Ma Tran-DH Ton Duc Thang by langbavibo

VIEWS: 206 PAGES: 11

									                                                           NỘI DUNG
                                      Chương 1: Ma trận & định thức.

 TOÁN 2                               Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính.
                                      Chương 3: Không gian vector.
                                      Chương 4: Trị riêng, vector riêng của ma trận và dạng toàn
                                      phương.

                                    Tài liệu:
Khoa CNTT & TƯD, ĐH Tôn Đức Thắng   Toán cao cấp, Đại Số Tuyến Tính (Toán 2), Đỗ Công Khanh,
                                      Nguyễn Minh Hằng, Ngô Thu Lương, NXB ĐHQG TP HCM.
                                    Tóm tắt bài giảng Toán C2, Thái Khắc Định, ĐH Tôn Đức
                                      Thắng.
                               1                                                                   2




                                    MA TRẬN

         CHƯƠNG 1                   1.1. Định nghĩa.
                                                                         Cột

MA TRẬN & ĐỊNH THỨC                                                                      a12
                                                Hàng           ⎡1 3⎤                    a23
                                                           A = ⎢5 7 ⎥
                                                               ⎢    ⎥
                                                               ⎢2 4⎥
                                                               ⎣    ⎦

                                                         A là ma trận cấp 3x2
                                              Tập các ma trận n hàng – k cột kí hiệu là Mnxk

                               3                                                                   4
1.2. Các loại ma trận.                                     - Ma trận chuyển vị: của ma trận A   kí hiệu là AT
                                                                                     hàng A---- cột AT
- Ma trận vuông: số hàng = số cột
                                                                                     cột A ---- hàng AT
              ⎡1 3 5 ⎤
          A = ⎢ 2 4 6 ⎥ là ma trận vuông cấp 3.
              ⎢       ⎥
                              trậ        cấ                                 ⎡1 3⎤
                                                                                               ⎡1 5 2⎤
              ⎢9 8 7 ⎥
              ⎣       ⎦                                                 A = ⎢5 7 ⎥        AT = ⎢       ;
                                                                            ⎢
                                                                            ⎢2 4⎥
                                                                                 ⎥
                                                                                               ⎣3 7 4⎥
                                                                                                     ⎦
                                                                            ⎣    ⎦
 - Ma trận đơn vị: ngoài đường chéo chính thì bằng 1

                ⎡1 0 0 ⎤                                                                                  ⎡5⎤
          I 3 = ⎢0 1 0 ⎥ là ma trận đơn vị cấp 3.
                               trậ      vị                                A = [5      7     4 ],      A = ⎢7⎥ .
                                                                                                       T
                                                                                                          ⎢ ⎥
                ⎢      ⎥
                ⎢0 0 1 ⎥                                                                                  ⎢4⎥
                                                                                                          ⎣ ⎦
                ⎣      ⎦                               5                                                               6




1.3. Các phép toán trên ma trận.                           1.3.2. Phép nhân một số với một ma trận.

 1.3.1. Phép cộng hai ma trận.

     ⎡2    1 ⎤ ⎡ 1 2 ⎤ ⎡ 2 +1 1+ 2 ⎤                              ⎡2       1 ⎤ ⎡ 2 .2              2 .1 ⎤ ⎡ 4     2⎤
     ⎢3    0 ⎥ + ⎢ −3 1 ⎥ = ⎢3 + (−3) 0 + 1⎥
     ⎢       ⎥ ⎢        ⎥ ⎢                ⎥                    2 ⎢3
                                                                  ⎢        0 ⎥ = ⎢ 2 .3
                                                                             ⎥ ⎢                   2 .0 ⎥ = ⎢ 6
                                                                                                        ⎥ ⎢       0⎥
                                                                                                                   ⎥
     ⎢0
     ⎣     4 ⎥ ⎢ 1 2 ⎥ ⎢ 0 + 1 4 + 2⎥
             ⎦ ⎣        ⎦ ⎣                ⎦                      ⎢0
                                                                  ⎣        4 ⎥ ⎢ 2 .0
                                                                             ⎦ ⎣                   2 .4 ⎥ ⎢ 0
                                                                                                        ⎦ ⎣       8⎥
                                                                                                                   ⎦
                                ⎡3     3   ⎤
                              = ⎢0
                                ⎢      1   ⎥
                                           ⎥
                                ⎢1
                                ⎣      6   ⎥
                                           ⎦

                                                       7                                                               8
1.3.3. Phép nhân hai ma trận.

