Docstoc

METODE SIMPLEKSbaru

Document Sample
METODE SIMPLEKSbaru Powered By Docstoc
					                    METODE SIMPLEKS




                         Oleh:
                      Muhiddin Sirat




                  EKONOMI PEMBANGUNAN
          FAKULTAS EKONOMI UNIVERSITAS LAMPUNG
                      TAHUN 2007


Analisis Optimasi
                                                 1
MATERI (I):

                    METODE SIMPLEKS


PENDAHULUAN
       Metode simpleks adalah suatu prosedur
        aljabar (yang bukan secara grafik) untuk
        mencari nilai optimal dari fungsi tujuan
        dalam masalah optimasi yang terkendala.

       Perhitungan dalam metode simpleks
        didasarkan pada aljabar matriks, terutama
        mencari invers matirks untuk penyelesaian
        persamaan linier simultan, oleh karena itu
        penyelesaian optimal dengan metode
        simpleks diawali pengubahan kendala
        pertidaksamaan menjadi persamaan.

       Untuk mencari nilai optimum dengan
        menggunakan metode simpleks dilakukan
        dengan proses pengulangan (iterasi) dimulai
        dari penyelesaian dasar awal yang layak
        (feasible) hingga penyelesaian dasar akhir
        yang layak dimana nilai dari fungsi tujuan
        telah optimum

Analisis Optimasi
                                                 2
       PERSYARATAN METODE SIMPLEKS
Terdapat tiga persayaratan untuk memecahkan
masalah linear programming, yaitu :
       Semua kendala pertidaksamaan harus diubah
            menjadi persamaan.
       Sisi        kanan   dari   tanda   pertidaksamaan
            kendala tidak boleh adanya negatif.
       Semua variabel dibatasi pada nilai non
            negatif.


PENULISAN STANDAR DARI METODE
SIMPLEKS

Berdasarkan ketiga persyaratan di atas, maka kita
dapat menulis bentuk standar dari metode
simpleks sebagai berikut :
1. Masalah Linear Programming dengan
   Fungsi Tujuan Maksimisasi.

Sebagai contoh untuk dua variabel dan dua
kendala :
Analisis Optimasi
                                                       3
Maksimumkan :  = C1 X1 + C2X2

Dengan Kendala:

 a11 X 1  a12 X 2  K1
 a21 X 1  a22 X 2  K 2
            X 1  0 dan X 2  0
Bentuk standar metode simpleks di atas dapat
ditulis menjadi :
      a. Fungsi       tujuan   bentuk   eksplisit    diubah
            menjadi bentuk implisit.
                     -  + C1 X 1 + C2 X 2 = 0
      b. Kendala bentuk pertidaksamaan (tanda )
            diubah menjadi persamaan        dengan     cara
            menambahkan variabel slack pada ruas kiri,
            sehingga menjadi :
                    a11 X1  a12 X 2  S1  K1
                    a21 X1  a22 X 2  S2  K 2
dimana : S1 dan S2 adalah variable slack (non
negatif).
Analisis Optimasi
                                                         4
                    a. Dalam notasi matriks, kita peroleh :
                                                  
                                                 X 
                       1 C1 C2 0 0             1  0 
                      0 a    a22 1 0            X 2    K1 
                          11                      
                      0 a21 a22 0 1
                                                S1   K 2 
                                                            
                                                  S1 
                                                  

                    b. Tabel Simpleks Pertama
  Variabel                                            Nilai kanan
   Dasar                   X1    X2    S1       S2
                                                      (konstanta)
                      -1   +C1   +C2   0    0             0
         S1            0    a11   a12   1    0            K1
         S2            0    a21   a22   0    1            K2




Analisis Optimasi
                                                                    5
                2. Masalah    Linear     Programming
                   Berupa Fungsi Tujuan Minimisasi.

