Docstoc

hara

Document Sample
hara Powered By Docstoc
					Pendahuluan


                                        BAB 1
                               PENDAHULUAN
1.1. Himpunan
      Misalkan S adalah kumpulan dari obyek-obyek. Obyek-obyek dari S
disebut elemen-elemen (anggota-anggota) dari S. Obyek-obyek dari S harus
didefinisikan dengan jelas, artinya jika ditunjuk suatu obyek tertentu, maka obyek
itu dapat dengan tegas ditentukan apakah        sebagai elemen dari S atau bukan
elemen S dan tidak sekaligus sebagai elemen S dan bukan sebagai elemen S.
Untuk menyatakan bahwa sesuatu obyek, misalnya a, adalah elemen S ditulis a S.
Untuk menyatakan sebaliknya, yaitu       a bukan elemen S ditulis aS. Sebagai
contoh, misalnya

      S = {1, 2, 3, …, n, … }, maka 169S dan -15S.

     Apabila himpunan S berada di dalam himpunan T, maka dikatakan bahwa S
adalah himpunan bagian dari T dan ditulis S  T . Secara formal didefinisikan
sebagai berikut.

                   S  T jika dan hanya jika x  S  x  T

S  T juga dikatakan bahwa S termuat dalam T dan dapat pula ditulis T  S yang
dikatakan bahwa T memuat S. Apabila S  T dan T  S maka S = T.            Hal ini
biasanya digunakan sebagai suatu strategi untuk membuktikan            bahwa dua
himpunan sama.

     Suatu himpunan yang tidak mempunyai anggota disebut himpunan kosong
dan diberi simbol { }atau . Perlu diingat bahwa   S , untuk setiap himpunan
S dan S  S, untuk setiap himpunan S.  dan S sering disebut himpunan bagian
tak sejati dari S, himpunan bagian lainnya disebut himpunan bagian sejati. Namun
kita jarang menyebutkan “sejati” atau     “tak sejati” pada kata “himpunan bagian”
itu , apabila tidak diperlukan. Biasanya hanya disebutkan himpunan bagian saja
dan dimaksudkan himpunan bagian baik sejati maupun tak sejati. Banyaknya
anggota himpunan S diberi simbol n(S) atau Satau o(S). Apabila n(S) = k,
maka banyaknya himpunan bagian dari S adalah 2 k (Buktikanlah!). Himpunan dari


                                          1
Pendahuluan


semua himpunan bagian dari S disebut himpunan kuasa dari S dan diberi simbol
2 S atau P(S).

      Misalkan A, B S, kadang-kadang kita menginginkan            suatu himpunan
bagian dari S dari dua himpunan A dan B tersebut dengan cara mengoperasikan
mereka. Operasi yang dimaksud adalah gabungan (), irisan (), selisih (),
selisih simetrik (), komplemen () dan perkalian (). Operasi-operasi itu
didefinisikan sebagai berikut.

      A  B = {x  S  x  A atau x  B}.
      A  B = {x  S  x  A dan x  B}
      A  B = {x  S  x  A dan x  B}
      A  B = (A  B)  (A  B).
           A = {x  S  x  A}
      A  B = {(x,y)  x  A dan y  B}
      Dari definisi operasi tersebut dapat diturunkan hubungan antara himpunan -
himpunan sebagai hasil operasi-operasi tersebut.
      Misalnya: A  A  B,
                 A  B  A  B,
                 A  B  B,
                 A - B  A  B,
                 A  B = B  A,
                 A = S - A dan sebagainya.

Untuk    mengetahui    kebenaran   dari       hubungan-hubungan   itu,   kita   perlu
membuktikannya. Berikut ini contoh-contoh pembuktian.

Contoh 1.1:
(1) Buktikan bahwa     A  B = B  A.
    Bukti : A  B = {x  A atau x  B}
                      = {x  B atau x  A}
                      = B  A




                                          2
Pendahuluan


(2) Buktikan bahwa A  B = A - B.
    Bukti : Ambil sembarang x  (A  B),
               x  (A  B)  x  A dan x  B
                                 x  A dan x  B
                                 x  (A - B)
         Jadi A  B  (A - B)          ................................................... (i)
    Ambil sembarang y  (A - B)  y  A dan y  B
                                          y  A dan y  B
                                          y  (A  B)
                   Jadi A - B  A  B` .............................................(ii)
    Dari (i) dan (ii) disimpulkan A  B = A - B

(3) Buktikan bahwa A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
    Bukti : Ambil sebarang (x,y)  A  (B  C)
        (x,y)  A  (B  C)  x  A dan y  (B  C)
                                   x  A dan (y  B dan y  C)
                                   (x  A dan y  B) dan (x  A dan y  C)
                                   (x,y)  (A  B) dan (x,y)  (A  C)
                                   (x,y)  (A  B)  (A  C)
              Jadi A  (B  C)  (A  B)  (A  C)
    Ambil sebarang (p,q)(AB)(AC)
       (p,q)(AB)(AC)  (p,q)(AB) dan(p,q)(AC)
                                   (p  A dan q  B) dan (p  A dan q  C)
                                   p  A dan (q  B dan q  C)
                                   p  A dan q  (B  C)
                                   (p,q)  A  (B  C)
      Jadi (A  B)  (A  C)  A  (B  C)
    Sehingga A  (B  C) = (A  B)  (A  C)




                                                3
Pendahuluan


Latihan 1.1

1. Tuliskan dengan cara daftar, notasi pembentuk himpunan atau kalimat sehari -
  hari (apabila mungkin) dari himpunan-himpunan berikut ini.
  Diketahui : A = himpunan semua bilangan asli dan
                 B = himpunan semua bilangan bulat.
  (a) D = {a n n  B} jika a suatu bilangan bulat tertentu.
  (b) E = {nan  B} jika a suatu bilangan bulat tertentu.
  (c) F = {x  Ax <15 dan x saling prima dengan 15}
  (d) G = {xx  {1,2,3}}
  (e) H = {x  Bx  5 = 5  x}
  (f) I = {(x,y)  B2 x 2 + y2 = 1}
  (g) J = { a a,b  B dan b  0}
            b


  (h) K = { m m < n dan m,n  A}
            n

  (i) L = {1,2,3,.....} (dua kemungkinan)
  (j) M = {2,3,5,.....} (dua kemungkinan)
  (k) N = {1,3,6,10,.....}
  (l) O = {1,-3,5,-7,9,.....}
  (m) P =   2 , 2 , 4 , 4 ,.....
             1
                  3
                      3
                           5

2. Jika A  B, buktikan A  C  B  C, untuk setiap himpunan C.
3. Buktikan : (A - B)  (B - A) = (A  B) - (A  B).
4. Buktikan : A  (B  C) = (A  B)  (A  C).
5. Buktikanlah aturan De Morgan berikut ini
  (a) (A  B) = A  B
  (b) (A  B) = A  B
6. Misalkan S suatu himpunan dan A, B, C  S didefinisikan bahwa
  A+B = (AB) - (A  B) dan A  B = A  B.
  Buktikan bahwa : (a) A + B = B + A
                         (b) A +  = A
                         (c) A  A = A



                                         4
Pendahuluan


                     (d) A + A = 
                     (e) (A + B) + C = A + (B + C)
                     (f) A + B = A + C  B = C
                     (g) A  (B + C) = A  B + A  C
7. Jika A dan B himpunan-himpunan berhingga, buktikan bahwa
  n(A  B) = n(A) + n(B) - n(A  B).
8. Jika n(A) = k, buktikan bahwa n(P(A)) = 2 k .
9. Jika n(A) = 20, berapakah banyaknya himpunan bagian dari A yang memuat
  (a) 2 elemen            (b) 17 elemen             (c) 5 elemen
10. Hasil survei dalam suatu industri diperoleh data pekerja sebagai be rikut.
  - banyaknya lulusan perguruan tinggi 65 %,
  - banyaknya pegawai pria 75 %,
  - banyaknya pegawai yang telah menikah 80 %, dan
  - banyaknya yang bermasa kerja lebih dari 5 tahun 85 %.
  Berapa persenkah sekurang-kurangnya banyaknya pegawai :
  a) pria yang telah menikah ?
  b) pria yang bermasa kerja lebih dari 5 tahun ?
  c) yang telah menikah dan bermasa kerja lebih dari 5 tahun ?
  d) pria lulusan perguruan tinggi ?
  e) pria lulusan perguruan tinggi yang bermasa kerja lebih dari 5 tahun ?
  f) pria yang telah menikah dan bermasa kerja lebih dari 5 tahun ?


1.2 Pemetaan (Fungsi = Mapping)

       Di muka telah didefinisikan perkalian (hasilkali Cartesius) antara dua
himpunan. Misalnya A dan B dua himpunan, maka
           A  B = {(x,y)x  A dan y  B}

Dengan perkataan lain, A  B adalah himpunan dari semua pasangan terurut
dengan komponen pertama diambil dari elemen A dan komponen kedua diambil
dari elemen B. Jika A  B, maka A  B  B  A dan A  A ditulis A 2 ,
A  A  A ditulis A 3 dan seterusnya.
A2 = {(x, y)x, y  A} dan A 3 = {(x, y, z)x, y, z  A}.

