BILANGAN BULAT by mitha.imca

VIEWS: 475 PAGES: 8

									                      BILANGAN BULAT


Bilangan Bulat

a. Pengertian Bilangan Bulat
Bilangan bulat adalah bilangan bukan pecahan yang terdiri dari bilangan :
• Bulat positif (1, 2, 3, 4, 5, …)
• Nol : 0
• Bulat Negatif ( …,-5,-4,-3,-2,-1)
Himpunan Bilangan bulat
A = { …, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … }
Garis bilangan bulat :
• • • • • • • ●●
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
bilangan bulat negatif bilangan bulat positif
Bilangan nol
Di dalam bilangan bulat terdapat bilangan genap dan ganjil :
• Bilangan bulat genap { …, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, … }
Bilangan yang habis dibagi dengan 2
• Bilangan bulat ganjil { …, -5, -3, -1, 1, 3, 5, … }
Bilangan yang apabila dibagi 2 tersisa -1 atau 1

b. Operasi Hitung Pada Bilangan Bulat :
• Penjumlahan dan Sifat-sifatnya
1. Sifat Asosiatif
(a+b)+c=a+(b+c)
Contoh :
(5 + 3 ) + 4 = 5 + ( 3 + 4 ) = 12
2. Sifat Komutatif
a+b=b+a
Contoh :
7+2=2+7=9
3. Unsur Identitas terhadap penjumlahan
Bilangan Nol (0) disebut unsur identitas atau netral terhadap penjumlahan
a+0=0+a
Contoh :
6+0=0+6
4. Unsur invers terhadap penjumlahan
Invers jumlah (lawan) dari a adalah -a
Invers jumlah (lawan) dari – a adalah a
a + (-a) = (-a) + a
contoh :
5 + (-5) = (-5) + 5 = 0
5. Bersifat tertutup
Apabila dua buah bilangan bulat ditambahkan maka hasilnya adalah
bilangan bulat juga.
a dan b ∈ bilangan bulat maka a + b = c ; c ∈ bilangan bulat
contoh :
4 + 5 = 9 ; 4,5,9 ∈ bilangan bulat

• Pengurangan dan Sifat-sifatnya
1. Untuk sembarang bilangan bulat berlaku :
a – b = a + (-b)
a – (-b) = a + b
contoh:
8 – 5 = 8 + (-5) = 3
7 – (-4) = 7 + 4 = 11
2. Sifat Komutatif dan asosiatif tidak berlaku
a–b≠ b-a
(a – b ) – c ≠ a – ( b – c )
Contoh :
7 – 3 ≠ 3 -7 ��4 ≠ - 4
(9 – 4) – 3 ≠ 9 – (4-3) �� 2 ≠ 8
3. Pengurangan bilangan nol mempunyai sifat :
a – 0 = a dan 0 – a = -a
4. Bersifat tertutup, yaitu bila dua buah bilangan bulat dikurangkan
hasilnya adalah bilangan bulat juga
:
a dan b ∈ bilangan bulat maka a - b = c ; c ∈ bilangan bulat
contoh :
7 - 8 = -1 ; 7,8,-1 ∈ bilangan bulat

• Perkalian dan Sifat-sifatnya
1. a x b = ab ��hasil perkalian dua bilangan bulat positif adalah bilangan bulat positif
Contoh: 7 x 6 = 6 x 7 = 42
a x –b = -ab ��hasil pekalian bilangan bulat positif dan negatif hasilnya adalah
bilangan bulat negatif
Contoh : 3 x -4 = -12
-a x -b = ab ��hasil perkalian dua bilangan negatif adalah bilangan bulat positif
Contoh : -4 x -5 = 20
2. Sifat Asosiatif
(a x b) x c = a x (b x c)
Contoh: (2 x 3) x 4 = 2 x (3x4) = 24
3. Sifat komutatif
axb=bxa
Contoh : 5 x 4 = 4 x 5 = 20
4. Sifat distributif
a x (b+c) = (a x b ) + (a x c)
Contoh : 3 x ( 2 +6) = (3 x 2) + (3 x 6) = 24
5 Unsur identitas untuk perkalian
- hasil perkalian bilangan bulat dengan nol hasilnya adalah bilangan nol
ax0=0
- hasil perkalian bilangan bulat dengan 1 hasilnya adalah bilangan bulat itu juga
ax1=1xa=a
6. Bersifat tertutup
Jika dua bilangan bulat dikalikan maka hasilnya adalah bilangan bulat juga
a x b = c ; a, b, c ∈ bilangan bulat

