Statistica matematica probleme de dificultate redusa
1)
Dintr-o popula ie normal repartizat cu dispersia necunoscut se face o selec ie de volum n. Intervalul de încredere pentru media m a popula iei cu dispersia necunoscut este x
t
s ,x t n
s ? n
True
2) 3) 4)
Fie un parametru al colectivit ii generale i *(x1,x2, ,xn) o func ie de selec ie. Spunem c * este o estima ie consistent a lui dac *(x1,x2, ,xn) converge în probabilitate c tre ? True Momentele de selec ie sunt estima ii absolut corecte ale momentelor teoretice? True Fie densitatea de reparti ie f(x, ), cu parametru necunoscut. Fie cazul ipotezei simple: H0: = ; H1: = 1. Probabilitatea de respingere a ipotezei H0 ca func ie de se nume te riscul furnizorului? False Intervalul de incredere pentru parametrul mediei m din repartia normala N(m, cunoaste este ? True ) cand se
0
5)
6)
Intervalul de incredere pentru parametrul m al repartitiei normale N(m, dispersia este ? False
) cand nu se cunoaste
7)
Intervalul de incredere pentru parametrul dispersiei ? False
al repartiei normale N(m,
) este
8) 9) 10)
Valoarea mometului de selec ie de ordinul r este
? True
Momentele de selec ie sunt estima ii absolut corecte ale momentelor teoretice? True
Urmatoarea estimatie:
este o estimatie nedeplasata pentru dispersia teoretica? False
11)
Fie
si
doi estimatori nedeplasati pentru un parametru . Sa se precizeze daca estimatorul pastreaza proprietatea de a fi nedeplasat pentru parametrul dat ? True
12)
Testul Z se aplicã pentru verificarea ipotezei
H0 : m
cu alternativa
m0
m1
H1 : m
pentru distributia N m,
2
cu
2
cunoscut? True
13)
Pentru compararea a doua proportii provenite din doua esantioane de volume aceleasi populatii se foloseste statistica normal redusa:
si
ale
? True
14)
Pentru compararea a 2 proportii testam ipoteze nula: contra ipotezei alternative: la un prag de semnificatie . Atunci spunem ca respingem ipoteza nula in cazul: , unde reprezinta cuantila de ordin ? True
15)
Valorile d
1
1 2
, unde
este functia de repartie pentru o variabila normal redusa,
nu se cunosc? False
16)
Dacã
*
x1 ,..., xn converge în probabilitate cãtre parametrul
? True
, spunem cã
*
este o estimatie
consistentã a lui
17)
Dacã M spunem cã
*
x1 ,..., xn
*
, lim D
n
2
*
x1 ,..., xn
0,
? True
x1 ,..., xn este o estimatie corectã a parametrului
*
18) 19)
O estimatie
este nedeplasatã dacã M
*
0?
True
Dispersia de selectie este s teoretica? False
2
1 n
n
xi
i 1
x este o estimatie nedeplasata pentru dispersia
2
20)
Valoarea mediei de selectie este x
1
1 n
n
n
xi ?
i 1
True
21) 22)
Valoarea dispersiei de selectie este s
2
1 n
xi
i 1
x ?
2
True
Dacã repartitia teoreticã are media m si dispersia
2
2
, atunci media de selectie are valoarea
medie
si dispersia
n
? False
23)
Testul "t" (Student) se aplicã pentru verificarea ipotezei
H0 : m
cu alternativa
m0
m1
H1 : m
pentru distributia N m,
2
cu
2
cunoscut? False
24)
Pentru compararea dispersiei de sondaj cu dispersia populatiei originare consideratã N m, trebuie verificatã ipoteza
2
H0 :
contra alternativei
2
2 0
H1 :
2
2 1
.
