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mecánica de fluidos

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mecánica de fluidos Powered By Docstoc
					MECANICA DE FLUIDOS I

     Juan Chamorro González
    Departamento de Metalurgia
      Universidad de Atacama
PRESIÓN Y MANOMETRÍA
La Presión


El término presión se usa para indicar la
fuerza normal por unidad de área en un
punto dado que actúa sobre un plano
específico dentro de la masa de fluido
de interés.
      La presión en un punto
Considere el diagrama de cuerpo libre obtenido al eliminar una cuña
triangular de fluido de alguna ubicación dentro de una masa de fluido.
      La presión en un punto
Como no hay esfuerzos cortantes, las únicas fuerzas externas que actúan
sobre la cuña se deben a la presión y al peso.

Las ecuaciones de movimiento (Segunda Ley de Newton, F = m a) en las
direcciones Y y Z son, respectivamente:


                                                δX ⋅ δY ⋅ δZ
 ∑ FY = pY ⋅ δX ⋅ δZ − pS ⋅ δX ⋅ δS ⋅ senθ = ρ 2 ⋅ aY
                                                 δ ⋅δ ⋅δ     δ ⋅δ ⋅δ
 ∑ FZ = pZ ⋅ δX ⋅ δY − pS ⋅ δX ⋅ δS ⋅ cos θ − γ ⋅ X Y Z = ρ X Y Z ⋅ aZ
                                                      2         2


 Donde pS, pY y pZ son las presiones medias sobre las caras, γ y ρ el peso
 específico y la densidad del fluido, respectivamente y aY, aZ son las
 aceleraciones.
      La presión en un punto
Para obtener la fuerza generada por la presión es necesario multiplicar la
presión por un área adecuada. Según la geometría de la cuña, se tiene:

               δY = δS ⋅ cos θ            δZ = δS ⋅ senθ

       q                                   pueden escribir como:
Por lo que las ecuaciones de movimiento se p


                                          δY
                     pY − pS = ρ ⋅ aY ⋅
                                          2
                                                 δZ
                     pZ − pS = ( ρ ⋅ aZ + γ) ⋅
                                                 2

 Como interesa lo que sucede en un punto, se considera el límite cuando δX,
 δY y δZ tienden a cero, se concluye que:

                          pY = pS              PZ = pS
       La presión en un punto
Es decir:
                         pS = pY = pZ

Según lo anterior se concluye que:




LEY DE PASCAL : La presión en un punto de un
fluido en reposo, o en movimiento, es
independiente de la dirección en tanto no haya
     p                                      y
esfuerzos cortantes
Este instrumento consta de una esfera hueca de vidrio provista de pequeños
                                           superficie
orificios abiertos en varios puntos de su superficie. Empujando por medio de
un émbolo el agua contenida en el interior de esta esfera se aprecia su salida
a través de los orificios con velocidad uniforme (pequeños chorritos de igual
intensidad), lo que evidencia el principio de Pascal, es decir, que "la presión
 j id         lí id          d d t de          i i t      transmite por i l
ejercida a un líquido encerrado dentro d un recipiente se t     it      igual

a todos los puntos del fluido y a las propias paredes del mismo".
                p              p
             Propiedades de la presión
• La presión en un punto de un fluido en reposo es igual en todas
  direcciones.

• La presión en todos los puntos situados en un mismo plano
  horizontal en el seno de un fluido en reposo es la misma.

• En un fluido en reposo la fuerza de contacto que ejerce en el
  interior, una parte del fluido con la otra contigua el mismo tiene la
                p                                 g
  dirección normal a la superficie de contacto.

• La fuerza de presión en un fluido en reposo se dirige siempre hacia
  el interior el fluido, es decir, es una compresión, no una tracción.

                                               horizontal
• La superficie libre de un líquido siempre es horizontal, a menos que
  existan fuerzas externas que influyan.
     Presión absoluta y manométrica
La presión de referencia es la atmósfera y la presión resultante que se
mide se conoce como presión manométrica.


La presión que se mide en relación con el vacío perfecto se conoce como
presión absoluta.