                    Minimumkan          : C = c1 X1 + c2 X2


                                         a11 X 1  a22 X 2  K1
                                         a11 X 1  a22 X 2  K 2
                    Dengan kendala :
                                            X 1  0 dan X 2  0


                    Bentuk standar metode simpleks dapat
                    ditulis menjadi :
                    a. Fungsi tujuan semula bentuk eksplisit
                      diubah menjadi bentuk implisit :
                      - C + c1 X1 + c2 X2 = 0
                    b. Kendala pertidaksamaan (tanda )
                      Diubah menjadi persamaan dengan
                      cara    dikurangi       variable        slack
                      kemudian ditambah variabel buatan :
                      a11 X1 + a12 X2 – S1 + A1 = K1
                      a21 X1 + a22 X2 - S2 + A2 = K2

Analisis Optimasi
                                                                   6
dimana :
                    S1 dan S2 adalah variable slack
                    A1 dan A2 adalah variabel buatan



                    c. Dalam notasi matriks, kita peroleh :
                                                      C 
                                                      X 
                                                       1
                       1 c1 c2 0 0 0 0              X 2  0 
                      0                                 
                          a11 a12  1 0 1 0         S1    K1 
                                                      S2   K 2 
                      0
                          a21 a22 0 0  1 1 
                                                        
                                                       A1 
                                                      A 
                                                       2

                    d. Tabel Simpleks Pertama
     Variabel                                                  Nilai kanan
                      C    X1    X2     S1   S2 A1 A2
      Dasar                                                    (konstanta)
                     -1   +c1   +c2    0    0    0      0          0
           S1          0   a11    a12   -1   0    1      0          K1
           S2          0   a21    a22   0    -1   0      1          K2




Analisis Optimasi
                                                                         7
                    PENYELESAIAN DENGAN
                      MATODE SIMPLEKS

Setelah kita mengetahui penulisan umum dari
metode simpleks, maka langkah penyelesaian
guna memperoleh kombinasi yang optimal dari
variabel pilihan (Xi) adalah sebagai berikut :


      1. Membuat tabel simpleks awal/ pertama
      2. Menentukan kolom pivot (kolom kunci).
            Kolom kunci adalah kolom yang berada
            pada angka positif terbesar dalam baris
            fungsi tujuan (baris pertama).
      3. Menentukan baris pivot (baris kunci).
            Pilihlah baris dengan hasil bagi antara nilai
            kanan (konstanta) positif dengan angka pada
            kolom kuncinya yang terkecil. Angka yang
            berada pada perpotongan kolom kunci dan
            baris kunci disebut angka kunci.

Analisis Optimasi
                                                       8
      4. Menentukan baris kunci baru dengan cara
            membagi semua elemen dalam baris kunci
            dengan angka kunci agar angka kunci sama
            dengan 1 (satu).
      5. Menentukan baris lain yang baru (selain
            baris kunci) :
                    a. Baris baru = (baris lama) – (angka
                      pada kolom kunci yang bersesuaian
                      dengan baris lama dikali baris kunci
                      baru).
                    b. Setelah diketahui baris kunci baru dan
                      baris lain yang baru, bentuklah tabel
                      simpleks kedua.
                    c. Perhatikan tabel simpleks kedua, jika
                      angka pada baris pertama (baris fungsi
                      tujuan) masih terdapat angka positif,
                      lakukan langkah berikutnya dengan
                      cara yang sama.

Analisis Optimasi
                                                           9
                    d. Jika sudah tidak ada lagi angka positif
                      pada     baris       pertama,    berarti
                      penyelesaian telah optimal, dan akan
                      dapat diketahui nilai variabel pilihan
                      yang akan mengoptimal fungsi tujuan.



                        METODE SIMPLEKS :
               MASALAH MAKSIMISASI DENGAN
               KENDALA BENTUK BAKU (SEMUA
                      KENDALA BERTANDA ≤ ):


Gunakan metode simpleks untuk memaksimumkan
                      = 8000 X1 + 7000 X2
Dengan kendala :
                      2 X 1  3 X 2  24
                      2 X 1  X 2  16
                        X 1  4 X 2  27
                        X 1  0 dan X 2  0

Analisis Optimasi
                                                             10
Langkah Membentuk Tabel Simpleks I:

                    1. Fungsi tujuan dalam bentuk implisit :
                      -  + 8000 X1 + 7000 X2 = 0
                    2. Karena masalah maksimisasi, maka
                      kendala ditambah variabel slack:
                      2 X 1  3 X 2  S1  24
                      2 X 1  X 2  S 2  16
                      X 1  4 X 2  S3  27

                    3. Tabel Simpleks I (awal)
                         Variabel                                          Nilai kanan
                                          X1      X2      S1    S2   S3
                          Dasar                                            (konstanta)

