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Statistik bungsaufgaben

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Statistik I: Ubungsaufgaben

             Martin Spiess

                           u
 Internationales Institut f¨r Management
                    a
           Universit¨t Flensburg

       Wintersemester 2007/2008


           15. Februar 2008




                                           1 / 87
Aufgabe 1.1


   Eine Umfrage ergab folgende Einkommensangaben (in TSD Euro):

     i     1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
    xi    15 36 24 12 75 63 19 21 43 16


           10
     1.    i=1 xi = 324
           10
     2.    i=6 (5 + xi ) = 187
           10
     3.    i=1 2xi = 648
           5             2
     4.    i=2 (4 − 3xi ) = 65305




                                                                  2 / 87
Aufgabe 1.2



   I.) Welches Skalenniveau weisen die folgenden Merkmale auf:
                       a
   a) Tachostand: Verh¨ltnisskala, b) Schulnote: Ordinalskala, c) Uhrzeit: Intervallskala,
                    a                                                         a
   d) Gewicht: Verh¨ltnisskala, e) Tabellenplatz: Ordinalskala, f) Alter: Verh¨ltnisskala,
                                                                                  u
   g) Familienstand: Nominalskala, h) Getreidesorte: Nominalskala, i) Handygeb¨hren:
        a
   Verh¨ltnisskala.

   II.) Welche Merkmale sind diskret, welche stetig:
   a) Wasserstandsanzeige: stetig, b) Anzahl Vereinsmitglieder: diskret, c)
                                               u
   Kraftstoffverbrauch: stetig, d) Ausschussst¨cke pro Tag: diskret, e) Weinkonsum (in l):
   stetig, f) Weinkonsum (in Fl.): diskret, g) Einwohner: diskret, h) Tage bis zur
      u
   Pr¨fung: diskret.




                                                                                             3 / 87
Aufgabe 1.2 (Forts.)




     III.) Ordnen Sie die folgenden Merkmale den Skalierungen nominal-, ordinalskaliert,
     metrisch und Merkmalstypen (stetig, diskret) zu:
     a) Einkommen: stetig, metrisch, b) Haarfarbe: diskret, nominal, c) Alter:
                                   o      o
     stetig/diskret, metrisch, d) K¨rpergr¨ße: stetig, metrisch, e) Geschlecht: diskret,
     nominal, f) Beruf: diskret, nominal, g) Schultypen: diskret, nominal/ordinal, h) Anzahl
     an Kindern in Schulklassen: diskret, metrisch, i) Raucher/Nichtraucher: diskret,
     nominal, j) Altersklassen: diskret, metrisch.




                                                                                               4 / 87
Aufgabe 1.3

                            a
   Die folgende Tabelle enth¨lt die Sitzverteilung des 15. Deutschen Bundestages nach
   der Bundestagswahl 2002.



                      i   Partei     Anzahl der Sitze fi   Anteile pi
                      1   SPD               251             0.416
                      2   CDU               190             0.315
                      3   CSU                58             0.096
                      4      ¨
                          GRUNE              55             0.091
                      5   FDP                47             0.078
                      6   PDS                 2             0.003



                                            a
   Stellen Sie die absoluten und relativen H¨ufigkeiten des Merkmals
                o
    Parteizugeh¨rigkeit“ tabellarisch und graphisch dar.
   ”
    o                             a
   L¨sung: Absolute und relative H¨ufigkeiten s.o. Auf die graphische Darstellung wird
   verzichtet.




                                                                                        5 / 87
Aufgabe 1.4
              a                                                o                      a
   Eine Großb¨ckerei besitzt 20 Filialen unterschiedlicher Gr¨ße: 7 Filialen besch¨ftigen je
   7 Mitarbeiter, 6 Filialen je 5 Mitarbeiter, 4 Filialen je 8 Mitarbeiter, 2 Filialen je 4
   Mitarbeiter und 1 Filiale 11 Mitarbeiter.

                                                  a
     a) Stellen Sie die Verteilung der relativen H¨ufigkeiten des Merkmals
         Mitarbeiterzahl“ grafisch dar.
        ”
                                        a
     a) Ermitteln Sie die kumulierte H¨ufigkeitsverteilung und stellen Sie diese
        tabellarisch und grafisch dar.
                                           a
     c) Wie viel Prozent der Filialen besch¨ftigen zwischen 6 und 10 Mitarbeiter ?
        Bestimmen Sie das Ergebnis mit Hilfe der empirischen Verteilungsfunktion.

    o
   L¨sung:

                                 i    ai    fi    pi      Fi
                                 1     4    2     0.1     0.1
                                 2     5    6     0.3     0.4
                                 3     7    7    0.35    0.75
                                 4     8    4     0.2    0.95
                                 5    11    1    0.05      1

   Auf die graphische Darstellung (Stab- oder Balkendiagramm bzw. kum. Hfgkeitsvtlg.)
   wird verzichtet.
   Zu c): 0.55 (6 und 11 je ausschl.).
                                                                                               6 / 87
Aufgabe 1.5
   Der Besitzer eines kleinen Kinos macht sich Gedanken uber die Wirtschaftlichkeit
                                                        ¨
                                  a
   seines Hauses. An 100 Tagen z¨hlt er die Zuschauer. Folgende Zahlen liegen ihm nun
   vor:


                      xi   41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51
                      fi    1 9 13 13 20 15 10 7 5 4 3




                                     a
     a) Bestimmen Sie die relativen H¨ufigkeiten und die kumulierte
         a
        H¨ufigkeitsfunktion.
     b) Zur Existenzerhaltung reicht es aus, wenn an 90% der Tage mindestens 48
                                              ¨
        Besucher kommen. Hat das Kino eine Uberlebenschance ?
     c) Wie groß ist der Anteil der Tage, an denen der Kinobesitzer weniger als 270
        Euro einnimmt (Eintrittspreis: 6 Euro) ?
     d) An wie viel Prozent der Tage kommen maximal 50, mindestens aber 45
        Besucher in das Kino ?




                                                                                        7 / 87
Aufgabe 1.5 (Forts.)

      o
     L¨sung:

                                i     ai   fi     pi     Fi
                                1     41    1    0.01   0.01
                                2     42    9    0.09    0.1
                                3     43   13    0.13   0.23
                                4     44   13    0.13   0.36
                                5     45   20    0.20   0.56
                                6     46   15    0.15   0.71
                                7     47   10     0.1   0.81
                                8     48    7    0.07   0.88
                                9     49    5    0.05   0.93
                                10    50    4    0.04   0.97
                                11    51    3    0.03     1


       a) Siehe Tabelle.
                                                        ¨
       b) Mind. 48 Besucher, nur an 19% der Tage; keine Uberlebenschance.
        c) 270/6 = 45, d.h. Anteil an Tagen mit Einnahmen unter 270 Euro ist 0.36.
       d) ≈ 0.61



                                                                                     8 / 87
Aufgabe 1.6

               a                               a
   Die 50 Besch¨ftigten eines Betriebes haben w¨hrend eines bestimmten Zeitraums
            ¨
   folgende Uberstunden geleistet:

   40, 32, 4, 18, 30, 46, 10, 10, 28, 20, 36, 44, 24, 42, 6, 2, 34, 34, 8, 26, 8, 14, 22, 40,
   38, 34, 32, 24, 36, 18, 16, 26, 16, 34, 46, 20, 26, 36, 44, 26, 42, 4, 26, 44, 12, 42, 36,
   14, 16, 32


                                                 a                        o
     a) Stellen Sie aus diesen Angaben eine H¨ufigkeitsverteilung in den Gr¨ßenklassen
        [0, 15), [15, 25), [25, 40) und [40, 50) auf.
                                   a
     b) Stellen Sie die relativen H¨ufigkeiten sinnvoll graphisch dar.

                                          a
     c) Bestimmen Sie den Anteil der Besch¨ftigten, die
                o
         c.1) h¨chstens 25
         c.2) mindestens 25
         c.3) von 15 bis unter 40
         ¨
         Uberstunden gemacht haben.




                                                                                                9 / 87
Aufgabe 1.6 (Forts.)



      o
     L¨sung:

                              i   Klassen    fi    pi     Fi
                              1    [0, 15)   11   0.22   0.22
                              2   [15, 25)   10    0.2   0.42
                              3   [25, 40)   19   0.38    0.8
                              4   [40, 50)   10    0.2     1


       a) Siehe Tabelle.
       b) Auf die graphische Darstellung (Histogramm) wird verzichtet. Zu beachten:
          Unterschiedliche Klassenbreiten!
        c)
             c.1) 0.42
             c.2) 0.58
             c.3) 0.58




                                                                                      10 / 87
Aufgabe 1.7


   Bei 15 Haushalten wurde die Zahl der Haushaltsmitglieder ermittelt. Es ergaben sich
   folgende Werte:

   3, 4, 1, 7, 2, 3, 4, 4, 5, 3, 2, 1, 2, 2, 10

                                             a
   Bestimmen Sie die absoluten und relative H¨ufigkeiten sowie die kumulierte
    a
   H¨ufigkeitsfunktion.
     a) Wie viele Haushalte haben mehr als 5 Mitglieder ?
                                                   o
     b) Wie groß ist der Anteil der Haushalte mit h¨chstens 4 Mitgliedern ?
     c) In wie viel Prozent der Haushalte leben zwischen 3 und 6 Menschen (jeweils
        einschließl.)?




                                                                                         11 / 87
Aufgabe 1.7 (Forts.)




      o
     L¨sung:

                                 i    ai    fi     pi       Fi
                                 1     1    2    0.13¯3   0.13¯3
                                 2     2    4    0.26¯6    0.4
                                 3     3    3     0.2      0.6
                                 4     4    3     0.2      0.8
                                 5     5    1    0.06¯6   0.86¯6
                                 6     7    1    0.06¯6   0.93¯3
                                 7    10    1    0.06¯6     1


       a) 2
       b) 0.8
        c) 0.46¯ (0.26¯ w¨re die richtige L¨sung bei: ausschließlich)
               6      6 a                  o




                                                                        12 / 87
Aufgabe 1.8
                                                   o
   Aus der folgenden Tabelle ist die Religionszugeh¨rigkeit (C: Christl. Religion, S:
                            o
   Sonstige) sowie die Zugeh¨rigkeit zu den Berufsgruppen A: Arbeiter/Angestellte, B:
   Beamte, F: Freiberufler ersichtlich:

    Person         1    2   3   4   5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
    Beruf          A    F   B   B   A A B F F F A B A A A
    Religion       C    S   S   C   C C C S C S C C S C C

    Person         16 17 18 19 20
    Beruf          A F B B A
    Religion       C S C C S
   Erstellen Sie eine Kontingenztabelle (Kreuztabelle) der Anteile.

    o
   L¨sung:
                              Religion
                           C            S
               A        7 (0.35)     2 (0.1)   9 (0.45)
    Beruf      B        5 (0.25)    1 (0.05)    6 (0.3)
               F        1 (0.05)     4 (0.2)   5 (0.25)
                       13 (0.65)    7 (0.35)    20 (1)



                                                                                        13 / 87
Aufgabe 1.9


                                 a                                    a
   In einer Stadt wurde eine M¨useart auf Krankheit untersucht. Die M¨use wurden in
   drei Klassen eingeteilt, je nachdem, wo sie gefangen wurden: Zentrum, Peripherie und
                                                  a
   Land. Von den insgesamt 60 untersuchten M¨usen waren 15 krank. Im Zentrum hat
             a
   man 8 M¨use gefangen und bei 5 davon die Krankheit nachgewiesen; in der Peripherie
                                                a
   waren hingegen von den 20 untersuchten M¨usen nur 2 krank. Stellen Sie die
   absoluten und relativen Anteile in einer Kreuztabelle dar.
    o
   L¨sung:
                     Zentrum     Peripherie     Land
       krank                ¯
                    5 (0.0833)   2 (0.03¯3)   8 (0.13¯3)   15 (0.25)
    nicht krank      3 (0.05)     18 (0.3)     24 (0.4)    45 (0.75)
                    8 (0.13¯
                           3)    20 (0.3¯
                                        3)    32 (0.5¯
                                                     3)     60 (1)




                                                                                          14 / 87
Aufgabe 1.10
   Erstellen Sie aus den folgenden Angaben einer Personalabteilung eine Kreuztabelle der
                             a
   absoluten und relativen H¨ufigkeiten.