Định nghĩa:        A *      B =        C
                                                                           ⎡1 4 5⎤
                  nxk       kxm =      nxm                       ⎡2 1 4⎤ ⎢       ⎥ ⎡2.1+1.3 + 4.0 2.4 +1.2 + 4.1 2.5 +1.1+ 4.3⎤
                                                                 ⎢ 0 3 2 ⎥ ⎢3 2 1⎥ = ⎢                                           ⎥
                                                                 ⎣       ⎦ ⎢0 1 3⎥ ⎣0.1+ 3.3 + 2.0 0.4 + 3.2 + 2.1 0.5 + 3.1+ 2.3⎦
                                                                           ⎣     ⎦
              cij= hàng i của A * cột j của B
                                                                                          ⎡5 14 23⎤
                                                                                         =⎢       ⎥
                                                                                          ⎣9 8 9 ⎦
Lưu ý: số cột của ma trận A bằng số hàng của ma trận B.
                                                                       c21 = (hàng 2 của A) x (cột 1 của B)
        (1 2 3)*(4 5 1)= 1.4+2.5+3.1=4+10+3=17
                                                                           =    0.1 + 3.3 + 2.0
                                                                       Tổng quát: cij = (hàng i của A) x (cột j của B)
                                                            9                                                                        10




                      ⎡1 4 5⎤                                      Bài tập
        ⎡2 1 4⎤       ⎢      ⎥
      A=⎢     ⎥ , B = ⎢3 2 1⎥
        ⎣0 3 2⎦       ⎢
                      ⎣ 0 1 3⎥
                             ⎦                                     1. Tính tích các ma trận sau:
                 ⎡1 4 5⎤                                             ⎡2 1⎤                    ⎡2 1 1 0⎤                    ⎡4 0 ⎤
       ⎡2 1 4⎤ ⎢                                                           ⎡ 3 ⎤ b ) ⎡0 1 3 ⎤ ⎢ 3 0 0 1 ⎥       ⎡ 2 −2 3 ⎤ ⎢     ⎥ ⎡1 1⎤
                        ⎥                                        a ) ⎢0 4⎥ ⎢ ⎥                               c )⎢            5 −3⎥ ⎢
       ⎢ 0 3 2 ⎥ ⎢3 2 1⎥                                             ⎢   ⎥ 2
                                                                                     ⎢1 0 2 ⎥ ⎢          ⎥      ⎣ 5 4 −1⎥ ⎢            ⎥
                                                                                                                         ⎦ ⎢1 2 ⎥ ⎣ 0 1⎦
                                                                                     ⎣      ⎦ ⎢ 1 2 −1 0 ⎥
       ⎣       ⎦⎢                                                    ⎢1 3⎥ ⎣ ⎦                ⎣          ⎦                 ⎣     ⎦
                 ⎣ 0 1 3⎥
                        ⎦                                            ⎣   ⎦

          ⎡2.1+1.3 + 4.0 2.4 +1.2 + 4.1 2.5 +1.1+ 4.3⎤
         =⎢                                             ⎥          2. Tính tích của AB và BA nếu
          ⎣0.1+ 3.3 + 2.0 0.4 + 3.2 + 2.1 0.5 + 3.1+ 2.3⎦
                                                                              ⎡1 2 1 ⎤              ⎡0 0 1 ⎤
          ⎡5 14 23⎤                                                       A = ⎢2 3 2⎥           B = ⎢0 1 0⎥
                                                                                                    ⎢      ⎥
         =⎢                                                                   ⎢      ⎥
                  ⎥                                                           ⎢1 4 3⎥
                                                                              ⎣      ⎦              ⎢1 0 0 ⎥
                                                                                                    ⎣      ⎦
          ⎣9 8 9 ⎦
                                                            11                                                                       12
                                                                             ĐỊNH THỨC
                                                       2.1. Định nghĩa.
                                                         Định thức của A vuông, ký hiệu là det(A) hoặc |A|
           ⎡0         1 0 0⎤
           ⎢0         0 1 0⎥
3. Cho A = ⎢               ⎥.                                 | a |= a;                | −2 |= −2;
           ⎢0         0 0 1⎥
           ⎢               ⎥
           ⎣0         0 0 0⎦                                   a11   a12
                                                                           = a11a22 − a12 a21 =      đ/c chính - đ/c phụ
                                                               a21   a22
Tính các ma trận sau:
                                                                           đ/c chính
                                                          đ/c phụ
a)   A2,   AI3,I3A;         b)   A.AT,   AT.A
                                                              1 2
                                                                     = 1.4 − 3.2 = −2
                                                 13
                                                              3 4                                                          14




