Docstoc

mtk kmtt

Document Sample
mtk kmtt Powered By Docstoc
					                                     TRIGONOMETRI


A.Trigonometri dua sudut

**Sudut Istimewa

                       00           300               450             600     900
Sin

                       0                                                            1

Cos
                            1                                                       0

Tan
                            0                         1




**Rumus Sin, Cos, Tan.



                   r

                                x         Sin                 cosec     =


                                                Cos               sec


                                                            Tan             cotan




Rumus Phytagoras r2 = x2 + y2

Sin2   + cos2   =1


                                                1
Tan2     + 1 = sec2

1+ cotan2       = cosec2


**Hubungan sudut-sudut yang berelasi


                                               900
                        II                                     I

                      Sin          Cos                      Semua (+)

                              (+)
            0
       180                                                              00 /
                                                                        3600
                      III                                      IV

                  Tan        cotan                      cos sec

                             (+)              2700             (+)




**Rumus Jumlah dan Selisih Sudut :

       Sin (        ) = sin         cos     + cos     sin

       Sin (        ) = sin         cos     - cos     sin

       Cos (           ) = cos       cos     - sin    sin

       Cos (        ) = cos          cos     + sin     sin


       Tan (           )=



       Tan (        )=




                                                               2
Contoh 1.:

Hitunglah nilai eksak dari sin 150 !

Jawab :

sin 150 = (450 – 300)

       = sin 450 cos 300 – cos 450 sin 300

       =          .          -       .     =           -

Contoh 2.:

Hitunglah nilai eksak dari tan 750 !

Jawab :

Tan 750 = tan (450 + 300)

          =


       =


       =              .


       =

          =



**Sudut Rangkap :

Apabila       =       atau       =

   1. Sin (                ) = sin       cos    + cos       sin

      Sin (               ) = sin    cos       + cos       sin

              Sin 2 = 2 sin              cos


                                                                  3
   2. Cos (         ) = cos    cos      - sin      sin

      Cos (       ) = cos     cos      - sin      sin

          Cos 2 = Cos2        – sin2


   3. Tan (         )=



      Tan (       )=                                         Tan   =



              Tan 2 =




Contoh 1.:

Bentuk cos 6x ekivalen dengan…

Jawab :

Cos 6x = cos2 3x – sin2 3x

       = 1 – 2 sin2 3x



**Identitas Trigonometri

   Cos2 + sin2      =1

  Dari phytagoras

   x2 + y2 = r2

x = r cos , y = r sin

   (r cos )2 + (r sin )2 = r2


                                                : r2



                                                         4
Karena cos2        = 1 – sin2

Maka cos 2 = cos2             - sin2      ……(1)

                 = 1 – sin2      - sin2

      Cos 2 = 1 – 2 sin2                ……(2)

Dari identitas

   Sin2     = 1 – cos2

   Cos 2 = cos2             - (1 – cos2 )

     Cos 2 = 2 cos2             -1      ……(3)



Sudut Tengah :

Cos 2 = 1 – 2 sin2

      Sin        =?

          2 sin2      = 1 – cos 2


            Sin2      =



           Sin                               sin



                                           Cos              =




**Rumus Jumlah dan Selisih Sinus dan Cosinus :

*Bila sin (               ) dan sin (           ):

dijumlah : sin (              ) = sin     cos        + cos   sin



                                                                 5
                                                               +


dikurang : sin (           ) = sin     cos    + cos      sin

                                                                   -




*Bila cos (           ) dan cos (        ):

dijumlah : cos (           ) = cos     cos    - sin     sin

                                                                   +



dikurang :    cos (          ) = cos    cos     - sin    sin

                                                                       -


Dapat diperoleh :

2 sin   cos   = sin ( + ) + sin ( - )

2 cos   sin   = sin ( + ) – sin ( - )

2 cos   cos    = cos ( + ) + cos ( - )

2 sin   sin   = cos ( - ) – cos ( + )



Contoh 1.:

2 sin 15 . cos 75 = sin (15 + 75) + sin (15 – 75)