La relación entre la presión absoluta, presión atmosférica y presión
       é i (o        ió    l i )
manométrica ( presión relativa) es:



     pabsoluta = pmanométrica + patmosférica
       p
    La presión atmosférica
 La presión atmosférica se lleva a cabo
 con un barómetro de mercurio
 (Experiencia d E n list Torricelli
 (Exp i n i de Evangelista T i lli
 en 1644)


  patmosférica = h + pvapor


La presión de vapor del mercurio por ser muy pequeña (0,000023 psi
               ºF
absolutos a 68 º ) puede ignorarse, por lo que:


                  patmosférica = h
                    t   fé i
Evangelista Torricelli (1608 -1647)
En 1643 realizó el descubrimiento del principio del barómetro, por el que pasó a la posteridad, que demostraba la
                         atmosférica,
existencia de la presión atmosférica principio posteriormente confirmado por Pascal realizando mediciones a
distinta altura. La unidad de presión torr (presión ejercida por una columna de un milímetro de mercurio, es decir
1/760 atmósferas ) se nombró en su memoria. Enunció, además, el teorema de Torricelli, de importancia
fundamental en hidráulica.
     La presión manométrica
La presión manométrica se mide con respecto a la presión atmosférica
local.


     p                                p           p       q
Una presión manométrica de cero corresponde a una presión que es
i   l la      ió       fé i l     l
igual a l presión atmosférica local.


Los dispositivos para medir presión se denominan manómetros (de tubo
en U y de Bourdon)
     El manómetro de tubo en U
Una té i           l         di la      ió h   d    l      d
U técnica normal para medir l presión hace uso de columnas de
líquido en tubos verticales o inclinados.


Medida de la presión arterial:
Un manómetro conocido es el que utilizan los médicos para
              p
determinar la presión arterial.

Consiste en un cojín que se coloca alrededor del brazo, y
que se infla hasta ejercer una presión superior a la presión
arterial del brazo. Luego se desinfla lentamente.

                                                     mm Hg:
El manómetro de mercurio entrega dos valores en mm-Hg:
la presión más alta o sistólica y la presión más baja o
diastólica.
    El manómetro de Bourdon
Un dispositivo para medir presión que se utiliza
  p                           p
ampliamente es el medidor de presión de tubo de Bourdon.
     Transductores de presión
Dispositivo que convierte la presión en una salida eléctrica.
Di    iti           i t l        ió           lid lé t i

     j p                 q
Por ejemplo: cuando se requiere controlar continuamente
         ó                  l
una presión que cambia con el tiempo.
     Algunos conceptos básicos

• Un vacío perfecto es la presión más baja posible. Es decir, una
  presión absoluta siempre será positiva.

• Una presión manométrica que esté por encima de la presión
  atmosférica es positiva.

• Una presión manométrica que esté por debajo de la presión
  atmosférica es negativa (presión de vacío).
                   g       p

• La magnitud real de la presión atmosférica varía con el lugar y con
  las condiciones climatológicas.

• A nivel del mar, la presión atmosférica estándar es de 101.325
                         14,69    (absoluta)
  pascales (absoluta) = 14 69 psi (absoluta).
    Presión absoluta y manométrica

   p              f            fuerza F que se ejerce
La presión p se define como la f        q        j
sobre un área unitaria A de una sustancia. Se calcula a
partir de:
                         F
                      p=
                         A

En l                                   l (   /
E el Sistema S.I. se expresa en pascales (= N/m2) ,
mientras que en el Sistema Inglés se expresa en lb/pulg2
  p (        g     p u p      qu          )
= psi (del inglés: pound per square inches)
Variación de la presión en un fluido en reposo


                          Superficie del fluido



                             ∑F  H   =0
Variación de la presión en un fluido en reposo

                                             Superficie del fluido

                       F2 = p2A          A


        (p1+dp) = p2                              z2




                                  w           dz, dp




                  p1                              z1



                       F1 = p1A       Peso esp. fluido = γ
                     ∑F   v
                              = F1 - F2 - w = 0


            p1 × A - (p1 + dp) × A - γ × A × dz          =    0


                               dp = - γ dz

Ecuación fundamental para fluidos en reposo (se puede utilizar para
determinar la forma en que la presión cambia con la elevación).

   p              y           q                    p
La presión disminuye a medida que se efectúa un desplazamiento
ascendente en un fluido en reposo.