    Mitarbeiter        1    2       3   4    5   6   7     8     9 10 11 12 13 14 15
    Steuerklasse       1    2       5   5    4   3   2     4     1 2 3 2 1 3 4
    Anz. Kinder        1    1       5   1    4   3   2     2     3 4 5 4 3 2 4

    Mitarbeiter        16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
    Steuerklasse        2 1 2 2 2 2 5 5 1 2 3 3 5 3 3
    Anz. Kinder         4 1 2 3 4 5 3 2 3 4 3 4 1 2 3
    o
   L¨sung:
                                            Steuerklasse
              1                 2                3               4           5
    1     2 (0.06¯6)       1 (0.03¯3)          0 (0)         0 (0)       2 (0.06¯6)   5 (0.166¯6)
    2       0 (0)          2 (0.06¯6)        2 (0.06¯6)    1 (0.03¯3)    1 (0.03¯3)     6 (0.2)
    3      3 (0.1)                 ¯
                           1 (0.033)          3 (0.1)        0 (0)       1 (0.03¯3)    8 (0.26¯
                                                                                              6)
    4       0 (0)                  ¯
                           5 (0.166)         1 (0.03¯3)    2 (0.06¯6)      0 (0)              ¯
                                                                                       8 (0.266)
    5       0 (0)                 ¯
                            1 (0.03)                 ¯
                                             1 (0.033)       0 (0)       1 (0.03¯3)    3 (0.1)
    6      5 (0.16¯
                  6)  10 (0.3¯
                             3)   7 (0.23¯3)                   3 (0.1)   5 (0.16¯
                                                                                6)      30 (1)
   Zeilen geben die Anzahl an Kindern an.

                                                                                                    15 / 87
Aufgabe 1.11


   20 Haushalte (H) wurden nach ihrem monatlichen Einkommen (x) und den
   monatlichen Konsumausgaben (y) befragt. Das Ergebnis lautete:

    H      1    2   3    4    5    6   7    8    9               10
    x     800 1200 1100 1480 1300 900 1000 1200 800              925
    y     700 820 930 1270 1160 840 620 970 680                  750

    H      11  12  13   14  15   16   17   18   19   20
    x    1150 870 1420 950 1350 1280 1040 1470 1220 1120
    y     870 870 1050 920 1250 1010 820 1310 1200 980

   Stellen Sie die Beobachtungswerte in einer Kreuztabelle dar. Verwenden Sie folgende
   Klassen: 500 bis unter 700, 700 bis unter 900, 900 bis unter 1100, 1100 bis unter
   1300, 1300 bis unter 1500.




                                                                                         16 / 87
Aufgabe 1.11




      o                     a
     L¨sung (nur absolute H¨ufigkeiten):
                                 Konsumausgaben y
                       [500,  [700,    [900, [1100,   [1300,
                       700)   900)    1100)  1300)    1500)
        [500, 700)      0       0       0        0      0      0
        [700, 900)      1       2       0        0      0      3
       [900, 1100)      1       3       1        0      0      5
      [1100, 1300)      0       2       4        1      0      7
      [1300, 1500)      0       0       1        3      1      5
     Zeilen geben die Einkommensklassen an (x)




                                                                   17 / 87
Aufgabe 2.1

                         a
   Gegeben sei folgende H¨ufigkeitsverteilung eines metrischen Merkmals X:
                  a
    Merkmalsauspr¨gung       -2   -1   0    1    2   3    4     5
          a
    Abs. H¨ufigkeit            1   1    2    3    5   8    7     3


                                  a
     a) Stellen Sie die relative H¨ufigkeitsfunktion grafisch dar.
                                                                u
     b) Berechnen Sie Modus, Median und arithmetisches Mittel. F¨gen Sie die drei
          o
        Gr¨ßen in die Zeichnung ein.


    u o
   F¨r L¨sung a): Die Verteilung ist unimodal und rechtsteil.

   F¨r L¨sung b): xMod = 3, x = 3 und x = 2.56¯
    u o                     ˜         ¯       6

   Auf die graphische Darstellung wird verzichtet.




                                                                                    18 / 87
Aufgabe 2.2

                                                                                    u
   Bei der Befragung der Studierenden aller Statistik-Veranstaltungen ergaben sich f¨r
                                                            a
   folgende Altersangaben die in der Tabelle angegebenen H¨ufigkeiten. Bestimmen Sie
    u
   f¨r diese Stichprobe die folgenden Maßzahlen: a) Arithmetisches Mittel; b) Modus; c)
   Median

    Alter   fk    kum. fk
     19      3        3
     20      7       10
     21     18       28
     22     20       48
     23     29       77
                            Modus: 23, Median: 23, arithmet. Mittel: 23.578.
     24     23      100
     25     19      119
     26     11      130
     27      7      137
     28      8      145
     29      2      147




                                                                                          19 / 87
Aufgabe 2.3

                                                              u
   Bei einer Befragung der Studierenden zu ihrer Meinung bez¨glich des Komforts der
     o a
   H¨rs¨le mittels einer Ratingskala (1=sehr bequem bis
   7 = miserabel; Annahme: Merkmal ist intervallskaliert) ergab sich folgendes Bild:
    Komfort     BWL     VWL     Mathe
      1          1       7       2
      2          2       6       4
      3          3       5       6
      4          4       4       8
      5          5       3       6
      6          6       2       4
      7          7       1       2

                  u
   Ermitteln Sie f¨r jede Vorlesung Modus und arithmetisches Mittel.

    o                       ¯
   L¨sung BWL: xMod = 7 und x = 5
    o                        ¯
   L¨sung VWL: xMod = 1 und x = 3
    o                          ¯
   L¨sung Mathe: xMod = 4 und x = 4




                                                                                       20 / 87
Aufgabe 2.4

                                          a                          a
   Eine psychologische Untersuchung besch¨ftigt sich mit der Nervosit¨t und der
   Anpassung von Studenten vor einer anstehenden Klausur. Dazu wurde beobachtet, wie
                                                                       o a
   lange vor dem offiziellen Beginn der Klausur die Studenten vor den H¨rs¨len
   eintreffen. Die Beobachtungen ergaben folgendes Ergebnis:
          Minuten vor        Anzahl der
           der Klausur       Studenten     Fi
       uber 0 bis 1 Minute
       ¨                         2         2
     uber 1 bis 5 Minuten
      ¨                         10        12
    uber 5 bis 10 Minuten
     ¨                          55         67
    uber 10 bis 20 Minuten
    ¨                           38        105
    uber 20 bis 30 Minuten
    ¨                           15        120


     a) Berechnen Sie den Median und das arithmetische Mittel.
     b) Zeichnen Sie ein Histogramm.




                                                                                       21 / 87
 o
L¨sung Aufgabe 2.4


    Minuten      fk      pk          Fi       pk /dk
      (0, 1]      2    0.01¯6      0.01¯ 6    0.01¯6
      (1, 5]     10    0.08¯3        0.1     0.0208¯ 3
     (5, 10]     55   0.458¯ 3     0.558¯ 3   0.091¯6
    (10, 20]     38    0.31¯6     0.8749¯  9  0.031¯6
    (20, 30]     15    0.125          1       0.0125
    Summe       120       1          —          —
                                     u
   mit dk der Klassenbreite. pk /dk f¨r Histogramm (unterschiedl. Klassenbreiten !)

   Teilaufgaben:
                   ˜                                                           ˜
     a) n = 120, x ist das arithmetische Mittel des 60ten und des 61ten Falls, x liegt im
        Intervall (5, 10]: (48 + 49)/2 × (5/55) + 5 = 9.4091. Approximatives
        x = (1/120)(0.5 × 2 + 3 × 10 + . . . 25 × 15) = 11.57.
        ¯
     b) Auf die graphische Darstellung wird verzichtet.




                                                                                            22 / 87
Aufgabe 2.5




   2.5) In einem Unternehmen wurden bei 10 Mitarbeitern folgende Fehlzeiten, gemessen
   in Tagen pro Jahr, festgestellt: 9, 3, 13, 0, 62, 12, 4, 12, 7, 2. Wie groß ist der
   Mittelwert ?



    o      ¯
   L¨sung: x = 12.4.




                                                                                         23 / 87
Aufgabe 2.6

                                           u
   2.6) Der Bekannte Psychologe J. Ensen f¨hrt Intelligenztests durch und erhebt bei 2
   Gruppen (a und b) gleichaltriger Studenten das metrische Merkmal
    Intelligenzquotient“ (IQ). Er findet:
   ”
     IQ (a)    90    90 97       99    98  145    114    80    85    102
     IQ (b)    95    99 90      105    85   98    110    96    69    103

                                                                               u
   Berechnen Sie die durchschnittlichen IQs der beiden Gruppen, und geben Sie f¨r jedes
   Gruppenmitglied die Abweichung zum jeweiligen Mittelwert an.

    o
   L¨sung:
                                   ¯                       ¯
         Mittelwert der Gruppe a): x = 100, der Gruppe b): x = 95
         Abweichungen vom Mittelwert (xi − x )
                                            ¯
          IQ (a)   -10  -10   -3    -1     -2     45    14   -20    -15   2
          IQ (b)    0    4    -5   10     -10      3    15    1     -26   8




                                                                                          24 / 87
Aufgabe 2.7
   In zwei Klausuren erzielen 9 TeilnehmerInnen die folgenden Ergebnisse:
              Punkte
     i   Statistik VWL
     1     100       90          Notenschema
     2      88       80         Punkte    Note
     3      71       70        unter 50    5.0
     4      61       60          ab 50     4.0
     5      49       50          ab 63     3.0    a) Ermitteln Sie
     6      48        8          ab 76     2.0        die Statistik und
     7      48        8          ab 89     1.0        VWL-Noten der
     8      20        7                               Studierenden.
     9      11        6

                       u
     b) Ermitteln Sie f¨r beide Klausuren die absoluten und relativen
         a
        H¨ufigkeiten der Punkte (Klassen in 20er-Schritten [0-20, 21-40, ...,
        81-100]) und der Noten ( Klassenspiegel“).
                                  ”
                              a
     c) Zeichnen Sie diese H¨ufigkeitsverteilungen als Histogramme jeweils
        untereinander (Punkteverteilungen untereinander, Notenverteilungen
        ebenso) und vergleichen Sie.
     d) Ermitteln Sie drei sinnvolle Mittelwerte.
              a
     e) Was f¨llt besser aus - Statistik oder VWL ?
                                                                               25 / 87
 o
L¨sung Aufgabe 2.7
   Teilaufgaben a) und b): Punkteverteilung:
                 Statistik        VWL
    Punkte      fk     pk      fk     pk
     0–20       2     0.2¯2    4    0.4¯ 4
     21–40      0       0      0       0
     41–60      3     0.3¯3    2    0.2¯ 2
     61–80      2     0.2¯2    2    0.2¯ 2
    81–100      2     0.2¯2    1    0.1¯ 1
   Notenverteilung:
              Statistik        VWL
    Note     fk     pk      fk     pk
      1      1     0.1¯1    1     0.1¯1
       2     1     0.1¯1    1     0.1¯1
       3     1     0.1¯1    1     0.1¯1
       4     1     0.1¯1    2     0.2¯2
       5     5     0.5¯5    4     0.4¯4
   Teilaufgabe c): Auf die graphische Darstellung wird verzichtet.
                                    Statistik           VWL
                                Punkte     Noten  Punkte    Noten
   Teilaufgabe d):  Modus          –          5      –        5
                    Median        49          5     50        4
                     Mittel      55.1¯
                                     1       (?)   42.1¯
                                                       1     (?)
   Teilaufgabe e): Kommmt     darauf an, ob man Punkte oder Noten interpretiert.
                                                                                   26 / 87
Aufgabe 2.8
   Die Altersverteilung der Abgeordneten des Deutschen Bundestages sah zum
   31.12.1999 wie folgt aus:
    Alter    Anzahl der Abgeordneten          pk
    19–33               28                 0.0419
    34–43               90                 0.1345
    44–48              103                0.15396
    49–53              150                  0.224
    54–58              172                 0.2571
    59–63              103                0.15397
    64–75               23                 0.0344

                                       a
     a) Bestimmen Sie die relative H¨ufigkeitsverteilung des Merkmals Alter“, und
                                                                    ”
        stellen Sie diese grafisch dar!