                       Baris 1 =     -1   8000   7000     0     0    0            0
                       Baris 2 = S1   0    2       3        1    0    0         24
                       Baris 3 = S2   0    2       1        0    1    0         16
                       Baris 4 = S3   0    1      4         0    0    0         27


                      Kolom kunci adalah kolom          X1 dan Baris kunci adalah
                      baris 3




Analisis Optimasi
                                                                              11
Langkah Membentuk Tabel Simpleks II:

1. Kolom kunci adalah kolom yang berada pada
       angka positif terbesar dalam baris pertama,
       yaitu kolom X1.
2. Baris kunci adalah :
                       Nilai kanan ( NK )      24
Baris 2 =                                    
                    Angka kolom kunci ( AKK ) 2
                                                   12


                       Nilai kanan     16
Baris 3 =                            
                    Angka kolom kunci 2
                                           8  positif terkecil


                       Nilai kolom     27
Baris 4 =                            
                    Angka kolom kunci 1
                                           27


Baris kunci adalah baris 3


3. Baris kunci baru (baris 3 baru) :
                            Baris kunci lama :
                              X1 X2 S1 S2 S3 NK
                        0      2      1      0      1      0       16
Baris kunci baru = Baris lama dibagi angka kunci
                        0      1      ½      0      ½      0       8



Analisis Optimasi
                                                                        12
4.         Baris lain yang baru
Baris (1) Baru = Baris (1) lama – (Baris kunci baru x 8000)
Baris (2) Baru = Baris (2) lama – (Baris kunci baru x 2)
Baris (4) Baru = Baris (4) lama – (Baris kunci baru x 1)


5, Tabel Simpleks II
                          Variabel                                                 Nilai
                                             X1    X2    S1      S2    S3
                           Dasar                                                  Kanan


                       Baris (1) =      -1   0    3000   0     -4000   0         -64.000
                       Baris (2) = S1    0    0     2     1      -1     0           8
                       Baris (3) = X1    0    1     ½     0      ½      0           8
                       Baris (4) = S3    0    0    3,5    0      -½     0           19




 Langkah Membentuk Tabel Simpleks III:
                    1. Kolom kunci = Kolom X2
                    2. Baris kunci =
                                  NK  8
                      Baris 2 =        4  positif terkecil
                                  AKK 2
                                  NK   8
                      Baris 3 =             16
                                  AKK 1 / 2
                                  NK   19
                      Baris 4 =           5,43
                                  AKK 3,5
                      Baris kunci adalah baris 2




Analisis Optimasi
                                                                             13
                     3. Baris kunci baru (baris 2 baru) =
                                  X1       X2        S1      S2          S3   NK
                          0        0        1         ½       -½          0    4



                     4. Baris lain yang baru =
Baris (1) Baru = Baris (1) lama – (Baris kunci baru x 3000)
Baris (3) Baru = Baris (3) lama – (Baris kunci baru x ½)
Baris (4) Baru = Baris 94) lama – (Baris kunci baru x 3,5)


                     5. Tabel Simpleks III
            Variabel                                                            Nilai
                                      X1        X2    S1       S2        S3
              Dasar                                                            Kanan
         Baris (1) = -       -1       0         0    -1500 -2500         0    -76.000
         Baris (2) = X2       0        0         1     ½        -½        0         4
         Baris (3) = X1       0        1         0    -1/4      ¾         0         6
         Baris (4) = S3       0        0         0    -7/4      5/4       1         5


                          Karena pada baris (1) tidak ada lagi yang bernilai
                          positif, penyelesaian optimal selesai.



                          X1 = 6 ; X2 = 4 ; -  = -76.000
                          *= 76.000

                          ---------------------------------------------




Analisis Optimasi
                                                                                         14
   MATERI (II):

           METODE SIMPLEKS
      MASALAH MINIMISASI DENGAN
      KENDALA BENTUK BELUM BAKU
   (SALAH SATU KENDALA BERTANDA ≤ )

   Jika pertidaksamaan kendala berbentuk tanda ≥
   , maka variabel slack dikurangkan dari sisi kiri;
   dan untuk tanda ≤ ditambahkan dari sisi kiri.

   Untuk fungsi tujuan ditambah M.Ai ( + M.Ai)
   untuk fungsi tujuan minimisasi; dan dikurang
   M.Ai (- M.Ai ) untuk fungsi tujuan Maksimiasi.

