  ...  2                  ...             3      
          2 3           n 3       5  5     7 
                                                           n
                                                               1     1
                                                                   n 
                                                                                1 3
                              2     2  2     2                         2 n
                                                              2     2         2
         Do đó theo bất đẳng thức Bunhiacopski:
          a1 a2         a                       1     1         1     2
                .... n  a12  a2  ...  an
                                   2          2
                                                     2  ...  2  3    2 (đpcm)
          2   3        n 1                     2 2
                                                     3         n      3
         Ví dụ 2: Cho 4 số a,b,c,d bất kỳ chứng minh rằng:
                                (a  c) 2  (b  d ) 2  a 2  b 2  c 2  d 2
          Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski: Tacó ac+bd  a 2  b 2 . c 2  d 2
mà a  c 2  b  d 2  a 2  b 2  2ac  bd   c 2  d 2  a 2  b 2   2 a 2  b 2 . c 2  d 2  c 2  d 2
          (a  c) 2  (b  d ) 2  a 2  b 2  c 2  d 2
         Ví dụ 3: Chứng minh rằng : a 2  b 2  c 2  ab  bc  ac
    Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski
    Cách 1: Xét cặp số (1,1,1) và (a,b,c) ta có 12  12  12 (a 2  b 2  c 2 )  1.a  1.b  1.c 2
      3 a 2  b 2  c 2   a 2  b 2  c 2  2ab  bc  ac 
      a 2  b 2  c 2  ab  bc  ac Điều phải chứng minh Dấu bằng xảy ra khi a=b=c
Phương pháp 6:                  Bất đẳng thức Trê- bư-sép
    Kiến thức:

                                                                    8
                     19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức
        a1  a 2  ..... a n     a  a  ...  a n b1  b2  ....  bn a1b1  a 2 b2  ....  a n bn
a)Nếu                         thì 1 2              .                                                 .
        b1  b2  ..... bn             n                   n                        n
                                      a1  a 2  ....  a n
Dấu „=‟ xảy ra khi và chỉ khi 
                                      b1  b2  ....  bn
         a1  a 2  ..... a n
b)Nếu                          thì
         b1  b2  ..... bn
a1  a 2  ...  a n b1  b2  ....  bn a1b1  a 2 b2  ....  a n bn
                    .                   
         n                   n                         n
                                        a  a  ....  a n
Dấu „=‟ xảy ra khi và chỉ khi  1 2
                                        b1  b2  ....  bn
Ví dụ 1: Cho  ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn bán kính R = 1 và
sin A. sin 2a  sin B. sin 2 B  sin C. sin 2C 2S
                                                     .
             sin A  sin B  sin C                 3
S là diện tích tan giác. chứng minh rằng  ABC là tam giác đều.
                                                                          
Giải: Không giảm tính tổng quát ta giả sư 0  A  B  C  . Suy ra:
                                                                          2
sin A  sin B  sin C

sin 2a  sin 2 B  sin 2C
Áp dụng BĐT trebusep ta được:
sin A  sin B  sin C sin 2 A  sin 2B  sin 2C  
 3sin A. sin 2 A  sin B. sin 2 B  sin C. sin 2C 
  sin A. sin 2 A  sin B. sin 2 B  sin C. sin 2C 1
                                                 (sin 2 A  sin 2 B  sin 2C )
               sin A  sin B  sin C              3
                      sin A  sin B  sin C
Dấu „=‟ xảy ra                                   ABC dêu
                      sin 2 A  sin 2B  sin 2C
Mặt khác:
sin 2 A  sin 2 B  sin 2C  2 sin( A  B).cos(A  B)  sin 2C
 2 sin C cos(A  B)  cosC   2 sin C cos(A  B)  cos(A  B)
 2 sin C.2 sin A. sin B  4 sin A sin B sin C
 (2 R sin A)(2 R sin B).sin C  a.b. sin C  2S    (2)
Thay (2) vào (1) ta có
      sin A. sin 2a  sin B. sin 2 B  sin C. sin 2C 2S
                                                       .
                  sin A  sin B  sin C               3
Dấu „=‟ xảy ra   ABC đều.

Ví dụ 2(HS tự giải):
                                                 1 1 1
a/      Cho a,b,c>0 và a+b+c=1 CMR:                 9
                                                 a b c
b/      Cho x,y,z>0 và x+y+z=1              CMR:x+2y+z  4(1  x)(1  y)(1  z)
c/      Cho a>0 , b>0, c>0
            a   b   c   3
CMR:                
           bc ca ab 2

                                                   9
                              19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức
                                                                                    1
        d)Cho x  0 ,y  0 thỏa mãn 2 x  y  1                       ;CMR: x+y 
                                                                                    5
                                                                 a3   b3   c3   1
        Ví dụ 3: Cho a>b>c>0 và a  b  c  1 . Chứng minh rằng
                                                2     2    2
                                                                            
                                                                bc ac a b 2
        Giải:
                                              
                                                  a2  b2  c2
        Do a,b,c đối xứng ,giả sử a  b  c   a       b       c
                                                           
                                              b  c a  c a  b
                                              
        Áp dụng BĐT Trê- bư-sép ta có
               a         b         c    a2  b2  c2  a    b   c  1 3 1
        a2.        b2.      c2.                   .         = . =
              bc       ac       ab        3        bc ac ab 3 2 2
                a3   b3   c3   1                                                    1
        Vậy                                      Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=
               bc ac ab 2                                                            3
        Ví dụ 4: Cho a,b,c,d>0 và abcd =1 .Chứng minh rằng :
        a 2  b 2  c 2  d 2  ab  c   bc  d   d c  a   10
        Giải: Ta có a 2  b 2  2ab
                        c 2  d 2  2cd
                                     1                 1 1
        Do abcd =1 nên cd =              (dùng x   )
                                    ab                 x 2
                                                          1
        Ta có a 2  b 2  c 2  2(ab  cd )  2(ab  )  4 (1)
                                                         ab
        Mặt khác: ab  c   bc  d   d c  a  = (ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad)
         =  ab     ac     bc    2  2  2
                   1              1              1
                                              
                 ab            ac          bc 
        Vậy a 2  b 2  c 2  d 2  ab  c   bc  d   d c  a   10


        Phương pháp7            Bất đẳng thức Bernouli
        Kiến thức:
        a)Dạng nguyên thủy: Cho a  -1, 1  n Z thì 1  a n  1  na . Dấu „=‟ xảy ra khi và chỉ
    a  0
khi 
    n  1
        b) Dạng mở rộng:
        - Cho a > -1,   1 thì 1  a   1  na . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = 0.
                                                                                            a  0
        - cho a  1,0    1 thì 1  a   1  na . Dấu bằng xảy ra khi va chỉ khi            .
                                                                                              1
        Ví dụ 1 : Chứng minh rằng a b  b a  1, a, b  0 .
        Giải
            - Nếu a  1 hay b  1 thì BĐT luôn đúng
            - Nếu 0 < a,b < 1
            Áp dụng BĐT Bernouli:
               1   1 a       b 1  a  a  b
                  b               b
                                                            a
                 1      1                  ab       .
              a       a           a        a          a b

                                                               10
                                 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức
                                                       b
         Chứng minh tương tự: b a                        . Suy ra a b  b a  1   (đpcm).
                                                      ab
Ví dụ 2: Cho a,b,c > 0.Chứng minh rằng
a5  b5  c5  a  b  c 
                                      5

                        .                  (1)
     3            3     
Giải
                             5                    5                  5

1  
      
              3a   3b   3c 
                            3
           abc abc abc
Áp dụng BĐT Bernouli:
 3a   b  c  2a        5b  c  2a 
                 5                            5

       1          1                                              (2)
abc       abc         abc
Chứng minh tương tự ta đuợc:

             5c  a  2b 
                 5
 3b 
       1                                          (3)
abc        abc
             5a  b  2c 
                 5
 3c 
       1                                          (4)
abc        abc
Cộng (2) (3) (4) vế theo vế ta có
                 5                    5                     5
 3a   3b   3c 
                 3  (đpcm)
abc abc abc
Chú ý: ta có bài toán tổng quát sau đây:
“Cho a1 , a 2 ,... a n  0; r  1. Chứng minh rằng
                                                                r
  a1r  a 2  ....  a n  a1  a 2  ....  a n 
          r            r
                         
                                                 .
                                                 
            n                      n            
Dấu „=‟  a1  a 2  ....  a n .(chứng minh tương tự bài trên).
Ví dụ 3: Cho 0  x, y, z  1 . Chứng minh rằng
2   x
                     
