Wirtschaftsmathematik

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					                                    Wirtschaftsmathematik
        Serie M41                        Anwendungsorientierte Mathematik

Aufgabe 1

                                                                              Alter
Gegeben ist die folgende Funktion:           Preis =        21853   * 0,815


Sie beschreibt näherungsweise die Preis-Alters-Angaben für Gebrauchtwagen eines
bestimmten Modells (VW-Golf) an einem bestimmen Wochenende.


   25


   20


   15


   10


    5


    0
        0        2   4     6         8      10         12    14     16



    a) Welche technische Bedeutung für den Verlauf der Funktion haben die Werte 21853
       und 0,815?
    b) Interpretieren Sie 21853 und 0,852 ökonomisch!

Aufgabe 2
Aus einer Berechnung mit EXCEL erhalten Sie aus zehn Preis- und Altersangaben
gebrauchter Opel ASTRA folgende Gleichung vom Typ Y = b +m X :

P = 9,524 - 0,658 A            mit P = Preis in 1000 Euro; A = Alter in Jahren

    a) Skizzieren Sie die Funktion!
    b) Interpretieren Sie die Ergebnisse für die Parameter b und m!
    c) Vergleichen Sie die verwendete mathematische Struktur mit der in Aufgabe 1.

Aufgabe 3
Interpretieren Sie die funktionale Beziehung
                  n
K = 1000 * 1,1
  n

Aufgabe 4
Interpretieren Sie die Gleichung X = 100 – 2 P (X = nachgefragte Mengeneinheiten,
P = Europreis je Mengeneinheit)

Aufgabe 5
Interpretieren Sie die Gleichung U = X * P


Prof. Dr. Hippmann
                                       Wirtschaftsmathematik
       Serie M42                                 Lineare Algebra: Grundlagen


Aufgabe 1
Lösen Sie das Gleichungssystem nach einem beliebigen Verfahren und danach mit dem
Gauß-Verfahren !
                        x1 + x2 + x3 = 2
                        2 x2 + 2 x3 = 2
                        2 x1 + x3 = 4

Aufgabe 2
Lösen Sie das gegebene Gleichungssystem mit Hilfe des Gauß-Verfahrens und
anschließend mit der Matrizenrechnung!
                          2 x1 + 4 x2 = 30
                          4 x1 - 2 x2 = 20

Aufgabe 3
Lösen Sie das gegebene Gleichungssystem mit Hilfe einer beliebigen Technik!

                      0,2 X1      -    0,1 X2                  =       0,1
                     -0,2 X1      +    0,1 X2       +   0,1 X3 =       0,2
                      0,1 X1      +    0,2 X2       -   0,1 X3 =       0,5


Aufgabe 4            Lösen Sie das gegebene lineare Gleichungssystem nach einem
                     beliebigen Verfahren !


                               2 x1      -1 x2                       =9
                               -1 x1     +2 x2      -1 x3            = -9
                                         -1 x2      +2 x3    -1 x4   =0
                                                    -1 x3    +2 x4   = 11

Aufgabe 5        Lösen Sie das Gleichungssystem nach einem beliebigen Verfahren !

                                x1 + x2 + x3 = 2
                                2 x2 + 2 x3 = 2
                                2 x1 + x3 = 4




Prof. Dr. Hippmann
                                     Wirtschaftsmathematik
      Serie M43                                Lineare Algebra: Matrizen


Aufgabe 1            a) Bestimmen Sie das Produkt AB der beiden Matrizen A und B !
                                                                 7 2
                                              3 2 1               
                                          A=               B=  1 6
                                             1 5 4                  
                                                                 3 5
                     b) Lösen Sie die folgende Matrizengleichung nach x auf !
                        (A, B und C sind zum Vektor x passende quadratische Matrizen)

                                                 Ax + x = B + Cx



Aufgabe 2            Bestimmen Sie die Inverse zu Matrix C !

                                                      1 1 2
                                                            
                                                 C =  1 1 1
                                                            
                                                      2 4 5



Aufgabe 3            Man löse das folgende               Gleichungssystem   mit   Hilfe   der
                     Matrizenrechnung !
                     (über die inverse Matrix)

                                        3 x1    + 2 x2       = 40
                                          x1    - 5 x2      = -15


Aufgabe 4 Lösen Sie das gegebene Gleichungssystem mit Hilfe der Matrizenrechnung :
                          2 x1 + 4 x2 = 30
                          4 x1 - 2 x2 = 20




Prof. Dr. Hippmann
                                 Wirtschaftsmathematik
       Serie M44            Lineare Algebra: Anwendung = Input-Output-Analysen


A1
Die Nachfrage der privaten Haushalte nach den Produkten der Textil- und Bekleidungs-
industrie geht um 200 Millionen EURO zurück !

a) Welche Auswirkungen auf die Produktion lassen sich mit Hilfe des klassischen Input-
   Output-Modells berechnen für die Bereiche
            - Textilien und Bekleidung
            - Chemie
            - Dienstleistungen des Handels

Wie hoch sind die gesamtwirtschaftlichen Auswirkungen ?
b) Was versteht man unter „direkten“ und „indirekten“ Wirkungen der
Nachfrageänderung ?