                        = sin 90 - sin 60

                        =1-




                                                          6
       Mengubah rumus jumlah dan selisih sinus dan cosines menjadi rumus kali sinus dan
cosines :


* sin A + sin B = 2 sin               cos


* sin A – sin B = 2 cos                 sin


* cos A + cos B = 2 cos                  cos


* cos A – cos B = - 2 sin                sin


* tan A + tan B =           +


                 =


                 =


             =                                      =




Contoh 1.:


Sin 2x + sin 6x = 2 sin                       cos


                 = 2 sin          cos


                 = 2 sin        cos


                 = 2 sin        cos

Contoh 2.:

                                                        7
sin 75 - sin 15 = 2 cos                 sin

                  = 2 cos 45 . sin 30

              = 2.         .


              =



** Mengubah koordinat cerisius kedalam koordinat polar/ kutub

     y            A(x,y)



                  x



diket :

x = R cos

y = R sin


R=

Tan       =        = arc.tan

A (x,y)  A (R, )




Contoh 1.: A(1,1)

Ubahlah kedua koordinat polar/ kutub :

x = 1, y =  R =               =

                                              8
tan   =          = arc tan (1) = 45


          A (1,1)  A(              , 45 )

Begitu sebaliknya

A(    , 45 )  R =          ,    = 45


                  x = R cos      x=          cos 45 =       .   =1


                  y = R sin      y=          sin 45 =       .   =1

                    A(      , 45 )  A(1,1)



Contoh 2.: A(        , 1)

Ubahlah kedalam koordinat polar/ kutub :


x=        ,y=1R=

                      =

                      =         =2




tan   =


      =       .


      =


      = tan 30


                                                         9
A(2, 30 )



ATURAN SINUS

                C

    b                 a



A           D             B

            c

pada        ABC terdapat       ACD


Sin A =              CD = AC sin A

                     CD = b sin A ……(1)

Sin B =              CD = BC sin B

                     CD = a sin B ……(2)

Substitusi 1 dan 2


        =             ……(3)


Lihat     ABF


Sin A =              BF = AB sin A

                     BF = c sin A ……(4)

Sin C =              BF = BC sin C

                     BF = a sin C ……(5)

Substitusi 4 dan 5

                                          10
        =           ……(6)




Lihat     ABE


Sin B =      AE = c sin B ……(7)


Sin C =      AE = b sin C ……(8)

b sin C = c sin B


        =           ……(9)


Dari persamaan 3, 6, dan 9 diperoleh aturan sinus..


        =           =       ……(10)




ATURAN COSINUS


                C

        b           a



 A          D           B
            c

Sin A =      CD = b sin A ……(1)


Sin A =          AD = b cos A ……(2)

                                               11
BD = AB – AD ……(3)

BD = c – b cos A……(4)

BC2 = CD2 + DB2 ……(5)



Substitusikan 5 oleh persamaan 1 dan 4

a2 = (b sin A)2 + (c- b cos A)2

a2 = b2 sin2 a + c2 – 2bc cos A + b2 cos2 A

a2 = b2 (sin2 A + cos2 A) + c2 – 2bc cos A

a2 = b2 – 1 + c2 – 2bc cos A

a2 = b2 + c2 – 2bc cos A

b2 = a2 + c2 – 2ac cos B

c2 = a2 + b2 - 2 ab cos C



Aturan Cosinus

Menghitung luas      tidak beraturan dengan dua sisi dan satu sudut diketahui :


L    ABC =     . alas . tinggi


L    ABC =     . AB. CD


         =   .c. b. sin A


L    ABC =     . b. c. sin A


L    ABC =     . a. b. sin C


L    ABC =     . a. c. sin B


                                                12
 Menghitung luas       dengan aturan HERON


     Luas     ABC = L      ABC =     . b. c. sin A ……(1)

Menurut heron :

    a + b + c = 2s, s = perimeter ……(2)

Identitas Trigonometri

   Cos2 A + sin2 A = 1 ……(3)

    Sin2 A = 1 – cos2 A ……(4)

   Sin2 A = (1 + cos A) (1 – cos A) ……(5)




Aturan Cosinus :


   cos A =                  ……(6)


   sin A =


          =


      =

a + b + c = 2s

a + b + c – 2a = 2s – 2a = 2 (s-a)

a + b + c – 2b = 2s – 2b = 2 (s-b)

a + b + c – 2c = 2s – 2c = 2 (s-c)



                                               13
Sin2 A =


Sin2 A =



Sin A =



       =


    Luas       ABC menurut HERON :


L     ABC =      .b.c.


