Lsungen der bungsaufgaben zur Makrokonomie

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					Lösungen Makroökonomie Übung

 Aufgabe 1 ............................................................................................................................... 2
   (a) ....................................................................................................................................... 2
   (b) ....................................................................................................................................... 2
 Aufgabe 2 ............................................................................................................................... 3
   (a) ....................................................................................................................................... 3
   (b) ....................................................................................................................................... 4
 Aufgabe 3 ............................................................................................................................... 6
 Aufgabe 4 ............................................................................................................................... 8
   (a) ....................................................................................................................................... 8
   (b) ....................................................................................................................................... 9
   (c) ....................................................................................................................................... 9
 Aufgabe 5 ............................................................................................................................. 11
   (a) ..................................................................................................................................... 11
   (b) ..................................................................................................................................... 11
   (c) ..................................................................................................................................... 13
 Aufgabe 6 ............................................................................................................................. 14
   (a) ..................................................................................................................................... 14
   (b) ..................................................................................................................................... 15
   (c) ..................................................................................................................................... 15
 Aufgabe 7 ............................................................................................................................. 16
   (a) ..................................................................................................................................... 16
   (b) ..................................................................................................................................... 16
   (c) ..................................................................................................................................... 16
 Aufgabe 8 ............................................................................................................................. 16
 Aufgabe 9 ............................................................................................................................. 17
 Aufgabe 10 ........................................................................................................................... 19
   (a) ..................................................................................................................................... 19
   (b) ..................................................................................................................................... 19
   (c) ..................................................................................................................................... 20
   (d) ..................................................................................................................................... 20
 Aufgabe 11 ........................................................................................................................... 22
   (a) ..................................................................................................................................... 22
   (b) ..................................................................................................................................... 24
 Aufgabe 12 ........................................................................................................................... 24
   (a) ..................................................................................................................................... 24
   (b) ..................................................................................................................................... 25
   (c) ..................................................................................................................................... 25
   (d) ..................................................................................................................................... 25
   (e) ..................................................................................................................................... 26
 Aufgabe 13 ........................................................................................................................... 26
 Aufgabe 14 ........................................................................................................................... 28
   (a) ..................................................................................................................................... 29
   (b) ..................................................................................................................................... 29
   (c) ..................................................................................................................................... 30
Aufgabe 1
Logarithmische Produktionsfunktion
Wir betrachten die Produktionsfunktion y=log(1 +n).

(a)
Überprüfen Sie, ob diese Produktionsfunktion die in der Vorlesung formulierten Bedingungen
(positives und abnehmendes Grenzprodukt, Inada-Bedingungen) erfüllt.

y  log(1  n)
f (n)  0 für n  0
            1
f (n)          0 positives Grenzprodukt
         1 n
                1
f (n)              0 abnehmendes Grenzprodukt
            (1  n) 2

Inada-Bedingungen
 f (0)  log 1  0                 ok
 f ()  lim log(1  n)          ok
        n
f (0)  1 Inada fordert          nicht erfüllt
f ()  0                         ok

(b)
Stellen Sie die optimale Wahl des Arbeitseinsatzes in einer Graphik dar, wenn der Reallohn
w/p=1/10 beträgt. Welcher reale Gewinn wird insbesondere erreicht?

Max  p  y  w  n  p  f (n)  w  n
  n

                            w
bzw. Max         f ( n)       n in realen Preisen ausgedrückt
        n   p                p
              d             w           w    1    1
FOC     G          f (n)   f ( n)  
                  p                                 n=9
             dn              p           p  1  n 10
                          9
              log(1  9)   1,4
         p                 10
        d2  
SOC             f (n)  0  Maximum
        dn 2  p 
              
 y




                                                                             n
                 2             4             6            8             10


Aufgabe 2
Die (durchschnittliche) Produktivität ist definiert als das Verhältnis zwischen dem Output y
und dem dafür benötigten Arbeitseinsatz n, also y/n.

(a)
Zeigen Sie graphisch und analytisch für eine konkave Produktionsfunktion y = f (n) (welche
die Inada-Bedingungen erfüllt), dass die durchschnittliche Produktivität des Arbeitseinsatzes
stets größer ist als das Grenzprodukt der Arbeit.

