Docstoc

LIMIT (PDF)

Document Sample
LIMIT (PDF) Powered By Docstoc
					LIMIT

Definisi

Mengambarkan seberapa jauh sebuah fungsi akan berkembang apabila variabel didalam fungsi
yang bersangkutan terus-menerus berkembang mendekati suatu nilai tertentu.

Y = f(x), akan dapat diketahui limit atau batas perkembangan f(x) apabila variabel x terus
menerus berkembang hingga mendekati nilai tertentu. Jika L manakala variabel x mendekati a (a
dan L adalah konstanta). Maka L adalah limit fungsi f(x) untuk x mendekati a, ditulis:
             = L ( dibaca limit fungsi f(x) untuk x mendekati a adalah L).

Untuk x a, harus ditafsirkan x mendekati a, bukan x = a. untuk lim f(x) = L, ditafsir L adalah
limit fungsi f(x), bukan L adalah nilai f(x). diringkas :

               = L ===== bukan berarti f(a) = L

Contoh :

    1. Andaikan y = f(x) = 1 – 2x²,
       maka               =                         =-7
                             = -17

Limit sisi-kiri dan limit sisi-kanan
Analisa mengenai limit suatu fungsi sesungguhnya dapat dipilah menjadi dua bagian, apabila
kita menganalisa                dari nilai-nilai x yang lebih kecil daripada a (dari x < a),berate
melihat dari sisi kiri. Sebaliknya jika kita menganalisa                 dari nilai yag lebih besar
daripada a (dari x > a), berarti kita melihat dari sisi kanan.



                                                   Terdiri atas




        (dari sisi kiri x< a )                                                  (dari sisi kanan x > a)

Limit sisi kiri (x a dari sisi kiri melalui nilai-nilai x < a), jika
                      berarti L⁻ merupakan limit sisi kiri dari f(x) untuk x a
Limit sisi kanan (x a dari sisi kanan ,melalui nilai-nilai x > a),jika
                    berarti L⁺ merupakan limit sisi kanan dari f(x) untuk x a
Dalam kasus semacam ini:




Contoh :
   1.                      = -7 (terdefinisi)
        Sebab                      =                      = -7
   2. Andaikan y = f(x) = -3/x, maka




        Karena                                   , maka             , tidak terdefinisi


Kaidah – kaidah limit
   1. Jika y = f(x) = xⁿ dan n > 0,maka
        Contoh :



   2. Limit dari suatu konstanta adalah konstanta itu sendiri.

        Contoh:

   3. Limit dari suatu penjumlahan (pengurangan) fungsi adalah jumlah(selisih) dari limit
      fungsi-fungsinya.

        Contoh:

        =
   4.                                                 Limit dari suatu perkalian fungsi adalah
        perkalian dari limit fungsi-fungsinya.

        Contoh:
   5.                                              Limit dari suatu pembagian fungsi adalah
        pembagian dari limit fungsi-fungsinya, dengan syarat imit fungsi pembaginya tidak sama
        dengan nol.


        Contoh :




   6.                                                 Limit dari suatu fungsi berpangkat n adalah
        dari limit fungsinya

        Contoh :

   7.                                                 Limit dari suatu fungsi terakar berpangkat
        positif adalah akar dari limit fungsinya.
                                             , dimana n > 0
        Contoh :
                                                                           4
   8.                                               Dua buah fungsi yang serupa mempunyai
        limit yang sama. Jika f(x) = g(x) untuk semua nilai x a dan


Penyelesaian kasus-kasus khusus

Bahwa limit suatu fungsi tidak boleh membuahkan hasil taktentu yang berbentuk 0/0 atau             .

   A.                                              Bentuk taktentu 0/0
        Contoh (limit pembagian fungsi)pada kaidah 5:
        1.                                         Y = f(x)/g(x) = (x² - 25)/(x – 5), jika
                                        , langsung mensubtitusikan x = 5, maka akan
            memperoleh hasil taktentu 0/0, bahwa x 5 bukan berarti x = 5.
            Jika                        , dengan cara menguraikan :
           Y = (x² - 25)/(x – 5), sehingga y = (x -5)(x + 5)/(x – 5)
           Jadi y = (x + 5) menghasilkan bukan 0/0
        2.                                           F (x) = {(x – 3)² - 9} / x, jika
                                      , jika langsung mensubtitusikan x = 0 ,akan memperoleh
          hasil 0/0, sebab f(x) = 0/0 jika x = 0. Jika x   0, dapat diurai-sederhanakan menjadi:
          (x² - 6x + 9 -9)/ x = (x² - 6x)/x = x(x – 6)/x = x – 6, maka


B.                                                    Bentuk taktentu
     Bentuk taktentu dapat terjadi dalam kasus penentuan limit pembagian fungsi. Misalkan
     lim {f(x)/g(x)} untuk variabel x                   , yang pontensial untuk terjadi dapat
     dihindari dengan cara membagi pembilang dan peyebut dengan variabel berpangkat
     tertinggi pada penyebut.
     Contoh :
     1.                                       Andaikan y(x) = f(x)/g(x) =
          (                      dan ingin mengetahui lim y(x) untuk x    .
          Dengan cara membagi pembilang dan penyebut dengan               , diperoleh:



     2.