        Auf die graphische Darstellung wird verzichtet (Achtung: Unterschiedl.
        Intervallbreite beachten).
     b) Bestimmen Sie den Median der Altersverteilung!

        x ≈ 52.8 (durch interpolieren).
        ˜
                                                                       a
     c) Welcher Anteil der Abgeordneten war zum Stichtag 50 Jahre oder ¨lter ?

                   a
        Anteil betr¨gt 0.625.


                                                                                   27 / 87
Aufgabe 2.9

    u u
   F¨r f¨nf Fahrten mit einem PKW werden Daten uber die
                                                 ¨
   Durchschnittsgeschwindigkeit und den durchschnittlichen Benzinverbrauch ermittelt.
    Fahrt    Strecke              Durchschnittliche(r)
             in Km     Geschw. in Km/h Verbrauch in L/100Km
       1       412            98                     7.2
       2       278           104                     7.5
       3       380            82                     6.8
       4       520            95                     7.0
       5       456             ?                      ?
     insg.    2046            96                     7.1

     a) Berechnen Sie die Durchschnittsgeschwindigkeit und den durchschnittlichen
                         u
        Benzinverbrauch f¨r die Gesamtstrecke der ersten vier Fahrten!
         u        u
     b) F¨r alle f¨nf Fahrten betrug die Durchschnittsgeschwindigkeit 96 km/h und der
        durchschnittliche Benzinverbrauch 7,1 l/100km. Bestimmen Sie die
                                                                                 u
        Durchschnittsgeschwindigkeit und den durchschnittlichen Benzinverbrauch f¨r
             u
        die f¨nfte Fahrt!




                                                                                        28 / 87
 o
L¨sung Aufgabe 2.9


                                              a
   Erstellen einer neuen und anschließend erg¨nzten Tabelle:
    Fahrt Strecke ben¨tigte  o       Verbrauch
               in Km     Zeit in h    in Litern
       1         412      4.2041       29.664
       2         278       2.673        20.85
       3         380       4.634        25.84
       4         520      5.4737         36.4
       5         456      4.3277       32.512
     insg.      2046     21.3125       145.266
   Teilaufgabe a): Durchschnittliche Geschwindigkeit f¨r die ersten vier Fahrten: 93.613
                                                      u
                                        u
   Km/h, durchschnittlicher Verbrauch f¨r die ersten vier Fahrten: 7.09 L/100Km.

   Teilaufgabe b): Durchschnittliche Geschwindigkeit f¨r die f¨nfte Fahrt: 105.37 Km/h,
                                                      u       u
   durchschnittlicher Verbrauch: 7.1298 L/100Km.




                                                                                           29 / 87
Aufgabe 2.10


                                u     o
   Ein Mitarbeiter am Institut f¨r Bev¨lkerungswissenschaft untersucht insgesamt 151
    a
   L¨nder aus verschiedenen Erdteilen hinsichtlich des Alters ihres politischen Systems.
         a
   Er erh¨lt folgende Tabelle:
              Afrika   Amerika     Asien    Europa    Ozeanien
    gering     29         8         18         2         43
    mittel      3         4          2        7           2
    hoch        1        17          5        10          0


                                     a                       a
     a) Berechnen Sie die relative H¨ufigkeitsverteilung der L¨nder mit geringem und
                      a                        a
        die relative H¨ufigkeitsverteilung der L¨nder mit hohem Alter ihres politischen
        Systems!
     b) Charakterisieren Sie die Verteilungen von Teilaufgabe a) durch geeignete
        Lagemaße!




                                                                                           30 / 87
 o
L¨sung Aufgabe 2.10



   Teilaufgabe a):
                 geringes Alter   hohes   Alter
    Land           fk     pk      fk       pk
    Afrika        29     0.29      1      0.03
    Amerika        8     0.08     17      0.52
    Asien         18     0.18      5      0.15
    Europa         2     0.02     10      0.30
    Ozeanien      43     0.43      0       0
    Summe        100       1      33       1

                              u                                        u
   Teilaufgabe b): Modalwert f¨r geringes Alter“: Ozeanien, Modalwert f¨r hohes
                                ”                                        ”
   Alter“: Amerika.




                                                                                  31 / 87
Aufgabe 2.11
                            a
   In einem Betrieb werden w¨hrend der Semesterferien sechs Studierende eingestellt.

    Studierende        Eintritt            Austritt
                   (Kalenderwoche)     (Kalenderwoche)
         A               31                   35
         B               33                   42
         C               38                   43
         D               32                   35
         E               34                   43
         F               39                   42

                                a
   Einstellungen erfolgen grunds¨tzlich an Montagen; entsprechend verlassen die
                                    a
   Studierenden den Betrieb grunds¨tzlich an Freitagen.

                                      u
     a) Berechnen Sie die Lohnkosten f¨r alle diese Studierenden, wenn pro Person und
        Woche 300.– Euro gezahlt werden!
                                                                  a
     b) Wie viele Studierende waren durchschnittlich (pro Woche) w¨hrend der
        betrachteten Zeit im Betrieb?
                                                                               a
     c) Wie lange war ein Studierender durchschnittlich in diesem Betrieb besch¨ftigt?




                                                                                         32 / 87
 o
L¨sung Aufgabe 2.11



   Teilaufgabe a):
    Stud.    Wochen     Kosten
       A         5       1500
       B        10       3000
       C         6       1800
       D         4       1200
       E        10       3000
       F         4       1200
         Summe:         11 700
                   ¯
   Teilaufageb b): x = 3.
   Teilaufgabe c): mittlere Verweildauer war 6.5.




                                                    33 / 87
Aufgabe 2.12

                                                     o                     a
   Gegeben sei die folgende Tabelle zur Betriebszugeh¨rigkeit von 200 Besch¨ftigten
                            a
   eines Krankenhauses (erg¨nzt):
                  o
    Betriebszugeh¨rigkeit   fk     pk     Fk
      unter einem Jahr      20    0.1    0.1
     1 bis unter 3 Jahre    50    0.25   0.35
     3 bis unter 5 Jahre    70    0.35   0.7
    5 bis unter 10 Jahre    40    0.2    0.9
     10 Jahre und mehr      20    0.1     1


                                  a                                o
     a) Wie viel Prozent der Besch¨ftigten haben eine Betriebszugeh¨rigkeit von
                                                        u
        weniger als zwei Jahren? Welche Annahme muss f¨r die Beantwortung dieser
        Frage getroffen werden?
                                       u
     b) Errechnen bzw. bestimmen Sie f¨r die gegebenen Daten die folgenden
        Kennwerte: Modus, Median und arithmetisches Mittel. Interpretieren Sie die
        berechneten Lagemaße und gehen Sie dabei auf deren unterschiedliche
                                 a                                    u
        Bedeutung ein. Welche zus¨tzlichen Annahmen mussten (ggf.) f¨r die
        Bestimmung der einzelnen Kennwerte getroffen werden?




                                                                                      34 / 87
 o
L¨sung Aufgabe 2.12



                     a
   Siehe auch die erg¨nzte Tabelle auf der vorherigen Seite.
   Teilaufgabe a): 0.1 + 25/200 = 0.225 (Annahme: Die Besch¨ftigungsdauern der 50
                                                                  a
         a                                                 a
   Besch¨ftigten im Intervall [1, 3) verteilen sich gleichm¨ßig).
   Teilaufgabe b): Modus ist das Intervall [3, 5) Jahre. Median in der gleichen Klasse,
   durch interpolieren erh¨lt man x ≈ 3.87.
                          a        ˜
               a
   Mittelwert l¨sst sich nur berechnen, wenn eine obere Klassengrenze in der Klasse der
    o                      o
   h¨chsten Betriebszugeh¨rigkeiten festgelegt wird. Dann: Mittelwert = (Summe uber ¨
                            a
   Klassenmitte x Klassenh¨ufigkeit) / 200.




                                                                                          35 / 87
Aufgabe 2.13

   In einem Landkreis wurden die jeweiligen Anzahlen an Mietwohnungen in bestimmten
   Preissegmenten (monatliche Nettomieten in Euro) erhoben. Es ergab sich folgende
   Verteilung:
     Nettomiete in Euro    Anzahl an      Nettomiete in Euro    Anzahl an
                          Wohnungen                            Wohnungen
     uber 0 bis 150
     ¨                             200    uber 750 bis 900
                                          ¨                           100
     uber 150 bis 300
     ¨                             300    uber 900 bis 1050
                                          ¨                             80
     uber 300 bis 450
     ¨                             250    uber 1050 bis 1200
                                          ¨                             70
     uber 450 bis 600
     ¨                             100    uber 1200 bis 1350
                                          ¨                             50
     uber 600 bis 750
     ¨                             150
     a) Stellen Sie die Verteilung der Nettomieten graphisch dar.
                                a
     b) Berechnen Sie — wenn zul¨ssig — das arithmetische Mittel und geben Sie
        Median und Modus an.
     c) Beschreiben Sie die Verteilung der Nettomieten auf Basis der Ergebnisse aus a)
                                                        o
        und b) nicht nur anhand der statistischen Kenngr¨ßen und Begriffe sondern
        auch inhaltlich.




