DEFERENSIAL

Document Sample
DEFERENSIAL Powered By Docstoc
					                                                  DEFERENSIAL



Kuosien diferensi dan derivatif
   Jika y = f(X) dan terdapat tambahan variabel x sebesar              (delta x), maka bentuk
      persamaannya:
         y = f(x)
         y+      = f(x +        )
              = f(x +      )–y
              = f(x +      ) – f(x)

Jika ruas kiri dan ruas kanan sama-sama dibagi             , maka diperoleh :

  =

Bentuk     , adalah kuosien diferensi.

Contoh :

Tentukan kuosien diferensi dari y= f(x) = 3x² - x

Jawab:

Y = 3x² - x

y+       = 3(x +        )² - (x +     )

y+       = 3{x² + 2x(        )+(      )²} – x -

y+       = 3{x² + 2x(        )+(      )²} – x -

              = 3x² + 6x(       )+3       )² – x -    -y

              = 3{x² + 2x(          )+(   )²} – x -   - 3x² + x
Proses penurunan sebuah fungsi

adalah proses pendiferensian atau diferensiasi.

Jika : y = f(x)

Maka kuosien deferensinya :      =

Dan turunan fungsinya :              =

Contoh :

Dari persamaan y = 3x² - x

Diperoleh kuosien diferensi                       (pada contoh sebelumnya)

            =

        = 6x + 3(0) – 1

        = 6x – 1

Jadi turunan atau derivative dari fungsi y = 3x² - x adalah

            = 6x - 1



*Cara menulis turunan dari suatu fungsi

Jika y = f(x), maka turunan dapat ditulis dengan notasi

                  y’



Kaidah –kaidah deferensiasi

Secara umum membentuk sebuah fungsi, langkah-langkahnya sebagai berikut :

    1. Adaikan fungsi aslinya ialah y = f(x)
    2. Masukan tambahan x dan tambahan y untuk memperoleh

    3. Manipulasikan untuk memperoleh
   4. Bagi kedua ruas dengan        sehingga diperoleh kuosien diferensinya
         =
   5. Tentukan limit untuk           , sehingga diperoleh turunan fungsi
                   =



Berikut ini sejumlah kaidah yang digunakan untuk menurunkan berbagai bentuk fungsi tertentu :

   1. Diferensiasi konstanta
      Jika y = k , dimana k adalah konstanta, maka dy/dx = 0
      Contoh :
      y=5,


   2. Diferensiasi fungsi pangkat
       Jika y =    , dimana n adalah konstanta maka
       Contoh :
       Y= ,


   3. Diferensiasi perkalian konstanta dengan fungsi
       Jika y = kv, dimana v = h(x), maka
       Contoh :
       Y=      ,


   4. Diferensiasi pembagian konstanta dengan fungsi
       Jika y = , dimana v = h(x), maka
       Contoh :




   5. Diferensiasi penjumlahan(pengurangan )fungsi
      Jika y =       , dimana u = g(x) dan v = h(x)
       Maka,
       Contoh :
                                                              misal :




6. Diferensiasi perkalian fungsi
   Jika y = uv, dimana u = g(x) dan v = h(x)
   Maka ,
   Contoh :




7. Diferensiasi pembagian fungsi
   Jika y = , dimana u = g(x) dan v = h(x)

   Maka,
   Contoh :
   Y=




8. Diferensiasi fungsi komposit
   Jika y = f(u), sedangkan u = g(x), dengan kata lain y = f{g(x)}
   Maka,
   Contoh :
                     , misal               , sehingga
               ,
   =
9. Diferensiasi fungsi berpangkat
   Jika         , dimana u = g(x) dan n adalah konstanta
   Maka
   Contoh :
                     , misal




   =
10. Diferensiasi fungsi logaritmik
   Jika,
   Contoh :



11. Diferensiasi fungsi komposit- logaritmik
   Jika
   Contoh :




12. Diferensiasi fungsi komposit-logaritmik-berpangkat
    Jika
   Maka,
   Contoh :
13. Diferensiasi fungsi logaritmik- napier
   Jika ,
   Contoh :
   Y = ln 5,


   (ingat bahwa, ln x =                              )
14. Diferensiasi fungsi komposit-logaritmik-napier
   Jika,
   Contoh :




15. Diferensiasi fungsi komposit-logaritmik-napier –berpangkat
    Jika y = (ln u , dimana u = g(X) dan n adalah konstanta
   Maka,
   Contoh :