     Penyelesaian pintas limit fungsi pembagi untuk x
     Dari cara yang diatas terdapat cara yang lebih singkat dalam menentukan lim f(x)/g(x)
     untuk x     . dengan cara membagikan suku-suku berpangkat tertinggi pada pembilang
     dan penyebutnya.
     Jika , y(x) =

     Dimana f(x) dan g(x) merupakan fungsi polinom berderajat m dan berderajat n.
     Maka,               =0        dalam hal m < n
                         =          dalam hal m = n


                            =+           dalam hal m> n dan          >0
                            =-           dalam hal m > n dan         <0
     Kaidah ini hanya berlaku jika y(x) merupakan fungsi pembagi dan limit x             .

     Contoh:
     1. Y(x) = (                               merupakan fungsi pembagi untuk x              dimana
          m= 5, n = 6,                       ,karena m < n,maka                    =0
     2.   Y(x) = (                                         untuk x
     Dimana m = 3, n = 3,
     Maka

3.                            , dimana m = 2, n = 1,                    ,
     Maka
4.                            , dimana m = 2, n = 1,                        ,
     Maka

     Kesinambungan
     Sebuah fungsi dikatakan sinambung apabila gambar kurvanya tidak terputus
     sedangkan asinambung sebaliknya.
     A. sinambung
     Untuk lim f(x) dimana x     bukanlah berarti f(x) pada x = a. untuk lim f(x) untuk
     x        dapat sama dengan x =a dan dapat pula x     . Apabila lim f(x) dimana x
     terdefinisi dan f(x) untuk x = a terdefinisi maka fungsi f(x) dikatakan bersinambung
     dengan x = a,jadi :
     Sebuah fungsi f(x) dikatakan sinambung pada x = a, jika
     1. f(a) ,terdefinisi
     2.                ,terdefinisi
     3.                          .
     B. Asinambung
        Fungsi f(x) dikatakan asinambung tak terhingga pada x = a jika f(x) manjadi
        positif atau negative tak terhingga untuk x  ; yakni jika f(a) dan lim f(x) untuk
          x      tidak terdefinisi.kurva dari fungsi yang asinambung tak berhingga pada x =
          a mendekati x = a sebagai sebuah asimtot.
          Contoh :
          1. Fungsi f(x) = 9/(x – 3)² asinambung tak berhingga pada x = 3, sebab f(3) dan
             lim f(x) untuk x     , tidak terdefinisi; dalam hal ini f(3) = dan
                                     .
             Fungsi ini sinambung pada semua nilai x selain x=3.
          2. Fungsi f(x) = 3/x asinambung berhingga pada x = 0 sebab f(x) terdefinisi tapi
             berubah secara drastic pada x = 0, karena lim f(x) untuk x   tidak
               terdefinisi.
               F(0) = 3/0 =
     Karena limit sisi kiri   limit sisi kanan, maka lim f(x) untuk x     tidak
     terdefinisi.
     Perhatikan f(x) untuk nilai x tertentu
     X           -3      -2          -1      0        1       2           3
     F(x)        -1      -1,5        -3               3       1,5         1
     Ciri ketidaksinambungan adalah nilai fungsinya sama dengan limit salah satu
     sisinya. Yaitu f(0)=     sama dengan                                         .


     •   Fungsi f(x) dikatakan asinambung titik pada x = a jika f(a) tidak terdefinisi
         tapi limit f(x) untuk x   terdefinisi, kurva fungsinya seakan-akan
         sinambung, namun sesungguhnya terputus karena pada x = a tersebut f(x)
         tidak terdefinisi yang disebut “titik-yang-hilang”
         Contoh :
         1. Fungsi f(x) = (x² - 4)/(x – 2) asinambung titik pada x = 2 sebab f(2)
             tidak terdefinisi tapi lim f(x) untuk x    terdefinisi.
            Untuk f(2) = (4 – 4)/(2 -2) = 0/0 tidak terdefinisi.
            Untuk x 2,f(x) dapat disederhanakan menjadi:
            f(x) = (x² - 4)/(x – 2)
                = (x + 2)(x – 2)/(x – 2)
                = (x + 2)
            Sehingga                                        , kurvanya adalah garis
            lurus.




4.
5.