                                         y
(durchschnittliche) Produktivität
                                         n
 Y




                                   GPA                 f(n)




                                                               n

konkave Produktionsfunktion y  f (n)
f (n0  (1   )n1 )  f (n0 )  (1   )( f (n1 )          0  1
  Y




                                                        f(n)




  n0=0           n‘                            n1=n              n

                             n
Mit n0:=0, n1:=n, 1   :
                             p
                                                                 n
f (n)  f (n0  (1   )n1 )  f (n0 )  (1   ) f (n1 )        f ( n)
                                                                 p
     f (n) f (n)
                  für n’<n
       n      n
f ( n)
        Produktivität sinkt mit n
  n
     d  f (n)  f (n)  n  f (n)                                     f ( n)
                                 f (n)  n  f (n)  0  f (n) 
    dn  n              n 2
                                                                          n


(b)
Wie ändert sich die Produktivität bei einem technischen Fortschritt, welcher eine
proportionale Drehung der Produktionsfunktion zur Folge hat, d.h. y = A f(n) mit A > 1? Wie
würde sich diese ändern, wenn der technische Fortschritt eine Parallelverschiebung der
Produktionsfunktion nach oben bewirkt, d.h. y = f (n)+B mit B > 0?

Fall 1:
y  A  f (n) mit A  1 Drehung der PF
                   f ( n ) f ( n)
Produktivität: A         
                     n       n
GPA:           A  f (n)  f (n)
 y



                                                 Tangente steiler           y=A*f(n)
                                                 GPA steigt



                                                                              y=f(n)




                                                     Produktivität steigt
              Durchschnittsproduktivität
              steigt

                                                     n                                     n

Fall 2:
y  f (n)  B mit B  0 Verschiebung der PF
               f ( n) B f ( n)
Produktivität:        
                 n     n       n
GPA:           f (n)  f (n) Arbeitsnachfrage ist konstant
 y


                                           Tangente parallel
                                           verschoben
                                           GPA konstant                 y=f(n)+B



                                                                         y=f(n)




                                                  Produktivität steigt
              Durchschnittsproduktivität
              steigt

                                                 n                                     n
Aufgabe 3
Substitutions- und Einkommenseffekt einer Reallohnänderung

Stellen Sie in einer geeigneten Graphik dar, welche Auswirkungen eine Absenkung des
Reallohns auf die Konsumentscheidung und das Arbeitsangebot haben kann. Zerlegen Sie
insbesondere den Gesamteffekt in den Substitutions- und den Einkommenseffekt.

                                                                n 
Präferenzen U (c, n) über Konsum c und Arbeitsangebot n, wobei      U c  0, U n  0
                                                                c 
 c




                 Nutzen U steigt




                                               T       n

                                                   dc                   U
U (c, n) konstant entlang der Indifferenzkurve                          n  MRS n
                                                   dn U (c, n) : konst. U c

                                    w
                                       n (in realen Preisen)
Budgetrestriktion: p  c  w  n bzw. c 
                                    p
Annahme: der Konsum wird komplett durch Arbeit finanziert
 C




                                   Sinkender
                                   Reallohn




                                                   n




Optimale Wahl von Konsum und Arbeitsangebot
                                       w
                                  c     n
                                       p




                       n*                     T       n

                     w
 Max U (c, n) s.t. c   n
                      p
Lösung durch Einsetzen
       w
max U (  n, n)
  n    p
           w              w  U
FOC U c   U n  0    n  MRS n
           p               p Uc
      w 
        n             w        
n   p  U U   n, n 
    f
                                
       n               p        
            
              w
U C U n    p   U c  w  U n
              
             1           p
              

Substitutionseffekt
  C                                                w
                                              C     n
                                                   p




                            A
 C0

                B
 C’




                 n’          n0                           n
Bei konstanter Kaufkraft sinkt der Anreiz zum Arbeiten (wird Freizeit relativ billiger) und
damit sinkt auch der Konsum.

Einkommenseffekt
  C



                                   A


                    B



                                           D2

                             D1




                                                      n

bei D1: |SEn|>|EE|  Arbeitsangebot geht insgesamt zurück
bei D2: |SEn|<|EE|  Arbeitsangebot steigt insgesamt


Aufgabe 4
Robinson Crusoe produziert seinen Konsum mit der Produktionsfunktion y = n/2, um sein
Überleben auf der einsamen Insel zu sichern.

(a)
Bestimmen Sie die optimale Wahl von Konsum und Freizeit, wenn die Präferenzen von
Robinson wie folgt gegeben sind:
(i) u(c,n) = √c+√15−n
(ii) u(c,n) = 2√c+√15−n

                                           n
Max U (c, n)  c  15  n s.t. c  y 
 c ,n                                      2
Allgemein: MaxU (c, n)        s.t. c  f (n)
             c ,n

bzw. MaxU  f (n), n
        n
                                         un
FOC: U C f (n)  U n  0  f (n)         MRS n
                                         uc
 C




                                            C=f(n)




                                                          n
           n
Hier: Max     15  n
      n    2
       1 1        1
FOC:                0
        n 2 2 15  n
     2
        2
                                                n
 2n 15  n                  n  5 , c         2,5
                                                2
      C
 10




  5




                                                                n
                         5                 10              15
(ii)
       n
Max 2      15  n
 n     2
           1 1     1          n
FOC: 2                 0   15  n  n  10 , c  5
            n 2 2 15  n      2
         2
            2

(b)
Welcher Opportunitätspreis einer Stunde Freizeit in Einheiten des Konsums (d.h. welcher
Reallohn) ergibt sich jeweils?