                                          5
Pendahuluan


Secara umum, jika A 1 , A2 , A3 , ....., An adalah himpunan yang tidak kosong, maka
      A1 A2 .....  An = {(x 1 , x 2 , x 3 , ....., x n )x i Ai untuk i = 1,2,3,.....,n}
Pasangan terurut seperti (x 1 , x 2 , x 3 ), yaitu pasangan terurut dari 3 elemen yang
disebut tripel, untuk pasangan terurut dari 4 elemen disebut quadrupel. Secara
umum pasangan terurut dari n elemen disebut n-tupel. Selanjutnya didefinisikan
kesamaan dua pasangan terurut sebagai berikut :
             (x, y) = (a, b) jika dan hanya jika x = a dan y = b.
Dari definisi ini, maka A  B = P  Q jika dan hanya jika A = P dan B = Q,
sehingga A  B  B  A, A  B = B  A terjadi jika dan hanya jika A = B.
       Perhatikan himpunan-himpunan A = {2, 4, 5} dan B = {a, b, c, d}.
Tuliskan semua anggota dari A  B. Banyaknya anggota dari A  B ada 12 buah
pasangan terurut. Sekarang perhatikan suatu himpunan bagian dari A  B,
misalnya :
                      = {(2, a), (4, c), (5, c)}
Himpunan        pasangan terurut  ini dapat dinyatakan sebagai diagram panah
berikut ini :
                                         
                                                a
                                 2              b
                                 4              c
                                 5              d

                                   A        B
                                   Gambar 1.1

Tampak pada gambar 1.1 ini, bahwa setiap elemen dari himpunan A dipasangkan
dengan tepat satu elemen dari himpunan B. Konsep seperti ini dalam matematika
disebut pemetaan (fungsi atau mapping). Gambar 1.1 tersebut menyatakan suatu
diagram panah untuk pemetaan  dari himpunan A ke himpunan B. Jadi kita dapat
mengatakan bahwa suatu pemetaan dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu
himpunan bagian dari A  B.

       Konsep pemetaan dari suatu himpunan ke himpunan lain ini merupakan
salah satu konsep yang sangat penting dalam setiap cabang matematika termasuk
dalam Aljabar Abstrak ini. Misalkan S dan T adalah dua himpunan yang tidak

                                                  6
Pendahuluan


kosong. Suatu cara atau aturan yang memasangkan atau mengaitkan setiap elemen
dari himpunan S dengan tepat satu elemen dari himpunan T disebut suatu
pemetaan dari himpunan S ke himpunan T. Apabila cara atau aturan yang
mengaitkan tersebut diberi simbol f, maka dikatakan bahwa f adalah suatu
pemetaan dari S ke T dan dilambangkan sebagai :
                                 f
                                 T
               f : S  T atau S 
dibaca “pemetaan f dari S ke T ” atau         “f adalah pemetaan dari S ke T ”.
Himpunan S disebut daerah asal (domain) dari f dan himpunan T disebut daerah
kawan (codomain) dari pemetaan f. Apabila s suatu elemen tertentu dari S, maka
hanya ada tepat satu elemen t  T yang merupakan pasangan dari s  S oleh
pemetaan f tersebut. Selanjutnya dikatakan bahwa t adalah peta atau bayangan
dari s oleh f dan ditulis t = f (s). Semua elemen dari S harus mempunyai peta
(bayangan) dalam T dan sebaliknya tidak perlu setiap elemen T merupakan peta
dari elemen S. Himpunan semua elemen T yang merupakan peta dari elemen-
elemen S disebut daerah hasil atau jelajah (range) dari pemetaan f dan
dinyatakan dengan f(S). Sehingga :
           f(S) = {t  T  t = f (s), s  S} = {f (s)  T  s  S}
Perhatikan bahwa f (S)  T.

Contoh 1.2:
(1) Misalkan A = himpunan semua bilangan asli, B = himpunan semua bilangan
    bulat dan pemetaan f : A  B ditentukan (didefinisikan) oleh rumus
    f(x)=3x,xA. Maka daerah hasil dari f adalah f(A) = {3xx  A} = {3, 6, 9,
    12,...}. Peta dari 5, 11, dan 20 oleh f berturut-turut adalah 15, 33, dan 60 dan
    ditulis f(5) = 3  5 = 15, f(11) = 3  11 = 33, dan f(20) = 3  20 = 60.
    Pada pemetaan ini ada elemen-elemen B yang tidak merupakan peta dari
    elemen A, misalnya 0, -1, -2, -3, . . ., 1, 2, 4, 5 dan sebagainya. Tetapi semua
    elemen A pasti mempunyai peta di B.

(2) Misalkan S = T adalah himpunan semua bilangan real dan pemetaan
     : S  T didefinisikan oleh (s) = s 2 , sS.

                                            2  4 .
    Perhatikan bahwa (1) = (-1) = 1,   2  
                                           1   1    1




                                          7
Pendahuluan


    Sehingga, jika (s 1 ) = (s 2 ), maka tidak dapat disimpulkan bahwa s 1 = s 2 .
    Daerah hasil dari f adalah himpunan semua bilangan real tak negatif.

(3) Misalkan A adalah himpunan semua bilangan asli, T adalah himpunan semua
    bilangan rasional positif dan pemetaan f : AA T didefinisikan oleh
                            f((m, n)) =      m
                                             n
                                                 , (m, n)AA.

    Perhatikan bahwa f((1,2)) =         1,   f((2, 4)) =   2   =   1,   f((3, 6)) =   1,   meskipun (1,
                                        2                  4       2                  2

    2)  (2, 4)  (3, 6). Tampak di sini bahwa apabila D = {(a, 2a)a  A}, maka
    f (D) =     1.
                2

(4) Misalkan T suatu himpunan yang tidak kosong dan pemetaan f : TT  T
    didefinisikan oleh f(( t 1 , t 2 )) = t 1 , ( t 1 , t 2 )  T  T.      Pemetaan ini disebut

    proyeksi dari TT ke komponen pertamanya. Daerah hasil dari f adalah T.

(5) Misalkan S dan T dua himpunan yang tidak kosong dan t 0 suatu elemen

    tertentu dari T. Pemetaan g : S  T didefinisikan oleh g(s) = t 0 ,                          sS.

    Maka daerah hasil dari pemetaan g adalah { t 0 }. Pemetaan g ini disebut fungsi

    konstan.

(6) Misalkan S suatu himpunan yang tidak kosong dan pemetaan i : S  S
    didefinisikan oleh i(s) = s, sS. Maka daerah hasil dari i adalah S. Pemetaan
    i dari S ke dirinya sendiri ini disebut pemetaan identitas (fungsi identitas)
    pada S dan dinyatakan dengan i s .

    Misalkan f : S  T adalah suatu pemetaan. Apabila t  T, maka himpunan
semua elemen s  S yang dipetakan ke t oleh f, disebut himpunan prapeta dari t
oleh f dan dinyatakan dengan lambang f -1 (t).             Sehingga :
              f -1 (t) = {x  S f(x) = t}
Selanjutnya, jika B  T maka f -1 (B) = {x  S f (x)  B}, tetapi jika
A S, maka f(A) = {t  Tt = f(a), a  A} = {f(a)  T a  A}.

Contoh 1.3:




                                                   8
Pendahuluan


Misalkan Z adalah himpunan semua bilangan bulat dan N adalah himpunan s emua
bilangan asli. Pemetaan f : Z  N didefinisikan oleh
                        f(x) = x 2 +1, x  Z.
Apabila A = {-2, -1, 0}dan B = {0, 1, 2, 3}, maka A  B = {0} dan AB = {-2,-1,
0, 1, 2, 3}. Selanjutnya, f(A) = {5, 2, 1}; f(B)= {1, 2, 5, 10}; f(A  B} = {1};
f(AB} = {1, 2, 5, 10} dan diperoleh bahwa f(A)  f(B) = {1, 2, 5},
f(A)  f(B) = {1, 2, 5, 10}.
Dari hasil perhitungan ini diperoleh hubungan bahwa :
          f (A  B)  f (A)  f (B) dan f (A  B) = f (A)  f (B)
Apabila untuk pemetaan itu pula diketahui H, K N dengan H = {1, 2, 3, 4} dan
                             -1                            -1
K = {3, 4, 5}, maka f             (H) = {0, -1, 1} dan f        (K) = {-2, 2} dan dapat
ditunjukkan bahwa
          f -1 (H  K) = f -1 (H)  f -1 (K) dan
          f -1 (H  K) = f -1 (H)  f -1 (K)
Contoh ini merupakan ilustrasi dari teorema 1.1 dan teorema 1.2 berikut ini

Teorema 1.1:
    Jika f : S  T suatu pemetaan dan A, B  S, maka :
              ( i ) f (A  B)  f (A)  f (B)
              ( ii ) f (A  B) = f (A)  f (B) dan
              ( iii ) jika A  B maka f (A)  f (B).
Bukti :
(i) Ambil sembarang y  f(A  B), maka ada x  A B sedemikian hingga
y = f(x). Karena xA  B maka xA dan xB, sehingga f(x) f(A) dan
f(x)  f(B). Jadi f(x)  f(A)  f(B) dan karena y = f(x) maka y f(A  B).
Jadi jika y  f(A  B) maka y  f(A  B), sehingga f(A  B)  f(A)  f(B) ‫. ڤ‬
Bukti untuk (ii) dan (iii) diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.

