Documents
Resources
Learning Center
Upload
Plans & pricing Sign in
Sign Out

Manual geometrie descriptiva

VIEWS: 8,132 PAGES: 95

  • pg 1
									                  Universitatea „Dunărea de Jos”




  GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ
                      Liliana TOCARIU




Departamentul pentru Învăţământ la Distanţă şi cu Frecvenţă Redusă
                           Galaţi – 2008
GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ
        Liliana TOCARIU




     Departamentul pentru Învăţământ la Distanţă
     şi cu Frecvenţă Redusă
     Facultatea de Mecanică
     Specializarea: Inginerie şi protecţia mediului în
     industrie
     Anul de studii: I
                                  PREFAŢĂ


      În această lucrare sunt prezentate noţiunile elementare de geometrie
descriptivă , structurate în şase capitole , noţiuni necesare realizării desenelor
în domeniul tehnic , industrial .
      Reprezentările în acest domeniu au un rol deosebit de important atât
pentru etapele de proiectare cât şi pentru etapele de execuţie a produselor
industriale sau pentru fazele de exploatare, de utilizare a lor .
      Savantul francez Gaspard Monge (1746 – 1818 ) , întemeietorul acestei
discipline , a formulat definiţia ei astfel : “ Geometria descriptivă este limba
necesară şi comună a omului care concepe un proiect şi a celor ce cu artă
dirijează execuţia ‘’
      Disciplina se încadrează în categoria disciplinelor fundamentale care se
transmit prin predare studenţilor , de la facultăţile tehnice , în primul an de
studii.
      Obiectivele disciplinei vizează însuşirea noţiunilor de bază de realizare a
reprezentarilor grafice – desenelor tehnice - folosite în proiectare şi în
activităţile de producţie . Aceste noţiuni sunt absolut necesare în procesul de
formare a viitorilor ingineri fiind ulterior utilizate la :
       întocmirea în atelierele de proiectare a desenelor tehnice de execuţie a
componentelor diferitelor ansambluri existente în instalaţiile complexe din
domeniul industrial ;
       formarea abilităţilor de citire , de interpretare corectă a documentaţiei
tehnice, grafice existente la nivelul unui atelier sau a unui sector de producţie
sau de reparaţie .
      Lucrarea se adresează studenţilor de la facultăţile tehnice cu profil
mecanic , inginerie industrială , metalurgic , ingineria şi protecţia mediului .
      La elaborarea acestei lucrări , s-a avut în vedere prezentarea noţiunilor
teoretice de bază prin explicarea rezolvării unor aplicaţii reprezentative , uzuale
şi de sinteză , cu un grad mediu de dificultate .


                                  Autoarea ,

                    Conf. dr. ing. LILIANA TOCARIU
CUPRINS

Prefaţă
Cap. 1 REPREZENTAREA PUNCTULUI ÎN TRIPLĂ
        PROIECŢIE ORTOGONALĂ………………………………                                                          5
Cap. 2 DREAPTA ……………………………………………….......                                                         10
Cap. 3 PLANUL……………………………………………………....                                                            17
Cap. 4 METODE DE TRANSFORMARE A PROIECŢIILOR........                                             27
Cap. 5 CORPURI GEOMETRICE –
       PROBLEMATICĂ DE REPREZENTARE.........................                                     42
    5.1 Reprezentarea poliedrelor ……………………………......                                              42
    5.2 Reprezentarea cilindro - conicelor …………………... .....                                      48
    5.3 Reprezentarea sferei …………………………………. .....                                                51
    5.4 Reprezentarea torului …………………………………......                                                55
    5.5 Reprezentarea cuadricelor de rotatie ………………........                                      57
Cap.6.CORPURI GEOMETRICE -
       PROBLEMATICĂ DIVERSĂ………………........................                                        65
     6.1 Secţiuni plane ………………………………………...........                                               65
     6.2 Intersecţii cu drepte ........................................................          70
     6.3 Desfăşurate .................................................................           75
     6.4 Diverse intersecţii ....................................................... .           85
Bibliografie .................................................................................   92
Capitolul 1 - Reprezentarea punctului în triplă proiecţie ortogonală




Capitolul 1 – Reprezentarea punctului în triplă proiecţie
ortogonală

Aplicaţii rezolvate

      1. Să se reprezinte in epură şi in spaţiu (in perspectiva cavalieră)
urmatoarele puncte : A(20, 30, 40); B(20, -30, 40); C(20, -30, -40); D(20, 30, -
40); E(-20, 30, 40); F(20, 30, 0); G(0, 30, 40); H(20, 0, 0).
     Rezolvare:
       In toate exemplele, rezolvarea s-a realizat prin etape similare. Astfel, in
figura 1.1:
       - S-au măsurat, pe axe, coordonatele punctului A (abscisa, depărtarea,
cota), tinandu-se seama de semnele acestora si s-au marcat punctele xA, yA,
zA pe axe;
        - S-au trasat liniile de ordine din xA si yA si la intersectia acestora s-a
obtinut proiectia orizontala notata cu a, la intersectia liniilor de ordine din zA si
xA s-a obtinut proiectia verticala, notata cu a’, iar la intersecţia liniilor de
ordine din y1A si zA s-a obţinut a “ , proiectia laterală a punctului A
      - y1A a rezultat in urma rotirii segmentului OyA in sens trigonometric,
    pana ce arcul de cerc, de raza OyA si centrul O, intersecteaza axa Oy1.
S-a realizat astfel epura punctului A .




                                        Fig. 1.1

GEOMETRIE DESCRIPTIVA                                                              5
Capitolul 1 - Reprezentarea punctului în triplă proiecţie ortogonală




                                 Fig. 1.2




                                 Fig. 1.3

GEOMETRIE DESCRIPTIVA                                                  6
Capitolul 1 - Reprezentarea punctului în triplă proiecţie ortogonală




                                    Fig. 1.4


  Pentru reprezentarea spaţială, in perspectivă cavalieră, s-au trasat axele Ox
(orizontală), Oz (verticala) şi Oy inclinată faţă de Ox cu 45°.
Se măsoara abscisa şi cota, la scara 1:1, pe axele corespunzatoare, iar pe
axa Oy (pentru a obţine o imagine cât mai asemanatoare cu cea din spaţiul
real) se măsoară departarea redusă la jumatate, deci la scara 1:2. La
intersecţia liniilor de ordine corespunzatoare, se obţin, proiecţiile a, a’ şi a”,
iar apoi punctul din spaţiunotat cu A.
     Observaţie. In figura 1.2. s-a rotit yB tot in sens trigonometric până ce
arcul a intâlnit axa Oy1, punct care s-a notat cu y1B.
     Celelalte puncte se reprezintă analog. (v. fig. 1.3, 1.4)

    2.Să se afle a treia proiecţie a urmatoarelor puncte, date in epură numai
prin două proiecţii şi să se stabilească triedrele ce le conţin (v. fig. 1.5
a,b,c,d).
    Exemple de rezolvare: se marchează pe axe punctele xM, yM, zM, deci
se obţin grafic abscisa, depărtarea şi cota apoi se reprezintă după regulile
prezentate anterior proiecţia cerută (v. fig. 1.6 a, b, c, d).
    Pentru aâ stabili cu usurinţă triedrele ce conţin punctele, se apelează la
schema din figura 1.8.

     3.Să se reprezinte in spaţiu şi in epură punctul A1, simetricul punctului
A(30, -40, 20) faţă de planul [H]; A2, simetricul punctului A faţă de planul [V]
şi A3 simetricul lui A faţă de [W].
     Rezolvare :
     Mai întâi se determină coordonatele punctelor A1, A2 şi A3 utilizând
schemele din figura 1.8.(a şi b) şi apoi se reprezintă punctele cerute după
regulile prezentate anterior.
     Astfel coordonatele punctelor cerute au urmatoarele valori :
A1 (+30, -40, -20) ;A2 (+30, +40, +20) ;A3 (-30, -40, +20)

GEOMETRIE DESCRIPTIVA                                                           7
Capitolul 1 - Reprezentarea punctului în triplă proiecţie ortogonală




                                 Fig. 1.5




                              Fig. 1.6. a,b

GEOMETRIE DESCRIPTIVA                                                  8
Capitolul 1 - Reprezentarea punctului în triplă proiecţie ortogonală




                              Fig. 1.6. c,d




                                 Fig. 1.7




                                 Fig 1.8

GEOMETRIE DESCRIPTIVA                                                  9
Capitolul 2- Dreapta




Capitolul 2 - Dreapta

Aplicaţii rezolvate :

Să se reprezinte in spaţiu şi in epură segmentul AB şi să se arate adevărata
lui mărime precum şi unghiurile pe care le realizează cu [H] şi [V]. Se dau
A(50, 22, 7) si B(30, 10, 26).

   Rezolvare:

    In figura 2.1.(a, b) se reprezintă punctele A şi B care determină dreapta
AB. Se determină urmele H si V ale dreptei ce formează in spaţiu triunghiul
dretpunghic (hvv’).




                                     Fig. 2.1 a
                 __
     Segmentul AB este situat pe ipotenuza acestuia. Dacă se suprapune
acest triunghi pe [H], există posibilitatea in epură să se măsoare adevărata
mărime a segmentului, adică A0B0, şi unghiul 0(H). Se anticipează metoda
rabaterii pe planele [H] şi [V].
     Analog se procedează pentru determinarea unghiului 0(V), folosindu-se
triunghiul dreptunghic (h1, h, v1), care se rabate pe [V].
     Dacă se observă cu atenţie imaginile din figura 2.2. a şi b, modul de
rezolvare se deduce imediat.


GEOMETRIE DESCRIPTIVA                                                     10
Capitolul 2- Dreapta
       2. Se consideră dreapta D(d, d1) definită de punctele 1(45, 24, 5) şi
2(80, 4, 30). Se cere: să se afle regiunile dreptei (diedrele şi triedrele pe care
le străbate; să se aleagă un punct A ce apartine dreptei D din T1, care să
aibă xA= (65) şi in acest punct să se traseze o frontală perpendiculară pe D,
apoi in 1 o orizontală perpendiculară pe D iar in 2 o dreaptă de profil
perpendiculară pe D.




                                     Fig. 2.1 b

    Rezolvare:

      În figura 2.2. s-au determinat urmele H( h, h’ ) şi V( v, v’ ) ale dreptei D(d,
d’ ), s-au determinat regiunile dreptei studiind situarea in spaţiu a punctelor
T( t, t’ ); 2( 2,2’ ); S( s, s’ ) care s-au ales in zonele distincte ale dreptei,
respectiv T,la stânga liniei de ordine din V, 2 intre liniile de ordine trasate din
V şi H şi S la dreapta liniei de ordine din H. S-a amplasat punctul A(a, a’)
care are xA= 65 şi apoi, conform teoremei unghiului drept, s-a trasat frontala
F( f, f’ ). Analog G( g, g’ ) si P( p, p’ ).

     3. Să se afle distanţa dintre dreapta oarecare AB(ab, a’b’) şi fronto-
orizontala Δ(δ, δ’), care trece prin M(10, 17, 15). Se cunosc A(60, 10, 20) şi
B(25, 30, 35).

      Rezolvare:

      Se reprezintă dreapta AB(ab, a’b’, a”b”) apoi prin punctul M(m, m’, m”)
se trasează fronto-orizontala Δ(δ, δ’, δ’’ ). Distanţa dintre o fronto-orizontală




GEOMETRIE DESCRIPTIVA                                                             11
Capitolul 2- Dreapta

şi o dreaptă oarecare se măsoară pe o dreaptă de profil P(p, p’, p” ). Distanţa
căutată este ρ şi se măsoară între m”≡j” şi i” adică ρ=i”y”.
        OBS. Orice perpendiculară pe o fronto-orizontală este o dreaptă de
profil (v. fig. 2.3.).




                                   Fig 2.2




                                   Fig. 2.3

GEOMETRIE DESCRIPTIVA                                                       12
Capitolul 2- Dreapta

       4. Să se construiască un paralelogram oarecare in epură , in dublă
proiecţie ortogonală , dacă se cunoaşte una dintre laturi , de exemplu , AB
(ab, a’b’) şi să se pună in evidenţă diagonalele sale şi punctul lor de
intersecţie O. Cealaltă latură se alege arbitrar.




                                     Fig.2.4.

      Rezolvare:

       Se trasează un segment oarecare dat AB(ab, a’b’) în epură, apoi
segmentele paralele şi egale AD(ad, a’d’) şi BC(bc, b’c’). Se trasează
diagonalele AC(ac, a’c’) şi BD(bd, b’d’), care se intersectează cu punctul O(o,
o’); rezultă imediat d’ şi c’. Intr-o construcţie corectă o şi o’ trebuie să se afle
pe aceeaşi linie de ordine ( v. fig. 2.4. de mai sus ) .

       5. Să se construiască triunghiul isoscel (ABC) care are latura AB
situată pe frontala F (f, f’ ) şi apoi să se afle proiecţiile centrului său de
greutate. Se mai ştie că AC = BC. Se lucrează cu coordonate alese arbitrar .

      Rezolvare:

      Se stabileşte 1(1, 1’) mijlocul segmentului AB. Prin 1(1, 1’) se trasează
mediana şi inalţimea C1( c1,c’1’) conform teoremei unghiului drept.
      Se alege arbitrar c’ şi apoi tot arbitrar, pe linia de ordine trasată din c’,
se alege c. Problema admite o infinitate de soluţii. După ce s-au trasat
proiecţiile triunghiului ABC(abc, a’b’c’) se construieşte a doua mediană
A2(a2, a’2’). La intersecţia celor două mediane se află G(g, g’) centrul de
greutate căutat. Se aminteşte că, in proiecţia paralelă raportul simplu se
păstrează deci c’2’ = 2’b’ şi c2 = 2b. (v. fig. 2.5.).

       6. Se dau punctele A şi B ce aparţin dreptei de capăt Δ(δ, δ’). Să se
construiască pătratul ABCD , care are latura AB dată , in cele trei proiecţii.
       Se ştie că : δ’ ≡ a’ ≡ b’ iar laturile paralele AD si BC fiind
perpendiculare pe o dreaptă de capăt sunt, în cazul general, nişte drepte
GEOMETRIE DESCRIPTIVA                                                          13
Capitolul 2- Dreapta
 frontale care se proiectează in adevarată mărime numai pe planul vertical
de proiecţie [V]. ( vezi figura 2.6 a. )




                                     Fig. 2.5

       Rezolvare:

        Din δ’ se trasează cercul cu raza R = l, unde l = AB, pe care se aleg
arbitrar c’ ≡ d’. Apoi se determină cd prin intersectarea liniei de ordine dusă
din c’ ≡ d’ cu direcţiile laturilor frontale AD şi BC . Realizând corespondenţa
intre cele trei proiecţii se determină pe planul lateral proiecţiile celor patru
vârfuri a”b”c”d”. Problema admite o infinitate de soluţii, in funcţie de locul de
alegere a punctelor C si D pe cercul de rază dată(v. fig.2.6 b)




GEOMETRIE DESCRIPTIVA                                                           14
Capitolul 2- Dreapta
                                  Fig. 2.6.a




                                  Fig. 2.6.b

     7. Să se finalizeze reprezentarea figurii plane din următoarea epură
     (v. fig. 2.7.a).

     Rezolvare: (v. fig. 2.7.b)

       Se trasează diagonala (1’3’) in proiecţia verticală a pentagonului
 1’2’3’4’5’ şi apoi se determină t’ (punctul de concurenţă cu diagonala 2’5’)
şi s’ (punctul de concurenţă cu diagonala 2’4’).
       Se finalizează proiecţia orizontală a pentagonului ţinând seama de
modul cum se proiectează punctele ce aparţin aceloraşi drepte.
       Astfel se reprezintă diagonala 13 pe care se marchează proiecţiile
orizontale ale punctelor T şi S ( notate cu t respectiv s) prin intersectarea
liniilor de ordine duse din t’ şi s’ cu aceasta . Proiecţiile 2 şi t definesc
direcţia diagonalei 25 iar proiecţiile orizontale ale punctelor 2 şi s definesc
direcţia diagonalei 24 .
       Punctele 5 şi 4 reprezintă extremităţile diagonalelor 25 respectiv 24 şi
se află trasănd linii de ordine corespunzătoare din 5’ şi 4’ .
       Prin unirea proiecţiilor orizontale ale vărfurilor pentagonului , adică a
punctelor 12345 , se determină soluţia problemei .
       Acelaşi punct din spaţiu de exemplu , punctul 1 , are proiecţiile situate
pe aceeaşi linie de ordine ( vezi 1 şi 1’ ) faţă de axa OX . Liniile de ordine
sunt perpendiculare pe axe in cazul proiecţiilor Monge . Se mai poate
GEOMETRIE DESCRIPTIVA                                                         15
Capitolul 2- Dreapta
observa în această aplicaţie că punctul de concurenţă a două drepte se
proiectează,deasemenea, pe aceeaşi linie de ordine .