                      ĐỊNH THỨC                                               ĐỊNH THỨC
                                                                         ⎡ −2 2 −3⎤ −2 2
           a11    a12    a13 a11          a12                        A = ⎢ −1 1 3 ⎥ −1 1
                                                                         ⎢        ⎥
                                                                         ⎢ 2 0 −1⎥ 2 0
                                                                         ⎣        ⎦
           a21    a22    a23 a 21         a 22
           a31    a32    a33 a 31         a 32        det( A) = [(−2).1.(−1) + 2.3.2 + (−3).(−1).0]
                                                              − [(−3).1.2 + (−2).3.0 + 2.(−1).(−1)]
 = [a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32]
                                                              = [2 + 12] − [−6 + 2] = [14] − [−4] = 18
     -[ a13a22a31+ a11a23a32 + a12a21a33]
                                                 15                                                                        16
Phân tích theo hàng i                                                    ⎡ −2 2 −3⎤
                                                                     A = ⎢ −1 1 3 ⎥
                                                                         ⎢        ⎥
                                                                         ⎢ 2 0 −1⎥
                                                                         ⎣        ⎦
    Cho A = (aij) là ma trận vuông cấp n.
                                                            h3
      detA = ai1Ai1 + ai2Ai2 + … + ainAin (1)               = 2. A31 + 0. A32 + (−1). A33
 trong đó:
                                                                             2 −3                  −2 2
        Aik được gọi là phần bù đại số của aik              = 2.(−1)3+1.          + (−1).(−1)3+3 .
                                                                             1 3                   −1 1
      Aik = (-1)i+kdet(A bỏ hàng i cột k)
                                                            = 2.[2.3 − (−3).1] − [(−2).1 − 2.(−1)]
                                                            = 2.[6 + 3] − [−2 + 2] = 18
                                                 17                                                            18




                                                                        ⎡ −2 2 −3⎤
                                                      Ví dụ 1:      A = ⎢ −1 1 3 ⎥
                                                                        ⎢        ⎥
                                                                        ⎢ 2 0 −1⎥
                                                                        ⎣        ⎦
Phân tích theo cột i
                                                           C2
                                                         A = 2. A12 + 1. A22 + 0. A32
        detA = a1iA1i + a2iA2i + … + aniAni ,
                                                                         −1    3                      −2 −3
                                                        = 2.(−1)1+ 2 .              + 1.(−1) 2+ 2 .
      trong đó Aki là phần bù đại số của aki                             2     −1                     2   −1
                                                        = −2.[(−1).(−1) − 3.2] + [(−2).(−1) − (−3).2]
                                                        = −2[1 − 6] + [2 + 6] = 10 + 8 = 18
                                                 19                                                            20
2.2. Các tính chất.

      1. det(AB) = det(A)det(B)
                                                        det(AAT)=det(A).det(AT)=det(A).det(A)=25
      2. det(AT) = det(A).


    Cho det(A)=5. Tính det(AAT) và det (A6).            det (A6)=det(A.A…A)=det(A).det(A)…det(A)
                                                                =det(A)6=56.




                                               21                                                                                         22




2.2. Các tính chất.                                     Ví dụ 8:                     ⎡ −2 2 −3⎤
                                                                                 A = ⎢ −1 1 3 ⎥
                                                                                     ⎢        ⎥
      2 a b       c                                                                  ⎢ 2 0 −1⎥
                                                                                     ⎣        ⎦
      0 −3 d      e
                    = 2.(−3).(−5).6 = 180                            −2 2 −3        h1 ↔ h 2     −1 1 3                         −1 1 3
      0 0 −5      f                                                                                        h 2 = h 2 − 2 h1
                                                                 A = −1 1 3              =     − −2 2 −3        =             − 0 0 −9
      0   0   0   6                                                  2 0 −1                     2   0 −1                          2   0 −1