          2 y  2 z 2x  2 y  2z           81
                                                  8
                                                     .
Giải
Đặt a  2 x , b  2 y , c  2 z 1  a, b, c  2 .
1  a  2  a  1a  2   0
                                                      2
                 a 2  3a  2  0  a                  3 (1)
                                                      a
Chứng minh tương tự:
  2
b  3                ( 2)
  b
  2
c 3                 (3)
  c
Cộng (1) (2) (3) vế theo vế ta được



                                                                    11
                                            19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức
                           1 1 1  côsi            1 1 1
      9  a  b  c   2     2 a  b  c 2   
                          a b c                  a b c
                81               1 1 1
                   (a  b  c)     (đpcm)
                8               a b c
      Chú ý: Bài toán tổng quát dạng này
      “ Cho n số x1 , x2 ,...., xn  a, b, c  1
      Ta luôn có:
                                                                                           nc         
                                                                                                           2

      c                                    c                                                    cb
                                                                                                    a
                                                   x1         x2                 xn
           x1
                c   x2
                           ....  c   xn
                                                         c           ....  c
                                                                                                4c a b
Phương pháp 8:        Sử dụng tính chất bắc cầu
Kiến thức: A>B và B>C thì A>C
      Ví dụ 1: Cho a, b, c ,d >0 thỏa mãn a> c+d , b>c+d
       Chứng minh rằng ab >ad+bc
      Giải:

                       a  c  d  0
                  a  c  d
      Tacó                                                                                          (a-c)(b-d) > cd
                       b  d  c  0
                  b  c  d
       ab-ad-bc+cd >cd  ab> ad+bc                                                                        (điều phải chứng minh)
                                                   5         1 1 1  1
      Ví dụ 2: Cho a,b,c>0 thỏa mãn a  b  c  . Chứng minh
                                        2   2   2
                                                                
                                                   3         a b c abc
                            2   2  2  2
      Giải: Ta có :( a+b- c) = a +b +c +2( ab –ac – bc)  0
                 1
       ac+bc-ab  ( a2+b2+c2)
                 2
                   5                                 1 1 1   1
       ac+bc-ab   1 Chia hai vế cho abc > 0 ta có    
                   6                                 a b c  abc
      Ví dụ 3: Cho 0 < a,b,c,d <1 Chứng minh rằng (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d
      Giải: Ta có (1-a).(1-b) = 1-a-b+ab
      Do a>0 , b>0 nên ab>0  (1-a).(1-b) > 1-a-b (1)
      Do c <1 nên 1- c >0 ta có  (1-a).(1-b) ( 1-c) > 1-a-b-c
       (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > (1-a-b-c) (1-d) =1-a-b-c-d+ad+bd+cd
       (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d (Điều phải chứng minh)

      Ví dụ 4: Cho 0 <a,b,c <1 . Chứng minh rằng: 2a 3  2b 3  2c 3  3  a 2 b  b 2 c  c 2 a
      Giải:
      Do a < 1  a 2  1 và
      Ta có 1  a 2 .1  b   0  1-b- a 2 + a 2 b > 0  1+ a 2 b 2 > a 2 + b
      mà 0< a,b <1  a 2 > a 3 , b 2 > b 3
      Từ (1) và (2)  1+ a 2 b 2 > a 3 + b 3 . Vậy a 3 + b 3 < 1+ a 2 b 2
      Tương tự b 3 + c 3  1  b 2 c ; c 3 + a 3  1  c 2 a
      Cộng các bất đẳng thức ta có : 2a 3  2b 3  2c 3  3  a 2 b  b 2 c  c 2 a
      Ví dụ 5 Chứng minh rằng : Nếu a 2  b 2  c 2  d 2  1998 thì ac+bd =1998
      Giải:
      Ta có (ac + bd) 2 + (ad – bc ) 2 = a 2 c 2 + b 2 d 2  2abcd  a 2 d 2  b 2 c 2 - 2abcd =
      = a2(c2+d2)+b2(c2+d2) =(c2+d2).( a2+ b2) = 19982
                                                     12
                                19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức
       rõ ràng (ac+bd)  ac  bd 2  ad  bc 2  1998 2  ac  bd  1998
                            2

       Ví dụ 6 (HS tự giải) :
       a/ Cho các số thực : a1; a2;a3 ….;a2003 thỏa mãn : a1+ a2+a3 + ….+a2003 =1
                                                          1
c hứng minh rằng : a 12 + a 22  a32  ....  a 2003 
                                                2

                                                         2003
       b/ Cho a;b;c  0 thỏa mãn :a+b+c=1
                        1         1     1
Chứng minh rằng: (  1).(  1).(  1)  8
                        a         b     c
Phương pháp 9:        Dùng tính chất của tỷ số
    Kiến thức
    1) Cho a, b ,c là các số dương thì
               a        a ac
        a – Nếu   1 thì 
               b        b bc
               a        a ac
        b – Nếu  1 thì 
               b        b bc
       2) Nếu b,d >0 thì từ
              a c a ac c
                    
              b d b bd d
`
       Ví dụ 1: Cho a,b,c,d > 0 .Chứng minh rằng
               a     b     c       d
        1                          2
             abc bcd cd a d ab
       Giải: Theo tính chất của tỉ lệ thức ta có
           a         a     ad
               1                                      (1)
        abc      abc abcd
                    a       a
       Mặt khác :                                              (2)
                  abc abcd
       Từ (1) và (2) ta có \
           a        a     ad
                <      <                                 (3)
        abcd   abc abcd
       Tương tự ta có
           b         b        ba
                                                   (4)
        abcd bcd abcd
              c         c       bc
                                                        (5)
          abcd cd a abcd
             d         d       d c
                                                        (6)
         abcd d ab abcd
       cộng vế với vế của (3); (4); (5); (6) ta có
             a        b        c        d
       1                                2 điều phải chứng minh
          abc bcd cd a d ab
                    a c                                a ab  cd c
       Ví dụ 2 :Cho: < và b,d > 0 .Chứng minh rằng < 2          
                    b d                                b b d2 d
                   a c      ab cd     ab ab  cd cd c
       Giải: Từ <  2  2  2  2                   
                   b d      b   d     b   b d2 d2 d
                a ab  cd c
       Vậy       <               điều phải chứng minh
                b b2  d 2 d
                                                         13
                            19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức

      Ví dụ 3 : Cho a;b;c;dlà các số nguyên dương thỏa mãn : a+b = c+d =1000
                            a     b
tìm giá trị lớn nhất của 
                            c     d
                                                          a   b     a  b          a ab b
      Giải: Không mất tính tổng quát ta giả sử :               Từ :                
                                                          c   d     c  d          c cd d
a
   1 vì a+b = c+d
c
                            b        a b
      a/ Nếu :b  998 thì      998    999
                            d        c d
                                a b 1 999
      b/Nếu: b=998 thì a=1   =          Đạt giá trị lớn nhất khi d= 1; c=999
                                 c d c  d
                               a b       1
      Vậy giá trị lớn nhất của  =999+     khi a=d=1; c=b=999
                               c d     999
Phương pháp 10: Phương pháp làm trội
      Kiến thức:
      Dùng các tính bất đẳng thức để đưa một vế của bất đẳng thức về dạng tính được
tổng hữu hạn hoặc tích hữu hạn.
      (*) Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn : S = u1  u2  ....  un
      Ta cố gắng biến đổi số hạng tổng quát u k về hiệu của hai số hạng liên tiếp nhau:
                uk  ak  ak 1
      Khi đó :S = a1  a2   a2  a3   ....  an  an1   a1  an1
      (*) Phương pháp chung về tính tích hữu hạn: P = u1u 2 ....u n
                                                                                     ak
      Biến đổi các số hạng u k về thương của hai số hạng liên tiếp nhau: u k =
                                                                                    ak 1
                      a1 a2     a     a
      Khi đó P =        . ..... n  1
                      a2 a3    an 1 an 1
Ví dụ 1: Với mọi số tự nhiên n >1 chứng minh rằng
            1     1      1             1      3
                            ....       
            2 n 1 n  2             nn 4
                         1        1      1
      Giải: Ta có                               với k = 1,2,3,…,n-1
                       n  k n  n 2n
                1     1           1     1         1   n 1
      Do đó:              ...           ...       
              n 1 n  2         2 n 2n           2n 2 n 2
      Ví dụ 2: Chứng minh rằng:
         1
            1
             2
               
                  1
                   3
                      .... 
                              1
                               n
                                      