L     ABC =

B. Penggunaan Rumus Trigonometri Dua Sudut



    a cos x + b sin x = c

bentuk tersebut dapat diubah menjadi

k cos ( – ) = c


    cos ( – ) =


           1     atau    -1      +1


k=


tan    =         = arc. tan




                                         14
*Bila sin nx = sin


            x=




Contoh 1.:

Diketahui :

  Cos A + sin x = 1,

data internal 0      x   360

jawab : k =              =


           tan   =   =1       = arc. tan 1 = 45


            cos (x – ) = c = 1


      cos (x – ) =       =


     cos (x – ) =              = cos 45


x–     =


                                   k      B




x–     =




                                                   15
k = 0, x =            90 + k.360

                      0 + k.360



k = 1, x =          450

                   360



k = 2, x =          810

                     720         dst……

Hp =

Atau 0       x   360  Hp =



Contoh 2.:

Diketahui persamaan Trigonometri

   cos 6x – sin 3x = 0

dalam internal 0      x    360

Jawab : 1- 2 sin2 3x – sin 3x = 0

             2 sin2 3x = sin 3x – 1 = 0

       (2 sin 3x – 1) (sin 3x + 1) = 0

       2 sin 3x – 1 = 0  sin 3x =        = sin 30


                            3x =                     30 + k.360

                                                 (180 - 30 ) + k.360




                                                     16
                         x=




Sin 3x = -1 = sin 270


                   x=




          k = 0  x = 10 , 50 , 90 , -30

        k = 1  x = 130 , 170 , 210 , 90

        k = 2  x = 250 , 290 , 330 , 210

        k = 3  x = 390 , 410 , 630 , 330

 Hp =




                                            17
                                             LINGKARAN



                      Y                             L = πr2

                                                   K = 2πr = πd



                          d

              r                   X



                                      pusat lingkaran O (0,0)



Memiliki R = 3

P = (0,0)

Persamaan lingkaran

   I.   x2 + y2 = R2

        x2 + y2 = 32

        x2 + y2 = 9

  II.   p (a,b)       R

        (x-a)2 + (y-b)2 = R2

 III.   persamaan ke II dijabarkan :

         (x-a)2 + (y-b)2 = R2

         x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 – R2 = 0



         x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – R2 = 0

                  A           B   C

            x2 + y2 + Ax + By + C = 0

                                                   18
          Bentuk umum persamaan lingkaran

x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – R2 = 0

 -2a = A  a =


 -2b = B  b =

a2 + b2 – R2 = C  R2 = a2 + b2 – C

   R2 =            2
                       +           2
                                       =C

               2               2
      =            +               –C


      =



    R=


    R=

    x2 + y2 + Ax + By + C = 0

    p                        ,R=




   A. Kedudukan titik terhadap lingkaran

               y                            persamaan lingkaran :

                                                 x2 + y2 = R2

                           T (p,q)                titik T(p,q) seperti pada gambar :

                   P (0,0)                   x        kedudukan titik T(p,q) pada lingkaran




                                                         19
Contoh :

     x2 + y2 = 25

 T(3,4) kedudukan terhadap lingkaran ?

Persamaan linkaran = x2 + y2 = 25

  R = 5 , p(0,0),
kedudukan titik T(3,4)  32 + 42 = 25

                            9 + 16 = 25

Kesimpulan :

T(3,4) pada lingkaran x2 + y2 = 25

T(-        , 4) pada lingkaran x2 + y2 = 25

T(     ,       ) pada lingkaran x2 + y2 = 25




                  y                            x2 + y2 = R2 , R = jari-jari = p(0,0)

                  T(p,q)                       T(p,q)  x2 + y2 = R2

                      R                                  p 2 + q2   R2

                  p(0,0)           x           T(p,q) terletak didalam lingkaran




Contoh soal :

 Diketahui persamaan lingkaran x2 + y2 = 25

 Kedudukan titik T(1,3), T(3,2)
T( , 2) terhadap lingkaran.