se face cu ajutorul unui esantion de volum n cu statistica U repartitie
2
n 1 ~2 s
2
care are o
? True
25)
Dacã nx reprezintã numãrul observatiilor în care a apãrut o valoare a caracteristicii decât x atunci functia de repartitie de selectie este Fn x
*
mai micã
nx ? n
True
26) 27)
O estimatie
*
este nedeplasatã dacã D
2
*
0 ? False
Problema regresiei const în a descrie legea de varia ie medie a unei variabile în func ie de una sau mai multe variabile cunoscute? True
28)
Problema corela iei const în caracterizarea intensit ii leg turii cu ajutorul unui coeficient numeric coeficient de corela ie independent de unit ile de m sur ale variabilelor correlate? True
29)
O condi ie necesar pentru un calcul statistic corect in problema de regresie si de corelatie este omogenitatea datelor i un num r mic de observa ii? False
30) 31)
Caracterul omogen sau neomogen al colectivit ii statistice poate fi sesizat examinând diagrama de dispersare a unit ilor observate în raport cu valorile variabilelor correlate? True Intervalul de incredere pentru parametrul dispersiei ? Yes al repartiei normale N(m, ) este
32)
Fie
si n date, atunci cuantilele repartitiei
:
2 1,tab
2 1 2 ;n 1
,
2 2 ,tab
2 2 ;n 1
sunt
tabelete? Yes
33)
Estimatorul verosimilitatii maxime pentru parametrul efficient? Yes
al repartitiei Poisson este un estimator
34) 35) 36) 37)
Douã estimatii eficiente ale parametrului
nu sunt egale aproape sigur? No
Valoarea medie a momentului de selectie de ordin r ,
r
este
r
? Yes
Dispersia momentului de selectie de ordin r ,
r
este
? No
Media condi ionat teoretic a lui y în raport cu x este y x estima prin metoda celor mai mici p trate? Yes
a
bx .Parametrii a i b se pot
38)
Fie
un parametru necunoscut pentru o densitate de repartitie f x,
,unde
. Atunci pentru o . Atunci [A,B]
selectie de volum n obtinem douã statistici A x1 ,..., xn , B x1 ,..., xn astfel încât
B x1 ,..., xn probabilitatea P A x1 ,..., xn INTERVAL se numeste........................de incredere.
nu depinde de
39)
Fie
este un parametru necunoscut pentru densitatea de repartitie f x,
.Atunci pentru o . In acest caz
selectie de volum n obtinem douã statistici, A x1 ,..., xn , B x1 ,..., xn astfel încât
B x1 ,..., xn ,unde multimea punctelor de selectie x1 ,..., xn pentru care A
acceptare pentru .
probabilitatea P A x1 ,..., xn
nu depinde de
B , se numeste ............ de
REGIUNE
40)
Fie
este un parametru necunoscut al densitatii de repartitie f x, nu depinde de
în care pentru o selectie .Atunci numãrul se
de volum n obtinem douã statistici, A x1 ,..., xn , B x1 ,..., xn astfel încât probabilitatea
B x1 ,..., xn ,unde PRAG încredere al intervalului [A,B]. numeste ....... de
P A x1 ,..., xn
41) 42)
Dispersia de selec ie este o estima ie consistent pentru ...................teoretic .
DISPERSIA
Probabilitatea de respingere a ipotezei nule PUTERE functie de............... a testului.
ca functie de parametrul considerat
se numeste
43)
În luarea deciziei de admitere sau respingere a unei ipoteze se pot face o eroare de gradul întâi daca RESPINGEM H 0 desi ea este adevãratã. .....................
44)
În luarea deciziei de admitere sau respingere a unei ipoteze se pot face o eroare de gradul doi
ACCEPTAM daca ..................... H 0 desi ea este falsa.
45)
Fie x1 ,..., x n valorile observate ale variabilei x i y1 ,..., y m valorile observate ale variabilei y i fie f ij num rul unit ilor popula iei care au valoarea xi a variabilei x i y i pentru y. Atunci
n
m
MARGINALE
f
j i 1
f ij i f i
j 1
f ij se numesc reparti ii ...............ale lui y, respectiv x.
