Principes de l emprunt

					Terminale S : suites géométriques, devoir à la maison


                            Principes de l'emprunt immobilier.

1. Description des principes de l'emprunt immobilier.

Vous souhaitez acheter ou construire une maison. Bien souvent vous n'avez pas à votre
disposition la totalité de la somme nécessaire. La somme dont vous disposez s'appelle l'apport
personnel que vous allez devoir compléter par une somme empruntée auprès d'un organisme
de crédit (banque ou autre). Nous supposerons par la suite que l'organisme est une banque.
La banque n'a d'autres intérêt (en première lecture) à vous prêter de l'argent que de vous faire
payer, justement, des intérêts sur cette somme empruntée, intérêts qui dépassent en montant
les frais divers occasionnés par la gestion de ce prêt.
Une fois le montant du prêt (qu'on appelle le capital), le taux d'intérêt et le nombre de
mensualité définis, la banque calcule un plan de remboursement décrit comme suit :
Chaque mois vous devrez rembourser une même somme d'argent appelée mensualité (les
mensualités sont fixes).

Une mensualité se décompose en deux. Tout d'abord, elle comporte le remboursement des
intérêts générés par le montant du capital qui vous reste à rembourser, pendant le mois
précédent. Le reste est le remboursement d'une partie du capital.

Ainsi, au début du remboursement, vous payez un maximum d'intérêts puisque la part du
capital restant à rembourser est maximale. Plus le temps passe et plus la part de
remboursement du capital augmente dans les mensualités : vous aurez l'occasion de constater
le phénomène lors des applications numériques de la fin de ce problème.

Remarque : dans un plan de remboursement, les quatre éléments suivants sont liés : montant,
taux, durée et mensualité. Partant de trois d'entre eux on trouve le quatrième. Ainsi on peut se
fixer un montant de mensualité à ne pas dépasser et jouer sur la durée pour obtenir le montant
dont on a besoin : il faudra néanmoins calculer le coût du crédit (c'est à dire la différence entre
ce que vous remboursez et ce que vous empruntez) qui amènera peut-être à voir le capital à la
baisse pour réduire la durée et donc le coût du crédit.

2. Mise en équation du problème :

On appelle E le capital emprunté, m le montant d'une mensualité et t le taux de l'emprunt. Au
mois n la mensualité se décompose donc ainsi :
                                          m = C(n) + I(n)
I(n) est le montant des intérêts à payer à la mensualité n.
C(n) est le montant du capital que vous remboursez lors de cette mensualité n.

                                      ⎛       t ⎞
Ainsi on a :                 I (1) = ⎜ 1 +       ⎟× E
                                      ⎝      12 ⎠
En effet, lors du premier mois, les intérêts courent sur la totalité du capital. On prend le
douzième du taux car les intérêts n'ont courus que sur un mois alors que le taux t est un taux
annuel.

                                                              N
D'autre part, si N est le nombre total de mensualités, on a   ∑ C (n) = E .
                                                              n =1




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En effet, lorsque toutes les mensualités sont payées, le capital est remboursé dans sa totalité.

Appelons D(n) le montant du capital restant à rembourser au mois n avant le paiement de la
mensualité. On a alors la relation :
                                     D(n+1) = D(n) - C(n)

En effet à la mensualité n vous avez remboursé une partie du capital à savoir C(n) qui se
déduit donc du capital à rembourser.

On a également la relation :
                                                 t
                                          I (n) =  × D (n)
                                                12
En effet, le montant des intérêts à rembourser à la mensualité n se calcule sur la base du
montant du capital qui vous reste à rembourser.

                                          - Résumons-nous -

Bilan des relations :
Nous avons deux relations que l'on peut qualifier de condition aux limites (par analogie avec
la physique) puisqu'elles font intervenir le montant emprunté :

                                                ⎛      t ⎞
                                        I (1) = ⎜ 1 +    ⎟× E
                                                ⎝     12 ⎠

Nous avons deux relations de dépendance (linéaires) entre les différentes quantités :
m = C(n) + I(n)

           t
I (n) =      × D (n)
          12

Et pour finir nous avons une relation de récurrence : D(n+1) = D(n) - C(n)

Cela fait un total de cinq relations.

                                        - Bilan des inconnues -

Les inconnues sont m, C(n), D(n), I(n). On rappelle que E, N et t sont donnés.


3. A vous de jouer.

A l'aide des relations (3), (4) et (5), trouvez une relation de récurrence liant C(n+1) et C(n).
Idem pour I(n+1) et I(n), D(n+1) et D(n).

A l'aide de la relation de récurrence suivante, trouvez les relations qui vous manquent à la
question précédente (si vous n'avez pas su la traiter) :
                                               ⎛     t ⎞
                                  C ( n + 1) = ⎜1 +    ⎟ × C (n)
                                               ⎝    12 ⎠



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Exprimez C(n) en fonction de n, t et C(1).

Calculez E en fonction de C(1) à l'aide de la formule (2). Déduisez en C(1) en fonction de E, t
et N puis C(n) en fonction de E, t, n et N.

Calculez m en fonction de E, t et N à l'aide de C(1) et I(1).

Calculez I(n) et D(n) en fonction de E, t, n et N.

Calculez le coût du crédit.


4. Application numérique.

Vous voulez emprunter 500 000 F sur 15 ans à un taux de 5,1 % :
Calculez la valeur de la mensualité ainsi que les parts de remboursement des intérêts et du
capital pour les trois premières et les trois dernières mensualités ainsi que le coût du crédit.
Calculez le nouveau coût du crédit si le taux est de 5,2 % puis 5,5 %.

Si le montant maximal des mensualités que je suis prêt à supporter est de 4500 F, quel est la
somme maximale que je puisse emprunter à un taux de 5,1 % sur 15 ans, sur 12 ans et 10 ans.

Bon, j'arrête là pour les applications numériques (qui se prêtent bien à la réalisation d'un ou
plusieurs programmes sur votre calculatrice) mais vous pouvez en trouver d'autres qui vous
apprendrons un foule de choses intéressantes sur le fonctionnement d'un crédit.




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