Docstoc

RELASI

Document Sample
RELASI Powered By Docstoc
					                                            RELASI

Hubungan antara anggota-anggota himpunan direpresentasikan dengan menggunakan struktur
yang disebut relasi. Untuk mendeskripsikan relasi antara anggota-anggota dua himpunan A dan
B, dapat digunakan pasangan terurut dengan anggota pertamanya diambil dari A dan anggota
keduanya diambil dari B. Karena ini merupakan relasi antara dua himpunan, maka disebut relasi
biner.

Misalkan A dan B himpunan. Suatu relasi biner dari A ke B adalah subhimpunan dari A´B.

    Untuk relasi biner R berlaku R       AxB.

    Digunakan notasi aRb untuk menyatakan (a,b)ϵR dan aRb untuk menyatakan (a,b) R.

    Jika (a, b) merupakan anggota R, a dikatakan berelasi dengan b oleh R.

Contoh 1 :

Misalkan O himpunan orang, A himpunan angkutan kota, dan N relasi yang mendeskripsikan
siapa yang menaiki angkot tertentu.

         O = {Budi, Adi, Malik, Wandi},

         A = {gejayan-malioboro (GM), tugu-kaliurang (TK), amplas-terminal (AT)}

         N = {(budi, GM), (adi, GM), (adi, TK), (malik, AT)}

Artinya budi naik angkot ke gejayan-malioboro, adi naik angkot gejayan-malioboro, adi naik
angkot tugu-kaliurang, malik naik angkot amplas-terminal dan wandi tidak menaiki salah satu
dari angkot tersebut.

FUNGSI RELASI

Fungsi f dari A ke B memasangkan tepat satu anggota B pada setiap anggota A. Graf dari f
adalah himpunan pasangan terurut (a,b) sehingga b = f(a). Karena graf dari f merupakan
subhimpunan dari AxB, maka graf merupakan relasi dari A ke B. Untuk setiap aϵA, terdapat
tepat satu pasangan terurut di dalam graf dengan a sebagai anggota pertama. Sebaliknya, jika R
suatu relasi dari A ke B sehingga setiap anggota A merupakan anggota pertama dari tepat satu
pasangan terurut di R, maka dapat didefinisikan suatu fungsi dengan R sebagai grafnya.Ini
dilakukan dengan memasangkan pada setiap anggota aϵA tepat satu bϵB sehingga (a,b)ϵR.Relasi
adalah perumuman dari fungsi.

RELASI PADA HIMPUNAN

Suatu relasi pada himpunan A adalah relasi dari A ke A. Relasi pada himpunan A adalah
subhimpunan dari AxA.

Contoh 2.

Misalkan A = {1, 2, 3, 4}. Himpunan terurut manakah yang terdapat dalam relasi

R = {(a, b) | a < b}

Solusi. R = {(1,2) (1,3) (1,4) (2,3) (2,4) (3,4)}


    1.                 .1

    2.                 .2

    3.                 .3

    4.                 .4


         R    1        2    3     4
         1             x    x     x
         2                  x     x
         3                        x
         4



Banyaknya subhimpunan yang dapat dibentuk dari suatu himpunan dengan m anggota adalah 2m.
Jadi, ada 2n2 subhimpunan dapat dibentuk dari AxA. Sehingga, dapat didefinisikan 2n2 relasi
berbeda pada A.
SIFAT RELASI

1. Relasi R pada himpunan A disebut refleksif jika (a,a)ϵR untuk setiap anggota aϵA.

Apakah relasi berikut pada {1, 2, 3, 4} refleksif

        R = {(1, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 3), (4, 4)} tidak

        R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 3), (4, 4)} ya

        R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}              tidak

Relasi R pada himpunan A disebut simetris jika (b,a)ϵR setiap kali (a,b)ϵR untuk setiap a,bϵA.

Relasi R pada himpunan A disebut antisimetris jika a = b setiap kali (a,b)ϵR dan (b,a)ϵR.

Contoh :

Apakah relasi berikut pada {1, 2, 3, 4}

simetris atau antisimetris?