                              Fig. 2.7.a




                              Fig. 2.7.b

GEOMETRIE DESCRIPTIVA                                               16
17Capitolul 3 - Planul




Capitolul 3 - Planul

Aplicaţii rezolvate

      1. Să se afle punctul I(i, i’) de intersecţie a dreptei D cu planul [P] şi să
se stabilească vizibilitatea dreptei faţă de plan. Se dau elementele in figura
3.1 ( problema se rezolvă fară coordonate impuse in dublă proiecţie
ortogonală) .




                                     Fig.3.1

       Rezolvare:

       Prin dreapta D se construieşte un plan particular auxiliar (de capăt sau
vertical) [Q], apoi se intersectează planele [Q] şi [P] rezultând dreapta
Δ(δ, δ’), în ultima etapă se află punctul I(i, i’) la intersecţia dreptei Δ cu
dreapta D.
Observaţie : În figura 3.2. se utilizează planul [Q] ca plan de capăt auxiliar.




                                     Fig.3.2
GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ                                                           17
18Capitolul 3 - Planul

        în figura 3.3 s-a ales un plan vertical auxiliar notat cu [Q].
        Pentru rezolvarea vizibilităţii pe planul [H] , se consideră un punct
H(h, h’) situat in planul [P] şi un punct I(i, i’) situat pe dreapta D, puncte ce
sunt amplasate pe aceeaşi proiectantă şi pe elemente diferite in spaţiu
(dreapta şi planul).
        Se observă că pe planul [H] este vizibil punctul I Є dreptei D ,
deoarece are cota mai mare faţă de punctul H ce aparţine [P] , punctul H are
cota egala cu zero fiind situat pe urme orizontală a planului Ph.
        Punctul I separă dreapta in două zone, una vizibilă şi cealaltă
invizibilă. Deci pe [H], la stânga proiecţiei i, fiind situată proiecţia vizibilă a
punctului 1, dreapta este vizibilă faţă de plan, iar in dreapta proiecţiei
orizontale a punctului – i - dreapta este invizibilă..
        Similar se rezolvă vizibilitatea pe planul [V], analizându-se punctele
2(2, 2’) Є D si 3(3, 3’) Є [P] , mai precis punctul 3 fiind amplasat pe o
orizontală a planului P , notată cu G (g, g’), . Deoarece depărtarea Y(3) >
depărtarea Y(2) rezultă că este vizibil punctul 3 Є [P], deci dreapta este
invizibilă la dreapta proiecţiei i’, adică a proiecţiei verticale a punctului I.




                                     Fig. 3.3

       2. Să se afle, în dublă proiecţie ortogonală , intersecţia dintre dreapta
de capăt D si planul [P]. (v. fig. 3.4.a). Aplicaţia se rezolvă fără coordonate
precizate (v. fig. 3.4.b).

      Rezolvare:

         Se consideră ca plan auxiliar planul de nivel N ce conţine dreapta D.
(v. fig. 3.4. b). Se intersectează planele N şi P rezultând orizontala G-
[N]∩[P] → G(g, g’) - şi dreptele G şi D rezultând puctul comun I - G ∩ D → I(i,
i’) - . Vizibilitatea , pe cele două plane de proiecţie , este evidentă. Pe planul
orizontal H , dreapta este vizibilă mai jos de proiecţia orizontală a punctului i

GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ                                                           18
19Capitolul 3 - Planul

şi invizibilă mai sus faţă de i . Pe planul vertical dreapta se proiectează intr-
un singur punct , notat cu d’ = i’ .




                                    Fig. 3.4

       3. Să se determine intersecţia dintre placa triunghiulară ABC şi
dreapta D, şi apoi să se rezolve vizibilitatea epurei. (v. fig. 3.5. a). Se
lucrează fară coordonate precizate .




                                    Fig. 3.5


      Rezolvare:

      Rezolvarea se poate observa in figura 3.5. b. S-a construit planul de
capat auxiliar [Q] ce contine dreapta D, şi s-a aflat dreapta de intersecţie cu
placa notată cu Δ(δ, δ’) şi dată de punctele 1 şi 2 . Această dreaptă de
GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ                                                        19
20Capitolul 3 - Planul

intersecţie - 12 ( 12 ; 1’2’ ) - este concurenta in punctul I(i, i’) cu dreapta D.
Pentru determinarea vizibilităţii s-au luat in discuţie cotele şi depărtările
punctelor 2 şi F pentru [V]; 3 şi 4 pentru [H].

        4. Prin punctul M(m, m’) să se construiască un plan [R] perpendicular
pe planele [P] si [Q]. Se dau M(94, 15, 38); [P] {Px=64,0,0; A(60, 0, 3); B(60,
15, 0)}; [Q] {Qx=15,0,0; C(25, 0, 7); D(25, 6, 0)}.

      Rezolvare:

       Se intersectează planele [P] ∩ [Q] rezultând dreapta Δ (δ, δ’). Planul
[R] va fi perpendicular pe dreapta de intersecţie Δ, a celorlalte două plane.
Prin punctul M se trasează o frontală F (f, f’) perpendiculară pe dreapta Δ ,
frontală ce se va include in planul [R] cerut . (v. fig. 3.6. a,b).




                                       Fig.3.6

        5. Prin punctul M(m, m’) să se construiască un plan [P] paralel cu
placa patrulateră definită de punctele 1;2;3;4. Se dau următoarele
coordonate : M(31, 5, 10); 1(142, 11, 15); 2(111, 3, 36); 3(90, 17, 26); 4(101,
43, 7).

       Rezolvare (v. fig. 3.7. a,b):

     Se reamintesc condiţiile de paralelism a doua plane. In figura 3.7 a)
s-au reprezentat in spaţiu două plane paralele [P1] şi [P2], care conţin fie
dreptele (D1//D2) incluse in [P1] şi (D1*//D2*) incluse in [P2] - cu proprietatea
D1//D1*//D2//D2* şi diferite ca direcţie de dreapta de intersecţie a planelor; fie


GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ                                                          20
21Capitolul 3 - Planul

dreptele concurente (D1 si D2) incluse in [P1] si (D4 si D3) incluse in [P2] cu
urmatoarea proprietate de paralelism D1//D3 şi D2//D4.




                                  Fig. 3.7 a


      In figura 3.7 b) s-au trasat in planul patrulaterului două drepte
concurente ( o orizontală G şi o frontală F) iar apoi prin punctul M(m, m’)
s-au reprezentat paralele la acestea F1//F si G1//G. Dreptele F1 şi G1
determină planul [P] (Pv, Ph). Prin v’ se trasează urma Pv // f1’ iar prin h se
trasează urma orizontală a planului Ph // g1 .




                                  Fig. 3.7 b

     6. Să se afle unghiul realizat de placa triunghiulară ABC cu planul [H].
Se cunosc: A(90, 28, 8), B(50, 5, 45), C(25,50, 15).


GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ                                                       21
22Capitolul 3 - Planul


         Rezolvare:
      In figura 3.8. s-a trasat linia de cea mai mare pantă a planului plăcii,
Lh(lh, lh’) faţă de planul orizontal de proiecţie H, cu ajutorul orizontalei planului
G(g, g’), apoi s-a determinat a[h] conform noţiunilor teoretice cunoscute.
      Recomandare:
Să se afle, prin analogie , şi unghiul [V], realizat de placă cu planul [V].




                                      Fig. 3.8

       7. Prin punctul A , exterior planului [P] , să se construiască
paralelogramul ABCD perpendicular pe planul [P]; să se afle dreapta de
intersecţie a celor doua plane şi să se clarifice vizibilitatea epurei.
Se dau : A(80, 60, 27); B(68, ?, ?), AB ┴ [P]; D(36, 17, 44), DC ┴ [P], [P]{Px=
(95, 0, 0); N(85, 4, 0); M(85, 0, 6)}.

       Rezolvare ( v. Fig. 3.9 ):

         Prin A se construieşte perpendiculara pe plan şi se alege pe aceasta
punctul B(b, b’) apoi se traseaza proiectia paralelogramului ABCD(abcd,
a’b’c’d’). Se verifică dacă cele doua plane se intersectează sau nu, utilizând
planele de nivel auxiliare de secţiune [N1] si [N2].
         Planul [N1] determină orizontala G in paralelogram şi G1 in planul [P]
;G∩G1→punctul I(i, i’). Planul [N2] intersectează paralelogramul după
orizontala G2 iar planul [P] după G ; G2 ∩ G3→ punctul J(j, j’). Dreapta IJ(ij,
i’j’) este dreapta de intersecţie a celor două plane .

GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ                                                             22
23Capitolul 3 - Planul

         Se pastrează numai porţiunea de dreaptă situată in interiorul conturului
aparent al paralelogramului . Acastă dreaptă separă paralelogramul in doua porţiuni
: una vizibilă, cealaltă invizibilă faţă de plan .
        Construcţiile care conduc la rezolvarea problemei se recomandă să fie trasate
cu linii subţiri, pentru ca in final să se intărească numai porţiunile vizibile ale celor
două plane.




                                        Fig.3.9

      8. Să se intersecteze placa triunghiulară [ABC] cu planul [P] paralel cu
axa OX şi să se rezolve vizibilitatea epurei (v. fig. 3.10. a). Se lucrează fără
coordonate , datele problemei se pot alege aproximativ ca în figura mai sus
menţionată .

      Rezolvare:

       Această problemă se rezolvă în trei proiecţii ortogonale deoarece
planul P , paralel cu axa OX , este un plan simplu particular , perpendicular
pe planul lateral de proiecţie W . Se reprezintă mai intâi datele de intrare ale
problemei , placa ABC şi planul P ca în figura 3.10 a .
        În figura 3.10.b) s-a rezolvat intersecţia dintre cele două elemente date
care constă în dreapta 12 .Această dreaptă de intersecţie 12 (12, 1’2’, 1’’2’’)
se proiectează pe planul [W] chiar pe urma PW şi este definită de punctele
1’’2’’care se află primele . Prin trasarea liniilor de corespondenţă necesare
către planul orizontal se determină proiecţia orizontală 12 şi analog 1’2’,
proiecţia pe planul vertical V . Se finalizează rezolvarea problemei prin
determinarea vizibilităţii epurei pe toate cele trei plane de proiecţie . Dreapta

GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ                                                                 23
24Capitolul 3 - Planul

12 separă placa triunghiulară în două zone de vizibilitate faţă de plan , zona
invizibilă s-a pus în evidenţă cu linie întreruptă ; pe planul lateral placa ABC
este vizibilă în totalitate faţă de planul P .




                                     Fig.3.10

         9. Să se intersecteze plăcile (ABC) ş (DEFH) şi să se rezolve
vizibilitatea epurei. Se dau coordonatele vărfurilor : A(97, 62, 46); B(23, 14,
7); C(73, 0, 0); D(97, 30, 9); E(58, 11, 37); F(10, 40, 42); H(60, 55, 5).

      Rezolvare:

         În figura 3.11. s-au intersectat laturile AC şi AB ale placii triunghiulare
cu patrulaterul DEFH . Este suficient să se rezolve numai în dublă proiecţie
ortogonală . S-au folosit plane auxiliare de capăt în care s-au inclus laturile
AC şi AB , astfel planul Q1 s-a trasat prin latura AC iar planul Q2 s-a trasat
prin latura AB .
          S-a aflat intersecţia dintre planul Q1 şi placa DEFH şi anume dreapta
12 ( 12;1’2’ ) şi intersecţia dintre planul Q2 şi placa DEFG ca fiind dreapta
34 (34; 3’4’ ) .
          În continuare se intersectează latura AC cu dreapta 12 şi se obţine
punctul I ( i;i’ ), respectiv latura AB cu dreapta 34 obţinăndu-se punctul
J ( j;j’ ) .
          Se determină dreapta de intersecţie cerută , dintre cele două plăci ,
prin unirea punctelor I(i, i’ ) şi J(j, j’).
          Această dreaptă de intersecţie IJ separă triunghiul in două zone de
vizibilitate faţă de patrulater .
          Se reamintesc următoarele reguli de vizibilitate care s-au utilizat :
          Vizibilitatea pe planul orizontal H - dintre două puncte situate pe
aceeaşi proiectantă faţă de [ H ] se consideră vizibil punctul cu cea mai mare
cotă;
GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ                                                             24
25Capitolul 3 - Planul

      Vizibilitatea pe planul vertical V - dintre două puncte situate pe
aceeaşi proiectantă faţă de [ V ] se consideră vizibil punctul cu cea mai mare
depărtare .




                                   Fig.3.11.


        10. Să se intersecteze dreptunghiurile ABCD şi EFGH şi să se
clarifice vizibilitatea epurei (v. fig. 3.12. a).

       Rezolvare:

       Se lucrează fară coordonate numai în dublă proiecţie ortogonală .
       În funcţie de reprezentarea elementelor ( din fig.3.12 a ) se deduce că
planele celor două dreptunghiuri sunt plane de capăt , notate cu [ Q1] in
cazul plăcii ABCD şi cu [ Q2 ] in cazul plăcii EFGH .
       Intersecţia acestora este dată de punctele 1 şi 2 care sunt situate pe o
dreaptă de capăt comună celor două plane.
       Se ştie că în cazul reprezentării unei drepte de capăt , toate punctele
ce aparţin dreptei se proiectează pe planul vertical V intr-un punct unic , în
acest caz , 1’= 2’ iar pe planul orizontal H direcţia proiecţiei dreptei 12 este
perpendiculară pe axa OX .
       Dreapta 12 este de fapt dreapta de intersecţie dintre cele două
dreptunghiuri .


GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ                                                        25
26Capitolul 3 - Planul

        Vizibilitatea plăcilor , una în raport cu cealaltă , se rezolvă conform
teoriei prezentate anterior (v. fig. 3.1.2 b). Vizibilitatea pe planul orizontal H
arată că latura BC este situată în spaţiu sub placa EFGH - pe porţiunea
comună se reprezintă cu linie întreruptă fiind element invizibil – deasemenea
toată porţiunea EH12 s-a reprezentat cu linie întreruptă fiind invizibilă, adică
acoperită de cealată placă .




                                    Fig.3.12.




GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ                                                          26
Capitolul 4 - Metode de transformare a proiecţiilor aplicate în rezolvarea
problemelor metrice şi de poziţie specifice desenului tehnic




Capitolul 4 - Metode de transformare a proiecţiilor aplicate
în rezolvarea problemelor metrice şi de poziţie specifice
desenului tehnic

      Aplicaţii rezolvate :

     1. Să se afle adevărata mărime a segmentului de dreaptă AB prin
metoda rotaţiei şi a schimbării planului vertical de proiecţie.