Opportunitätspreis der Freizeit in Einheiten des Konsums
                                       1
 Grenzprodukt der Arbeit (GPA) =
                                       2
 |Grenzrate der Substitution zwischen Konsum und Freizeit| (Betrag der MRS)


(c)
Wie ändert sich die Entscheidung von Robinson, wenn aufgrund von technischem Fortschritt
seine Produktionsfunktion die Form y = 2n annimmt? Ermitteln Sie diese Änderung für den
Fall (i), und stellen Sie die Zerlegung dieser Änderung in einen Substitutions und einen
Einkommenseffekt graphisch dar.

Max c  15  n               s.t. c  2n
  n

bzw. Max 2n  15  n
          n

              1              1
FOC:              2              0
          2 2n          2 15  n
 2n  4(15  n)      n  10 , c  2  n  20
Ausgangssituation: n0  5 , c0  2,5
Nach der Produktivitätsänderung: n1  10 , c1  20
  C

                                          C=2n
 20                                 D




 15
                                            B




 10




                                                     C=n/2
  5



                         A



                                                             n
                     5               10                15




SE: A  B
Opportunitätspreis von Freizeit steigt
 Konsum steigt, Arbeitsangebot steigt, Nachfrage nach Freizeit sinkt

EE: B  D
Höhere Produktivität bedeutet höheres „Einkommen“
 Nachfrage nach Konsum und Freizeit steigt, das Arbeitsangebot geht zurück

Insgesamt: C0  C1 Konsum steigt
|SEn| > |EEn|
Arbeitsangebot steigt n0  n1
Aufgabe 5
Erläutern Sie die Konsum-/Sparentscheidung eines repr¨asentativen Konsumenten in einem
Modell mit zwei Perioden.

(a)
Wie lautet die intertemporale Budgetrestriktion bei gegebener Periodenausstattung e1 und e2
und gegebenem Zinssatz R?

Intertemporales Budget:
c2  e2  (e1  c1 )(1  R)
bzw. (1  R)c1  c2  (1  R)e1  e2 (in Zukunftswerten)
            c             e
bzw. c1  2  e1  2                 (in Gegenwartswerten)
          1 R           1 R

(b)
Wie ändert sich die optimale intertemporale Konsumallokation, wenn bei konstanter
Periodenausstattung e1 und e2 der Zinssatz R steigt und es sich bei dem Konsumenten um
einen (i) Gläubiger / (ii) Schuldner handelt? Zerlegen Sie den Gesamteffekt in den
Substitutions- und den Einkommens-/Ausstattungseffekt.
       ~
 R  R ( R)
(i) Gläubiger: c1<e1
bzw. e1-c1>0
bzw. c2>e2
 C2




                        D1
                 B




                                   D2
                          A




                                                      Steigung: -(1+R)




                              c1        e1                                                 C1


SE: A B
Konsumänderung bei konstanter Kaufkraft
Bei höherem R wird mehr gespart, d.h. c1 sinkt und c2 steigt.

EE: B D
Gläubiger profitiert von der Zinserhöhung (positiver Einkommens-/Ausstattungseffekt)
 c1 und c2 steigen

Insgesamt: c2 steigt
1. Fall: BD1
|SEc1|>|EEc1|, d.h. es wird mehr gespart (c1>c1I)

2. Fall: BD2
|SEc1|<|EEc1|, d.h. es wird weniger gespart, da die Zinserlöse höher ausfallen (c1<c1II)


(ii) Schuldner
c1>e1
bzw. e1-c1<0
bzw. c2<e2
  C2




  e2                                    B

                                   D2

  c2                                          A

                                        D1


                                                            Steigung: -(1+R)


                                   e1        c1                                           C1

SE: AB
Es wird mehr „gespart“ (weniger Schulden)
c1 sinkt, c2 steigt

EE: AD
c1 sinkt, weniger Schulden

1. Fall: A D1
|SEc2| < |EEx2|, d.h. c2 sinkt
c2 sinkt (negativer Einkommens-/Ausstattungseffekt überwiegt)

2. Fall: A D2
|SEc2| > | EEx2|, d.h. c2 steigt

(c)
Was bedeutet ein höherer Zinssatz in den Fällen (i) und (ii) jeweils für das Nutzenniveau des
Konsumenten?