Teorema 1.2:
    Jika f : S  T suatu pemetaan dan H, K  T, maka
                (i) f -1 (H  K) = f -1 (H)  f -1 (K)
                (ii) f -1 (H  K) = f -1 (H)  f -1 (K)


                                             9
Pendahuluan


                (iii) jika H  K maka f -1 (H)  f -1 (K).
Bukti :
(i) Ambil sembarang x  f -1 (H  K) maka f(x)  H  K, sehingga f(x)H atau
f(x)  K. Jadi x  f -1 (H) atau x  f -1 (K), berarti x  f -1 (H)  f -1 (K).
Oleh karena itu, f -1 (H  K)  f -1 (H)  f -1 (K) ….(i)
Sebaliknya, diambil sembarang y  (f              -1
                                                       (H)  f   -1
                                                                      (K)) maka y  f    -1
                                                                                              (H) atau
yf -1 (K), sehingga f(y)H atau f(y) K, yaitu f(y)  H  K berarti
yf -1 (H  K). Jadi f -1 (H)  f   -1
                                         (K)  f -1 (H  K) . . . . . . . . . . . . . (ii).
Dari (1) dan (2) disimpulkan f -1 (H  K) = f -1 (H)  f -1 (K) ‫.ڤ‬
Bukti untuk ( ii ) dan ( iii ) diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.
       Misalkan B adalah himpunan semua bilangan bulat dan C adalah himpunan
semua bilangan cacah. Pemetaan f : B  C didefinisikan oleh f(x)=x, xB.
Oleh pemetaan f ini, adakah elemen C yang tidak merupakan peta dari elemen B?
Ternyata setiap elemen C merupakan peta dari elemen B. Dengan kata lain daerah
hasil dari f sama dengan daerah kawan. Pemetaan seperti ini dinamakan pemetaan
surjektif atau pemetaan onto, dan dikatakan bahwa f adalah pemetaan dari B onto
C. Hal ini merupakan contoh dari definisi berikut ini.

Definisi 1.1:
    Pemetaan f : S  T disebut pemetaan surjektif jika dan hanya jika setiap
    elemen dari daerah kawan (codomain) merupakan peta dari suatu elemen da ri
    daerah asal (domain). Secara simbolik ditulis:
      Pemetaan f : S  T dikatakan surjektif  t  T, s  S  f(s) = t.

Notasi  dibaca “ada” dan  dibaca “sedemikian hingga”. Pernyataan terakhir ini
dapat pula dikatakan bahwa suatu pemetaan dikatakan surjektif jika dan hanya
jika prapeta dari setiap elemen daerah kawan (codomain) selalu tidak kosong.
Secara simbolik ditulis :
            Pemetaan f : S  T surjektif  t  T, f -1 ( t )  .

      Misalkan B adalah himpunan semua bilangan bulat dan A adalah himpunan
semua bilangan asli. Pemetaan g : A  B didefinisikan oleh
                       g (x) = 2x - 5, x  A.


                                                 10
Pendahuluan


Pemetaan ini adalah suatu contoh pemetaan yang tidak surjektif. Tetapi perhatikan
bahwa setiap elemen B yang merupakan peta dari elemen A, ia hanya mempunya i
pasangan yang tunggal (tepat satu) elemen dari A. Pemetaan seperti ini dinamakan
pemetaan injektif atau pemetaan satu-satu (1 - 1).

Definisi 1.2:
    Pemetaan f : S T disebut injektif (satu-satu) jika dan hanya jika tf (S), f -
    1
        (t) adalah himpunan tunggal (himpunan yang hanya memuat satu elemen).

        Dari definisi ini dapat dimengerti bahwa setiap elemen dari daerah hasil
mempunyai prapeta tepat satu elemen dari daerah asal. Artinya setiap dua elemen
yang berbeda dalam daerah asal mempunyai peta yang berbeda pula dalam daerah
kawan. Atau dikatakan tidak ada dua elemen yang berbeda dalam daerah asal yang
mempunyai peta yang sama dalam daerah kawan. Hal ini secara singkat dituliskan
sebagai berikut :
            Pemetaan f : S  T injektif  x, y  S, x  y  f(x)  f(y).
Dalam penerapan sering digunakan kontraposisinya, yaitu :
           Pemetaan f : S  T injektif  x, y  S, f( x ) = f( y )  x = y.

Definisi 1.3:
    Pemetaan yang sekaligus injektif dan surjektif disebut pemetaan bijektif (1-1 dan
    onto) atau korespondensi 1-1.

Contoh 1.4 :
Misalkan R adalah himpunan semua bilangan real. Pemetaan f : R R
didefinisikan oleh f(x) = 4x + 3, xR. Pemetaan ini injektif, sebab jika a, bR
sedemikian hingga f(a) = f(b), yaitu 4a + 3 = 4b + 3, maka a = b. Pemetaan inipun
surjektif, sebab jika dR, ada cR dengan c =       d3   sedemikian hingga
                                                     4

f(c) = f( d3 ) = 4( d3 ) + 3 = d. Jadi pemetaan f tersebut bijektif. Berikut ini
           4          4

definisi kesamaan dua pemetaan.

    Dua pemetaan f : A  B dan g : C  D dikatakan sama (ditulis f = g ) jika dan
    hanya jika (i) A = C, (ii) B = D dan (iii) f(x) = g(x), x  A.

Contoh 1.5:


                                            11
Pendahuluan


Misalkan A adalah himpunan semua bilangan asli dan G adalah himpunan semua
bilangan asli yang genap. Pemetaan f : A A didefinisikan oleh
f(x) = 2x, xA dan pemetaan g : A G didefinisikan oleh g(x) = 2x, xA.
Dua pemetaan ini mempunyai daerah asal yang sama dan nilai-nilai pemetaannya
untuk setiap elemen dari A sama pula, sehingga daerah hasilnya sama. Tetapi dua
pemetaan tersebut tidak dapat dikatakan sama, karena daerah kawannya tidak
sama. Pemetaan f tidak surjektif, sedang g suatu pemetaan surjektif. Jadi f  g.
       Selanjutnya, kita akan membicarakan komposisi perkalian dua pemetaan.
Misalkan f : A B dan g : B C masing-masing adalah pemetaan. Perhatikan
bahwa B sebagai daerah kawan dari f dan juga sebagai daerah asal dari g.
Misalkan a  A, maka oleh pemetaan f, peta dari a, yaitu f(a) berada dalam B.
Karena B sebagai daerah asal dari pemetaan g, maka peta dari f(a) oleh g adalah
g(f(a)) yang berada dalam C. Jadi kita dapat mengawankan setiap elemen aA
dengan elemen g(f(a))C. Dengan kata lain kita telah membentuk pemetaan baru
dari A ke C. Pemetaan baru ini disebut pemetaan komposisi dari f dan g yang
dinyatakan dengan simbol : g  f atau (gf)

Definisi 1.4:

    Jika f : AB dan g : BC masing-masing adalah pemetaan, maka komposisi
    f dan g yang dinyatakan dengan g  f adalah suatu pemetaan g  f : AC
    yang didefinisikan oleh (g  f)(a) = g(f(a)), a  A.

Komposisi fungsi ini memenuhi sifat asosiatif dan dinyatakan sebagai teorema
berikut ini :

Teorema 1.3:
    Jika f : A  B, g : B  C dan h : C  D masing-masing adalah pemetaan,
    maka h  (g  f) = (h  g)  f atau secara singkat ditulis h(gf) = (hg)f.

Bukti :
Sesuai definisi 1.4, h(gf) : A  D dan (hg)f : A  D masing-masing adalah suatu
pemetaan. Maka dua pemetaan ini mempunyai daerah asal sama dan daerah kawan
yang sama pula. Sehingga kita tinggal menunjukkan bahwa :


                                         12
Pendahuluan


                [h(gf)](a) =[(hg)f](a), a  A.
Menurut definisi 1.4, jika a  A, maka
                [h(gf)](a) = h[(gf)](a) = h(g(f(a))) dan
                [(hg)f)](a) = (hg)f(a) = h(g(f(a)))
                Sehingga h(gf) = (hg)f ‫ڤ‬

Teorema 1.4:
     Misalkan f : A  B dan g : B  C masing-masing adalah pemetaan.
     (i) Jika f dan g keduanya injektif, maka g  f suatu pemetaan injektif pula
     (ii) Jika f dan g keduanya surjektif, maka g  f suatu pemetaan surjektif pula
     (iii) Jika f dan g keduanya bijektif, maka g  f suatu pemetaan bijektif pula

Bukti :
(i) Ambil x,y  A sedemikian hingga (g  f)(x) = (g  f)(y), maka menurut definisi
1.4, g(f(x)) = g(f(y)). Dan karena g pemetaan injektif, maka f(x) = f(y). Dan
karena f suatu pemetaan injektif, maka x = y. Jadi (g  f) suatu pemetaan injektif
‫.ڤ‬

Bukti untuk (ii) dan (iii) diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.

         Apabila f : A  B suatu pemetaan, maka selalu ada f           -1
                                                                            : B  A yang
disebut invers dari pemetaan f. Invers dari pemetaan f ini belum tentu merupakan
pemetaan. Tetapi, apabila f : A  B suatu pemetaan bijektif, maka f            -1
                                                                                    : B A
merupakan pemetaan dan disebut pemetaan invers dari f. Oleh karena itu kita
perlu membedakan antara “invers suatu pemetaan” dan “pemetaan (fungsi)
invers”. Ingat bahwa invers suatu pemetaan belum tentu merupakan pemetaan.
Invers suatu pemetaan akan merupakan pemetaan, apabila pemetaan semula suatu
pemetaan bijektif. Hal ini mengarahkan kita pada teorema berikut ini.

Teorema 1.5:
     Jika f : A  B adalah suatu pemetaan bijektif, maka f  f    -1
                                                                       = i B dan
         -1
     f         f = i A , di mana i A dan i B berturut-turut adalah pemetaan identitas

     pada A dan B.
Bukti :



                                              13
Pendahuluan


Ambil sembarang b  B maka (f  f -1 )(b) = f(f -1 (b)). f -1 (b) adalah suatu elemen
di A, misalnya a o  A, sedemikian hingga b = f(a o).
Jika a  A dan f(a) = f(a o) maka a = a o, karena f suatu pemetaan injektif.
Sehingga f(f -1 (b)) = f(a o) = b. Dengan kata lain, (f  f -1 )(b) = b, b  B, yaitu
        -1
f  f        = i B ‫ .ڤ‬Buktikan untuk bagian lainnya.


