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					Marostica Piazza degli Schacchi   M.C. Escher “Chess”



     CONOSCERE CONOSCERSI
          COMUNICARE
              Maurits Cornelis Escher
              (Olanda 17 Giugno 1898 – 27 Marzo 1972)

Ampia galleria delle opere:

http://www.nga.gov/collection/gall
 ery/ggescher/ggescher-
 main1.html



disegno di Escher
Parte Sesta            Conoscere - Conoscersi - Comunicare   2
                                   Sonia Fiori
               Mosse del cavallo
Possibili mosse del cavallo su una scacchiera




 Parte Sesta     Conoscere - Conoscersi - Comunicare   3
                             Sonia Fiori
                   Problema
• Si può fare il giro di tutte le caselle di una
  scacchiera passando per ognuna una e una
  sola volta e tornare con un’ultima mossa
  nella posizione iniziale?
• Iniziare con scacchiere piccole.



Parte Sesta     Conoscere - Conoscersi - Comunicare   4
                            Sonia Fiori
                    Esempi
•   2X3
•   3X3
•   3X4
•   ….
•   ….
•   8X8

Parte Sesta   Conoscere - Conoscersi - Comunicare   5
                          Sonia Fiori
                         2X3
• Scacchiera minima
  compatibile con le
  mosse del cavallo.
• Non è possibile
  ricoprire tutta la
  scacchiera.



Parte Sesta   Conoscere - Conoscersi - Comunicare   6
                          Sonia Fiori
                            3X3
• Si ricoprono tutte le
  caselle?
• Avanti per la
  soluzione.


 • Non è possibile
   ricoprire la scacchiera


Parte Sesta      Conoscere - Conoscersi - Comunicare   7
                             Sonia Fiori
                         3X4
• Si ricoprono
  tutte la
  caselle?
• Avanti per la
  soluzione.



Parte Sesta   Conoscere - Conoscersi - Comunicare   8
                          Sonia Fiori
                         3X4
• Ecco tutte le
  possibili mosse
• è possibile un
  tour completo?
• Proviamo a
  sciogliere il
  grafo.


Parte Sesta   Conoscere - Conoscersi - Comunicare   9
                          Sonia Fiori
                                         3X4
 • Grafo sciolto.
 • Esiste un tour di tutti i vertici?
                                                  9               2
                       3                                               11        4
        1         2                4




                                              7             8               5
   5          6             7            8                                           6




        9         10                              1               10   3        12
                       11           12




Parte Sesta                 Conoscere - Conoscersi - Comunicare                      10
                                        Sonia Fiori
                              3X4
• Si, si ricopre la
                        9                  2
  tastiera                                               11        4

• ma non è un ciclo
  chiuso, un
  circuito. I vertici
                                      8
  2, 11, 10, 3 sono 7                                         5        6
  dispari, allora per
  il teorema di
  Eulero……
                        1                 10             3        12



 Parte Sesta       Conoscere - Conoscersi - Comunicare                     11
                               Sonia Fiori
                         3X4
• Cammino riportato sulla scacchiera




Parte Sesta   Conoscere - Conoscersi - Comunicare   12
                          Sonia Fiori
                           8X8
Si può provare a costruire un circuito
  collegandosi al sito:

www.midaslink.com/east/knight.htm



è difficile!!

Parte Sesta     Conoscere - Conoscersi - Comunicare   13
                            Sonia Fiori
               8X8 Strategia
Regola di H.C. Warnsdorff (1823-Germania):
• dalla casella occupata si individuano le caselle
  raggiungibili
• da ognuna si calcolano le possibili mosse
• si sceglie la casella con il numero minore

Questa è una regola EURISTICA: procedimento
 che sembra giusto ma di cui non si ha alcuna
 garanzia.
 Parte Sesta     Conoscere - Conoscersi - Comunicare   14
                             Sonia Fiori
              8X8 I casi buoni
La regola funziona fino a scacchiere 76X76
  (verifica con calcolatori).
Perché non ha soluzione con scacchiere
 con un numero dispari di caselle?
Il problema ha soluzione per scacchiere:
    • 3X10 o 5X6 minima rettangolare
    • 6X6 minima quadrata……

Parte Sesta     Conoscere - Conoscersi - Comunicare   15
                            Sonia Fiori
                    Ancora lui
Eulero aveva determinato una soluzione del
  problema per una scacchiera 8X8.