A2
Gegeben ist die folgende Input-Output-Tabelle
                     Sektor 1      Sektor 2                Endnachfrage       
   Sektor 1            20            800           820          180           1000
   Sektor 2            700           20            720          280           1000
 Wertschöpfung         280           180
                    1000          1000

a) Welche Produktionswerte garantieren eine um 50 Prozent höhere Endnachfrage nach
den Produkten des Sektors 2?
Berechnen Sie die Auswirkung dieser Nachfrageänderung mithilfe der Gleichung
         -1
x = (E-A) y

b) Der Staat storniert den geplanten Kauf von Produkten des Sektors 1 in Höhe von 100
Geldeinheiten und kauft stattdessen Produkte des Sektors 2 in gleicher Höhe.
Der Staat gibt auf diese Weise keinen Euro mehr oder weniger aus! Hat die Maßnahme
irgendeinen Einfluss auf die Volkswirtschaft?

A3)Nehmen Sie einen Rückgang der Ausfuhren bei den Produkten der Autoindustrie um
500 Mill. EURO an. Welche Auswirkungen auf die Produktion lassen sich mit Hilfe der
beigefügten Tabelle der inversen Koeffizienten des in der Vorlesung besprochenen Input-
Output-Modells bestimmen?          Berechnen Sie die Auswirkungen für folgende
Bereiche:
                   a) Autoindustrie
                   b) Stahlindustrie
                   c) Chemische und Kunststoffindustrie

A4) Nehmen Sie einen beliebigen inversen Koeffizienten und zerlegen Sie ihn im Hinblick
  auf die direkte und indirekte Wirkung einer Nachfrageänderung auf die Produktion!




Prof. Dr. Hippmann
                                        Wirtschaftsmathematik
       Serie M45                   Lineare Algebra: Anwendung = Lineare Programmierung

Aufgabe 1            Man bestimme das Maximum der Zielfunktion
                                                      Z = 20 x1 + 30 x2
                     unter den Nebenbedingungen
                                     10 x1 + 20 x2 < 2000
                                     10 x1 + 10 x2 < 1600
                                              10 < 600
                                           x2
                                    x1             <0
                                           x2      <0
                      a) graphisch und     b) mit Hilfe der Simplex-Methode !



Aufgabe 2            Zwei Erzeugnisse werden auf drei Maschinen gemäß folgender Tabelle
                     bearbeitet:

                                         Maschine 1       Maschine 2      Maschine 3
                     Erzeugnis 1         20 Minuten       15 Minuten      5 Minuten
                     Erzeugnis 2         10 Minuten       15 Minuten      25 Minuten

                     Der Verkaufspreis beträgt 25 DM für das Erzeugnis 1 und 10 DM für das
                     Erzeugnis 2. Ihre Aufgabe ist es, die Produktionszahlen (= Mengen x1
                     und x2) bei einer wöchentlichen Maschinenlaufzeit von 60 Stunden
                     (=3600 Minuten je Maschine) so zu wählen, dass der Erlös maximal wird.
             5P      a) Stellen Sie die Zielfunktion mit den Nebenbedingungen auf!
            15 P     b) Lösen Sie das Optimierungsproblem graphisch!
            15 P     c) Lösen Sie das Problem mit Hilfe der Simplexmethode!
                        zu b) und c) Welche Maschinen sind nicht ausgelastet ?




Prof. Dr. Hippmann
                                      Wirtschaftsmathematik
       Serie M46                                  Analysis: Grundlagen

Aufgabe 9            Gegeben sei die Kostenfunktion

                     K(x) = 2x3 - 27x2 + 45x + 65 .

15 Punkte            a) Wie viel Stück müssen bei einem gegebenen Marktpreis von 585.-
                        EURO innerhalb einer bestimmten Periode abgesetzt werden, wenn
                        ein maximaler Gewinn erzielt werden soll ?
5 Punkte             b) Wie hoch ist (in diesem theoretischen Fall) die Preiselastizität der
                     Nachfrage ?

Aufgabe 1) Gegeben ist die Erlösfunktion E(x) = -(x-4)2 + 16 .
  Bestimmen Sie die Preiselastizität der Nachfrage für eine abgesetzte Menge von x=6!

Aufgabe 2) Gegeben ist ein einfaches Modell für einen Monopolbetrieb :
Gesamtkostenkurve : K(x) = x3 - 2x2 + 8x + 5
Gesamterlöskurve : E(x) = -2x2 + 20x
Berechnen Sie die gewinnmaximale Menge und den gewinnmaximalen Preis !