Gläubiger:
Nutzen steigt

Schuldner:
Falls der Schuldner Schuldner bleibt, sinkt das Nutzenniveau. (Schuldner leidet unter
Zinserhöhung)



Aufgabe 6
Wir betrachten das Lagerhaltungsmodell der optimalen Kassenhaltung eines repräsentativen
Konsumenten. Der Konsument macht in jedem Monat Einkäufe in Höhe von insgesamt
c=10.000€. Für jeden Gang zur Bank entstehen Transaktionskosten in Höhe von γ= 100€.
Der Zinssatz beträgt R = 8% (pro Monat). Das Preisniveau ist auf p = 1 normiert.

:         Zeitdauer zwischen zwei Bankbesuchen, außerdem Anteil des Konsums im jeweiligen
           Zeitabschnitt
1
  :        Anzahl der Bankbesuche (pro Monat)

       m



    c


       c
m
       2



                                   2          3          1Monat
                                                                 Zeit

 Transaktionskosten je Bankbesuch: 
                               1
 Gesamte Transaktionskosten: 
                               
                                                         c
     Opportunitätskosten durch Kassenhaltung: m  R       R
                                                         2
                                1      c
     Gesamte Kosen: GK ()           R
                                      2

Minimiere Gesamtkosten:
         dGK      1      cR
FOC: 0         2  
          d             2
            2                        1   cR                            c   c
                                                              m       
            cR                           2                            2    2R

(a)
Bestimmen Sie die optimale durchschnittliche Kassenhaltung des Konsumenten m . Wie
oft geht der Konsument im Monat zur Bank?
       10000€ 100€ 1000€
m                        2500€
          2  0,08   0,4
         2 100€    1 1
                    2Bankbesuche
       10000  0,08 2 

(b)
Wie ändert sich die optimale Kassenhaltung des Konsumenten, wenn

(i) die Transaktionskosten auf γ= 25€ sinken?
        10000€  25€ 500€
m                          1250€
           2  0,08    0,4
         2 100€    1 1
                    2Bankbesuche
       10000  0,08 2 

(ii) der Zinssatz auf R = 18% steigt?
        10000€ 100€ 1000€
m                            1666€
           2  0,18       0,6
         2 100€    1 1
                    3Bankbesuche
       10000  0,18 3 

(iii) das Konsumniveau auf c = 2.500€ sinkt?
        2500€ 100€ 500€
m                         1250€
           2  0,18   0,4
        2 100€    1 1
                   1Bankbesuch
       2500  0,08 1 

(c)
Wie empirische Untersuchungen zeigen, kann h¨aufig von einer makro¨okonomischen
Liquiditätspräferenz der Form M/P =Y ·l(R) ausgegangen werden, wobei Y das
Transaktionsniveau der Ökonomie (das reale Volkseinkommen) bezeichnet. Welche
Einkommenselastizität der realen Geldnachfrage impliziert dies? Welchen Wert nimmt diese
Elastizität im Lagerhaltungsmodell der optimalen Kassenhaltung an?

Geldhaltung im makroökonomischen Modell

      Liquidität spräferenz
M         
         L(Y , R)
p

Empirisch: L(Y , R)  Y  C ( R)

Empirische Einkommenselastizität der realen Geldnachfrage:
       
   M Y
  p  m  C ( R) 
                         Y
                                1
    Y p             Y  C ( R)

Einkommenselastizität im Lagerhaltungsmodell:
            M
c Y m 
  ˆ    ˆ
            p
      m c                  1          c          1
                                         
      c m       2R        2 c          c        2
                                        2 R




Aufgabe 7
Die in der Vorlesung zur Modellierung des Kapitalmarkts betrachtetenWertpapiere b zahlen
für jede in einer Periode angelegte Geldeinheit in der darauf folgenden Periode einen
Zinsertrag von R Geldeinheiten plus den Einsatz von einer Geldeinheit, also insgesamt 1+R
Geldeinheiten. Alternativ kann man sogenannte Nullkouponbonds (Zerobonds) B
betrachten, welche in der Folgeperiode eine Geldeinheit auszahlen und heute zu einem
gewissen Kurs PB gehandelt werden.


(a)
Bestimmen Sie PB. Wie ist PB zu interpretieren?

                       Heute                   Zukunft
Anleihe                1€                      1€ (1+R)
Nullkuponanteile       1€/(1+R)                1€

                               N
Nullkuponbond: P B 
                           (1  R ) n

(b)
Gegeben PB für einen Zerobond, was ist der Zinssatz R für die Laufzeit des Bonds?
 P B  (1  R)  1
            1       1
(1  R)  B  R  B  1  s (spot rate)
           P       P

(c)
Angenommen, die Laufzeit des Zerobonds ende erst nach zwei Perioden. Was ist in diesem
Fall der Zinssatz f¨ur eine Periode? Verallgemeinern Sie dieses Resultat für beliebige
Laufzeiten des Bonds.
         1€                                              1
PB                     P B  (1  R) 2  1  (1  R) 2  B
      (1  R) 2
                                                        P
       1
R2       1
       PB


Aufgabe 8
Bezeichne R1 bzw. R2 die Verzinsung eines einperiodigen Nullkouponbonds in der ersten
bzw. zweiten Periode (kurzfristige Zinsen) sowie R die Verzinsung eines Nullkouponbonds
mit einer Laufzeit von zwei Perioden (langfristiger Zins).