  Osservare il
  circuito




  Parte Sesta     Conoscere - Conoscersi - Comunicare   16
                              Sonia Fiori
               Definizioni
• Cammino di Hamilton:
  un cammino che passa da tutti i vertici una
  e una sola volta.
• Circuito di Hamilton:
  un cammino di Hamilton in cui il punto di
  partenza e quello di arrivo coincidono.


Parte Sesta   Conoscere - Conoscersi - Comunicare   17
                          Sonia Fiori
Sir William Rowan Hamilton
(Irlanda 1805 – 1865)
• Matematico, fisico e
  astronomo molto precoce negli
  studi, studiò molte lingue
  straniere sia europee sia
  orientali.
• All’età di 22 anni fu nominato
  professore al “Trinity College”
  di Dublino.
• Inventore del gioco “The
  icosian game”
Parte Sesta     Conoscere - Conoscersi - Comunicare   18
                            Sonia Fiori
                The icosian game
Trovare un circuito di Hamilton del seguente grafo.




Questo è il grafo di un dodecaedro schiacciato su un piano
  Parte Sesta         Conoscere - Conoscersi - Comunicare    19
                                  Sonia Fiori
I 5 solidi platonici
• tetraedro
• cubo o isaedro
• ottaedro
• dodecaedro
• icosaedro
per visione solidi in movimento
www.math.utah.edu/~alfeld/math/polyhedra/polyhedra.html
per sviluppo piano dei solidi:
http://www.cs.mcgill.ca/~sqrt/unfold/unfolding.html
Parte Sesta       Conoscere - Conoscersi - Comunicare     20
                              Sonia Fiori
                                Platone
                       (Grecia 428 - 347 a.c.)
 Filosofo greco, aveva abbinato i cinque
   elementi della natura ai cinque solidi
 • fuoco tetraedro
 • terra cubo
 • aria ottaedro
 • acqua icosaedro

 • quinta essenza dodecaedro
 Disegno di Johannes Kepler (tedesco 1571 – 1630)
Parte Sesta                 Conoscere - Conoscersi - Comunicare   21
                                        Sonia Fiori
                Relazioni solidi platonici
nome               tipo faccia          Facce                 Vertici   Spigoli
Tetraedro          triangolo                 4                  4         6
cubo               quadrato                  6                  8         12
ottaedro           triangolo                 8                  6         12
dodecaedro pentagono                        12                  20        30
icosaedro          triangolo                20                  12        30


  Parte Sesta           Conoscere - Conoscersi - Comunicare                    22
                                    Sonia Fiori
              Alcuni solidi schiacciati
 • tetraedro


 • cubo


 • dodecaedro


Parte Sesta         Conoscere - Conoscersi - Comunicare   23
                                Sonia Fiori
                 Soluzione
                                                14
Seguire i numeri
                                                        13

                                          20                 12
                18                                                          15

                          19                                           11
                                                1       2
                                               5         3
                                  6                 4             10


                                                        8
                                      7                       9


                            17                                         16


Parte Sesta   Conoscere - Conoscersi - Comunicare                                24
                          Sonia Fiori
              Altri cammini
Trovare se esistono circuiti hamiltoniani per
  gli altri solidi platonici



Gioco di Mines weeper



Parte Sesta    Conoscere - Conoscersi - Comunicare   25
                           Sonia Fiori
              Conclusione
Non esiste ancora una regola generale
 dimostrata, cioè un teorema che ci assicuri
 l’esistenza o meno di un cammino di
 Hamilton di un qualunque grafo.




Parte Sesta   Conoscere - Conoscersi - Comunicare   26
                          Sonia Fiori
Problemi NP = Problemi decisionali
Un problema è decisionale se dobbiamo
  rispondere con un si o con un no, e la
  risposta si è accompagnata da una
  dimostrazione verificabile in modo
  efficiente.
La verifica se un cammino è di Hamilton in
  un grafo è un problema decisionale.
Ma….


Parte Sesta   Conoscere - Conoscersi - Comunicare   27
                          Sonia Fiori
                       Ma….
…..dato un grafo G, G è privo di circuiti di
  Hamilton?
• trovare tutti i circuiti
• verificare che non sono di Hamilton.

Il numero di circuiti e di verifiche in generale
   diventa un numero enorme (ricordasi Giulio
   che vuole visitare tutti i suoi amici)….