Prof. Dr. Hippmann
                                        Wirtschaftsmathematik
       Serie M47                                     Analysis: Spezialitäten


Aufgabe 10           a) Integrieren Sie :
                                                         Error!   =
3 Punkte
                     b) Bestimmen Sie das Integral :
3 Punkte                                       2;1
                                                4; (x2 - 1) dx =
                                                
                                                0

                     c) Bestimmen Sie das Integral und stellen sie das Ergebnis graphisch
9 Punkte             dar
                        (Skizze) :
= 15 Punkte                                               Error!



Aufgabe 11           Berechnen Sie das Maximum der Funktion f(x,y) unter der angegebenen
                     Nebenbedingung !

                     Maximiere:             f(x,y) = 4 x + 12 y

15 Punkte            Nebenbedingung : x² + 2y² = 22


Aufhabe 7 a) Bestimmen Sie diejenigen Werte x1 und x2, für die die Funktion
                                                          2         2
                      y = 4 x1 + 0,5 x2 + 3,33 x1 x2 -2 x1 - 1,5 x2
ein Optimum aufweist !
b) Handelt es sich um ein Minimum oder Maximum?



                                           5
Aufgabe 8 a) Bestimmen Sie das Integral  4  0,5x dx !
                                            5
b) Skizzieren Sie die vom Integral beschriebene Fläche in einem Diagramm!



Aufgabe 12           Berechnen Sie die Summen :
                     Error!= Error! = Error! Error!




Prof. Dr. Hippmann
                     Wirtschaftsmathematik
       Serie M48          Analysis Anwendung: Wachstum




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                                           Wirtschaftsmathematik
       Serie M49                           Analysis Anwendung: Zinseszinsrechnung

Aufgabe 1             Ein Kapital wird 4 Jahre lang mit 6% p.a. und weitere 3 Jahre lang mit
                      6,5% p.a. verzinst. Welcher gleichbleibende Zinssatz erbringt bei 7-
10 Punkte             jähriger Verzinsung das gleiche Endkapital ?


Aufgabe 2             Auf welchen Betrag wächst ein Kapital von 2000 EURO bei stetiger
                      Verzinsung mit 5% in 10 Jahren an ? Wie hoch ist der effektive
10 Punkte             Jahreszins ?


Aufgabe 6 Ein Guthaben von 10000 EURO wird monatlich verzinst. Der nominale Jahreszins beträgt 4%.
  Welchen Wert hat das Guthaben nach 10 Jahren ? Wie hoch ist der effektive Jahreszins ?

Aufgabe 3
Der Finanzierungsvorschlag sieht drei Jahre lang nachschüssige monatliche Raten in Höhe von 100.- Euro
vor. Der Nominalzinssatz beträgt 6%.
Berechnen Sie den Gesamtwert der Finanzierung zum Zeitpunkt der letzten Rate!
 Welcher Gesamtwert ergibt sich, wenn im ersten Jahr 5 Prozent, im zweiten Jahr 6 Prozent und im dritten
Jahr 7 Prozent verrechnet werden?
 Welcher Gesamtwert ergibt sich, wenn im ersten Jahr 7 Prozent, im zweiten Jahr 6 Prozent und im dritten
Jahr 5 Prozent verrechnet werden?
 Welcher Gesamtwert ergibt sich, wenn im ersten Jahr 4 Prozent, im zweiten Jahr 6 Prozent und im dritten
Jahr 8 Prozent verrechnet werden?
 Welcher Gesamtwert ergibt sich, wenn im ersten Jahr 8 Prozent, im zweiten Jahr 6 Prozent und im dritten
Jahr 4 Prozent verrechnet werden?


Aufgabe 5             Am 1.1 2010 erwarten Sie eine Erbschaft in Höhe von 50.000 DM. Allerdings
                      möchten Sie schon ab dem 1.1.1996 über das Geld verfügen. Ab diesem
                      Zeitpunkt sollen jeweils jährlich-vorschüssig auf eine Dauer von fünf Jahren
                      gleich hohe Beträge auf Ihr Konto fließen. Sie einigen sich mit ihrer Bank auf
20 Punkte             einen Zinssatz von 12 Prozent. Wie hoch ist dann der Betrag, der Ihnen jeweils
                      jährlich zukommt?


1.1.96 97            98   99    2000   1        2     3      4       5       6      7       8       9
R     R            R   R    R                                                                   50000
                                                                                                        

K0 = 50000 * 1/1,1214 = 50000*0,205 = 10230,99 (1.1.96)
                                  4
S0 = R * (1,125 - 1)/0,12 * 1/1,12 = 10230,99 (Faktor = 4,037)

R = 10230,99 *1/4,037 = 10230,99 * 0,248 = 2534,09




Prof. Dr. Hippmann
Aufgabe 6             Berechnen Sie, welche der beiden Investitionen bei einem Zinssatz von 10
                      Prozent günstiger ist! Stellen Sie zu diesem Zweck einen Gewinnvergleich zum
                      1.1.1996 an!
                             Investition
                             A:       Kosten:           2000.- DM zum 1.1.1996
                                                        500.-DM jeweils zum 1.1. von 1997 bis 2000