                           p                     p
Para líquidos y gases en reposo, el gradiente de presión en la dirección
vertical en cualquier punto del fluido depende sólo del peso específico
del fluido en dicho punto.
       Fluido Incompresible
Para líquidos suele ser insignificante la variación de la densidad,
inclusive sobre grandes distancias verticales, de modo que cuando se
trata con líquido es aceptable la suposición de que el peso específico es
     t t Por l        l        ió    t i        d i t
constante. P lo que la ecuación anterior puede integrarse como:
                       p2           Z2

                        dp    dZ
                       ∫ = -γ ∫
                       p1           Z1
                    p2 − p1 = − γ ⋅ ( Z2 − Z1 )


                    p1 = p2 + γ ⋅ ( Z2 − Z1 )


                            p1 = p2 + γ ⋅ h

 En un fluido incompresible en reposo la presión varía linealmente con
 la profundidad.
Dentro de un fluido dos puntos A y B tienen la misma
presión si:

1) El fluido se encuentra en reposo

2) Los puntos A y B se encuentran al mismo nivel

3) Los puntos A y B están dentro de la misma masa
contínua de fluido.
        f           presión entre dos puntos puede
   La diferencia de p                  p      p
especificarse mediante la distancia h, es decir:

                          p1 − p2
                       h=
                             γ

 En este caso h se denomina cabeza o carga de presión y
    interpreta como la altura que debe medir una columna
 se i                l l          d b     di        l
 de fluido de peso específico γ para obtener una diferencia
    p          p
 de presión p1-p2.

Por ejemplo, una diferencia de presión de 10 psi se puede especificar
                                                          (γ
en términos de la carga de presión como 23,1 pies de agua (γ= 62,4
lb/pie3) o como 518 mm-Hg (γ=133 kN/m3)
     La paradoja de Pascal


Cuando se trabaja con líquidos a menudo hay una superficie libre (que es
                                referencia)
conveniente usar como plano de referencia). La presión de referencia po
corresponde a la presión que actúa sobre la superficie libre (que suele
ser la presión atmosférica).




El cambio de presión depende solamente del cambio de elevación y del
tipo de fluido, no del tamaño ni de la forma del contenedor donde se
encuentra el fluido.
La presión es la misma en todos los puntos a lo largo de la recta A-B
La paradoja de Pascal
        El requisito de igualdad de presiones a elevaciones iguales se
                   hidráulicas,
aplica en prensas hidráulicas en controles hidráulicos de aviones y en
ciertos tipos de maquinaria pesada.




 El efecto de los cambios de elevación suele ser insignificante para
éste tipo de dispositivo hidráulico, por lo que resulta F2=(A2/A1)F1.
      Fluidos Compresibles
Los gases son fluidos compresibles (aire, oxígeno,
nitrógeno, etc) cuya densidad varía de manera significativa
                            temperatura.
con cambios de presión y de temperatura

Los pesos específicos de gases comunes son pequeños en
L p          p f          g       mu          p qu
comparación con los de los líquidos. Por ejemplo, a nivel del
mar y a 60 ºF el peso específico del aire es de 0,0763
                            agua,               condiciones
lb/pie3 mientras que el del agua en las mismas condiciones,
es de 62,4 lb/pie3.

El gradiente de presión en la dirección vertical es pequeño
por lo que es posible ignorar el efecto de los cambios de
                                                   depósitos,
elevación sobre la presión en gases contenidos en depósitos
balones de gas, tuberías, etc.
       Fluidos Compresibles
 En el caso en que la variación de altura es grande, del orden de miles de
pies, es necesario considerar el peso específico del gas.

