常微分方程数值解法在建模中的应用

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Vol. 26 ¡¡ No . 6                                             Jo urnal of Xinxiang University ( Nat ural Science Edition)                                                  Dec. 2009


                                                                                                                                             3
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                       Appl ication of Numerical Solution of Ordinary Differential
                                        Equations in the Model ing
                                                                                  JIA Hong2yan
                       ( School of Mat hematics and Statistics ,Anyang Normal U niversity , Anyang 455000 , China)
           Abstract : Weighted imp rovement Euler met hod for co mp uting initial Problem in Differential equatio n is int roduced.
           Thro ugh examples , we compare wit h t he imp rovement Euler met hod , and find t hat t he weighted imp rovement Euler
           met hod is higher in accuracy. Applied to mat hematical modeling , t his met hod can better solve p ractical p roblems.
           Key words : t he weighted met hod ; t he imp roved Euler met hod ; numerical model.


0 ¡¡                                                                                           Lip schitz ı … :| f ( t , u) - f ( t , u) | ¡ L | u - u| ,                               ´
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                                                                                           ˇ        ‡                  ‰ ¡£ E2mail :jiahy 1226 @126. com ¡£
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                                                                                                                                                           •¤               „ß
                                                                                                                                                                           ‰Æ
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                             ˚ Ø ‰Æ – ˆ ¸ –¨ ‚˜ ‰ł ¯• › •‰ ˜ «
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                                                                                                                                                                                     m

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1 ¡¡ …¨¤ ˚   ‰•¤ ˜ „„                                                                                                          0. 2                 1. 183 2                     1. 179 0
         ˘‰ ¢ ¶…               •¤‡   `¢
      ‰¤ ¡¢ †… ¨¨ ˛ Æ· ¯• › •‰ •¢‰¤ `¸
                                                                                                                               0. 3                 1. 264 9                     1. 261 0
                  [1 ]
ˇ ƒ ˜ …¨¤˚    ‰•¤ ,˘       •¤ ¨ ˇ´ :
                                                                                                                               0. 4                 1. 341 6                     1. 337 9
        ¶ ˇ ˚‰”˝                       ¯•
                                     ˚‰ › •‰•¤
                                                                                                                               0. 5                 1. 414 2                     1. 410 7
            un+1 - un = hf ( t n , un ) , ¡¡ ¡¡ ¡¡ ¡¡ ¡¡ ¡¡ ( 1 )
            un - un- 1 = hf ( t n , un ) , ¡¡ ¡¡ ¡¡                                  ¡¡ ¡¡ ( 2)                                0. 6                 1. 483 2                     1. 479 9

¨¡ …¨¤                       ƒ¨(ƒ¨ ¡˚ [ 0 , 1 ]) ‰ł—— ¨¤ ,
                                                    …                              ƒ¨ ¡` ( 1 ) + ( 1                           0. 7                 1. 549 2                     1. 546 0