                                      Erlöse:           1000.- DM jeweils zum 31.12.von 1996 bis 2000
                                                        500.- DM jeweils zum 31.12. von 2001 bis 2005

                             B:       Kosten            2500.- zum 1.1.1996

                                      Erlöse:           750.- DM jeweils zum 31.12. von 1996 bis 2005

                             (Anmerkung: Die Formulierung „bis 19..“ schließt das Jahr mit ein !)
20 Punkte

A

1.1.96                                      1.1.2000
-2000   -500          -500        -500       -500

           1000       1000        1000       1000       1000      500       500       500           500   500

K-E=G
-2000      500        500         500        500        500+500   500       500       500           500   500

G(A)      = -2000 + 500*(1,110-1)/0,10 * 1/1,110 + 500 * 1/1,15

          = -2000 + 500 * 15,937*0,386 + 310,48

          = -2000 + 3072,28 + 310,46 = 1382,74

1.1.96                                      1.1.2000
-2500

           750        750         750        750        750       750       750       750           750   750



G(B)      = -2500 + 750 * (1,110-1)/0,10 * 1/1,110

          = -2500 + 4608,43

          = 2108,43          günstiger als A !

Aufgabe 7             Ein Anleger legt 10000.- DM bei einem Nominalzinssatz von 15% p.a. an. Die
                      Verzinsung erfolgt unterjährig jeweils am Anfang eines jeden ungeraden
                      Monats.
5                     a) Wie hoch ist die effektive Verzinsung?
5                     b) Auf welchen Betrag ist das Ausgangskapital nach 5 Jahren angewachsen?
= 10 Punkte




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                     i nom = 0,15

                     i u = 0,15/6 = 0,025

                     (a) i eff = (1+ i u)6 -1 = (1 + 0,025)6 -1 = 0,1597 = 15,97%

                     (b) Kn = 10000 * 1,025 6*5 = 20975,68




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                                        Wirtschaftsmathematik
       Serie M50                            Analysis Anwendung: Rentenrechnung

Aufgabe 3            Eine Rate in Höhe von 3000.-EURO wird 8 Jahre lang vorschüssig
                     eingezahlt. Welche Rente kann vom Beginn des 10. Jahres an 6 Jahre
15 Punkte            lang vorschüssig gezahlt werden, wenn mit 5% p.a. verzinst wird ?


Aufgabe 4            Eine Rente R = 1300.-EURO wird 12 Jahre lang vorschüssig eingezahlt.
                     Der Zinssatz beträgt zunächst 5% p.a., nach 3 Jahren fällt er auf 4% p.a.
                     und vier Jahre später steigt er auf 6% p.a. . Welche Summe ist am Ende
15 Punkte            des 12. Jahres vorhanden ?

Aufgabe 5 Ab dem Jahr 1975 wurden auf ein Konto 20 Jahre lang jeweils am 31.12. des Jahres
  1000.- EURO eingezahlt. In den Jahren 1980 bis einschließlich 1989 wurden Überweisungen
  bzw. Auszahlungen (auch jeweils zum 31.12.) von jeweils 250 EURO getätigt. Wie hoch ist der
  Kontostand am 1.1.2000 bei einem Zinssatz von 5% p.a.?

       Aufgabe 6
       Sie zahlen einen Kredit zurück, der Sie nominal 6% Kreditzinsen p.a. kostet. Die vorschüssigen
       monatlichen Raten betragen 250 Euro.
       Wie hoch ist der effektive Jahreszins?
       Welcher einmalig am Ende eines jeden Jahres zu zahlende Betrag könnte die 12 Monatsraten
          ersetzen, sodass die Bank nicht schlechter und nicht besser gestellt wird?

       Sie zahlen einen Kredit zurück, der Sie nominal 12% Kreditzinsen p.a. kostet. Die vorschüssigen
          monatlichen Raten betragen 242 Euro.
       Wie hoch ist der effektive Jahreszins?
       Welcher einmalig am Ende eines jeden Jahres zu zahlende Betrag könnte die 12 Monatsraten
          ersetzen, sodass die Bank nicht schlechter und nicht besser gestellt wird?

       Sie zahlen einen Kredit zurück, der Sie nominal 18% Kreditzinsen p.a. kostet. Die vorschüssigen
          monatlichen Raten betragen 234 Euro.
       Wie hoch ist der effektive Jahreszins?
       Welcher einmalig am Ende eines jeden Jahres zu zahlende Betrag könnte die 12 Monatsraten
          ersetzen, sodass die Bank nicht schlechter und nicht besser gestellt wird?




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Aufgabe eins
Die Funktion stellt die Preisentwicklung in Abhängigkeit vom Alter dar. Mit steigendem
Alter des Kfz sinkt dessen Preis, und zwar mit jedem Jahr sinkt der Preis um rund zwölf
Prozent. Der Startwert für diesen Prozess liegt bei rund zweiundvierzig tausend Euro.
Technisch gesehen stellen die den die rund null 0,82 den Wachstumsfaktor dar.
Vermindert um eins die Wachstumsrate.

