Docstoc

Beam deflection

Document Sample
Beam deflection Powered By Docstoc
					    Пример 7.1 За показаната греда да се състави уравнението на
                        еластичната линия

 Гредата е изработена от стоманен двойно -Т профил №55 Е=210GPa I=55962cm4

 предварително са определени опорните реакции "Пример 1.1"



                                  P1=16kN                                  P2=17kN
                                                                                              q=32kN/m
 MA=300.8kNm
                              C                                      D                                             c=21000kN/m
                                                                                                               B
      A
                                                                                                                      x
      AZ=71.62k                                                                                                BZ=131kN
             l1=4.2m                                l2=4.4m                               l3=5.3m


 Разделяме гредата в ставата и разглеждаме по отделно лявата и дясната част
 Приемаме локални координати „xL” „x D” , който нарастват от крайните опори
 по посока на ставата за двете части.




  Лява част от гредата                         M     A=3      00 .8k N m
                                                                                                       C
                                                           A

  M A := 300.8
                                                          A Z =7 1.6 2k N
  Az := 71.62                                           0 -- --- --- --- - x L -- --- -- - --- -- 4 . 2

 Записваме уравнението на еластичната линия

положителни посоки - надолу (за съсредоточените сили и разпределените товари)
                                      -обратно на час. стрелка (за съсредоточените моменти)

                                                2                3
                                      M A⋅ xl           Az⋅ xl
       ( )
  EIwl xl = EIwlo + EIθlo⋅ xl +
                                           2
                                                    −
                                                           6
                                                                     →


   Начални условия - т.А -запъната опора                                 EIwl( 0 ) := 0       EIθl( 0 ) := 0
  EIwl( 0 ) := 0 заместваме xlo := 0

                                           2                3
                               M A⋅ xlo             Az⋅ xlo
    0 = EIwlo + EIθlo⋅ xlo +        −       solve , EIwlo → 0 EIwlo := 0
                               2        6
                       #записваме като уравнение и решаваме с функцията "solve"

 EIθl( 0 ) := 0 Диференцираме уравнението и заместваме x.lo=0

                                 2                   3
     d                                                 
                           M A⋅ xlo        Az⋅ xlo
  0=       EIθlo⋅ xlo +
     dxlo 
                                       −                 solve , EIθlo → 0                  EIθlo := 0
                              2                 6       

                                                                1
 Окончателното уравнение е:
                                                                                                    пресмятаме функцията в
                        2                3                                                          крайщата на интервала
              M A⋅ xl           Az⋅ xl
    ( )
                                                          2                             3
EIwl xl :=                  −                → 150.4⋅ xl + −11.937⋅ xl
                 2                6                                                               EIwl( 0 ) = 0          EIwl( 4.2) = 1768.692

 Диференцираме уравнението за да получим уравнението на завъртанията θ.l(х l)

                                                                                            пресмятаме функцията в
           ( )                    ( )
                     d                                    2
     EIθl xl :=          EIwl xl → 300.8⋅ xl + −35.81⋅ xl                                   крайщата на интервала
                     dxl
                                                                                        EIθl( 0 ) = 0                 EIθl( 4.2) = 631.672

  Дясна част от гредата

                                P1=16kN                                   P2=17kN
  P2 := 17                                                                                          q=32kN/m
                        C                                     D                                                            c=21000kN/m
  q := 32                                                                                                              B

                                                                                                                               x
  Bz := 131
                                                                                                                         BZ=131kN
 c := 21000                                    l2=4.4m                                       l3=5.3m


     Съставяме уравнението на еластичната линия -от дясно на ляво
положителни посоки - надолу (за съсредоточените сили и разпределените товари)
                                      - по час. стрелка (за съсредоточените моменти)


     Записваме уравнението на еластичната линия (два участъка ВD и DC)


                                                                                        пишат се само за участък ДС


                                                                                              (           )                (         )
                                                              3                4                              4                          3
                                                   Bz⋅ xd             q ⋅ xd                q ⋅ xd − 5.3                P2 ⋅ xd − 5.3
       ( )
  EIwd xd := EIwd0 + EIθdo⋅ xd −
                                                      6
                                                                  +
                                                                          24
                                                                                   −
                                                                                                    24
                                                                                                                  +
                                                                                                                               6
                                                                                            x > 5.3                     x > 5.3