                                  2 n 1 1       Với n là số nguyên

      Giải: Ta có
                      1
                           
                       k 2 k
                              2
                                  
                                        2
                                     k  k 1
                                                     
                                               2 k 1  k        
      Khi cho k chạy từ 1 đến n ta có
      1 > 2  2  1
      1
       2
            
         2 3 2       
    ………………
                                                    14
                              19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức
  1
   n
             
      2 n 1  n         
  Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có 1 
                                                                                   1
                                                                                    2
                                                                                      
                                                                                        1
                                                                                         3
                                                                                            .... 
                                                                                                    1
                                                                                                     n
                                                                                                                
                                                                                                        2 n 1 1
                                                n
                                                        1
  Ví dụ 3: Chứng minh rằng                     k
                                               k 1
                                                        2
                                                            2                         n  Z

                       1         1       1    1
  Giải: Ta có                             
                       k 2
                             k k  1 k  1 k
  Cho k chạy từ 2 đến n ta có
         1            1
           2
              1
         2            2
         1 1 1
              
        32 2 3
        .................
         1         1      1  1 1            1
                          2  2  ....  2  1
         n 2
                 n 1 n     2 3            n

       n
             1
Vậy   k
      k 1
             2
                 2

  Phương pháp 11: Dùng bất đẳng thức trong tam giác

  Kiến thức: Nếu a;b;clà số đo ba cạnh của tam giác thì : a;b;c> 0
  Và |b-c| < a < b+c ; |a-c| < b < a+c ; |a-b| < c < b+a
  Ví dụ 1: Cho a;b;c là số đo ba cạnh của tam giác chứng minh rằng
  1/ a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac)
  2/ abc>(a+b-c).(b+c-a).(c+a-b)
  Giải
  1/Vì a,b,c là số đo 3 cạnh của một tam giác nên ta có
      0  a  b  c                                                 a 2  a (b  c)
                                                                     2
      0  b  a  c                                                b  b ( a  c )
      0  c  a  b                                                  c 2  c ( a  b)
                                                                    
  Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có: a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac)
  2/ Ta có a > b-c   a 2  a 2  (b  c) 2 > 0
      b > a-c      b 2  b 2  (c  a ) 2 > 0
      c > a-b      c 2  c 2  ( a  b) 2  0
  Nhân vế các bất đẳng thức ta được
                                                         2
                                                                
         a 2b 2 c 2  a 2  b  c  b 2  c  a  c 2  a  b 
                                      2                                        2
                                                                                   
         a 2b 2 c 2  a  b  c  b  c  a  c  a  b 
                                  2                 2                   2


         abc  a  b  c b  c  a c  a  b 
                            .           .
  Ví dụ2 (HS tự giải)
  1/ Cho a,b,c là chiều dài ba cạnh của tam giác
  Chứng minh rằng ab  bc  ca  a 2  b 2  c 2  2(ab  bc  ca)
  2/Cho a,b,c là chiều dài ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 2
                                         15
                         19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức
         Chứng minh rằng a 2  b2  c 2  2abc  2
         Phương pháp 12:          Sử dụng hình học và tọa độ
         Ví dụ 1:
         Chứng minh rằng : c(a  c)  c(b  c)  ab , a  b  0 và b  c
         Giải
         Trong mặt phẳng Oxy, chọn u  ( c, b  c ) ; v ( a  c , c )
         Thì u  b , v  a ;   u.v  c(a  c)  c(b  c)

         Hơn nữa:         u.v  u . v . cos(u, v)  u . v    c(a  c)  c(b  c)  ab  (ĐPCM)

         Ví dụ 2:
                                                                    n          n
         Cho 2n số: xi ; yi , i  1,2,..., n thỏa mãn:             x y
                                                                   i 1
                                                                          i
                                                                              i 1
                                                                                     i    1. Chứng minh rằng:

 n
                      2

i 1
       xi2  yi2 
                     2
         Giải:
         Vẽ hình                                            y




                                                                   MN
                                                            MK
                                                                          H
                                                            M
                                                            1
                                                                                                        x
                                                       O                                        x+y=1



         Trong mặt phẳng tọa độ, xét:
          M 1 ( x1 , y1 ) : M 2 ( x1  x2 , y1  y 2 ) ;…; M n ( x1    x n , y1    y n )
         Giả thiết suy ra M n  đường thẳng x + y = 1. Lúc đó:
         OM1  x12  y12 ,            M 1 M 2  x2  y2 , M 2 M 3  x3  y3 ,…, M n1 M n  xn  y n
                                                 2    2              2    2                  2     2


                                                                                           2
         Và OM 1  M 1 M 2  M 2 M 3    M n 1 M n  OM n  OH 
                                                                                          2
              n
                                     2
           xi2  yi2                       (ĐPCM)
             i 1                   2
         Phương pháp 13:                    Đổi biến số
                                                  a     b    c   3
         Ví dụ1: Cho a,b,c > 0 Chứng minh rằng                 (1)
                                                bc ca ab 2
                                                  yzx         zx y     x yz
         Giải: Đặt x=b+c ; y=c+a ;z= a+b ta có a=         ; b=         ;c=
                                                      2            2          2
                      yzx zx y x yz          3
         ta có (1)                           
                        2x       2y       2z       2
                 y z     x z      x y                y x    z x    z y
                   1  1  1  3  (  )  (  )  (  )  6
                 x x     y y      z z                x y    x z    y z
                                                                  16
                         19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức
                                                y    x          z x          z y
      Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì (                2;        2;         2 nên ta có điều
                                                x    y          x z          y z
phải chứng minh
      Ví dụ2:
      Cho a,b,c > 0 và a+b+c <1. Chứng minh rằng
             1         1         1
                  2         2      9        (1)
          a  2bc b  2ac c  2ab
           2


      Giải: Đặt x = a 2  2bc ; y = b2  2ac ; z = c 2  2ab . Ta có        x  y  z  a  b  c   1
                                                                                                   2


             1 1 1
      (1)     9             Với x+y+z < 1 và x ,y,z > 0
             x y z
                                                                      1 1 1        1
      Theo bất đẳng thức Côsi ta có: x  y  z  3. 3 xyz , và:           3. 3
                                                                      x y z       xyz

          x  y  z . 1  1  1   9 . Mà x+y+z < 1. Vậy
                        
                                   
                                    
                                                     1 1 1
                                                         9 (đpcm)
                 x y z                             x y z
                                                                 1
      Ví dụ3: Cho x  0 , y  0 thỏa mãn 2 x  y  1 CMR x  y 
                                                                 5
      Gợi ý: Đặt x  u , y  v  2u-v =1 và S = x+y = u  v  v = 2u-1
                                                        2   2


thay vào tính S min
      Bài tập tự giải
                                                      25a 16b   c
         1) Cho a > 0 , b > 0 , c > 0        CMR:               8
                                                      bc ca ab

         2)Tổng quát m, n, p, q, a, b >0
              CMR
                           ma
                              
                                nb
                                   
                                     pc
                           bc ca ab 2
                                        
                                          1
                                                               
                                                    m  n  p  m  n  p 
                                                                  2



      Phương pháp 14:                     Dùng tam thức bậc hai

      Kiến thứ: Cho f(x) = ax2 + bx + c
      Định lí 1:
                           a  0
        f(x) > 0, x  
                             0
                         a  0
        f ( x)  0, x  
                           0
                         a  0
        f ( x)  0, x  
                           0
                         a  0
        f ( x)  0, x  
                           0
      Định lí 2:
      Phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm x1    x2  a. f    0
      Phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm :


                                                17
                                19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức
                          
                          a. f    0
                          
            x1  x2      0
                          S
                           
                          2
     Phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm :
                         
                         a. f    0
                         
             x1  x2    0
                         S
                          
                         2
                                                              x    x
     Phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm        1       2
                                                          f  . f    0.
                                        x1    x2  

     Ví dụ 1:Chứng minh rằng f x, y   x 2  5 y 2  4 xy  2 x  6 y  3  0                                 (1)
     Giải: Ta có (1)  x 2  2 x2 y  1  5 y 2  6 y  3  0
           2 y  1  5 y 2  6 y  3  4 y 2  4 y  1  5 y 2  6 y  3    y  1  1  0
                        2                                                                        2


     Vậy f x, y   0 với mọi x, y
     Ví dụ2:        Chứng minh rằng: f x, y   x 2 y 4  2x 2  2. y 2  4 xy  x 2  4 xy 3
     Giải: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
                    
         x 2 y 4  2 x 2  2 . y 2  4 xy  x 2  4 xy 3  0  ( y 2  1) 2 .x 2  4 y 1  y  x  4 y 2  0
                                                                                             2