      2 0 0       0                                                      −1 1 3     h 2 ↔ h3    ⎛ −1 1 3 ⎞                −1 1        3
                                                    h 3 = h 3 + 2 h1                            ⎜        ⎟          =
      a −3 0      0                                      =             − 0 0 −9          =     −⎜− 0 2 5 ⎟                0 2         5
                    = 2.(−3).(−5).6 = 180                               0   2   5               ⎜ 0 0 −9 ⎟
                                                                                                ⎝        ⎠                    0   0 −9
      b c −5      0
      d e  f      6                                                =    -1.2.(-9) = 18
                                               23                                                                                         24
Định lý:
       - Nếu ma trận có một hàng (cột) bằng không thì định                                  BÀI TẬP
thức của nó bằng 0.
       - Nếu ma trận có hai hàng (cột) tỉ lệ nhau thì định
                                                                   1. Tính các định thức cấp 2:
thức của nó bằng 0.
                                                                           a 2 ab      n +1 n         1+ 2 2 + 3
                                                                      a)          ; b)           ; c)            .
                                                                           ab b 2
                                                                                         n  n −1      2 − 3 1− 2
          −2 2   4                 1    2 4
          −1 1   2 =0              −1 1 2 = 0                      2. Tính các định thức cấp 3:
          2   0 −4                 1    2 4
                                                                    1 0 1          a2 + 1    ab       ac          a+x      x      x
                                                                  a) 1 1 0 ; b)     ab      b2 + 1    bc ; c)         x   b+ x    x .
                                                                     0 1 1          ac       bc      c +1
                                                                                                     2
                                                                                                                      x    x     c+x

                                                             25                                                                       26




   3. Tính các định thức cấp 4:                                      4. Tính các định thức:

          2 3 −3     4             a   1   1   1                                   1+ x 1  1                1
          2 1 −1     2             b   0   1   1                                    1 1− x 1                1
     a)                   ;     b)               ;                              a)                                ;
          6 2    1   0             c   1   0   1                                    1   1 1+ y              1
          2 3    0   −5            d   1   1   0                                     1       1       1     1− y

                                                                                    2 1 1 1 1
          0 a b c                  1    0 −1 1                                      1 3 1 1 1
          a 0 c b                  0    −1 −1 1                                 b) 1 1 4 1 1 .
     c)               ;         d)              .
          b c 0 a                  a    b c d                                      1 1 1 5 1
          c b a 0                  −1 −1       1   0                               1 1 1 1 6
                                                             27                                                                       28
          MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
                                                       Định lý: Ma trận vuông A khả nghịch khi và chỉ khi
                                                         det(A) ≠ 0.
3.1. Khái niệm.
                                                       - Ma trận phụ hợp.
                                                         Cho ⎡ a11 a12 ... a1n ⎤          ⎡ A11 A21 ... An1 ⎤
Ma trận vuông A cấp n được gọi là khả nghịch                     ⎢                      ⎥                        ⎢                            ⎥
                                                                   a      a22   ... a2n ⎥                          A12         A22 ... An2
                                                             A = ⎢ 21                              đặt PA = ⎢                                 ⎥
 nếu tồn ma trận B cấp n sao cho:                                ⎢ ...    ...   ... ... ⎥                        ⎢ ...          ... ... ...   ⎥
                                                                 ⎢                      ⎥                        ⎢                            ⎥
                   AB = BA = In,                                 ⎣ am1    am2   ... amn ⎦                        ⎣ A1m         A2m ... Anm    ⎦


B được gọi là ma trận nghịch đảo của A, kh A-1.          với Aij là phần bù đại số của aij.
                                                         Ma trận PA được gọi là ma trận phụ hợp của A.
Ngược lại ta nói A không khả nghịch.
                                                  29                                                                                          30