Aufgabe zwei
diese Funktion stellt ebenfalls die Preisentwicklung in Abhängigkeit vom Alter dar. Mit
steigendem Alter des Kfz sinkt der Preis jährlich um fast sieben hundert Euro. Startwert
sind diesmal rund neuneinhalb tausend Euro. Eine Skizze ergibt eine lineare Funktion mit
den Schnittpunkten neuneinhalb an der senkrechten Achse und einen zweiten
Schnittpunkt an der waagerechten Achse. Diesen erhält man, indem man den Preis in der
Funktion null setzt und die Funktion nach A. auflöst..

Aufgabe drei
Die Funktion stellt die Zinseszins Funktion dar. 1,1 ist der Wachstumsfaktor des Geldes,
kurz Zinsfaktor genannt, um Eins vermindert ist es die Wachstumsrate des Geldes, kurz
Zinssatz genannt. Die Eintausend Stellen den Startwert dar. Die Funktion entspricht von
der Struktur her der Funktion in Aufgabe eins.

Aufgabe vier
mit zunehmendem Preis P sinkt die nachgefragte Menge X. Pro Euro geht die Menge um
zwei Einheiten zurück. Trägt man die Koordinaten für einen Punkt auf der Funktion
mithilfe von Hilfslinien ein, und skizziert man das durch die beiden Achsen und die
Hilfslinien entstehende Rechteck, so stellt dieses Rechteck mit seiner Fläche den Umsatz
U=XP dar. Punkte am Rande der Geraten ergeben eine kleinere Fläche, Punkte in der
Mitte eine größere Fläche. Führt man Preissenkungen durch, so führen sie am rechten
Rand der Geraden zu einer Zunahme der Fläche, der Umsatz steigt, und am linken Rand
zu einer Abnahme der Fläche, der Umsatz geht zurück.

Das lässt sich folgendermaßen erklären: senkt man den Preis am rechten Rand, der
Ausgangspreis liegt auf hohem Niveau, so sinkt dieser Preis prozentual sehr wenig, die
Menge steigt dagegen prozentual sehr stark, denn diese wiederum lag in der
Ausgangssituation auf sehr geringen Niveau. Ein relativ geringer Preisrückgang ergibt in
Verbindung mit einem relativ starken Mengenanstieg eine Umsatzsteigerung.
Befindet man sich dagegen im linken Teil der Funktion, resultiert aus einem hohen
prozentualen Preisrückgang in Verbindung mit einem geringen prozentualen
Mengenanstieg insgesamt einen Umsatzrückgang.

Aufgabe fünf
Dieser zuletzt dargestellte Sachverhalt wird durch die in dieser Aufgabe gegebene Umsatz
Funktion beschrieben. Dieser ist zusammen mit den Ausführungen der Aufgabe vier
Gegenstand des Punktes Analysis im weiteren Verlauf der Vorlesung.




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Musterlösung zur Aufgabe eins.
               x1       x2              x3
                1        1               1                         2
                0        2               2                         2
                2        0               1                         4

                       1   -0,5          0                          1       =x1
                       2   -0,5         -1                         -1       =x2
                      -2      1          1                          2       =x3


Der rote Bereich sagt die Aufgabenstellung.
Der grüne Bereich zeigt die Lösungen.
Der Bereich links unten zeigt die inverse Matrix.

Musterlösung zur Aufgabe zwei.

                      2       4                          30
                      4      -2                          20

                     0,1    0,2                           7
                     0,2   -0,1                           4


Musterlösung zu Aufgabe drei
                x1      x2               x3
               0,2    -0,1                0                       0,1
              -0,2     0,1              0,1                       0,2
               0,1     0,2             -0,1                       0,5

                      6      2           2                         2        =x1
                      2      4           4                         3        =x2
                     10     10           0                         3        =x3




Aufgabe 5             Lösen Sie das gegebene lineare Gleichungssystem nach einem
                                *)
                      beliebigen Verfahren !
20 Punkte

                               2 x1           -1 x2                       =9
                               -1 x1          +2 x2       -1 x3           = -9
                                              -1 x2       +2 x3   -1 x4   =0
                                                          -1 x3   +2 x4   = 11

*) ... aber zielstrebig bzw. nach klarer Strategie !

                                  L = (4 , -1 , 3 , 7)




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Aufgabe 1            a) Bestimmen Sie das Produkt AB der beiden Matrizen A und B !
                                                                 7 2
                                              3 2 1               
                                          A=               B=  1 6
                                             1 5 4                  
                                                                 3 5
                     b) Lösen Sie die folgende Matrizengleichung nach x auf !
                        (A, B und C sind zum Vektor x passende quadratische Matrizen)

                                                              Ax + x = B + Cx

                              26 1
                     a) AB         
                              10 12

                     b) Ax +Ex -Cx = B
                        (A+E-C)x = B
                                 x = (A+E-C)-1 B

Aufgabe 2            Bestimmen Sie die Inverse zu Matrix C !

