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Morphologie Mathématique

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Morphologie Mathématique Powered By Docstoc
					                Cours de morphologie mathématique




                     ENSTA 2ème année                         Antoine MANZANERA – ENSTA/LEI
                                                                                              1
Cours de Morphologie Mathématique       Antoine MANZANERA – ENSTA/LEI
                                    Présentation et objectifs du cours
           La morphologie mathématique est une théorie de traitement non linéaire de
           l’information apparue en France dans les années 60 (G. Matheron & J. Serra, Ecole des
           Mines de Paris), et qui est aujourd’hui très largement utilisée en analyse d’images.
           Contrairement au traitement linéaire des images, la morphologie mathématique ne
           s’appuie pas sur le traitement du signal, mais repose sur la théorie des ensembles, ce qui
           en fait une discipline relativement « auto-contenue » et formant un tout cohérent.
           L’objectif de ce cours est de fournir les bases, mais aussi de présenter les techniques les
           plus récentes du traitement morphologique des images. On s’efforcera de préserver un
           équilibre entre les concepts et les algorithmes, en développant autant que possible les
           problèmes d’implantation numérique posés.
           Le cours s’accompagne d’exercices pour se familiariser avec les manipulations
           algébriques ou géométriques, et pour développer certains aspects du cours.
           Des travaux pratiques permettront enfin, d’une part d’expérimenter les outils étudiés en
           cours, et d’autre part, de s’immerger profondément dans les aspects algorithmiques, en
           programmant soi-même des fonctions morphologiques de traitement d’images.

                                                                                                         2
Cours de Morphologie Mathématique                Antoine MANZANERA – ENSTA/LEI
                               Morphologie Mathématique : Plan du cours

     Chapitre 1 : Introduction et premiers opérateurs…………………………………………..4
                              Fondements algébriques : treillis complet, adjonction.
                              Fondements géométriques : opérateurs intégraux, érosion dilatation ensemblistes.
                              Érosion et dilatation fonctionnelles.
                              Premiers opérateurs résiduels ou composés : gradients, ouvertures, top-hats, opérateurs de contraste.
                              Introduction aux opérateurs géodésiques.
     Chapitre 2 : Géométrie discrète et approche algorithmique…………………………...…52
                              Pavages et maillages. Topologie et métrique dans la maille cubique.
                              Transformées en distance.Algorithmes : parallèle ou séquentiel, Danielsson-Leymarie.
                              Application à l'érosion ensembliste. Érosion numérique et algorithme de Van Herk.
                              Reconstruction géodésique et files d’attente.
     Chapitre 3 : Filtrage morphologique et opérateurs connexes……………………….……89
                              Ouverture algébrique. Granulométries et spectre morphologique.
                              Semi-groupes de Matheron. Filtres alternés séquentiels.
                              Reconstruction numérique et F.A.S par reconstruction. Espaces d'échelles morphologiques.
                              Applications de la géodésie et opérateurs connexes
                              Invariance par changement de contraste et formalisme EDP
     Chapitre 4 : Squelettes et Lignes de Partage des Eaux………………………………..…128
                              Squelettes par boules maximales, résidus d’ouvertures ou maxima locaux de fonction distance
                              Squelettes multi-échelles par fonction de choc géodésique
                              Connexité des squelettes multi-échelles
                              Reconstruction de formes multi-échelles
                              LPE : notions de bassin versant et simulation d’immersion
                              SKIZ Géodésique et Algorithme de LPE
                              LPE contrainte par marqueur. Filtrage bidimensionnel pour la LPE

                                                                                                                                      3
Cours de Morphologie Mathématique                                          Antoine MANZANERA – ENSTA/LEI
                                    Morphologie Mathématique : Chapitre 1

                                       INTRODUCTION ET PREMIERS OPERATEURS


                             I Introduction : approche morphologique du TI
                             II Opérateurs de base : Dilatation et Erosion
                                       (a) Opérations ensemblistes
                                       (b) Opérations fonctionnelles
                                       (c) Premiers opérateurs composés