R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (3, 3), (4, 4)}      simetris

R = {(1, 1)}                                      simetris dan antisimetris

R = {(1, 3), (3, 2), (2, 1)}                      antisimetris

R = {(4, 4), (3, 3), (1, 4)}                      antisimetris




2. Relasi R pada himpunan A disebut transitif jika setiap kali (a,b)ϵR dan (b,c)ϵR, maka (a,c)ϵR
   untuk a,b,cϵA.

Apakah relasi berikut pada {1, 2, 3, 4} transitif?

R = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 1), (3, 3)} ya

R = {(1, 3), (3, 2), (2, 1)}              tidak
R = {(2, 4), (4, 3), (2, 3), (4, 1)}       tidak




MENGHITUNG RELASI

Relasi pada A adalah subhimpunan dari AxA, yang memuat n2 anggota. Jadi, relasi yang berbeda
pada A dapat dibangun dengan memilih subhimpunan yang berbeda dari n2 anggota, sehingga
terdapat 2n2 relasi. Namun, suatu relasi refleksif harus memuat n anggota (a,a) untuk setiap aϵA.

Konsekuensinya, kita hanya dapat memilih di antara n2 – n = n(n – 1) anggota untuk membangun
relasi refleksif, sehingga terdapat 2n(n – 1) relasi.




KOMBINASI RELASI

Relasi adalah himpunan, sehingga operasi himpunan dapat diaplikasikan. Jika ada dua relasi R1
dan R2, dan keduanya dari himpunan A ke himpunan B, maka terdapat kombinasi R1          R2 , R1
R2, atau R1 – R2 yang merupakan suatu relasi dari A ke B. Misalkan R relasi dari A ke B dan S
relasi dari B ke C. Komposisi dari R dan S adalah relasi yang memuat himpunan terurut (a,c),
dengan aϵA, cϵC, di mana terdapat anggota bϵB sehingga (a,b)ϵR dan (b,c)ϵS. Komposisi dari R
dan S dinotasikan oleh S°R. Jika relasi R memuat pasangan (a, b) dan relasi S memuat pasangan
(b,c), maka S°R memuat pasangan (a,c).

Contoh 4.

Misalkan D dan S relasi pada A = {1, 2, 3, 4}.

D = {(a, b) | b = 5 - a}          “b sama dengan (5 – a)”

S = {(a, b) | a < b}              “a lebih kecil dari b”

D = {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)}

S = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}

S°D = {(2.4) (3,3) (3,4) (4,2) (4,4) (4,4)}
D memetakan suatu anggota a ke anggota (5 – a), dan setelah itu S memetakan (5 – a) pada
semua anggota yang lebih besar dari (5 – a), yang menghasilkan

S°D = {(a,b) | b > 5 – a} atau S°D = {(a,b) | a + b > 5}.




Kuasa dari Relasi

Misalkan R relasi pada himpunan A. Kuasa Rn, n = 1, 2, 3, …, didefinisikan secara induktif

R1 = R

Rn+1 = Rn°R

Dengan kata lain:

Rn = R°R° … °R (sebanyak n kali)

Relasi R pada A transitif jika dan hanya jika Rn   R untuk setiap bilangan bulat positif n.




Representasi Relasi

Beberapa cara untuk merepresentasikan relasi: pasangan terurut.

Dua cara:

matriks nol-satu dan graf beraraf (digraf).

Jika R relasi dari A = {a1, a2, …, am} ke B =
{b1, b2, …, bn}, maka R dapat direpresentasikan oleh matriks nol-satu MR = [mij] dengan

         mij = 1, jika (ai,bj)ϵR, dan

         mij = 0, jika (ai,bj) R.
Contoh.

Bagaimana merepresentasikan relasi
R = {(2, 1), (3, 1), (3, 2)} sebagai matriks nol-satu

Matriks MR diberikan oleh

              0 0 
        M R  1 0
                  
              1 1
                  

Sifat Matriks Representasi Relasi

Matriks yang merepresentasikan relasi refleksif? Setiap elemen diagonal dari matriks Mref
haruslah 1.
               1                  
                1                 
                                  
                       .          
      M ref                      
                           .      
                               .  
                                  
               
                                 1
                                   


Matriks yang merepresentasikan relasi simetris? Matriksnya juga simetri, yaitu MR = (MR)t.