 - ƒ¨) ¡` ( 2) ˆ : ƒ¨ ¡` ( un+1 - un ) + ( 1 - ƒ¨) ( un - un- 1 ) =                                                            0. 8                 1. 612 5                     1. 609 4
ƒ¨ ¡` hf ( t n , un ) + ( 1 - ƒ¨) ¡` hf ( t n , un ) ,ß                                   »fl … ” ,ˆ                            0. 9                 1. 673 3                     1. 670 4
                                         -1
‰ : um+1 - um = 2                             h ( f ( t m , um ) + f ( t m+1 , um+1 ) ) , um                                   1. 0                 1. 732 1                     1. 739 2
                            -1
 - um- 1 = 2                     h ( f ( t m- 1 , um- 1 ) + f ( t m , um ) ) ,˘ — ˙ »
                                                                                                                    ¡¡ ¡¡ ˘ —              –
                                                                                                                                       1 `— ˚        – `¿ ˜            ,         –
                                                                                                                                                                             2 `— ˚ « ¨•
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                                                                                                                   ‰˜         ,            –   ¸
                                                                                                                                       3 `— ˚ …˘ ª ‰˜             ¡£
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        ƒ¨( ¡˚ [ 0 , 1 ]) ‰«
                           `‰˚‰… ¨¤ , ß                                                ƒ
                                                                                   ˆ ‰ : ¨u m+1 +
                                                                              -1                                           2) … ¨¤ ‚˜ ‰ł¯• › ˚              ‚æ ˚‰¡£ ‚ø             „« ˚‰¿ ˆ :
        Ĭ      Ĭ
 ( 1 - 2 ) um + ( - 1 ) um- 1                                          = 2         hf ( t m , um ) +
                                                                                                                   Ĭum + 1 + ( 1 - 2 ) um + ( Ĭ - 1 ) um - 1 = 2 - 1 h ( um -
                                                                                                                                     Ĭ
2 - 1ƒ¨ h f ( t m+1 , um+1 ) + 2 - 1 ( 1 - ƒ¨) hf ( t m- 1 , um- 1 ) , …·˛“
                                                                                                                   2 t/ um ) + 2 - 1Ĭ h ( um + 1 - 2 t/ um + 1 ) - 2 - 1 h ( 1 - Ĭ) ( um - 1
–˚      ‚ł ‡ ˜ … ¨¤ ‚˜ ‰ł¯• › ˚                                       ‚æ ˚‰¡£ ) – ƒ¨ = 1 ˚– ,
                                                                            1
                                                            -1                                                      - 2 t m - 1 / um - 1 ) ,ß ˆ                ¶
                                                                                                                                                  Matlab ‡ —‰ł—— ·˛ ˚ Ø ,•¢
ˇ ˚‰– ˛“ : um+1 - um = 2                                          h ( f ( t m , um ) + f ( t m+1 ,
                                                                                                                   ˇ       ƒ¨ = 0. 5 ˚– ,‰Æ ¯ ,‰Æ …ß 2 ¡£
                                                                                                                                           „ß          „ß –
 um+1 ) ) , ˛“ ˇ ” ˜ ‚˜ ‰ł¯• › •‰ ¡£ ) – ƒ¨ = 0 ˚– ,ˇ ˚‰
                                 •¤ 2
                                              -1
                                                                                                                                – 2 ¡¡ …¨¤ ‚˜ ‰ł¯• › ˚  ‚æ˚‰˚  „ß
                                                                                                                                                              ‰Æ
– ˛“ : um - um- 1 = 2                              h ( f ( t m- 1 , um- 1 ) + f ( t m , um ) ) ,
                                                                                                                         Tab. 2 ¡¡ Numerical solutio n of weighted imp rovement
             ¯       •¤
˛“ ˇ ˙ ˜ ‚˜ ‰ł • › •‰ ¡£
                                                                                                                                                  Euler met hod
              ¯
2 ¡¡ …¨¤ ‚˜ ‰ł • › ˚        ˜
                       ‚æ˚‰ ˛ † „ …˘
                                                                                                                                  tm                 u( t m )                       u1
                                                                                                                                                                                     m
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     …¨¤‚˜ ‰ł• › ˚       ˜
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                                                                                                                               0. 1                 1 . 095 4                    1 . 095 4
       ¶        ‡         œ
¸˘ ‚æ˚‰ ˛¢• •‰ º ¢ ¸ø †œ ˜ ˛ † ,…˘ ª
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                                             Ĭ                                     - 1        ( 3)
                                                                                                      ( t m ) h3               0. 2                 1 . 183 2                    1 . 183 2