      Rezolvare:

       În figura 4.1 a. s-a reprezentat segmentul de dreaptă oarecare
AB ( ab, a’b’ ), în dublă proiecţie ortogonală , pentru care se cere
determinarea lungimii reale prin două metode - a rotaţiei şi a schimbării
planului vertical de proiecţie - .
        Metoda rotaţiei constă în rotirea segmentului dat în jurul unei axe de
rotaţie păna ce acesta ajunge intr-o poziţie particulară faţă de un anumit plan
de proiecţie . În acest caz se poate observa în figura 4.1 că s-a ales o
dreaptă verticală  ( , ’ ) ca şi axă de rotaţie , dreaptă perpendiculară pe
planul orizontal H şi concurentă cu segmentul AB în punctul B . Segmentul
AB este astfel antrenat intr-o rotaţie, numită rotaţie de nivel , pentru că toate
punctele situate pe acesta execută deplasări pe traiectorii în formă de cerc
( circulare ) şi situate în plane de nivel ( plane paralele cu [ H ] . Segmentul
AB se roteşte pănă cănd proiecţia sa orizontală devine paralelă cu axa OX
deci pană cănd se transformă intr-un segment de dreaptă frontală ( vezi
poziţia A1B (a1b, a1’b’) . În această poziţie se proiectează în mărime reală
pe planul V , astfel încăt lungimea segmentului a1’b’ reprezintă lungimea
reală a cerută .segmentului dat AB .
        În figura 4.1 b s-a aflat lungimea reală a segmentului dat AB prin
metoda schimbării planului vertical de proiecţie metodă diferită de cea
anterioară . Această metodă constă în proiectarea segmentului dat pe un alt
plan vertical de proiecţie , amplasat intr-o poziţie convenabil aleasă , astfel
încăt segmentul să se proiecteze în mărime reală pe noul plan vertical notat
cu V1 . Axa O1X1 este dreapta de intersecţie dintre planul orizontal H şi noul
plan vertical V1 . În noul sistem de plane [H],[V1] segmentul AB s-a
transformat intr-un segment de frontală care se proiectează în mărime reală
pe V1 . Proiecţia ab este paralelă cu noua axă O1X1 . Prin simpla măsurare
a proiecţiei a1’b1’ se determină lungimea reală cerută .
        Observaţie : dacă se lucrează cu acurateţe şi corectitudine trebuie să
se obţină aceeaşi valoare numerică , pentru lungimea segmentului , în cazul
celor două metode aplicate .

        2. Să se afle unghiul dintre două drepte concurente, prin metoda
rabaterii pe un plan de nivel oarecare. ( v. Fig.4.2 )


GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ                                                         27
Capitolul 4 - Metode de transformare a proiecţiilor aplicate în rezolvarea
problemelor metrice şi de poziţie specifice desenului tehnic
      Rezolvare:




                                 Fig. 4.1. a




                                  Fig.4.1b
GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ                                                        28
Capitolul 4 - Metode de transformare a proiecţiilor aplicate în rezolvarea
problemelor metrice şi de poziţie specifice desenului tehnic

       În figura 4.2 s-au reprezentat dreptele concurente D (d, d’) şi Δ ( , ’)
care au punctul de concurenţă notat cu I (i,i’) şi care formează un plan
oarecare .
       Pentru a se afla unghiul dintre dreptele date se utilizează metoda
rabaterii pe un plan de nivel arbitrar ales . Astfel , planul dreptelor se
intersectează cu planul auxiliar de nivel notat cu [ N ], a cărui urmă verticală
este Nv paralelă cu axa OX . Din intersecţia planelor rezultă o dreaptă
orizontală , G ( g,g’) , care reprezintă axa de rabatere . Se aminteşte definiţia
rabaterii : rabaterea este metoda prin care un anumit element se roteşte în
jurul axei de rabatere , cu un anumit unghi , pănă ajunge intr-o poziţie
particulară care să furnizeze adevărata sa mărime .
       În cazul acesta , în urma intersecţiei dintre planul dreptelor şi planul N
rezultă dreapta dată de punctele 1 şi 2 – 12 ( 12, 1’2’ ) – care este axa de
rotaţie a rabaterii . Planul dreptelor se roteşte în jurul axei de rabatere pănă
la coincidenţa cu planul de nivel N . în timpul rabaterii punctul de concurenţă
I se deplasează pe un cerc perpendicular ca poziţie pe axa de rabatere , care
are centrul in punctul  situat pe axa de rabatere – punct numit centru de
rabatere - . Pentru a se afla Io rabătutul punctului I pe planul N se parcurg
următoarele etape :
       - Se construieşte triunghiul de poziţie [ iI1 ] care este haşurat în figură
şi care este un triunghi dreptunghic .             Pentru aceasta se coboară
perpendiculara din i pe axa de rabatere , cele două drepte intersectăndu-se
in punctul  , apoi din i se trasează o paralelă la axa de rabatere pe care se
transpune Zi [ N ] , cota punctului I faţă de planul de nivel N , rezultănd
punctul I1;
       - Se trasează un cerc care are raza egală cu segmentul I1 şi centrul
în  pe axa de rabatere . Acest cerc se intersectează cu perpendiculara din I
pe axa de rabatere în punctul Io ( rabătutul punctului I din spaţiu pe planul de
nivel N ).
       Se uneşte Io cu 1 = 1o pentru a se afla Do , dreapta D rabătută ,
analog Io cu punctul 2 = 2o pentru a se afla Δ o ( dreapta Δ rabătută ),
       Unghiul  dintre dreptele rabătute Do şi Δo eate soluţia problemei .

       3. Să se determine distanţa de la un punct la un plan oarecare prin
metoda schimbarii planului vertical şi punctul de incidenţă al perpendicularei
cu planul. ( v. Fig. 4.3a )

       Rezolvare:

        Distanţa de la un punct la un plan se măsoară pe perpendiculara
coborată din punct pe plan.
        În figura 4.3 b s-a transformat planul oarecare [P] într-un plan de
capăt, în acest sens axa O1X1 s-a trasat perpendiculară pe urma orizontală
a planului , Ph. In noul sistem de plane {[H], [V1]}, urmele planului sunt (Pv1 si
Ph), iar proiectiile punctului A sunt (a, a11).
        Pv1 s-a obţinut prin schimbarea planului vertical de proiecţie pentru
punctul V (v, v’ ) care devine V1 ( v =v1 , v1’ ) .
        Din a1’ se construieşte perpendiculara pe Pv1 şi se determină i1’
punctul de incidenţă dintre perpendiculară şi plan, se afla apoi i si i’ trasând
liniile de ordine corespunzătoare. Se remarcă că în sistemul {[H], [V1]}
GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ                                                           29
Capitolul 4 - Metode de transformare a proiecţiilor aplicate în rezolvarea
problemelor metrice şi de poziţie specifice desenului tehnic
perpendiculara pe plan este o frontală, deci distanţa de la punct la plan este
chiar lungimea segmentului (a1’, i1’).




                                   Fig. 4.2




GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ                                                      30
Capitolul 4 - Metode de transformare a proiecţiilor aplicate în rezolvarea
problemelor metrice şi de poziţie specifice desenului tehnic


                                 Fig. 4.3
        4.Să se afle în adevărată mărime unghiul dintre plăcile patrulatere
(ABCD), (CDEF), utilizând două metode de transformare succesive. Se
cunosc A(100, 3, 0), D(120, 18, 0), E(88, 40, 0), B(42, 12, 27), C(50, ?, ?),
F(25, ?, ?), si AB//DC//EF.

      Rezolvare:

       Intr-o primă etapă se reprezintă plăcile ţinând cont de vizibilitate şi se
observă ca latura DC este dreapta de intersecţie a plăcilor (plane) (v. fig.
4.4).
       Se ştie că unghiul dintre două plane se măsoară intr-un plan
perpendicular pe ele, deci pe dreapta lor comună, şi anume între dreptele de
intersecţie dintre cele două plane oarecare cu cel de-al treilea plan
perpendicular. (v. fig. 4.5.).
        In epura din figura 4.4. se alege un Px şi se construieşte planul [P]
perpendicular pe DC, (Ph ┴ dc şi Pv ┴ d’c’). Apoi se realizează prima
transformare,care este o schimbare de plan vertical,pentru ca DC să devină
o draptă frontală ,deci O1X1 este paralelă cu proiecţia dc. Se face
transformarea de plan vertical pentru toate elementele geometrice rămase.In
sistemul de plane {[H], [V1 ]} planul [P] a devenit un plan de capăt, incât se
pot afla imediat dreptele de intersecţie cu plăcile: 12(12,1’2’) şi 13(13,1’3’),
între care se va măsura unghiul cerut.




GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ                                                         31
Capitolul 4 - Metode de transformare a proiecţiilor aplicate în rezolvarea
problemelor metrice şi de poziţie specifice desenului tehnic



                                  Fig. 4.4




                                  Fig. 4.5

       Se realizează apoi a doua transformare şi anume o rabatare pe [H], tot
in sistemul {[H],[V1]}, a planului de capăt.
Se obţin dreptele de intersecţie in rabatare 1020,1030 între care se poate
măsura unghiul α0 în mărime reală.




                                   Fig.4.6

      Obs. 1:

      Unghiul dintre două plane oarecare se poate determina şi cu ajutorul
problemei nr.2 ( prin metoda rabaterii ), ştiut fiind ca acest unghi are ca
supliment unghiul dintre normalele concurente N1 si N2 trasate dintr-un punct
oarecare A , exterior planelor , la cele doua plane P1 şi P2 (v. fig. 4.6).

      Obs. 2:


GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ                                                        32
Capitolul 4 - Metode de transformare a proiecţiilor aplicate în rezolvarea
problemelor metrice şi de poziţie specifice desenului tehnic
       Tot cu ajutorul problemei 2 se poate afla unghiul α dintre o dreaptă
oarecare D şi un plan oarecare P , unghi care este complementar cu unghiul
β dintre dreaptă şi normala la plan dusă printr-un punct oarecare al dreptei.
În figura 4.7 se poate remarca triunghiul dreptunghic NJI , care are unghiul
de 90o in J ; iar  +  = 90o .




                                    Fig.4.7

     5. Să se afle unghiul dintre plăcile (ABC) şi (BCDE) prin două rotaţii
succesive , fără axă de rotaţie.




                                   Fig. 4.8

         Rezolvare:

        Se reaminteşte că in situaţia aflării unghiului dintre două plane
verticale acest lucru se realizează cu uşurinţă. Unghiul respectiv este
unghiul format de urmele lor orizontale (de exemplu in fig. 4.8 b se
observă unghuil  dintre Ph şi Qh ).
        In cazul problemei de faţă, dreapta de intersecţie CB a celor două
plăci , fiind iniţial o dreaptă oarecare , trebuie să se transforme intr-o primă
GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ                                                        33
Capitolul 4 - Metode de transformare a proiecţiilor aplicate în rezolvarea
problemelor metrice şi de poziţie specifice desenului tehnic
etapă intr-o frontală, apoi in etapa a doua intr-o verticală, planele devenind in
final verticale (v. fig. 4.9.). Deci se va ajunge la cazul prezentat în figura 4.8
b în urma a două transformări succesive .
        In prima transformare se roteşte proiectia orizontala a celor doua plăci
pană cand proiecţia bc//OX, intreaga figură spaţială fiind supusă unei rotaţii
de nivel fără axă . BC s-a transformat din dreaptă oarecare intr-o frontală
         In transformarea a doua se roteşte proiecţia verticală a plăcilor
 a1’ , b1’, c1’, d1’, e1’ până când dreapta lor de intersecţie c1’, b1’ devine o
dreaptă verticală C2B2 cu proiecţia c2’, b2’ perpendiculară pe OX .
        În ultima poziţie a elementelor din figura 4.9 se poate măsura unghiul
 o ( dintre a2b2 şi c2e2 ) , unghi care este soluţia problemei .




                                     Fig. 4.9

       6. Să se reprezine pătratul ABCD cu latura l=40 în planul de capăt [P]
care realizează unghiul α[PH]= 45° cu planul [H], Px=( 70 ,0,0 ); A0(96, 12, 0),
D0(132, y=?, 0).

      Rezolvare:

       Se construieşte în rabatere, pe planul orizontal H , pătratul (A0B0C0D0)
cu ajutorul coordonatelor date ( depărtatrea punctului Do se alege arbitrar ),
apoi se ridică rabaterea şi se determină proiecţiile (abcd), (a’b’c’d’)(v. fig.
4.10). Operaţia inversă rabaterii se numeşte ridicare din rabatere .Se
observă că liniile de ordine pleacă din AoBoCoDo în sens ascendent – liniar
şi apoi circular , cu centrul de rotaţie în Px şi liniar spre dreapta . Se obţin mai
întâi proiecţiile a’b’c’d’ şi în final abcd . Pătratul ABCD , inclus în planul P are

GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ                                                            34
Capitolul 4 - Metode de transformare a proiecţiilor aplicate în rezolvarea
problemelor metrice şi de poziţie specifice desenului tehnic
proiecţia orizontală (abcd) un paralelogram iar proiecţia verticala (a’b’c’d’) o
dreaptă ce aparţine urmei Pv.

         7. Să se ridice din rabatere cercul , dat in poziţie rabătută pe planul
vertcal V, de rază R=25 şi centru Ω0 = (110, 0, 30) , în planul oarecare
vertical [P] dat prin coordonatele {Px=( 70,0,0);α[Pv]=30o}.




                                   Fig.410

      Rezolvare:

       Se construieşte cercul in rabatere pe planul [V] şi se trasează
diametrele opuse A0B0 si C0D0.
       Prin operaţia de ridicare din rabatere se aduc punctele A0B0C0D0 in
planul [P], rezultand proiecţia orizontala (abcd), o dreapta pe Ph şi (a’b’c’d’)

GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ                                                        35
Capitolul 4 - Metode de transformare a proiecţiilor aplicate în rezolvarea
problemelor metrice şi de poziţie specifice desenului tehnic
proiecţia verticală a cercului, o elipsă cu axa mare a’b’ ( o verticală ) şi axa
mica c’d’ , o dreaptă orizontală ( v. fig. 4.11) .
        Se reaminteşte construcţia elipsei prin „metoda cercurilor
concentrice” când se cunosc cele două axe (v. fig. 4.12).
       Axele AB( axa mică ) şi CD ( axa mare ) sunt perpendiculare şi se
intersectează in punctul O, centrul elipsei. Se trasează două cercuri
ajutatoare cu centrul în O şi de diametre egale cu AB si CD. Din O se
trasează, in primul cadran, raze în cele două cercuri după care se notează
punctele 1, 1*; 2, 2* , de intersecţie a razelor respectiv cu cercul mic şi cu
cercul mare .
       Din punctul 1 situat pe cercul mic se trasează o paralelă la axa mare,
apoi din 1*, de pe cercul mare, se trasează o paralelă la axa mică, cele două
paralele auxiliare se intersectează în punctul I care aparţine elipsei. Analog
se obţine II . Cu un florar se unesc punctele (A, I, II, D) ce formează un sfert
din conturul elipsei. Se repetă construcţia în celelalte cadrane prin simetrie.
       Cu cât se aleg mai multe puncte, construcţia va fi mai riguroasă.
       Metodele moderne de reprezentare cu ajutorul calculatorului simplifică
mult trasarea elipsei de axe date.




                                   Fig. 4.11




GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ                                                        36
Capitolul 4 - Metode de transformare a proiecţiilor aplicate în rezolvarea
problemelor metrice şi de poziţie specifice desenului tehnic




                                   Fig. 4.12
      8. Să se reprezinte , prin ridicare din rabatere , in planul [P] paralel cu
axa OX, cu următoarele coordonate {Py=(0,70,0), Pz=(0,0,45 )}, figura
geometrică oarecare mărginită de un arc de parabolă şi dată în rabatere
(A0B0C0...V0) pe planulvertical [V]. Se cunosc: A0(13, 0, 63); K0(63, 0, 63);
H0(56, 0, 105); V0(38, 0, 105) – vârful parabolei, L0V0 este mediatoarea
segmentului K0A0 = axa parabolei.




GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ                                                         37
Capitolul 4 - Metode de transformare a proiecţiilor aplicate în rezolvarea
problemelor metrice şi de poziţie specifice desenului tehnic




                                   Fig. 4.13

       Rezolvare (v. fig. 4.13):

       Se construieşte în rabatare figura geometrică indicată.
       Se reaminteşte construcţia arcului de parabolă când se dau V0 ,vârful
ei, axa parabolei V0L0 şi un punct curent A0.
       Se construieşte pe perpendiculara din A0 pe axa parabolei (V0L0).
A0L0=L0K0. Se imparte in acelaşi numar de părţi egale (şase in acest caz)
atât L0A0 cât şi V0L0.
       Se notează punctele de diviziune de pe axa cu 10,20,...60, de la V0 la L0
şi apoi I0,II0,...VI0 punctele de pe L0A0 în sensul de la L0 la A0. Prin punctele
de diviziune ale segmentului L0A0 se duc paralele la axă, iar prin K0 se duc
GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ                                                         38
Capitolul 4 - Metode de transformare a proiecţiilor aplicate în rezolvarea
problemelor metrice şi de poziţie specifice desenului tehnic
raze care, trecând prin fiecare diviziune marcată pe axa V0L0 , intersectează
paralele cu acelaşi număr de ordine, in punctele arcului de parabolă (A0, B0,
C0, D0, E0, G0, V0). Prin operaţia inversă rabaterii se aduc toate punctele ce
formează conturul geometric dat în rabatere , în planele principale de
proiecţie [W], [H], [V].

       9. Să se reprezinte în planul vertical [P]{Px=95, αv=30°} figura
geometrică (A0, B0, C0, D0, E0, 40, 30, 20, 10, A0) dată in rabatere pe planul
orizontal de proiecţie H, şiind că arcul A0E0 este un arc de hiperbolă iar C0B0
si C0D0 sunt asimptotele hiperbolei. Se dau : A0(67, 41, 0); B0(71, 35, 0);
C0(103, 54, 0); D0(35, 86, 0); D0E0┴C0D0; E0(32, YE, 0)).

       Rezolvare:

        Se construieşte figura geometrică rabătută pe planul orizontal H
anume A0B0C0D0 apoi arcul de hiperbolă A0, 10, 20, 30, 40, E0 in felul
următor :
        Se pleacă din A0 care este un punct al hiperbolei, se construieşte
secanta A0E0 care taie asimptotele în β0 si α0. Intr-o construcţie corectă
segmentul β0A0 trebuie să fie egal cu segmentul E0α 0. .
        Se reaminteşte construcţia hiperbolei când se cunosc asimptotele şi
un punct A0 de pe una dintre ramuri.
        Alte puncte cum ar fi 10, 20, 30, 40, 50 s-au determinat analog,
construind secante oarecare prin A0.
      Astfel, de exemplu secanta S4 ,care trece prin A0 , intersectează
asimptota C0B0 in L0 şi asimptota C0D0 in M0, se masoara A0L0 şi se
marchează punctul 4o astfel incat M040 = A0L0 ş.a.m.d.
      Cu un florar se trasează arcul A0, 10, 20, 30, 40, 50, E0.
      Apoi se ridică aceste puncte din rabatere şi se află proiectiile orizontală
şi verticală (v. fig.4. 14) .

      10. Să se reprezinte proiecţiile orizontală şi verticală ale cercului de
centru Ω(ω, ω’) şi rază R=25 situat in planul [P]{Px=(105,0,0), V(74, 0, 30);
Ω(45, 29, 30)}.

      Rezolvare:

        Această problemă este una de sinteză pentru rezolvare fiind necesare
cunoştinţe teoretice fundamentale şi riguros asimilate .
        In figura 4.15 s-a reprezentat planul [P] definit de punctele Px, V şi Ω
astfel : Px s-a unit cu v’ şi s-a trasat urma Pv ; apoi prin punctul Ω (ω, ω’)
s-a reprezentat frontala F ( f,f’) a planului P cu proiecţia f’ paralelă cu urma
Pv şi cu proiecţia f paralelă cu axa OX ; s-a determinat urma orizontală a
frontalei H ( h,h’ ) ; s-a trasat urma orizontală a planului Ph unind Px cu h .
        Se rabate planul oarecare P pe planul orizontal [H] , urma Ph fiind axă
de rabatere , cu ajutorul orizontalei G ( g,g’) a planului , care conţine punctul




GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ                                                         39
Capitolul 4 - Metode de transformare a proiecţiilor aplicate în rezolvarea
problemelor metrice şi de poziţie specifice desenului tehnic




                                  Fig. 4.14




GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ                                                        40
Capitolul 4 - Metode de transformare a proiecţiilor aplicate în rezolvarea
problemelor metrice şi de poziţie specifice desenului tehnic

Ω(ω, ω’) . Urmele planului rabătut sunt Pho = Ph şi Pvo obţinută prin unirea
punctului Px cu Vo. Punctul Vo a rezultat din intersecţia perpendicularei din v
pe axa de rabatere cu cercul de centru Px şi de rază egală cu segmentul
format de punctele Px şi v’.
       Se rabat cu planul P şi o serie de elemente cum ar fi :
       -        orizontala G din plan care în poziţia rabătută se notează cu
                Go şi care este paralelă cu Pho ;
       -        frontala F din plan care se notează cu Fo şi care este paralelă
                cu Pvo;
       -        linia de cea mai mare pantă faţă de [ H ] ,care se notează în
                rabatere cu LHo ;
       -        linia de cea mai mare pantă faţă de [ V ] , care se notează în
                rabatere cu Lvo .
       Centrul cercului în rabatere este Ωo ce aparţine orizontalei Go .Se
pune în evidenţă paralelismul dintre Go şi urma Pho , proprietate care se
păstrază în cazul acestei transformări .
       Se construieşte în rabatere cercul de rază dată şi cu centrul Ω0 aflat
anterior .
       Cercul se ridică din rabatere în planul P cu ajutorul punctelor de
intersecţie cu : orizontala Go ; cu frontala Fo , cu linia de cea mai mare
pantă faţă de [ H ] , LHo ; cu linia de cea mai mare pantă faţă de [ V ] , Lvo .
Se observă că aceste puncte sunt respectiv : ( ao, bo ); ( so,to ); (co,do) şi
( mo, no ) .
       Cercul ridicat din rabatere în planul P se proiectează diferit pe cele trei
plane de proiecţie şi anume sub formă de elipse .
       Pentru proiecţia orizontală se ştie ca axa mare a elipsei aparţine
proiecţiei orizontale g a orizontalei G din spaţiu , iar axa mica aparţine liniei
Lh trasată prin ;
       Pentru proiecţia verticală se ştie ca axa mare aparţine frontalei F, în
epură proiecţiei f’ ce trece prin ’ iar axa mică apartine liniei L[V]’ trasată tot
prin ’ .
       Punctele ao,bo,co,do,so,to,mo,no după ridicarea din rabatere devin în
planul orizontal H a,b,c,d,m,n,s,t ce definesc proiecţia orizontală a cercului
cu aspect de elipsă iar în planul vertical V a’,b’,c’,d’,m’,n’,s’,t’ ce definesc
proiecţia verticală a cercului tot cu aspect de elipsă .
       În rezolvarea problemei s-a mai utilizat proprietatea de afinitate a
dreptei aodoo cu dreapta ad pentru aflarea punctului d in funcţie de
do . Se mai precizează că  este identic cu o şi că aparţine urmei Ph .




GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ                                                           41
Capitolul 4 - Metode de transformare a proiecţiilor aplicate în rezolvarea
problemelor metrice şi de poziţie specifice desenului tehnic




GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ                                                        42
Capitolul 4 - Metode de transformare a proiecţiilor aplicate în rezolvarea
problemelor metrice şi de poziţie specifice desenului tehnic
                                   Fig.4.15




GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ                                                        43
Capitolul 5 – Corpuri geometrice – problematică de reprezentare




Capitolul 5 – Corpuri geometrice – problematică de
reprezentare


5.1. Reprezentarea poliedrelor
5.1.1 Aplicaţii rezolvate:

        1. Să se reprezinte cubul (hexaedrul) ABCDA1B1C1D1 cu baza ABCD
inclusă în [H] , intr-un cerc de rază R dată şi centrul Ω dat. Printr-o rotaţie de
front fara axă, să se mute baza ABCD intr-un plan de capăt [P] dat şi să se
reprezinte cubul în noua stare şi apoi în reprezentare desfasurată (v. fig. 5.1)




                                    Fig. 5.1


       Rezolvare:

      Etapele de rezolvare care conduc la obţinerea reprezentării din figura
5.1 sunt :
      -Se reprezintă cercul se raza R ăi centrul Ω(ω, ω’);


GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ                                                          42
Capitolul 5 – Corpuri geometrice – problematică de reprezentare

       -Se determină proiecţia orizontală a cubului (a, b, c, d, a1, b1, c1, d1) cu
       vărfurile a,c,a1,c1 dispuse pe diagonala pătratului care este paralelă cu
       axa OX ;
       -Se află grafic dimensiunea „l” a muchiei prin măsurarea unei laturi ( în
       figură s-a cotat latura ad ) şi apoi se construieşte proiecţia verticală
       a’, b’, c’, d’, a1’, b1’, c1’, d1’ . Se observă că în proiecţie verticală
       inălţimea cubului , care s-a cotat , este egală cu l ;
       -Se realizează rotaţia frontală indicată, care modifică numai ca
amplasare proiecţia verticală a cubului ( noua poziţie a proiecţiei verticale
este      a2’a12’c12’c2’      cu      muchiile    a2’a12’;b2’b12’;c2’c12’;d2’d12’
perpendiculare pe urma verticală a planului Pv ) ;
       -Apoi se reprezintă proiecţia orizontală a stării 2 trasându-se liniile de
ordine corespunzătoare şi luând în considerare regulile de vizibilitate;
       -În final se desfăşoară în totalitate cubul cu cele şase feţe pătrate
egale adiacente . Vârfurile pe desfăşurată se notează cu
AoBoCoDoA1oB1oC1oD1o – v.figura 5.1- .

       2. Să se reprezinte tetraedul SABC ce are latura „lt” egală cu latura
triunghiului echilateral înscris în cercul de rază R şi centrul Ω(ω, ω’), în
poziţia din starea 1, deci cu baza ABC situată în planul de front [F], apoi în
starea 2, în acest caz baza ABC, trebuie inclusă în planul vertical [Q] . Să se
efectueze desfăşurata totala a tetraedului (v. fig. 5.2).




                                    Fig. 5.2.

       Rezolvare:

      Etapele de rezolvare sunt date mai jos :

GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ                                                           43
Capitolul 5 – Corpuri geometrice – problematică de reprezentare

        -Se construieşte cercul cu centrul în ω şi rază R situat în planul de
front [F] // [V] , cu urma orizontală Fh paralelă cu axa OX ;
        -Se află mărimea „lt” a muchiei tetraedului; se reprezinta tetraedul în
starea 1, înălţimea h rezultă prin rabaterea triunghiului dreptunghic SΩC pe
planul [V] . Se observă triunghiul rabătut SoCo’, trasat cu linie punct
groasă din care se poate măsura h , înălţimea corpului geometric ;
        -Se reprezintă tetraedrul in starea 2, obţinută printr-o rotaţie de nivel
fără axă. Această rotaţie implică modificarea locului de reprezentare a
proiecţiei orizontale – abcs - in poziţia - a2b2c2s2 - corespunzătoare
includerii tetraedrului în planul vertical [ Q ] . Proiecţia verticală a2’b2’c2’s2’
rezultă prin intersectarea liniilor de ordine corespunzătoare ;
        -Se reprezintă desfăşurata totală a tetraedului AoSoBoSoCoSoAo cu
cele 4 feţe triunghiuri echilaterale dispuse în stea sau în evantai (cu feţele
laterale adiacente) ca în figura 5.2 .

       3. Să se reprezinte octaedrul regulat ABCDEF dacă se cunoaşte
muchia „l0”, varful A şi direcţia diagonalei AC . Să se efectueze desfăşurata
totală (v. fig. 5.3) .




                                     Fig. 5.3

       Rezolvare:

       Se observă diagonalele AC, DB si EF care sunt egale şi
perpendiculare.
       Pătratele ABCD, DEBF, AECF sunt situate in cele trei plane de
simetrie ale octoedrului.



GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ                                                           44
Capitolul 5 – Corpuri geometrice – problematică de reprezentare

       În epură se reprezintă punctul A, se trasează direcţia diagonalei AC
considerăndu-se unghiul  (format cu axa OX ) cunoscut ; se determină
abcdef ( aproiecţia orizontală ) şi apoi a’b’c’d’e’f’ (e’f’ = ac).
       Cele opt feţe triunghiuri echilaterale se reprezintă pe desfăşurată ca în
figura 5.3 de mai sus.

      4. Să se reprezinte dodecaedrul cu latura l5 cunoscută şi apoi să se
desfăsoare în stea suprafaţa totală (v. figura 5.4).

      Rezolvare:

       Dodecaedrul are 12 feţe pentagoane regulate , egale şi 20 varfuri.
Toate muchiile sunt egale cu latura unui pentagon regulat L5 .
       Construcţia pentagonului regulat este prezentată in figura 5.4, în cele
două cazuri :
       1. Când se cunoaşte latura l5 şi
       2. Când se cunoaşte raza R a cercului circumscris pentagonului.
        În planul [H] cele două baze pentagonale ( superioară şi inferioară ) se
proiectează în interiorul aceluiaşi cerc de centru O, rotite între ele cu un
unghi de 36°. Pentagonul bazei superioare este vizibil,iar cel inferior - cel din
planul [H] - invizibil. Cu 1,2,3,4,5 s-au notat varfurile bazei inferioare şi cu
16,17,18,19,20 cele ale bazei superioare. Conturul aparent al proiecţiei
orizontale se obţine astfel: se prelungeşte latura 54 iar din varful 20 se
coboară o perpendiculară pe aceasta care se va intersecta cu axa verticală a
proiecţiei în vârful 14. Cu raza egală cu distanţa 014 se trasează cercul
ajutător, pe care se marchează vârfurile 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 ale
decagonului, prelungind razele cercului mic, raze trasate prin vârfurile 1...5 si
16...20.
       Pentru reprezentarea proiecţiei verticale se consideră cotele R şi l10;
baza superioară situându-se la cota R + l10 + R faţă de planul bazei
inferioare, unde R = 1212z , R1 = 1111z şi R1= R+l10. Se duc liniile de ordine
corespunzatoare şi se trasează muchiile respectând vizibilitatea.
       Modul de desfăşurare se realizează în formă de stea , cu laturi
adiacente dar şi libere , v. figura 5.4 sus .

         5. Să se reprezinte icosaedrul în dublă proiecţie ortogonală şi apoi să
se reprezinte desfăşurata suprafeţei totale , dacă se cunoaşte latura sa
li = l5 ( latura unui pentagon înscris într-un cerc de rază R ) .

      Rezolvare:

         Icosaedrul este poliedrul regulat care are 20 de feţe triunghiuri
echilaterale, (v. fig. 5.5). Latura triunghiului este latura icosaedrului notată cu
li=l5 (latura unui pentagon).
         Se mai precizează că este un poliedru alcătuit din două piramide
pentagonale SABCDE şi TFGHIJ , legate prin 10 feţe triunghiulare egale .
Feţele laterale ale celor două piramide sunt deasemenea triunghiuri
echilaterale egale .
         În proiecţie orizontală se înscriu în cercul de rază R două pentagoane
decalate cu unghiul α=36°, notate cu abcde , fghij . Vârfurile abcdefghij sunt
de fapt vârfurile unui decaedru regulat ( poligon cu zece laturi egale ) cu
latura notată cu l10 .

GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ                                                           45
Capitolul 5 – Corpuri geometrice – problematică de reprezentare

        În continuare se trasează muchiile respectând vizibilitatea astfel :
– abcdea ( muchii vizibile), se reprezintă cu linie continuă groasă ; fghijf
( muchii invizibile ) , se reprezintă cu linie întreruptă ; coturul aparent vizibil
( agbhcidjefa ) .
        Pentru proiecţia verticală se determină inălţimea celor două piramide,
şi anume SS0 = l10, prin metoda rabaterii, apoi distanţa R =bb0 dintre bazele
piramidelor, tot prin rabatere. Se observă că muchia BH este o dreaptă de
profil care se poate rabate fie în dreapta sau fie în stănga proiecţiei bh
obţinându-se triunghiul dreptunghic bhbo . Înălţimea bbo este distanţa R mai
sus menţionată .
        Înălţimea piramidelor se determină prin rabaterea muchiei de profil AS,
distanţa sSo este chiar înălţimea căutată care la rândul ei este egală cu
latura L10 a decagonului regulat .
        Vizibilitatea se stabileşte astfel :
        - conturul aparent s’b’h’t’j’e’s’ vizibil se desenează cu linie continuă
groasă ; muchiile s’d’, s’c’, e’d’, d’c’, c’b’, d’j’, d’i’,i’c’,c’h’,t’i’, j’i’,i’h’ sunt vizibile
se reprezintă cu linie continuă groasă iar celelalte cu linie întreruptă fiind
invizibile
        Pe desfăşurată feţele triunghiulare se dispun adicent ca in figura 5.5.




                                            Fig. 5.4
GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ                                                                          46
Capitolul 5 – Corpuri geometrice – problematică de reprezentare




                                    Fig. 5.5

5.2. Reprezentarea cilindrului şi conului.

5.2.1 Aplicaţii rezolvate:

      1. Să se reprezinte conul circular drept şi cilindrul circular drept care
au bazele inferioare confundate, incluse în planul [P] dat - plan paralel cu
axa OX- , situate în părţi opuse faţă de plan şi cu aceeaşi înălţime h dată .
Se cunosc : centrul comun al cercurilor de bază Ω (ω1, ω’1, ω1’’) şi raza R a
acestora.

      Rezolvare:

      Cercul de bază ( comun celor două corpuri geometrice ) are centrul
Ω (ω1, ω1’, ω1’’) în planul [P] , elemente care s-au reprezentat în figura 5.6.
       Diametrul cercului de bază se proiectează în adevarată mărime pe [W]
şi este egal cu d’’c’’. Se alege S’’ pe perpendiculara trasată din ω1’’, la
distanţa h. Triunghiul s’’c’’d’’ reprezintă conturul aparent al conului pe planul
[W].
      Cilindrul circular drept are conturul aparent pe planul lateral un
dreptunghi , anume (c’’, c1’’, d1’’, d’’, c’’).
      Cercul de bază se deformează în proiecţie pe planele [H] si [V] luând
aspectul unor elipse. Contururile acestor elipse s-au trasat după metode
prezentate anterior ştiind că :
    - în proiecţie orizontală axa mare este segmentul ab iar axa mică tot în

GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ                                                         47
Capitolul 5 – Corpuri geometrice – problematică de reprezentare

    această proiecţie este cd ;
    - în proiecţie verticală axa mare este segmentul a’b’ iar axa mică tot în
         această proiecţie este c’d’ .
       Vizibilitatea pe [H] pentru cilindru este următoarea : baza superioară cu
centrul ω2 este vizibilă, conturul aparent al cilindrului este vizibil, arcul adb
invizibil. Pentru con generatoarele se şi sf sunt vizibile , arcul bazei aecfb tot
vizibil iar adb invizibil .
         Analog se stabileşte vizibilitatea pe planul vertical de proiecţie [V].




                                    Fig. 5.6

       2. Să se reprezinte un trunchi de con circular oblic cu bazele paralele
cu planul orizontal [H] de înălţime h dată,. Se mai cunosc centrul cercului
bazei inferioare Ω1(ω1, ω11) , raza acestuia R , vârful conului S ( s,s’) .

      Rezolvare:

      În figura 5.7 se reprezintă cercul bazei inferioare de centru Ω1(ω1, ω1’)
şi de rază R , deasemenea vârful S(s, s’) al conului. Se construieşte
proiecţia verticală S’a’b’ şi se limitează la înaltimea „h” reprezentarea
trunchiului de con. Se află astfel „r” raza bazei superioare care este egală

GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ                                                          48
Capitolul 5 – Corpuri geometrice – problematică de reprezentare

cu ω2’ a1’ = ω2’b1’. Se finalizează proiecţia orizontală - din s se duc tangentele
sc, sd, sc1, sd1, la cercurile de bază se pun astfel în evidenţă generatoarele
de contur aparent . Vizibilitatea epurei în planul orizontal este următoarea :
        -Conturul aparent vizibil;
        -Baza superioară , cu centrul în  2 vizibilă ;
        -Arcul bazei inferioare de la d spre c , în sens invers trigonometric ,
invizibil .




                                    Fig. 5.7




GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ                                                          49
Capitolul 5 – Corpuri geometrice – problematică de reprezentare

5.3 Reprezentarea sferei

5.3.1 Aplicaţii rezolvate :


       1. Să se reprezinte sfera de centru Ω dat şi rază R dată în dublă
proiecţie ortogonală , apoi să se afle proiecţiile verticale ale punctului M de
pe suprafaţa sferei cunoscând proiecţia orizontală m şi proiecţiile orizontale
ale punctului N ,situat pe sferă, cunoscând proiecţia verticală n’ .

      Rezolvare:

        În figura 5.8 s-a reprezentat sfera de rază R şi centru Ω (ω,ω’) dat.
        Conturul aparent al sferei pe planul orizontal este un cerc de rază R
care se numeşte cerc ecuator .
        Conturul aparent al sferei pe planul vertical este un cerc de rază R
care se numeşte cerc meridian .
        Se presupune cunoscută proiecţia orizontală - m- a punctului M.
        Pentru a se afla proiecţia verticală a punctului M trebuie să se
secţioneze sfera cu planul de front [F] care conţine punctul M. Astfel prin
proiecţia m s-a trasat urma orizontală Fh a planului .
        În urma secţionării sferei cu planul F se obţine cercul de raza R1.
        Pe planul [V] cercul de raza R1 se reprezintă cu linie întreruptă fiind
invizibil.
        Se ridică linia de ordine din m , observandu-se că există două puncte
M1 şi M2 , pe cercul de raza R1 , care au proiecţiile verticale m1’ respectiv m2’
şi care se proiectează pe [H] în acelaşi loc m = m1 = m2.
        Pentru a determina proiecţia orizontală a punctului N , cunoscând
proiecţia verticală n’, se intersectează sfera cu un plan de nivel [ N ] de urmă
verticală Nv ce conţine n’ . Se obţine un cerc de secţiune de raza R2 care se
proiectează în mărime reală pe planul [H].
        Se trasează linia de ordine din n’ constatându-se că există două
puncte N1 si N2 pe cercul paralel găsit, cu proiecţiile orizontale n1, n2 şi care
au proiecţiile n1’ şi n2’ confundate în n’ dat iniţial.
        Se subliniază o concluzie ce trebuie reţinută anume că : orice
secţiune a unei sfere cu un plan oarecare este un cerc .

       2. Să se reprezinte proiecţiile sferei de centru Ω(ω, ω’) şi rază R dată
în urma secţionării ei simultane cu următoarele plane : [F] de front şi [N] de
nivel. Se dau Ω(34, 33, 31), raza R = 30, planul [N] cu Z(N V)=16 şi planul [F]
cu Y(Fh)= 44.

      Rezolvare:

        Planele [F] şi [N] sunt perpendiculare între ele şi secţionează simultan
sfera rezultând cercuri de raze diferite, secante după coarda AB (ab, a’b’,
a’’b’’) . AB are poziţie particulară de dreaptă fronto-orizontală (v. fig. 5.9)
care este perpendiculară pe planul lateral .
         Sfera cuprinsă între aceste plane de secţiune se îndepărtează
imaginar.



GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ                                                         50
Capitolul 5 – Corpuri geometrice – problematică de reprezentare

       Urma laterală FW a planului de front se intersecteaza cu NW , urma
laterală a planului de nivel , în punctul a’’ ≡ b’’ care reprezintă proiecţia
laterală a fronto –orizontalei .
       Vizibilitatea pe planul orizontal a porţiunii de sferă rămasă , după
secţionare , este pusă in evidenţă cu linie continuă groasă iar zona de
secţiune vizibilă cu linii de haşurare .
       Analog pe planul vertical , s-a haşurat secţiunea cu planul de front iar
porţiunea rămasă şi vizibilă s-a reprezentat cu linie continuă groasă.
       Pe planul lateral , proiecţia corpului geometric rezultat după secţiune
s-a reprezentat deasemenea cu linie continuă groasă , cercurile de secţiune
, în acest caz ,se proiectează deformat , având aspect de drepte . Această
proiecţie conţine aspectul în vedere al sferei rămase .




                                   Fig. 5.8
GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ                                                       51
Capitolul 5 – Corpuri geometrice – problematică de reprezentare




                                    Fig.5.9

       3. Se dă o sferă de centru Ω1(ω1, ω1’) şi rază R1 tangentă la planul
vertical [Q][Qh;Qv]. Să se reprezinte o altă sferă de rază R2 tangentă atât la
sfera de centru Ω1 cât şi la planul [Q], în două poziţii : (v. fig. 5.10)
       a) Când centrul Ω2 este în acelasi plan de nivel cu al centrului Ω1 ;
       b) Când se dă t2i , punctul de tangenţă, în proiecţie orizontală dintre
sfera de raza R2 şi planul [Q].

       Rezolvare:

        Se reprezintă sfera de centru Ω1 si raza R1 şi se marchează punctul
de tangenţă (t11, t11) cu planul [Q] dat.
        Planul Q s-a pus în evidenţă prin cele două urme ( urma orizontală Qh
şi urma verticală Qv – perpendiculară pe axa OX in punctul Qx -.
        Centrele sferelor de rază R2, tangente atat la [Q] căt şi la sfera de
centru Ω1 se află in planul vertical Q2 [Qh2;Qv2] , plan situat la distanţa R2
faţă de planul iniţial Q, mai precis pe cercul de intersecţie dintre planul [Q2 ]
şi sfera de rază ( R1 + R2 ) cu centrul in Ω1.
        Pentru cazul a) centrul ω2 in proiectie orizontală se află la intersecţia
cercului de raza (R1 + R2), cu centrul in ω1 ,cu urma Qh2; proiecţia ω12 este in
planul vertical pe urma planului de nivel care trece prin Ω1 [NvΩ1]; punctul de
tangenţă dintre cele doua sfere este (t, t1).

GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ                                                         52
Capitolul 5 – Corpuri geometrice – problematică de reprezentare

        Observaţie : problema admite două soluţii : sfera de rază R2 se poate
afla în partea dreaptă sau în partea stângă faţă de centrul Ω1.
       Pentru cazul b) din punctul t2i (dat) se coboară o perpendiculară care
intersectează urma Qh2 în ω2i ( proiecţia orizontală a centrului sferei ) .
       Pentru a afla ω2i’ este nevoie de mărimea cotei acestui punct .
În acest sens se rabate linia centrelor celor doua sfere, Ω1 Ω 2i pe planul de
nivel [NvΩ1]. Deci în epură din ω2i se trasează o perpendiculară pe ω2iω1,
apoi se află ωo2i ( centrul sferei căutate în rabatere ) , intersectând
perpendiculara cu arcul de rază (R1+R2) şi centrul ω1. Segmentul ωo2iω2i
este cota ZΩ2i a centrului sferei de centru Ω2i faţă de planul de nivel ce
conţine centrul Ω1 [NΩ1] .




                                  Fig 5.10

       La intersecţia dintre linia de ordine trasată din ω2i şi paralela ,la
distanţa egală cu segmentul ZΩ2i , faţă de planul de nivel Nv Ω1 se afla ω2’.
       Există doua soluţii :
    - cu sfera Ω2i tangentă la calota superioară a sferei Ω1 ;
GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ                                                      53
Capitolul 5 – Corpuri geometrice – problematică de reprezentare

   -   cu sfera Ω2i tangentă la calota inferioară a sferei Ω1.
       Se rezolvă şi vizibilitatea sferelor pe ambele proiecţii; zonele invizibile
s-au reprezentat cu linie întreruptă .
       Se marchează punctul de tangenţă dintre sferele de centre Ω1 şi Ω2i
intersectând segmentul format de punctele ω1 ω2i cu paralela trasată la urma
Qh2 , din punctul anterior aflat t .

5.4. Reprezentarea torului
5.4.1. Aplicaţii rezolvate

        1. Să se reprezinte torul cu centrul în punctul Ω (32, 32, 40), generat
de cercul generator de rază r = 20 mm, cu centrul în c (52, yc, zc), care se
roteşte în jurul unei axe de capăt  (, ’) , arbitrar considerată .

       Rezolvare:

        În această aplicaţie se cere reprezentarea unui tor într-un caz
particular.
        Se reprezintă axa de capăt  (, ’) prin punctul Ω ( ω, ω’ ),
(v.fig.5.11);
        Se trasează cercul generator cu centrul în punctul c(c, c’) – yc se
alege arbitrar ; zc se consideră egal cu zΩ - şi raza r =10 mm, care se
observă că este tangentă la axă .
        Pe planul vertical, cercul colier nu se reprezintă având în acest caz
particular raza nulă.
        Se reprezintă doar cercul ecuator cu raza R=2·r care se proiectează în
mărime reală pe planul vertical V.
        Pe planul orizontal se reprezintă conturul aparent vizibil al suprafetei
(pănzei) exterioare şi cu linie intreruptă conturul (pănzei) suprafeţei
interioare.

      2. Să se reprezinte torul cu centrul în Ω(45, 30, 17) ştiind că cercul
generator are raza r=15 şi axa torului este verticală iar diametrul cercului
ecuator este de 54 mm.

       Rezolvare:

         În această aplicaţie se cere reprezentarea unui tor în situaţia
particulară când cercul generator ocupă o infinitate de poziţii secante .
         Se reprezintă axa torului – o dreaptă verticală - ce trece prin centrul c
Ω(ω, ω’) şi apoi cu centrul în ω cercul ecuator cu diametrul de 45 mm.
         Se reprezintă centrul cercului generator C(c, c’) care este tangent la
ecuator.
         Se observă in proiecţia verticală că axa torului este secantă faţă de
cercul generator (v. fig. 5.12 ). Referitor la vizibilitate , conturul aparent este
vizibil iar pânza interioară invizibilă .
         În proiecţia orizontală s-a reprezentat conturul aparent , dat de cercul
ecuator vizibil şi cercul director , pe care se deplasează centrul cercului
generator în timpul rotaţiei cu 360o în jurul axei .



GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ                                                           54
Capitolul 5 – Corpuri geometrice – problematică de reprezentare




                               Fig. 5.11




                               Fig. 5.12

GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ                                             55
Capitolul 5 – Corpuri geometrice – problematică de reprezentare

5.5 Reprezentarea cuadricelor de rotaţie

5.5.1 Aplicaţii rezolvate

       1. Să se reprezinte hiperboloidul cu o singură pânză (v.fig. 5.13) fiind
date axa verticală I(i, i’) şi dreapta D necoplanară cu axa I care se roteşte în
jurul acesteia şi care conţine punctele A şi B. Se dau: axa I(xi=40, yi=30) şi
dreapta D {A(50, 36, 12); B(30, 44, 44)} .