     Ta có   4 y 1  y   4 y y  1
                                  2 2                 2
                            2               2   2
                                                           16 y 2  0
     Vì a = y  1  0 vậy f x, y   0                 (đpcm)
                   2        2


       Phương pháp 15:                      Dùng quy nạp toán học
       Kiến thức:
       Để chứng minh bất đẳng thức đúng với n  n0 ta thực hiện các bước sau :
       1 – Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n  n0
       2 - Giả sử BĐT đúng với n =k (thay n =k vào BĐT cần chứng minh được gọi là giả
thiết quy nạp )
       3- Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k +1 (thay n = k+1vào BĐT cần
chứng minh rồi biến đổi để dùng giả thiết quy nạp)
       4 – kết luận BĐT đúng với mọi n  n0
                                  1 1             1       1
     Ví dụ1: Chứng minh rằng :     2
                                       2  .... 2  2          n  N ; n  1                                      (1)
                                  1 2            n        n
                             1       1
     Giải: Với n =2 ta có 1   2       (đúng). Vậy BĐT (1) đúng với n =2
                             4       2
     Giả sử BĐT (1) đúng với n =k ta phải chứng minh BĐT (1) đúng với n = k+1
                                                      1 1             1      1             1
     Thật vậy khi n =k+1 thì (1)                         2  ....  2             2
                                                       2
                                                      1 2            k    (k  1) 2
                                                                                         k 1
     Theo giả thiết quy nạp
         1 1             1      1          1    1            1
            2  ....  2             2           2
          2
         1 2            k    (k  1) 2
                                           k k  12
                                                           k 1

                                                               18
                                  19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức
            1              1          1      1       1
               ....                           
            12
                        (k  1) 2
                                    k  1 k  12
                                                     k
             k 11 1                               2     2
                        k (k  2)  (k  1) 2  k +2k<k +2k+1                                 Điều này đúng .Vậy bất đẳng
             (k  1) 2
                        k
thức (1)được chứng minh
                                                                ab   an  bn
                                                                                                    n

        Ví dụ2: Cho            n N và a+b> 0. Chứng minh rằng               (1)
                                                                2        2
        Giải: Ta thấy BĐT (1) đúng với n=1
        Giả sử BĐT (1) đúng với n=k ta phải chứng minh BĐT đúng với n=k+1
        Thật vậy với n = k+1 ta có
                                      k 1
                         ab                        a k 1  b k 1
             (1)  
                                           
                         2                                2
                    ab ab              a k 1  b k 1
                                  k

                           .                             (2)
                    2            2              2
                         a k  b k a  b a k 1  ab k  a k b  b k 1 a k 1  b k 1
   Vế trái (2)                   .                                  
                             2         2                   4                   2
     k 1   k 1    k 1                  k 1
    a b           a  ab  a b  b
                                                 0  a k  b k .a  b   0
                               k     k
                                                                                      (3)
          2                      4
        Ta chứng minh (3)
        (+) Giả sử a  b và giả thiết cho a  -b  a  b
                   a k  b  bk
                                  k
                                                             a   k
                                                                            
                                                                        b k .a  b   0
        (+) Giả sử a < b và theo giả thiết - a<b  a  bk  a k  bk  a k  b k .a  b   0
                                                                                             k


        Vậy BĐT (3)luôn đúng ta có (đpcm)
        Ví dụ 3: Cho a  1 ,1  n   . Chứng minh rằng : (1  a) n  1  n.a
        Giải
         n=1: bất đẳng thức luôn đúng
         n=k ( k   ): giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: (1  a) k  1  k .a
         n= k+1 . Ta cần chứng minh: (1  a) k 1  1  (k  1).a
        Ta có: (1  a) k 1  (1  a).(1  a) k  (1  a).(1  k.a)  1  (k  1)a  k.a 2  1  (k  1)a
         Bất đẳng thức đúng với n= k+1
        V ậy theo nguyên lý quy nạp: (1  a) n  1  n.a , n  
                                                                                                          1
        Ví dụ 4: Cho 1  n   a1 , a 2 ,, a n  0 thoả mãn a1  a2    an  . Chứng minh
                                                                                                          2
                                                 1
rằng: (1  a1 )(1  a2 )(1  an ) 
                                                 2
                              1                          1
        Giải n=1: a1   1  a1   Bài toán đúng
                              2                          2
                                                                                                                    1
        n=k ( k   ): giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: (1  a1 )(1  a2 )(1  ak ) 
                                                                                                                    2
                                                                                        1
        n= k+1 . Ta cần chứng minh: (1  a1 )(1  a2 )(1  ak 1 ) 
                                                                                        2
        Ta có: (1  a1 )(1  a 2 )  (1  a k 1 )  (1  a1 )(1  a 2 ) (1  a k 1 )[1  (a k  a k 1 )  a k a k 1 ]
                                                                                19
                          19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức
                                                              1                                          1
 (1  a1 )(1  a 2 ) (1  a k 1 )[1  (a k  a k 1 )]      (Vì a1  a2    ak 1  (ak  ak 1 )  )
                                                              2                                          2
 Bất đẳng thức đúng với n= k+1
                                                                                    1
Vậy theo nguyên lý quy nạp: (1  a1 )(1  a2 )(1  an ) 
                                                                                    2
Ví dụ 5: Cho 1  n   , ai , bi  R, i  1,2,..., n . Chứng minh rằng:
 (a1b1  a 2 b2    a n bn ) 2  (a12  a 2    a n )( b12  b2    bn )
                                            2         2           2        2


Giải n=1: Bất đẳng thức luôn đúng
n=k ( k   ):giả sử bất đẳng thức đúng, tức là:
 (a1b1  a 2 b2    a k bk ) 2  (a12  a 2    a k )(b12  b2    bk2 )
                                            2         2          2


n= k+1 . Ta cần chứng minh:
 (a1b1  a 2 b2    a k 1bk 1 ) 2  (a12  a 2    a k 1 )(b12  b2    bk21 ) (1)
                                                 2         2             2


          Thật vậy:
VP (1)  (a12  a 2    a k )(b12  b2    bk2 )  (a12    a k ).b 2 +
                  2         2          2                            2


 a 2 (b12  b2    bk2 )  a k 1 .bk21  (a1b1  a 2 b2    a k bk )  2a1b1 a k 1bk 1  2a 2 b2 a k 1bk 1 
              2                 2


          2a k bk a k 1bk 1  a k 1bk21
                                     2


        (a1b1  a 2 b2    a k bk ) 2  2 (a1b1  a 2 b2    a k bk ) a k 1bk 1  a k 1 .bk21
                                                                                           2


        (a1b1  a 2 b2    a k 1bk 1 ) 2
    Vậy (1) được chứng minh
Ví dụ 6: Cho 1  n   , ai , bi  R, i  1,2,..., n . Chứng minh rằng:
    a1  a 2    a n 2 a12  a 2    a n
                                 2         2
(                     ) 
             n                     n
Giải:
n=1: Bất đẳng thức luôn đúng
                                                              a1  a 2    a k 2 a12  a 2    a k
                                                                                             2        2
n=k ( k   ):giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: (                              ) 
                                                                       k                       k
                                        a  a    a k 1 2 a1  a 2    a k 1
                                                                   2     2         2
n= k+1 . Ta cần chứng minh: ( 1 2                            )                       (1)
                                                k 1                       k 1
            a  a    a k 1
Đặt: a  2 3
                     k
            1
VP(1)         (a12  k 2 a 2  2ka1a)
         k 1
     1  2          2 a 2  a3    a k 1
                        2      2       2
                                                       a 2  a3    a k 1  a12  a 2    a k 1
                                                         2    2          2             2         2
           a1  k                          k.a1  k                       
                                                 2

  (k  1) 2                     k                              k                      k 1
       Vậy (1) đựơc chứng minh

Ví dụ 7: Chứng minh rằng:                   n n  (n  1) n 1 , n  , n  2
                     n n  4
Giải: n=2  
                                            n n  (n  1) n 1
                     (n  1)
                     
                                n 1
                                       3
n=k  2 : giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: k k  (k  1) k 1
n= k+1:Ta c ó: k k (k  1) k 1  (k  1) k 1 (k  1) k 1  (k  1) 2k 2 (k  1) 2  [( k  1) 2 ] k 1 (k  1) 2
 (k 2  2k ) k 1 (k 2  2k ) (vì (k  1) 2  k 2  2k  1  k 2  2k )
 k k (k  2) k  (k  1) k 1  (k  2) k  Bất 20đẳng thức đúng với n= k+1
                                  19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức
      Vậy n  (n  1) , n  , n  2
               n           n 1