                                                                   1 1 2
                                                                         
                                                              C =  1 1 1
                                                                         
                                                                   2 4 5

                                                             0,5 1,5 0,5
                                                                          
                                                        C =  1,5 0,5 0,5 
                                                         -1

                                                                          
                                                             1 1      0 


Aufg 3                                           3 x1     + 2 x2        = 40
                                                   x1     - 5 x2       = -15

                                               5/17      2/17
                                  -1
                              A        =
                                               1/17      -3/17

                                           0,2941       0,1176
                                  -1
                              A        =
                                           0,0588       -0,1765
                             -1
                        x=A b                        L = ( 10, 5)




Prof. Dr. Hippmann
                         Wirtschaftsmathematik
  LÖWE M44 (M54)     Lineare Algebra: Anwendung = Input-Output-Analysen




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                                          Wirtschaftsmathematik
  LÖWE M45 (M55)                   Lineare Algebra: Anwendung = Lineare Programmierung


Aufgabe 4            Zwei Erzeugnisse werden auf drei Maschinen gemäß folgender Tabelle
                     bearbeitet:

                                           Maschine 1      Maschine 2     Maschine 3
                     Erzeugnis 1           16 Minuten      12 Minuten     4 Minuten
                     Erzeugnis 2           8 Minuten       16 Minuten     24 Minuten

                     Der Verkaufspreis beträgt 10 DM für das Erzeugnis 1 und 25 DM für das
                     Erzeugnis 2. Ihre Aufgabe ist es, die Produktionszahlen (= Mengen x1
                     und x2) bei einer wöchentlichen Arbeitszeit von 40 Stunden
                     (=2400 Minuten je Maschine) so zu wählen, dass der Erlös maximal wird.
5 Punkte             a) Stellen Sie die Zielfunktion mit den Nebenbedingungen auf!
20 Punkte            b) Lösen Sie das Optimierungsproblem graphisch!
20 Punkte            c) Lösen Sie das Problem mit Hilfe der Simplexmethode!
= 45 Punkte

       E=      10 x1 +     25 x2      Max. !

               16 x1 +      8 x2       2400
               12 x1 +     16 x2       2400
                4 x1 +     24 x2       2400
                                   x1, x2  0




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                     x1      x2      s1     s2       s3    G       b    b/BK


                     16       8      1                          2400     300
                     12      16              1                  2400     150
                      4      24                       1         2400     100
                     -10    -25                            1       0




                     x1      x2      s1     s2       s3    G       b    b/BK



             14,66667         0      1       0 -0,33333    0    1600 109,0909

             9,333333         0      0       1 -0,66667    0     800 85,71429

             0,166667         1      0       0 0,041667    0     100     600

              -5,83333        0      0       0 1,041667    1    2500




                     x1      x2      s1     s2       s3    G       b    b/BK



                      0       0      1 -1,57143 0,714286   0 342,8571

                      1       0      0 0,107143 -0,07143   0 85,71429

                      0       1      0 -0,01786 0,053571   0 85,71429

                      0       0      0    0,625    0,625   1    3000


x1 = 86
x2 = 86
s1 = 343 freie Kapazitäten
s2, s3 = 0 Kapazitäten ausgelastet
Emax = 3000




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                                       Wirtschaftsmathematik
  LÖWE M46 (M56)                                   Analysis: Grundlagen

Aufgabe 9            Gegeben sei die Kostenfunktion

                     K(x) = 2x3 - 27x2 + 45x + 65 .

15 Punkte            a) Wie viel Stück müssen bei einem Marktpreis von 585.- EURO
                     innerhalb einer bestimmten Periode abgesetzt werden, wenn ein
                     maximaler Gewinn erzielt werden soll ?
5 Punkte             b) Wie hoch ist die Preiselastizität der Nachfrage ?

= 20 Punkte
                     a) G = E - K = 585x-2x3 + 27x2 - 45x - 65
                     G = -2x3 + 27x2 + 540 x -65
                     G' = -6x2 + 54x + 540
                     x1 = 15 ; x2 = -6

                     b) E = px = 585x
                     E/x = p = 585
                       = dx/dp * p/x = oder 1/(dp/dx * p/x)
                     dp/dx = 0 ! s.o.

                     deshalb : die Reaktion ist unendlich elastisch ! (theoretischer Grenzfall)




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                                        Wirtschaftsmathematik
  LÖWE M47 (M57)                                     Analysis: Spezialitäten

Aufgabe 10           a) Integrieren Sie :
                                                          Error!
5 Punkte
                     b) Bestimmen Sie das Integral und stellen sie das Ergebnis graphisch
10 Punkte            dar (Skizze) :
                                               2;1
                                                4; (x2 - 1) dx
                                                
                                                0
                     c) Bestimmen Sie das Integral und stellen sie das Ergebnis graphisch
= 15 Punkte          dar
                        (Skizze) :
                                                          Error!
                     a) 1/4 x4 - 4/3 x3 + 2x +c
                     b) -0,485-(-0,197) = -0,2880
                     c) 0 - 1,5 = -1,5




Aufgabe 11           Berechnen Sie das Extremum der Funktion f(x,y) unter der angegebenen
                     Nebenbedingung !