                                                    20
     x2 + y2 = 25

     12 + 32 = 10       25                                                                            T(1,3)
     terletak didalam lingkaran.

     32 + 22 = 13       25                                                                            T(3,2)
     terletak didalam lingkaran

     (    )2 + 22 = 7        25                                                                  T(      , 2)
     terletak didalam lingkaran



1.    Persamaan lingkaran
     adalah tempat kedudukan titik_titik yang mempunyai jarak sama (jari-jari) terhadap titik
     tertentu (pusat).




     a.    Pusat O(0,0) dengan jari-jari = r                                                           Titik
          P(x,y) sembarang pada lingkaran

                     P(x,y)

                              Lihat ∆ OQP x2 + y2 = r2



     b.   Pusat M(p,q) dengan jari-jari = r

                                                    Jika lingkaran x2 + y2 = r digeser p satuan

                 q                     M(p,q)        ke kanan dan q satuan ke atas (p dan q

                 r                                  positif), maka (x-p)2 + (y-q)2 = r2

                                                    atau :

             o       r             p       x        x2 + y2 + Ax + By + C = 0



                         P=            A       q=    B       r=

                                                         21
Contoh :

   1.      Tentukan persamaan lingkaran dibawah ini :

        a. *Pusat O (0,0) dan r = 3

            x2 + y2 = 32

            x2 + y2 = 9

             *Pusat O (0,0) dan r = 7

            x2 + y2 = 72

            x2 + y2 = 49



        b.Pusat O (0,0) pada lingkaran melalui titik (4,6)

            x2 + y2 = r2

            42 + 62 = r2

            16 + 36 = r2

                   r2 = 52

            jadi, x2 + y2 = 52

        c. AB2 = (xb – xa)2 + (yb – ya)2

                   = (6-0)2 + (8-0)2

                   = 100

              AB = 10

              r=       AB


                   =   . 10

                =5



           Pusat M(p,q)

                                                 22
      p=


    =

        =3



     q=


        =

        =4

 Persamaan lingkaran :

 (x-3)2 + (y-4)2 = 52

 (x-3)2 + (y-4)2 = 25



2. Tentukan persamaan lingkaran dibawah ini yang berpusat di (2,5) :

   a. Berjari-jari 4cm

        Persamaan lingkaran :

        Pusat (2,5) dan r = 4

        (x-2)2 + (y-5)2 = 42

        (x-2)2 + (y-5)2 = 16

   b. Lingkaran menyinggung sumbu x  r = 5

        Persamaan lingkaran :                      y

        (x-2)2 + (y-5)2 = 52              5


        (x-2)2 + (y-5)2 = 25              0    2            x




                                          23
     c. Pusat (2,5)                                                                         y

         Lingkaran menyinggung sumbu y  r = 2                                                      5


         Persamaan lingkaran : (x-2)2 + (y-5)2 = 22

                                  (x-2)2 + (y-5)2 = 4                                   0       2       x

3.     Tentukan pusat dan jari-jari dibawah ini pada persamaan lingkaran :

     a. (x-2)2 + (y+1)2 = 9

         Persamaan lingkaran : pusat (p,q) dan jari-jari = r

         (x-p)2 + (y-q)2 = r2                         y

         (x-2)2 + (y+1)2 =                            -1
                                                           0    2
                                                                                x

         Pusat (2, -1) dan jari-jari r = 3

     b.x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0

         persamaan lingkaran :

         pusat (p,q) dan jari-jari = r                                  y

         x2 – y2 + Ax + By + C = 0                             -2
                                                                    0       1
                                                                                    x

         x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0

        p=            =    =1


        q=            =   = -2


        r=

          =3

     Jadi, pusay (1, -2) dan jari-jari = 3

4. tentukan persamaa lingkaran dengan pusat O dan menyinggung garis :

               r                 5x + 12y – 39 = 0

             O(0,0)