      Ví dụ 8: Chứng minh rằng: sin nx  n sin x , n    , x  R
      Giải: n=1: Bất đẳng thức luôn đúng
      n=k :giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: sin kx  k sin x
      n= k+1 . Ta cần chứng minh: sin(k 1) x  (k 1) sin x
                   
                    a  b  a  b , a, b  R
      Ta có: 
                    sin x , cos x  1, x  R
                   
      Nên:     sin(k  1) x  sin kx cos x  cos kxsin x
        sin kx. cos x  cos kx. sin x  sin kx.  . sin x  k sin x .  . sin x  (k  1) sin x
        Bất đẳng thức đúng với n= k+1. Vậy: sin nx  n sin x , n    , x  R +
        Phương pháp 16: Chứng minh phản chứng
        Kiến thức:
        1) Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng , ta hãy giả sử bất đẳng thức
đó sai và kết hợp với các giả thiết để suy ra điều vô lý , điều vô lý có thể là điều trái với giả
thiết , có thể là điều trái ngược nhau .Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh là đúng
        2) Giả sử ta phải chứng minh luận đề “p  q”
        Muốn chứng minh p  q (với p : giả thiết đúng, q : kết luận đúng) phép chứng minh
được thực hiên như sau:
        Giả sử không có q ( hoặc q sai) suy ra điều vô lý hoặc p sai. Vậy phải có q (hay q
đúng)
        Như vậy để phủ định luận đề ta ghép tất cả giả thiết của luận đề với phủ định kết
luận của nó .
    Ta thường dùng 5 hình thức chứng minh phản chứng sau :
      A - Dùng mệnh đề phản đảo : “P  Q”
      B – Phủ định rôi suy trái giả thiết
      C – Phủ định rồi suy trái với điều đúng
      D – Phủ định rồi suy ra 2 điều trái ngược nhau
      E – Phủ định rồi suy ra kết luận :
        Ví dụ 1: Cho ba số a,b,c thỏa mãn a +b+c > 0 , ab+bc+ac > 0 , abc > 0
        Chứng minh rằng a > 0 , b > 0 , c > 0
        Giải:
        Giả sử a  0 thì từ abc > 0  a  0 do đó a < 0. Mà abc > 0 và a < 0  cb < 0
       Từ ab+bc+ca > 0  a(b+c) > -bc > 0
        Vì a < 0 mà a(b +c) > 0  b + c < 0
       a < 0 và b +c < 0  a + b +c < 0 trái giả thiết a+b+c > 0
       Vậy a > 0 tương tự ta có b > 0 , c > 0
        Ví dụ 2:Cho 4 số a , b , c ,d thỏa mãn điều kiện
       ac  2.(b+d) .Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai:
                     a 2  4b , c 2  4d
        Giải:
        Giả sử 2 bất đẳng thức : a 2  4b , c 2  4d đều đúng khi đó cộng các vế ta được
        a 2  c 2  4(b  d ) (1)
        Theo giả thiết ta có 4(b+d)  2ac (2)
                                                 21
                      19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức
      Từ (1) và (2)  a 2  c 2  2ac hay a  c 2  0 (vô lý)
      Vậy trong 2 bất đẳng thức a 2  4b và c 2  4d có ít nhất một các bất đẳng thức sai
      Ví dụ 3:Cho x,y,z > 0 và xyz = 1. Chứng minh rằng
                          1 1 1
       Nếu x+y+z >            thì có một trong ba số này lớn hơn 1
                          x y z
      Giải :Ta có (x-1).(y-1).(z-1) =xyz – xy- yz + x + y+ z –1
                         1    1    1                                                     1 1 1
      =x + y + z – (   ) vì xyz = theo giả thiết x+y +z >                                
                         x    y    z                                                     x y z
nên (x-1).(y-1).(z-1) > 0
      Trong ba số x-1 , y-1 , z-1 chỉ có một số dương
      Thật vậy nếu cả ba số dương thì x,y,z > 1  xyz > 1 (trái giả thiết)
      Còn nếu 2 trong 3 số đó dương thì (x-1).(y-1).(z-1) < 0 (vô lý)
      Vậy có một và chỉ một trong ba số x , y,z lớn hơn 1
      Ví dụ 4: Cho a, b, c  0 và a.b.c=1. Chứng minh rằng: a  b  c  3 (Bất đẳng thức
Cauchy 3 số)
      Giải: Giả sử ngược l ại:
      a  b  c  3  (a  b  c)ab  3ab  a 2 b  b 2 a  cab  3ab  a 2 b  (a 2  3a)b  1  0
      Xét : f (b)  a 2 b  (a 2  3a)b  1
      Có   (a 2  3a) 2  4a = a 4  6a 3  9a 2  4a  a(a 3  6a 2  9a  4) =  a(a  1) 2 (a  4)  0
            a, b, c  0
      (Vì                  0  a  3 )  f (b)  0  vô        lý. Vậy:    a bc3
            a  b  c  3
      Ví dụ 5:
      Chứng minh rằng không tồn tại các số a, b, c đồng thời thỏa mãn (1),(2),(3):
      a  bc       (1)
      b  ca       (2)
      c  a b      (3)
      Giải: Giả sử tồn tại các số a, b, c đồng thời thỏa mãn (1),(2),(3), lúc đó:
      a  b  c  (b  c) 2  a 2  (a  b  c)(a  b  c)  0          (1‟)
      b  c  a  (c  a) 2  b 2  (a  b  c)(a  b  c)  0         (2‟)
       c  a b      ( a  b) 2  c 2    (a  b  c)(a  b  c)  0                          (3‟)
      Nhân (1‟), (2‟) và (3‟) vế với vế ta được:  [( a  b  c)( a  b  c)( a  b  c)] 2  0
       Vô lý. Vậy bài toán được chứng minh
      Phương pháp 17 :           Sử dụng biến đổi lượng giác
                                                                                                           
      1. Nếu x  R thì đặt x = Rcos  ,                 0,   ; hoặc x = Rsin  ,                    ,
                                                                                                         2 2 
                                                                     
                                                     0, c    ,3 
                                           R
      2. Nếu x  R thì đặt x =
                                         cos                2
                                                         x  a  R cos
      3.Nếu x  a2   y  b2  R 2 , (  0) thì đặt                  , (  2 )
                                                         y  b  R sin 
              x    y                                    x    aR cos
                      2            2

      4. Nếu                    R a, b  0 thì đặt 
                                          2
                                                                                  , (  2 )
              a   b                                         y    bR sin 
      5. Nếu trong bài toán xuất hiện biểu                   thức : ax 2  b 2 , a, b  0 
                                                           22
                              19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức
                                           
       Thì đặt: x  tg ,     , 
                        b
                                   
                        a                2 2


                                                                             
       Ví dụ 1: Cmr : a 1  b 2  b 1  a 2  3 ab  1  b 2 1  a 2   2, a, b   1,1
       Giải : a  1, b  1
               a  cos
       Đặt :                        ,   0,  
               b  cos 
       Khi đó :
       a 1  b 2  b 1  a 2  3 ab         1  b 1  a  
                                                        2        2



           cos  .sin   cos  .sin   3  cos  .cos   sin  .sin  
                                                                     
           sin(   )  3.cos(   )  2 cos(    )   2, 2  (dpcm)
                                                       6
       Ví dụ 2 : Cho a , b  1 .Chứng minh rằng : a b  1  b a1  ab
       Giải :
                   1
             a  cos2                     
       Đặt : 
                   1              ,   0,  
                                                
             b                           2 
             
                 cos2 
                                 1                 1                tg       tg    (tg  .cos 2   tg .cos 2  )
        a b 1  b a 1               tg 2            tg 2                  
                               cos 2            cos 2            cos 2  cos 2            cos 2  .cos 2 
         1 (sin 2   sin 2 ) sin(   ) cos in(   )           1
                                                                           ab
         2 cos  .cos 
                 2       2
                                      cos  .cos 
                                         2       2
                                                              cos  .cos 2 
                                                                 2




                                                        a 2  (a  4b) 2
Ví dụ 3: Cho ab  0 .Chứng minh rằng :  2 2  2                          2 2 2
                                                            a 2  4b 2
                                             a 2  (a  4b) 2 tg 2  (tg  2) 2
                                                                                  4(tg  1).cos 2 
                                                 a 2  4b 2            1  tg 2
                                     