                     Maximiere:             f(x,y) = 4 x + 12 y

15 Punkte            Nebenbedingung : x² + 2y² = 22

                     g(x,y,) = 4 x + 12 y - (x² + 2y² - 22)

                     dg/dx = 4 - 2x = 0
                     dg/dy = 12 - 4y = 0
                     dg/d = -x² -2y² +22 = 0

                     Lösung : x = 2 , y=3 , = 1

                     fmax = 44




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                     Wirtschaftsmathematik
  LÖWE M48 (M58)          Analysis Anwendung: Wachstum




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                                                Wirtschaftsmathematik
    LÖWE M49 (M59)                                Analysis Anwendung: Zinseszinsrechnung

Aufgabe 1             Ein Kapital wird 4 Jahre lang mit 6% p.a. und weitere 3 Jahre lang mit
                      6,5% p.a. verzinst. Welcher gleichbleibende Zinssatz erbringt bei 7-
10 Punkte             jähriger Verzinsung das gleiche Endkapital ?

                      q=7. Wurzel (1,064 1,0653) = 1,062 i = 6,214 %


Aufgabe 2             a) Auf welchen Betrag wächst ein Kapital von 2000 EURO bei stetiger
                      Verzinsung mit 5% in 10 Jahren an ? b) Wie hoch ist der effektive
10 Punkte             Jahreszins ?
                                                0,05*10
                      a) K10 = 2000 * e             = 3297,44 EURO
                                 i stet
                      b)ieff = e        - 1 = 0,05127 = 5,13 %


            Der Finanzierungsvorschlag sieht drei Jahre lang nachschüssige monatliche Raten in Höhe
3           von 100.- Euro vor. Der Nominalzinssatz beträgt 6%.
310          Berechnen Sie den Gesamtwert der Finanzierung zum Zeitpunkt der letzten Rate!             3934
321          Welcher Gesamtwert ergibt sich, wenn im ersten Jahr 5 Prozent, im zweiten Jahr 6          3966
            Prozent und im dritten Jahr 7 Prozent verrechnet werden?
322          Welcher Gesamtwert ergibt sich, wenn im ersten Jahr 7 Prozent, im zweiten Jahr 6          3901
            Prozent und im dritten Jahr 5 Prozent verrechnet werden?
323          Welcher Gesamtwert ergibt sich, wenn im ersten Jahr 4 Prozent, im zweiten Jahr 6          3999
            Prozent und im dritten Jahr 8 Prozent verrechnet werden?
324          Welcher Gesamtwert ergibt sich, wenn im ersten Jahr 8 Prozent, im zweiten Jahr 6          3869
            Prozent und im dritten Jahr 4 Prozent verrechnet werden?

            Sie zahlen einen Kredit zurück, der Sie nominal 6% Kreditzinsen p.a. kostet. Die
4           vorschüssigen monatlichen Raten betragen 250 Euro.
411          Wie hoch ist der effektive Jahreszins?                                                   6,17%
421         Welcher einmalig am Ende eines jeden Jahres zu zahlende Betrag könnte die 12
                                                                                                      3099,31
            Monatsraten ersetzen, sodass die Bank nicht schlechter und nicht besser gestellt wird?
            Sie zahlen einen Kredit zurück, der Sie nominal 12% Kreditzinsen p.a. kostet. Die
4           vorschüssigen monatlichen Raten betragen 242 Euro.
412          Wie hoch ist der effektive Jahreszins?                                                   6,17%
422         Welcher einmalig am Ende eines jeden Jahres zu zahlende Betrag könnte die 12
                                                                                                      3099,86
            Monatsraten ersetzen, sodass die Bank nicht schlechter und nicht besser gestellt wird?
            Sie zahlen einen Kredit zurück, der Sie nominal 18% Kreditzinsen p.a. kostet. Die
4           vorschüssigen monatlichen Raten betragen 234 Euro.
413          Wie hoch ist der effektive Jahreszins?                                                   6,17%
423         Welcher einmalig am Ende eines jeden Jahres zu zahlende Betrag könnte die 12
                                                                                                      3097,42
            Monatsraten ersetzen, sodass die Bank nicht schlechter und nicht besser gestellt wird?




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                                                Wirtschaftsmathematik
  LÖWE M50 (M60)                                  Analysis Anwendung: Rentenrechnung



Aufgabe 3                 Eine Rate in Höhe von 3000.-EURO wird 8 Jahre lang vorschüssig
                          eingezahlt. Welche Rente kann vom Beginn des 10. Jahres an 6 Jahre
15 Punkte                 lang vorschüssig gezahlt werden, wenn mit 5% p.a. verzinst wird ?