   Contoh Soal:

   Minimumkan: Z = 2X1 + 10X2

   Kendala          : 2X1 + X2 ≤ 6
                       5X1 + 4X2 ≥ 20

                      X1 ≥ 0 dan X2 ≥ 0

   Tentukan X1, X2 yang meminimum Z=…?



Analisis Optimasi
                                                  15
   Penyelesaian:

   Tahap 1: Memasukkan Variable Slack dan
            Variable Buatan

   Fungsi Tujuan : Z = 2X1 + 10X2 + MA1
   Kendala :
   2X1 + X2 + S1            = 6
   5X1 + 4X2 - S2 + A1 = 20

   Keterangan:
   S1 dan S2: variabel Slack
   A1 : Variabel Buatan (variabel artifisial).

   Tahap 2 :Langkah Membentuk Tbl Simpleks I:

   Membentuk      fungsi tujuan untuk            siap
   dimasukkan ke Tabel Simpleks I:

   Minimumkan:
   - Z + 2X1 + 10X2 + MA1 = 0
   Karena nilai M pada fungsi tujuan harus nol,
   maka fungsi tujuan semula harus diubah
   menjadi funsi tujuan yang disesuaikan.




Analisis Optimasi
                                                   16
Fungsi              X1       X2        S1    S2       A                      NK
Tujuan
Fungsi              2             10         0            0        M         0
Tujuan
Kendala             5M            4M         0M        -1M         1M        20M
(2) x M
Fungsi              (2-5M) (10-4M)           0         +M           0        -20M
Tujuan
Baru


   Tabel Simpleks I:

      Variabel           X1             X2        S1          S2        A   NK
      dasar
      F.Tujuan           (2-5M) (10-4M)           0           +M        0   -20M
      (Cj-Zj)
      S1                 2              1         1            0        0   6
      S2                 5              4         0           -1        1   20



    Tahap 3: Langkah Membentuk                                              Tabel
             Simpleks II.

   (1). Kolom Kunci : Kolom X1 karena memiliki
        nilai negatif terbesar pada baris Cj-Zj.

   (2). Baris Kunci (NK/ AKK):
   Baris 2 (Baris S1): NK/AKK = 6/2 = 3....(BK)
   Baris 3 (Baris S2): NK/AKK = 20/5 = 4.


Analisis Optimasi
                                                                                   17
   (3). Baris Kunci Baru (Baris 2) Baru:
        BKB = (BKL/AK)
 Baris                   X1       X2        S1         S2           A             NK
 Kunci
 BKB=                   2/2       ½        ½           0/2          0/2           6/2
 BKL/AK
 BKB                    1            ½     ½           0            0             3


   (4). Baris Lain yang Baru:
        a. Baris 1 (Baris Cj-Zj) baru
           = Baris Lama – (AKK.BKB)
Baris 1   X1                     X2        S1          S2                 A             NK
(Cj-Zj)
Baris 1 (2-5M)                (10-4M)       0          M                  0             -20M
Lama
BKB       1                      ½         ½              0               0              3
AKKx                (2-5M)(1) (2-5M)(1/2) (2-5M)(1/2) (2-5M)(0) (2-5M)(0)               (2-5M).(3)
BKB
        (2-5M)                (1-5/2M)    (1-5/2M)         0                  0          (6-15M)
Baris 1    0                  (9-3/2M)    (-1+5/2M)        0                  0         (-6M-5M)
Baru


   b. Baris 3 (Baris S2) Baru:
Baris 3   X1 X2       S1                   S2         A1       NK
Baris   3 5     4     0                    -1         1        20
Lama
BKB       1     ½     ½                    0         0         3
BKBx      5(1) 5(1/2) 5(1/2)               5(0)    5(0)        5(3)
AKK
          5     2,5   2,5                    0        0        15
Baris   3 0      3/2 -2,5                    -1       1        5
Baru




Analisis Optimasi
                                                                                         18
Tabel Simpleks II
Variabel            X1      X2      S1        S2      A1    NK
Dasar
Baris 1             0    (9-3/2M) (-1+5/2M)   M        0    (-6-5M)
Cj-Zj
Baris S1....        1      ½        ½          0       0    3
Baris (X1)
Baris S2            0      3/2      -5/2      -1       1    5



   Tahap IV: Langkah Membnetuk Tabel
             Simpleks III

   Dengan cara yang sama dapat ditentukan:
   (1). Kolom Kunci: Kolom X2 (Negatif terbesar)
   (2). Baris Kunci: Baris 3 (Baris S2);
   (3). Baris Kunci Baru;
   (4). Baris Lain yang baru.