46)
MARGINALE
Caracteristicile ...............ale lui x i y (medie i dispersie) sunt
x y
1 f 1 f
n
xi f i , D ( x )
i 1 m
2
1 f
1 f
n
xi
i 1
m
x fi
2
2
yj f
j 1
.j
2 , D ( y)
yj
j 1
y f
j
probleme de dificultate medie
1)
S-a constatat c cererea unui anumit articol într-o perioad a anului este o variabil aleatoare. Luându-se la întâmplare 100 de bonuri de comand s-au observat urm toarele 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Cererea ( xi ) 20 18 10 19 3 1 Frecven a ( ni ) 4 5 12 8 Aflati cererea medie x . x = 5, 49
Fie o selec ie de volum 25 repetat asupra unei caracteristici X a unei popula ii statistice care a condus la rezultatele urm toare: k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 xk -2 0 1 2 1 2 0 4 -2 -1 -3 1 2 3 4 2 -2 -1 3 2 4 4 1 -3 2 determinati dispersia de selec ie.
2)
3)
Se consider X o caracteristic a unei popula ii cu densitatea de reparti ie f x,
cu
rezultatele unei
parametru necunoscut, f x,
2 e x!
x
2
,x
N,
> 0, i fie xk
k 1, n
selec ii repetate de volum n efectuat asupra lui X. Determinati un estimator de maxim verosimilitate al parametrului
θ∗ =
x 2
4)
Fie X o carateristic a unei popula ii, X (m, 2), cu conduce la o valoare medie x
= 36, i fie o selec ie de volum n=9 care
195 .
Intervalul de încredere pentru parametrul m este 171,48;218,52 pentru ce coeficient de încredere? δ = 0,95
5)
Fie X o carateristic a unei popula ii, X (m, 2) i fie o selec ie de volum n=9 care conduce la o valoare medie i o dispersie modificat x
50, s = 1,752 .
pentru ce coeficient de
2
Intervalul de încredere pentru parametrul m este 48,311; 51,689 încredere? δ = 0,98
6)
Dintr-o popula ie normal se face o selec ie de volum 16 g sindu-se: xk: 2,8; 2,8; 2,8; 3; 3; 3; 3,4; 3,2; 3; 3; 2,9; 2,9; 2,8; 3,4; 3; 3. Aflati intervalul de încredere 98% corespunz tor dispersiei 2 [0, 0176;0,1033] Dintr-o selec ie ordonat de volum n=25 s-au ob inut urm toarele date: medie de selec ie x = 14,85, dispersie de selec ie modificat s* = 1,52. Se face urmatoarea ipoteza asupra valorii medii teoretice H0 : m = 15,15 . In aceste conditii, se accepta ipoteza H0 la un nivel de semnifica ie = 0,05? Yes
7)
8)
Pe un e antion dintr-o popula ie N(m,
) de volum n=25 s-a ob inut x = 12,64; s
2
6, 25 .
Se fac urmatoarele ipoteze asupra valorii medii teoretice : H0: m = 12, H1 : m 2, 262 se accepta H0? Yes La un nivel de semnifica ie = 0,05 , t
12 .
9)
Dintr-o popula ie normal repartizat cu dispersia necunoscut se face o selec ie de 2 2 volum n 9 i se ob ine x 50 , s 1, 75 . S se scrie intervalul de încredere dac 2,37 . ( 48, 61;51,38) 0, 05 i t
Precizati momentul centrat de selec ie de ordinul r
10) 11) 12)
Daca pentru o sectie de volum n se cunoaste dispersia de selectie valoarea dispersiei de selectie modificate S se arate c dac .
atunci sa se precizeze
este o variabil aleatoare normal
, atunci pentru o selectie de
volum n care este reparti ia mediei de selec ie ?
13) 14)
Spunem c
este o estima ie consistent a lui
? Yes
daca
converge în
probabilitate c tre parametrul
Recunoasteti urmatoarea teorema: Dac este o estima ie absolut corect a parametrului
, atunci
D2
*
x1 ,... xn nM
1 ln f x,
2
.