      Giải :Đặt: a  2btg ,     ,   2sin 2  2(1  cos 2 )  2(sin 2  cos 2 )  2
                                       
                                  2 22 
                                                               
                                           2 2 sin(2  )  2   2 2  2, 2 2  2 
                                                                                         
                                                               2
       Phương pháp 18:        Sử dụng khai triển nhị thức Newton.
       Kiến thức:
       Công thức nhị thức Newton
                  n
       a  b n  C nk a nk b k , n  N * , a, b  R .
                 k 0

                                        n!
       Trong đó hệ số C nk                      (0  k  n) .
                                    (n  k )! k!
      Một số tính chất đặt biệt của khai triển nhị thức Newton:
      + Trong khai triển (a + b)n có n + 1 số hạng.
      + Số mũ của a giảm dần từ n đến 0, trong khi đó số mũ của b tăng từ 0 đến n. Trong
mỗi số hạng của khai trtiển nhị thức Newton có tổng số mũ của a và b bằng n.
      +Các hệ số cách đều hai đầu thì bằng nhau
                                              23
                                  19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức
                nk
 C Ck
     n   .      n

+ Số hạng thứ k + 1 là C nk a n k .b k (0  k  n )
Ví dụ 1:
Chứng minh rằng 1  a n  1  na, a  0, n  N * (bất đẳng thức bernoulli)
Giải
                                  n
Ta có: 1  a n   C nk a k  C n0  C n a  1  na (đpcm)
                                         1

                                 k 0

Ví dụ 2:
Chứng minh rằng:
   an  bn  a  b 
                                        n

a)                , a, b  0, n  N
                                         *

      2     2 
     an  bn  cn  a  b  c 
                                                n

b)                           , a, b, c  0, n  N
                                                       *

          3            3     
Giải
Theo công thức khai triển nhị thức Newton ta có:
a  b n  C n0 a n  C n a n1b  .... C nn1a.b n1  C nn b n
                         1


a  b n  C n0 b n  C n b n1a  .... C nn1b.a n1  C nn a n
                         1


 2a  b   C n (a n  b n )  C n (a n 1b  b n 1 a)  .... C n 1 (a.b n 1  b.a n 1 )  C n (b n  a n )
            n        0                  1                           n                               n


a, b  0, i  1,2,...,n  1 :
a   n i
                                
             b n i a i  b i  0  a n  b n  a n i b i  a i b n i
 2a  b   C n (a n  b n )  C n (a n  b n )  .... C n 1 (a n  b n )  C n (b n  a n )
                0     n            1                        n                     n


                           (a n  b n )(C n  C n  .... C n 1  C n )  2 n (a n  b n )
                                           0     1           n        n


  ab     an  bn
                      n

       
   2         n
            abc
 b) Đặt d          0
               3
  Theo câu (a) ta có:
                ab    cd 
                                                n               n

               2     2    
a b c d
 n  n   n  n
                 2      2 
             
      4               4
  ab cd 
                  n                         n

             
  2   2   ( a  b  c  d )n  d n
          2             4
 a  b  c  d  4d  a n  b n  c n  3d n
    n   n   n  n    n


  an  bn  cn       abc
                                                      n

               dn      
       3               3  
Phương pháp 19:             Sử dụng tích phân
  Hàm số: f , g : a, b  R liên tục, lúc đó:
                                                       b
         * Nếu f ( x)  0, x  a, b thì              f ( x)dx  0
                                                          a


                                                                    24
                            19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức
                                                 b              b
       * Nếu f ( x)  g ( x), x  a, b thì       f ( x)dx   g ( x)dx
                                                 a              a
                                                                                      b            b
       * Nếu f ( x)  g ( x), x  a, b và x0  a, b : f ( x0 )  g ( x0 ) thì    f ( x)dx   g ( x)dx .
                                                                                      a            a
         b              b
       *  f ( x)dx   f ( x) dx .
         a              a
                                                                    b
       * Nếu m  f ( x)  M , x  a, b thì m 
                                                            1
                                                           ba 
                                                                 f ( x)dx  M (m, M là hằng số)
                                                               a

       Ví dụ 1: Cho A, B, C là ba góc của tam giác.
                                      A     B    C
       Chưng minh rằng: tg               tg  tg  3
                                      2     2    2
       Giải:
                            x
       Đặt f ( x)  tg , x  (0,  )
                            2
                  1          x
       f ' ( x)    (1  tg 2 )
                  2          2
                  1 x           x
       f '' ( x)  tg (1  tg 2 )  0, x  (0,  )
                  2 2           2
       Áp dụng bất đẳng thức Jensen cho:
        f ( A)  f ( B )  f (C )      A BC 
                                   f          
                   3                      3    
           A       B        C        A BC 
       tg  tg  tg  3tg                    
           2       2        2            6   
           A       B        C       
       tg  tg  tg  3tg
           2       2        2        6
           A       B        C
       tg  tg  tg  3
           2       2        2
                                             

                                            2
                                                    dx       
       Ví dụ 2: Chứng minh:                              
                                             0 5  2 cos x
                                                        2
                                       10                    6
       Giải
                    
       Trên đoạn 0,  ta có:
                     
                       2
             0  cos x  1  0  2 cos 2 x  2  2  2 cos 2 x  0
                    2


                                      1       1      1
        3  5  2 cos 2 x  5                   
                                      5 5  2 cos x 3
                                                 2

                                                                   

        1           dx   2
                              1      2      dx     
          0               0                đpcm 
        5 2   0 5  2 cos x 3  2  10 0 5  2 cos x 6
                           2                        2


PHẦN III : CÁC BÀI TẬP NÂNG CAO
*Dùng định nghĩa
                                                                        a2    2  2
    1) Cho abc = 1 và a 3  36 . . Chứng minh rằng                          b +c > ab+bc+ac
                                                                        3
                                                        25
                              19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức
                      a2    2  2                a2 a2     2   2
 Giải: Ta xét hiệu:       b +c - ab- bc – ac =       b +c - ab- bc – ac
                      3                         4 12
     a 2
                                  a 2
                                              a        a 3  36 abc
 = (  b2+c2- ab– ac+ 2bc) +  3bc =( -b- c)2 +
     4                            12          2            12 a
   a          a  36 abc
               3
 =( -b- c)2 +             >0 (vì abc=1 và a3 > 36 nên a >0 )
   2             12 a
           2
         a
 Vậy :  b2+c2> ab+bc+ac Điều phải chứng minh
         3
 2) Chứng minh rằng
  a) x 4  y 4  z 2  1  2 x.( xy 2  x  z  1)
  b) với mọi số thực a , b, c ta có
          a 2  5b2  4ab  2a  6b  3  0
   c)     a 2  2b 2  2ab  2a  4b  2  0
 Giải:
 a) Xét hiệu: x 4  y 4  z 2  1  2 x 2 y 2  2 x 2  2 xz  2 x = x 2  y 2   x  z 2  x  12 = H
                                                                                 2


 H  0 ta có điều phải chứng minh
 b) Vế trái có thể viết H = a  2b  12  b  12  1  H > 0 ta có đpcm
c) vế trái có thể viết H = a  b  12  b  12  H  0 ta có điều phải chứng minh

 * Dùng biến đổi tƣơng đƣơng
 1) Cho x > y và xy =1 .Chứng minh rằng
          x   y2 
               2
                     8
                          2


           x  y 2
Giải: Ta có              x 2  y 2   x  y   2 xy   x  y   2
                                             2                     2
                                                                               (vì xy = 1)
        x   2
                   y      x  y 
                        2 2          4
                                          4.x  y   4
                                                    2


 Do đó BĐT cần chứng minh tương đương với x  y 4  4x  y 2  4  8.x  y 2
       x  y 4  4x  y 2  4  0                 x  y  2  0
                                                               2       2


 BĐT cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh

 2) Cho xy  1 .Chứng minh rằng
                          1     1        2
                                   
                        1 x 1 y
                            2     2
                                      1  xy
 Giải:
                 1       1           2       1             1   1                1 
     Ta có                               1  x 2  1  y 2    1  y 2  1  xy   0
                                                                                     