                             III Filtres de base : Ouverture et Fermeture
                                       (a) Définition et propriétés
                                       (b) Seconds opérateurs composés

                             III Opérateurs géodésiques : Reconstruction

                                                                                           4
Cours de Morphologie Mathématique                          Antoine MANZANERA – ENSTA/LEI
                                Les problématiques du traitement d’images

                                                                                          COMPRESSION                             transmission,
                                                                                                                                     stockage
                                                                   changement de représentation de l’image numérique dans le
                                                                        but de réduire la quantité de mémoire nécessaire


                                                                                         AMELIORATION                             visualisation

                                                                  diminution des effets du bruit d’acquisition, numérisation ou
                                                                           compression pour rendu visuel ou analyse


                                                                                         SEGMENTATION
                                                                      partition de l’image numérique en fonction d’un certain
                                                                       prédicat : luminance, texture, couleur, mouvement...
                                                                                                                                     vision
                                                                                                                                   artificielle
                ACQUISITION                                                              EXTRACTION DE
          transformation de l’énergie                                                   CARACTERISTIQUES
        lumineuse en énergie électrique                                      calcul d’une ou plusieurs grandeurs scalaires :
                                                 CODAGE                        dénombrement, détection d’événements...

                                              transformation d’une
                                           grandeur analogique en une
                                               grandeur numérique

                     SCENE REELLE                                                               IMAGE NUMERIQUE                                   5
Cours de Morphologie Mathématique                       Antoine MANZANERA – ENSTA/LEI
                               L’approche morphologique du traitement d’images


                                       Objet de référence
                                               =                             Le principe de base de l’analyse
                                                                             morphologique est d’extraire de la
                                      Elément structurant
                                                                             connaissance de l’image à partir des
                                                                             réponses fournies à différents tests
                                                                             (transformations).



                                Transformations
                                  non linéaires                                                              taille
                                                                                                             forme
                                                                                            Critères de :    orientation
                                                                                                             connexité
                                                                                                             .../...

                                                                                                                            6
Cours de Morphologie Mathématique                           Antoine MANZANERA – ENSTA/LEI
                               L’approche morphologique du traitement d’images

                                                    Elément                                       Elément
                                                 structurant 1                                 structurant 2
                   Exemple :

                                                                         Test : « contient »




                                                               Taille, forme, orientation,…


                                                          Analyse quantitative, spatiale,…
                                                                                                               7
Cours de Morphologie Mathématique                 Antoine MANZANERA – ENSTA/LEI
                          Traitement d’images linéaire : structure fondamentale


                             Dans le cas du traitement d’images linéaire, la structure fondamentale est
                                                     celle d’espace vectoriel.

                  structure
                   de base
                                      ESPACE VECTORIEL                                        E espace vectoriel sur K



                opérateurs
                 de base               Ce sont ceux qui préservent la structure et commutent avec les lois de base :

                                            K,(x, y)E 2: f(x) f(x) et f(x y)  f(x) f(y)

                                      isomorphismes d’espace vectoriel

                                             Applications linéaires                                 CONVOLUTIONS

                                                                                                                         8
Cours de Morphologie Mathématique                             Antoine MANZANERA – ENSTA/LEI
                                           Traitement linéaire : convolutions


                                    5
                             11 16 11                                                           -1
                    5 16 24 16 5                                                                0
                             11 16 11                                                           1
                                    5




                            Filtre passe-bas                                           Gradient vertical
                                                                                                           9
Cours de Morphologie Mathématique                      Antoine MANZANERA – ENSTA/LEI
                            Morphologie mathématique : structure fondamentale


                               Dans le cas de la morphologie mathématique, la structure fondamentale
                                                     est celle de treillis complet.

                  structure
                   de base
                                       TREILLIS COMPLET

                                             (1) Ensemble ordonné (E ,)

                                                                    REFLEXIVE                  xx

                                                                   ANTI-SYMETRIQUE x  y et y  x  x  y
                                                                    TRANSITIVE                 x  y et y  z  x  z


                                                                                             • une borne sup
                                             (2) Toute partie P de E admet :
                                                                                             • une borne inf

                                                                Sup : plus petit des majorants P
                                                                Inf : plus grand des minorants  P

                                                                                                                        10
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                                    Morphologie mathématique : opérateurs de base

                opérateurs
                 de base
                                         Ceux qui préservent la structure...