                                                 24
   Jarak titik (x1 , y1) ke garis = ax +by + c = 0

   d=R=


     =


          =

          =3

   Jadi, persamaan lingkaran = x2 + y2 = 32

                                = x2 + y2 = 9

5. Tentukan titik potong x2 + y2 – 4x – y – 12 = 0 , dengan :

   a. Sumbu x  y = 0

         x2 + y2 -4x – y – 12 = 0

         x2 – 4x – 12 = 0

         (x-6) (x+2) = 0

         X = 6  (6,0)

         X = -2  (-2,0)

         Jadi titik potong dengan sumbu x adalah (-2,0) dan (6,0)

   b. Sumbu y  x = 0
         x2 + y2 – 4x – y – 12 = 0
         02 + y2 – 4. 0 – y – 12 = 0
         y2 – y – 12 = 0
         (y-4) (y+3) = 0
         y-4 = 0 atau y+3 = 0
         y=4          y = -3
   c. Titik potong dengan garis y = x
         x2 + x2 – 4x – x – 12 = 0

                                                25
           2x2 – 5x – 12 = 0
                dan
           y2 – y2 – 4y – x – 12 = 0
           2y2 – 5y – 12 = 0
           2x2 – 8x + 3x – 12 = 0
           2x (x-4) + 3 (x-4)
                (x-4) (2x +3)
                      x = 4  y = 4 (4,4)

                    x=     y=


                =


               Jadi titik potong dengan garis y dan x adalah   dan (4,4)



   B. Akar-akar Persamaan


 Ax2 + bx + c = 0
Memiliki akar-akar x1 dan x2
  Bila akar-akar

    x1 , 2 =


     x1 =


      x2 =

jumlah akar-akar



                                                 26
  x1 + x2 =          +


 x1 + x2 =


             =   =


   x1 + x2 =




Hasil kali


   x1 . x2 =



         =


  x1 . x2 =


         =


         =


         =


 x1 . x2 =




                         27
C.   Persamaan Garis Singgung



                      Garis singgung

          y1
                      Q
          0      x1

                          L = x2 + y2 = r2



              Lihat ∆ OQP

          mop = tan         POQ


                 =


              Garis g       OP


               Mg =            =      =




               Persamaan garis singgung g

               y – y1 = mg . (x - x1)

          y – y1 =            (x – x1)

               yy1 – y12 = - xx1 + x12

               xx1 + yy1 = x12 + y12 …… (1)

              P(x1 . y1) pada lingkaran L x2 + y2 = r2 …… (2)

               x12 + y12 = r2

               substitusikan (2) ke (1)

               xx1 + yy1 = r2


                                               28
contoh :

   1.      Tentukan persamaan gari singgung

        x2 + y2 = 13 dititik P(3, -2)

        jawab :

        kuasa titik P(x1,y1) terhadap lingkaran = x2 + y2 = r2

        kp = x12 + y12 – r2

        kuasa titik P(3,-2) terhadap lingkaran = x2 + y2 = 13

        kp = 32 + 22 – 13 = 0 berarti titik p(3,-2) terletak pada lingkaran atau titik P(3, -2)
        merupakan titik singgung.

        Persamaan garis singgung

        xx1 + yy1 = r2

        x .3 + y .2 = 13  3x + 2y – 13 = 0

   2.      (x – 2)2 + (y – 1)2 – 8 titik Q(4,1)

        Jawab :

        Titik Q(4,1) terletak pada lingkaran (x – 2)2 + (y – (-1))2 = 8

                  x1 y1                              p        q      r2

        persamaan garis singgung :

        (x - p) (x1 – p) + (y – q) (y1 –q) = r2

        (x - 2) (4 - 2) + (y – (-1)) (1 –(-1)) = 8

        2 (x - 2) + 2 (y + 1) = 8             dibagi 2

        x–2+y+1=4

           x+y–5=0




                                                     29
                         STATISTIK



     Statistik adalah data. Sedangkan statistika berarti mengumpulkan data. Statistika dibagi
menjadi dua bagian, yaitu :

     a. Statistika deskriptif  cara menyajikan, mendeskripsikan data. Contoh : penyajian data
        tabel dan diagram (grafik)

     b. Statistika inferensia  statistika yang berkenaan dengan cara menarik kesimpulan
        berdasarkan data yang diperoleh dari sampel. Data harus dianalisis terlebih dahulu dari
        statistika deskriptif.