(a) Welche Relation sollte zwischen R1, R2 und R gelten, wenn alle Zinssätze bekannt sind?
Argumentieren Sie anhand der jeweiligen Bondpreise, welche Strategie ein Gläubiger
bzw. Schuldner verfolgen w¨urde, falls diese Bedingung nicht erfüllt wäre.
(b) In welchem Verhältnis stehen der kurzfristige Zins R1 und der langfristige Zins R (d.h.
welche Gestalt hat die Zinsstrukturkurve), falls die kurzfristigen Zinsen steigen, d.h.
falls R2 > R1? Wie sieht die Zinsstrukturkurve aus, falls R2 < R1?

gegeben:
R1: Rendite eines Nullkupons für eine Periode; Beginn: heute
                                                                                Strategie 1
R2: Rendite eines Nullkupons für eine Periode; Beginn: morgen
R : Rendite eines Nullkupons für zwei Perioden; Beginn: heute                   Strategie 2


(1  R) 2  (1  R1 )(1  R2 )
bzw. (1  s2 ) 2  (1  s1 )(11f 2 )

(1,08167 ) 2  (1,04 )(1  f 2 )
     (1,08167 ) 2
 f2               1  12 ,59 %
         1,04
Stimmen die Renditen nicht überein, so ist Arbitrage möglich.
        1
PB            P↓ R↑
      1 R

(1  R) 2  (1  R1 )(1  R2 )
R1<R2 steigende kurzfristige Zinsen
     (1  R) (1  R)
1
     (1  R1 ) (1  R2 )
 (1  R) (1  R)           (1  R)
                                     1 R>R1
(1  R1 ) (1  R2 )        (1  R1 )
                            (1  R)
                                      1 R<R2
                           (1  R2 )
R2<R1 fallende kurzfristige Zinsen

(1  R) (1  R)
          
(1  R1 ) (1  R2 )
 (1  R)
           1 R>R2 R<R1
(1  R2 )


Aufgabe 9
Walras’ Gesetz
Leiten Sie Walras’ Gesetz aus den Budgetrestriktionen der Haushalte und Unternehmen in
einer Volkswirtschaft her. Inwiefern stellt ein Markt den „Spiegelmarkt“ der restlichen
Märkte dar?

Gütermarkt: C1 ( w , R )  Y ( w , R )
                 p             p
                                       
                                  
  R
                                                  Y




 R*




                                                  C
                      C*,Y*                           C,Y


Arbeitsmarkt: N D ( w )  N S ( w , R)
                    p           p             
                                         



      w
      p                                                       N
                                                                  S




  w
  p



                                                                  D
                                                              N
                                                                  S   D
                            N*                                N ,N

Geldmarkt: M 0  M1  M1  pL( R, Y )
                                      S
                                                                 


 p
                                      S
                                  M

                                                              1
                                                              L




                                                      S=          0
                                                  M M
          1
p               M
      L ( R, Y )
             


                   Gläubiger
                      
                           Schuldner

Kapitalmarkt: B  B1 ( p , R)  B s ( w , R)  0
                    d w
                                     p                       
                                                     
Budgetrestriktion der Haushalte: wn1  U   b0 (1  r )  m0  pc1  b1  m1
                                                  s
                                 H  
                                                          
                                                      Mittelherkunft   Mitellverwendung

Aggregat:
pC1  B1  wN1  M1  M 0  U 1
              S




Budgetrestriktion der Unternehmen
pY1  wn1   1
          d


Aggregat:
pY1  wN1  U 1

pC1  B1  wN1  M1  M 0  u1  pY1  wN1
                   S                                        D


                                  
pC1  Y1   w N1  N1  M1  M 0   B1  0
                       D       S




Aufgabe 10
Makroökonomisches Markträumungsmodell

(a)
Inwiefern sind im makroökonomischen Basismodell die Gleichgewichtsbedingungen für
Güter-, Arbeits-, Geld- und Kapitalmarkt rekursiv?