16. Deferensiasi fungsi eksponensial
    Jika        , dimana a adalah konstanta,
   Maka,
   Contoh :
17. Diferensiasi fungsi komposit-eksponensial
   Jika ,
   Contoh :




18. Diferensiasi fungsi kompleks
    Jika,         , diaman u = g(x) dan v = h(x)
   Maka,
   Contoh :




19. Diferensiasi fungsi kebalikan
    Jika, y = f(x) dan x = g(y) adalah fungsi-fungsi yang saling berbalikan (inverse functions)
   Maka,
   Contoh :




20. Diferensiasi komposit
    Jika f(x,y) = 0 , dy/dx dapat diperoleh dengan cara mendeferensiasikan suku demi suku
    dengan menganggap y sebagai fungsi dari x.
    Contoh :
Hakekat derivatf dan diferensial

Kuosien diferensi         tak lain adalah lereng dari kurva y = f(x). sedangkan derivative
dy/dx adalah lim(         untuk
Notasi derivative dy/dx sesungguhnya terdiri atas dua suku yaitu dy dan dx. Suku dy
dinamakan diferensial dari y dan suku dx dinamakan diferensial dari x.
                               Diferensial dari x : dx =
                             Diferensial dari y : dy =
Untuk fungsi y = f(x) yang linear,lereng taksiran senantiasa sama dengan lereng
sesungguhnya, berapapun . Dengan kata lain derivative fungsi linear adalah kuosien
diferensinya , dy/dx =       . Berapapun           , akan selalu dy =   , sehingga
                                     dy/dx =        .

Contoh :
Andaikan y = 3x² - 4x + 5 dan ingin diketahui serta dibandingkan nilai dy dan        untuk
   = 0,0001 dan kedudukan x = 2?
Penyelesaian:




Derivative dari derivative

Sesunguhnya setiap fungsi dapat diturunkan lebih dari satu kali.
Fungsi awal : y
Turunan pertama :

Turunan kedua :
Turunan ketiga :

Turunan ke-n :
Contoh :
                                    …………………………………..fungsi kubik
                            …………………………………………..fungsi kuadrat

                     …………………………………………………fungsi linear

                ………………………………………………………..konstanta




Fungsi menaik dan fungsi menurun

Jika derivative pertama f’(x) > 0 (lereng kurvanya positif pada x = a),maka y = f(x)
merupakan fungsi menaik. Sedangkan jika derivative pertama f’(a) < 0 (lereng kurvanya
negative pada x = a), maka y = f(x) merupakan fungsi menurun. Apabila derivative
pertama f’(x) = 0 berarti f(x) berada di titik ekstrimnya yang merupakan titik maksimum
atau titik minimium.

Contoh :
Tentukan apakah y = f(x)=
                                                                          . selidiki pula
untuk x = 6.
Penyelesaian:
f(x)=
f’(x) = x² -8x + 12
f’(5) = (5)² - 8(5) + 12 = -3 < 0, berarti y = f(x) menurun pada x = 5
f’(7) = (7)² - 8(7) + 12 = 5 > 0, berarti y = f(x) menaik pada x = 7
f’(6) = (6)² - 8(6) + 12 =0 , berarti y = f(x) titik ekstrim pada x= 6 adalah titik minimum


Titik ekstrim fungsi parabolic

dalam hal y = f(x) adalah sebuah fungsi parabolic, derivative pertama berguna untuk
menentukan letak titik ekstrimnya, sedangkan derivative kedua guna untuk mengetahui
jenis titik ekstrim yang bersangkutan.
Parabola y = f(x) mencapai titik ekstrim pada y’= 0
• Jika y’’ < 0 : bentuk parabola terbuka kebawah, titik ekstrimnya adalah titik
   maksimum.
• Jika y’’ > 0 : bentuk parabola terbuka ke atas, titik ekstrimya adalah titik minimum.



Contoh :

Andaikan y = -x² + 6x – 2

Maka : y’ = -2x + 6

         Y’’ = -2 < 0

Karena y’’ < 0 ,maka parabola terbuka kebawah, titik ekstrim maksimum.