Tabel Simpleks III
Variabel            X1      X2      S1        S2      A1     NK
Dasar
Baris 1             1       0       14        6      (-6+M) -36
Cj-Zj
Baris               1       0       27/3      1/3    -1/3    4/3
S1...(X1)
Baris               0       1       -5/3      -2/3    2/3    10/3.
S2...(X2)




Analisis Optimasi
                                                                     19
   Karena : Baris 1 (Cj-Zj) sudah positif semua
   dan telah terbentuk matrik Identity untuk kolom
   1 dan kolom 2, maka Tabel Simpleks selesai;

   Nilai Optimum:

   -Zj = -36...... Zj = 36, X1 = 4/3, X2 = 10/3.

   -----------------------------




Analisis Optimasi
                                                   20
   MATERI (III):

                 METODE SIMPLEKS
             MASALAH MINIMISASI DENGAN
            KENDALA BENTUK BAKU (SEMUA
               KENDALA BERTANDA ≥ )

Minimumkan : C = 6X1 + 24X2

Kendala: X1 + 2X2 ≥ 3
          X1 + 4X2 ≥ 4

                    Dan X1, X2 ≥ 0

Penyelesaian:

Langkah membentuk Tabel Simpleks I:

      1. Penyesuaian Fungsi tujuan dan Kendala:

       Minimisasi: C = 6X1 + 24X2 + MA1+ MA2
       Kendala : X1 + 2X2 –S1 + A1 = 3
                    X1 + 4X2 – S2+ A2 = 4

   Keterangan: S1, S2 : Variabel Slack
               A1,A2 : Variabel Buatan


Analisis Optimasi
                                             21
   2. Penyesuaian Fungsi tujuan agar siap masuk
   pada Tabel Simpleks I, karena nilai M akan
   dianggap Nol.
   a. Fungsi Tujuan dalam bentuk Implisit
      - C + 6X1 + 24X2 + MX1 + MX2 = 0

   b. Penyesuain Fungsi Tujuan :
Fungsi              X1    X2        S1   S2   A1    A2      NK
Tujuan
Cj-Zj               6     24         0   M     0    M       0
Kendala             1M    2M        -M   M     0    0       3M
(1) x M
Cj-Zj               (6-M) (24-2M)   M    0      0    M      -3M
Kendala             1M     4M       0    0    -M     M      4M
(2) xM
Cj-Zj               (6-2M) (24-6M) M     0     M        0   -7M
                                                            (nilai M
                                                            =0)


   c.Tabel Simpleks I

Variabel            X1     X2       S1   S2   A1    A2      NK
Dasar
Cj-Zj               (6-2M) (24-6M) M     0     M    0       0
A1                   1      2      -1    1      0   0       3
A2                  1       4      0     0     -1   1       4




Analisis Optimasi
                                                                  22
   Langkah Membentuk Tabel Simpleks II:

   1. Kolom Kunci: Kolom X2 (Negatif terkecil)
   2. Baris Kunci:
      Baris 3=NK/AKK = 3/2 = 1,5
      Baris 3 : NK/AKK = 4/4 = 1 ...Baris Kunci

   3. Baris Kunci Baru (BKB = BL/AK);

   4. Baris lain (Baris 1 dan Baris 2) yang baru;

   5. Tabel Simpleks II:

Variabel            X1     X2   S1   S2    A1     A2        NK
Dasar
Cj-Zj               (-1/2M) 0    M   0    (6-1/2M) (-6+3/2M) (-24+6M)
A1                   ½      0   -1   1       ½     -1/2      1
A2...X2             ¼       1    0   0      -1/4     1/4     1



   Langkah Membentuk Tabel Simpleks III:

Kolom Kunci: Kolom X1(Negatif terkecil)
Baris Kunci:
   Baris 2= NK/AKK = 1/(1/2)=2..Baris Kunci
    Baris 3 : NK/AKK = 1/(1/4) = 4.

Baris Kunci Baru (BKB = BL/AK);

Analisis Optimasi
                                                             23
Baris lain (Baris 1 dan Baris 3) yang baru.

