TM2

Document Sample
TM2 Powered By Docstoc
					“Ya Allah bukakan kepada kami hikmah-Mu dan berikan kami rahmat-Mu, ya Allah yang Maha Pengasih lagi Maha Penyayang ”

PENDAHULUAN
Salah satu cara menyelesaikan SPL adalah menggunakan metode direct. Metode yang dapat menghitung solusi tepat dari suatu SPL. Metode yang termasuk: eliminasi Gauss, Gauss-Jordan, dekomposisi LU, iterasi Jacobi. Sedangkan yang dibahas pada materi ini: eliminasi Gauss dan Gauss-Jordan.

ELIMINASI GAUSS
OBYEKTIF Mahasiswa memahami metode direct untuk menyelesaikan sistem persamaan linier secara tepat dengan menggunakan eliminasi Gauss dan Gauss-Jordan.

MATRIKS ECHELON
Menyelesaikan suatu sistem linier dengan faktor yang tidak diketahui x, y dan z dengan mereduksi matriks yang diperbesar menjadi:
1  0  0  0 1 0 0 0 1 1  2  3 

contoh matriks bentuk echelon baris tereduksi Reduced row-echelon form

MATRIKS ECHELON
Matriks ini mempunyai sifat berikut: • Bila satu baris tidak seluruhnya terdiri dari 0, maka bilangan bukan 0 pertama pada baris itu adalah 1. Bilangan 1 = 1 utama (leading 1) • Bila ada baris yang seluruhnya terdiri dari 0, maka baris-baris ini dikelompokkan bersama pada bagian paling bawah dari matriks.

MATRIKS ECHELON
Bila terdapat 2 baris berurutan yang tidak seluruhnya terdiri dari 0, maka 1 utama pada baris lebih rendah terdapat pada kolom yang lebih kanan dari 1 utama pada baris yang lebih tinggi. Tiap kolom yang memiliki 1 utama memiliki 0 pada tempat lainnya.

MATRIKS ECHELON
Contoh: Bentuk echelon baris
1  0  0  1 1 0 0  0  0 
1  0  0  4 1 0 2 3 1 1  2  3 
0  0  0  1 0 0 2 1 0 6 1 0 0  0  1 

MATRIKS ECHELON
Bentuk echelon baris tereduksi
1  0  0  0 1 0 0 0 1 1  2  7 
1  0  0  0 1 0 0 0 1 1  2  7 
1  0  0  0 1 0 0  0  1 

Matriks dalam bentuk echelon baris memiliki 0 di bawah setiap 1 utama, sedangkan matriks dalam bentuk echelon baris tereduksi memiliki 0 di bawah dan di atas setiap 1 utama.

MATRIKS ECHELON
bersesuaian dengan 1 utama pada matriks disebut variabel utama (leading variable).
1  0  0  0 1 0 0 0 1 1  2  7 

MATRIKS ECHELON
1  0  0  0 1 0 0 0 1 4 2 3  1  6  2 
x1   1  4 x 4 x2  6  2 x4 x3  2  3 x 4

x4 disebut variabel bebas = free variable

ELIMINASI GAUSS
Metode eliminasi digunakan untuk mereduksi matriks menjadi bentuk echelon baris tereduksi. 7 12  Contoh:  0 0  2 0
 2  2  4 4  10 5 6 6 12 5  28   1 

ELIMINASI GAUSS
Langkah 1: lihat kolom paling kiri harusnya tidak 0, jadi perlu ditukar dengan Baris 2
2  0  2  4 0 4  10  2 5 6 0 6 12 7 5 28   12   1 

ELIMINASI GAUSS
Langkah 2: Baris 1 dikali ½ , untuk membuat 1 utama
1  0  2  2 0 4 5  2 5 3 0 6 6 7 5 14   12   1 

ELIMINASI GAUSS
Langkah 3: Membuat di bawah 1 utama menjadi 0, maka Baris 3 dikurangi 2x Baris 1
1  0  0  2 0 0 5  2 5 3 0 0 6 7  17 14   12   29  

ELIMINASI GAUSS
Langkah 4: Baris 2 dikalikan - ½
1  0  0 2 0 0 5 1 5 3 0 0  6 7 14    6   29 

2  17

ELIMINASI GAUSS
Langkah 5: Baris 3 dikurangi 5x Baris 2
 1  0  0   2 0 0 5 1 0 3 0 0  6 7 2 1 2  14    6  1   

ELIMINASI GAUSS
Baris 3 dikalikan 2
1  0  0 2 0 0 5 1 0 3 0 0  6 7 2 1 14    6  2 

Hingga langkah 5 menghasilkan bentuk echelon baris dan prosedur ini disebut eliminasi Gauss.

ELIMINASI GAUSS-JORDAN
Sedangkan eliminasi Gauss-Jordan menghasilkan bentuk echelon baris tereduksi, bila diteruskan langkah sebelumnya. 7 Langkah 6: Baris 2 ditambah x Baris 3
1  0  0  2 0 0 5 1 0
2

3 0 0

6 0 1

14   1  2 

ELIMINASI GAUSS-JORDAN
Langkah 7: Baris 1 dikurangi 6x Baris 3
1  0  0  2 0 0 5 1 0 3 0 0 0 0 1 2  1  2 

ELIMINASI GAUSS-JORDAN
Langkah 8: Baris 1 ditambah 5x Baris 2
1  0  0  2 0 0 0 1 0 3 0 0 0 0 1 7  1  2 