                                                x  y  ( x )  ( y )                         CROISSANCE




                                                  ...et commutent avec les lois de base :

                                                                                                        DILATATION

                                       sup                xi   ( xi )
                                       inf                xi   ( xi )
                                                                                                         EROSION




                                                                                                                     11
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                                     Exemples de treillis complets

        Treillis des formules                                                                                   VRAI
                                        • éléments :      formules booléennes                     f,g,h
             booléennes
                                        • relation d’ordre :        implication             f g

                   • sup : OU logique       • inf : ET logique                          • éléments extrêmes :
                                                                                                                FAUX


          Treillis ensembliste                                                                                   S
                                        • éléments :        les parties d’un ensemble S
                                        • relation d’ordre :            inclusion             

                   • sup : Union           • inf : Intersection                       • éléments extrêmes :
                                                                                                                 

         Treillis des nombres
                                        • éléments :      nombres réels (ou nombres entiers)                      
                                        • relation d’ordre :                     (ordre total)

                   • sup : max              • inf : min                                 • éléments extrêmes :
                                                                                                                     
                                                                                                                          12
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                                               Exemples de treillis complets

        Treillis des fonctions
                                                  • éléments :    les fonctions réelles ou numériques :               f :S R
                                                                                                                    ou S  Z

                                                • relation d’ordre :         f  g  x  S , f ( x)  g ( x)

                                    • sup :     fi                                                 fi ( x)   fi ( x)
                                                                                                      fi ( x)   fi ( x)
                                                                       définies par :
                                    • inf :     fi 




                                    f                       g                                     f g                f g
                                                                                                                                   13
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                                             Le principe de dualité

                                    Dans un treillis, les lois Sup et Inf jouent des rôles symétriques.


                                         On appelle involution l’opérateur                      :EE
                                                   qui permet d’échanger leur rôle :


                                     PP                               et                       PP

            On dit que deux opérateurs  et * sont duaux pour l’involution                             

                                                                                           si :   ( x)  * ( x)

                                                                                                                    14
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                                              Exemples d’involutions

                     Treillis des formules booléennes                                          Treillis des nombres

                                     NON logique :                                        opposé :                    x

                                         g      g
                                                                                                                0
                                         0       1                                                                    -x
                                         1       0


                                                                                        Treillis des fonctions dans [0,N]
                                    Treillis ensembliste                                             N
                                    Complémentaire :                                                                        f
                                          S                                           f=N-f:
                                                                                                     N
                                                                                                                            f
                         X                           Xc = S \ X
                                                                                                                                15
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                        Propriétés des opérateurs : quelques définitions

                                                      : E  E

                                    x  y  ( x )  ( y )                              Croissance



                                          x  (x)                                       Extensivité


                                          ( x)  x                                    Anti-extensivité



                                      ( x)   ( x)                                 Idempotence
                                                                                                          16
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                               Construction des opérateurs de la morphologie mathématique


complexité,
richesse des
 propriétés
                                               ligne de
                                           partage des eaux
                                                                                squelettes
                                     reconstruction
                                                           maxima
                                                            locaux
                                                                                                Construction de
                                             laplacien                        top-hat         nouveaux opérateurs :

                                             gradients            ouvertures,
                                                                                                 • par composition
                                                                  fermetures
                                                                                               ( x)  ( x) 
                                                          érosion,
                                                         dilatation
                                                                                                  • par différence

                                                                                             ( x)  ( x )   ( x)
                                                                                                                       17
Cours de Morphologie Mathématique                            Antoine MANZANERA – ENSTA/LEI
                                                                                                                n
                                    Opérations de Minkowski dans R
                                                  Définitions préliminaires
                                                                                             n
                       On se place ici dans E : l’ensemble des parties de R

                                     Pour   X  Rn
                              b
                                       et   b  Rn        on note               X b  x  b; x  X 
                     X
                                             Xb                                          le translaté de X par b.