Tabel Simpleks III:

Variabel            X1   X2   S1   S2     A1      A2       NK
Dasar
Cj-Zj               0    0     0   M      6       (-6+M)   (-24+7M)
A1...X1             1    0    -2   2      1        -1      2
X2                  0    1    ½    -1/2    -2/4     2/4    1/2


   Titik Optimal:
   X1 = 2 ; X2 = ½; -Zj = -24+7M....Zj=C= 24.




Analisis Optimasi
                                                           24
   MATERI (IV):

                       METODE SIMPLEKS
                     DENGAN PROGRAM DUAL

I. PENDAHLUAN
                  Pembahasan tentang masalah dualitas
                dalam linier programing menjadi penting,
                ketika kita akan menentukan nilai optimal
                fungsi tujuan dengan kendala-kendala
                yang bertanda lebih besar atau sama
                dengan nol ().

                   Apabila bentuk pertidaksamaan kendala
                tanda ≥ ,      maka pengubahan bentuk
                pertidaksamaan kendala untuk menjadi
                persamaan harus memasukkan variabel
                buatan (Artifisial Variable) disamping
                memasukkan variabel slack (slack
                variable)

                Contoh :

                Minimumkan : C = 6 X 1  24 X 2

                Kendala:    X1  2 X 2  3
                            X1  4 X 2  4
                ke
Analisis Optimasi
                                                       25
                1. Perubahan Kendala Pertidaksamaan:

                Agar kendala pertidaksamaan menjadi
                persamaan maka harus dikurangi variabel
                slack dan ditambah variabel buatan.

                    X 1  2 X 2  S1  A1  3
                    X 1  4 X 2   S 2  A2  4
                    Si  Variabel slack
                    Ai  Variabel bua tan


                2. Perubahan Fungsi Tujuan:

                Dan fungsi tujuan harus ditambah M.AI
                untuk fungsi tujuan minimisasi, dan
                dikurangi M.AI untuk fungsi tujuan
                maksimisasi.

                   Berdasarkan contoh di atas, fungsi
                tujuan minimisasi dan dengan kendala
                bentuk bakunya bertanda , maka
                perubahan bentuk fungsi tujuan adalah
                sebagai berikut :




Analisis Optimasi
                                                     26
                    C = 6X1 + 24 X2 di ubah menjadi :
                    C = 6 X1 + 24 X2 + M.A1 + M.A2

                    walaupun nilai M akan dianggap sama
                    dengan nol.

                   Penyesuaian fungsi tujuan dan kendala-
                kendala harus dilakukan sebelum kita
                membentuk tabel simpleks awal (tabel
                simpleks I) . Oleh karena itu proses
                penentuan nilai optimal fungsi tujuan
                dalam linier programing yang kendalanya
                bertanda  menjadi tidak praktis karena
                harus memasukkan variabel buatan selain
                variabel slack.

                   Sebaliknya apabila kendala-kendala
                bertanda ,     maka proses penentuan
                nilai optimal fugsi tujuan lebih praktis,
                karena: (1) cukup memasukkan variabel
                slack saja dalam proses pengubahan
                kendala pertidaksamaan agar menjadi
                persamaan,    dan    (2)    tidak   perlu
                memasukkan variabel buatan pada fungsi
                tujuan.


Analisis Optimasi
                                                        27
                  Apabila bentuk awal (primal), yaitu
                minimisasi fungsi tujuan dan kendala
                bertanda , maka bentuk dualnya adalah
                maksimisasi fungsi tujuan dan kendala
                bertanda . Demikian pula sebaliknya.


II. MASALAH DUALITAS DALAM LINIER
    PROGRAMING

                  Apabila masalah awal (primal) adalah
                maksimisasi fungsi tujuan, maka dualnya
                adalah    masalah     minimisasi.   Dan
                sebaliknya, jika masalah awal (primal)
                adalah minimisasi fungsi tujuan, maka
                dualnya adalah masalah maksimisasi.