La ecuación de estado de los gases ideales establece que:

                       p⋅V = n⋅R⋅ T


                              m
                       p⋅V =    ⋅R⋅ T
                             PM

                            m R
                       p=    ⋅   ⋅T
                            V PM

                       p = ρ ⋅ R∗ ⋅ T
     La ecuación fundamental de fluidos en reposo (dp=-γdZ) puede
  combinarse con la ecuación anterior:
                        dp          g⋅p
                           = −γ = − *
                        dZ         R ⋅T
Al separar variables se tiene:

                   dp   g ⋅ dZ
                      =− *
                    p   R ⋅T

                   p2                      Z2
                      dp     ⎛p ⎞      g      dZ
                   ∫p
                   p1
                         = ln⎜ 2 ⎟ = − *
                             ⎜p ⎟
                             ⎝ 1⎠     R    ∫T
                                           Z1


         p                                      (
Si la temperatura se considera constante T = T0 (condiciones
isotérmicas) se concluye que:

                               ⎡ g ⋅ ( Z2 − Z1 ) ⎤
                 p2 = p1 ⋅ exp ⎢−                ⎥
                               ⎣     R * ⋅ T0 ⎦
      Manometría
Piezómetro

Consiste en un tubo vertical, abierto en la
parte superior, conectado al recipiente en
que se desea medir la presión.

Como A y 1 están al mismo nivel, PA= P1
Por lo que:

           PA= γ h1

Se utiliza solo si la presión en el recipiente es mayor
que la presión atmosférica (en caso contrario aspiraría
aire). La presión a medir debe ser relativamente
pequeña (de modo que la altura de la columna de fluido
sea razonable). Se aplica solo a los líquidos.
        Manómetro simple de tubo en U
El fluido del manómetro se llama
fluido manométrico (puede ser
Hg,       aceite, agua, etc.)
Hg CCl4, aceite agua etc )

En la configuración mostrada se
cumple que: pA = p1 y p2 = p3.

Además, p2 = p1 + γA h1 y
        p3 = p0 +γmanómetro h2



Es decir:
   pA = γmanómetro h2 – γ1 h1
         Manómetro simple de tubo en U
La ventaja del tubo en U es que el
fluido manométrico puede ser
distinto al fluido que se quiere
medir.
med r.

Se aplica en líquidos y en gases.


Si el fluido en A fuera un gas, se
tiene que pA = p2, por lo que:

    pA = γmanómetro h2

Si la presión en A es grande, se debe
usar un fluido manométrico pesado
(por ejemplo Hg) para tener una
columna de fuido no demasiado
grande.
      p               p q
Si la presión en A es pequeña, se debe
usar un líquido manométrico más
ligero, para tener una columna de
fluido que se pueda leer.
Manómetro diferencial de tubo en U
                 Se usa para medir la diferencia de
                 presión que hay entre dos
                 recipientes o dos puntos de un
                 sistema dado.
                 s stema

                 Dos líquidos manométricos comunes
                 son agua y mercurio. Ambos poseen
                    menisco bien definido
                 un m nisc bi n d finid y
                 propiedades bien conocidas.


                 El fluido manométrico debe ser
                 inmiscible con los demás fluidos con
                 los que esté en contacto.

                 Para obtener mediciones exactas es
                 necesario medir la temperatura, ya
                 que los diversos pesos específicos
                 de los fluidos manométrica varían
                 con ella.
Manómetro de tubo inclinado
    Manómetro de tubo inclinado
                                      presión.
Se usa para medir pequeños cambios de presión

Una rama del manómetro está inclinada en un ángulo Θ y la lectura diferencial
l2 se mide a lo largo del tubo inclinado


La diferencia de presión entre los puntos A y B está dada por:

                   pA - pB = γ2 l2 senθ + γ 3 h3 - γ1h1

Para ángulos relativamente pequeños, la lectura diferencial a lo largo del tubo
inclinado se puede hacer grande incluso para pequeñas diferencias de presión.