Penyajian data dengan tabel :

   1. Distribusi Frekuensi, yaitu dengan sub-bab ukuran pemusatan data

       a. Istilah-istilah pada distribusi frekuensi

       b. Membuat tabel ditribusi frekuensi

   2. Distribusi Frekuensi Komutatif  dengan sub-bab ukuran letak data.



       Distribusi Frekuensi

     a. Istilah-istilah pada distributive frekuensi

      Kelas adalah tempat pengelompokan nilai-nilai dalam suatu interval.

      Banyak kelas adalah banyaknya kelompok dalam tabel.




                                                 30
              Interval      Frekuensi

              11 – 15             5

              16 – 20             6

              21 – 25             12

              26 – 30             18

              31 – 35             9

              36 - 40             7


       Jadi, banyak kelas ada 6



 Batas kelas adalah batas bawah dan atas pada suatu kelas.

              Interval      Frekuensi

              11 – 15             5

              16 – 20             6

              21 – 25             12

              26 – 30             18

              31 – 35             9

              36 - 40             7




                                        31
     Tepi kelas

       Ketelitian data                   Tepi bawah kelas                     Tepi atas kelas

Satuan                            Batas bawah kelas -0,5               Batas atas kelas +0,5

Satuan decimal                    Batas bawah kelas -0,05              Batas atas kelas +0,05

Dst…



     Panjang kelas/ interval kelas adalah selisih tepi atas dengan tepi bawah kelas

         Interval (I) = tepi atas – tepi bawah

                     = 15,5 – 10,5 = 5

     Tepi tengah kelas adalah nilai tengah kelas yang merupakan rataan kelas yang dianggap
      mewakili kelas tersebut.

         Titik tengah :

                     Interval          Frekuensi        Titik tengah


                                           5                  13

                                           6                  18

                                           12                 …
                     21 – 25                                  …
                                           18
                     26 – 30                                  …
                                           9
                     31 – 35                                  …
                                           7
                     36 - 40

    b. Membuat Tabel Distribusi Frekuensi
    Langkah-langkah membuat tabel distribusi frekuensi dari data tunggal menjadi data
    berkelompok.

            Mengurut data dari nilai terkecil ke nilai yang terbesar

            Tentukan jangkauan (J)  J = Xmax – Xmin


                                                   32
              Tentukan banyak kelas (k)
               Kaidah empiris sturgess : k = 1 + 3,3 log n      n = ukuran data

              Tentukan interval kelas (I) atau panjang kelas : I =

              Tetapkan nilai data pada interval kelas dan tentukan frekuensi tiap kelas.


Contoh :
59 60 60 62 63 65 66 67 67 68
69 71 71 72 72 75 75 76 76 77
77 78 78 79 79 81 82 85 85 86
73 73 74 75 75 86 88 93 93 93


Jawab :
59 60 60 62 63 65 66 67 67 68 69 71 71 72 73 73 74 75 75 75 75 76
77 77 78 78 79 79 81 82 85 85 86 86 88 93 93 93 n = 40
          1. Jangkauan
               J = Xmax – Xmin
                = 93 – 59
                = 34
          2. Banyak kelas
               K = 1 + 3,3 log n = 40
                 = 1 + 3,3 x 1, 6010
                 = 6, 2833
                 = 7 (dibulatkan)
          3. Interval Kelas (I)

               I=



                                                  33
      =

      = 4, 86
      = 5 (dibulatkan)
4. Tabel :

           Nilai         f1

      59 -63              5

      64 – 68             5

      69 – 73             7

      74 – 78            11

      79 – 73             4

      84 – 88             5

      89 – 93             3

             ∑f1 = 40




Distribusi Frekuensi Komulatif


Contoh :
72 79 88 73 60 93 71 59 85 75
66 78 82 75 93 77 69 74 68 60
79 62 67 93 78 86 76 65 71 75
86 67 73 81 72 63 76 75 85 77
   Buatlah tabel Distribusi Frekuensi Komulatif kurang dari dan lebih dari ?
Jawab :
Untuk membuat tabel distribusi frekuensi komulatif kurang dari dan lebih dari dicari
terlebih dahulu tepi bawah dan tepi atas nya