       Rezolvare:

        Hiperboloidul cu o singură pânză are o larga utilizare în tehnică,
arhitectură, construcţii şi se obţine fie prin rotirea unei drepte în jurul unei axe
necoplanare cu aceasta , fie prin rotaţia unei hiperbole în jurul unei axe
conjugate (v. fig. 5.13 a, respectiv 5.13 b).
         Suprafaţa dublu riglată din figura a) este aceeaşi cu suprafaţa de
rotaţie din figura 5.13 b).
         Se numeşte suprafaţă dublu riglată deoarece poate fi generată şi de
dreapta D*(d*, d*’), simetrica dreptei D in raport cu un plan ce conţine axa I şi
punctul P(p, p’) ce aparţine dreptei D.
        Se reprezintă axa verticală I(i, i’) şi dreapta D(d, d’) cu ajutorul
punctelor A(a, a’) şi B(b, b’) date. Din proiecţia orizontală i a axei se
construieşte perpendiculara pe d, iar cu raza ip se descrie cercul colier. Din p
se trasează o linie de ordine care intersectează pe d’ în p’. Prin p’ trece urma
Nv a planului orizontal ce conţine colierul de centru C(c, c’). În timpul
rotaţiei urma orizontală H(h, h’) a dreptei D descrie un cerc în planul [H], ce
reprezintă urma orizontală a hiperboloidului şi care are raza ih.
        Pentru a limita suprafaţa hiperboloidului, se ia pe dreapta D punctul
S(s, s’) , de intersecţie cu planul orizontal [N1] , situat la distanta h/2 faţă de
planul [N]. Se observă ca între [H] şi [N] există aceeaşi distanţă h/2 .
        În continuare se reprezintă suprafaţa generată de segmentul HS.
Punctul S va descrie un cerc egal cu cercul descris de H, dar în planul de
nivel [N1].
         Conturul aparent în proiecţie verticală se poate obţine cu ajutorul
poziţiilor rotite ale dreptei D anume D1, D2...D4 şi aflând punctele lor de
intersecţie cu planul de front [F].
         În figura 5.13 a) se observă punctele M2(m2,m2’), M3(m3,m3’), M4(m4,
m4’), M(m, m’) care cu siguranţă aparţin unei hiperbole cu centrul în c’ şi cu
axele (c’y’’) şi (c’y’’) Є [F]. Prin construcţii simetrice faţă de axe se obţin
ambele ramuri ale hiperbolei iar cu ajutorul celor două cercuri orizontale
limită se finalizează trasarea conturului aparent vertical.
       În figura 5.13 b) s-a reprezentat hiperboloidul ca o suprafaţă de rotaţie
având conturul aparent , în proiecţie verticală , două ramuri de hiperbolă
simetrice faţă de axele conjugate ale hiperbolei O11y11 , O11x11 .
         În proiecţie orizontală s-a reprezentat cercul colier care are diametrul
egal cu distanţa dintre vârfurile v1 şi v2 ale ramurilor şi conturul aparent –
cercul limită – sau urma orizontală a hiperboloidului .




GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ                                                            56
Capitolul 5 – Corpuri geometrice – problematică de reprezentare




                                    Fig.5.13 a


       Punctele M1(m1,m1’) şi M2(m2,m2’) aparţin suprafeţel hiperboloidului,
fiind situate pe un cerc paralel obţinut din intersecţia hiperboloidului cu planul
de nivel [N]. Proiecţiile orizontale sunt diferite m1 , m2 iar proiecţiile verticale
coincid m1’ = m2’ .

GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ                                                            57
Capitolul 5 – Corpuri geometrice – problematică de reprezentare




                                  Fig. 5.13 b



2. Să se reprezinte hiperboloidul de rotaţie cu două pânze, generat prin
rotirea hiperbolei date, în tabelul 5.1, în jurul axei ei transversale O1X1 şi să
se marcheze pe suprafaţă punctul A (a, a’, a’’) în triplă proiecţie ortogonală.




GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ                                                         58
Capitolul 5 – Corpuri geometrice – problematică de reprezentare

      Se cunosc vârfurile hiperbolei V1 şi V2, focarele F1 si F2, axa O1X1 şi
pentru punctul A se pot da : (X A şi ZA) , ( X A şi YA ) sau ( YA şi ZA) . Se dau
coordonatele în tabelul de mai jos notat cu 5.1 :

                                                        Tabelul 5.1




      Definiţie hiperbolă : hiperbola este locul geometric al punctelor dintr-un
plan pentru care diferenţa distanţelor la două puncte , numite focare , este
constantă şi egală geometric cu distanţa dintre cele două varfuri .


      Rezolvare:

       Se reprezintă în trei proiecţii suprafaţa hiperboloidului de rotaţie cu
două pânze limitate de către planele de profil P1 si P2, alese în acest caz
arbitrar şi simetrice faţă de punctul O1.
       Din intersectarea celor două pânze cu planele de profil rezultă cercuri
care se proiectează pe planul lateral în mărime reală, astfel proiecţiile
punctelor A (a, a’, a’’) şi A1 (a1, a1’, a1’’) se găsesc pe cercul de secţiune cu
planul P , cerc de raza „r” (v. fig. 5.14.).
       Este suficient să se conoască numai două dintre coordonatele
punctului pentru a se afla cele trei proiecţii .
      Construcţia ramurilor de hiperbolă se realizează conform regulilor
teoretice uzuale .




GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ                                                         59
Capitolul 5 – Corpuri geometrice – problematică de reprezentare




                                  Fig. 5.14

       3. Să se reprezinte elipsoidul alungit , generat de elipsa cu axa mare
segmentul AB, prin rotaţia în jurul acestei axe; apoi să se reprezinte
porţiunea de elipsoid rămasă în urma secţionării cu un plan de nivel [N] şi cu
un plan de profil [P] şi în urma îndepărtării calotelor mici. Se dau coordonate
în tabelul notat cu 5.2:


                                                     Tabelul 5.2




       Rezolvare:


GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ                                                       60
Capitolul 5 – Corpuri geometrice – problematică de reprezentare

        Se reprezintă în trei proiecţii elipsoidul, apoi se reprezintă ovalul de
secţiune cu planul de nivel N şi cercul de secţiune cu planul de profil P iar în
final se reprezintă cu linie groasă proiectiile vizibile rămase.
        Se observă următoarele : conturul aparent al elipsoidului pe planul [H]
care este elipsa ecuator şi conturul aparent al elipsoidului pe planul V care
este elipsa meridian, iar pe planul lateral cercul mare, (v. fig. 5.15 b). În figura
5.15 a) se sugerează generarea în spaţiu a elipsoidului alungit iar în figura
5.15 c) se arată modul de trasare a elipsei când se dau axele.




                                  Fig.5.15 a ,b




                                    Fig.5.15 c


GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ                                                            61
Capitolul 5 – Corpuri geometrice – problematică de reprezentare

      4. Să se construiască planul tangent [T] în punctul M, situat la cota
ZM dată , pe suprafaţa elipsoidului de rotaţie turtit, de axe AB şi CD
cunoscute . Se dau coordonatele în mod tabelar ( v. tabelul 5.3 ) .


                                                          Tabelul 5.3




      Rezolvare:

       Elipsoidul este corpul geometric generat prin rotirea elipsei meridian în
jurul axei mici CD.
        În figura 5.16 b s-a arătat , într-o imagine spaţială , modul de generare
a suprafeţei elipsoidului de rotaţie turtit , prin rotirea cu 360o a elipsei
generatoare în jurul axei mici .
        Punctul M se situează pe cercul paralel de cotă dată. Există în
realitate două puncte M şi M1, care au proiecţiile m’≡m1’ pentru care se vor
construi planele tangente.
        Astfel, pentru punctul M(m, m’) planul tangent [T] este determinat de
orizontala G(g, g’) , tangentă în M la cercul paralel corespunzator şi de
tangenta la meridianul punctului M. În epură, prin m se construieşte
orizontala g tangentă la cercul paralel corespunzător punctului M şi prin m’ se
trasează g’ paralelă cu axa OX ; orizontala G (g,g’) ce are urma V(v, v1) .
Tangenta la meridianul punctului M se trasează mai întâi în poziţia rotită ,
corespunzătoare punctului MR(mr, mr’) , ce aparţine meridianului de contur
aparent pe [V] , după metoda următoare :
        Se consideră punctul L care rezultă din intersecţia dreptelor mr’ d’ cu
a’c’, apoi se uneşte L cu E , vârful dreptunghiului circumscris elipsei
meridian, obţinându-se punctul G pe dreapta FC’. Se trasează apoi dreapta
Gmr’ care se intersectează cu axa OX în h’ ; se observă că Gmr’ reprezintă
proiecţia tangentei pe planul [V], notată (tgr’) iar mrh care este paralelă cu
axa OX , reprezintă proiecţia orizontala a tangentei.
        Se roteşte tangenta până când aceasta va trece prin M(m, m’). În
epură se roteşte h până intersectează direcţia dreptei om ; se construieşte
planul [T] ce are urma Th - paralelă cu g sau perpendiculară pe raza o1m -
după care se obţine Tx pe axa OX şi urma verticală Tv .
        Analog se construieşte planul [T1] de urme (Th1, Tv1) ce trece prin
M1(m1,m1’), (v. fig. 5.16 b). Se trasează g1 perpendiculară pe raza o1m1
rezultând V1 la intersecţia cu Ox . Din punctul v1 se ridică linie de ordine
rezultând urma verticală v1’ proiectată pe planul V . După aflarea urmei
verticale a orizontalei G1 se trasează urmele Th1 , perpendicalară pe o1m1 în

GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ                                                         62
Capitolul 5 – Corpuri geometrice – problematică de reprezentare

proiecţia h , după care se obţine Tx . Apoi se uneşte Tx cu v1’ pentru aflarea
urmei Tv1 .




                                   Fig 5.16 a,b


      5. Să se reprezinte un paraboloid de rotaţie în cele trei proiecţii, ştiind
că axa de rotaţie este o fronto-orizontală Δ (δ, δ’, δ’’) şi să se marcheze
puncte pe suprafaţa lui. Se dau: directoarea D (d, d’, d’’) , vârful V(v, v’, v’’) şi
F focarul parabolei, înaltimea „h” a paraboloidului.

        Rezolvare:

       Paraboloidul de rotaţie este corpul geometric obţinut prin rotaţia cu
    o
360 a unei parabole în jurul axei ei de simetrie .
       Se reprezintă paraboloidul de rotaţie în figura 5.17 astfel:
       În proiecţie orizontală, conturul aparent este porţiunea de parabolă
(avb) şi dreapta ab ( care reprezintă proiecţia cercului de profil de diametru
AB). Axa de simetrie este dreapta de capăt  ( , ’,’’) .

GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ                                                             63
Capitolul 5 – Corpuri geometrice – problematică de reprezentare

       Analog în proiecţie verticală conturul aparent este dreapta c’e’ şi
ramura de parabolă (e’v’c’), cu axa de simetrie ’.
        Proiecţia laterală a paraboloidului este cercul de diametre a’’b’’ şi c’’e’’
care se intersectează în proiecţia laterală a axei de simetrie δ’’.
       Pe suprafaţa laterală s-au marcat punctele M1 = M2 cu proiecţiile
orizontale confundate m1 = m2 . Pentru a se afla celelalte proiecţii se
intersectează paraboloidul cu un plan de profil [ P ] ce trece prin punctul M .
       Din această intersecţie rezultă un cerc care se proiectează în mărime
reală pe planul lateral de proiecţie . Proiecţiile m1’’ şi m2’’ sunt situate pe
acesta , proiecţii care au rezultat la intersecţia cu liniile de ordine trasate din
m1=m2 .
       Proiecţiile verticale m1’ şi m2’ sunt pe aceeaşi linie de ordine cu cele
anterior determinate .




                                     Fig.5.17


GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ                                                            64
Capitolul 6 – Corpuri geometrice – problematică diversă




Capitolul 6 – Corpuri geometrice – problematică diversă

6.1. Secţiuni plane
6.1.1 Aplicaţii rezolvate

        1. Să se afle iî adevarată mărime secţiunea realizată de planul vertical
[R] în piramida SABCD şi apoi să se reprezinte trunchiul de piramidă rămas ştiind
că (yA = yB = yC = yD = 0; zA = zC = zS ; xB = xD = xS ). ( v. fig. 6.1). Se dau următoerele
coordonate : S(40, 50, 30), A(60, ?, ?), B(?,?, 50), C(20, ?, ?), D(?, ?, 10); planul vertical
[R] cu Rx= ( 27 ,0,0 ) şi α PV = 230°.




                                          Fig. 6.1

        Rezolvare:

       Vârfurile poligonului de secţiune 12345, în proiecţie orizontală , se
proiectează pe urma orizontală Rh, la intersecţia acesteia cu muchiile piramidei
sa, sb = sd, bc, bd proiectate pe planul [H] (v. fig. 6.1). Se obsevă că 1 sa, 2  sb,
3  cb , 4  cd., 5  sd .

GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ                                                                      65
Capitolul 6 – Corpuri geometrice – problematică diversă



         Trasând apoi linii de ordine, se găsesc pe [V] 1’ 2’ 3’ 4’ 5’ şi pe [W]
    ’’
1’’2 3’’4’’5’’.
         Se rabate planul [R] pe [H] , astfel se află adevărata mărime a secţiunii
notată cu 1020304050.
         Se reprezintă trunchiul de piramidă cuprins între [V] şi [R] ţinând seama de
regulile de vizibilitate :
         Pe planul orizontal conturul 1,2,3, a,1 – vizibil ;
         Pe planul vertical a’b’3’4’d’a’ vizibil , deasemenea muchiile 1’2’, 2’3’, 5’4’, 1’5’
sunt vizibile .
         Pe planul lateral conturul aparent b’’2’’1’’5’’d’’b’’ vizibil , iar muchiile 3’’2’’ , 4’’5’’
invizibile .
         2. Să se determine adevărata mărime a secţiunii realizate de planul de
capăt [P] în prisma dreaptă triunghiulară ABCA1B1C1 cu ( AB = BC = AC = 35 ,
A ( 40 , 14, 0 ); B (5 , 14 , 0) ; C (?,?, 0 ); A1 (40, 14, 40), iar planul [P ] { Px=(50; 0,0) ;  P,V =
45 o } . Să se rezolve vizibilitatea pe cele trei plane de proiecţie a corpului situat între
planul orizontal şi planul [ P ] .




                                               Fig. 6.2

         Rezolvare :

      Vârfurile poligonului de secţiune se proiectează pe [V] chiar pe urma Pv a
planului şi reprezintă punctele în care aceasta intersectează muchiile prismei.


GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ                                                                                 66
Capitolul 6 – Corpuri geometrice – problematică diversă
         Se obţin astfel 1’2’3’4’ . Se trasează apoi linii de ordine spre [H] şi [W]
rezultând poligonul 1234, respectiv 1"2"3"4" (v. fig. 6.2).
        Pentru determinarea adevăratei mărimi a secţiunii, se rabate pe [H] planul
de capăt [P], ce conţine poligonul de secţiune, obtinându-se 10203040.
        Vizibilitatea pe planul [H] : conturul aparent abc este vizibil , muchia 12
vizibilă .
        Vizibilitatea pe [V] : conturul aparent a’4’3’2’b1’b’c’a’ este vizibil , muchia
c’3’ este vizibilă .
        Vizibilitatea pe [W] : conturul aparent a’’4’’a1’’2’’3’’c’’a’’ este vizibil , muchia
3’’4’’ este vizibilă .

       3. Să se afle mărimea reală a secţiunii făcute de planul [P], simplu
particular, de capăt în cilindrul circular drept cu baza un cerc de rază R = 25 şi
centru Ω(30, 30, 0) , de înălţime h = 60. (v.fig. 6.3). Planul [P] are coordonatele
Px=( 70,0,0 ), Ph perpendicular pe Ox ,  Pv=45°.
       Notă : Se va reprezenta secţiunea considerând îndepărtată imaginar
porţiunea de cilindru situată deasupra planului P .




                                         Fig. 6.3

       Rezolvare:

       Dacă planul de secţionare intersectează toate generatoarele cilindrului,
secţiunea este o elipsă, a cărei mărime reală se află prin rabaterea planului de
secţiune pe unul din planele de proiecţie. Dacă există generatoare nesecţionate
de plan, secţiunea va fi doar o porţiune dintr-o elipsă, mărginită de un segment
de dreaptă.
GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ                                                                    67
Capitolul 6 – Corpuri geometrice – problematică diversă

        Pentru rezolvare se consideră un număr (suficient de mare) de
generatoare ale cilindrului, care se intersectează cu planul de secţiune . Se aleg
pe urma Pv a planului punctele 1’, 2’, 3, 4’, 5’, 6’, 7’, 8’, 9’, 10’, 11’ prin care se
vor trasa generatoarele corespunzătoare în cele trei proiecţii .
        Punctele găsite aparţin secţiunii formată in acest caz dintr-o porţiune de
elipsă mărginită de segmentul de dreaptă -1 ,11 – conturul obţinut reprezintă
soluţia problemei.
        Adevărata mărime se află prin rabaterea planului de capăt P pe planul
orizontal de proiecţie , axa de rabatere fiind urma planului Ph . Punctele în
rabatere sunt notate cu 1*, 2*, ...11* .