• Pembagian dan Sifat-sifatnya
1. Hasil bagi dua bilangan bulat positif adalah bilangan positif
(+) : (+) = (+)
Contoh : 8 : 2 = 4
2. Hasil bagi dua bilangan bulat negatif adalah bilangan positif
(-) : (-) = (+)
Contoh : -10 : -5 = 2
3. Hasil bagi dua bilangan bulat yang berbeda adalah bilangan negatif
(+) : (-) = (-)
(-) : (+) = (-)
Contoh : 6 : -2 = -3
-12 : 3 = -4
4. Hasil bagi bilangan bulat dengan 0 (nol) adalah tidak terdefinisi
a : 0 ��tidak terdefinisi (~)
0 : a ��0 (nol)
Contoh :
0
5 = ~ (Tidak terdefinisi)
5. Tidak berlaku sifat komutatif dan asosiatif
a:b≠ b:a
(a:b):c ≠ a : (b:c)
Contoh : 4 :2 ≠ 2 : 4 ��2 ≠
 (8:2) : 4 ≠ 8 : (2:4) �� 1 ≠ 16
6. Bersifat tidak tertutup
Jika dua bilangan bulat dibagi hasilnya belum tentu bilangan bulat juga
contoh : 6 : 2 = 3 �� bilangan bulat
7:2=3
2
1 ��bukan bilangan bulat (bilangan pecahan)
• Pemangkatan bilangan bulat
an = a x a x a x … x a
Sejumlah n faktor
Contoh : 43 = 4 x 4 x 4 = 64
35 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243
• Akar pangkat dua dan akar pangkat tiga bilangan bulat
1. Akar kuadrat (akar pangkat dua)

a=b��    ( )  a     2 =b2 �� a = b2 = b x b

Contoh : 81 = ? ��81 =92 = 9 x 9 �� b = 9
20 = ? �� 20 = b2 �� b = nilainya tidak bulat
20 = 4x5 = 4 x 5 = 2 5
Tabel :
1 = 1x1 = 1
4 = 2x2 = 2
9 = 3x3 = 3
16 = 4x4 = 4
25 = 5x5 = 5
2. Akar kubik (akar pangkat tiga)

3        ( )
  a = b �� 3a        3 = b3 = b x b x b

Contoh : 3 27 = ? ��27 = 33 = 3 x 3 x 3 �� b = 3
3 54 = ? �� 3 27x2 = 3 27 x 3 2 = 3 3 2
Tabel :
3 1 = 3 1x1x1 = 1
3 8 = 3 2x2x2 = 2
3 27 = 3 3x3x3 = 3
3 64 = 3 4x4x4 = 4
3 125 = 3 5x5x5 = 5




Sifat-sifat perkalian suatu bilangan

a. Perkalian bilangan positif dengan bilangan positif, hasilnya positif.
Contoh:
1) 4 x 5 = 5 + 5 + 5 + 5 = 20
2) 7 x 8 = 56
3) 12 x 15 = 180
b Perkalian bilangan positif dengan bilangan negatif, hasilnya negatif.
  Contoh:
   1) 4 x (-5) = (-5) + (-5) +(-5) +(-5) = -20
   2) 7 x (-8) = -56
   3) 12 x (-15) = -180
c. Perkalian bilangan negatif dengan bilangan positif, hasilnya negatif.
   Contoh:
   1) -4 x 5 = -(5 + 5 + 5 + 5) = -20.
   2) -7 x 8 = -56
   3) -12x 15 = -180
d. Perkalian bilangan negatif dengan bilangan negatif, hasilnya positif.
   Contoh:
   1) -4 x (-5) = -[-5 + (-5) + (-5) + (-5)] = -[-20] = 20
  2) -7 x (-8) = 56
  3) -12 x (-15) = 180


Lambang Bilangan Bulat
Lambang bilangan bulat bentuk panjangnya merupakan hasil penjumlahan dari perkalian
bilangan dengan pemangkatan bilangan 10.
Contoh:
2.345 = 2.000 + 300 + 40 + 5
= 2x103 + 3 x102 + 4 x101 + 5 x 100
2.345 = 2 ribuan + 3 ratusan + 4 puluhan + 5 satuan




Menentukan Nilai Tempat Bilangan
Contoh:
1) 53.451
   Dibaca lima puluh tiga ribu empat ratus lima puluh satu.
2) 212.583
   Dibaca dua ratus dua belas ribu lima ratus delapan puluh tiga
3) 2.523.459
   Dibaca dua juta lima ratus dua puluh tiga ribu empat ratus lima puluh sembilan

Himpunan Bilangan Bulat
Bilangan bulat adalah bilangan yang terdiri dari:
a Bilangan bulat positif (bilangan asli)
b Bilangan nol
c. Bilangan bulat negatif (lawan bilangan asli)