Latihan 1.2

1. Misalkan f : S  T, dengan S, T dan definisi f yang ditentukan berikut ini.
  Apakah f menyatakan suatu fungsi ? Berilah alasan, apabila f bukan suatu
  fungsi (pemetaan) !
  (a) S = himpunan semua wanita, T = himpunan semua pria dan f(x) = suami
             dari x, x  S.
  (b) S = himpunan semua bilangan asli, T = S dan f(x) = x - 1, x  S.
  (c) S = himpunan semua bilangan asli, T = himpunan semua bilangan cacah
             dan f(x) = x - 1, x  S.
  (d) S = himpunan semua bilangan cacah, T = S dan f(x) = x 2 + 1, xS.
  (e) S = himpunan semua bilangan bulat, T = S dan f(x) = x - 1, x  S.
  (f) S = himpunan semua bilangan real, T = S dan f(x) =  x , x  S.
  (g) S = himpunan semua bilangan real positif, T = S dan f(x)= x,xS.

2. Pada soal 1, jika f suatu pemetaan, tentukan apakah f injektif, surjektif atau
  bijektif ! Berilah alasan !
                                                                          -1
3. Jika f suatu pemetaan 1-1 dari S onto T, buktikan bahwa f                   adalah suatu
  pemetaan 1-1 dari T onto S.
                                                                     -1
4. Jika f suatu pemetaan 1-1 dari S onto T, buktikanlah bahwa f            f = is .

5. Jika f : S  T suatu pemetaan surjektif, g : T  U dan h : T  U dua pemetaan
  sedemikian hingga g  f = h  f, buktikan g = h.
6. Misalkan B = himpunan semua bilangan bulat dan T = {-1, 1}. Jika f : B  T
  didefinisikan oleh f(x) = 1, jika x genap dan f(x) = -1, jika x ganjil, maka
  (i) Apakah f tersebut merupakan suatu pemetaan surjektif ?



                                             14
Pendahuluan


  (ii) Tunjukkan bahwa f(x + y) = f(x) + f(y), x, y  B.
  (iii) Apakah f(x y) = f(x) f(y), x, y  B ?
7. Misalkan R adalah himpunan semua bilangan real dan f : RR                  didefinisikan
  oleh f(x) = x 2 , x  R dan g : R  R didefinisikan oleh
  g(x)= x + 1, x  R. Tentukan f  g, g  f dan apakah f  g = g  f ?

8. Misalkan R adalah himpunan semua bilangan real dan a, b  R dengan a  0
  didefinisikan f a, b ( x ) = ax + b, x  R.
     (a) Tunjukkan bahwa           f a,b  fc,d = fu,v untuk suatu bilangan real u, v.
         Nyatakan u, v dalam a, b, c, dan d.
     (b) Apakah f a,b  fc,d = fc,d  fa,b ?
     (c) Tentukan f a,b sedemikian hingga f a,b  f1,1 = f1,1  fa,b .

     (d) Tunjukkan bahwa f a1 ada dan tentukanlah !
                             ,b

                                                                                 -1 -1
 9. Misalkan f suatu pemetaan bijektif dari S ke S, tunjukkan bahwa (f             )     = f.

10. Jika S suatu himpunan berhingga dengan n elemen, berapakah banyaknya
    pemetaan dari S ke dirinya sendiri ? Berapa pula banyaknya pemetaan injektif
    dari S ke S ?

11. Misalkan S suatu himpunan berhingga dan A(S) adalah himpunan semua
   pemetaan 1-1 dari S onto S. Tunjukkan bahwa A(S) memenuhi sifat-sifat
   berikut ini :
    (a) f, g A(S) maka f  g  A(S).
    (b) f, g, h  A(S) maka (f  g)  h = f  (g  h).
    (c) Ada pemetaan identitas i  A(S) sedemikian hingga f  i = i  f = f untuk
        setiap f  A(S).
    (d) f  A(S) ada f    -1
                                 A(S) sedemikian hingga f   -1
                                                                   f = f  f -1 = i.

12. Misalkan R adalah himpunan           semua bilangan real. Pemetaan f : R  R
   didefinisikan oleh f(x) = x 2 + ax + b, x, yR dengan a, b bilangan real
   tertentu. Buktikan bahwa tak ada bilangan real a dan b agar f bijektif.




                                            15
Pendahuluan


13. Misalkan R = himpunan semua bilangan real dan T             = himpunan semua
    bilangan real positif. Tentukan suatu pemetaan bijektif f dari R ke T yang
    memenuhi f(x + y) = f(x) f(y), x, yS ! Carilah f -1 !

14. Jika f, g adalah dua pemetaan dari S ke S dan f  g suatu fungsi konstan, maka
    (a) apakah yang dapat Anda katakan tentang f jika g onto ?
    (b) Demikian pula tentang g, jika f injektif ?

15. Jika S suatu himpunan berhingga dan f suatu pemetaan dari S onto S,
    tunjukkan bahwa f injektif !


1.3 Bilangan Bulat

       Untuk menyingkat penulisan, mulai seksi ini dan seterusnya, apabi la tidak
ada keterangan tentang huruf-huruf A, B, C, Q, R, dan K, maka huruf-huruf ini
menyatakan himpunan-himpunan sebagai berikut :
        A = himpunan semua bilangan asli
        B = himpunan semua bilangan bulat
        C = himpunan semua bilangan cacah
        Q = himpunan semua bilangan rasional
        R = himpunan semua bilangan real
        K = himpunan semua bilangan kompleks

1.3.1 Keterbagian

     Dalam seksi ini, kita akan membicarakan bilangan bulat dan sifat -sifatnya
yang erat kaitannya dengan penerapannya dalam Aljabar Abstrak. Khusus dalam
seksi ini, untuk menyingkat penulisan, maka setiap variabel yang ditulis huruf
kecil menyatakan suatu bilangan bulat.
     Salah satu asumsi dasar dalam mengembangkan sifat-sifat bilangan bulat adalah
prinsip urutan-baik (well-ordering principle), yaitu suatu himpunan yang tidak kosong
dari bilangan bulat tak negatif mempunyai elemen terkecil. Dengan menggunakan
simbol, prinsip ini menyatakan bahwa jika S   dan S suatu himpunan bilangan-
bilangan bulat tak negatif, maka ada suatu elemen soS sedemikian hingga so s, sS.
Salah satu penerapan dari prinsip ini, berikut ini suatu teorema dasar dalam Teori


                                         16
Pendahuluan


Bilangan yang disebut algoritma pembagian yang pembuktiannya menggunakan prinsip
well-ordering. Algoritma pembagian atau sering disebut algoritma Euclid menyatakan
bahwa jika suatu bilangan bulat dibagi oleh bilangan bulat lain, maka ada hasil dan
sisanya. Secara formal, algoritma pembagian dinyatakan sebagai teorema berikut ini.

Teorema 1.6: (Algoritma Pembagian).
    Jika m dan n dua bilangan bulat dan n > 0, maka ada bilangan-bilangan bulat q dan
    r, dengan 0  r < n sedemikian hingga m = qn + r.
Bukti :
Dibentuk himpunan W = {m - tnt  B}. Himpunan W ini mesti memuat suatu
bilangan bulat tak negatif, sebab jika t dibuat cukup besar dan negatif, maka
m - tn  0. Misalkan V = {vWv  0}, maka dengan prinsip well-ordering, V
mempunyai elemen terkecil, misalnya r  V, r  0 dan
r = m - qn untuk suatu bilangan bulat q. Bilangan bulat r < n, sebab jika tidak,
yaitu r = m - qn  n, maka m - (q + 1) n  0. Sehingga m - (q + 1) n suatu elemen
dari V dan m - (q + 1) n < r. Hal ini bertentangan dengan ketentuan semula bahwa
r suatu elemen terkecil dalam V. Dengan demikian teorema terbukti ‫.ڤ‬

Definisi 1.5:
    Jika m, n bilangan-bilangan bulat dan m  0, maka m membagi (habis) n
    (ditulis mn) jika dan hanya jika n = km, untuk suatu bilangan bulat k.

Sebagai contoh, 28, (-6)24, 5(-15), (-4)(-12).
Jika mn, maka kita katakan bahwa m pembagi atau faktor dari n, atau n adalah
kelipatan dari m. Untuk menyatakan bahwa m tidak membagi n ditulis m  n.
                                                                     |
Berikut ini sifat-sifat elementer dari keterbagian.

Teorema 1.7:
    Jika m, n bilangan-bilangan bulat dan m  0, maka
    (a) m0, 1n dan nn
    (b) jika m1 maka m = 1 atau m = -1
    (c) jika mn dan nk maka mk
    (d) jika mn dan kr maka mknr
    (e) jika mn dan nm, maka m =  n


                                          17
Pendahuluan


    (f) jika mn dan mk, maka m(un + vk), u, v  B.

Bukti :
Bukti tiap bagian dari teorema ini langsung diperoleh dari definisi 1.5. Bagian (f)
akan dibuktikan di sini dan bagian lainnya diserahkan kepada pembaca sebagai
latihan.
(f) mn dan mk maka n = am dan k = bm untuk bilangan-bilangan bulat a dan b.
Sehingga un = uam dan vk = vbm. Jadi (un + vk) = (ua + vb) m yang berarti
m(un + vk) ‫.ڤ‬
      Dari pengertian faktor (pembagi) suatu bilangan bulat, maka berikut ini akan
dibahas mengenai pengertian faktor persekutuan terbesar (FPB) dari dua bilangan bulat
beserta sifat-sifatnya.

Definisi 1.6:
    Misalkan a dan b adalah bilangan-bilangan bulat yang tidak nol. Faktor
    persekutuan terbesar (FPB) dari a dan b adalah c ditulis (a, b) = c jika dan
    hanya jika : (i) c > 0, (ii) ca dan cb, (iii) jika d a dan db maka dc.