                 Начални и гранични условия
                                                                                         Bz
т.B -еластична опора                     EIwd( 0) := EI∆l -деформация на пружината ∆l :=
                                                                                         c
                                                                                                                                             −3
                                                                                                                       ∆l = 6.238 × 10            m
          заместваме              xdo := 0

                                                                      3                 4
                                                     Bz⋅ xdo                  q ⋅ xdo                             131                        −3
      EI⋅ ∆l = EI⋅ wdo + EI⋅ θdo⋅ xdo −                                   +                 solve , wdo →                  = 6.238 × 10
                                                              6                    24                             21000
                                                                                                                                             −3
                                                                                                              wdo := ∆l = 6.238 × 10              m


                                                                          2
        окончателно

                                                                                               (                        )                         (         )
                                                            3                 4                                             4                                   3
                            −3                     Bz⋅ xd            q ⋅ xd               q ⋅ xd − 5.3                                        P2 ⋅ xd − 5.3
      ( )
 EIwd xd := EI⋅ 6.238⋅ 10        + EIθdo⋅ xd −
                                                       6
                                                                +
                                                                       24
                                                                                  −
                                                                                                       24
                                                                                                                                      +
                                                                                                                                                      6
                                                                                          x > 5.3                                             x > 5.3

от граничното условие в ставата определяме неизвестната константа EIθ.dо
т.C - става     wlC = wdC        провисването в ставата от ляво и дясно е равно


xlC := 4.2 m       xdC := 9.7 m                  ( )
                                         EIwl xlC = EIwd xdC         ( )
      ( )
                                          3
 EIwl xlC = 1768.69224                kN⋅ m

                                                                                                       (                          )               (             )
                                                                 3                    4                                               4                             3
                            −3                       Bz⋅ xdC             q ⋅ xdC               q ⋅ xdC − 5.3                                  P2 ⋅ xdC − 5.3
     ( )
EIwd xdC := EI⋅ 6.238⋅ 10        + EIθdo⋅ xdC −
                                                           6
                                                                     +
                                                                              24
                                                                                          −
                                                                                                               24
                                                                                                                                          +
                                                                                                                                                        6


    ( )            ( )
EIwl xlC = EIwd xdC solve , EIθdo → 1046.378702 − 0.000643⋅ EI

  съставяме окончателното уравнение (използваме if за да разделим на участъци)
# за да можем да решим уравнението с помоща на MathCad е необходимо да зададем
коравината EI т.е. да оразмерим гредата, ако не смe го направили

                                                  Оразмеряване: проф ил двойно -Т №55
                                                                                                                                              2
                                                                                      EI := 117520                               kN⋅ m


                                                                                           3                        4
                                                                                  Bz⋅ xd                   q ⋅ xd
     ( )
EIwd xd :=      EI⋅ wdo + ( 1046.378702 − 0.000643⋅ EI) ⋅ xd −
                                                                                      6
                                                                                                   +
                                                                                                             24
                                                                                                                                if xd ≤ 5.3

                                                                                                           q ⋅ x − 5.3 4 P ⋅
                                                                                                           ( d
                                                                                  Bz⋅ xd
                                                                                           3
                                                                                                           q ⋅ xd
                                                                                                                    4
                                                                                                                       )   2
                EI⋅ wdo + ( 1046.378702 − 0.000643⋅ EI) ⋅ xd −                                     +    + −             +
                                                                                      6              24          24



пресмятаме функцията в крайщата на участъците

                     EIwd( 0) = 733.101           EIwd( 5.3) = 3679.99                         EIwd( 9.7) = 1768.809203


  диференцираме уравнението за да получим уравнението на завъртанията θ(х d )


      съкратено                        ( )
                                 EIθd xd :=
                                                 d
                                                 dxd
                                                     EIwd xd    ( )
               EIθd ( 0 ) = 970.813           EIθd ( 5.3) = −75.071                        EIθd ( 9.7) = −614.247

      или подробно




                                                           3
                                                                (                )                   (                )
                             3                      2                                2                                    3
                  16⋅ xd              131 ⋅ xd               17⋅ xd − 5.3                    16⋅ xd − 5.3
      ( )
 EIθd xd →
                       3
                                 −
                                         2
                                                        +
                                                                        2
                                                                                         −
                                                                                                           3
                                                                                                                              + 970.813342