„ß ¨ ˇ´ : R = u ( t m + 1 ) - um + 1 = - ( 12 )                                            u
            4                                                                                                                  0. 3                 1 . 264 9                    1 . 264 9
 + O ( h ) ¡£                    ·¸ ¿ “ … ¨¤ ‚˜ ‰ł¯• › ˚                             ‚æ ˚‰˜ « ¶¨
–¨ ‚˜ ‰ł˜ ¯• › ‚æ ˚‰ « ¶¨ ‚ » ‰ ¡£– ƒ¨ = 1 ˚– , R1 =
                    ˜                                                                                                          0. 4                 1 . 341 6                    1 . 341 6
        - 1         ( 3)             3                4
 - 12           u           ( t m ) h + O ( h ) , ¿ “ … ¨¤ ‚˜ ‰ł¯• › ˚                                                         0. 5                 1 . 414 2                    1 . 414 2
                                     3
‚æ ˚‰ « ¶¨ O ( h ) –¨ ˇ ” ˜ ‚˜ ‰ł¯• › •‰ ˜ « ¶¨ O
     ˜                                  •¤                                                                                     0. 6                 1 . 483 2                    1 . 483 3
 ( h2 ) ‚ » ‰ ¡£
                                                                                                                               0. 7                 1 . 549 2                    1 . 549 2
        ¶             … ¨¤ ‚˜ ‰ł¯• › ˚                                ˜       ˛
                                                                 ‚æ ˚‰ ˇ ¨ — ¡¢¨ ¶¤— ¡¢
                                                          [2 ]
                                                                                                                               0. 8                 1 . 612 5                    1 . 612 5
˚ `† — † ˚˙ ” ¨                           ¯—¶¤˜                  ¡£
                                                                                                                               0. 9                 1 . 673 3                    1 . 673 3
3 ¡¡ ˚    ˚ Ø
                                                                                                                               1. 0                 1 . 732 1                    1 . 732 1
       ´˙
      ¿… ‡ı ˛˚                                u¡ = u - 2 t/ u , u ( 0 ) = 1 , ˘ — 0 ¡
                                                            1 / 2 ¡¡ [ 3 ]
 t ¡ 1 ,˘                  ‰ ˛“ : u ( t m ) = ( 1 + 2 t m )                , ¨¡ h = 0 . 1 ,                         ¡¡ ¡¡ ¶   2          •¤ ¸   „ß
                                                                                                                                       •‰ …˘ ª ‰Æ ‰ł—— ‰ˇ
                                                                                                                                                     –¨ ¿                          •¢ ˇ :‚˜ ‰ł
 t m = m h , ˇ´ ˆ ˆ                   2              •¤
                                                   •‰ ˙                ˇ ‡ı         ˛˚                ˜ ˚          ˜ ¯• › •‰ « ¨• ‰ O ( 0 . 01 ) , ¶ł … ¨¤ ‚˜ ‰ł¯• › ˚
                                                                                                                            •¤
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                                                                                                                        «                                                            ‰ •¤ ˜ «
                                                                                     - 1
        1) ‚˜ ‰ł˜ ¯• › •‰ : um + 1 - um = 2
                         •¤                                                                h ( um + 1 +                                •¤
                                                                                                                   ¶¨ –¨ ‚˜ ‰ł˜ ¯• › •‰ ˜ « ¶¨ ‚                1 ‰ ¡£
                - 1
 um ) = 2                  h ( um - 2 t m / u m + u m + 1 - 2 t m + 1 / u m + 1 ) ,                                4 ¡¡ ¸ »œß ˘ …‡ • – ˜£ —˝ ˚˜       ‰•¤
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        1 ) ˛‚ ˙» ˇ ˝‡ „ ‡ ¡£‰ł¨º ˛‚ ˙» ˇ ˝‡ ˜ ¸ ´˚ ˚˙ f 0 ,                           ‰•¤             ——„ª •” ˜ ƒ ˆ ,ß ˆ ·¸ •‰ ˜ ˚
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         x¡ 1 ( t) = - k1 x 1 ( t) + f 0 , x 1 ( 0) = D0 ¡£                    ( 3)    –˚                 „ß
                                                                                                  ‚ł ‡ ˜ ‰Æ · ¿· ,·¸ ˚– ß ˆ …¨¤ ¯• › ˚                             ‚æ˚‰
        ˙ ‰ˆ ‰ : x 1 ( t) = f 0 / k1 + ( D0 - f 0 / k1 ) exp ( -                             ˜
                                                                                       ˚˙ ¿ —— ¡£
k1 t) ¡£ t ¡ t0
       –                 ˚–    ,—                                                           ˛˜
                                                                                       †˛ ¿… ˇ :
         x¡ 1 ( t) = - k1 x 1 ( t) , x 1 ( 0) = D0 ¡£                          ( 4)    [1] ¸ ß . »                 ‡
                                                                                                            ˛¢ • •‰ ˜ ˚         ‰•¤ [ D ] . ‡⁄ ‡ :” ˜ˇ ˚ƒ •¶ ·
        ‰ ˆ : x 1 ( t) = D1 exp [ - k1 ( t - t0 ) ] ¡£                                        § ,2007.
        2)      ” ˇ ˝‡ „ ‡ ¡£‰ ·                       ” ˇ ˝‡ ˜ “ ˘              ˛“    [2]        `¢ ¿ ,¶ ‡ »“ ,        »“ . ˛¢ • •‰ ˚
                                                                                                                                    ‡             ‰•¤ [ M ] . ˇ ”£ :