El manómetro de tubo inclinado se usa para medir pequeñas diferencias de
presión en gases, así si los tubos A y B contienen un gas, entonces:
                                                    p A - pB
pA – pB = γ2 l2 senθ   Es decir :            l2 =
                                                    γ2 senθ

La lectura diferencial del manómetro de tubo inclinado se puede incrementar
       f t de 1/senθ sobre la que se obtiene con un manómetro de t b en
por un factor d 1/     θ b l            bti                ó t d tubo
U convencional.
     Medidores de presión de aire
Constan de un cilindro en cuyo extremo se ubica la válvula de entrada del aire, mientras que el
otro extremo está sellado. En el interior del cilindro existe una regla móvil que sale hacia el
exterior del extremo sellado por la acción de la presión donde esta regla es graduada y se
observa la medición por lectura directa. Una de las aplicaciones prácticas es la medición de la
presión de aire en los neumáticos y compresores de aire.
Ejercicios
  Ejercicio 1) El lago de una montaña tiene una temperatura media de 10
ºC y una profundidad máxima de 40 m. Para una presión barométrica de
         p                                      p
598 mm-Hg, determinar la presión absoluta (en pascales) en la parte más
profunda del lago.

             C, Hg                      9 804
Datos: a 10 ºC γH = 133 kN/m3 y γagua = 9,804 kN/m3


  Respuesta: 472 kPa (absoluta)
  Ejercicio 2) Un depósito cerrado contiene aire comprimido y aceite
(GEaceite=0,90). Al depósito se conecta un manómetro de tubo en U con
                =13,6).                                  pulgadas
mercurio (GEHg=13 6) Para las alturas de columna h1=36 pulgadas, h2 = 6
pulgadas y h3 = 9 pulgadas, determine la lectura de presión en el manómetro
(en psi).

Datos: γagua,4ºC = 62,4 libras/pie3

  Respuesta: pmanométrica = 3,06 psi
      Ejercicio 3) Un depósito se construye con una serie de cilindros que
tienen diámetros de 0.30 0.25 0.15 m. depósito nti n               it
ti n n diám t s d 0 30 , 0 25 y 0 15 m El d pósit contiene aceite, agua y
glicerina, y en el fondo se conecta con un manómetro de mercurio. Calcular la
lectura h del manómetro.




           0 0327
Respuesta: 0,0327 m
      Ejercicio 4) El caudal que pasa por una tubería se puede determinar por
                                                                           p
medio de una tobera situada en la tubería. La tobera crea una caída de presión,  ,
pA-pB, a lo largo de la tubería que está relacionada con el flujo a través de la
ecuación Q = K √(pA-pB), donde k es una constante que depende de la tubería y
del tamaño de la tobera.
                                       p
(a) Determinar una ecuación para pA-pB, en términos de los pesos específicos
del fluido y del manómetro y de las diversas alturas indicadas.
(b) Para γ1 = 9,80 kN/m3, γ2=15,6 kN/m3, h1= 1,0 m y h2= 0,5 m. ¿cuál es el
valor de la caída de presión pA-pB ?




  Respuesta:
  Respuest :
 (a) pA-pB = h2(γ2-γ1)
 (b) 2,90 kPa
     Ejercicio 5) Un manómetro de tubo en U se conecta a un depósito
      d          i     i          En l                d d l       ó
cerrado que contiene aire y agua. E el extremo cerrado del manómetro la  l
presión de aire es de 16 psia. Determinar la lectura en el indicador de presión
para una lecura diferencial de 4 pies en el manómetro. Expresar la respuesta
en psig. Suponer la presión atmosférica normal e ignorar el peso de las
columnas de aire en el manómetro.