                                                                                         
                                                         et on note                      X   x; x  X 
                                       
                X                      X
                                                                                           le transposé de X.
                                                                                                                
                                                                             Rq: si X est symétrique alors X  X

                                                                                                                    18
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                                            L’addition de Minkowski

                                        L ’addition de Minkowski de X et B est définie par :

                                                                                               X  B   Xb
                                                                                                              bB


                                                                                              B         élément structurant


                                                                                              Rq :   X B  B X


                                                                                                    C’est le lieu
                                                                                                 géométrique des
                                                                                               points de Bx lorsque x
                                                                                                    parcours X

                                    X           X B
                                                                                                                              19
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                                        La dilatation morphologique
                                                                                                       
              La dilatation morphologique de X par B est définie par :                    B(X )  X  B
                                                                              B             élément structurant

                                                                                            
                                                                               B(X )  X  B   Xb 
                                                                                                   bB

                                                                                        z / x  X , b  B; z  x  b
                                                                                        z / x  X , b  B; z  b  x
                                                                                        z / Bz  X  


                                                                         B ( X )  z / Bz  X  
                                                                                    C’est le lieu géométrique
                                                                                     des points z tels que Bz
                                                                                           intersecte X
                                    X      B(X )
                                                                                                                            20
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                                        L’érosion morphologique
   L’érosion morphologique de X par B est définie par le principe de dualité :  B ( X )   B ( X )

                                                                             B               élément structurant
                                                                                                   
                                                                             B(X )  B(X )  X  B
                                                                                       Xb   Xb
                                                                                                   
                                                                                       bB        bB         Soustraction
                                                                                                            de Minkowski
                                                                                      X B

                                                                              B ( X )   X b  z / b  B, x  X ; z  b  x
                                                                                          
                                                                                       bB

                                                                                      z / Bz  X 

                                                                                B ( X )  z / Bz  X 

                                                                                   C’est le lieu géométrique
                                                                                    des points z tels que Bz
                                    X    B( X )                                       est inclus dans X
                                                                                                                                21
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                            Propriétés algébriques des opérateurs de base

      CROISSANCE                                     La dilatation et l’érosion sont                              X  Y   B ( X )   B (Y )
                                                       des opérateurs croissants
                                                                                                                  X  Y   B ( X )   B (Y )

                       !            L’érosion est décroissante par rapport à l’élément structurant :              B  B'   B ( X )   B ' ( X )

      EXTENSIVITE                              Si l’élément structurant B contient l’origine :
                                                                        • La dilatation est extensive                             X  B(X )
                                                                             • L’érosion est anti-extensive                      B (X )  X

                     • La dilatation commute avec le Sup                                                B ( X  Y )   B ( X )   B (Y )
                     • L’érosion commute avec le Inf                                                    B ( X  Y )   B ( X )   B (Y )

          On a les égalités :
                                                                               !   Mais
                                                                                                               BB ' ( X )   B ( X )   B ' ( X )
                      BB ' ( X )   B ( X )   B ' ( X )                   seulement les                    BB ' ( X )   B ( X )   B ' ( X )
                      BB ' ( X )   B ( X )   B ' ( X )                    inclusions :
                                                                                                             B ( X  Y )   B ( X )   B (Y )
                                                                                                                                                         22
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                            Propriétés algébriques des opérateurs de base

         PROPRIETE D’ADJONCTION                                                                          CAS DEGENERES

                                                    
                                                                                                            élément structurant vide


                                                                                                             ( X )  Rn
                                        X   B (Y )   B ( X )  Y
                                                                                                            ( X )  