                                                                             ⎡ 1 2 0⎤
3.2. Các phương pháp tìm ma trận nghịch đảo.
                                                       Ví d ụ            A = ⎢ 3 1 4⎥
                                                                             ⎢        ⎥
                                                                                                    det( A ) = −30 ≠ 0 ⇒ ∃A−1
                                                                             ⎢ −2 1 2 ⎥
                                                                             ⎣        ⎦
1. Dùng ma trận phụ hợp.                                           1 4                   3    4                      3     1
                                   1                       A11 =         = −2; A12 = −            = −14; A13 =                 =5
    Nếu A khả nghịch thì A−1 =           PA                        1 2                   −2 2                    −2 1
                                 det( A)                             2 0                 1    0                      1     2
                                                           A21 = −         = −4; A22 =            = 2; A23 = −                  = −5
                                                                     1 2                 −2 2                    −2 1
2. Dùng các phép biến đổi sơ cấp.
                                                                   2 0                  1 0                 1 2
    Nếu A khả nghịch thì                                   A31 =         = 8; A32 = −         = −4; A33 =                = −5
                                                                   1 4                  3 4                 3 1
                                                                                                        ⎡1     2    4⎤
                                                       Vậy                                              ⎢ 15 15 − 15 ⎥
                                                               ⎡ −2 −4 8 ⎤                              ⎢            ⎥
                                                                                                  1        7    1  2 ⎥
                                                          PA = ⎢ −14 2 −4 ⎥              ⇒ A−1 = − PA = ⎢    −
                                                               ⎢          ⎥                       30    ⎢ 15   15 15 ⎥
                                                               ⎢ 5 −5 −5⎥                               ⎢            ⎥
                                                               ⎣          ⎦                             ⎢− 1 1     1 ⎥
                                                                                                        ⎢ 6 6      6 ⎥
                                                  31                                                                                          32
                                                                                                        ⎣            ⎦
3.2. Các phương pháp tìm ma trận nghịch đảo.                     Dùng phép biến đổi sơ cấp:

                                                                   ⎡ 1 2 0 1 0 0⎤                ⎡ 1 2 0 1 0 0⎤
1. Dùng ma trận phụ hợp.
                                         1                     A = ⎢ 3 1 4 0 1 0 ⎥ ⎯⎯⎯⎯ ⎢ 0 −5 4 −3 1 0 ⎥
                                                                   ⎢              ⎥
                                                                                    h2 =h2 −3h
                                                                                                →⎢              ⎥
                                                                                              1

    Nếu A khả nghịch thì A−1 =                 PA                  ⎢ −2 1 2 0 0 1 ⎥              ⎢ −2 1 2 0 0 1 ⎥
                                       det( A)                     ⎣              ⎦              ⎣              ⎦

2. Dùng các phép biến đổi sơ cấp.                                                       ⎡1 2 0 1 0 0 ⎤
                                                                  h3 =h3 +2h1           ⎢0 −5 4 −3 1 0 ⎥
    Nếu A khả nghịch thì                                         ⎯⎯⎯⎯         →         ⎢              ⎥
                                                                                        ⎢0 5 2 2 0 1 ⎥
                                                                                        ⎣              ⎦
           [ A| I ] ⎯⎯⎯ ... ⎯⎯⎯ ⎣ I | A−1 ⎦
                     pbdsc
                           → pbdsc
                                   →⎡     ⎤
                                                                                        ⎡1 2 0 1 0 0 ⎤        1
                                                                     h3 =h3 +h2         ⎢0 −5 4 −3 1 0 ⎥  h3 = h3
                                                                     →
                                                                  ⎯⎯⎯⎯                  ⎢              ⎥ ⎯⎯⎯
                                                                                                              6
                                                                                                                  →
                                                          33                            ⎢0 0 6 −1 1 1 ⎥
                                                                                        ⎣              ⎦              34




                    ⎡                     ⎤                                               ⎡                ⎤
            1       ⎢1 2 0 1 0           0⎥                                               ⎢1 2 0 1    0  0⎥
        h3 = h3     ⎢                     ⎥                                       1       ⎢                ⎥
     ⎯⎯⎯→   6
                    ⎢ 0 −5 4 −3 1        0⎥
                                                                         ⎯⎯⎯⎯
                                                                            →
                                                                             h2 =− h2
                                                                                  5       ⎢ 0 1 0 7 −1 2 ⎥
                    ⎢        −1 1        1⎥                                               ⎢       15 15 15 ⎥
                    ⎢0 0 1                ⎥                                               ⎢       −1 1   1⎥
                    ⎣        6 6         6⎦                                               ⎢0 0 1           ⎥
                                                                                          ⎣        6  6  6⎦