                          R = 10,0266/5,0757 * 3000 = 5926,24

1.    2.    3.       4.     5.   6.   7.   8.     9.   10.
                                                       1.    2.     3.       4.   5.       6.
3000 3000 3000 3000 3000 3000 3000 3000                x     X      x        x    x        x

Lösungsvorschlag:

                                                                         8
Vorschüssige Zahlungsweise :                       S9 = 3000 * ((1,05 -1)/(0,05) * 1,05 = 3000 * 10,0266 =
30079,693

Barwert einer Summe, nachschüssige Zahlungsweise:
                                                                             6                        6
                                                   30075,69 = x * ((1,05 -1)/0,05) * (1/1,05 ) = x * 5,0757
oder :

1 x Aufzinsung :                                                  S10 = S9 * 1,05 = 31583,677

                                                                                          6                      5
Barwert einer Summe, vorschüssige Zahlungsweise:             31583,68 = x * ((1,05            -1)/0,05) * 1/(1,05 )

                                                                                  6                   6
gesuchte Rate x bzw. Rente :                           x = 30075,69 * 1,05            * 0,05/((1,05       - 1) = 5926 EURO




Aufgabe 4                 Eine Rente R = 1300.-EURO wird 12 Jahre lang vorschüssig eingezahlt.
                          Der Zinssatz beträgt zunächst 5% p.a., nach 3 Jahren fällt er auf 4% p.a.
                          und vier Jahre später steigt er auf 6% p.a. . Welche Summe ist am
15 Punkte                 Ende des 12. Jahres vorhanden ?

                          K=1300((3,3101*1,16986+4,4163)*1,33823+5,9753))=22187,65 EURO




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Aufgabe 5             Am 1.1 2010 erwarten Sie eine Erbschaft in Höhe von 50.000 DM. Allerdings
                      möchten Sie schon ab dem 1.1.1996 über das Geld verfügen. Ab diesem
                      Zeitpunkt sollen jeweils jährlich-vorschüssig auf eine Dauer von fünf Jahren
                      gleich hohe Beträge auf Ihr Konto fließen. Sie einigen sich mit ihrer Bank auf
20 Punkte             einen Zinssatz von 12 Prozent. Wie hoch ist dann der Betrag, der Ihnen jeweils
                      jährlich zukommt?


1.1.96 97            98   99    2000   1      2      3      4      5      6      7      8      9
R     R            R   R    R                                                              50000
                                                                                                   

K0 = 50000 * 1/1,1214 = 50000*0,205 = 10230,99 (1.1.96)
                                  4
S0 = R * (1,125 - 1)/0,12 * 1/1,12 = 10230,99 (Faktor = 4,037)

R = 10230,99 *1/4,037 = 10230,99 * 0,248 = 2534,09




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Aufgabe 6             Berechnen Sie, welche der beiden Investitionen bei einem Zinssatz von 10
                      Prozent günstiger ist! Stellen Sie zu diesem Zweck einen Gewinnvergleich zum
                      1.1.1996 an!
                             Investition
                             A:       Kosten:           2000.- DM zum 1.1.1996
                                                        500.-DM jeweils zum 1.1. von 1997 bis 2000

                                      Erlöse:           1000.- DM jeweils zum 31.12.von 1996 bis 2000
                                                        500.- DM jeweils zum 31.12. von 2001 bis 2005

                             B:       Kosten            2500.- zum 1.1.1996

                                      Erlöse:           750.- DM jeweils zum 31.12. von 1996 bis 2005

                             (Anmerkung: Die Formulierung „bis 19..“ schließt das Jahr mit ein !)
20 Punkte

A

1.1.96                                      1.1.2000
-2000   -500          -500        -500       -500

           1000       1000        1000       1000       1000      500       500       500           500   500

K-E=G
-2000      500        500         500        500        500+500   500       500       500           500   500

G(A)      = -2000 + 500*(1,110-1)/0,10 * 1/1,110 + 500 * 1/1,15

          = -2000 + 500 * 15,937*0,386 + 310,48

          = -2000 + 3072,28 + 310,46 = 1382,74

1.1.96                                      1.1.2000
-2500

           750        750         750        750        750       750       750       750           750   750



G(B)      = -2500 + 750 * (1,110-1)/0,10 * 1/1,110

          = -2500 + 4608,43

          = 2108,43          günstiger als A !

Aufgabe 7             Ein Anleger legt 10000.- DM bei einem Nominalzinssatz von 15% p.a. an. Die
                      Verzinsung erfolgt unterjährig jeweils am Anfang eines jeden ungeraden
                      Monats.
5                     a) Wie hoch ist die effektive Verzinsung?
5                     b) Auf welchen Betrag ist das Ausgangskapital nach 5 Jahren angewachsen?
= 10 Punkte




Prof. Dr. Hippmann
                     i nom = 0,15

                     i u = 0,15/6 = 0,025

                     (a) i eff = (1+ i u)6 -1 = (1 + 0,025)6 -1 = 0,1597 = 15,97%

                     (b) Kn = 10000 * 1,025 6*5 = 20975,68




Prof. Dr. Hippmann