                                                                                         36 / 87
 o
L¨sung: Aufgabe 2.13


    o
   L¨sung: Teilaufgabe a)
                             Anzahl an
                            Wohnungen
    k  Nettomiete in Euro           nk       pk
    1  uber 0 bis 150
       ¨                          200    0.1538
    2  uber 150 bis 300
       ¨                          300    0.2308
    3  uber 300 bis 450
       ¨                          250    0.1923
    4  uber 450 bis 600
       ¨                          100    0.0769
    5  uber 600 bis 750
       ¨                          150    0.1154
    6  uber 750 bis 900
       ¨                          100    0.0769
    7  uber 900 bis 1050
       ¨                            80   0.0615
    8  uber 1050 bis 1200
       ¨                            70   0.0538
    9  uber 1200 bis 1350
       ¨                            50   0.0385
    Summe                        1300         1




                                                  37 / 87
 o
L¨sung: Aufgabe 2.13 (Forts.)


    o
   L¨sung: Teilaufgabe a) (beispielsweise)
        0.25
        0.20
        0.15
        0.10
        0.05
        0.00




                1     2     3        4     5     6         7   8   9

                                Nettomieten in 9 Klassen




                                                                       38 / 87
 o
L¨sung: Aufgabe 2.13 (Forts.)

    o
   L¨sung: Teilaufgabe b)

        Mittelwert:
                                                   K
                                               1
                                          x≈
                                          ¯              ak nk ,
                                               n   k=1
        mit ak den Klassenmittelwerten: 75, 225, 375, 525, 675, 825, 975, 1125, 1275.
        Damit:
                                  1
                      ¯
                      x     ≈        (75 × 200 + 225 × 300 + · · · 1275 × 50)
                                1300
                            =   486.92 Euro

        Median: Der Median ist der Mittelwert der Werte des 650igsten und des
        651igsten Falls (Klasse: uber 300 bis 450 Euro). n3 = 250; lineare
                                 ¨
        Approximation: (150 + 151) ∗ 150/250 + 300 f¨hrt zu x = 390.3 Euro.
                                                      u       ˜
        Modus: Klasse uber 300 bis 450 Euro“, Klassenmitte: 225 Euro.
                      ¨
                     ”




                                                                                        39 / 87
Aufgabe 2.14


                                              a
   Von Schulkindern wurden die Merkmale t¨gliche Fernsehdauer und gelesene B¨cher u
   pro Jahr erfasst. In der Kreuztabelle der beiden Merkmale sind hier lediglich die
   Randverteilungen dargestellt:
                                              u
                                  Gelesene B¨cher pro Jahr
                                     0 bis 2      3 u. mehr

    TV pro      0 bis 1 Std                                 40

      Tag     mehr als 1 Std                                60
                                     75            25
          u                                                              a
     a) F¨llen Sie die offenen Zellen so aus, dass folgende Hypothese best¨tigt wird: Je
                                                                                    ”
         a                                                   u
        l¨nger die Kinder am Tag fernsehen, desto weniger B¨cher lesen sie pro Jahr“
         u
     b) F¨llen Sie die offenen Zellen so aus, dass garantiert kein Zusammenhang
        zwischen den beiden Merkmalen besteht.




                                                                                          40 / 87
 o
L¨sung: Aufgabe 2.14

                        a                                                u
   Teilaufgabe a): Je l¨nger die Kinder am Tag fernsehen, desto weniger B¨cher lesen
                   ”
   sie pro Jahr“ (z.B.)
                                           u
                                 Gelesene B¨cher pro Jahr
                                 0 bis 2     3 u. mehr
    TV pro      0 bis 1 Std        15            25            40
     Tag       mehr als 1 Std      60             0            60
                                   75            25

                    u
   Teilaufgabe b): F¨llen Sie die offenen Zellen so aus, dass garantiert kein
   Zusammenhang zwischen den beiden Merkmalen besteht.
                                           u
                                 Gelesene B¨cher pro Jahr
                                 0 bis 2     3 u. mehr
    TV pro      0 bis 1 Std        30            10            40
     Tag       mehr als 1 Std      45            15            60
                                   75            25




                                                                                       41 / 87
Aufgabe 2.15


   Die beiden Merkmale der Aufgabe 2.14 seien in folgenden Merkmalsklassen vorhanden:
                 Code    TV pro Tag in Std     u
                                              B¨cher/Jahr
    0             1             15                50
    (bis) 1       2             25                20
    (bis) 2       3             20                 3
    (bis) 4       4             17                 1
    (bis) 6       5             13                10
    mehr als 6    6             10                16

                                           u
     a) Berechnen Sie den Quartilsabstand f¨r beide Merkmale.
                                           u
     b) Vergleichen Sie beide Merkmale bez¨glich ihrer Streuung mit den berechneten
                    a
        Quartilsabst¨nden und im Hinblick auf die Verteilungen insgesamt.




                                                                                        42 / 87
 o
L¨sung: Aufgabe 2.15
                                                      u
   Teilaufgabe a): Berechnen Sie den Quartilsabstand f¨r beide Merkmale.
   Bei n = 100 Beobachtungen ist Q1 das Mittel des (.25 × n)-ten und des
   (.25 × n + 1)-ten der nach aufsteigender Gr¨ße geordneten Werte, d.h. des 25sten und
                                              o
   des 26sten Falles.
   Entsprechend Q3 : Mittel des 75sten und des 76sten Falles.
   Berechnung QA TV pro Tag in Std:
   Zuerst Q1 : Wert des 25sten Falles ist

                                10 × 60 Minuten/25 Kinder = 24,

   Wert des 26sten Falles ist

                            11 × 60 Minuten/25 Kinder = 26.4.

   Damit ist Q1 = (24 + 26.4)/2 = 25.2 Minuten.
   Berechnung von Q3 :

       (15 × 120 Minuten/17 Kinder + 16 × 120 Minuten/17 Kinder)/2 = 109.4118

   Q3 = 109.4118 + 120 = 229.4118 Minuten. Damit ist
   Qa = 229.4118 − 25.2 = 204.2118 oder ca. 3 Std und 24 Minuten.
           u
   Anzahl B¨cher: Q1 = 0, Q3 = 5 (Q3 = 4, 3), d.h. QA = 5 (QA = 4, 3).

                                                                                          43 / 87
 o
L¨sung: Aufgabe 2.15




                                                     u
   Teilaufgabe b): Vergleichen Sie beide Merkmale bez¨glich ihrer Streuung mit den
                            a
   berechneten Quartilsabst¨nden und im Hinblick auf die Verteilungen insgesamt.
                                                               u              u
   Der Quartilsabstand des Merkmal TV/Tag ist kleiner als f¨r das Merkmal B¨cher pro
                                           a
   Jahr. In diesem Sinne streut ersteres st¨rker. Weiterhin ist TV/Tag unimodal mit
                                                            u              o
   einem Modus von uber 0 bis 1 Stunde. Das Merkmal B¨cher/Jahr ist u-f¨rmig verteilt
                      ¨
   mit zwei (relativen) Maxima.




                                                                                        44 / 87
Aufgaben 3.1 – 3.2

                       u
   3.1) Bestimmen Sie f¨r die Stichprobe aus Aufgabe 2.2:
   a) Standardabweichung; b) Variationskoeffizient; c) MAD; d) C0.9 -Zentil und
   C0.6 -Zentil.

    o
   L¨sung:
     a) s = 2.245
     b) v = 0.09522 bzw. v = 9.522
     c) MAD = 1.789
     d) C0.9 = 27, C0.6 = 24


                       u
   3.2) Bestimmen Sie f¨r die Befragung aus Aufgabe 2.3 die Quartile.

    o
   L¨sung BWL: Q1 = 4, Q2 = 5, Q3 = 6.5
    o
   L¨sung VWL: Q1 = 1.5, Q2 = 3, Q3 = 4
    o
   L¨sung Mathe: Q1 = 3, Q2 = 4, Q3 = 5




                                                                                45 / 87
Aufgabe 3.3
                     u
   Bestimmen Sie f¨r die psychologische Untersuchung aus Aufgabe 2.4: a) das
   C0.1 -Quantil; b) den Quartilsabstand.

    o
   L¨sung:
     a) np = 120 × 0.1 = 12 (ganzzahlig), daher ist C0.1 das arithmetische Mittel der
        Werte des 12ten und 13ten Falls: Wert des 12ten Falls ist 5, der des 13ten Falls
        ist 5.091. Damit ist C0.1 = 5.045.
     b) Berechnung von Q1 : np = 120 × 0.25 = 30 (ganzzahlig), daher ist Q1 das
        arithmetische Mittel der Werte des 30ten und 31ten Falls (im Intervall (5, 10]):
        Wert des 30ten Falls ist
                                  5
                   (30 − 12) ×      + 5 = 18 × 0.090909 + 5 = 6.63636,
                                 55
        der des 31ten Falls ist (entsprechend) 6.727272. Damit ist Q1 = 6.682.
        Berechnung von Q3 : np = 120 × 0.75 = 90 (ganzzahlig), daher ist Q3 das
        arithmetische Mittel der Werte des 90ten und 91ten Falls: Wert des 90ten Falls
        (im Intervall (10, 20]) ist

                                10
                  (90 − 67) ×      + 10 = 23 × 0.26316 + 10 = 16.05263,
                                38
        der des 91ten Falls ist 16.3158 (ersetze 90 durch 91 in obiger Berechnung).
        Damit ist Q3 = 16.18421 und QA = 16.18421 − 6.682 = 9.5024.

                                                                                           46 / 87
Aufgabe 3.4



                                             o
   Die Marketingabteilung der PASTA AG m¨chte wissen, ob die Anzahl des verkauften
   Produktes (Basilikumpasta) in einem sehr engen oder breiten Bereich streuen. Sie
                           a
   befragen 9 von 88 Biol¨den in Berlin, die folgende Verkaufszahlen pro Monat angeben:
   24; 18; 12; 8; 32; 26; 10; 22; 28. Bestimmen Sie Spannweite, MAD und
   Standardabweichung der Stichprobe.

    o
   L¨sung:
        Spannweite: R = 32 − 8 = 24.
        ˜
        x = 22, MAD = 6.89.
        s 2 = 72, s = 8.485




                                                                                          47 / 87
Aufgabe 3.5



                                                                  a
   In welcher der beiden Gruppen aus Aufgabe 5.6) streut der IQ st¨rker ?

    o
   L¨sung:
         Spannweite Gruppe a): R = 65, Gruppe b): R = 41
         Quartilsabstand Gruppe a): QA = 12, Gruppe b): QA = 13
         Varianz Gruppe a): s 2 = 340.44, Gruppe b): s 2 = 135.11
         Variationskoeffizient Gruppe a): v = 18.45, Gruppe b): v = 12.36
                                                  u              o
   Bis auf QA sind die Werte aller Streuungsmaße f¨r Gruppe a) gr¨ßer.




                                                                            48 / 87
Aufgabe 3.6
                                                      u       u
   Bei der Produktion eines feinmechanischen Werkst¨cks m¨ssen nacheinander 2
            a           u                                        o
   Arbeitsg¨nge ausgef¨hrt werden. Der 1. Arbeitsgang stellt h¨here Anforderungen an
                                                     o
   die Geschicklichkeit, der 2. Arbeitsgang dagegen h¨here Anforderungen an die
   Aufmerksamkeit und Sorgfalt. Bei 6 Mechanikern werden folgende Zeiten gemessen
                                 u                                                  u
   (x: verbrauchte Arbeitszeit f¨r den 1. Arbeitsgang; y : verbrauchte Arbeitszeit f¨r den
   2. Arbeitsgang (jeweils in Minuten)).
    Mechniker: i     1    2      3     4    5      6
              xi    11    12    15    9     11    14
              yi    16    22    16    23    23    20
                                          a
   Welche der Arbeitszeiten variiert am st¨rksten ?

    o
   L¨sung:
         Spannweite 1. Arbeitsgang: R = 6, 2. Arbeitsgang: R = 7
         Quartilsabstand 1. Arbeitsgang: QA = 3, 2. Arbeitsgang: QA = 7
         Varianz 1. Arbeitsgang: s 2 = 4.8, 2. Arbeitsgang: s 2 = 10.8
         Variationskoeffizient 1. Arbeitsgang: v = 18.257, 2. Arbeitsgang: v = 16.43
                                      ¯                       ¯
         (Mittelwerte 1. Arbeitsgang: x = 12, 2. Arbeitsgang: x = 20)
                                                 u
   Bis auf v sind die Werte aller Streuungsmaße f¨r den 1. Arbeitsgang kleiner.