Rao-Cramer
15)
Dac
este o func ie de estima ie absolut corect , atunci cum se numeste raportul
1 nM en
*
ln f x, D2
*
2
eficienta lui
16)
Pentru compararea dispersiei de sondaj cu dispersia populatiei originare comsiderata normala trebuie verificata ipoteza nula de incredere .Specificati: daca contra alternativei aunci pentru respigem la un prag ? False
17)
Determinarea regiunii critice se face cu ajutorul carei leme? Neyman-Pearson
18) 19) 20)
Precizati intervalul de incredere pentru parametrul mediei m din repartia normala N(m, se cunoaste Sa se afle intervalul de incredere pentru parametrul m al repartitiei normale N(m, cunoaste dispersia .
) cand
) cand nu se
Sa se determine un interval de incredere pentru parametrul dispersiei N(m, )
al repartiei normale
21)
Fie repartitia de tip continuu f x,
unde
poate lua orice valoare dintr-un interval I . . Atunci cum se
Valorile de selectie x1 ,..., xn obtinute în urma a n extractii independente din populatie sunt variabile aleatoare independente cu aceeasi densitate de probabilitate f x, numeste functia functie de verosimilitate , P x1 ,..., xn ;
dx1 ...dxn
μr =
f x1 , ... f xn , dx1 ...dxn ?
1 n r ∑ (xi − x ) n i =1 1 n r ∑ xi n i =1
22) 23) 24) 25)
Precizati momentul centrat de selectie de ordinul r
Precizati momentul de selectie de ordinul r pentru o variabila aleatoare α r =
Compararea mediei unui sondaj cu media cunoscuta a unei populatii originare se face cu ajutorul testului Z care se bazeaza pe statistica Z=... Compararea a douã proportii se realizeza cu ajutorul a douã esantioane de volum n1 respectiv
n2 din populatii diferite sau din aceeasi populatie. Aceste esantioane ne dau proporþiile p1 respectiv p2 de elemente posedând o anumitã caracteristicã A . Vom testa ipoteza H 0 : p1 p2
contra alternativei
H1 : p1
cu ajutorul carei statisticii?
p2 .
Z=
p1 − p2 p1q1 p2 q2 + n1 n2
26) 27)
Daca en
*
este eficienta lui
atunci
0 en
*
1?
True
S-a constatat c cererea unui anumit articol într-o perioad a anului este o variabil aleatoare. Luându-se la întâmplare 100 de bonuri de comand s-au observat urm toarele 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Cererea ( xi ) 20 18 10 19 3 1 Frecven a ( ni ) 4 5 12 8 Atunci calculati dispersia modificat de selec ie s 2 .
% s 2 = 4, 47
28)
Fie o selec ie de volum 25 repetat asupra unei caracteristici X a unei popula ii statistice care a condus la rezultatele urm toare: k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 xk -2 0 1 2 1 2 0 4 -2 -1 -3 1 2 3 4 2 -2 -1 3 2 4 4 1 -3 2 Aflati x .
x = 0,96
29)
Fie o popula ie caracterizat simultan de dou variabile X i Y. Fie x1 , x2 ,..., xn valorile observate ale variabilei X i y1 , y2 ,..., ym valorile observate ale variabilei Y. Fie fij num rul unit ilor popula iei care au valoarea xi a variabilei X i yj pentru Y. Numerele f ij , i
m n
1, n, j 1, m , satisfac urmatoarele relatii fij
True
0, i 1, n, j 1, m,
f ij
i 1 j 1
1?
