# ANALISIS REAL by MURNAKA

VIEWS: 1,956 PAGES: 29

• pg 1
```									                                        Pps UNNES 2010
ANALISIS REAL

ANALISIS REAL
(KELOMPOK 1)

(Limit Fungsi)

NERRU PRANUTA M
Komtingpps2010@yahoo.com

Jurusan Matematika FMIPA
Pps UNNES 2010
Semarang ..::.. Indonesia           1
Pps UNNES 2010
ANALISIS REAL
(KELOMPOK 1)
DEFINISI LIMIT
bilangan pada suatu selang terbuka yang memuat c,
kecuali mungkin di c sendiri.
Limit f(x) untuk x mendekati c adalah L ditulis;

lim f(x) = L
x c
atau     f(x)  L   apabila   x a
yaitu

∀ ε>0, ∃ δ>0 ∋ |f(x) – L| < ε apabila o< |x - c| <δ

2
Pps UNNES 2010
ANALISIS REAL
(KELOMPOK 1)
EXAMPLES 4.1.7- A

Buktikan :        lim b = b
x c

Bukti :
Ambil ε > o sembarang.
Tulis f(x) = b.
AP: |f(x) – b| = |b – b| = 0.
Pilih δ = 1.
Jelas 0 < |x – c| < 1.

3
Pps UNNES 2010
ANALISIS REAL
(KELOMPOK 1)
EXAMPLES 4.1.7- A

Buktikan :        lim b = b
x c

Bukti :
Ambil ε > o sembarang.          Jelas |f(x) – b| = |b – b|
Tulis f(x) = b.                 Jelas |f(x) – b| = 0
AP: |f(x) – b| = |b – b| = 0.   Jelas |f(x) – b| < ε.
Pilih δ = 1.
Jelas 0 < |x – c| < 1.                 x c

4
Pps UNNES 2010
ANALISIS REAL
(KELOMPOK 1)
EXAMPLES 4.1.7- A
2      2
Buktikan :    lim x = c
x c

Bukti :
Analisis :
Tulis f(x) = x2 , ∀ x ∈ℝ.
Jelas |f(x) – c2| = |x2 – c2|
Jelas |f(x) – c2| = |x – c|. |x + c|

5
Pps UNNES 2010
ANALISIS REAL
(KELOMPOK 1)
EXAMPLES 4.1.7- A
2    2
Buktikan :     lim x = c
x c

Bukti :
Pilih δ ≤ 1.                   Jadi |x + c| ≤ |x| + |c|
Jelas |x – c| ≤ 1              Jadi |x – c| ≤ |c + 1| + |c|
⇔ -1 ≤ x – c ≤ 1               Jadi |x – c |≤ |c| + |1| + |c|
⇔ -1 + c ≤ x ≤ 1 + c           Jadi |x – c |≤ 2|c| + |1|.

6
Pps UNNES 2010
ANALISIS REAL
(KELOMPOK 1)
EXAMPLES 4.1.7- A
2     2
Buktikan :           lim x = c
x c

Bukti :
Oleh karena itu                           Ambil ε > o sembarang
ε
|f(x) –   c 2|   =   |x2   –   c 2|       Pilih δ = min {1, 2|c|+1 }.
= |x – c|. |x + c|                        Jadi |f(x) – c2| = |x2 – c2|
≤ |x – c|. (2|c| + 1)                            < δ (2|c| + 1)
ε
< δ (2|c| + 1)                                   = 2|c|+1 (2|c| + 1)
= ε.              7
Pps UNNES 2010
ANALISIS REAL
(KELOMPOK 1)
EXAMPLES 4.1.7- A

lim x 2 4  4
3
Buktikan :
x 2 x  1   5
Bukti :
Analisis :
x3  4 , ∀ x ∈ℝ.
Tulis h(x) = 2
x 1
f (x) 
4
 x3  4  4    5(x3  4)  4(x 2  1)
Jelas           5   x2  1 5             5(x 2  1)

 5x3  4x 2  24  (5x 2  6x  12)(x - 2) .
5(x 2  1)              5(x 2  1)

8
Pps UNNES 2010
ANALISIS REAL
(KELOMPOK 1)
EXAMPLES 4.1.7- A

lim x 2 4  4
3
Buktikan :
x 2 x  1   5
Bukti :
Pilih δ ≤ 1.             Untuk x ≤ 3.
Jelas |x - 2| ≤ 1        Jelas 5x2 + 6x + 12
⇔ -1 ≤ x – 2 ≤ 1                ≤ 5.32 + 6.3 + 12
⇔ 1 ≤ x ≤ 3.                    ≤ 45 + 18 + 12 = 75.
Jadi x  (1, 3).         Jelas 5(x2 + 1)
≤ 5.(12 + 1) = 10.
