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MATHEMATIQUES_terminale_PROBABILITES_arrangement

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					                  COURS DE MATHEMATIQUES
                                           e      e
               Fichier .pdf du cours en vid´o du mˆme nom




                                e
                  Les probabilit´s

                          Arrangement
   Ce cours porte exclusivement sur la notion d’arrangement relative au
 e                            e
d´nombrement et aux probabilit´s.


1         e e e
      L’id´e g´n´rale
        e                  e e
   Le d´nombrement d’un ´v´nement n’est autre que le calcul du nombre de
     u e e               ee
cas o` l’´v´nement consid´r´ peut se produire.
             e      e e                                        u e e
La probabilit´ d’un ´v´nement correspond au nombre de cas o` l’´v´nement
      ee                         e
consid´r´ peut se produire, divis´ par le nombre total de cas.


2          e
      La th´orie
2.1   Le n-uplet
   Soit n ∈ N , et E un ensemble fini.
                         e          ee
Un n-uplet, aussi appel´ n-liste, d’´l´ments de E est une liste ordonn´e
                                                                       e
       e
de n el´ments de E, distincts ou confondus.
                                            `                            e
L’ensemble de tous les n-uplets est E n ; a noter qu’un 2-uplet est appel´
                                 e
couple et qu’un 3-uplet est appel´ triplet.


                                    1
2.2    L’arrangement
   Soit n ∈ N , et E un ensemble fini.
                        ee                               e ee
Un arrangement de n ´l´ments de E est un n-uplet constitu´ d’´l´ments
distincts de E.

2.3    Le nombre d’arrangements
   Soient p ∈ N et n ∈ N tels que 0 ≤ p ≤ n.
Soit E un ensemble fini de cardinal n.
                                 e              e n            e
Le nombre d’arrangements de p el´ments de E, not´ Ap , est donn´ par :
                                                       n!
                  Ap = n(n − 1) ... (n − p + 1) =
                   n
                                                    (n − p)!


3     Attention !
    Il ne faut pas confondre arrangement et combinaison.


4     Les astuces
                                                          e
   La question “combien y a-t-il d’arrangements” peut ˆtre traduite par
                        c                       ee                  ee
“combien y a-t-il de fa¸ons de tirer au sort p ´l´ments parmi n ´l´ments,
                                                   ee          e
sans remise et avec prise en compte de l’ordre des ´l´ments tir´s”.




                                     2
5     Exercices pratiques
5.1    Exercice 1
                                         e
   Sur la piste d’un cirque sont dispos´s 5 socles. Quand les 3 tigres vont
                                         c           e
entrer en piste, combien auront-ils de fa¸ons de se r´partir sur les 5 socles?

   Soit E l’ensemble des socles.
      e                          `                              e
Une r´partition possible revient a installer, dans un ordre pr´cis, les 3 tigres.
                                          e
Compte tenu de la notion d’ordre, une r´partition possible correspond donc
`                       ee
a un arrangement de 3 ´l´ments parmi 5.
                     e                                                          e
Soit ξ le nombre de r´partitions possibles des tigres sur les socles, ξ est donn´
par :
                                        5!       5!
                            ξ = A3 =
                                 5            =
                                     (5 − 3)!    2!
                                  5 × 4 × 3 × 2!
                              ξ=
                                        2!
                              ξ = 5 × 4 × 3 = 60

                                                       e
Quand les 3 tigres vont entrer en piste, il y aura 60 r´partitions possibles des
tigres sur les 5 socles.




                                       3
5.2    Exercice 2
                                     e
    7 amis sont en vacances. Pour d´signer respectivement celui qui fait le
  e
m´nage, la cuisine, les courses et la vaisselle, ils tirent au sort. Une urne
                                   e
contient donc 7 papiers (un par pr´nom).
                        e                           a
Combien existe-t-il de r´partitions possibles des tˆches?

                            e
    Soit E l’ensemble des pr´noms.
      e                        a             `                         e
Une r´partition possible des tˆches revient a tirer, dans un ordre pr´cis, 4
  e                                                        e
pr´noms parmi 7. Compte tenu de la notion d’ordre, une r´partition possible
     a                      `                       ee
des tˆches correspond donc a un arrangement de 4 ´l´ments parmi 7.
                     e                          a                e
Soit ξ le nombre de r´partitions possibles des tˆches, ξ est donn´ par :
                                       7!      7!
                          ξ = A4 =
                               7             =
                                    (7 − 4)!   3!
                               7 × 6 × 5 × 4 × 3!
                           ξ=
                                       3!
                          ξ = 7 × 6 × 5 × 4 = 840

                 e                                 a
Il y a donc 840 r´partitions possibles des quatre tˆches parmi les 7 amis.




                                      4
5.3    Exercice 3
            e
    Au tierc´, une course compte 20 partants. Combien peut-il y avoir de
 e                          e
r´sultats possibles de tierc´s dans l’ordre?

    Soit E l’ensemble des partants.
     e                       e         `                           e
Un r´sultat possible de tierc´ revient a choisir, dans un ordre pr´cis, 3 chevaux
                                                              e
parmi 20 partants. Compte tenu de la notion d’ordre, un r´sultat possible de
     e                   `                         ee
tierc´ correspond donc a un arrangement de 3 ´l´ments parmi 20.
                     e                           e                          e
Soit ξ le nombre de r´sultats possibles de tierc´s dans l’ordre, ξ est donn´ par :
                                        20!      20!
                          ξ = A3 =
                               20              =
                                     (20 − 3)!   17!
                                20 × 19 × 18 × 17!
                            ξ=
                                        17!
                           ξ = 20 × 19 × 18 = 6840

                                                             e
A l’occasion d’une course comptant 20 partants, il y a 6840 r´sultats pos-
               e
sibles de tierc´s dans l’ordre.




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5.4    Exercice 4
                         e                               e
   Un ordinateur doit d´coder un mot de passe de 7 caract`res distincts
                                 e
parmi un catalogue de 12 caract`res disponibles.
                              e
Combien y a-t-il de possibilit´s?

                                 e
    Soit E l’ensemble des caract`res disponibles.
               e        `                           e            e
Une possibilit´ revient a choisir, dans un ordre pr´cis, 7 caract`res parmi
                                                     e                 `
12. Compte tenu de la notion d’ordre, une possibilit´ correspond donc a un
                  ee
arrangement de 7 ´l´ments parmi 12.
                              e             e
Soit ξ le nombre de possibilit´s, ξ est donn´ par :
                                      12!      12!
                        ξ = A7 =
                             12              =
                                   (12 − 7)!    5!
                       12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5!
                  ξ=
                                      5!
               ξ = 12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 = 3.991.680

                                                             e        e
L’ordinateur doit donc tester au maximum 3.991.680 possibilit´s pour d´coder
le mot de passe.




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