Parte Sesta    Conoscere - Conoscersi - Comunicare   28
                           Sonia Fiori
                       Hard
…il problema è molto più difficile = NP Hard

Problemi P = trattabili
Problemi NP = difficili
Problemi NP-Hard = difficili in NP




 Parte Sesta   Conoscere - Conoscersi - Comunicare   29
                           Sonia Fiori
        Esempi problemi NP-Hard
 • mosse del cavallo in una scacchiera
 • raccolta nettezza urbana caso misto
 • cammini minimi con pesi negativi
 • fori nelle schede elettroniche
 • disegnare con il plotter un insieme di punti
 • gioco “campo fiorito” o “minesweeper”
 • …problema del commesso viaggiatore
 • …
 sono tutti problemi di ricerca di un cammino di
   Hamilton

Parte Sesta      Conoscere - Conoscersi - Comunicare   30
                             Sonia Fiori
     Esempi problemi più facili P
• raccolta semplice nettezza urbana
• pulizia strade
• controllo linee elettriche
• cammino minimo
• …
sono tutti problemi di ricerca di un cammino
  di Eulero


Parte Sesta   Conoscere - Conoscersi - Comunicare   31
                          Sonia Fiori
              Ultime ricerche
Esistono algoritmi tali che
        problemi NP = problemi P ?
E’ una delle domande a cui i ricercatori
  cercano di rispondere.

Uno dei 7 problemi del millennio

Parte Sesta    Conoscere - Conoscersi - Comunicare   32
                           Sonia Fiori
              Parole chiave
•   Euristica
•   Cammino di Hamilton
•   Circuito di Hamilton
•   Solidi platonici
•   Problemi NP
•   Problemi NP-Hard

Parte Sesta    Conoscere - Conoscersi - Comunicare   33
                           Sonia Fiori
                        Fine

                sesta parte



Parte Sesta   Conoscere - Conoscersi - Comunicare   34
                          Sonia Fiori
                   NP-Hard
• Se si riuscisse a risolvere in modo efficiente
  un problema NP-Hard allora sarebbero
  risolti tutti i problemi NP.
• Un algoritmo efficiente per risolvere un
  Problema NP-Hard, “Satisfiability” di
  Stefhen Cook (Toronto-Canada 1971),
  risolverebbe tutti gli altri problemi NP.
• Ma P = NP ?

Parte Sesta    Conoscere - Conoscersi - Comunicare   35
                           Sonia Fiori
              7 Problemi del millennio
  alle pagine: www.claymath.org/millennium/ oppure
  http://www.csapt.it/p/pr/premio_clay.html
  si trovano 7 problemi non risolti:
  1. Ipotesi di Riemann: la distribuzione dei numeri
       primi all’interno dei numeri naturali segue una
       legge? e in caso affermativo quale?
  2. La teoria di Yang-Mills e l’ipotesi dei gap di
       massa. Le equazioni di Y-M derivano dalla
       fisica quantistica e furono formulate 50 anni fa
       per descrivere tutte le forze della natura,
       eccettuata la gravità.

Parte Sesta        Conoscere - Conoscersi - Comunicare   36
                               Sonia Fiori
                       e ancora
  3. P = NP cioè per uno qualsiasi dei problemi
     difficili in NP esiste un algoritmo efficiente?
  4. Le equazioni di Navier-Stokes. Le Equazioni di
     Navier Stokes descrivono il comportamento dei
     fluidi e dei gas. Sono state scoperte nel
     diciannovesimo secolo ma ancora non sono state
     comprese. Il problema è elaborare una teoria
     matematica che consenta di comprenderle ed
     analizzarle. Questa teoria sarebbe molto utile per
     gli studi di aerodinamica.


Parte Sesta       Conoscere - Conoscersi - Comunicare   37
                              Sonia Fiori
                       e infine
 5. La congettura di Poincarè. Se tendiamo un
    elastico interno ad una mela, possiamo contrarlo
    fino a ridurlo ad un punto muovendolo
    lentamente (senza strapparlo e senza staccarlo
    dalla superficie)?
 6. La congettura di Birch e Swinnerton-Dyer.
    Quanti punti razionali ha una curva ellittica?
 7. La congettura di Hodge. La Congettura Hodge
    riguarda gli spazi proiettivi e le varietà
    algebriche. I cicli di Hodge sono delle
    combinazioni lineari razionali di cicli algebrici.

Parte Sesta      Conoscere - Conoscersi - Comunicare   38
                             Sonia Fiori

				
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