9
Pps UNNES 2010
ANALISIS REAL
(KELOMPOK 1)
EXAMPLES 4.1.7- A

lim x 2 4  4
3
Buktikan :
x 2 x  1   5
Bukti :
Ambil ε > o sembarang              Pilih δ = min {1, 10ε }.
75
f (x) 
4
 x3  4  4                   4  x3  4  4
Jelas                              Jelas f (x)  5  2
5   x2  1 5                         x 1 5
(5x 2  6x  12)(x - 2) .             75
                                  ≤ 10 |x – 2|.
5(x 2  1)
75 10ε
75                             ≤ 10 . 75
≤    10   |x – 2|.
= ε.        .
10
Pps UNNES 2010
ANALISIS REAL
(KELOMPOK 1)
GARIS BILANGAN REAL
DEFINISI PERSEKITARAN

Dipunyai a∈ℝ dari ε >0.
Persekitaran-ε (ε-neighborhoood) dari a didefinisikan
sebagai himpunan
V ε (a) :={x ∈ ℝ; |x – a| < ε }=(a - ε, a + ε)

11
Pps UNNES 2010
ANALISIS REAL
(KELOMPOK 1)
GARIS BILANGAN REAL
DEFINISI TITIK CLUSTER

Diberikan subset tak kosong S ⊂ ℝ . Titik x∈ℝ
disebut titik cluster (cluster points) jika setiap
persekitaran Vε(x)= (x - ε, x + ε) , memuat paling
sedikit satu titik anggota S yang tidak sama dengan
x. Titik cluster sering disebut dengan titik akumulasi
atau titik limit.

12
Pps UNNES 2010
TEOREMA – 4.1.8                                   ANALISIS REAL
(KELOMPOK 1)

(Kriteria Barisan)
Misalkan f : A → ℝ dan c suatu titik limit dari A. Maka
pernyataan berikut ekuivalen:

1   lim f(x) = L
x c

2   Untuk setiap barisan (xn) di A yang konvergen ke
c, sehingga xn c ∀ n∈ℕ, maka barisan (f(xn))
konvergen ke L

13
Pps UNNES 2010
ANALISIS REAL
(KELOMPOK 1)
BUKTI :
Adb : (1) ⇒ (2).               .
Misalkan   lim f(x) = L .
x c
Dan (xn) barisan di A konvergen ke c dan (xn)  c
∀n∈ℕ.
Ambil ε > 0 sembarang dan
Pilih δ > 0 sehinga |f(x) – L| < ε apabila 0 < |x – c| < δ
Karena (xn) konvergen ke c, maka  k(δ) ∈ ℕ,
sehingga |f(xn) – L| < ε apabila n > k(δ) .
Jadi f(xn) konvergen ke L.                  …………(1)

14
Pps UNNES 2010
ANALISIS REAL
(KELOMPOK 1)
BUKTI :
Adb : (2) ⇒ (1).                .
Andaikan    lim f(x)  L   .
x c
Berarti  ε0 > 0  δ > 0. jadi x  (c, c + δ) sehingga
f(x)  (L – ε0, L + ε0) apabila 0 < |x – c| < δ.
1
Tulis Pn = (c, x + ).
n
Pilih xn  APn ∀n∈ℕ sehingga f(x)  (L – ε0, L + ε0).

15
Pps UNNES 2010
ANALISIS REAL
(KELOMPOK 1)
BUKTI :
Adb : (2) ⇒ (1).                .

Jadi   (xn) konvergen ke c, tetapi (f(xn)) tidak
konvergen ke L.
Hal ini bertentangan dengan pengandaian    lim f(x)  L
x c

Jadi haruslah   lim f(x) =.L.            …………(2)
x c
Dari (1) dan (2) diatas terbukti bahwa equivalen.

16
Pps UNNES 2010
TEOREMA – 4.1.9                                  ANALISIS REAL
(KELOMPOK 1)

(Kriteria Divergen)
Misalkan A ⊆ ℝ, f : A ℝ dan c ∈ℝ suatu titik limit
dari A.

1   Jika L ∈ ℝ, maka f tidak mempunyai limit L di titik
c jika dan hanya jika terdapat suatu barisan (xn)
di A dengan xn c ∀ n∈ℕ sedemikian sehingga
(xn) konvergen ke c tetapi barisan (f(xn)) tidak
konvergen ke L.

17
Pps UNNES 2010
TEOREMA – 4.1.9                                  ANALISIS REAL
(KELOMPOK 1)

(Kriteria Divergen)
Misalkan A ⊆ ℝ, f : A ℝ dan c ∈ℝ suatu titik limit
dari A.

2   Fungsi f tidak mempunyai limit di titik c jika dan
hanya jika terdapat suatu barisan (xn) di A
dengan xn c ∀ n∈ℕ sedemikian sehingga (xn)
konvergen ke c tetapi barisan (f(xn)) tidak
konvergen ke ℝ.