                                                                                             49 / 87
Aufgabe 3.7

                                     a                              a
   An einer bundesdeutschen Universit¨t sind in den einzelnen Fakult¨ten im ersten
   Fachsemester folgende Anzahlen von Studierenden eingeschrieben:
                   a
            Fakult¨t             Studierende im 1. Fachsemester       pi
         Ingenieurwesen                        326                  0.2399
              Recht                            224                  0.1648
            Theologie                           60                  0.0442
    Wirtschaftswissenschaften                  532                  0.3915
           Philosophie                          89                  0.0655
             a
           P¨dagogik                           128                  0.0942
                               a
   Charakterisieren Sie diese H¨ufigkeitsverteilung durch geeignete Lage- und
   Streuungsmaße!
    o
   L¨sung:
                              a
         Modalwert – die am h¨ufigsten besetzte Kategorie ist
          Wirtschaftswissenschaften“
         ”
         Simpson’s normiertes D ist D = 0.896.




                                                                                     50 / 87
Aufgabe 3.8



   Gegeben seien vier Beobachtungspaare der gemeinsam auftretenden Merkmale x und
   y:
    xi   1    2   4      5
    yi   4    3   5      8
   Berechnen Sie die Kovarianz.

    o
   L¨sung:
                             4
         ¯      ¯
         x = 3, y = 5,       i=1 xi yi   = (4 + 6 + 20 + 40) = 70
         sxy = (1/3)(70 − 4 × 3 × 5) = 10/3 = 3.333




                                                                                    51 / 87
Aufgabe 3.9
   Gegeben sind die folgenden Beobachtungspaare zweier metrisch messbarer Merkmale x
   und y : (4; 7), (1; 5), (2; 5), (2; 6), (3; 6), (5; 4), (5; 8), (6; 8), (6; 9), (8; 8). Zeichnen
   Sie ein Streudiagramm und bestimmen Sie die Kovarianz.

    o
   L¨sung:
      i    xi    yi     xi yi
     1     4      7      28
     2     1      5       5
     3     2      5      10
     4     2      6      12
     5     3      6      18                                         10
                                            ¯        ¯
                                    n = 10, x = 4.2, y = 6.6,       i=1 xi yi   = 299,
     6     5      4      20
     7     5      8      40
     8     6      8      48
     9     6      9      54
    10     8     8       64
          42     66     299

                           2      1
                          sxy =     (299 − 10 × 4.2 × 6.6) = 2.422
                                  9




                                                                                                      52 / 87
Aufgabe 3.9
   Streudiagramm




           10



            8
       y




            6



            4


                   1   3   5   7   9
                           x




                                       53 / 87
Aufgabe 3.10

   Betrachten Sie die Urliste:
    -7 -6 -2 2 3 4 6
                          o
   Welche der folgenden Gr¨ßen kann man nicht bestimmen:
     a) das arithmetische Mittel
     b) den Modalwert
     c) den Median
     d) das geometrische Mittel
     e) den Variationskoeffizienten


    o                       u               o
   L¨sung: Voraussetzung f¨r die folgende L¨sung ist, dass es sich um Werte eines
   mindestens intervallskalierten Merkmals handelt. Dann ist die Bestimmung des
   Modalwerts nicht sinnvoll und geometrisches Mittel und Variationskoeffizient sind
   nicht definiert.




                                                                                     54 / 87
Aufgabe 3.11
                                 a                                   a
   Der Produzent zweier Golfschl¨ger x und y macht mit beiden Schl¨gern ein
                                                           a
   Experiment: 10 Spieler versuchen jeweils mit beiden Schl¨gern ein Ziel in 150 Metern
   Entfernung zu treffen. Das Ergebnis (alle Angaben in Meter) ist der folgenden Tabelle
   zu entnehmen (ein Spieler musste vorzeitig gehen):
                       Meter
     Spieler      a
              Schl¨ger x        a
                            Schl¨ger y
        1        151           150
        2        150           149
        3        152           155
        4        153           145
        5        141           153
        6        154           153
        7        147           154
        8       144.7          147
        9        151           152
       10                      149
                       u            a
     a) Berechnen Sie f¨r beide Schl¨ger das arithmetische Mittel und die
        Standardabweichung.
                       u            a
     b) Berechnen Sie f¨r beide Schl¨ger das C0.25 -Quantil, das C0.75 -Quantil und den
        Quartilsabstand.
                      u                                                   a
     c) Welches Maß w¨rden Sie anwenden, wenn Sie die Wahl zwischen Schl¨ger x und
           a                        u                   a                      a
        y h¨tten und darauf achten m¨ssten, welcher Schl¨ger am genauesten schl¨gt ?

                                                                                          55 / 87
Aufgabe 3.12

    o
   L¨sung:

                   x         y
       n           9         10
    Mittelw.     149.3     150.7
      Q1          147       149
      Q3          152       153
      QA           5          4
       s2       18.085    10.456
       s        4.2526    3.2335

   Zu a) und b) siehe Tabelle. Zu c): Die Varianz (Standardabweichung ist auch ok),
                                         a              a
   denn je kleiner die Streuung, desto pr¨ziser die Schl¨ger (der Mittelwert weicht
   beidesmal um denselben Betrag von der vorgegebenen Weite ab), vorausgesetzt die
                                                                         a
   Bedingungen sind jeweils identisch (wenn der fehlende Wert 149.3 w¨re, dann w¨re a
    2
   sx = (8/9) × 18.085 = 16.76). Demnach w¨re der zweite Schl¨ger — f¨r die
                                               a                  a        u
                                 a
   beobachtete Stichprobe — pr¨ziser.




                                                                                        56 / 87
Aufgaben 4.1



   4.1) Z sei N(0, 1)-verteilt. Bestimmen Sie a, b, c und d aus:
   a)P(Z ≤ a) = 0.6, b) P(Z > b) = 0.8, c) P(|Z | ≤ c) = 0.6, d) P(|Z | > d) = 0.3.

    o
   L¨sung:
     a) a = 0.253
     b) b = −0.842
     c) c = 0.842
     d) d = 1.036




                                                                                      57 / 87
Aufgaben 4.2

   4.2) Die Zufallsvariable Z sei N(0, 1)-verteilt. Bestimmen Sie:
   a) P(0 < Z ≤ 2.4), b) P(−1.3 < Z ≤ 0), c) P(−0.8 < Z ≤ 0.8), d) P(Z ≤ 2.1),
   e) P(Z > −0.1) f) P(0.2 < Z ≤ 1.6).

   Achtung: Im Folgenden bezeichnet Φ(·) die Verteilungsfunktion der N(0, 1)-Verteilung
    o
   L¨sung:
     a) Φ(2.4) − Φ(0) = 0.99148 − 0.5 = .49148 (Φ(2.4) n¨herungsweise bestimmt)
                                                        a
     b) Φ(0) − Φ(−1.3) = 0.5 − 0.096889 = .4031 (Φ(−1.3) n¨herungsweise bestimmt)
                                                          a
     c) Φ(0.8) − Φ(−0.8) = 0.7882 − (1 − 0.7882) = .5764 (Φ(0.8) n¨herungsweise
                                                                  a
        bestimmt; weiterhin gilt: Φ(−.8) = 1 − Φ(0.8))
                                a
     d) Φ(2.1) = 0.982 (Φ(2.1) n¨herungsweise bestimmt)
     e) P(Z > −0.1) = P(Z ≤ 0.1), Φ(0.1) = 0.54
     f) Φ(1.6) − Φ(0.2) = 0.94521 − 0.57923 = 0.36598 (beide Werte n¨herungsweise
                                                                    a
        bestimmt)




                                                                                          58 / 87
Aufgaben 4.3


   4.3) Die Zufallsvariable X sei N(100, 100)-verteilt. Bestimmen Sie a, b und c aus:
   a) P(X ≤ a) = 0.7, b) P(X > b) = 0.65, c) P(|X − 100| ≤ c) = 0.5.
    o
   L¨sung:
     a) P(X ≤ a) = P( X −µ ) ≤ az ). az aus Tabelle: az = 0.524. Mit
                        σ
         P( X −µ ≤ az ) = P(X ≤ µ + az σ), d.h. a = µ + az σ ergibt sich
              σ
         a = 100 + 10 × 0.524 = 105.24.
     b) P(X > b) = 1 − P(X ≤ b), P(X ≤ b) = 0.35. Weiter wie unter a) liefert
        bz = −0.385 und b = 96.15.
     c) P(|X − 100| ≤ c) = 0.5: Gesucht ist die obere Grenze eines symmetrischen
                                                                 u         a
        Intervalls um µ = 100, so dass die Wahrscheinlichkeit f¨r ein zuf¨lliges X
                                              u
        innerhalb dieses Intervalls 0.5 ist. F¨r eine standardnormalverteilte ZV ist diese
        Grenze P(Z ≤ cz ) = 0.75, d.h. cz = 0.674. Transformieren wie oben liefert
        c = 106.74.




                                                                                             59 / 87
Aufgaben 4.4

                         u                                           u
   4.4) Eine Maschine f¨llt Kaffeepakete so, dass die Masse des eingef¨llten Kaffees
                                                  u
   normalverteilt ist mit µ = 520g und σ = 15g . F¨r die Pakete werden 500g als
    u
   F¨llgewicht angegeben.
     a) Wie viel % der Pakete sind untergewichtig ?
     b) Wie viel % der Pakete wiegen mehr als 530g ?
                   u
     c) Wie groß m¨sste µ (bei gleichem σ) sein, damit nur 2% der Pakete
        untergewichtig sind ?

    o
   L¨sung:
     a) Gesucht ist α, mit P(X ≤ 500) = α, d.h.
        P( X −µ ≤ 500−520 ) = P(Z ≤ −4/3) = α. Interpolation liefert α ≈ 0.092.
             σ       15
     b) Gesucht ist α, mit 1 − P(X ≤ 530) = α, d.h.
        1 − P( X −µ ≤ 530−500 ) = 1 − P(Z ≤ 2) = α. D.h. P(Z ≤ 2) = 1 − α
                 σ        15
        Interpolation und Umformen liefert α ≈ 0.252.
     c) Gesucht ist µ, so dass P(Z ≤ 500−µ ) = 0.02. Mit cz = 500−µ erh¨lt man
                                       15                       15
                                                                       a
        cz = −2.054. Umformen liefert µ = 500 − 15 × cz oder cz = 530.82.




                                                                                     60 / 87
Aufgaben 4.5
   4.5) Die Lebensdauer X (in km) eines Automotors einer bestimmten Marke sei
    a
   n¨herungsweise normalverteilt mit dem Erwartungswert µ = 105000 und der
   Standardabweichung σ = 10000.
     a) Bei wie viel Prozent der Motoren ubersteigt die Lebensdauer 120000 km ?
                                         ¨
     b) Bei wie viel Prozent der Motoren weicht die Lebensdauer um mehr als 12000 km
        vom Erwartungswert ab ?
                               u
     c) Geben Sie die Grenzen f¨r das (zentrale) Schwankungsintervall zum Niveau
        α = 0.1 an.
     d) Errechnen Sie das (zentrale) Schwankungsintervall, in das 99.73% der
        Lebensdauern fallen.
    o
   L¨sung:
     a) Gesucht ist 100 × α%, mit P(X > 120000) = 1 − P(X ≤ 120000) = α, d.h.
        1 − P( X −µ ≤ 120000−105000 ) = 1 − P(Z ≤ 1.5) = α, bzw.
                 σ         10000
        α = 1 − 0.933 = 0.066.
     b) Gesucht ist 100 × α%, mit P(X ≤ 105000 − 12000) = α/2 (Symmetrie der
        NV), d.h. P( X −µ ≤ 93000−105000 ) = P(Z ≤ −1.2) = α/2. D.h.
                       σ        10000
        α = 2 × P(Z ≤ −1.2) = 2 × 0.115 = 0.23 oder 23%.



                                                                                       61 / 87
Aufgaben 4.5 (Forts.)