k1 ,¸ ´˚ ˛“ f 12 ( t) ,·                  ” ˇ ˝‡ ‰ ·             ˝ ˜ “ ˘                      ‚· ' · § ‡            ,1999 :208 - 213.
                                                                                       [3]         ˘      ¶…                 ‡
                                                                                                  ‰¤‰,¢ †… ¨¨ ˛ Æ . ¶ ˛¢ • •‰ ‡ı                      ˛˚    ˜ »        —´
˛“ k2 ,¸ ´˚ ˛“ f 20 ( t) ¡£˘ « ”‹ `¿ x 2 ( t) ,                         ” V ,˘ «
                                                                                              ˚                       ‰·
                                                                                                    ‰•¤ ˜ Æ ‚ [J ] . —´ fi § § –¤ :               ¨» ¿˘ §         , 2005 ,
¯¤ ¶¨ C2 ( t ) , ‡ı ˚… x2 ( 0 ) = C0 ,                      — x¡ 2 ( t ) = f 12 -
                                                                                              22 (4) :33 - 37.
k2 x2 ( t) , C2 ( t) = x2 ( t) / V ,
                                                                                                            ‡
                                                                                       [ 4 ] »˘ „œ¢ ,˛¢ • •‰ ‡ı          ˛˚     ˜ …¨¤ ˚           ‰•¤ [ D ] . „ª           :
         C2 ( t) = f 12 / V - k2 C2 ( t) , C2 ( 0) ¡ C1 ¡£
          ’                                                                    ( 5)
                                                                                                  ˜ˇ · § ,2008.
        – 0 ¡ t ¡ t0           ˚–    ,— C2 ( t) = f 0 / V k 2 + ( k1 D0 -              [ 5 ] ´‰                    ‡
                                                                                               ‰‚ƒ ,„ ˛ ,˘« ˛¢ • •‰ ˚                    ‰•¤ [ M ] . –– '       : ˙ »“ ·
         -1
f 0) V        ( k2 - k1 ) - 1 exp ( - k1 t) + [ C1 - f 0 / ( V k 2 ) -                        § ‡           ,1987 :67 - 75.
( k1 D0 - f 0 ) V - 1 ( k2 - k1 ) - 1 ]exp ( - k2 t) ,– t ¡ t0 ˚– ,                                           ‡
                                                                                       [ 6 ] ˝ı ‚ — ,‡£˛¢ • •‰ [ M ] . ––'               :‚ ¨ ‰       ‡           ,1993 :
                                    -1                 -1                                     115 - 123.
C2 ( t) = [ C1 + D1 V                    ( k2 - k1 )        ]exp [ - k2 ( t - t0 ) ]
                    -1
                         ( k2 - k1 )       -1                                          [7]                       ‡
                                                                                                  ˇ ” . ‡£˛¢ • •‰ ˚           ‰•¤ …˘ ƒ ˆ [ D ] . ‡⁄ ·” :¶« ––
- C1 - D1 V                                     exp [ - k1 ( t - t0 ) ] ¡£
                                                                                              ˚ƒ •¶ · § ,2005.
                                (      (
        ˇ ˚ ˜£ —˝˜ – · ˚‰( 3 ) ¡¢ 4 ) ¡¢ 5 ) ø ¿ „Ø‰Æ ‡£
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                                                                                       [ 8 ] ˝ı ˜› ¨» ,—⁄¢ ¸ . Matlab 5. X º ¿˘ § …˘ ª [ M ] . ––'                    :˙
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