18
Pps UNNES 2010
ANALISIS REAL
(KELOMPOK 1)
EXAMPLES 4.1.10- A
1
Buktikan :    lim       Tidak mempunyai nilai di ℝ
x 0 x

Bukti :
Oleh sebab barisan (f(Xn)) = (Xn) tak terbatas, maka
Barisan (f(Xn)) tidak konvergn ke ℝ.
Berdasarkan teorema 4.1.9 (2).
1
x 0 x

19
Pps UNNES 2010
ANALISIS REAL
(KELOMPOK 1)
EXAMPLES 4.1.10- C
 1
Buktikan : lim sin      Tidak mempunyai nilai di ℝ .
x 0
x
Bukti :
 1
Tulis g(x) = lim sin   untuk x  0.
x 0
x
x 0
barisan (Xn) dan (Yn) dengan Xn  0 dan Yn  0.

20
Pps UNNES 2010
ANALISIS REAL
(KELOMPOK 1)
EXAMPLES 4.1.10- C
 1
Buktikan : lim sin      Tidak mempunyai nilai di ℝ .
x 0
x
Bukti :
 1          
Tulis Xn =     ; n     dan
 n         
1                 
Yn =    2 n ; n    
2                 

Sehingga    lim (Xn ) = 0 dan lim (Yn ) = 0
x 0               x 0

21
Pps UNNES 2010
ANALISIS REAL
(KELOMPOK 1)
EXAMPLES 4.1.10- C
 1
Buktikan : lim sin            Tidak mempunyai nilai di ℝ .
x 0
x
Bukti :
1
Jelas g  Xn  = sin 1 ;n       ⇔ g  Xn  = sin n  ;n 
n
     1                  
Jelas g  Yn  =  sin    2 n  ; n    
     2                  

22
Pps UNNES 2010
ANALISIS REAL
(KELOMPOK 1)
EXAMPLES 4.1.10- C
 1
Buktikan : lim sin      Tidak mempunyai nilai di ℝ .
x 0
x
Bukti :
Jelas   lim (g(Xn ) )  0
x 0

dan     lim (g(Yn ) ) = 1
x 0

Akibatnya    lim (g(Xn ) )  lim (g(Yn ) )
x 0            x 0

23
Pps UNNES 2010
ANALISIS REAL
(KELOMPOK 1)
EXAMPLES 4.1.10- C
 1
Buktikan : lim sin       Tidak mempunyai nilai di ℝ .
x 0
x
Bukti :

Berdasarkan teorema 4.1.9.
 1
Maka lim sin   tidak ada.
x 0
x

24
Pps UNNES 2010
ANALISIS REAL
(KELOMPOK 1)
REVISI

Buktikan : Jika I = [0,1], maka himpunan
A5 ;= I ⋂ℚ terdiri dari semua bilangan rasional di I.
Berdasarkan teorema kepadatan 2.4.8 maka setiap titik
di A5 merupakan titik cluster.
Bukti :
Dipunyai I = [0,1].
Jelas I ⊂ ℝ dan I ≠ Φ.
Jelas 0 < 1, maka berdasarkan teorema kepadatan
2.4.8 r ∈ ℚ sehingga 0 < r < 1. ….(1).
25
Pps UNNES 2010
ANALISIS REAL
(KELOMPOK 1)
REVISI

Buktikan : Jika I = [0,1], maka himpunan
A5 ;= I ⋂ℚ terdiri dari semua bilangan rasional di I.
Berdasarkan teorema kepadatan 2.4.8 maka setiap titik
di A5 merupakan titik cluster.
Bukti :
Oleh sebab himpunan A5 ;= I ⋂ℚ terdiri dari semua
bilangan rasional di I dan berdasarkan (1) akibatnya
maka setiap titik di A5 merupakan titik cluster.

26
Pps UNNES 2010
ANALISIS REAL
(KELOMPOK 1)
REVISI

Buktikan : Jika I = {0,1}, maka himpunan
A6 ;= I ⋂ℚ terdiri dari semua bilangan rasional di I.
Berdasarkan teorema kepadatan 2.4.8 maka titik 0 dan
1 merupakan titik cluster.
Bukti :
Dipunyai I = {0,1}.
Jelas I ⊂ ℝ dan I ≠ Φ.

27
Pps UNNES 2010
ANALISIS REAL
(KELOMPOK 1)
REVISI

Buktikan : Jika I = {0,1}, maka himpunan
A6 ;= I ⋂ℚ terdiri dari semua bilangan rasional di I.
Berdasarkan teorema kepadatan 2.4.8 titik 0 dan 1
merupakan titik cluster.
Bukti :
Oleh sebab himpunan A6 ;= I ⋂ ℚ ;= I terdiri dari
semua bilangan rasional di I dan berdasarkan
teorema 2.4.8 akibatnya maka 0 dan 1 merupakan
titik cluster.

28
Pps UNNES 2010
ANALISIS REAL
(KELOMPOK 1)

29

```
To top