                Bentuk Awal (Primal) Minimisasi:

                Primal :
                Minimisasikan : Z = C.X
                Dengan kendala : A.X  K
                Maka dualnya :
                Maksimisasikan : Z = K.Y
                Dengan kendala : A1Y  C
Analisis Optimasi
                                                     28
                Contoh dalam bentuk umum dua
                variabel Xi adalah sebagai berikut :

                Bentuk awal (primal) :
                Minimisasikan : C = C1 X1 + C2 X2
                                 a11 X1  a12 X 2  K1
                Dengan kendala : a X  a X  K
                                  21 1  22 2   2

                Maka dualnya :
                Maksimisasikan : Z = K1 Y1 + K2 Y2
                                 a11 Y1  a21 Y2  C1
                Dengan kendala : a Y  a Y  C
                                  12 1  22 2  2




Analisis Optimasi
                                                         29
III. CONTOHSOAL METODE SIMPLEKS
      DENGAN PROGRAM DUAL (UNTUK
      KENDALA BERTANDA BAKU)

Diketahui bentuk primal fungsi                               tujuan
minimisasi dan kendala adalah :

                Z = 120 X1 + 180 X2

                Pertidaksamaan Kendala:

                6 X 1  3 X 2  45
                4 X 1  10 X 2  55
                    X 1  0 dan X 2  0

Tentukan : nilai X1 dan X2 yang meminimisasi.
Fungsi tujuan, dan tentukan nilai optimal fungsi
tujuan.

Penyelesaian:
                1. Bentuk dualnya adalah :
                    Maksimisasikan : Z = 45 Y1 + 55 Y2
                                          6Y1  4Y2  120
                                          3Y1  10Y2  180
                    Dengan kendala :
                                          Y1  0 dan Y2  0

Analisis Optimasi
                                                                 30
                2. Fungsi tujuan dalam bentuk implisit :
                    - Z + 45 Y1 + 55 Y2 = 0

                3. Penambahan variabel slack :
                    6Y1  4Y2  S1  120
                    3Y1  10Y2  S2  180

                4. Tabel simpleks awal
                     Variabel                              Nilai
                                Zj    Y1   Y2   S1   S2
                      Dasar                               Kanan

                        Zj       -1   45   55   0    0      0
                        S1       0    6    4    1    0     120
                        S2       0    3    10   0    1     180



                5. Tahapan pembentukan tabel simpleks II
                   dan III sama dengan langkah pada
                   contoh terdahulu.

                6. Melalui proses yang sama pada contoh
                   terdahului dapat ditentukan nilai Y1 dan
                   Y2 yang mengoptimal Z :

                    Y1* = 10 ; Y2* = 15 ; dan Z* = 1275


Analisis Optimasi
                                                             31
                7. Untuk menentukan X1* dan X2* dengan
                   langkah sebagai berikut :

                    Zj* = 1275
                    Bentuk awal fungsi tujuan:
                    Z = 120 X1 + 180 X2 .
                    Fungsi Tujuan:
                    1275 = 120 X1 + 180 X2


                    Kendala (1):
                    X1 + 3 X2  45
                    6 X1 = 3 X2 + 45
                                 1      45
                     X1 =   
                                 2
                                   X2 
                                        6

                    Persamaan ini disubsitusikan ke fungsi
                    tujuan akan diperoleh :
                            285
                    X1* =   48

                            25
                    X2* =   8

                    Z*minimum = 1275


Analisis Optimasi
                                                        32
IV. CONTOHSOAL METODE SIMPLEKS
    DENGAN PROGRAM DUAL (UNTUK
    KENDALA   BERTANDA   TIDAK
    BAKU)


                    MASALAH AWAL (PRIMAL):

Minimisasi : Z = 2X1 + 10X2

Kendala               : 2X1 + X2 ≤ 6
                        5X1 + 4X2 ≥ 20

Kendala pertama tanda tidak baku untuk fungsi
tujuan minimisasi.
Bentuk Baku masalah minimisasi semua
Kendala bertanda ≥ ; Oleh karena itu kendala
pertama diubah menjadi bentuk baku, sehingga
Fungsi Tujuan dan Kendala yang baru menjadi
sbb:

Minimisasi : Z = 2X1 + 10X2
Kendala :
-2X1 - X2 ≥ -6
5X1 + 4X2 ≥ 20.



Analisis Optimasi
                                             33
                     MASALAH DUALNYA:

Selanjutnya dapat dibentuk               dualnya   (Dual
Program):

Maksimisasi: Z = -6Y1 + 20 Y2

Kendala              : -2Y1 + 5Y2 ≤ 2
                       -1Y1 + 4Y2 ≤ 10



                    LANGKAH MEMBENTUK
                      TABEL SIMPLEKS I:

Merubah fungsi Tujuan               menjadi        bentuk
implisit:
-Z - 6Y1 + 20Y2 = 0.