                    ⎡                     ⎤                                        ⎡       1  2 −4 ⎤        ⎡1    2 −4 ⎤
                    ⎢1 2 0    1    0   0⎥                                          ⎢1 0 0 15 15 15 ⎥        ⎢ 15 15 15 ⎥
 h2 = h2 − 4 h3     ⎢                     ⎥         1                              ⎢               ⎥        ⎢          ⎥
⎯⎯⎯⎯            →   ⎢0 −5 0   −7   1   −2 ⎥    h2 =− h2
                    ⎢          3   3    3⎥       →
                                              ⎯⎯⎯⎯  5           h1 = h1 − 2 h2
                                                               ⎯⎯⎯⎯            →   ⎢0 1 0 7 −1 2 ⎥ ⇒ A -1 = ⎢ 7 −1 2 ⎥
                                                                                   ⎢      15 15 15 ⎥        ⎢ 15 15 15 ⎥
                    ⎢         −1   1   1 ⎥                                                                  ⎢          ⎥
                                                                                   ⎢               ⎥
                    ⎢0 0 1
                    ⎣          6   6   6⎦
                                          ⎥
                                                                                   ⎢0 0 1 −1 1   1 ⎥        ⎢ −1 1   1 ⎥
                                                                                                            ⎢6
                                                                                                            ⎣     6  6⎥⎦
                                                                                   ⎢
                                                                                   ⎣       6  6  6⎥⎦
                                                          35                                                          36
                                                            Định nghĩa: Hạng của một ma trận là cấp cao nhất
HẠNG CỦA MA TRẬN
                                                              của các định thức con khác 0.
  Xét ma trận A cấp mxn, các phần tử nằm trên
                                                            Ví dụ: Tìm hạng của ma trận sau: ⎡ 1 2 − 2 3⎤
  giao của k hàng k cột tạo nên một ma trận vuông
                                                                                                        A = ⎢2 1
                                                                                                            ⎢          4    0⎥
                                                                                                                             ⎥
  cấp k, định thức của nó được gọi là định thức                                                             ⎢
                                                                                                            ⎣1 1       6    3⎥
                                                                                                                             ⎦
  con cấp k.                                                                    thứ
                                                            Ta có tất cả 4 định thức con cấp 3:
Ví dụ             ⎡1 2 5 0 ⎤                                    1   2   −2     1   2    3      1 −2 3     2 −2 3
                  A = ⎢ 4 1 3 2⎥
                      ⎢        ⎥
                                                                2   1   4 = 0; 2   1    0 = 0; 2 4 0 = 0; 1 4 0 = 0
                      ⎢2 3 6 1⎥                                 1 −1    6     1 −1 − 3          1       6    3     1    6    3
                      ⎣        ⎦
        ⎡1 2⎤                                                                          1 2
     δ =⎢    ⎥   là một định thức con cấp 2 của A.                  thứ
                                                            có định thức con cấp 2:          = −3 ≠ 0       Vậy rA=2.
        ⎣3 1 ⎦                                                                         2 1

        ⎡2 5 0⎤
    γ = ⎢1 3 2 ⎥   là một định thức con cấp 3 của A.        Định lý: Ma trận bậc thang có k hàng khác không có
        ⎢      ⎥
        ⎢3 6 1 ⎥                                              hạng bằng k.
        ⎣      ⎦                                       37                                                                        38




4.2 Cách tính hạng của một ma trận bằng phép biến
  đổi sơ cấp.
Định lý: Các phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi        CHƯƠNG 2
  hạng ma trận.
                                                            HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN
  Để tìm hạng của một ma trận A, ta dùng các phép           TÍNH
  biến đổi sơ cấp đưa ma trận về dạng bậc thang B,
  và hạng của A chính là số hàng khác không của B.




                                                       39                                                                        40
                                                   PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG
CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
                                                   TRÌNH TUYẾN TÍNH
1.1. Định nghĩa hệ phương trính tuyến tính.        2.1. Hệ phương trình Cramer.
1.2. nghiệm của hệ phương trình tuyến tính.        2.1.1. Định nghĩa.
1.3. Định lý Kronecker.                            2.1.2. Phương pháp dùng ma trận nghịch đảo.
                                                   2.1.3. Phương pháp Cramer.
                                                   2.2. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát.
                                                   2.2.1. Phương pháp Gauss.
                                                   2.2.2. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất.


                                              41                                                   42

								
To top