Gütermarkt: C ( w , R)  Y ( w , R)
                p            p
                                          
                                      

Geldmarkt: M S  M D  L( R, Y )
                                            

Arbeitsmarkt: N ( )  N ( , R)
                        D w
                          p
                                       S    w
                                            p 
                                           
Max  pF ( K , N )  wn  K  R
                               w
    p  GPA  w  0  GPA 
N                               p

                           
                          Gläubiger
                   Schuldner

Kapitalmarkt:          B  BD
                        S
                                                  B  BD  BS


(b)
Stellen Sie das makroökonomische Gleichgewicht anhand geeigneter Graphiken dar.
Inwiefern ist in diesem Gleichgewicht das Geld „neutral“?
                           w/p
                                                              NS




                           w/p*




                                                              ND
R              R‘ R
        C                                                      NS,ND
                           Y




                                   Y*
                                                              Y=F(N)




                                    C,Y


Angebotsüberschuss Y>C
 Nachfrageüberschuss Bd  B s  R↓
pC  Y   B  0 (Walrass)
pC  Y    B
pC  Y   ( B D  B S )
pC  Y   B S  B D
-=-


(c)
Erläutern Sie die Begriffe „inflatorische“ bzw. „deflatorische Lücke“.

Nachfrageüberschuss Bd  B s  R↓
Geldmarkt: M S  M D  pL( R, Y ) R↓, L↑  p↓ Deflatorische Lücke
                                  


Nachfrageüberschuss: Y<C
Angebotsüberschuss: Bd  B s
 R↑
Geldmarkt: M S  M D  pL( R, Y )         R↑, L↓  p↑ Inflatorische Lücke
                                  


(d)
temporärer positiver Schock
Parallelverschiebung der Produktionsfunktion
                           w/p                    NS




R                                                ND
                R1   R2

                                                 NS,ND
                          Y1


          C1
                               Y2

    C2
                                                  Y1=F(N)


                                                   Y2=F(N)
                                     C,Y




temporärer positiver Schock
Drehung der Produktionsfunktion
                                    w/p                      N
                                                                 S




                                                             D
R                                                        N
                 R1 R2
                                                             S       D
                                                         N ,N
                               Y1


           C1
                                    Y2

     C2
                                                             Y1=F(N)



                                                             Y2=F(N)
                                           C,Y
 Y


                                            Y2=F(N)                       GPAs
                                                                          gleich
                                            Y1=F(N)




                                                   N
       w
GPA1 
       p
       w
GPA2 
       p


Aufgabe 11
Geldschöpfung

(a)
Welche Geldschöpfung ergibt sich bei einer ursprünglichen Einlage von 1.000.000€ und
einem Mindestreservesatz von α= 0.05
(i) ohne Bargeldhaltung?
(ii) mit Bargeldhaltung in Höhe von γ= 10% der Einlagesumme?
Wie ändert sich der Geldschöpfungsmultiplikator, wenn
- der Mindestreservesatz auf 0.1 erhöht wird?
- der Bargeldsatz auf 0,5 steigt?

Schichten        Einlage      Reserve     Kredite
             0      1.000.000      50.000     950.000
             1        950.000      47.500     902.500
             2        902.500      45.125     857.375
             3        857.375      42.869     814.506
             4        814.506      40.725     773.781
             5        773.781      38.689     735.092
             6        735.092      36.755     698.337
             7        698.337      34.917     663.420
             8        663.420      33.171     630.249
             9        630.249      31.512     598.737
            10        598.737      29.937     568.800

Summe           8.623.998            431.200      8.192.798
Summe ∞        20.000.000          1.000.000     19.000.000
Mindestreservesatz                      0,05

G  E  E    E...
G  E  (1   ) E  (1   )(1   ) E  (1   )(1   )(1   ) E...
     
                      1
G   E (1   ) n  E
    n 0              
      
                            1
G   E (1   ) n               E  E
     n 0                   

Exkurs:
           
(1   )  n  1
          n 0

(1   )(1     2   3 ...)  1
(1       2   2   3   3 ...)  1
 
           1
 n  1 
n 0
                            
                                                       1        1
nun   (1   )           (1   )
                           n 0
                                          n
                                                             
                                                  1  (1   ) 

     1                                       1
G        1.000 .000  20 .000 .000           
    0,05                                    
∑Reserven = G  0,05  1.000.000
∑Kredite = (1   )G  (1  0,05)G  1.000.000


mit Bargeldhaltung                0,1
Schichten             Einlage      Reserve     Kredite     Bargeld
                  0      1.000.000      50.000     950.000      95.000
                  1        855.000      42.750     812.250      81.225
                  2        731.025      36.551     694.474      69.447
                  3        625.026      31.251     593.775      59.378
                  4        534.398      26.720     507.678      50.768
                  5        456.910      22.845     434.064      43.406
                  6        390.658      19.533     371.125      37.113
                  7        334.013      16.701     317.312      31.731
                  8        285.581      14.279     271.302      27.130
                  9        244.172      12.209     231.963      23.196
                 10        208.767      10.438     198.328      19.833

Summe           5.665.548                     283.277       5.382.271
Summe ∞         6.896.552                     344.828       6.551.724   655.172
Mindestreservesatz                               0,05
Bargeldanteil                                      0,1

G  E  E (1   )(1   )  E (1   )(1   )(1   )(1   )  ...
     