  Respuesta: 4,68 psig
      Ejercicio 6) Para el manómetro de tubo inclinado de la figura, la presión
                    0,8 psi.                                  agua,
en el tubo A es de 0 8 psi El fluido en ambos tubos A y B es agua y el fluido
en el manómetro tiene tiene une densidad relativa de 2,6. ¿Cuál es la presión
en el tubo B correspondiente a la lectura diferencial que se muestra?




         p             p
      Respuesta: 0,424 psi
     Ejercicio 7) Pequeñas diferencias de presión en un gas suelen medirse con un
micromanómetro (como el que se muestra en la figura). Este dispositivo consta de dos
grandes depósitos, cada uno de los cuales tiene un área de sección transversal Ar, que
están llenos de un líquido de peso específico γ1 y conectados por un tubo en U de área de
sección transversal At, que contiene un líquido de peso específico γ2. Cuando al gas se le
aplica una diferencia de presión p1 – p2, se obtiene una lectura diferencial h. Se desea
que esta lectura sea suficientemente grande (a fin de poder leerla fácilmente) para
pequeñas diferencias de presión. Determinar la relación que hay entre h y p1 – p2 cuando
la razón de áreas At/Ar es pequeña, y demostrar que la lectura diferencial h se puede
ampliar haciendo pequeña la diferencia de pesos específicos γ2 – γ1. Suponer que
inicialmente (con p1 = p2) los niveles del fluido en ambos depósitos son iguales.




                   p1 − p2
 Respuesta: h =
                   γ2 − γ1
    Ejercicio 8) Determinar la razón de las áreas A1/A2 de las dos ramas del
                                          0,5
manómetro si con un cambio de presión de 0 5 psi en el tubo B se obtiene un
cambio correspondiente de 1 pulgada en el nivel del mercurio en la rama
derecha. La presión en el tubo A no cambia.




  Respuesta: 11,7
      Ejercicio 9) Determinar la nueva lectura diferencial a lo largo de la rama
inclinada del manómetro de mercurio si la presión en el tubo A disminuye 12
kPa y la presión en el tubo B permanece sin cambio. La densidad del fluido en
el tubo A es de 0,9 y el fluido en el tubo B es agua.




  Respuesta: 0,244 m
      Ejercicio 10) Determinar el ángulo θ del tubo inclinado que se muestra en
la figura si la presión en A es de 2 psi mayor que en B.




  Respuesta: 34,2 º
      Ejercicio 11) Un manómetro de mercurio se usa para medir la diferencia
de p                            m                fg           f y
    presión en las dos tuberías mostradas en la figura. Por A fluye aceite
combustible (peso específico = 53,0 lb/pie3), y por B fluye aceite lubricante
SAE 30 (peso específico = 57,0 lb/pie3). Una bolsa de aire queda atrapada en
el aceite lubricante, como se indica. Determine la presión en el tubo B si la
                    15,3 psi
presión en A es de 15 3 psi. (γHg = 847 lb/pie3)




  Respuesta: 18,2 psi
Niels Henrik David Bohr (1885-1962)
  Premio Nobel de Física de 1922
      Ejercicio 12) La presión arterial comúnmente se expresa como la relación
                                                                      diastólica).
de la presión máxima (presión sistólica) a la presión mínima (presión diastólica)
Por ejemplo, un valor representativo de ésta relación para un ser humano es de
120/70 mm-Hg. ¿No sería más simple y más barato usar un manómetro de agua
en vez de uno de mercurio?. Explique su respuesta apoyándose en los cálculos
necesarios.




Respuesta: Si se usa un manómetro de agua, la columna sería muy
grande, 1 63 m
grande 1.63 m. (manómetro impráctico)
      Ejercicio 14) El manómetro de mercurio de la figura indica una lectura
diferencial de 0,30 m cuando la presión de vacío en el tubo A es de 25 mm-Hg.
            l      ó       l
Determine la presión en el tubo B.
γHg= 133 kN/m3 , γaceite= 8,95 kN/m3, γagua= 9,80 kN/m3




   p
Respuesta: 33,4 kPa
      Ejercicio 13) Obtener una expresión para la variación de presión en un
                                                 profundidad h
líquido en que el peso específico aumenta con la profundidad, h, según la
relación γ = kh + γ0, donde k es una constante y γ0 es el peso específico en la
superficie libre.




                   k ⋅ h2
 Respuesta:     p=        + γ0 ⋅ h
                     2

				
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posted:4/3/2011
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