   Fortsetzung 4.5):
                               u
     c) Geben Sie die Grenzen f¨r das (zentrale) Schwankungsintervall zum Niveau
        α = 0.1 an.
     d) Errechnen Sie das (zentrale) Schwankungsintervall, in das 99.73% der
        Lebensdauern fallen.
    o
   L¨sung:
     c) Gesucht ist ±a, so dass P(µ − a < X ≤ µ + a) = 1 − 0.1, oder
                                 −a
        P(X ≤ µ − a) = P(Z ≤ 10000 ) = 0.05 (Symmetrie der NV). Mit
        −az = −a/10000 = −1.645 (aus Tabelle) erh¨lt man nach Umformem
                                                   a
        −a = −1.645 × 10000 und damit als untere Grenze 88550 bzw. als obere
        Grenze a = 121450.
                                                                     a
     d) Symmetrisches Schwankungsintervall, das 99.73% der Werte enth¨lt:
        [−3σ, +3σ] um den Erwartungswert: [105000 − 3 × 10000, 105000 + 3 × 10000]
        bzw. [75000, 135000].




                                                                                     62 / 87
Aufgaben 4.6



                                                        u
   4.6) Der Apotheker eines Krankenhauses hat eine Abf¨llmaschine f¨ru
       u                    u
   Abf¨hr-Tabletten. Die Abf¨llung unterliege einer Normalverteilung mit einem Mittel
   von µ = 100 und einer Standardabweichung von 5.
                                               u
     a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit daf¨r, dass
         a.1) in einem Glas zwischen 90 und 110 Tabletten sind ?
         a.2) mehr als 105 Tabletten in einem Glas sind ?
                o
         a.3) h¨chstens 90 Tabletten in einem Glas sind ?
     b) Welche Mindest-Anzahl an Tabletten ist mit 90-prozentiger Sicherheit in einem
                                                                              u
        Glas ? In welchem Bereich liegen die zentralen 95% der Anzahlen abgef¨llter
        Tabletten ?




                                                                                        63 / 87
Aufgaben 4.6 (Forts.)

    o
   L¨sung:
     a) a.1) Gesucht ist P(90 < X ≤ 110), oder
        P(90 < X ≤ 110) = P(µ − 2 × σ < X ≤ µ + 2 × σ). In diesem Intervall liegen
        95.45% der Werte.
        a.2) Gesucht ist α, so dass P(X > 105) = 1 − P(X ≤ 105) = α, bzw.
        1 − P(X ≤ 105) = 1 − P(Z ≤ 105−100 ) = 1 − P(Z ≤ 1) = α. Daraus:
                                         5
        α = 1 − 0.8413 = 0.1587.
        a.3) Gesucht ist α, so dass
        α = P(X ≤ 90) = P(Z ≤ 90−100 ) = P(Z ≤ −2) = 0.02275.
                                     5
     b) Gesucht ist a, so dass P(X > a) = 1 − P(X ≤ a) = 0.9, d.h.
        P(X ≤ a) = P(Z ≤ a−100 ) = 0.1. Mit az = (a − 100)/5 und az = −1.282
                                5
        ergibt sich a = 93.59 ≈ 94.
        Weiterhin: Zentrales Schwankungsintervall um µ = 100 zum Niveau 0.05. Wegen
        Symmetrie: P(X ≤ a) = 0.5 + 0.475 = 0.975; Gesucht: a. P(Z ≤ az ) = 0.975
        mit az = 1.96. a = µ + az σ und damit a = 100 + 1.96 × 5, d.h. die obere
        Grenze des Intervalls ist a = 109.8, die untere ist 90.2 = 100 − 1.96 × 5.




                                                                                      64 / 87
Aufgaben 4.7
                              u                                   u
   4.7) Ein Biowaren-Handel f¨llt sein Spitzenprodukt - das Bio-M¨sli tropic“ - zu je
                                                                      ”
                                          u
   500g selbst maschinell ab (µ). Die Abf¨llung unterliege einer Normalverteilung mit
   einer Standardabweichung von 5g.
                                               u
     a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit daf¨r, dass in einem Paket
        a.1) zwischen 490 und 510 Gramm sind ?
        a.2) mehr als 510 Gramm sind ?
               o
        a.3) h¨chstens 495 Gramm sind ?
                          u
     b) Welches Mindest-F¨llgewicht bietet ein Paket mit 90-prozentiger Sicherheit ?
                                                                      u
     c) In welchem Gewichts-Bereich liegen die zentralen 95% der abgef¨llten Pakete ?
    o
   L¨sung:
     a) a.1) Gesucht ist α, mit P(490 < X ≤ 510) = α, oder
        P(490 − 2 × 5 < X ≤ 490 − 2 × 5) = 0.9545.
        a.2) Gesucht ist α, mit P(510 < X ) = α, d.h.
        1 − P(X ≤ 510) = 1 − P(Z ≤ 2) = 1 − 0.977 = 0.023.
        a.3) Gesucht ist α, mit P(X ≤ 495) = α, d.h. P(Z ≤ −1) = 0.159.
     b) Gesucht ist a, so dass P(X > a) = 0.9, d.h.
        1 − P(Z > a−500 ) = P(Z ≤ a−500 ) = 0.1. Mit az = −1.282 ergibt sich
                       5              5
        a = 493.59.
                                                                     a
     c) Symmetrisches Schwankungsintervall, das 95% der Werte enth¨lt: Gesucht ist a,
        so dass P(X ≤ a) = 0.5 + 0.95/2 = 0.975. Mit P(Z ≤ az ) = 0.975 ist
        az = 1.96. R¨cktransformieren liefert a = 500 + 1.096 × 5 = 509.8 (obere
                    u
        Grenze). Untere Grenze: 500 − 1.096 × 5 = 490.2.
                                                                                        65 / 87
Aufgaben 4.8


                                                                  o
   4.8) Die erwartete Schifffahrtdauer zwischen Frederikshavn und G¨teborg ist 3
   Stunden (180 Minuten) mit einer Standardabweichung von 15 Minuten. Es wird
   angenommen, dass die Schifffahrtdauer normalverteilt ist.
                                                u
     a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit daf¨r, dass die Schiffahrtdauer mehr als
        215 Minuten ist.
                       a                                    a
     b) Ein Vertreter f¨hrt 10 Mal pro Vierteljahr mit der F¨hre. Berechnen Sie die
                               u
        Wahrscheinlichkeit daf¨r, dass die durchschnittliche Fahrdauer der 10 Fahrten
          o
        gr¨ßer als 215 Minuten ist.

    o
   L¨sung:
                                                              215−180
     a) Gesucht ist α, mit P(X > 215) = α, oder 1 − P(Z ≤        15
                                                                      )   = 0.0098.
                  10                      2
        ¯
     b) x =   1                                                       ¯
                        und x ∼ N(180, 15 ). Gesucht ist α, so dass P(X > 215) = α,
             10   i=1 xi     ¯          10          √
                   ¯
        d.h. 1 − P(X   ≤ 215) = 1 − P(Z ≤ 215−180 × 10) = 1 − P(Z ≤ 7.379) ≈ 0.
                                             15




                                                                                        66 / 87
Aufgaben 4.9
   4.9) In einer Nahrungsmittelfabrik stehen drei Maschinen, die Haferflockenpakete
      u
   abf¨llen. Der verantwortliche Betriebsingenieur weiß aus langen Messreihen, dass die
   F¨llgewichte der Pakete (approximativ) normalverteilt sind: X1 ∼ N(201, 0.812 ),
    u
   X2 ∼ N(203, 3.242 ), X3 ∼ N(202, 1.692 ). Bei einem Abf¨llgewicht von 199g oder
                                                           u
                                                    u
   weniger, wird das Paket von der Endkontrolle zur¨ckgewiesen.
                                         o                           a     u
     a) Welche Maschine liefert den gr¨ßten Anteil an ordnungsgem¨ß gef¨llten
        Paketen ?
                                             ¨
     b) Der Betriebsingenieur kann durch Anderung der Standardabweichung die
                         a
        Produktqualit¨t der einzelnen Maschinen variieren. Wie groß muss er das neue
                            a
        σi , (i = 1, 2, 3) w¨hlen, damit bei der i-ten Maschine die Wahrscheinlichkeit,
                                              u                       a
        dass die Endkontrolle ein Paket zur¨ckweist, genau 0.05 betr¨gt ?

    o
   L¨sung:
                          a     u             u
     a) Anteil ordnungsgem¨ß gef¨llte Pakete f¨r M1, M2, M3: Gesucht ist jeweils α, so
        dass P(Xi > 199) = 1 − P(Xi ≤ 199), oder 1 − P(Z ≤ 199−µi ) = α. M1:
                                                               σ    i
         1 − P(Z ≤ 199−201 ) = 1 − P(Z ≤ −2.469). Entsprechend f¨r M2:
                     0.81
                                                                u
         P(Z ≤ −1.2346) und M3: P(Z ≤ −1.775). Den gr¨ßten Anteil and
                                                          o
                    a      u
         ordnungsgem¨ß gef¨llten Paketen liefert M1, denn
         P(Z ≤ −2.469) < P(Z ≤ −1.775) < P(Z ≤ −1.2346).
     b) F¨r alle Maschinen soll gelten: P(Z ≤ 199−µi ) = 0.05. Mit
         u                                      σi
        az = (199 − µi )/σi = −1.645 und σi = −(199 − µi )/1.645 erh¨lt man
                                                                    a
        σ1 = 1.2158, σ2 = 2.4316 und σ3 = 1.8237.
                                                                                          67 / 87
Aufgaben 4.10 – 4.11

               u                        a
   4.10) Das F¨llgewicht von Kartoffels¨cken sei normalverteilt mit σ = 5. Der
                               ¨                   u
   Erwartungswert µ sei durch Anderungen an der F¨llmaschine zu beeinflussen, dabei
                   a                                     a             o
   wird σ nicht ver¨ndert. Wie groß ist µ mindestens zu w¨hlen, damit h¨chstens 3% der
    a
   S¨cke ein Gewicht von 50 kg oder weniger haben ?
    o
   L¨sung:
   Gesucht ist µ, so dass P(X ≤ 50) = P(Z ≤ 50−µ ) = 0.03. Mit
                                              5
   az = (50 − µ)/σ = −1.811 erh¨lt man µ = 59.405.
                                 a

                                   a
   4.11) Bei einer Lieferung von Pr¨zisionsteilen sei deren Durchmesser normalverteilt mit
   µ = 0.614 mm und σ = 0.007 mm. Wie viel Prozent Ausschuss sind zu erwarten, wenn
                                                       o
   der Durchmesser der Teile a) uber 0.600 mm, b) h¨chstens 0.620 mm betragen soll ?
                                 ¨
    o
   L¨sung:
     a) Gesucht ist α × 100%, so dass P(X ≤ 0.6) = α oder
        P(Z ≤ (0.6 − 0.614)/0.007) = P(Z ≤ −2) = 0.02275 (2.28%).
     b) Gesucht ist α × 100%, so dass 1 − P(X ≤ 0.62) = α oder
        1 − P(Z ≤ (0.62 − 0.614)/0.007) = P(Z ≤ 0.85714) = 0.19568 (19.57%).




                                                                                             68 / 87
Aufgaben 4.12


              a
   4.12) Die L¨nge von Gehwegplatten sei normalverteilt mit µ = 400 mm und σ = 5
   mm.
                                                    a
     a) Wie groß ist der Ausschussanteil, wenn die L¨nge der Platten uber 390 mm
                                                                     ¨
        betragen soll ?
                                                                     a
     b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Platte nicht l¨nger als 407.5 cm
        ist?

    o
   L¨sung:
     a) Gesucht ist α, so dass P(X ≤ 390) = α, bzw. P(Z ≤ −2) = α. Daraus:
        α = 0.02275.
     b) Gesucht ist α, so dass P(X ≤ 407.5) = α, bzw. P(Z ≤ 1.5) = α. Daraus:
        α = 0.93319.