      Apabila (a, b) = c, maka c dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari a
dan b, misalnya (24, 9) = 3 dan 3 - 3  9 + (-1)    24 = (-5) 9 + 2  24.
Hal ini dinyatakan sebagai teorema berikut ini.

Teorema 1.8:
    Jika a dan b bilangan-bilangan bulat yang tidak nol, maka FPB dari a dan b selalu
    ada dan tunggal serta jika (a, b) = c, maka ada bilangan-bilangan bulat mo dan no
    sedemikian hingga c = mo a + no b.
Bukti:
Karena a dan b keduanya tidak nol, maka himpunan A = {ma + nbm,nB}
memuat bilangan bulat yang tidak nol. Apabila x < 0 dan x  A maka
-x  A dan -x > 0, sebab jika x = m 1 a + n 1 b maka -x = (-m 1 ) a + (-n1 ) b juga
dalam A. Jadi A memuat bilangan bulat positif, sehingga menurut prinsip well -
ordering, A memuat bilangan bulat positif terkecil, misalnya
c  A. Karena c  A, maka c = m oa + n ob untuk suatu m o, no  B.




                                         18
Pendahuluan


Kita tunjukkan bahwa c = (a,b). Misalkan da dan db, maka d(m oa+n ob)
Sehingga dc. Selanjutnya dengan algoritma pembagian, a = qc + r dengan 0  r <
c, yaitu r  A. Tetapi karena 0  r < c, dan c adalah bilangan bulat positif
terkecil dalam A, maka r = 0. Sehingga a = qc atau ca. Dengan jalan yang sama,
maka cb. Sesuai dengan definisi 1.6, maka c = (a, b).
Selanjutnya ditunjukkan ketunggalan c. Jika t > 0 yang memenuhi t a, tb dan
dt untuk semua d dengan da dan db, maka akan diperoleh tc dan ct, yaitu
t = c. Jadi (a, b) = c adalah tunggal ‫.ڤ‬

      Apabila (a, b) = 1, dikatakan bahwa a prima relatif terhadap b atau a dan b
saling prima. Perhatikan bahwa jika a dan b saling prima, maka a dan b tidak
perlu prima, misalnya (9, 14) = 1. Sebagai akibat dari teorema 1.8 adalah teorema
berikut ini.

Teorema 1.9:
    (a, b) = 1 jika dan hanya jika ada bilangan-bilangan bulat m dan n sedemi kian
    hingga ma + nb = 1.

Bukti :
Sesuai teorema 1.8, jika (a, b) = 1, maka ada bilangan-bilangan bulat m dan n
sedemikian hingga ma + nb = 1. Sebaliknya ditunjukkan bahwa jika
ma + nb= 1 untuk suatu bilangan-bilangan bulat m dan n, maka (a,b) = 1.
Misalkan (a,b) = d maka da dan db, sehingga d(ma + nb) atau d1.
Jadi d = 1 ‫.ڤ‬
Sebagai akibat dari teorema 1.9 adalah teorema berikut ini.

Teorema 1.10:
    Jika (a, b) = 1 dan ab c maka ac.



Bukti :
Karena (a, b) = 1, maka ada bilangan-bilangan bulat m dan n sedemikian hingga
ma + nb = 1, sehingga mac + nbc = c. Karena abc maka anbc. Jelas bahwa
amac, sehingga a(mac + nbc), yaitu ac ‫.ڤ‬


                                           19
Pendahuluan



Sebagai akibat dari teorema 1.10 tersebut adalah pernyataan berikut ini.

Akibat 1.10:
    Jika (a, b) = 1 dan (a, c) = 1 maka (a, bc) = 1.

Bukti :
Karena ( a, b ) = 1, maka ada bilangan bulat m dan n sedemikian hingga
ma + nb = 1, sehingga (mac + nbc ) = c atau dc. da dan dc dan
(a, c) = 1, maka d = 1. Jadi (a, bc) = 1 ‫.ڤ‬

Di atas telah disebutkan kata “prima”, berikut ini suatu definisi bilangan prima.

Definisi 1.7:
    Bilangan bulat positif p disebut bilangan prima atau disingkat prima, apabila untuk
    sembarang bilangan bulat a berlaku pa atau ( a, p ) = 1.

      Definisi ini sama saja dengan definisi yang telah biasa kita kenal, yaitu bilangan
bulat positif p disebut bilangan prima, apabila p tidak mempunyai faktor bulat, kecuali 1
dan p. Sebagai hasil lain dari teorema 1.10 adalah teorema berikut ini.

Teorema 1.11:
    Jika p suatu bilangan prima dan pa1 a2 a3 ... a n maka pai untuk suatu i
    dengan 1  i  n.

Bukti :
Karena p prima maka pai atau (p, a i ) = 1, untuk setiap i  {1, 2, ..., n}. Jika pai
untuk suatu i  {1, 2, 3, ..., n}, maka teorema terbukti.
Jika (p, a i ) = 1, untuk suatu i  {1, 2, ..., n}, menurut teorema 1.10, karena pa1
a2 a3 ... an , maka p|aj , untuk j  {1, 2, ..., n} ‫ڤ‬

      Bilangan prima mempunyai peranan yang sangat penting dalam himpunan
bilangan asli. Setiap bilangan asli adalah suatu bilangan prima atau sebagai
hasilkali dari bilangan-bilangan prima. Apabila suatu bilangan asli dapat
dinyatakan sebagai perkalian bilangan-bilangan prima, maka bentuk perkalian
tersebut tunggal, kecuali urutan faktor-faktornya saja. Ini semua pembaca dapat
mempelajarinya dalam Teori Bilangan.


                                               20
Pendahuluan


Latihan 1.3.1

 1. Tentukanlah (a, b) dan nyatakan hasilnya sebagai ma + nb untuk :
    (a) (116, 84)
    (b) (85, 65)
    (c) (72, 26)
    (d) (72, 25)

 2. Buktikanlah teorema 1.6.
 3. Buktikan bahwa (ma, mb) = m (a, b) jika m > 0

 4. Jika am dan bm serta (a, b) = 1 maka a bm.

                 a     a               b     b
 5. Jika m = p11 ... p kk dan n = p1 1 ... p kk dengan p 1 , p 2 , ... , p k adalah bilangan-

    bilangan prima yang berbeda dan a 1 , ..., a k , b 1 , ..., b k adalah bilangan-bilangan
    bulat tak negatif, nyatakan (m, n) dengan p i , ai , dan b i dengan
    1  i  k.

 6. Misalkan d adalah kelipatan persekutuan terbesar (KPK) dari a dan b.
    (a) Tulislah definisi KPK dari a dan b sama dengan d tersebut.
    (b) Tunjukkan bahwa d(a, b) = ab
    (c) Tentukan KPK dari pasangan bilangan pada nomor 1.

 7. Buktikan bahwa jika n suatu bilangan asli yang lebih dari 1 dan n tidak
    mempunyai faktor d dengan 1 < d < n, maka d suatu bilangan prima.
    Permasalahan ini biasa digunakan untuk mengidentifikasi bilangan prima.
    Periksalah dengan cara ini, apakah 301, 1001 dan 477 adalah bilangan prima.

 8. Perhatikan barisan bilangan prima 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... . Dibentuk bilangan-
    bilangan (2  3) + 1, (2    3  5) + 1, (2    3      5    7) + 1, ... Apakah bilangan-
    bilangan ini dan seterusnya menyatakan bilangan-bilangan prima ? Dengan
    cara ini, buktikan bahwa banyaknya bilangan prima adalah tak hingga.

 9. Jika p suatu bilangan prima ganjil, tunjukkan bahwa p berbentuk :
    (a) 4n + 1 atau 4n + 3, untuk n  A.
    (b) 6n + 1 atau 6n + 5, untuk suatu n  A, dan



                                            21
Pendahuluan


     (c) buktikan bahwa banyaknya bilangan prima berbentuk (4n + 3) adalah tak
          hingga.

10. (a) Jika p suatu bilangan prima, buktikan bahwa tak ada bilangan -bilangan
         bulat tak nol a dan b yang memenuhi a 2 = pb 2 .
    (b) Misalkan D suatu himpunan tak hingga dan D  A, tunjukkan bahwa
         D  A (tunjukkan bahwa ada korespondensi 1-1 dari A ke D).


1.3.2 Kekongruenan

       Di atas kita telah membahas konsep keterbagian bilangan-bilangan bulat beserta
sifat-sifatnya. Konsep dan sifat-sifat keterbagian itu dapat dipelajari lebih mendalam
lagi dengan menggunakan konsep kekongruenan. Memang kekongruenan merupakan
cara lain untuk menelaah keterbagian dalam himpunan bilangan bulat.

Definisi 1.8:
    Jika m suatu bilangan bulat positif, maka a kongruen dengan b modulo m (ditulis
    a ≡ b (mod m)) bila dan hanya bila m membagi (a - b).
    Jika m tidak membagi (a - b) maka dikatakan bahwa a tidak kongruen dengan b
    modulo m (ditulis a  b (mod m))
                        

Contoh 1.6:
25 ≡ 1 (mod 4) sebab (25 – 1) = 24 terbagi oleh 4.
31  5 (mod 6) sebab (31 – 5) = 26 tidak terbagi oleh 6.
   

       Definisi 1.8 tersebut dapat ditulis bahwa jika m > 0 maka m(a - b) bila dan
hanya bila a ≡ b (mod m). Jika m(a-b), maka ada bilangan bulat k sehingga
(a - b) = mk. Sehingga a ≡ b (mod m) bila dan hanya bila a – b = mk untuk suatu
bilangan bulat k. Tetapi karena a – b = mk sama artinya dengan a = mk + b, maka
a ≡ b (mod m) bila dan hanya bila a = mk + b.