              1 x 1 y
                   2        2
                                 1  xy                                             
        xy  x 2
                           xy  y  2
                                                       x( y  x)             y( x  y)
                                       0                                              0
   1  x .1  xy  1  y .1  xy 
         2                   2
                                                    1  x .1  xy  1  y 2 .1  xy 
                                                          2
                                                                                          
 
           y  x2 xy  1  0 BĐT cuối này đúng do xy > 1 .Vậy ta có đpcm
      1  x2 1  y 2 .1  xy 
              .
 * Dùng bất đẳng thức phụ
                                                                                                      1
 1) Cho a , b, c là các số thực và a + b +c =1 Chứng minh rằng a 2  b 2  c 2 
                                                                                                      3
 Giải: áp dụng BĐT BunhiaCôpski26cho 3 số (1,1,1) và (a,b,c)
                           19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức
     Ta có              1.a  1.b  1.c 2  1  1  1.a 2  b 2  c 2   a  b  c 2  3.a 2  b 2  c 2 
                                    1
                 a 2  b2  c2             (vì a+b+c =1 ) (đpcm)
                                    3


     2) Cho a,b,c là các số dương . Chứng minh rằng a  b  c .     9
                                                                   1 1 1
                                                                                                                    (1)
                                                         a b c
      Giải: (1)  1     1     1  9  3              9
                          a a b   b c c             a b     a c     b c
                                                                   
                          b c a   c a a           b a c a c b
                      x y
áp dụng BĐT phụ   2 Với x,y > 0. Ta có BĐT cuối cùng luôn đúng
                      y x

     Vậy a  b  c .     9
                        1 1 1
                                  (đpcm)
                      a b c
    * Dùng phƣơng pháp bắc cầu
    1) Cho 0 < a, b,c <1 .Chứng minh rằng : 2a3  2b3  2c3  3  a 2b  b2c  c 2 a
    Giải: Do a <1  a 2 <1 và b <1
    Nên 1  a 2 1  b 2   0  1  a 2b  a 2  b  0
                  .
    Hay 1  a b  a 2  b
                 2
                                      (1)
    Mặt khác 0 <a,b <1  a 2  a 3 ; b  b 3  1  a 2  a3  b3
    Vậy a 3  b 3  1 a 2 b
    Tương tự ta có
                      b3  c3  1  b 2c; a 3  c3  1  c 2 a
      2a3  2b3  2c3  3  a 2b  b2c  c 2 a                  (đpcm)

     2) So sánh 31 11 và 17 14
     Giải: Ta thấy 3111 < 3211   25   255  256
                                       11



    Mặt khác 256  24.14   24   1614  1714 Vậy 31 11 < 17 14
                                        14
                                                                                     (đpcm)
    * Dùng tính chất tỉ số
                                                           ab   bc   cd     d a
     1) Cho a ,b ,c ,d > 0 .Cminh rằng: 2                                       3
                                                          abc bcd cd a d ab
     Giải: Vì a ,b ,c ,d > 0 nên ta có
                        ab       a b    a bd
                                                                    (1)
                    a b c  d a b c a b c d
                       b  c     bc      bca
                                                                    (2)
                    a bc  d b c d a b c d
                       d a       d a     d a c
                                                                     (3)
                    a b c  d d  a b a b c d
     Cộng các vế của 4 bất đẳng thức trên ta có :
                   ab   bc   cd     d a
             2                          3                                 (đpcm)
                  abc bcd cd a d ab

     2) Cho a ,b,c là số đo ba cạnh tam giác
                                     a   b   c
     Chứng minh rằng : 1                     2
                                    bc ca ab
     Giải: Vì a ,b ,c là số đo ba cạnh của                   tam giác nên ta có a,b,c > 0
                                                           27
                  19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức
        Và a < b +c ; b <a+c ; c < a+b
            a      aa    2a
Từ (1)                
           bc abc abc
           a        a
Mặt khác       
          bc abc
             a        a   2a                                           b      b       2b
Vậy ta có                  Tương tự ta có                                     
          abc bc abc                                           abc ac abc
                                                                    c       c      2c
                                                                              
                                                                 a b c b a a b c
Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có :
                a   b   c
          1             2                   (đpcm)
               bc ca ab
* Phƣơng pháp làm trội :
1) Chứng minh BĐT sau :
       1    1                  1            1
   a)         ...                      
      1.3 3.5         (2n  1).(2n  1) 2
          1    1                 1
   b) 1             ...              2
         1.2 1.2.3           1.2.3.....n
Giải:
                        1            1  2k  1  (2k  1) 1  1     1 
a) Ta có :                           .                          
                2n  1 .  2n  1 2 (2k  1).(2k  1) 2  2k  1 2k  1 
                                                                           
Cho n chạy từ 1 đến k .Sau đó cộng lại ta có
      1    1                  1              1       2  1
             ...                       . 1                    (đpcm)
     1.3 3.5         (2 n  1).(2 n  1) 2  2 n 1  2
              1       1                1             1    1                  1
b) Ta có: 1               ...               1           ..... 
             1.2 1.2.3             1.2.3.....n      1.2 1.2.3            n  1 .n
< 1  1        ....  
          1     1 1              1   1      1
                                  2   2 (đpcm)
       2  2 3              n 1 n      n
PHẦN IV : ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC
1/ Dùng bất đẳng thức để tìm cưc trị
Kiến thức:
 - Nếu f(x)  A thì f(x) có giá trị nhỏ nhất là A
 - Nếu f(x)  B thì f(x) có giá trị lớn nhất là B
Ví dụ 1 :Tìm giá trị nhỏ nhất của :T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4|
Giải: Ta có |x-1| + |x-4| = |x-1| + |4-x|  |x-1+4-x| = 3         (1)
        Và x  2  x  3  x  2  3  x  x  2  3  x  1 (2)
Vậy T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4|  1+3 = 4
Ta có từ (1)  Dấu bằng xảy ra khi 1  x  4
           (2)  Dấu bằng xảy ra khi 2  x  3
Vậy T có giá trị nhỏ nhất là 4 khi 2  x  3
Ví dụ 2 :
Tìm giá trị lớn nhất của S = xyz.(x+y).(y+z).(z+x) với x,y,z > 0 và x+y+z =1
Giải: Vì x,y,z > 0 ,áp dụng BĐT Côsi ta có
                                                                     1         1
x+         y         +        z          3 3 xyz         3 xyz       xyz 
                                                                     3         27
                                                    28
                      19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho x+y ; y+z ; x+z ta có
      x  y  . y  z . z  x   3 3  x  y .  y  z .  x  z     2  33  x  y . y  z . z  x 
                                                    1
     Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=
                                                    3
                         8 1    8                                 8              1
         Vậy S           .      . Vậy S có giá trị lớn nhất là      khi x=y=z=
                        27 27 729                                729             3
     Ví dụ 3:          Cho xy+yz+zx = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của x  y  z
                                                                     4   4   4


     Giải: Áp dụng BĐT Bunhiacốpski cho 6 số (x,y,z) ;(x,y,z)
                   xy  yz  zx    x 2  y 2  z 2   1   x 2  y 2  z 2 
                                    2                      2                           2
     Ta có                                                                                                (1)
     Áp dụng BĐT Bunhiacốpski cho ( x , y , z ) và (1,1,1)
                                                       2  2   2


     Ta có ( x 2  y 2  z 2 )2  (12  12  12 )( x 4  y 4  z 4 )  ( x 2  y 2  z 2 )2  3( x 4  y 4  z 4 )
                                                                                 1
     Từ (1) và (2)  1  3( x 4  y 4  z 4 )  x 4  y 4  z 4 
                                                                                 3
                                                                   1               3
     Vậy x 4  y 4  z 4 có giá trị nhỏ nhất là                      khi x=y=z= 
                                                                   3              3
       Ví dụ 4 : Trong tam giác vuông có cùng cạnh huyền , tam giác vuông nào có diện
tích lớn nhất
      Giải: Gọi cạnh huyền của tam giác là 2a
              Đường cao thuộc cạnh huyền là h
              Hình chiếu các cạnh góc vuông lên cạnh huyền là x,y
                       1
      Ta có S = .  x  y  .h  a.h  a. h2  a. xy
                       2
     Vì a không đổi mà x+y = 2a. Vậy S lớn nhất khi x.y lớn nhất  x  y
 Vậy trong các tam giác có cùng cạnh huyền thì tam giác vuông cân có diện tích lớn nhất
     2/ Dùng Bất đẳng thức để giải phương trình và hệ phương trình
     Ví dụ 1:Giải phương trình: 4 3x2  6x  19  5x2  10x  14  4  2x  x2
     Giải : Ta có 3x2  6 x  19  3.( x 2  2 x  1)  16  3.( x  1) 2  16  16
           5x2  10 x  14  5.  x  1  9  9
                                             2