Koordinat titik maksimum :

Syarat y maksimum; y’ = 0

Untuk x = 3

Jadi titiknya (3, 7)



Diferensial parsial

Sebuah fungsi hanya mengandung satu variabel bebas hanya akan memiiki satu macam
turunan. Apabila y = f(x) maka turunannya hanyalah turunan y terhadap x dengan kata
lain y’ = dy/dx. Jika sebuah fungsi mempunyai n macam variabel bebas maka ia akan
memiliki n macam turunan. Jika y = f(x, z)maka akan terdapat dua macam turunan, yaitu
turunan y terhadap x atau    dan turunan y terhadap z atau

Dengan demikian :
Contoh :



(1)

(2)

Masih dapat diturunkan secara parsial lagi:

(1a)


(1b)


(2a)


(2b)



Nilai ekstrim : maksimum dan minimum

Untuk y = f(x, z)

Maka y akan mencapai titik ekstrimnya jika :




Syarat guna untuk mengetahui apakah titik maksimum atau minimum adalah:

Maksimum bila,


Minimum bila,



Contoh :

y = -x² + 12x - z² + 10z -45

tentukan titik ekstrimnya?
   Penyelesaian :




     2x + 12 = 0 , x = 6                                              -2z + 10 = 0, z = 5

               (6)² + 12(6) – (5)² + 10(5) – 45 = 16




   Optimasi bersyarat

1. Pengganda lagrange
   Cara membentuk sebuah fungsi baru, yang merupakan penjumlahan fungsi yang hendak
   dioptimasikan ditambahn hasil kali pengganda lagrange dengan fungsi kendala.
   Misal hendak dioptimasikan z = f(x, y)
   Dengan syarat harus dipenuhi u = g(x, y)
   Maka fungsi langrangenya:
                                F(x, y, ) = f(x, y) + g(x, y)

   Nilai ektrim F(x, y,    dapat dicari dengan memformulasikan masing-masing derivative
   parsial pertamanya sama dengan nol.




   Untuk mengetahui nilai maksimum dan minimum dilakukan penyelidikan derivative
   kedua:




   Contoh :
   Optimasikan z = xy dengan syarat x + 2y = 10
   Penyelesaian :
   F = xy + (x + 2y – 10)
   = xy +
   Syarat yang diperlukan agar F optimum, F’ = 0
    =y+      = 0 diperoleh
     = y + 2 = 0 diperoleh      =

  -y =       , berarti 2y = x
  Jadi,
  x + 2y = 10
  2y + 2y = 10, diperoleh y = 2,5. Selanjutnya x = 5
  Jadi,
   z optimum pada x = 5 dan y = 2,5
  dengan      = xy = (5) (2,5) = 12,5


2. Kondisi Kuhn- tucker
   Metode mengoptimumkan sebuah fungsi terhadap fungsi yang berbentuk
   pertidaksamaan.
   Maksimumkan fungsi tujuan f(x, y) terhadap kendala g(z,y) 0
   Minimumkan fungsi tujuan f(x, y) terhadap kendala g(x, y)        0

     Contoh :
     Maksimumkan f(x, y) = 10xy – 2,5x² - y² terhadap kendala x + y 9
     Penyelesaian:
     Dengan menganggap pertidaksamaan sebagai sebuah persamaan (x + y 9 menjadi
     x + y = 9) maka metode langrangenya:
     F(x, y, z) = 10xy – 2,5x² - y² -



     Jadi,
     10y – 5x = 10x – 2y
     -10x – 5x = -2y – 10 y
     -15x = -12y
     x = 0,8y

     menurut kendala : x + y = 9    0,8y + y = 9   y=5
     y=5      x = 0,8(5) = 4 sehingga f(x, y)maks = 10(4)(5) – 2,5(4)² - (5)² = 135
         = 10(5) – 5(4)   10(4) – 2(5) = 30
     karena > 0 berarti x = 4 dan y = 5

     dengan metode Kuhn-tucker dimana g(x, y) = x + y – 9       0
(a)

(b)
(c)

Jika = 0 maka x = y = 0 agar persamaan (a) dan (b) terpenuhi dan kendala x + y   0
juga terpenuhi dalam hal ini f(0, 0) = 0

Jika x + y – 9 = 0, maka x = 9 – y, sehingga :

(a)
(b)
      Jadi,



      27y = 135
      y=5
      untuk




      Maka x = 9 – y, x = 9 – 5 , x = 4
      Untuk,
      F(x, y) = 10(4)(5) – 2,5(4)² - (5)² = 135