Contoh 1.7:
26  4 (mod 11) sama artinya dengan 26 = 11. 2 + 4
38 ≡ 3 (mod 5) sama artinya dengan 38 = 5 . 7 + 3
Uraian tersebut merupakan bukti dari teorema berikut ini :



                                          22
Pendahuluan


Teorema 1.12:
    a ≡ b (mod m) bila dan hanya bila ada bilangan bulat k sehingga a = mk + b.

      Kita telah mempelajari bahwa jika a dan m bilangan-bilangan bulat dan m > 0,
menurut algoritma pembagian, maka a dapat dinyatakan sebagai
                        a = mq + r dengan         0  r < m.
        Ini berarti bahwa a - r = mq, yaitu a ≡ r (mod m).
Karena 0  r < m, maka ada m buah pilihan untuk r, yaitu 0,1,2,3, …, (m-1). Jadi setiap
bilangan bulat akan kongruen modulo m dengan tepat satu di antara 0,1, 2, 3, …, (m-1).
Hal ini dinyatakan sebagai teorema berikut ini.

Teorema 1.13:
    Setiap bilangan bulat kongruen modulo m dengan tepat satu di antara
                          0, 1, 2, 3,…., (m-1).

Definisi 1.9:
Jika a ≡ r (mod m) dengan 0  r < m, maka r disebut residu terkecil dari a modulo m.
Untuk kekongruenan modulo m ini, {0, 1, 2, 3, …, (m-1)} disebut himpunan residu
terkecil modulo m.

Contoh 1.8:
Himpunan residu terkecil modulo 5 adalah {0, 1, 2, 3, 4}.
Himpunan residu terkecil modulo 9 adalah {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
Himpunan residu terkecil modulo 25 adalah {0, 1, 2, 3, . . . , 24}
      Kita dapat melihat relasi kekongruenan itu dengan cara lain, seperti pada teorema
berikut ini.

Definisi 1.10:
    Himpunan bilangan bulat {r1, r2, r3, . . . , rm} disebut sistem residu lengkap modulo
    m bila dan hanya bila setiap elemennya kongruen modulo m dengan satu dan hanya
    satu dari 0, 1, 2, …, (m-1).

Contoh 1.9:
(i) Himpunan {45, -9, 12, -22, 24} adalah suatu sistem residu lengkap modulo 5. Dapat
      diperiksa bahwa
                 45  0 (mod 5)


                                            23
Pendahuluan


                 -9  1 (mod 5)
                 12  2 (mod 5)
                 22  3 (mod 5)
                 24  4 (mod 5)
(ii)   Himpunan {0, 1, 2, 3, 4} juga merupakan suatu sistem residu lengkap modulo 5,
       sekaligus sebagai himpunan residu terkecil modulo 5.
(iii) Himpunan {4, 3, 1, 2, 0} pun merupakan suatu sistem residu lengkap modulo 5.
(iv) Himpunan {5, 11, 6, 1, 8, 15} bukan merupakan sistem residu lengkap modulo 6,
       sebab 5 ≡ 11 (mod 6)

         Kekongruenan modulo suatu bilangan bulat positif adalah suatu relasi antara
bilangan-bilangan bulat. Dapat ditunjukkan bahwa relasi kekongruenan itu merupakan
relasi ekuivalensi. Kita ingat bahwa suatu relasi disebut relasi ekuivalensi jika relasi itu
memiliki sifat refleksi, sifat simetris dan sifat transitif.
         Jika m, a, b dan c adalah bilangan-bilangan bulat dengan m positif, maka :
(i)    a ≡ a (mod m), sifat refleksi
(ii)   jika a ≡ b (mod m) maka b ≡ a (mod m), sifat simetris
(iii) jika a ≡ b (mod m) dan b ≡ c (mod m) maka a ≡ c (mod m) sifat transitif.
         Kita buktikan tiap-tiap sifat itu!
(i). Karena a – a = 0 = 0m, maka a ≡ a (mod m)
(ii). Karena a ≡ b (mod m) maka b – a = km untuk suatu bilangan bulat k, sehingga
       a – b = -km yang berarti bahwa b ≡ a (mod m).
(iii). a ≡ b (mod m) berarti a – b = km untuk suatu bilangan bulat k.
       b ≡ c (mod m) berarti b – c = hm untuk suatu bilangan bulat h. Ruas-ruas kedua
       persamaan dijumlahkan, sehingga diperoleh a – c = (k – h)m yang berati bahwa
       a ≡ c mod m
        Karena relasi “≡” (kekongruenan) pada himpunan bilangan bulat memenuhi tiga
sifat tersebut, maka relasi kekongruenan pada himpunan tersebut merupakan relasi
ekuivalen. Akibatnya himpunan bilangan bulat terbagi dalam himpunan-himpunan
bagian dan membentuk partisi yang setiap himpunan bagian disebut kelas.

Contoh 1.10:




                                               24
Pendahuluan


     Misalnya        kita   memperhatikan        himpunan      bilangan   bulat   dengan   relasi
kekongruenan modulo 5, maka dengan relasi ini himpunan bilangan bulat terpartisi
(terbagi menjadi himpunan bagian – himpunan bagian yang saling asing dan
gabungannya sama dengan himpunan bilangan bulat) menjadi 5 kelas, yaitu :
                 0 = [0] = { . . . , -10, -5, 0, 5, 10, . . . }

                 1     = [1] = { . . . , -9, -4, 1, 6, 11, . . . }
                 2 = [2] = { . . . , -8, -3, 2, 7, 12, . . . }
                 3 = [3] = { . . . , -7, -2, 3, 8, 13, . . . }

                 4 = [4] = { . . . , -6, -1, 4, 9, 14, . . . }
      Pemberian nama untuk suatu kelas menggunakan nama salah satu anggota dari
kelas tersebut yang dibubuhi tanda garis di atasnya atau dikurung persegi. Misalnya :
             [3] = [-2] = [8] atau 3   2  8
Jadi himpunan semua bilangan bulat dengan relasi kekongruenan terbagi dalam 5 kelas
partisi. Himpunan semua kelas bilangan bulat modulo 5 diberi simbol B/5, yaitu :
                             B/5 = {[0], [1], [2], [3], [4]}
Kita dapat melakukan operasi penjumlahan modulo 5 dan perkalian modulo 5 pada B/5.
Misalnya : [2] × [3] = [1], [3] × [4] = [2], [2] × [4] = [3],
             [2] + [3] = [0], [3] + [4] = [2], [2] + [4] = [1], dan sebagainya.
Jika m suatu bilangan bulat positif, maka himpunan semua kelas dari bilangan bulat
modulo m adalah B/m = {[0], [1], [2], [3], . . . , [m-1]}
        Relasi kekongruenan mempunyai kemiripan sifat dengan sifat persamaan, sebab
relasi kekongruenan dapat dinyatakan sebagai persamaan, yaitu a ≡ b (mod m) sama
artinya dengan a = b + km, untuk suatu bilangan bulat k.
Misalnya :
    (1) Jika a ≡ b (mod m) maka a + c ≡ b + c (mod m) untuk setiap bilangan bulat c.
    (2) Jika a ≡ b (mod m) maka ac ≡ bc (mod m) untuk setiap bilangan bulat c.
    (3) Jika a ≡ b (mod m) dan c ≡ d (mod m) maka a + c ≡ b + d (mod m).
    (4) Jika a ≡ b (mod m) dan c ≡ d (mod m) maka ax + cy ≡ bx + dy (mod m), untuk
        setiap bilangan bulat x dan y.
Coba buktikan sifat-sifat tersebut!




                                                  25
Pendahuluan


          Pada persamaan/kesamaan bilangan-bilangan bulat berlaku sifat kanselasi
(penghapusan) sebagai berikut : Jika ab = ac dengan a  0 maka b = c. Apakah dalam
kekongruenan berlaku sifat yang mirip dengan sifat kanselasi tersebut? Misalkan, jika
ab ≡ ac (mod m) dengan a  0 (mod m), apakah b ≡ c (mod m) ?.
                         
Ambil sebuah contoh :
   24 ≡ 12 (mod 4) benar bukan! (mengapa?)
   2.12 ≡ 2.6 (mod 4) dan jelas bahwa 2  0 (mod 4)
                                        
   Apakah 12 ≡ 6 (mod 4)? Jelas tidak! (mengapa?)
Tetapi jika 3.8 ≡ 3.4 (mod 4) maka 8 ≡ 4 (mod 4) adalah suatu pernyataan yang benar.
Walaupun sifat kanselasi tidak berlaku sepenuhnya pada relasi kekongruenan, tetapi
akan berlaku dengan suatu syarat seperti dinyatakan dalam teorema berikut ini.

Teorema 1.14:
    Jika ac ≡ bc (mod m) dengan (c,m) = 1, maka a ≡ b (mod m)
Bukti :
ac ≡ bc (mod m) berarti m(ac – bc) atau mc(a – b)
mc(a – b) dengan ( c, m) = 1, maka m(a – b) berarti a ≡ b (mod m).

Contoh 1.11:
Tentukanlah bilangan-bilangan bulat y yang memenuhi perkongruenan 3y ≡ 1 (mod 7)
Jawab :
      Karena 1 ≡ 15 (mod 7), maka kita dapat mengganti 1 pada perkongruenan tersebut
dengan 15, sehingga diperoleh 3y ≡ 15 (mod 7). Selanjutnya, karena (3, 7) = 1, maka
kita dapat membagi 3 pada ruas-ruas perkongruenan itu, sehingga diperoleh
y ≡ 5(mod 7) . Perkongruenan terakhir ini berarti y = 5 + 7k untuk setiap bilangan bulat
k. Atau dapat dikatakan bahwa himpunan penyelesaian dari perkongruenan tersebut
adalah {5 + 7k | k bilangan bulat}.
          Kita dapat menghapus (melenyapkan) suatu faktor dari suatu kekongruenan, jika
faktor tersebut dan bilangan modulonya saling prima. Tetapi jika faktor dan modulonya
tidak saling prima, maka kita harus mengganti bilangan modulonya seperti tampak
dalam teorema berikut ini.