                                           1                       1
G   E (1   ) n (1   ) n  E                      E
    n 0                          1  (1   )(1   )        (1   )
           1               1
                              6,8965 Mio
    0,1  0,9  0,05 0,145

∑Reserven =   G
∑Kredite = (1   )G
∑Bargeldhaltung = (1   )    G
α↑0,1  Steuerung der Geldmenge
     1
       10
    0,1

γ↑ 0,5
             1           1
                           1,905
      0,5  0,5  0,05 0,525


(b)
In welcher Relation stehen monetäre Basis und Geldmenge M1 zueinander?

 B  BG  EKI
 M1  BG  SE
 M1  m1B
       o m1        1
                1   



Aufgabe 12
Reale Kosten der Geldhaltung, Superneutralität des Geldes


(a)
Bestimmen Sie den Opportunitätspreis der heutigen Geldhaltung in Einheiten des heutigen
Konsums anhand der Budgetrestriktion in einem Zwei-Perioden-Modell.

Periode 1:      p1c1  m1  b1  p1 y1  m0  b0  (1  R )
Periode 2:      p2c2  m2  b2  p2 y2  m1  b1  (1  R)
                        p2c2   m2   b  p y    m
nach b1:        b1               2  2 2  1
                       1 R 1 R 1 R 1 R 1 R
                           p2c2   m      b    m                             p y
einsetzen:      p1c1  m1        2  2  1  p1 y1  m0  b0  (1  R)  2 2
                          1 R 1 R 1 R 1 R                              1 R
                       pc       R      m    b         p y
umformen:       p1c1  2 2       m1  2  2  p1 y1  2 2  m0  b0  (1  R)
                      1 R 1 R       1 R 1 R       1 R

Kosten einer nominalen Geldeinheit
                R
nominal :
              1 R
                R    1
real:              
              1  R p1

Reale Kosten der realen Geldhaltung
  R
1 R
(b)
Wie setzen sich die realen Kosten der Geldhaltung zusammen?

Reale Kosten der Geldhaltung
 R                                              1 R
       R  r                        genau:         1  r  R  r    r
                                                                           
1 R                                            1                        klein


-     Opportunitätskosten in Höhe der entgangenen Zinsen
-     direkte Kosten in Höhe der Inflationsrate


(c)
Inwiefern werden im makroökonomischen Modell das Preisniveau, der Nominallohn und der
Nominalzins durch den Geldmarkt bestimmt?

M
     L ( R, Y )  L ( r   , Y )
 p
Annahme: Individuen haben perfekte Voraussicht bezüglich der Inflationsrate
     p  pt
 : t 1
          pt
M ts         p  pt
      L(rt  t 1   , Yt )
pt                pt

Gleichung mit einer Unbekannten (pt)
                    w
Nominallohn:= wt  t  pt
                     pt
           w
Reallohn:= t (wird auf dem Arbeitsmarkt determiniert)
           pt

 Reale Größen werden durch die realen Sektoren der Ökonomie determiniert, nominale
  Größen durch den Geldmarkt.


(d)
Erläutern Sie die „Superneutralität des Geldes“.

Superneutralität des Geldes
Bezieht sich auf die Ausweitung der Geldmenge mit einer Konstanten Wachstumsrate (μ)

Thesen:
- keine realen Effekte
- es gilt π=μ

M  P  L(r   , Y )   | logarithmisches Differenzieren
ˆ   ˆ ˆ                        
                               
M  P  L(r   , Y )   | 
                           ˆ           r   , Y im Zeitablauf konstant
                               
  0
M
   L(r   , Y )  l (r   )  Y
p

M und p wachsen mit gleicher Rate  Bruch ändert sich im Zeitablauf nicht
 keine realen Effekte


(e)
Warum kommt es (in der langfristigen Betrachtung) beim Übergang zu einer höheren
Wachstumsrate der Geldmenge zu einem Preissprung?

t  t0    
t  t0        
                                 ln M t                                   ln M t
                                 ln Pt                                       
                                                                          Ut
                                                                          ln Pt




                                              Preissprung
  ln M t
              Ut
  ln Pt

                                                                                   Zeit

Mt
      L(rt   t , Yt )
 Pt
U t : ln M t  ln Pt  ln L(rt   t , Yt )
                                     