       1      0   1   1
       0      1   0   0
  MR                         matriks simetri,relasi simetris.
       1      0   0   1
                       
       1      0   1   1
       1     1    0   0
       1     1    0   0        matriks tak-simetri, relasi tak-simetris
  MR                  
       1     1    0   0
                       
       1     1    0   0
Digraf

Graf berarah (atau digraf) memuat himpunan titik (atau vertex) V dan himpunan E yang terdiri
dari pasangan terurut dari anggota-anggota V yang disebut sisi (atau arc). Vertex a disebut vertex
awal dari sisi (a,b), dan vertex b disebut vertex akhir dari sisi ini. Kita dapat menggunakan panah
untuk mengilustrasikan digraf.

Representasi Relasi dengan Digraf

Contoh: Ilustrasikan digraph dengan V = {a, b, c, d},
E = {(a, b), (a, d), (b, b), (b, d), (c, a), (c, b), (d, b)}.




Sisi dalam bentuk (b, b) disebut loop.


Relasi Inversi

Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B. Invers dari relasi R, dilambangkan
dengan R–1, adalah relasi dari B ke A yang didefinisikan oleh

             R–1 = {(b, a) | (a, b)  R }
Contoh Misalkan P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 15}. Jika kita definisikan relasi R dari P ke Q
dengan

         (p, q)  R jika p habis membagi q

maka kita peroleh

         R = {(2, 2), (2, 4), (4, 4), (2, 8), (4, 8), (3, 9), (3, 15) }
R–1 adalah invers dari relasi R, yaitu relasi dari Q ke P dengan

       (q, p)  R–1 jika q adalah kelipatan dari p

maka kita peroleh

Mengkombinasikan Relasi
Karena relasi biner merupakan himpunan pasangan terurut, maka operasi himpunan seperti
irisan, gabungan, selisih, dan beda setangkup antara dua relasi atau lebih juga berlaku.
Jika R1 dan R2 masing-masing adalah relasi dari himpuna A ke himpunan B, maka R1  R2, R1 
R2, R1 – R2, dan R1  R2 juga adalah relasi dari A ke B.
Contoh Misalkan A = {a, b, c} dan B = {a, b, c, d}.
Relasi R1 = {(a, a), (b, b), (c, c)}
Relasi R2 = {(a, a), (a, b), (a, c), (a, d)}
R1  R2 = {(a, a)}
R1  R2 = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (a, d)}
R1  R2 = {(b, b), (c, c)}
R2  R1 = {(a, b), (a, c), (a, d)}
R1  R2 = {(b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (a, d)}

Komposisi Relasi

Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, dan S adalah relasi dari himpunan B
ke himpunan C. Komposisi R dan S, dinotasikan dengan S  R, adalah relasi dari A ke C yang
didefinisikan oleh S  R = {(a, c)  a  A, c  C, dan untuk beberapa b  B, (a, b)  R dan (b,
c)  S }Komposisi relasi R dan S lebih jelas jika diperagakan dengan diagram panah:


                                                2
                           1
                                                4                   s

                           2                                        t
                                                6
                           3                    8                   u



                                              Fungsi


Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner f dari A ke B merupakan suatu fungsi jika setiap
elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B.
Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan
               f:AB
yang artinya f memetakan A ke B.
      A disebut daerah asal (domain) dari f dan B disebut daerah hasil (codomain) dari f.

      Nama lain untuk fungsi adalah pemetaan atau transformasi.

      Kita menuliskan f(a) = b jika elemen a di dalam A dihubungkan dengan elemen b di
       dalam B.
      Jika f(a) = b, maka b dinamakan bayangan (image) dari a dan a dinamakan pra-
       bayangan (pre-image) dari b.

      Himpunan yang berisi semua nilai pemetaan f disebut jelajah (range) dari f. Perhatikan
       bahwa jelajah dari f adalah himpunan bagian (mungkin proper subset) dari B.


                                        A                            B

                                                   f

                                        a                            b




MACAM-MACAM FUNGSI
FUNGSI INJEKTIF/INTO/SATU-KE-SATU
Fungsi f dikatakan satu-ke-satu (one-to-one) atau injektif (injective) jika tidak ada dua elemen
himpunan A yang memiliki bayangan sama.