                                           26
Pendahuluan


Teorema 1.15:

    Jika ac ≡ bc (mod m) dengan (c,m) = d, maka a ≡ b (mod m ).
                                                           d
Bukti :

   ac ≡ bc (mod m) berarti m(ac – bc) atau mc(a – b) maka m c (a  b) .
                                                            d d
                                             c
Karena d adalah FPB dari c dan m, maka m dan   adalah bilangan-bilangan bulat.
                                       d     d
                      c m
Karena (c,m) = d maka  ,   1 .
                      d d 
       c m
Karena  ,   1 dan m c (a  b) maka m (a  b) berarti a ≡ b (mod m ). 
       d d         d d              d                            d

Contoh 1.12:
Tentukan x yang memenuhi 2x  4 (mod 6)
Jawab :
   2x ≡ 2.2 (mod 6) karena (2, 6) = 2, maka x ≡ 2 (mod 3)
     Jadi nilai-nilai x adalah (3k + 2) untuk setiap bilangan bulat k. Atau dapat
dikatakan bahwa himpunan penyelesaian dari perkongruenan itu adalah
                            {3k+2k bilangan bulat}.
          Setelah kita mempelajari pengertian relasi kekongruenan, sifat-sifat dan
kegunaannya. Berikut ini akan dipelajari perkongruenan linier. Kalimat terbuka yang
menggunakan relasi kekongruenan disebut perkongruenan.
Misalnya :      3x  4 (mod 5)
                x4 + 3x - 3  0 (mod 31)
     Jika suatu perkongruenan, variabelnya berpangkat paling tinggi satu disebut
perkongruenan linier. Bentuk umum perkongruenan linier adalah :
                ax  b (mod m), dengan a  0 (mod m).
                                         
     Perhatikan perkongruenan linier 3x  4 (mod 5). Apabila x diganti 3 memberikan
3.3  4 (mod 5) atau 9  4 (mod 5). Yaitu suatu kalimat kekongruenan yang benar.
Begitu pula apabila x diganti berturut-turut oleh …, -7, -2, 8, 13, … akan memberikan
kalimat-kalimat kekongruenan yang benar. (Coba periksalah!)




                                           27
Pendahuluan


     Kita telah mengerti bahwa ax  b (mod m) berarti ax - b = km atau ax = b + km,
untuk suatu bilangan bulat       k. Jadi perkongruenan linier ax  b (mod m) akan
mempunyai solusi (penyelesaian) bila dan hanya bila ada bilangan-bilangan bulat x dan
k yang memenuhi persamaan
                                 ax - b = km.
     Misalkan r memenuhi perkongruenan linier ax  b (mod m), berarti ar  b (mod
m). Maka setiap bilangan bulat
              (r + m), (r + 2m), (r + 3m), …, (r - m), (r -2m), (r -3 m), … .
memenuhi perkongruenan itu, sebab
              a( r + km )  ar  b (mod m), untuk setiap bilangan bulat k.
Di antara bilangan-bilangan bulat ( r + km ), dengan k = 1, 2, 3, 4,…,-1, -2, -3, … ada
tepat satu dan hanya satu, katakan s dengan 0  s  m, sebab suatu bilangan bulat mesti
terletak di antara dua kelipatan m yang berturutan.
     Jadi, jika r memenuhi perkongruenan ax  b (mod m) dan km  r  (k+1)m untuk
suatu bilangan bulat k, maka 0  (r-km)< m. Jadi s = r-km untuk suatu bilangan bulat k.
Dengan kata lain, s adalah residu terkecil modulo m yang memenuhi perkongruenan
ax  b (mod m). Selanjutnya s disebut solusi (penyelesaian) dari perkongruenan itu.

Contoh 1.13:
Nilai-nilai x yang memenuhi perkongruenan 2x  4 (mod 7) adalah
                           …, -19, -12, -5, 2, 9, 16, ….
Solusi dari perkongruenan itu adalah 2, yaitu residu terkecil modulo 7 yang memenuhi
perkongruenan linier 2x  4 (mod 7).
     Pada persamaan ax = b, dengan a  0 hanya mempunyai satu solusi, tetapi pada
perkongruenan linier ax  b (mod m) dapat mempunyai tepat satu solusi, banyak solusi,
bahkan bisa tidak mempunyai solusi. Pada contoh di atas 2x  4 (mod 7) mempunyai
tepat satu solusi, yaitu 2. Perkongruenan linier 2x  1 (mod 4) tidak mempunyai solusi,
sebab 4  (2x + 1), untuk setiap bilangan bulat x, atau dapat dikatakan bahwa tak ada
        |
bilangan bulat x sedemikian 2x-1 terbagi oleh 4 (Mengapa?).
Sedangkan perkongruenan linier 2x  4 (mod 6) mempunyai dua solusi, yaitu 2 dan 5.
(Coba periksa kebenarannya!).



                                            28
Pendahuluan


      Sekarang akan kita pelajari cara menguji suatu perkongruenan linier mempunyai
solusi atau tidak.

Teorema 1.16:
    (1). Jika (a, m)  b maka perkongruenan linier ax  b (mod m) tidak memiliki solusi.
                     |

    (2). Jika (a, m) = 1 maka perkongruenan linier ax  b (mod m) memiliki tepat satu
         solusi.
    (3). Jika (a, m) = d dan db maka perkongruenan linier ax  b (mod m) memiliki
         tepat d solusi.
Bukti teorema ini dapat diperiksa dalam Teori Bilangan.

Contoh 1.14:
(1). 6x  7 (mod 8), karena (6,2) = 2 dan 2  7 maka perkongruenan linier
                                            |

   6x  7 (mod 8) tidak mempunyai solusi.
(2) Selesaikanlah 4x  1 (mod 15)
    Jawab :           4x  1 (mod 15)
                      4x  16 (mod 15)
                       x  4 mod 15)
   Karena (4,15) = 1 maka memungkinkan kita melakukan kanselasi 4 pada
   perkongruenan 4x  16 (mod 15) sehingga diperoleh x  4 (mod 15). Solusi dari
   perkongruenan 4x  1 (mod 15) adalah 4.
(3) Selesaikanlah 14x  27 (mod 31)
    Jawab :          14x  27 (mod 31).
                     14x  58 (mod 31)
                      7x  29 (mod 31)
                      7x  91 (mod 31)
                       x  13 (mod 31)
    Karena 27  58 (mod 31) maka 14x  58 (mod 31).
    Karena (2, 31) = 1, kita dapat menghapus 2 pada perkongruenan
    14x  58 (mod 31) dan diperoleh 7x  29 (mod 31)
    Selanjutnya 7x  91 (mod 31), sebab 29  91 (mod 31)
                     x  13 (mod 31), sebab (7,31) =1


                                            29
Pendahuluan


   Jadi 13 adalah solusi 4x  24 (mod 31).
(4). Selesaikan 6x  15 (mod 33).
   Jawab : Karena (6, 33) = 3, maka perkongruenan ini memiliki 3 solusi.
                               6x  15 (mod 33)
                               2x  5 (mod 11)
                               2x  16 (mod 11) Mengapa?
                               x  8 (mod 11)
   Maka bilangan-bilangan bulat positif yang memenuhi x  8 (mod 11) dan
   merupakan residu terkecil modulo 33 adalah 8, 19 dan 30.
   Jadi solusi-solusi dari 6x  15 (mod 33) adalah 8, 19 dan 30.
(5) Sesuai dengan teorema 2.5 (2), jika p suatu bilangan prima dan (a, p) = 1, maka
   perkongruenan linier ax  1 (mod p) selalu mempunyai solusi tunggal. Jika b suatu
   bilangan bulat positif yang kurang dari p dan memenuhi ab  1 (mod p), maka
   dikatakan bahwa b merupakan invers dari a terhadap perkalian modulo p. Sebagai
   contoh, misalnya :
                          5x  1 (mod 7)
                          5x  15 (mod 7)
                           x  3 (mod 7).
   Tetapi, jika semesta pembicaraan kita pada himpunan semua kelas bilangan bulat
   modulo 7, yaitu B/7 = {[0], [1], [2], [3], [4], [5], [6]}, maka perkongruenan-
   perkongruenan tersebut ditulis sebagai berikut:
                           [5]x = [1]
                         [3][5]x = [3][1]
                            [1]x = [3]
                               x = [3] .
   Ini berarti bahwa [3] adalah invers dari [5] terhadap perkalian modulo 7.


Latihan 1.3.2
1. Jika a ≡ b (mod m) dan c ≡ d (mod m), buktikan bahwa
              (i) ac ≡ bd (mod m)
              (ii) an ≡ bn (mod m) untuk setiap bilangan bulat positif n.