                                       34
             Nilai         Frekuensi     Tepi bawah            Tepi atas

            59 -63              5              58,5                63,5

            64 – 68             5              63,5                68,5

            69 – 73             7              68,5                73,5

            74 – 78            11              73,5                78,5

            79 – 73             4              78,5                83,5

            84 – 88             5              83,5                88,5

            89 – 93             3              88,5                93,5




Distribusi frekuensi komulatif         Distribusi frekuensi komulatif
   kurang dari tepi atas                 kurang dari tepi bawah

   Nilai        Frekuensi                             Nilai     Frekuensi

    63,5              5                                 58,5          40
    68,5              10                               63,5           35
    73,5              17
                                                      68,5            30
    78,5              28
                                                       73,5           23
    83,5              32
                                                       78,5           12
    88,5              37
                                                       83,5            8
    93,5              40
                                                       88,5            3




                                          35
        Ukuran Pemusatan Data
        a. Data Tunggal
            1.) Mean (x) adalah nilai rata-rata suatu data yang didapat dari jumlah semula nilai
                datum dibagi banyaknya datum.

                (x) =

              Data x1, x2, x3, ……, xn

                 x=

                x = nilai rata-rata

                n = banyaknya datum atau ukuran data

            2.) Median (Me) adalah posisi nilai datum yang ditengah setelah data diurutkan
                terlebih dahlu dari kecil ke besar.

                (i)      Banyak data Ganjil

                        Me = X        (n+1)

                (ii)     Banyak data Genap

                        Me =     (X     n+X   n+1)

            3.) Modus (Mo) adalah nilai datum yang paling sering muncul atau nilai datum yang
                mempunyai frekuensi terbesar.



Contoh soal :

Carilah mean, median dan modus dari kumpulan data berikut ini :

6, 4, 8, 5, 7, 10, 7, 8, 12,8

Jawab :

4, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 10, 12  10



                                                 36
(x) =


   =         = 7,5


Me =


   =     (x5 + x6)


   =     (7 + 8)

   = 7, 5

Mo = 8

        b. Data Berkelompok

            1.) Mean (x)

                  x=


                  menggunakan rataan sementara

               Simpangan rataan

                  x = xs +


               Pengkodean (coding)

                  x = xs +         .I


            2.)    Median (Me)


              Me = L2 +                 .I


            Penjabaran :


                                                 37
                L2 = tepi bawah kelas yang memuat Me

                 n = bayak data

                      = jumlah frekuensi sebelum Me

               f2 = frekuensi kelas memuat Me

               I = Interval kelas



               3.)       Modus (Mo)

                 Mo = L +                     .I


                 L = tepi bawah kelas yang memuat Mo

                 d1 = selisih frekuensi kelas Mo dengan kelas sebelumnya

                 d2 = selisih frekuensi kelas Mo dengan kelas sesudahnya

                     I = Interval kelas

    Contoh soal :

       Perhatikan tabel berikut ini :

                                 Nilai ujian                3    4   5   6   7   8   9

                                 Frekuensi                  3    5   12 17 14 6      3



Seseorang siswa dinyatakan lulus jika ujiannya lebih tinggi dari nilai rata-rata di kurangi satu.
Dari tabel diatas, berapa banyak jumlah siswa yang lulus ?

Jawab :

3    4     5         6      7     8       9        xi

3    5     12        17     14    6       3        fi

9    20    60        102    98    48      27       xi. fi




                                                            38
x=


    =         = 6,07

3       4         5      6        7    8        9    Nilai lulus adalah lebih besar dari (6,07 – 1) berarti lebih
                                                     besar dari 5, 07. Jumlah siswa yang lulus adalah 17 + 14 +
3       5         12     17       14   6        3    6 + 3 = 40 siswa
9       20        60     102      98   48       27

             Ukuran Letak Data

             a. Data Tunggal

                      1.) Kuartil adalah tiga nilai (Q1, Q2, Q3) yang membagi data menjadi empat bagian
                          sam banyak.