SUBSTITUSI BALIK
Misal:
1  0  0  2 0 0 0 1 0 3 0 0 0 0 1 7  1  2 

Hasil solusi SPL di atas:
x1  2 x 2  3 x 4  7 x3  1 x5  2
x1  7  2 x 2  3 x 4 x3  1 x5  2

SISTEM LINEAR HOMOGEN
SLH: Sistem persamaan linier bila semua bentuk konstantanya adalah nol, sistem ini memiliki bentuk:
a 11 x 1  a 12 x 2    a 1 n x n a 21 x 1  a 22 x 2    a 2 n x n  a m 1 x1  a m 2 x 2    a m n x n  0  0  0

SISTEM LINEAR HOMOGEN
Setiap persamaan homogen konsisten karena semua sistem semacam ini memiliki solusi, x1  0 , x 2  0 ,  , x n  0 Solusi ini disebut solusi trivial (trivial solution), bila terdapat solusi lain maka disebut solusi nontrivial (nontrivial solution).

SISTEM LINEAR HOMOGEN
 Untuk sistem linier homogen, selalu memiliki solusi trivial, terdapat 2 kemungkinan:  Hanya memiliki solusi trivial  Memiliki tak terhingga banyaknya solusi selain solusi trivialnya

SISTEM LINEAR HOMOGEN
Contoh: solusi SPL
x1  x 2 x3  x5  0  x5  0 x4  0
x2  s, x3  t ,

x1   x 2  x 5 x3   x5 x4  0
x 4  0, x5  t

Solusi umum
x1   s  t ,

Solusi trivial diperoleh jika s  t  0

NOTASI DAN ISTILAH MATRIKS
Matriks: jajaran empat persegi panjang dari bilangan-bilangan. Bilangan-bilangan dalam jajaran tersebut disebut entri dari matriks. Ukuran (size) matriks dinyatakan dalam jumlah baris (arah horisontal) dan kolom (arah vertikal) yang dimiliknya.

NOTASI DAN ISTILAH MATRIKS
Contoh:
1  3  4  2  7  8 
1 baris 4 kolom = 1 x 4

3

1

0

4

 1  0   3 

2 4 6

0  5  8 

3 baris 2 kolom = 3 x 2

3 baris 3 kolom = 3 x 3

NOTASI DAN ISTILAH MATRIKS
Matriks kolom: matriks yang hanya terdiri dari 1 kolom (vektor kolom) Matriks baris: matriks yang hanya terdiri dari 1 baris (vektor baris) 2 3 1 0 4 

Matriks Baris

  1   4  

Matriks Kolom

NOTASI DAN ISTILAH MATRIKS
Matriks baris dan kolom dapat dinyatakan secara umum dengan notasi a, 1 X n dan b, mX1  b1    b2 b   a  a1 a 2  a n        bm 

NOTASI DAN ISTILAH MATRIKS
Notasi matriks dinyatakan dengan huruf besar/ kapital Sedangkan entri dengan huruf kecil. Contoh:
 1  A 0   3  2 4 6 0  5  8  c B   e d  f

atau

NOTASI DAN ISTILAH MATRIKS
Entri yang terletak pada baris dan kolom dalam matriks A dinyatakan sebagai a ij . Jadi matrtiks 3 x 2 dapat ditulis:
 a11  A  a 21   a 31  a12   a 22  a 32  

NOTASI DAN ISTILAH MATRIKS
Matrik umum
mxn

:
a12 a 22  am 2    a1 n   a2n     a mn 

 a11  a 21 A      a m1

NOTASI DAN ISTILAH MATRIKS
Bila kita inginkan bentuk matriks secara singkat ditulis: [ a ij ]m x n atau [ a ij ]
Notasi (1) = ukuran matriks sangat penting untuk diketahui Notasi (2) = ukuran matriks tidak terlalu penting.

NOTASI DAN ISTILAH MATRIKS
Entri pada baris i dan kolom j dalam matriks A bisa dinyatakan dengan simbol ( A) ij Bisa nyatakan tiap entri matriks dalam matriks besarnya:  A ij  a ij Contoh:
 1  A 0   3  2 4 6 0  5  8 

 A 11

  1,

 A 32

6

REVIEW
Menyelesaikan sistem linier dalam matriks dengan faktor yang tidak diketahui yaitu mereduksi matriks yang diperbesar menjadi matriks echelon baris tereduksi. Metode yang digunakan untuk mendapatkan solusi SPL adalah metode direct yaitu eliminasi Gauss dan Gauss-Jordan.

REVIEW
Eliminasi Gauss-Jordan menghasilkan bentuk echelon baris tereduksi, bila diteruskan dari eliminasi Gauss. Sistem linier homogen adalah sistem persamaan linier bila semua konstantanya adalah nol. Matriks terdiri dari bilangan-bilangan (entri) jajaran empat persegi panjang yang dinyatakan dalam jumlah baris (arah horisontal) dan kolom (arah vertikal) yang dimiliknya.

“Ya Allah, sesungguhnya aku menitipkan padaMu apa yang telah Engkau ajarkan kepadaku, maka kembalikanlah padaku saat aku membutuhkannya dan janganlah Engkau jadikan aku lupa padanya, wahai Tuhan semesta alam.”

TUGAS
• Kerjakan di buku tugas • Buku Aljabar Linier Elementer versi Aplikasi P.22: No. 6, 7 (kelas) P.23: No. 17 (rumah) P.24: No. 22 (rumah)

PERTEMUAN BERIKUT
Membaca !!! Operasi Matriks Matriks Invers


				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Categories:
Tags:
Stats:
views:339
posted:6/17/2009
language:Indonesian
pages:40