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Mathematik fr Naturwissenschaften Teil

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Mathematik fr Naturwissenschaften Teil Powered By Docstoc
					                                o            a    u
                               L¨sungsvorschl¨ge f¨r die Aufgaben zur Vorlesung

                              Mathematik fur Naturwissenschaften, Teil 1
                                          ¨

Blatt 1                                                                                                           u
                                                                                                   PD. Dr. J. Sch¨rmann
WS 2010/11                                                                         Abgabe: Freitag, 22.10.2010, 13:00 Uhr




Aufgabe 1 (mundlich):
            ¨
  1. Seien a, b, c ∈ N. Formen Sie folgende Ausdr¨cke jeweils zu einem vollst¨ndig gek¨rzten
                                                 u                           a        u
     Bruch ganzer Zahlen um:
                                                    a              1                   a
                                                a       ,                  ,             a .
                                                b   +ac
                                                               1
                                                                   +   1 2          1 + 1+ a
                                                               a       b                   b


                                                   u
  2. Die Richterskala ist ein logarithmisches Maß f¨r die freigesetzte Energie eines Erdbebens.
     Aus einem Wert M (Magnitude) auf dieser Skala ermittelt sich die seismische Energie Es
                                   a
     (Einheit: Tonnen TNT) gem¨ß der Formel

                                                       log Es = −3 + 1.5M.

                                    a
       (a) Auf das Erdbeben der St¨rke 7,6 in der indisch-pakistanischen Grenzregion Kasch-
                                                       a
           mir am 8.10.2005 folgte ein Nachbeben der St¨rke 5,9. Welche seismischen Energien
           wurden bei diesen Beben freigesetzt?
       (b) Um welchen Faktor unterscheiden sich die freigesetzten Energien bei Erdbeben der
             a
           St¨rke 7, 6 und 5, 9? Um welchen Faktor unterscheiden sich die freigesetzten Energien
                                 a
           bei Erdbeben der St¨rke M und M + 1?

 o
L¨ sung:

  1.
                      a              a                abc      bc
                  a       a     =   ac+ab
                                                =           =     ,
                  b   +   c           bc
                                                    ac + ab   c+b
                  1                   1                 1           (ab)2        a2 b2
                                =               =              =            = 2            ,
              1       1 2            b+a 2            (b+a)2       (a + b)2   a + 2ab + b2
              a   +   b               ab              (ab)2
                 a                     a         a                             a            a(a + b)      a2 + ab
                   a            =        a  =      ab
                                                      =                  b+a+ab
                                                                                       =              =            .
              1 + 1+ a              1 + b+a   1 + b+a                      b+a
                                                                                           b + a + ab   b + a + ab
                          b                 b


 2a. Es ist
                                 log Es = −3 + 1, 5M                    ⇔            Es = 10−3+1.5M .
                                           u
       Setzt man die Werte 7, 6 bzw. 5, 9 f¨r die Magnitude M ein, so ergeben sich die seismischen
       Energien

                      251 188 643.2 Tonnen TNT                         bzw.          707 945.8 Tonnen TNT.

       Das Erdbeben hat also
                                            251 188 643.2 Tonnen TNT
                                                                     = 354.8
                                              707 945.8 Tonnen TNT
       mal soviel seismische Energie freigesetzt wie das Nachbeben.
 2b. Allgemeiner entspricht ein Punkt auf der Richterskala etwa der 32fachen Menge an freige-
     setzter seismischer Energie, denn

                       10−3+1.5(M +1)   10−3 · 101.5M +1.5   101.5M · 101.5
                                      =                    =                = 101.5 ≈ 31.62.
                         10−3+1.5M        10−3 · 101.5M         101.5M

       (Vergleiche: 32(7.6−5.9) ≈ 362.)

Aufgabe 2:

  1. Sei a > 0. Schreiben Sie folgende Zahlen in Potenzform ax :
                                                   √                                         √
                                                                                             5
                                                       a9                1                       a3
                                                   √        ,       √
                                                                    4
                                                                                ,        √            .
                                                       a6               a−2.8                a−4

  2. Die vier Boxen einer Lautsprecheranlage geben jeweils einen Schallpegel von 115 dB her.
                                                                       a
     Hierbei entspricht ein Schallpegel LI (in dB) einer Schallintensit¨t I (in Watt pro Qua-
     dratmeter) mit LI = (120 + 10 · log I). Wieviele der Boxen k¨nnen bei voller Leistung
                                                                    o
     maximal angeschlossen werden, ohne die Schmerzgrenze von 120 dB zu uberschreiten?
                                                                              ¨

 o
L¨ sung:

  1.
              √
                a9           9         6       9   6            3
              √        = a 2 · a− 2 = a 2 − 2 = a 2 ,
                a6
              1                   14   1               14       1                   7
        √
        4
                       = ((a− 5 ) 4 )−1 = a(− 5 )· 4 ·(−1) = a 10 ,
            a−2.8
              √
              5
                  a3              1    1           1                     1 1                 1            3   3   23
         √             = ((a3 ) 5 ) 2 · ((a−4 ) 2 )−1 = a3· 5 · 2 · a(−4)· 2 ·(−1) = a 10 · a2 = a 10 +2 = a 10 .
              a−4

                       a                       a
  2. Die Schallintensit¨t I kann in Leistung/Fl¨che gemessen werden, die Einheit ist dann
     W/m2 , d.h. Watt pro Quadratmeter. Der Schall(intensit¨ts)pegel LI (in dB) ist dann
                                                             a
     definiert durch
                                     LI = (120 + 10 · log I)
       d.h.                                                                  (LI −120)
                                                                I = 10           10      .
                                                                a
       Jede der Boxen liefert demnach maximal eine Schalintensit¨t von
                                 (115−120)              1         1
                       I0 = 10       10      W/m2 = 10− 2 W/m2 = √ W/m2 ≈ 0.3162 W/m2 .
                                                                  10
       Also bleiben drei Boxen bei voller Leistung noch gerade unter der Schmerzgrenze, vier
                         u
       liegen bereits dar¨ber, denn
                                                                (120−120)
                        3 · I0 ≈ 0.9486 W/m2 < 10                   10          W/m2 < 1.2649 W/m2 ≈ 4 · I0 .
                                                                    =1




                                                                     2
Aufgabe 3:

                                                     u
  1. Seien a, b, c > 0. Schreiben Sie folgende Ausdr¨cke als Linearkombination von log a, log b
     und log c:                               √3                √ −0.5 √
                              3 −2.1             ab2          0.25
                                                                    ab
                        log a bc      , log     √     , log              b .
                                                  c                c0.5

                             u                               ¨                o
  2. Bei Ausgrabungen im S¨dosten Englands werden die Uberreste eines h¨lzernen Schiffs
     gefunden. Durch Massenspektrometrie wird der Massenanteil des 14 C-Isotops am im Wrack
     enthaltenen Kohlenstoff auf 8, 905 · 10−13 bestimmt. Berechnen Sie, wann die zum Bau des
                           a         a
     Schiffes verwendeten B¨ume gef¨llt wurden. Nehmen Sie dazu an, dass der Massenanteil
     des 14 C-Isotops am Kohlenstoff der Umgebung bis heute konstant bei 10−12 geblieben ist.


 o
L¨ sung:

  1.

                   log a3 bc−2.1   = log a3 + log b + log c−2.1                  = 3 log a + log b − 2.1 log c,
                         √3
                            ab2                     1           1                     1              1
                    log    √       = log (ab2 ) 3 · c− 2                = log (ab2 ) 3 + log c− 2
                             c
                                        1              1         1                  1
                                   =      log ab2 − log c =         log a + log b2 − log c
                                        3              2         3                  2
                                        1                    1          1        2     1
                                   =      (log a + 2 log b) − log c = log a + log b − log c,
                  √                     3                    2          3        3     2
                0.25
                     a b−0.5 √                  1       1   1       1                     1
          log                  b   = log a 1/4 b− 2 b 2 c− 2              = log a4 c− 2
                    c0.5
                                                                    1                     1
                                   = log a4 + log c− 2                    = 4 log a −       log c.
                                                                                          2

  2. Sei M0 = 10−12 der Anteil des 14 C-Isotops am Kohlenstoff zum Zeitpunkt t0 . Nach einem
     Jahr ist noch M · x der urspr¨nglichen Stoffmenge vorhanden. Da Kohlenstoff 14 C eine
                                  u
     Halbwertzeit von 5730 Jahren hat, gilt x5730 = 0.5, also

                                                                                      log(0.5)
                             log(0.5) = 5730 · log x                ⇔       log x =
                                                                                        5730
       Der Massenanteil 14 C-Isotops am im Wrack enthaltenen Kohlenstoff betr¨gt M = 8.995 ·
                                                                            a
       10−13 , d.h. es ist die Gleichung M0 · xt = M zu l¨sen, d.h.
                                                         o

           10−12 · xt = 8.905 · 10−13 ⇔ xt = 8.905 · 10−1 ⇔ t log x = log xt = log(0.8905)

       und somit
                                              5730
                                       t=            · log(0.8905) ≈ 958.7.
                                            log(0.5)
       Das im Wrack verbaute Holz wurde also vor etwa 958 Jahren geschlagen.




                                                        3

				
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posted:3/15/2011
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