     Vậy 4. 3x2  6x 19  5x2 10x 14  2  3  5
     Dấu ( = ) xảy ra khi x+1 = 0  x = -1
     Vậy 4 3x2  6x 19  5x2 10x 14  4  2x  x2 khi x = -1
     Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = -1
     Ví dụ 2: Giải phương trình x  2  x2  4 y2  4 y  3
     Giải : áp dụng BĐT BunhiaCốpski ta có :
     x  2  x 2  12  12 . x 2   2  x 2   2. 2  2 Dấu (=) xảy ra khi x = 1
                                                                                                        1
     Mặt khác 4 y 2  4 y  3   2 y  1  2  2 Dấu (=) xảy ra khi y = -
                                                        2

                                                                                                        2
                                                                                      1
     Vậy x  2  x2  4 y 2  4 y  3  2                   khi x =1 và y =-
                                                                                      2
                                                                        x 1
                                                                       
     Vậy nghiệm của phương trình là                                          1
                                                                       y   2
                                                                       
                                                                  29
                                           19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức
                                                                  x  y  z 1
        Ví dụ 3:Giải hệ phương trình sau: 
                                                            x  y  z  xyz
                                                               4  4   4


        Giải: áp dụng BĐT Côsi ta có
                         x4  y 4 y 4  z 4 z 4  x4
        x y z 
           4      4        4
                                                     x2 y 2  y 2 z 2  z 2 x2
                             2          2        2
          x y y z
            2 2     2 2
                          z y z z
                            2 2     2 2
                                          x z  y2 x2
                                           2 2
                                      
                2               2              2
 y xz  z xy  x yz  xyz.( x  y  z )
   2      2       2


                                                                                                 1
        Vì x+y+z = 1) Nên x 4  y 4  z 4  xyz Dấu (=) xảy ra khi x = y = z =
                                                                                                 3
                         x  y  z 1                                        1
        Vậy                                    có nghiệm x = y = z =
                  x  y  z  xyz
                      4        4       4
                                                                              3
                                           xy  4  8  y 2                          (1)
        Ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau 
                                           xy  2  x
                                                        2
                                                                                      (2)
        Từ phương trình (1)  8  y 2  0 hay y  8
        Từ phương trình (2)                      x2  2  x . y  2 2 x
                       x 2  2 2 x  22  0  ( x  2)2  0  x  2  x   2
        Nếu x = 2 thì y = 2 2
        Nếu x = - 2 thì y = -2 2
                                                             x 2
                                                                                    x2 2
                                                                                    
        Vậy hệ phương trình có nghiệm                                      và      
                                                            y   2
                                                                                    y  2 2
                                                                                    
        3/ Dùng BĐT để giải phương trình nghiệm nguyên

        Ví dụ 1: Tìm các số nguyên x,y,z thoả mãn x 2  y 2  z 2  xy  3 y  2 z  3
        Giải: Vì x,y,z là các số nguyên nên x 2  y 2  z 2  xy  3 y  2 z  3
                                                       2       y2   3y2           
                x  y  z  xy  3 y  2 z  3  0   x  xy    
                      2        2       2
                                                                            3 y  3    z 2  2 z  1  0
                                                               4   4              
                                   2            2
                     y     y 
                 x    3   1   z  1  0
                                              2
                                                                            (*)
                     2     2 
                                   2            2

        Mà  x    3   1   z  1  0
                y        y              2
                                                                    x, y  R
               2     2 
                                   2            2
                     y     y 
                 x    3   1   z  1  0
                                              2

                     2     2 
                     y
                 x  2  0
                              x 1
                 y           
                 1  0   y  2
                 2           
                  z 1  0    z 1
                 
                 


                                                                   30
                         19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức
                                x 1
                               
      Các số x,y,z phải tìm là  y  2
                                z 1
                               
                                                             1 1 1
    Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình           2
                                                             x y z
     Giải: Không mất tính tổng quát ta giả sử     x yz
                 1   1   1   3
      Ta có 2      2 z  3
                 x   y   z   z
                                                                                1 1
      Mà z nguyên dương vậy z = 1. Thay z = 1 vào phương trình ta được            1
                                                                                x y
                                  1 1  1
      Theo giả sử x  y nên 1 =        y  2 mà y nguyên dương
                                  x y  y
     Nên y = 1 hoặc y = 2
     Với y = 1 không thích hợp
     Với y = 2 ta có x = 2
     Vậy (2 ,2,1) là một nghiệm của phương trình
     Hoán vị các số trên ta được các nghiệm của phương trình là (2,2,1);(2,1,2); (1,2,2)
     Ví dụ 3:Tìm các cặp số nguyên thoả mãn phương trình x  x  y (*)
     Giải:
    (*) Với x < 0 , y < 0 thì phương trình không có nghĩa
    (*) Với x > 0 , y > 0
       Ta có x  x  y  x  x  y 2  x  y 2  x  0
       Đặt x  k (k nguyên dương vì x nguyên dương )
     Ta có k.(k  1)  y 2
     Nhưng k 2  k  k  1   k  1  k  y  k  1
                                      2


     Mà giữa k và k+1 là hai số nguyên dương liên tiếp không tồn tại một số nguyên
dương nào cả
     Nên không có cặp số nguyên dương nào thoả mãn phương trình .
                                                  x  0
      Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là : 
                                                  y  0
      Bài tập đề nghị :
                                                  a   b   c  1 1 1
      Bài 1:Chứng minh rằng với mọi a,b,c > 0 :             
                                                  bc ac ab a b c
        HD : Chuyển vế quy đồng mẫu đưa về tổng bình phương các đẳng thức.
                                          1   1   1            1
      Bài 2:Chứng minh bất đẳng thức :              ..           1   (n  N *)
                                         1.2 2.3 3.4        n(n  1)
                  1     1   1
        HD:             
              k (k  1) k k  1

      Bài 3: Cho a, b. c > 0 và a + b + c  1. Cmr : 1  1  1    64
                                                         1     1     1
                                                                  
                                                     a  b  c 
      HD : Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 1   , 1   , 1  
                                                 1        1        1
                                                                
                                              a  b  c
      Bài 4 : Cho a  c  0, b  c  0 . Cmr   : c(a  c)  c(b  c)  ab
                                             31
                             19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức
                                                    c ac c bc
        HD : Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho                   ,         , rồi cộng hai vế theo vế.
                                                    b a           a b
                                                     a2         b2
        Bài 5: Cho a, b >1. Tìm GTNN của S =               
                                                    b 1 a 1
                                                   a2 b2
        HD : Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho             ,         và xét trường hợp dấu “=” xảy ra .
                                                  b 1 a 1
                                                3  8 x 2  12 x 4
        Bài 9 : Tìm GTLN và GTNN của y =
                                                   (1  2 x 2 ) 2
                       1                
        HD: Đặt x=        tg ,     , 
                        2              2 2
                                             15                   25
        Bài 10: Cho 36x 2 16 y 2  9. Cmr :  y  2 x  5 
                                              4                    4
                        1
                    x  2 cos
        HD: Đặt : 
                          3
                    y  sin 
                         4
        Bài 11: Cmr : 1  1  x 2  (1  2 1  x 2 ), x   1,1
                                        x
                                        2
                                        
        HD : Đặt x = sin 2 ,    , 
                                      4 4
                                     
        Bài 12: Cho a, b  0, c  1 . Chứng minh rằng: a 2  b 2  c 2  1  a 2 b  b 2 c  c 2 a
        Bài 13: Cho  ABC có a, b, c là độ dài các cạnh. Chứng minh rằng:
a b(a  b)  b 2 c(b  c)  c 2 a(c  a)  0
 2


                                                                        an  bn  a  b 
                                                                                            n
        Bài 14: Cho n  ,1  n, a, b  0 . Chứng minh rằng                           
                                                                           2     2 
                                                                    n
        Bài 15: n  ,2  n . Chứng minh rằng:                    1
                                                        2  1      3
                                                                  n
                                                  1 tg 3x
        Bài 16: Có tồn tại      xR    sao cho:          3?
                                                  3 tgx
     Bài 17: Cho  ABC có diện tích bằng 4 (đơn vị diện tích). Trên các cạnh BC, CA,
AB lấy lần lược các điểm A‟, B‟, C‟. Chứng minh rằng: Trong tất cả các tam giác AB‟C‟,
A‟BC‟, A‟B‟C có ít nhất 1 diện tích nhỏ hơn hay bằng 1(đơn vị diện tích)




                                                        32

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Tags:
Stats:
views:4658
posted:6/17/2011
language:Vietnamese
pages:32