                ASSOCIATIVITE DE LA DILATATION                                           B '  B ( X )       B' ( B)
                                                                                                                             (X )
         Application : Polyèdres de Steiner dans R :
                                                                     n                   B '  B ( X )       B' ( B)
                                                                                                                             (X )
               ex:
                     dans R :
                                    2
                                                                                                     Décomposition des
                                                                                                      éléments structurants

                                                                       
                                                                                                      convexes en sommes
                     dans R :
                                    3
                                                                                                        de segments

                                                                                                                                       23
Cours de Morphologie Mathématique                             Antoine MANZANERA – ENSTA/LEI
                                    Application aux images binaires

            Le treillis est l’ensemble
                                  2
                                                                         B
                des parties de Z




                                                                                OU              ET




                                X               B X                                B X 
                                                                                                     24
Cours de Morphologie Mathématique               Antoine MANZANERA – ENSTA/LEI
                               Conclusions sur les opérateurs de base




                           Originale                                Dilatée                                            Erodée
     • La dilatation fait disparaître les petits trous et les petits détroits, et fait grossir les objets.
     • L’érosion fait disparaître les petits objets et les petits isthmes, et amincit les objets restants.


                                                                                                                            B X 
                                                                                                              dilatation
                                     Dilatation et érosion sont des
                                      opérations non réversibles.
                                                                                                      X
                       !                                                                complémentation



                                                                                                                            B X       
                                     Dilatation et érosion sont des
                                    opérations duales, pas inverses !                                     c                         c
                                                                                                     X
                                                                                                                                            25
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                                        Transformées en tout-ou-rien
                                               Les transformées en tout-ou-rien (Hit-or-Miss Transform)
         H                                           unifient et généralisent érosions et dilatations.


        M                                         X  (H , M )   H ( X )   M ( X c )
                                                                                       Application : Recherche de configurations




                                                    H (X)




                                    X               M (X c)                                        X(H,M)                        26
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                                    Du cadre ensembliste au cadre fonctionnel

      On se place à présent dans le cadre des fonctions :                                         f : Rn  R
       La dilatation et l’érosion fonctionnelles sont respectivement définies par :

                                                   g( f )  f  g
                                                                                             g ( f )( x)  sup f ( y )  g ( y  x)
                                                                                                               yR n
                                                                  
                                                   g ( f )  f  g
                                                                                              g ( f )(x)  inf  f ( y)  g ( y  x)
                                                                                                            yR n

                                                      f

                                                                                                                         f
                                          fonction structurante

                                                                                                                       g  f 
                                           à support compact
                                    g

                                                                                                                                          27
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                                    Du cadre ensembliste au cadre fonctionnel

         A toute fonction f on associe son sous-graphe :                                                                      
                                                                                      SG ( f )  ( x, t )  R n  R / t  f ( x)




                                                        f




                                              SG( f )

                                    g

                                     SG(g )                                                                                        28
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                                    Du cadre ensembliste au cadre fonctionnel
                                        Interprétation ensembliste :

                        SG  g ( f )   ε SG ( g ) SG ( f ) 
                        SG  g ( f )   δ  SG (  g ) SG ( f ) 

      fonctionnel                                     ensembliste




                                                 
                                    !       g  g




                                                         
                           SG(g )                     SG(g )                  SG(  g )
                                                                                                    29
Cours de Morphologie Mathématique                                   Antoine MANZANERA – ENSTA/LEI
                                          Cas des éléments structurants plans

                                       Élément structurant plan =
                                    fonction structurante nulle sur un
                                           support compact K                                         SG(g )


            L’expression algébrique des
            opérateurs de base devient :                                 ex:

                                                                                                                 f            g

          g ( f )(x)  inf  f ( y )
                                            yR n
                                           y  xK

                                         inf  f ( y )                                                      g( f )
                                           yK x

                                                                                                                        g( f )
           g ( f )( x)  sup f ( y )
                                            yK x