30)
Se considera o populatie avand doua caracteristici X si Y, variabilele aleatoare discrete, pentru care se cunosc reparti iile individuale i reparti ia comun date în tabloul X\Y -1 1 qj Determinati reparti ia variabilei 3X - 2Y 0 1/12 1/4 1/3
⎛ −3 3 X − 2Y : ⎜ 1 ⎜ ⎜ ⎝ 12 -1 1 4 1 1 4
1 5/12 1/4 2/3
3 ⎞ ⎟ 5⎟ ⎟ 12 ⎠
pi 1/2 1/2
31)
Fie o popula ie caracterizat simultan de dou variabile X i Y pentru care calcul m media teoretica condi ionata a lui Y in raport cu X, y x . D Coeficientul de variatie a ajustarii se calculeaza cu ce formula? CV = y = 1 ⋅ y y unde y x = a + bx .
y ∑($ − y n
x
)
32)
33)
La dou teste opt elevi au ob inut urm toarele rezultate: Test 1 45 40 X 35 55 40 35 50 60 Test 2 50 60 40 35 65 55 45 50 Y Calculati valorile medii x i y . x = 45 y = 50 La dou teste opt elevi au ob inut urm toarele rezultate: Test 1 45 40 X 35 55 40 35 50 60 Test 2 50 60 40 35 65 55 45 50 Y * Calculati coeficientul a al dreptei de regresie a lui y în raport cu x , y x a a = 0,75 Dac se dau x
bx
34)
7,82 , y 7,86 , s x 4,86 , s y 5,50 i rxy 0,5273 , precizati dreapta de regresie a lui y în raport cu x . y = 0,5967 x + 3,17
35) 36) 37)
Dac se dau x
7,82 , y
7,86 , s x
4,86 , s y
5,50 i rxy
0,5273 , coeficientul
a din ecua ia dreptei de regresie y x
Dac se dau x
a bx are ce valoare? a = 0,5967 4,86 , s y
5,50 i rxy 0,5273 , coeficientul
7,82 , y
7,86 , s x
b din ecua ia dreptei de regresie y x
a bx are ce valoare? b = 3,17
38)
Pentru datele din tabelul urm tor x 40 50 y 58 102 Cat sunt valorile medii x i y . x = 59 y = 140 Pentru datele din tabelul urm tor x 40 50 y 58 102 coeficientul a al dreptei de regresie y x a Pentru datele din tabelul urm tor x 20 y 16 26 36 46 56 fi 4
60 142
70 188
75 210
60 70 75 142 188 210 bx are ce valoare? a = 4,256
39)
25 6 8
30 10 32 4 46
35
40
f
j
4
14
3 12 1 16
9 6 5 20
10 18 44 22 6 100
Sa se determine x i y x = 31.7 y = 35.6
probleme de dificultate ridicata
1. Se fac cinci m sur tori cu un aparat asupra lungimii unei bare i se g sesc rezultatele în mm:
92 ; 94 ; 103 ; 105 ; 106 . S se determine valoarea medie a lungimii barei, dispersia de
selec ie i dispersia de selec ie modificat .
2.
Reparti ia valorilor unei variabile observate pe baza a 50 de observa ii este dat de tabelul:
xi ni
0 3
1 8
2 5
3 10
4 8
5 6
6 7
7 3
S se calculeze valoarea medie a m rimii observate .
3. Reparti ia valorilor unei variabile observate pe baza a 50 de observa ii este dat de tabelul:
xi ni
0 3
1 8
2 5
3 10
4 8
5 6
6 7
7 3
S se calculeze valoarea dispersieie modificate
.
4. Pentru a cerceta prezenta studentilor la un anumit curs s-a ales un esantion de 100 studenti si s-a inregistrat numarul absentelor acestora la cinci cursuri consecutive: 40 de studenti nu au nici o absenta, 20 de studenti au 1 absenta, 15 studenti au 2 absente, 10 studenti au 3 absente, 8 studenti au 4 absente si ultimii 7 studenti au absentat la toate cele 5 cursuri. Sa se determine valoarea mediei de selectie. 1,47 5. O selectie aleatoare de volum n=10 dintr-o populatie normala a dat urmatoarele valori: -2, -2, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5 Sa se scrie un interval de incredere pentru media populatiei normale la un prag de incredere de 95%. Se cunoaste ca ,26. 0,3 0, i fie xk
*
k 1, n
selec ii repetate de volum n efectuat asupra lui X. Un estimator de maxim verosimilitate al parametrului este
x ? False