              A                 B

          a                         1
          b                         2

          c                         3

          d                         4
                                    5




Contoh Relasi

       f = {(1, w), (2, u), (3, v)}

dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w, x} adalah fungsi satu-ke-satu,

Tetapi relasi
         f = {(1, u), (2, u), (3, v)}

dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} bukan fungsi satu-ke-satu, karena f(1) = f(2) = u.

FUNGSI SURJEKTIF/ONTO/PADA

        Fungsi f dikatakan dipetakan pada (onto) atau surjektif (surjective) jika setiap elemen
         himpunan B merupakan bayangan dari satu atau lebih elemen himpunan A.

         Dengan kata lain seluruh elemen B merupakan jelajah dari f. Fungsi f disebut fungsi pada
         himpunan B.

             A                 B

         a                         1
         b                         2

         c                         3

         d




Contoh Relasi

         f = {(1, u), (2, u), (3, v)}

dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} bukan fungsi pada karena w tidak termasuk jelajah dari f.

Relasi

         f = {(1, w), (2, u), (3, v)}

dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} merupakan fungsi pada karena semua anggota B merupakan
jelajah dari f.

Contoh Misalkan f : Z  Z. Tentukan apakah f(x) = x2 + 1 dan f(x) = x – 1 merupakan fungsi
pada?
Penyelesaian:
(i) f(x) = x2 + 1 bukan fungsi pada, karena tidak semua nilai bilangan bulat merupakan jelajah
      dari f.
(ii) f(x) = x – 1 adalah fungsi pada karena untuk setiap bilangan bulat y, selalu ada nilai x yang
       memenuhi, yaitu y = x – 1 akan dipenuhi untuk x = y + 1.
FUNGSI BIJEKTIF/KORESPONDENSI SATU-SATU

Fungsi f dikatakan berkoresponden satu-ke-satu atau bijeksi (bijection) jika ia fungsi satu-ke-
satu/injektif/into dan juga fungsi pada/onto/surjektif.

Contoh Relasi

       f = {(1, u), (2, w), (3, v)}

dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, karena f
adalah fungsi satu-ke-satu maupun fungsi pada.


Contoh Fungsi f(x) = x – 1 merupakan fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, karena f adalah
fungsi satu-ke-satu maupun fungsi pada.


                    Fungsi satu-ke-satu,                  Fungsi pada,
                       bukan pada                      bukan satu-ke-satu
                                      B                A
                A                                                    B
                                           1       a
            a                                                            1
                                           2       b
            b                                                            2
                                           3       c
            c                                                            3
                                           4       dc




                    Buka fungsi satu-ke-satu                      Bukan fungsi
                       maupun pada
                    A                 B
                                                       A             B

                a                         1
                                                   a                     1
                b                         2                              2
                                                   b
                c                         3                              3
                                                   c
                dc                        4        dc                    4
FUNGSI INVERS

Jika f adalah fungsi berkoresponden satu-ke-satu dari A ke B, maka kita dapat menemukan
balikan (invers) dari f. Balikan fungsi dilambangkan dengan f –1. Misalkan a adalah anggota
himpunan A dan b adalah anggota himpunan B, maka f -1(b) = a jika f(a) = b.
Komposisi dari dua buah fungsi.
Misalkan g adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B, dan f adalah fungsi dari himpunan B
ke himpunan C. Komposisi f dan g, dinotasikan dengan f  g, adalah fungsi dari A ke C yang
didefinisikan oleh

             (f  g)(a) = f(g(a))
Contoh Diberikan fungsi
g = {(1, u), (2, u), (3, v)}
yang memetakan A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w}, dan fungsi
         f = {(u, y), (v, x), (w, z)}
yang memetakan B = {u, v, w} ke C = {x, y, z}. Fungsi komposisi dari A ke C adalah
        f  g = {(1, y), (2, y), (3, x) }


Contoh Diberikan fungsi f(x) = x – 1 dan g(x) = x2 + 1. Tentukan f  g dan g  f .
Penyelesaian:
       (i) (f  g)(x) = f(g(x)) = f(x2 + 1) = x2 + 1 – 1 = x2.
       (ii) (g  f)(x) = g(f(x)) = g(x – 1) = (x –1)2 + 1 = x2 - 2x + 2.