Sifat Perkalian dari Urutan Bilangan Bulat
a. Jika a > b, dan c bilangan bulat positif, maka a x c > b x c
jika a < b, dan c bilangan bulat positif, maka a x c < b x c
Contoh
1) 6 > 2 dan 6 bilangan bulat positif, maka 6x6 > 2x6
2) 5 < 7 dan 3 bilangan bulat positif, maka 5x3 < 7x3

b. Jika a > b, dan c bilangan bulat negatif, maka axc < bxc
Jika a < b, dan c bilangan bulat negatif, maka axc > bxc
Contoh
1) -2 >-6 dan -3 (bilangan bulat negatif), maka -2 x (-3) < -6 x (-3)
2) -3 < 2 dan -5 (bilangan bulat negatif), maka -3 x (-5) > 2x(-5)

c. Jika a > b atau a < b, dan c adalah bilangan nol, maka axc = bxc = 0
Contoh
1) 4 > -2, maka 4 x 0 = -2 x 0 = 0
2) 3 < 5, maka 3 x 0 = 5 x 0 = 0




Lawan bilangan bulat
a. Setiap bilangan bulat mempunyai tepat satu lawan yang juga merupakan bilangan bulat
b. Dua bilangan bulat dikatakan berlawanan, apabila dijumlahkan menghasilkan nilai nol.
a + (-a) = 0
Contoh
1) Lawan dari 4 adalah -4, sebab 4 + (-4) = 0
2) Lawan dari -7 adalah 7, sebab -7 + 7 = 0
3) Lawan dari 0 adalah 0, sebab 0 + 0 = 0

Operasi bilangan bulat
Penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat


d. Menjumlahkan bilangan bulat negatif dengan bilangan positif.
Contoh
-6 + 8 = 2, digambarkan pada garis bilangan.

Perkalian Bilangan Bulat

Perkalian adalah penjumlahan berulang sebanyak bilangan yang dikalikan.
Contoh:
2x3-3+3=6

Pembagian bilangan bulat

Pembagian merupakan operasi kebalikan dari perkalian
Contoh
12 : 4 = 3, karena 4 x 3 = 12 atau 3 x 4 = 12
42 : 7 = 6, karena 7 x 6 = 42 atau 6 x 7 = 42


Sifat-sifat pembagian bilangan bulat
a. Pembagian bilangan positif dengan bilangan positif, hasilnya positif
   Contoh
   1) 63 : 7 = 9
   2) 143 : 11 = 13
b. Pembagian bilangan positif dengan bilangan negatif, hasilnya negatif
   Contoh:
   1) 63 : (-9) = -7
   2) 72 : (-6) = -12
c. Pembagian bilangan negatif dengan bilangan positif, hasilnya negatif
   Contoh:
   1) -63 : 7 = -9
   2) -120 : 10 = -12
d. Pembagian bilangan negatif dengan bilangan negatif, hasilnya positif.
   Contoh:
   1) -72 : (-8) = 9
   2) -120 : (-12) = 10

Menggunakan Sifat Operasi Hitung Bilangan Bulat
Sifat komutatif

Sifat komutatif (pertukaran) pada penjumlahan dan perkalian.
a+b=b+a
a x b = b x a, berlaku untuk semua bilangan bulat


Contoh:
1) 2 + 4 = 4 + 2 = 6
2) 3 + 5 = 5 + 3 = 8
3) 4 x 2 = 2 x 4 = 8
4) 3 x 2 = 2 x 3 = 6

Sifat asosiatif

Sifat asosiatif (pengelompokan) pada penjumlahan dan perkalian.
(a + b) + c = a + (b+c)
(a x b) x c = a x (bxc), berlaku untuk semua bilangan bulat

Contoh:
1) (2+4) + 6 = 2 + (4+6) = 12
2) (3+6) + 7 = 3 + (6+7) = 16
3) (3x2) x 4 = 3 x (2x4) = 24
4) (3x5) x 2 = 3 x (5x2) = 30
Sifat distributif (penyebaran)

a x (b + c) = (a x b) + (a x c), yang berlaku untuk semua bilangan bulat.

Contoh
1) 4 x (5 + 2) = (4 x 5) + (4 x 2) = 28
2) 5 x (7 + 3) = (5 x 7) + (5 x 3) = 50

Operasi Campuran
Aturan dalam mengerjakan operasi campuran adalah sebagai berikut.
1 .Operasi dalam tanda kurung dikerjakan terlebih dahulu.
2. Perkalian dan pembagian adalah setara, yang ditemui terlebih dahulu dikerjakan
terlebih dahulu.
3. Penjumlahan dan pengurangan adalah setara, yang ditemui terlebih dahulu dikerjakan
terlebih dahulu.
4. Perkalian atau pembagian dikerjakan lebih dahulu daripada penjumlahan atau
   pengurangan.


Contoh
1. a. 20 + 30 – 12 = 50 – 12 = 38
   b. 40 – 10 - 5 = 30 – 5 = 25
   c. 40 - (10 - 5) = 40 – 5 = 35


2. a. 600 : 2O : 5 = 30 : 5 = 6
   b. 600 : (20 : 5) = 600 : 4 = 150
   c. 5 x 8 : 4 = 40 : 4 = 10


3. a. 5 x (8 + 4) = 5 x 12 = 60
   b. 5 x 8 -4 = 40 – 4 = 36
   c. 5 x (8 – 4) = 5 x 4 = 20

								
To top