       4. Să se rezolve intersecţia dintre un con circular drept cu baza conţinută
în planul orizontal şi un plan [P], utilizând teorema Dandelin. Să se afle mărimea
reală a secţiunii (v. fig.6.4). Se dau centrul cercului de bază Ω (35, 30, 0) şi raza
R=20; înălţimea conului h=50; planul de capăt [P] cu Px=( 65,0,0 ) , Ph
perpendiculară pe axa Ox, unghiul  - egal cu 45°- dintre urma Pv şi axa OX
( unghiul format de planul de capăt P cu planul orizontal de proiecţie H ).
       Notă : Secţiunea se reprezintă neglijându-se porţiunea de con situată
deasupra planului P .




                                       Fig.6.4
       Rezolvare :

      Conform teoremei Dandelin, secţiunea plană într-un con poate fi: o elipsă,
dacă planul secant intersectează toate generatoarele; o parabolă dacă planul

GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ                                                               68
Capitolul 6 – Corpuri geometrice – problematică diversă
secant este paralel cu o generatoare sau o hiperbolă, daca planul secant taie
ambele pânze ale conului.
       In figura 6.4 secţiunea este o elipsă . Pentru construcţia acesteia se
consideră plane auxiliare de nivel ce secţioneaza conul după cercuri , proiectate
în mărime reală pe planul orizontal, iar intersecţiile cu planul secant (care este
proiectant fata de [V]) sunt drepte de capăt. Intersectând cercurile de secţiune cu
dreptele de capăt, se obtin puncte ce aparţin curbei de secţiune.

6.2 Intersecţii cu drepte
6.2.1 Aplicaţii rezolvate

       1. Să se determine în dublă proiecţie ortogonală punctele α si β de
intersecţie dintre dreapta D(d,d') şi piramida SABC, cu baza ABC inclusă în [H],
prin metoda secţiunii transversale; dreapta D fiind definită de punctele E şi F,
apoi să se rezolve vizibilitatea epurei (v. fig.6.5). Se dau : vârfurile piramidei
SABC [ A(110, 18, ?), B(85, 6, ?), C(78, 34, ?), S(26, 15, 55)] şi dreapta D cu
punctele [ E(69, 4, 30), F(42, 46, 10)].




                                     Fig.6.5


       Rezolvare :

        Se reprezintă elementele date, apoi se trasează (plan vertical planul
auxiliar) [Q] ce conţine dreapta D şi sectionează transversal piramida după
triunghiul 123 [123, 1’2’3’].
GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ                                                      69
Capitolul 6 – Corpuri geometrice – problematică diversă


        Se află mai intâi proiecţiile a' si β' la intersecţia proiecţiei d' cu [1’2’3’], apoi
 şi β ducând liniile de ordine corespunzatoare (v. fig. 6.5).
        Vizibilitatea pe planul [H] este : între  şi β dreapta este invizibilă, în afara
conturului aparent al piramidei evident este vizibilă, între conturul aparent şi 
este vizibilă deoarece  Є feţei [sab], faţă vizibilă pe [H]; între β şi conturul
aparent dreapta este invizibilă intrucât β aparţine fetei invizibile [sbc]. Analog se
stabileşte vizibilitatea epurei pe [V].

       2. Să se determine punctele în care orizontala G(g, g’) intersectează
suprafaţa sferei şi să se clarifice vizibilitatea epurei (v. fig. 6.6). Se dau
coordonatele sferei : centrul Ω(45, 30, 30), raza R = 22 şi a punctelor : M(75,
60, 42), N(12, 11, 42) ce aparţin orizontalei G .




                                          Fig.6.6


GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ                                                                     70
Capitolul 6 – Corpuri geometrice – problematică diversă

         Rezolvare :
         Se secţionează sfera cu planul de nivel [N] ce conţine orizontala
G(M ^ N), definită de punctele M şi N, obţinându-se cercul de secţiune, de raza r.
La intersecţia proiecţiei g cu cercul de raza r se găsesc proiecţiile punctelor α şi
β, căutate, apoi trasând linii de ordine se determină α’ şi β’.
         Pe planul [H] , dreapta este invizibilă între α şi β şi vizibilă în rest ;
         Pe planul [V], dreapta este vizibilă până în α’ , invizibilă între α' şi β',
invizibilă între β' şi conturul aparent al sferei şi apoi vizibilă în exteriorul sferei
(v. fig. 6.6).

       3. Se consideră torul a cărui axă este dreapta verticală Ω(ω, ω’) de
coordonate xΩ=70, yΩ= 52 şi cercul generator de rază R=18 mm şi centru
Ω1(40,52,35) . Să se determine punctele de intersecţie dintre torul considerat şi
dreapta oarecare AB. (v. fig. 6.7). Se dau coordonatele dreaptei AB : A(35, 80,
5), B(140, -15, 40).




                                       Fig.6.7
GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ                                                               71
Capitolul 6 – Corpuri geometrice – problematică diversă


       Rezolvare :

        Prin dreapta AB se duce planul vertical Q(Qh,Qv). Se realizează curba de
secţiune făcută de planul Q în tor cu ajutorul planelor auxiliare, planele de nivel
 Nv1....Nv7. Aceste plane secţionează torul după cercuri paralele şi planul Q după
drepte orizontale care pe planul H se proiectează chiar pe urma orizontală a
planului Qh. Acestea se intersectează între ele .
        În cazul din figură rezultă curba de secţiune bicontur (două elipse).
         Proiecţia verticală a dreptei întâlneşte cele două elipse în punctele α’, β’,
γ’ şi δ’. Coborând liniile de ordine se determină proiecţiile α, β, γ şi δ în planul
orizontal. Aceste puncte sunt proiecţiile punctelor în care dreapta intersectează
torul.
        Vizibilitatea pe cele două plane [H] şi [V] se stabileste ca în figura 6.7.

        4. Se consideră hiperboloidul de rotaţie obţinut prin rotaţia hiperbolei ,
definită de focarele F1(105,45,50) şi F2(35,45,50) şi vârfurile hiperbolei , date prin
punctele M1(90,45,50) şi M2(50,45,50) , în jurul axei verticale Ω.
        Se cere să se determine punctele de intersecţie dintre dreapta D definită
de punctele A şi B şi hiperboloid şi să se stabilească vizibilitatea epurei (v. fig.
6.8). Se dau : dreapta AB cu ajutorul punctelor A(20, 85, 10), şi B(110, 20, 90).

       Rezolvare :

        Se trasează prin dreapta D un plan auxiliar de capăt Q(Qh,Qv). Se
determină curba de secţiune dintre plan şi hiperboloid utilizând ca plane
auxiliare, plane de nivel ale căror urme verticale sunt Nv....Nv6. Aceste plane
intersectează hiperboloidul după cercuri iar planul Q după drepte de capăt. La
intersecţia acestora se află curba de secţiune .
        Proiecţia orizontală a dreptei întâlneşte curba de secţiune în punctele α şi
β. Se duc linii de ordine şi se obţin α' si β' pe planul vertical V .
        Se rezolvă vizibilitatea pe ambele plane de proiecţie ca în fig.6.8.

       5. Să se determine proiecţiile punctelor de intersecţie dintre dreapta MN
oarecare şi un paraboloid rezultat din rotaţia parabolei - definită de : axa Ωv,
vârful V şi un punct curent A al parabolei - în jurul verticalei Ωv. Se dau:
Ω(45,55,85); V(65,55,12); A(93,55,65). (fig.6.9), punctele N(40, 95, 20), M(110,
20, 70)

       Rezolvare :

        Se duce prin dreapta D un plan vertical Q(Qh,Qv). Se determină curba de
secţiune dintre plan şi paraboloid utilizând ca plane auxiliare planele de nivel
Nv1...Nv5. Aceste plane intersectează paraboloidul după cercuri paralele cu
planul H iar planul [Q] după drepte orizontale, drepte ce se proiectează pe planul
H chiar pe urma orizontală a planului Qh. Proiecţia verticală a dreptei MN
întâlneşte curba de secţiune în γ’ şi δ'. Se duc linii de ordine şi se obţin proiecţiile
orizontale γ şi δ, acestea fiind soluţia problemei .
        Vizibilitatea pe cele două plane de proiecţie H şi V rezultă ca în figura
6.9. Pe planul H dreapta este invizibilă între proiecţiile punctelor 10, γ , δ şi 11 iar
în rest vizibilă ; pe planul vertical V dreapta este vizibilă până în δ', invizibilă între

GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ                                                                  72
Capitolul 6 – Corpuri geometrice – problematică diversă

δ' şi conturul aparent al paraboloidului şi din nou vizibilă . Curba de secţiune , pe
planul vertical este vizibilă între proiecţiile 11’,2’,4’,6’,8’,9’,7’ şi invizibilă între 7’,5’,
3’,1’,10’ .




                                           Fig.6.8




GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ                                                                        73
Capitolul 6 – Corpuri geometrice – problematică diversă




                                      Fig.6.9


6.3. Desfăşurate

6.3.1 Aplicaţii rezolvate

        1. Se consideră piramida oblică ABCDES cu baza ADCDE situată în
planul orizontal de proiecţie şi planul de capăt [P]. Se cere să se reprezinte în
evantai şi în stea desfăsurata totala a trunchiului de piramidă cuprins între planul
[P] şi baza ABCDE.
        Se cunosc : planul P [PX(90,0,0); H ; Ph ┴ Ox] ; punctele A(145, 25,0),
B(135,10,0); C(l15,15,0); D ( 100, 22,0), E(120,40,0)], S( 0,35, 75 ) (v. fig.6.10).

GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ                                                            74
Capitolul 6 – Corpuri geometrice – problematică diversă




                                      Fig.6.10 a


         Rezolvare :

         Se execută mai întâi desfăsurata totală a piramidei în evantai (v. fig. 6.10
b, ) .
         Muchiile laterale ale piramidei fiind segmente de drepte oarecare trebuie
aflate în mărime reală printr-o rotatie de nivel. Rotaţia se face în jurul axei
verticale Ω (ω, ω1 ) care conţine vârful S(s,s1). Rezultă în epură s’a1’,s’b1’,
s’c1’,s’d1’,s’e1’ care s-au reprezentat cu linie punct subţire (v. fig. 6.10a).
         Pentru a determina adevărata mărime a bazei superioare a trunchiului de
piramidă , poligonul αβγδε rezultat prin secţionarea piramidei cu planul [P], se
rabate planul [P] pe planul orizontal şi se obţine poligonul în mărime reală notat
cu α0β0γ0δ0ε0 (v. fig. 6.10a).
         Se consideră un punct S0 de la care se începe construcţia feţelor laterale
ale piramidei pe desfăşurată (v. fig. 6.10 b, c). Pe muchiile în adevarata lor
mărime S0A0 ; S0B0; S0C0; S0D0; S0E0 se iau segmentele α1’a1’, β1’b1’, γ1’c1’,
δ1’d1’, ε1’e1’ care reprezintă adevăratele mărimi ale muchiilor laterale ale
trunchiului de piramidă.
         Se ataşează şi cele două baze în adevărată mărime (v. fig. 6.10 b)
GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ                                                             75
Capitolul 6 – Corpuri geometrice – problematică diversă
         Desfăşurata în stea se realizează începând de la baza AoBoCoDoEo şi
trasând, în exteriorul bazei , arce de cerc egale cu lungimile reale ale muchiilor.
(v. fig. 6.10 c)




                                   Fig.6.10 b, c

        2. Se consideră prisma pentagonală oblică ABCDEA1B1C1D1E1 cu baza
ABCDE situată în planul orizontal şi cu muchiile laterale paralele cu planul
vertical de proiecţie. Se cere să se determine desfăşurata totală a acestei
prisme, (v. fig. 6.11). Se dau vârfurile : A(110, 30, ?), B(95, 10, ?), C(75, 25, ?),
D(65, 45, ?), E(90, 60, ?), E1(25, ?, 95).

       Rezolvare :

       Se reprezintă prisma in dublă proiecţie ortogonală .

        Pentru a executa desfăsurata prismei, trebuie să se cunoască adevărata
mărime a muchiilor laterale şi adevărata mărime a distanţei dintre muchii .
Bazele au mărimea reală în proiecţia orizontală a prismei .
        Adevărata mărime a muchiilor laterale se obţine în epură, unde proiecţiile
lor pe planul vertical sunt în mărime reală , fiind drepte frontale.
GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ                                                          76
Capitolul 6 – Corpuri geometrice – problematică diversă


       Adevărata mărime a distanţei dintre muchii se află secţionând prisma cu
un plan de capăt perpendicular pe muchii şi rabătând-ul pe planul orizontal. Se
obţine poligonul α*β*γ*δ*ε* . Planul [P] se numeşte planul secţiunii drepte .
       Se iau în compas laturile pentagonului şi se aşează pe o dreaptă ( numită
transformata prin desfăşurare a secţiunii drepte ).
       Prin α*β*γ*δ*ε* se duc linii de ordine pe care se trasează muciile în
mărime reală , ţinând seama de distanţele acestora faţă de cele două baze .
       Se trasează apoi bazele AoBoCoDoEo şi A1oB1oC1oD1oE1o , adiacent la
suprafaţa laterală pentru a se obţine desfăşurata totală (v. fig. 6.11 a şi b) .




                                  Fig.6. 11 a

GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ                                                        77
Capitolul 6 – Corpuri geometrice – problematică diversă




                                    Fig.6.11 b


        3. Să se reprezinte cilindrul circular drept ,cu înăltimea h= 35, cu baza un
cerc de rază R = 15 , cu centrul Ω (30, 20, 0), rămas după secţionarea cu un
plan vertical P şi după îndepărtarea porţiunii cuprinsă între plan şi observator. Să
se determine în mărime reală secţiunea realizată de planul vertical [P] {Px(64, 0,
0), α Ph,ox = - 30° } în cilindrul dat , apoi să se reprezinte desfăşurata suprafaţei
totale a cilindrului rest .

       Rezolvare :


GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ                                                             78
Capitolul 6 – Corpuri geometrice – problematică diversă




                                         Fig.6.12

         Planul de secţiune (v. fig. 6.12) intersectează bazele cilindrului în punctele
A(a,a’,a’’),B(b,b’,b’’),C(c,c’,c’’),D(d,d’,d’’) ; acest plan fiind paralel cu axa cilindrului
generează o secţiune longitudinală dreptunghiulară. Dreptunghiul de secţiune
se proiectează pe [H] după dreapta ab ≡ dc; pe planul vertical [V] proiecţia
secţiunii este dreptunghiul a’b’c’d’;iar pe [W] proiecţia secţiunii este dreptunghiul
a’’b’’c’’d’’ în corespondenţă cu celelalte proiecţii.
         Se desfăşoară partea de cilindru cuprinsă între planul [ V ] şi planul [ P ] .
         Pentru desfăşurarea lungimii arcului de cerc al bazei , rămas (aefb) se
împarte într-un număr de părţi egale cercul de bază al cilindrului.
         Desfăşurata conţine secţiunea în mărime reală , suprafaţa laterală rămasă
şi porţiunile din bazele rămase care se ataşează adiacent secţiunii ( v. fig. 6.12 ).

GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ                                                                     79
Capitolul 6 – Corpuri geometrice – problematică diversă
         Mărimea reală a secţiunii se află prin rabaterea planului [P] pe [H] : (ad1 =
a’d’ şi bc1 = b’c’).
         Bazele în mărime reală se găsesc în proiecţia orizontală .

       4. Să se desfăsoare sfera de centru Ω(ωω’) şi rază R prin divizarea
suprafeţei in zone (v. fig.6.13). Se dau : Ω(40, 35, 34), raza R = 28.




                                   Fig.6.13 a.b.