U t : ln M t  ln Pt  ln L(rt   t , Yt )                     t   t
         
Ut  Ut



Aufgabe 13
Optimale Wahl des Kapitalstocks
  pt 1 f (nt 1 , kt )  wt 1nt 1  pt 1 K t  rt  pt 1 K t  
  pt 1 f (nt 1 , kt )  wt 1nt 1  pt 1 K t (r   )
d
        pt 1 f K ()  pt 1 (r   )  0
dK t
f K ()  rt  
          fK
        fK
     fK  




          r
                                                fK
                                            fK  
                                                     K
                       k

(a) temporärer positiver Angebotsschock, konstantes GPK
      r
          I d ()                     C d ()
                                                                Y S ()




     r*




                                                               Yd C  I


                                I*       C*              Y*

steigendes GPK:
 r              d
                            C d ()                              Y S ()
               I ()




     r*



                                                               Yd C  I


                                 I*        C*             Y*

 I, C, Y steigen
 Auswirkung auf r ungewiss
permanenter negativer Angebotsschock, sinkendes GPK
  r       d           C d ()                          Y S ()
         I ()




 r*


                                                       Yd C  I


                         I*        C*             Y*



Aufgabe 14
K t  Yt  Ct  K t 1 diskret
 
K t  Yt  Ct  K t stetig

Konstante Sparquote 0  s  1 , Yt  Ct  sYt
 K t  sYt  K t

in pro-Kopf-Größen
    K    Y     K
 t  s t  t
    Lt    Lt    Lt
Kt        K      K
    s  g t    t
          L 
Lt         t     Lt


Yt  F ( K t , Lt )
Yt    1
    F ( K t , Lt )     Annahme: konstante SE
Lt Lt
Yt     K 
    F  t ,1
       L 
Lt      t 
Yt    K 
    g t 
      L 
Lt     t

Veränderung der Kapitalintensität im Zeitablauf
d ( Ktt ) Kt Lt  Kt Lt Kt Kt Lt
                             
                           
    L
                  2
  dt           Lt        Lt Lt Kt
(a)
                                    
                                    Lt
Konstante Bevölkerung, d.h.            n0
                                    Lt
d ( Ktt )       
                Kt      Y    K
                   s  t  t
    L

  dt            Lt      Lt   Lt

im GG:
                   K    
                  g t
                   L    
                         
                    t   
                  
d ( Ktt )         Y   K
             s  t  t  0
    L

  dt              Lt  Lt
                                                                K
   K                                                         g 
  g                                                           L
   L
                                                                     Y
                                                                 s
                                     Konsum                          L

                                                   K
                                               
                                                   L


                                     Bruttoin-
                                     vestitionen
                                                                 K
                                                                L
                                                       K
                                                       L

(b)
                                                   
                                                   Lt
Konstantes Bevölkerungswachstum, d.h.                 n0
                                                   Lt
d ( Ktt )                    
                Kt Lt  Kt Lt Kt Kt Lt
                                 
    L
                        2
  dt                 Lt        Lt Lt Kt
     K                             K     Kt
                                               n 
                     K     K
s  g t
     L            t  n t  s  g t
                                    L     L
      t            Lt    Lt         t      t



im GG:
           
           
    Kt
                  
d ( ) K t K t K t Lt K t
                            t  n  t   n   0    n
                              K       K
                 
    Lt

  dt   Lt K t Lt K t Lt       Lt      Lt
                                                                     Kt
    K                                                                 (  n)
   g                                                               Lt
    L

                                                                       K    
                                                                    sg  t
                                                                       L    
                                                                             
                                                                        t   
                                                       K
                                                   
                                                       L




                                                                          K
                                                                            k
                                                                          L
                                                            k*


(c)
exogener arbeitssparender technischer Fortschritt
                             
                             et
Effizienzparameter: et          
                             et
      Kt
                                                    
                                                                             n
           e L  K  (e  L  L  e ) K
 d ( ) Kt t t           t t                 K e     K                     L
                                       t  t  t  t                        t
     et Lt          t             t  t
                      2 2
    dt              et Lt               et Lt et Lt et et Lt                  Lt
      K                K     K     K       K                           K
 sg  t
     e L             t   t  n t  sg  t
                                           e L             (    n) t
                                                           
      t t             et Lt et Lt et Lt    t t                        et Lt

im GG:
 d ( eKLt t )                    Kt
      t
                 (    n)          0    n 
    dt                          et Lt
                                                                     Kt
    K                                                                   (  n   )
   g                                                              et Lt
     eL 

                                                                        K       
                                                                    sg  t
                                                                       e L      
                                                                                 
                                                                        t t     
                                                       K
                                                   
                                                       L




                                                                          K
                                                                             k
                                                                          eL
                                                            k*

				
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