                                                                                          69 / 87
Aufgaben 4.13

   4.13) Bei einer Klausur mit einer maximalen Punktzahl von 100 seien die Ergebnisse
     a
   (n¨herungsweise) normalverteilt mit µ = 60 und σ = 10. Bestimmen Sie den Anteil
   der Studenten,
     a) die durchgefallen sind, wenn zum Bestehen der Klausur uber 50 Punkte
                                                              ¨
        erforderlich sind,
                                                u
     b) die die Note gut“ erhalten, wenn diese f¨r Punktzahlen von uber 80 bis
                                                                   ¨
                      ”
        einschließlich 95 vergeben wird.
     c) Auf welchen Wert muss die Mindestpunktzahl festgelegt werden, wenn nicht
        mehr als 10% der Studenten durchfallen sollen?

    o
   L¨sung:
     a) Gesucht ist α, so dass P(X ≤ 50) = α, bzw. P(Z ≤ −1) = α. Daraus:
        α = 0.1587.
     b) Gesucht ist α, so dass P(X ≤ 95) − P(X ≤ 80) = α, bzw.
        P(Z ≤ 3.5) − F (Z ≤ 2) = 0.99977 − 0.97725 = α. Daraus: α = 0.0225.
     c) Gesucht ist a, so dass P(X ≤ a) = 0.1, bzw. P(Z ≤ az ) = 0.1. Mit
        a = µ + az × σ und az = −1.282 erh¨lt man a = 47.18.
                                            a




                                                                                        70 / 87
Aufgaben 5.1, 5.2
   5.1) Welche Aussagen zu Wahrscheinlichkeiten beliebiger Ereignisse sind richtig?
     a) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) gilt nur wenn A und B disjunkt
     b) 0 < P(A) < 1; siehe Teilaufgabe e)
     c) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) ist richtig
     d) P(A ∩ B) = P(A) P(B) gilt nur wenn A und B unabh¨ngig
                                                        a
     e) 0 ≤ P(A) ≤ 1 ist richtig.


                                                                           u
   5.2) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit viermaligem Werfen eines W¨rfels
     a) P( viermal 6“) = (1/6)4 = 0.00077
           ”
     b) P( viermal keine 6“) = (5/6)4 = 0.4823
           ”
     c) P( mindestens eine 6“) = 1 − P( keine 6“) = 1 − (5/6)4 = 0.518
           ”                                     ”
     d) P( 6,6,6,5“) = (1/6)(1/6)(1/6)(1/6) = 0.00077
           ”
                                        o          u                    u
     e) dreimal 6 und einmal 5: M¨gliche f¨r dieses Ereignis g¨nstige Ergebnisse sind
        (6, 6, 6, 5), (6, 6, 5, 6) (6, 5, 6, 6) (5, 6, 6, 6). Jedes Ergebnis besitzt dieselbe
        W’keit, n¨mlich (1/6)4 , damit ist
                   a
        P( dreimal 6 und einmal 5“) = 4 (1/6)4 = 0.00309.
           ”


                                                                                                71 / 87
Aufgabe 5.3
   5.3) Aus dem Bestand der Familien mit drei Kindern wird eine Familie per Zufall
          a                                                                        u
   ausgew¨hlt. Wie groß ist – unter der Annahme einer Geburtenwahrscheinlichkeit f¨r
                a                                          u
   Jungen und M¨dchen von 0.5 – die Wahrscheinlichkeit daf¨r, dass zwei Kinder
     a
   M¨dchen sind, wenn
     a) als Vorinformation bekannt ist, dass unter den drei Kindern mindestens ein
          a
        M¨dchen ist.
                                                 a                 a
     b) als Vorinformation bekannt ist, dass das ¨lteste Kind ein M¨dchen ist.
     c) keine Vorinformation genutzt werden kann.


        o                         o
   Zur L¨sung Auflistung aller m¨glichen Ergebnisse des Zufallsvorganges ( m“ f¨r       u
                                                                                     ”
     a            u
   M¨dchen, j“ f¨r Junge):
             ”
   (m, m, m), (m, m, j) (m, j, m) (j, m, m) (m, j, j), (j, m, j) (j, j, m) (j, j, j)
                   a                            a
     a) A = zwei M¨dchen“, B = mindestens ein M¨dchen“.
            ”                   ”
        P(A ∩ B) = P(A) = 3/8, P(B) = 7/8, P(A|B) = (3/8)/(7/8) = 3/7
     b) C = ¨ltestes Kind ist M¨dchen“, P(A ∩ C ) = 2/8, P(C ) = 1/2.
             a                 a
            ”
        P(A|C ) = (1/4)/(1/2) = 1/2.
     c) P(A) = 3/8.



                                                                                           72 / 87
Aufgabe 5.4
                                                                    a
   5.4) Aus einer Urne, die drei weiße und zwei schwarze Kugeln enth¨lt, wurden auf gut
     u
   Gl¨ck zwei Kugeln entnommen und in eine zweite Urne gelegt, in der sich bereits vier
                                                                                   u
   weiße und vier schwarze Kugeln befanden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit daf¨r,
                        a
   dass eine hierauf zuf¨llig aus der zweiten Urne entnommene Kugel weiß ist ?

    o              u                   u
   L¨sung mit w“ f¨r weisse Kugel, s“ f¨r schwarze Kugel:
               ”                   ”
                     1. Ziehung                                    2. Ziehung
      o
    M¨gliche Ergebnisse           W’keit                             u
                                                           W’keit f¨r weiße Kugel
          (w , w )         P = (3/5)(2/4) = 3/10    P(w |(w , w ) i. 1. Zug) = 6/10 = 3/5
           (w , s)         P = (3/5)(2/4) = 3/10       P(w |(w , s) i. 1. Zug) = 1/2
           (s, w )         P = (2/5)(3/4) = 3/10       P(w |(s, w ) i. 1. Zug) = 1/2
           (s, s)          P = (2/5)(1/4) = 1/10        P(w |(s, s) i. 1. Zug) = 2/5
           u
   W’keit f¨r Ziehung einer weißen Kugel aus der 2. Urne ist

                P   =    P(w |(w , w ) i. 1. Zug)P((w , w ) i. 1. Zug) + · · ·
                          + P(w |(s, s) i. 1. Zug)P((s, s) i. 1. Zug)
                    =    (3/10)(3/5) + · · · + (1/10)(2/5) = 26/50 = 0.52.




                                                                                          73 / 87
Aufgabe 5.5
   5.5) Die Ergebnismenge eines Zufallsvorgangs ist E = {a, b, c, d, e}. F¨r die Ereignisse
                                                                          u
   A = {a, b, c} und B = {a} gilt P(A) = 1/2 und P(B) = 1/3. Außerdem seien die
   Ereignisse C = {b, c}, D = {d, e} und F = {a, d, e} gegeben.
     a) Bestimmen Sie P(C ), P(D) und P(F )
                                             u
     b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit f¨r das Eintreten von A, wenn man weiß,
        dass B eingetreten ist?
                                             u
     c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit f¨r das Eintreten von B, wenn man weiß,
        dass A eingetreten ist?
     d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass D und F eintreten, wenn man weiß,
        dass mindestens eins der beiden Ereignisse eingetreten ist?


    o
   L¨sung:

     a) P(D) = 1 − P(A) = 1/2; P(A) = P(C ) + P(B) und damit P(C ) = 1/6;
        P(F ) = P(D) + P(B) = 5/6.
     b) P(A ∩ B) = P({a}) = P(B) −→ P(A|B) = 1.
     c) P(A ∩ B) = P({a}) = P(B) = 1/3, P(B|A) = (1/3)/(1/2) = 2/3.
     d) Da D ∩ F nicht leer ist, ist die W’keit 1.


                                                                                              74 / 87
Aufgabe 5.6
                                                                 a
   5.6) Zur Auswahl von Studienbewerbern will eine Universit¨t zwei Aufnahmetests
   einsetzen. Die Tests sollen gleichwertig sein, d.h. die jeweils einander entsprechenden
   Aufgaben sollen den gleichen Schwierigkeitsgrad besitzen. In einer Untersuchung
                                                             u
   bearbeiteten 600 Versuchspersonen die Testaufgaben. F¨r zwei einander entsprechende
   Aufgaben wurde folgendes Untersuchungsergebnis vorgelegt:

    Anzahl der          Aufgabe 1
     Personen         o            o
                   gel¨st nicht gel¨st
     Aufgabe 2
          o
       gel¨st        116         174
     Aufgabe 2
             o
    nicht gel¨st     211         99

                                                                        a
   Werten Sie das Untersuchungsergebnis grob, indem Sie die relativen H¨ufigkeiten der
                                 o                        o
   Ereignisse A ( Aufgabe 1 gel¨st“) und B ( Aufgabe 2 gel¨st“) miteinander
                 ”                           ”
                                                        a
   vergleichen. Zeigen Sie, dass A und B voneinander abh¨ngige Ereignisse sind.

    o
   L¨sung (Interpretation der rel. Hfgk. als W’keiten):
   Unabh¨ngig, wenn gilt P(A ∩ B) = P(A)P(B). Hier:
        a
   P(A ∩ B) = 116/600 = (327/600)(290/600) = P(A)P(B).



                                                                                             75 / 87
Aufgabe 5.7


                          a
   5.7) Ein Kraftfahrzeugh¨ndler weiß aus Erfahrung, dass bei den in Zahlung
                               a
   genommenen Wagen 50% M¨ngel am Motor, 70% an der Karosserie und 30% an
                                                                          u
   Motor und Karosserie aufweisen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit daf¨r, dass ein in
   Zahlung genommener Wagen
                                               a
     a) weder am Motor noch an der Karosserie M¨ngel aufweist?
     b) auch einen Mangel am Motor besitzt, wenn bekannt ist, dass die Karosserie
             a
        besch¨digt ist?


    o              a                        a
   L¨sung mit A = M¨ngel am Motor“ und B = M¨ngel an Karosserie“:
                 ”                        ”
     a) 1 − P(A ∪ B) = 1 − (0.5 + 0.7 − 0.3) = 0.1
     b) P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B) = 0.3/0.7 = 0.429.




                                                                                            76 / 87
Aufgabe 5.8
                              a                                                   a
   5.8) Ein elektronisches Ger¨t besteht aus 2 Komponenten A und B. Aus langj¨hriger
                                                                 a
   Erfahrung weiß man, dass A mit Wahrscheinlichkeit 0.05 ausf¨llt. Die
                                  a                                 a
   Wahrscheinlichkeit, dass A ausf¨llt, wenn B ausgefallen ist, betr¨gt 0.2. Außerdem ist
   bekannt, dass mit Wahrscheinlichkeit 0.02 beide ausfallen.
                                                        a
     a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass B ausf¨llt, wenn A ausgefallen ist?
                                                        a
     b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass B ausf¨llt?
                                                                                 a
     c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eins von beiden ausf¨llt?
     d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass A und B nicht gleichzeitig ausfallen?


    o                 a                    a
   L¨sung mit A = A f¨llt aus“ und B = B f¨llt aus“:
                  ”                    ”
   Gegeben ist P(A) = 0.05, P(A|B) = 0.2, P(A ∩ B) = 0.02.

     a) P(B|A) = P(A ∩ B)/P(A) = 0.02/0.05 = 0.4
     b) P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B), d.h. P(B) = P(A ∩ B)/P(A|B) = 0.1.
     c) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = 0.05 + 0.1 − 0.02 = 0.13.
     d) 1 − P(A ∩ B) = 1 − 0.02 = 0.98.