Memasukkan Variabel Slack:

-2Y1 + 5Y2 + S1 = 2
-1Y1 + 4Y2 + S2 = 10.




Analisis Optimasi
                                                       34
Tabel Simpleks I:

Variabel            Y1   Y2    S1   S2    NK
Dasar
Cj-Zj               -6   +20   0    0     0
S1                  -2    5    1    0     2
S2                  -1    4    0    1     10



                    LANGKAH MEMBENTUK
                     TABEL SIMPLEKS II:

Kolom Kunci: karena Fungsi Tujuan
Maksimisasi, maka kolom kunci berada pada
kolom Y2 (positip terbesar pada baris Cj-Zj).

Baris Kunci (BK) adalah baris 2, karena:
Baris 2: NK/AKK = 2/5 ......BK (positip
                                  terkecil).
Baris 3 : NK/AKK = 10/4.

Baris Kunci Baru (BKB):
BKB = Baris Kunci /AKKnya.

Baris Lain baru (baris 1 dan baris 3 yang baru):
Baris 1 baru = Baris 1 Lama – (AKKnya x BKB)
Baris 3 baru = Baris 3 lama –(AKKnya x BKB).


Analisis Optimasi
                                               35
Tabel Simpleks II :

Variabel            Y1     Y2   S1     S2   NK
Dasar
Cj-Zj               2      0    -4     0    -8
S1....Y2            -2/5   1    1/5    0    2/5
S2                  3/5    0    -4/5    1   42/5



                    LANGKAH MEMBNETUK
                     TABEL SIMPLEKS III:

Kolom Kunci: karena Fungsi Tujuan
Maksimisasi, maka kolom kunci berada pada
kolom Y1 (positip terbesar pada baris Cj-Zj).

Baris Kunci (BK) adalah baris 3, karena:
Baris 2: NK/AKK = (2/5)/-(2/5) = -1
Baris 3 : NK/AKK = (42/5)/(3/5) = 42/3 (positip
                                     terkecil)

Baris Kunci Baru (BKB):
BKB = Baris Kunci /AKKnya.

Baris Lain baru (baris 1 dan baris 2 yang baru):
Baris 1 baru = Baris 1 Lama – (AKKnya x BKB)
Baris 2 baru = Baris 2 lama –(AKKnya x BKB).


Analisis Optimasi
                                                   36
Tabel Simpleks III :

Variabel            Y1     Y2      S1     S2     NK
Dasar
Cj-Zj               0      0       -4/3   -10/3 -36
Y2                  0      1       -1/3    10/15 6
S2....Y1            1      0       -4/3     5/3  42/3=14


Untuk Fungsi tujuan maksimisasi, apabila Baris
Cj-Zj sudah Nol atau Negatif, maka solusi
optimal sudah selesai dan nilai optimum dapat
diketahui.

                    - Zj = -36 maka Zj = 36;
                                    Y1 = 14 dan Y2 = 6

Untuk menentukan nilai X1 dan X2 Optimal
adalah sebagai berikut:

Maka Fungsi Tujuan: 36= 2X1 + 10X2......(1)

Kendala 1: 2X1 + X2 = 6
           X2 = -2X1 + 6..........................(2)

Substitusikan (2) ke (1):
36 = 2X1 + 10 (-2X1+6)..........X1 = 4/3.

Jadi : X2 = -2(4/3) + 6 ...........X2 = 10/3.

Analisis Optimasi
                                                           37
      V. PENUTUP
           Teori ekonomi merupakan landasan dalam
       menyusun       model       ekonomi.    Dengan
       menggunakan          model      yang bersifat
       matematis kita dapat menggunakan analisis
       optimasi guna menentukan nilai optimum
       fungsi tujuan. Analisis       optimasi  dapat
       menggunakan : (1) tehnik kalkulus
       diferensial, dan ke (2) menggunakan tehnik
       programasi linier (linier programing).
           Penguasaan aturan diferensiasi fungsi,
       matriks, dan aturan-aturan optimasi fungsi
       akan sangat membantu penganalisis ekonomi
       dalam menentukan nilai optimal variabel
       ekonomi yang dimasukkan dalam model yang
       digunakan.

                    --------------------------------




Analisis Optimasi
                                                       38

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Categories:
Stats:
views:597
posted:4/26/2011
language:Indonesian
pages:38
Description: Manajemen Operasi bu Mei semester 5