       Rezolvare :

       Se divide una dintre semisfere în mai multe zone de forme cilindrice ,
conice sau tronconice . Cu cât sunt mai multe zone, cu atât precizia de
desfăşurare este mai bună. În acest exemplu (v.fig.6.13 a) s-au considerat
patru zone după cum urmează :
       - zona IV ( de lângă ecuator ) se aproximează cu o suprafaţă cilindrică
de înălţime mică ; zonele III şi II se aproximează cu suprafeţe de trunchiuri de
con circular drept iar zona I se aproximează cu suprafaţa unui con circular
drept cu varful in S1 identic cu polul sferei ; S2 şi S3 reprezintă celelalte vârfuri
de conuri considerate din care se extrag numai trunchiurile de con III şi II .
       În fig. (6.13 b) s-a reprezentat un sfert din desfăşurata totală a sferei. Cele
două axe de simetrie asigură croirea suprafeţei totale a sferei .
       Toate zonele se reprezintă adiacent .




GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ                                                              80
Capitolul 6 – Corpuri geometrice – problematică diversă
       5. Se consideră sfera de rază R şi de centru Ω(ω, ω'). Se cere să se
execute desfăsurarea sferei în fusuri sferice egale (v. fig.6.14). Se dau : centrul
sferei Ω(30, 45, 40), şi raza R = 25 .




                                       Fig.6.14

       Rezolvare :

        Se secţionează sfera cu şase plane proiectante verticale [P1], [P2],
[P3], [P4], [P5], [P6] care conţin câte un meridian şi centrul sferei Ω. Aceste
plane divizează sfera în 12 fusuri notate cu cifre romane I,II ...XII , deci şi
cercul ecuator este divizat tot în 12 părti egale.
        Se secţionează apoi sfera cu nouă plane de nivel care intersectează
meridianele de simetrie ale fusurilor sferice în punctele a’,b’,c’...i’.
         Pentru execuţia desfăşuratei sferei se ia o dreaptă oarecare ca în
figura 6.14, pe care se va transpune               lungimea cercului ecuator 2πR,
împărţită în cazul de faţă în 12 părţi egale .
        Prin diviziunile respective se vor duce perpendiculare, reprezentând
transformatele meridianelor de simetrie şi se măsoara pe fiecare lungimea
fuselor sferice care este egală cu πR şi care se aproximează cu suma
segmentelor 1’a’ , a’b’, b’c’, c’d’, d’e’, e’f’, f’g’, g’h’, h’i’, i’11’. Pe desfăşurată
acestea se notează cu 10, a0, b0, c0, d0, e0, f0, g0, h0, i0, 110 puncte prin care
se trasează perpendiculare la axa de simetrie 10-110 . Pe aceste
perpendiculare se marchează lăţimile fusului corespunzătoare planului de

GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ                                                                81
Capitolul 6 – Corpuri geometrice – problematică diversă

nivel extrase din proiecţia orizontală . Punctele 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80,
90, 100, 110, 120, 130, 140, 150, 160, 170, 180, 190, 200, 10 conturează
suprafaţa desfăşurată a unui fus. Prin construcţii simetrice se obţin cele
douăsprezece fusuri adiacente corespunzătoare desfăşuratei totale a sferei .
        În figura 6.14 este reprezentată axonometric sfera cu un fus desprins
pentru a sugera îmbinarea fusurilor în vederea execuţiei practice a sferei .

        6. Să se desfăşoare în zone sferice suprafaţa totală a unui tor dat în dublă
proiecţie ortogonală în figura 6.15 a.




                                    Fig. 6.15 a

GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ                                                            82
Capitolul 6 – Corpuri geometrice – problematică diversă

       Rezolvare:

        Desfăşurata acestei suprafeţe se compune din desfăşurata suprafeţei
interioare ( v. fig. 6.15 b ) şi a celei exterioare ( v.fig. 6.15 c ).
        Pentru realizarea acestora se construiesc zonele cilindrice , tronconice sau
conice pe epură stabilindu-se şi vârfurile conurilor respective ( v.fig. 6.15 a ).
        Aceste zone sunt separate de plane de nivel alese corespunzător , în scopul
formării unor zone de înălţime mică . Cu cât se creează mai multe zone cu atât
desfăşurata este mai precisă .
        Suprafaţa exterioară corespunde arcului 4’3’2’1’16’15’14’13’12’ cercului
generator iar cea interioară arcului 4’5’6’7’8’9’10’11’12’ aceluiaşi cerc generator .
        Este suficient să se reprezinte desfăşurata exterioară numai pentru un sfert
din ea datorită simetriei ( v.fig. 6.15 b) .
        Pentru suprafaţa interioară se ţine cont deasemenea de simetrie dar este
indicat ca zonele să se reprezinte alternativ stânga , dreapta faţă de axe pentru a
se vedea mai clar .

                 Suprafaţa interioară a torului – desfăşurată –




                                    Fig. 6.15 b

GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ                                                             83
Capitolul 6 – Corpuri geometrice – problematică diversă

                Suprafaţa exterioară a torului – desfăşurată –




                                  Fig. 6.15 c



6.4. Intersecţii diverse

6.4.1 Aplicaţii rezolvate

      1. Să se rezolve intersecţia dintre piramida pătrată dreaptă SABCD şi
prisma dreaptă KLMNK1L1M1N1 dispuse ca în figura 6.16 a, adică cu axele
concurente în unghi drept.
      Să se precizeze tipul intersecţiei şi apoi să se desfăsoare ambele
suprafeţe (v. fig.6.16.).
      Se dau vârfurile : S(50, 38, 60), A(75, 38, ?), B(50, 12, ?), C(25, 38, ?),
D(50, 64, ?), K(82, 24, 20), L(82, 38, 30), M(82, 50, 20), N(82, 38, 10),
lungimea muchiei MM1 = 74.

       Rezolvare :

       Se intersectează muchiile prismei, care sunt drepte fronto-orizontale,
cu feţele piramidei, obţinându-se poligoanele spaţiale 1234 şi 5678 în triplă
proiecţie ortogonală, remarcându-se şi faptul că muchiile piramidei SA şi SC
sunt drepte frontale, iar SB şi SD sunt drepte de profil. Vârfurile 1, 3 sunt
situate pe muchia SA, respectiv pe LL1 şi NN1; vârfurile 4 si 2 sunt situate pe

GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ                                                         84
Capitolul 6 – Corpuri geometrice – problematică diversă
muchiile KK1 respectiv MM1 ale prismei şi pe dreptele SF, respectiv SI ce
aparţin feţelor piramidei SAB şi SDA.
       Tipul intersecţiei este o pătrundere totală deoarece au rezultat două
poligoane spaţiale de intersecţie.
       Se desfăşoară piramida având muchiile în adevarată mărime
proiectate pe planul vertical de proiecţie şi baza în epură tot în adevărată
mărime .




                                  Fig. 6.16 a.



       Lungimile muchiilor S010 = S’1’; S030 = S’3’ ; S020 = S’2’; S040 = S’4’ ,
se transpun pe desfăşurată ştiind că 10 şi 30 Є S0A0; 20 Є S0I0; 40 Є S0F0.
Analog se marchează pe desfăşurată punctele 50; 70 care Є muchiei S0C0 şi
60 Є S0H0 , 80 Є S0G0 (vezi fig. 6.16.b).
       Prisma dreaptă s-a desfăşurat în evantai tot in figura 6.16 b.
       Liniile poligoanelor de intersecţie s-au marcat pe muchille laterale cu
4010203040 şi respectiv cu 8050607080 .
       Bazele prismei s-au reprezentat adiacent la câte o faţă laterală .Astfel
K0L0M0N0 la faţa L0M0 L10M10 iar baza K10L10M10N10 la faţa N0M0N10M10 ..


GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ                                                        85
Capitolul 6 – Corpuri geometrice – problematică diversă




                                    Fig.6.16.b


        2. Se consideră o semisferă de centru Ω(ω, ω’, ω’’) de rază Rs situată
în triedrul 1 şi un trunchi de con cu bazele cercuri de centre O(o, o’, o’’) şi
O1(o1,o1',o1") şi cu razele rT ( pentru baza mică ) respectiv RT (pentru baza
mare ) . Se cere să se determine intersecţia dintre cele două corpuri
geometrice. (v.fig.6.17). Se dau următoarele coordonate : centrul semisferei
Ω(60, 60, ?) şi raza ei RS = 50 iar pentru trunchiul de con centrul cercului
bazei superioare O(75, 60, 100) de rază rT = 10, raza bazei inferioare RT =
45.

       Rezolvare :

        Se intersectează cele două corpuri geometrice cu plane auxiliare de
nivel. Acestea determină în semisferă suprafeţe circulare de intersecţie
diferite de cele obţinute din secţionarea trunchiului de con ( cercuri secante ).
        La intersecţia acestor cercuri se găsesc punctele curbei ,spaţiale de
intersecţie, notate cu (1, 2, 3, 4,...13).
        Pentru determinarea proiecţiilor pe planul vertical (1’, 2’, 3’, 4’,...13’)se
duc linii de ordine corespunzătoare .
        Intersecţia este o rupere pentru că cele două corpuri se intersectează
parţial .
        Pe planul vertical este vizibilă ramura 1’3’5’7’9’11’13’ , simetrica ei
1’2’4’6’8’10’12’ este invizibilă.
GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ                                                              86
Capitolul 6 – Corpuri geometrice – problematică diversă




                                       Fig.6.17

         3. Se consideră sfera de centru Ω(ω, ω') , de rază Rsf şi cilindrul circular
drept cu bazele de centre : O 1 (o 1 ,o 1 ’) pentru cea situată în planul orizontal şi O2
(o2, o2 ’ ) pentru cea situată într-un anumit plan de nivel. Raza cilindrului s-a notat
Rcil. Se cere să se reprezinte curbele de intersecţie dintre cele două corpuri
geometrice utilizând metoda planelor auxiliare. (v.fig.6.18). Se dau : pentru
sferă Rsf = 45 , centrul Ω(50, 50 , 60); pentru cilindru Rcil = 20, centrul O2(50,
80, 110).

       Rezolvare :

        Pentru determinarea punctelor de intersecţie dintre cele două corpuri se
utilizează ca plane auxiliare planele de front [F1], [F2] ... [F7]. ( v. Fig.6.18) Aceste
plane intersectează sfera după cercuri de diferite raze iar cilindrul după
dreptunghiuri mărginite de generatoarele de secţiune ( secţiunea fiind
longitudinală ) . La intersecţia acestor elemente , din fiecare plan auxiliar , se
obţine mulţimea punctelor comune dispuse pe curbele de secţiune .
        Ca formă , curbele de secţiune pot fi variate in funcţie de dimensiunile
celor două corpuri care se intersectează şi de poziţiile lor reciproce în spaţiu .
        Această diferenţă se poate observa în figura 6.18 în care s-au reprezentat
două cazuri .
GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ                                                                 87
Capitolul 6 – Corpuri geometrice – problematică diversă

        În cazul din stanga intersecţia este o pătrundere cu simplă tangenţă iar în
cel din dreapta o rupere .




                                     Fig.6.18


       4. Să se rezolve intersecţia dintre o prisma triunghiulară dreaptă
ABCA1B1C1 şi o semisferă siuată in primul triedru . Se dau următoarele
coordonate : pentru prismă A ( 74; 48;0 ) , B ( 45; 10; 0 ), C ( 20; 71; 0 ) , A 1 (
74; 48; 67 ) iar pentru sferă centrul  ( 45; 48; 0 ) , raza R= 43 mm . Să se
precizeze tipul intersecţiei şi să se stabilească vizibilitatea proiecţiilor .

       Rezolvare :

         Pentru determinarea intersecţiei cerute se intersectează ambele
corpuri simultan cu plane de front auxiliare: Fh 1, Fh2...Fh7. La intersecţia unui
anumit plan de front cu semisfera rezultă un semicerc iar cu feţele laterale ale
prismei drepte verticale.
         Pe planul [H] se obţin punctele curbei spaţiale de intersecţie (1, 2, 3
...12 ,1 ) - formată din trei arce de cerc -              iar pe planul vertical
corespondentele lor (1’, 2’, 3’...12’,1’). Pe planul vertical arcul 1’2’3’4’ este
vizibil în rest curba este invizibilă.(v. fig. 6.19 ).


GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ                                                            88
Capitolul 6 – Corpuri geometrice – problematică diversă
      În acest caz intersecţia este o pătrundere .
      Notă : Cele două corpuri geometrice sunt reprezentate în axonometrie
izometrică pentru a se obţine aspectul lor spaţial (v. fig. 6.19 ) .




                                 Fig.6.19

GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ                                                  89
Capitolul 6 – Corpuri geometrice – problematică diversă
       5. Să se rezolve intersecţia dintre un cilindru circular drept şi un sfert
de tor , să se clarifice vizibilitatea epurei şi să se precizeze tipul intersecţiei .
Se dau următoarele coordonate : pentru cilindru - centrul cercului de bază
1( 60,40,0) , raza r = 16 , inălţimea h = 80 - , pentru tor - centrul cercului
generator 3 ( 60,40,0), raza cercului generator R = 20 , axa torului este axa
OY - . Precizare : cercul purtător al centrului cercului generator are raza
R2 = 60 şi este situat într-un plan de front .

       Rezolvare :

        Se utilizează plane de front auxiliare care intersectează simultan cele
doua corpuri geometrice astfel : torul după cercuri frontale iar cilindrul după
generatoare ( drepte verticale) . Planele auxiliare s-au notat cu F1, F2 ,...F5
( v.fig.6.20 )
        Curba spaţială de intersecţie este simetrică faţă de planul de front [F1].
        Vizibilitatea este rezolvată în epură , pe planul vertical numai jumătate
din curba de secţiune este vizibilă , cea notată cu 1’,2’,3’,4’,5’,6’,7’,8’,9’, pe
planul orizontal curba este acoperită de cercul bazei superioare a cilindrului,
fiind deci invizibilă .
        Secţiunea este o pătrundere, materializată, aşa cum s-a precizat ,
printr-o curbă spaţială simetrică faţă de planul de front [F1] . S-au notat
numai jumătate din puncte cu (1,2,3,4,5,6,7,8,9).
        Reprezentarea intersecţiei este prezentată mai jos în fig.6.20 într-o
imagine spaţială care s-a realizat în axonometrie izometrică .




GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ                                                             90
Capitolul 6 – Corpuri geometrice – problematică diversă




                               Fig.6.20
GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ                                     91
Capitolul 6 – Corpuri geometrice – problematică diversă




                              BIBLIOGRAFIE




   1. Botez St. Mihail , Geometrie descriptivă , Ed. Didactică şi Pedagogică
       , Bucureşti , 1965
   2. Enache, I ., Ivanceanu , T., Buzilă , V., Geometrie descriptivă şi desen
       tehnic , , Ed. Didactică şi Pedagogică , Bucureşti , 1982
   3. Matei , Alex., Gaba, Victor, Tocu, T., , Geometrie descriptivă , Ed.
       Didactică şi Pedagogică , Bucureşti , 1982
   4. Moncea , Jean, ., Geometrie descriptivă şi desen tehnic , , Ed.
       Didactică şi Pedagogică , Bucureşti , 1982
   5. Precupeţu , P., ş. a ., Geometrie descriptivă cu aplicaţii în tehnică, ,
       Ed. Didactică şi Pedagogică , Bucureşti , 1987
   6. Şolea , Dumitru, Morărescu , A., Tocariu, L., ş.a., Geometrie
       descriptivă şi desen tehnic, Ed.. Mongabit , Galaţi , 2002
   7. Tănăsescu , A., Geometrie descriptivă , Ed. Didactică şi Pedagogică ,
       Bucureşti , 1965
   8. Tănăsescu , A., Probleme de geometrie descriptivă , Ed. Didactică şi
       Pedagogică , Bucureşti , 1967
   9. Tănăsescu , A., Geometrie descriptivă , perspectivă , axonometrie ,
       Ed. Didactică şi Pedagogică , Bucureşti , 1975
   10. Tocariu , L., Elemente de geometrie descriptivă utilizate în tehnică,
       Ed. Evrika , Brăila , 2001.




GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ                                                      92

								
To top