                                                                                            77 / 87
Aufgabe 5.9


   5.9) Die diskrete Zufallsvariable X hat die folgende Verteilung:

      x        0      1       2      4
    f (x)     0.2    0.4     0.3    0.1

   Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz.

    o
   L¨sung:


            E (X )   =     0 × 0.2 + 1 × 0.4 + 2 × 0.3 + 4 × 0.1 = 1.4
        Var(X )      =     (0 − 1.4)2 0.2 + (1 − 1.4)2 0.4 + (2 − 1.4)2 0.3 + (4 − 1.4)2 0.1
                     =     1.24.




                                                                                               78 / 87
Aufgabe 5.10
   5.10) Sie haben sich nach Ihrem Lottogewinn 100 Aktien der SeeleKomm AG (SK)
   und 200 Aktien der Nord-Eis (NE) zugelegt. SK notiert zu 480 Euro und NE zu 240
                           o                              u        a         o
   Euro. Ihr Freund, der B¨rsenmakler Richard Risiko hat f¨r den n¨chsten B¨rsentag
   vorhergesagt, dass SK mit 1/3 Wahrscheinlichkeit gleich bleibt und mit einer
                                                            u
   Wahrscheinlichkeit von 2/3 um 10% anzieht. Dagegen bef¨rchtet er, dass NE
                   u                                               o
   angesichts des k¨hlen Wetters 10% seines Wertes verliert oder h¨chstens gleich bleibt.
                   u    a
   Die Chancen daf¨r st¨nden 50:50, meint er. Welchen Wert Ihres Aktienpaketes
   erwarten Sie auf dieses Basis?

    o
   L¨sung:
                                        a        o
   Definiere X1 : Wert der SK Aktien am n¨chsten B¨rsentag“ und X2 : Wert der NE
                 ”                                                 ”
               a        o
   Aktien am n¨chsten B¨rsentag“ mit
      x1    48 000    52 800      x2    48 000   43 200
    f (x1 )   1/3      2/3      f (x2 )   1/2      1/2


      E (X1 + X2 )   =   E (X1 ) + E (X2 )
                     =   (48000/3 + 52800 × 2/3) + (48000/2 + 43200/2) = 98600.




                                                                                            79 / 87
Aufgabe 5.11


   5.11) Eine Versicherungsagentur erzielt bei guter Konjunktur einen Monatsgewinn von
   5000 Euro, bei fallender Konjunktur von 2500 Euro und in einer Rezession macht sie
                                               u
   3500 Euro Verlust. Die Wahrscheinlichkeit f¨r eine gute Konjunktur sei P(S) = 0.5
        u
   und f¨r eine fallende Konjunktur P(R) = 0.3. Wie hoch ist der Erwartungswert des
                          u
   monatlichen Gewinns f¨r die Agentur?

    o
   L¨sung:
   Definiere X : Monatsgewinn“ (Annahme: Es gibt nur drei Realisationen von X )
               ”
      x     5 000  2 500   -3 500
    f (x)    0.5    0.3      0.2


               E (X ) = 5000 × 0.5 + 2500 × 0.3 − 3500 × 0.2 = 2550.




                                                                                         80 / 87
Aufgabe 5.12
                                                 u
   5.12) Auf einem Jahrmarkt gibt es folgendes Gl¨cksspiel. In einem Topf sind 9 Kugeln,
                                             u
   davon 4 weiße (w) und 5 schwarze (s). Es d¨rfen mit einem Griff 3 Kugeln
                              u
   herausgenommen werden. F¨r jede gezogene weiße Kugel wird ein Gewinn von 1 Euro
                                                                      u
   ausgezahlt, jede gezogene schwarze Kugel bedeutet 1 Euro Verlust f¨r den Spieler. Mit
                                                              u
   welchem durchschnittlichen Gewinn kann der Veranstalter f¨r den Spielbetrieb
   rechnen?

         o                       o                                            u
   Zur L¨sung Auflistung aller m¨glichen Ergebnisse des Zufallsvorganges ( w“ f¨r weiße
                                                                         ”
              u
   Kugel, s“ f¨r schwarze Kugel), Gewinn des Spielers und entspr. W’keiten:
           ”
     Ergebnisse    (w , w , w ) (w , w , s) (w , s, w ) (s, w , w )
    Gewinn (x)          3            1           1           1
        f (x)         1/21         5/42       5/42        5/42
     Ergebnisse     (w , s, s)  (s, w , s)  (s, s, w )   (s, s, s)
    Gewinn (x)         −1           −1         −1           −3
        f (x)        10/63        10/63      10/63        5/42
   Gewinn des Spielers X ist Verlust des Veranstalters. Daher g (X ) = −X und

     E (g (X ))   =   −(3 × (1/21) + 1 × (15/42) − 1 × (30/63) − 3 × (5/42)) = 1/3.




                                                                                           81 / 87
Aufgabe 5.13
   5.13) In einer Stichprobe erwachsener Personen vom Umfang n = 100 beobachten Sie
                                                            u                u
   20 Arbeitssuchende. Berechnen Sie ein Konfidenzintervall f¨r die W’keit daf¨r, dass in
   der entspr. Grundgesamtheit jemand arbeitssuchend ist (α = 0.05).
   Anmerkung:

   t9,0.90 = 1.383,      t9,0.95 = 1.833,       t9,0.975 = 2.262,
   t9,0.990 = 2.821,     t9,0.995 = 3.250,
   t10,0.90 = 1.372,     t10,0.95 = 1.812,      t10,0.975 = 2.228,
   t10,0.990 = 2.764,    t10,0.995 = 3.169,
   t11,0.90 = 1.363,     t11,0.95 = 1.796,      t11,0.975 = 2.201,
   t11,0.990 = 2.718,    t11,0.995 = 3.106,
   t24,0.90 = 1.318,     t24,0.95 = 1.711,      t24,0.975 = 2.064,
   t24,0.990 = 2.492,    t24,0.995 = 2.797,
   t25,0.90 = 1.316,     t25,0.95 = 1.708,      t25,0.975 = 2.060,
   t25,0.990 = 2.485,    t25,0.995 = 2.787,
   z0.90 = 1.282,        z0.95 = 1.645,         z0.975 = 1.96,
   z0.990 = 2.326,       z0.995 = 2.576.



                                                                                           82 / 87
               o
Aufgabe 5.13: L¨sung



                      u                         a
   Konfidenzintervall f¨r Anteilswert π eines bin¨ren Merkmals X . Konkret:
   p = 20/100 = 0.2, daher

                 [fα/2 , f1−α/2 ]
                                          p(1 − p)              p(1 − p)
                    =      p − z1−α/2              , p + z1−α/2
                                             n                     n
                    =    [0.2 − 1.96    0.16/100, 0.2 + 1.96 0.16/100]
                    =    [0.1216, 0.2784].

   Voraussetzung nπ ≥ 5 ist erf¨llt, denn 100 × 0.2 = 20.
                               u




                                                                             83 / 87
Aufgabe 5.14

                                                         o
   5.14) Nehmen Sie an, dass jedes Jahr 0.05% der Bev¨lkerung eines Landes wegen
   einer bestimmten Unfallart stirbt und dass ein Versicherungsunternehmen 10.000
   Kunden hat, die gegen diese Unfallart versichert sind. Wie groß ist die
                         u
   Wahrscheinlichkeit daf¨r, dass das Versicherungsunternehmen in einem Jahr mehr als
   drei Versicherungen auszahlen muss?
    o
   L¨sung:
                                                     u
   ZV ist A: Versicherungsfall tritt ein“, W’keit daf¨r ist P(A) = 0.0005. Sei X : Anzahl
             ”                                                                     ”
       a
   an F¨llen, in denen A eintritt“. X ist binomialverteilt. Gesucht ist P(X > 3). Schneller
   zu berechnen: P(X > 3) = 1 − P(X ≤ 3), mit
   P(X ≤ 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3).

             P(X = 0)     =    (1 − 0.0005)10000 = 0.0067295
             P(X = 1)     =    10000 × 0.0005 × (1 − 0.0005)9999 = 0.0336645
             P(X = 2)     =    0.0841948
             P(X = 3)     =    0.1403669

   Damit ist
   P(X > 3) = 1 − (0.0067295 + 0.0336645 + 0.0841948 + 0.1403669) = 0.7350443.




                                                                                              84 / 87
Aufgabe 5.15
                                                   u
   5.15) Mit Wahrscheinlichkeit 0.1 ist in einer M¨sli-Packung eine bestimmte Figur
                                                 u
   enthalten. Sie kaufen 60 Packungen dieses M¨slis, wobei jede Packung 1 Euro kostet.
     a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in den 60 Packungen keine (eine, zwei,
        60) Figuren enthalten sind?
                                                                       o
     b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in den 60 Packungen h¨chstens 20
        (mehr als 40) Figuren enthalten sind?
                     o      u               u
     c) Die Figuren k¨nnen f¨r 2 Euro das St¨ck verkauft werden. Wie groß ist bei 60
        gekauften Packungen der erwartete Gewinn?

    o
   L¨sung:

     a) Allgemein:

                                   n
                     P(X = x) =         π x (1 − π)n−x ,   x = 0, 1, 2, . . . , n
                                   x

        F¨r n = 60 und x = 0: 1 × 0.10 × 0.960 = 0.001797,
         u
        n = 60 und x = 1: 60 × 0.11 × 0.959 = 0.01198,
        n = 60 und x = 2: 1770 × 0.12 × 0.958 = 0.0393,
        n = 60 und x = 60: 1 × 0.160 × 0.90 ≈ 0



                                                                                           85 / 87
               o
Aufgabe 5.15: L¨sung

                                                                       o
     b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in den 60 Packungen h¨chstens 20
        (mehr als 40) Figuren enthalten sind?
                     o      u               u
     c) Die Figuren k¨nnen f¨r 2 Euro das St¨ck verkauft werden. Wie groß ist bei 60
        gekauften Packungen der erwartete Gewinn?

    o
   L¨sung:

     b) nˆ ist approximativ N(nπ, nπ(1 − π)), denn nπ = 6 und n(1 − π) = 54. Damit
         π

                                   X −µ     20 − µ            20 − 60 × 0.1
              Pr(X ≤ 20)    ≈   Pr(       ≤        ) = Pr(Z ≤                )
                                     σ         σ              60 × 0.1 × 0.9
                            =   Pr(Z ≤ 6.025) ≈ 1.

        Pr(X > 40) ist damit nahe null.
     c) E (X ) = nπ = 6. Pro Figur 2 Euro Gewinn: E (2X ) = 12 Euro erwarteter
        Gewinn. Kosten: 60 Euro, Reingewinn: 12 − 60 = −48 Euro.




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Aufgabe 5.16



   5.16) Der Erwartungswert µ einer Normalverteilung mit der Varianz σ 2 = 9 soll
        a
   gesch¨tzt werden. Eine Stichprobe vom Umfang n = 100 bringt den Mittelwert 53.97.
                                             u         o
     a) Geben Sie ein 95%-Konfidenzintervall f¨r µ an. L¨sung: [53.38, 54.56].
                   u                                                        u
     b) Wie groß m¨ßte der Stichprobenmittelwert sein, damit das Intervall k¨rzer wird?
         o        o
        L¨sung: Bl¨dsinn.
                  u
     c) Wie groß m¨ßte der Stichprobenumfang genommen werden, damit man ein
        95%-Konfidenzintervall der L¨nge 0.4 erh¨lt? L¨sung: 865.
                                   a           a     o
                  u
     d) Wie groß m¨ßte der Stichprobenumfang sein, damit man ein
                                   a           a     o
        99%-Konfidenzintervall der L¨nge 0.4 erh¨lt? L¨sung: 1492.




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