                         Data terurut dari kecil ke besar : x1, x2, x3, … , xn

                             n             n           n

             x1                  Q1            Q2       Q3         x4

             Q1 = kuartil pertama atau kuartil bawah ( n)


            Q2 = kuartl kedua atau kuartil tengah (median, n)


            Q3 = kuartil ketiga atau kuartil atas ( n)

        Contoh :

            Carilah nilai statistic lima serangkai, rataan kuartil dan rataan tiga dari data berikut : 4, 5,
            7, 7, 8, 8, 10, 12, 6, 8




                                                              39
          Jawab :

Data diurutkan :

4, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 10, 12

     Q1       Q2     Q3       xn




          Rataan kuartil :

          Rk =     (6 + 8) = 7

          Rataan tiga

          Rt =     (6 + 2. 7,5 + 8) = 7,25




              2.) Desil adalah nilai dari data yang telah di urutkan dari kecil ke besar yang dibagi
                  menjadi sepuluh bagian yang sama.

          n               n            n         n    …………………                n

x1            D1              D2           D3    D4 ………… D9                xn

      letak D1 pada urutan data ke-

      i = 1, 2, 3, …… 9

      n = banyaknya data

      x1 = data terkecil

      D1 = desil ke-1

      D2 = desil ke-2

      D9 = desil ke-9

      xn = data terbesar


                                                     40
Contoh :

Dik : data =

 60, 40, 41, 55, 60, 70, 80, 51, 62, 91, 83, 78, 49, 60, 70, 83, 87, 93, 65

Tentukan : D1 dan D4



Jawab :

Data diurutkan dari yang terkecil ke terbesar :

40, 41, 49, 51, 55, 60, 60, 60, 62, 65, 70, 70, 78, 80, 83, 83, 87, 91, 93

 x1 x2 x3 ………………………………………………………….…. x20

n = 20

Letak D1 pada urutan data ke-                 = 2, 1  2 + 0,1

  D1 = x2 + 0, 1 (x3 – x2)

          = 41 + 0,1 (49 – 41)

          = 41 + 0,8

          = 41, 8

Letak D4 pada urutan data ke-                = 8,4  8 + 0,4

  D4 = x8 + 0,4 (x9 – x8)

          = 60 + 0,4 (62 - 60)

          = 60 + 0,8

          = 60,8




                                              41
                3.) Persentil adalah nilai batas dari data yang telah di urutkan dari kecil ke besar yang
                    dibagi menjadi seratus bagian yang sama.

            n             n             n           n …………………                       n

x1 p1                                                          p90    p99 xn

        n                                                                      n


        Letak p1 pada urutan data ke-

   i = 1, 2, 3, ……… 99

   n = banyaknya data



   Contoh :

   Dik : data =

   60, 40, 41, 55, 60, 70, 80, 51, 62, 91, 83, 78, 49, 60, 70, 83, 87, 93, 65

   Tentukan : p10

   Jawab :

  Data diurutkan dari kecil ke besar :

  40, 41, 49, 51, 55, 60, 60, 60, 62, 65, 70, 70, 78, 80, 83, 83, 87, 91, 93

   x1 x2 x3 ………………………………………………………… x20

  n = 20

  letak p10 pada urutan ke-                    = 2,1  2 + 0,1

     P10 = x2 + 0,1 (x3 – x2)

                 = 41 + 0,1 (49 – 41)

                 = 41 + 0,8

                 = 41,8


                                                     42
b. Data berkelompok

   Kuartil adalah tiga nilai (Q1, Q2, Q3) yang membagi data menjadi empat bagian sam
   banyak, setelah data diurutkan dari kecil ke besar, untuk data berkelompok data
   terdapat pada tabel frekuensi distribusi.



     1.) Kuartil bawah

      Q1 = L1 +                 .I


             = frekuensi komulatif sebelum Q1

          f1 = frekuensi kelas Q1



     2.) Kuartil tengah


         Q2 = L2 +                    .I


                  = frekuensi komulatif sebelum Q2

            f2 = frekuensi kelas Q2



     3.) Kuartil atas


         Q3 = L3 +                    .I


                  = frekuensi komulatif sebelum Q3

            f2 = frekuensi kelas Q3




                                           43

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Categories:
Tags:
Stats:
views:104
posted:5/14/2011
language:Malay
pages:43