                                                                                             2                    3
                                                                             131 ⋅ xd                    16⋅ xd
     ( )
EIθd xd :=        ( 1046.378702 − 0.000643⋅ EI) −
                                                                                     2
                                                                                                 +
                                                                                                           3
                                                                                                                          if xd ≤ 5.3


                                                                             131 ⋅ xd
                                                                                             2
                                                                                                         16⋅ xd
                                                                                                                  3      16⋅ ( x − 5.3) 3 17⋅ ( x − 5.3)
                                                                                                                                d                d
                  ( 1046.378702 − 0.000643⋅ EI) −                                                +                    + −                +
                                                                                     2                     3                      3                2


        EIθd ( 0 ) = 970.813                        EIθd ( 5.3) = −75.071                                  EIθd ( 9.7) = −614.247

 За да определим реалните провисвания и завъртания разделяме получените
 фукнции на коравината

 Провисване в крайните точки на участъците

                           EIwl xl( )
                ( )
          wl xl :=
                                 EI                         wl( 0 ) = 0
                                                                                             m
                                                                                                          точка А = w.l0
                                                             wl( 4.2) = 0.015                    m          точка С ляво =w.lC

                            EIwd xd   ( )
                ( )
          wd xd :=
                                  EI                         wd( 0) = 0.006    m   точка В = ∆l
                                                              wd( 5.3) = 0.031   m    точка Д

                                                                wd( 9.7) = 0.015                           m          точка С дясно =w.lC проверка


  Максимално провисване                                 f := wd ( 5.3)
                                                                                             f = 0.031                m

 Проверка по максимално провисване f.all=l/400
                               l
  l := 9.3 m          fall :=
                              400               fall = 0.023                m            fall > f

  Налага се избор на нов профил.

Пресмятаме необходимия минимален инерционен момент                                                                        Im
                                                                                                                                               6
                                                                                                                                   E := 210 ⋅ 10    kN 
                                                                                                                                                    2
                                                                                                                                                   m 
                                 (
                EIwd ( 5.3) ⋅ kN⋅ m
                                            3
                                                )                                    4                                4
 fall⋅ ( m) =                                       solve , Im → 0 ⋅ m = 75371.1 ⋅ cm
                      E⋅    kN 
                            2  ⋅ Im
                           m 
                                                                                                                4
Избирам: двойно -Т профил №60 (ГОСТ)                                             I := 75450 cm

    окончателна коравина:                           EI := E⋅ I⋅ 10  (       −8   ) = 158445                    kN⋅ m
                                                                                                                          2


                                                                                  4
Предефинираме функциите и построяваме графиките
за правилното визуализиране обръщаме посоката на w и знака на θ.d

                  EIwl xl   ( )                              ( )
         ( )
  wl xl :=
                        EI                  ( )
                                          wd xd :=
                                                      EIwd xd
                                                        EI
                                                                                ( )
                                                                              θl xl :=
                                                                                          d
                                                                                          dxl
                                                                                                  ( )
                                                                                              wl xl                ( )
                                                                                                                θd xd :=
                                                                                                                           d
                                                                                                                           dxd
                                                                                                                               wd xd( )

                       0



   − wl xl( )− 0.01                                                   ( )
                                                                − wd xd

                − 0.02

                           0          1     2     3      4
                                                                                          7.275         4.85      2.425         0
                                            xl
                                                                                                          xd
                       −3
               5× 10



  ( )
θ l xl                      0         1     2     3      4
                                                                          ( )
                                                                   − θ d xd
                                                                                          7.275         4.85      2.425         0
                       −3
           − 5× 10

                − 0.01

                                            xl
                                                                                                          xd


    Проверяваме мак сималното провисване                                      xd := 0

 xdmax := Maximize wd , xd = 5 m  (         )
                                                                          (
                                                               f := wd xdmax = 0.023  )               m        f = fall    OK




                                                                      5

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Categories:
Tags:
Stats:
views:997
posted:5/8/2011
language:Bulgarian
pages:5
Description: Example how to calculate beam deflection equation in MathCad