                                            30
Pendahuluan


2. Jika a ≡ b (mod m), buktikan bahwa (a, m) = (b, m ).
3. Jika a ≡ b (mod m) dengan 0  b  a  m , buktikan bahwa a = b.

4. Jika a ≡ b (mod m) dan a ≡ b (mod n) dengan (m, n) = 1, buktikan bahwa
   a ≡ b (mod mn).
5. Jika a ≡ b (mod m) dan nm, buktikan bahwa a ≡ b (mod n).
6. Tentukanlah sisa-sisanya, apabila 255 dan 4175 masing-masing dibagi 7.
7. Tentukanlah sisanya apabila (15 + 25 + 35 + … + 1005) : 4.
8. Jika 9x  k (mod 12) dengan k suatu elemen dari himpunan residu terkecil modulo
   12. Tentukan nilai k, agar perkongruenan itu
              (i) tidak memiliki solusi
              (ii) memiliki solusi
9. Tentukan solusi dari 4x  6 (mod 18).
10. Tentukanlah banyaknya solusi dari tiap-tiap perkongruenan linier berikut ini dan
   selesaikan!
           (i)    3x  6 (mod 15)
           (ii)   6x  11 (mod 15)
           (iii) 3x  6 (mod 18)
           (iv) 3x  1 (mod 17)

1.4 Bilangan Kompleks

       Pada seksi ini kita akan mengulang bilangan kompleks, operasi-operasi dan
sifat-sifatnya, karena hal ini kelak banyak digunakan sebagai materi contoh
(model) dalam Aljabar Abstrak. Himpunan semua bilangan kompleks

K={a + bia, bR dan i = 1 }. Kesamaan bilangan-bilangan kompleks dan
operasi-operasinya didefinisikan sebagai berikut :
     1. a + bi = c + di jika dan hanya jika a = c dan b = d.
     2. (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i.
     3. (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d) i.
     4. (a + bi) (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i.
          a  bi a  bi c  di ac  bd bc  ad
     5.                                        i
          c  di c  di c  di c 2  d 2 c 2  d 2



                                            31
Pendahuluan


        Kita mudah memeriksa bahwa K terhadap penjumlahan bersifat asosiatif dan
komutatif. Demikian pula K terhadap perkalian. Selanjutnya K terhadap perkalian
dan penjumlahan memenuhi sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan.Suatu
bilangan kompleks z = a + bi, a dinamakan bagian real dari z dan b dinamakan
bagian imajiner dari z . Jika a = 0, maka z dinamakan bilangan imajiner murni.
        Kita akan menulis 0 + 0i sebagai 0 dan a + 0i sebagai a dan perhati kan
bahwa z + 0 = z dan z .1 = z untuk setiap z  K. Untuk setiap bilangan kompleks

z = a + bi, ada suatu bilangan kompleks yang ditulis z = a - bi dan dinamakan
sekawan kompleks dari z. Dari definisi ini dapat diperoleh pernyataan -pernyataan
dalam teorema berikut ini.

Teorema 1.17:
       Jika z, w  K, maka

                 (a) z = z
                 (b) z  w  z  w
                 (c)   zw  z w
                 (d) z z adalah suatu bilangan real tak negatif, dan apabila    z 0

                       maka z z suatu bilangan real positif.
                 (e) z + z = dua kali bagian real dari z
                 (f) z - z = dua kali bagian imajiner dari z.
Bukti dari teorema ini langsung diturunkan dari pengertian sekawan kompleks dan
bukti diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.
        Jika z = a + bi maka harga mutlak (modulus) dari z ditulis |z|, yaitu

                         z= z z  a 2  b2 .
Dari pengertian ini dapat diperoleh pernyataan-pernyataan dalam teorema berikut
ini.

Teorema 1.18:
       Jika z, w  K, maka
             (a) z w = zw




                                            32
Pendahuluan


                    z   z
             (b)         , asalkan w  0
                    w   w

             (c) z + w  z + w (ketaksamaan segitiga)
             (d) z + w  z - w dan z - w  z - w.

Bukti :

(a) Dari definisi, z =             zz dan w =             ww serta

    zw =         ( zw)( zw )  ( zw)( z w)  ( zz)( ww)  zz ww  z w

              1
(b) Karena      = w-1  dan menggunakan (a), maka (b) terbukti.
              w
(c) Misalkan z = a + bi dan w = c + di, maka kita harus menunjukkan bahwa

       a  c 2   b  d  2    a 2  b2  c2  d 2 .

    Jika kedua ruas dikuadratkan, maka diperoleh

    ( a + c ) 2 + ( b + d ) 2  a2 + b2 + c2 + d2 + 2               a   2
                                                                                 
                                                                              b2 c2  d 2   
                    ac + bd           a   2
                                                    
                                                 b2 c2  d 2   
                      2abcd  a2 d 2 + b 2 c2
                 ( ad - bc )2  0
    Karena pernyataan terakhir ini benar, maka pernyataan pertama yang harus
    dibuktikan benar pula. Dengan demikian ketaksamaan segitiga terbukti.
(d) z=z - w + w  z - w + w, maka z - w  z - w. Selanjutnya,
    karena -w = w, maka z - (-w)  z - -w, sehingga z + w  z
    - w‫.ڤ‬

     Secara geometrik, suatu bilangan kompleks z = a + bi dapat dinyatakan
sebagai suatu titik P(a,b) dalam bidang XOY.


                                 Y

                                                    P(a,b)

                                        r



                                                         33
Pendahuluan


                                  
                        0                                      X



OP  r  z  a 2  b 2 ,  adalah sudut antara sumbu X+ dan OP, dan disebut

argumen dari z, tan       b
                            a
                                serta a = r cos , b = r sin . Sehingga       z = a + bi = r

(cos  +      i sin ). Bentuk terakhir ini disebut bentuk polar dari z = a + bi.
Bilangan kompleks dari bentuk cos + i sin ini sangat menarik, karena

           cos  + i sin  =        cos2   sin2   1

Sehingga banyak bilangan kompleks yang modulusnya 1. Hal ini kelak banyak
digunakan sebagai model (contoh) dalam banyak kasus dari Aljabar Abstrak.
     Mengingat dua identitas dasar dalam Trigonometri, yaitu
            cos( + ) = cos cos - sin sin, dan
            sin( + ) = sin cos + cos sin, maka
(cos + i sin)(cos + i sin) = (cos cos - sin sin) +
                                                            i(sin cos + cos sin)
                                       = cos( + ) + i sin( + ).
     Tampak di sini bahwa argumen dari hasil kali dua bilangan kompleks sama
dengan jumlah argumen dari dua bilangan kompleks tersebut. Hal ini mempunyai
konsekuensi yang sangat menarik yang dinyatakan dalam teorema berikut ini.

Teorema 1.19: (Teorema de Moivre).
    Untuk sebarang bilangan asli n, maka (cos + i sin)n = cos(n) + i sin(n).

Bukti :
Kita buktikan dengan induksi pada n. Jika n = 1, maka diperoleh pernyataan yang
jelas benar. Selanjutnya diasumsikan bahwa untuk suatu bilangan k, berlaku
bahwa (cos + i sin)k = cos(k) + i sin(k), maka
(cos + i sin)k+1    = (cos + i sin)k (cos + i sin)
                      = (cosk + i sink) (cos + i sin)
                      = cos(k + 1) + i sin(k + 1).
Jadi kesamaan dalam teorema itu benar untuk setiap bilangan asli n. ‫ڤ‬


                                               34
Pendahuluan



       Pada kenyataanya bahwa Teorema de Moivre benar untuk setiap bilangan
bulat, bahkan benar pula untuk setiap bilangan rasional. Perhatikan keadaan
khusus berikut ini.
                               2         2
                   cos           i sin    , dengan n suatu bilangan asli.
                   n            n          n
Oleh Teorema de Moivre, kita memperoleh


                  
                                                          n
                        n          2        2 
                              cos     i sin 
                    n               n         n
                             cos 2   i sin 2 

                            1
Bilangan n disebut akar pangkat n dari satuan.

       Dalam Kalkulus, kita mengenal Rumus Euler, yaitu ei  cos   i sin  .
Dengan rumus ini, kita dapat menulis lebih sederhana akar pangkat n dari satuan
yang merupakan penyelesaian dari persamaan z n = 1, jika n suatu bilangan asli,
yaitu :
                                                       2 i
                       2 k         2 k
               z  cos       i sin      e             n     , k = 0,1,2, .....,n-1.
                         n            n
                                                                       2 i
                              2         2
Apabila kita misalkan w  cos     i sin    e                          n     , maka n akar-akarnya adalah
                               n          n
1,w,w 2 ,w3 , ....., w n-1 .



Latihan 1.4

1. Tentukanlah hasilkalinya.
   (a) (6 - 7i)(8 + i)              (b)     2  2 i  2  2 i 
                                             3
                                                 3
                                                        3
                                                            3
                                                                          (c) (6 + 7i)(8 - i)

2. Nyatakan z -1 dalam bentuk a + bi untuk
                                                                                         1    1
   (a) z = 6 + 8i                        (b) z = 6 - 8i                        (c) z           i
                                                                                          2    2

3. Tunjukanlah bahwa  z
                                    1
                                            
                                          z 1

4. Tentukanlah (cos  + i sin )-1


                                                              35
Pendahuluan


5. Buktikanlah teorema 1.17.
6. Buktikanlah bahwa
  (a) z bilangan real jika dan hanya jika z = z.
  (b) z bilangan imajiner jika dan hanya jika z = -z.
                                                       1
7. Apabila z  0 , tunjukkan bahwa z 1                 dan  z =z.
                                                       z

8. Nyatakan dalam bentuk polar dari
              1    1
  (a) z             i                            (b) z = 4i
               2    2

            1   1                                           1  3 
  (c) z  6       i                             (d) z  13   i
            2    2                                          2 2 
9. Tunjukkan bahwa

  (a)     cos   i sin   cos 2   i sin 2 
                                1           1



         2  21         
                             3
  (b)     1        3 i            1

10. Misalkan G = {a + bia,b  B}. Buktikan bahwa ada korespondensi 1-1 dari
    G ke A (G disebut himpunan bilangan bulat Gauss).
11. Jika z  K dan n suatu bilangan asli, tunjukkan bahwa ada n bilangan
    kompleks w yang berbeda sedemikian hingga z = w n .
12. Buktikanlah bahwa z + w2 + z - w2 = 2(z2 + w2 ).




                                                  36

				
DOCUMENT INFO
Categories:
Tags:
Stats:
views:278
posted:3/15/2011
language:Indonesian
pages:36