                                                                                                                                  30
Cours de Morphologie Mathématique                                    Antoine MANZANERA – ENSTA/LEI
                                    Propriétés des opérateurs de base dans le cadre fonctionnel


                                                                                                                              
                     Identiques au cas ensembliste, en remplaçant :                                                           
                                                                                                                              
               f  f ' g( f )  g( f ')                            Si O  Supp( g ) :                            g( f  f ')  g( f ) g( f ')
               f  f ' g ( f )  g ( f ')                                   f  g( f )                          g ( f  f ')  g ( f ) g ( f ')
               g  g'   g ( f )   g' ( f )                             g( f )  f
                                                                                                                         g g ' ( f )   g ( f )   g ' ( f )
                                                                                                                         g g ' ( f )   g ( f )   g ' ( f )
                                      gg ' ( f )   g ( f )   g ' ( f )
                                                                                                                    g ( f  f ')  g ( f )  g ( f ')
                                      gg ' ( f )   g ( f )   g ' ( f )

                                                                                                                g '  g ( f )       g'(g)
                                                                                                                                                  (f)
                           f  g ( f ')  g ( f )  f '
                                                                                                                g '  g ( f )    
                                            

                                                                                                                                          g'(g)
                                                                                                                                                  (f)
                                                                                                                                                                   31
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                                    Application aux images numériques

                                                                                                        élément
                            Le treillis est l’ensemble                                         B    structurant plan
                                                                                                          
                                                 2
                            des fonctions de Z dans
                                        Z                                                              ensemble




                                                                                         MAX                           MIN




                                X                         B X                                    B X 
                                                                                                                             32
Cours de Morphologie Mathématique                        Antoine MANZANERA – ENSTA/LEI
                                          Premiers opérateurs par différence

                                      Opérateur par différence :                             ( x)  ( x )   ( x)
                                       Cas ensembliste                                                  Cas fonctionnel
                                     ( X )  ( X ) \  ( X )                                       ( f )  ( f )   ( f )

                                       Gradient intérieur                                         Gradient extérieur
                                                                                                          
                                             g y (x)                                                     g y (x)
                       ( x )  x                 ( x)   y ( x)                       ( x)   y x          ( x )  x

                                                      f                                                          f
                                                                 g                                                               g




                                                                                                                                     33
Cours de Morphologie Mathématique                                Antoine MANZANERA – ENSTA/LEI
                                         Premiers opérateurs par différence

                                    Gradient morphologique                                              Laplacien morphologique
                                           (symétrisée)
                                             m
                                           g y (x)                                                                   y (x)
                ( x)   y x                   ( x)   y ( x)                          ( x)  g  ( x)
                                                                                                      y                   ( x)  g  ( x)
                                                                                                                                    y


                                                      f                                                                     f
                                                                  g                                                                    g




                                                          2
            Rq : dans le cas de fonctions de R dans R, en prenant pour élément structurant une boule euclidienne centrée sur
            l’origine, le gradient morphologique et le laplacien morphologique tendent respectivement vers le module du
            gradient et le laplacien euclidiens lorsqu’ils sont définis, quand le rayon de la boule tend vers zéro :

                                                                                                          2 I          2 I
                                                                  2
                                   I          I          
                                                  2

                             I   ( u , v )    ( u , v ) 
                                                                                                    I  2 ( u , v )  2 ( u , v )
                                   x          y                                                     x            y                   34
Cours de Morphologie Mathématique                                     Antoine MANZANERA – ENSTA/LEI
                                    Gradients et laplacien : images numériques



                                                                                                                                       B


                           X                        B X                                      B X 




  gB X    B X    B X 
   m
                                             gB  X   X   B  X 
                                              
                                                                                     gB X    B X   X
                                                                                      
                                                                                                              B  X   g B  x   g B  x 
                                                                                                                                      


                                                                                                                                                 35
Cours de Morphologie Mathématique                              Antoine MANZANERA – ENSTA/LEI
                                    Gradients et laplacien : images numériques


                                                                                         B




                                X                      g    m
                                                            B    X                 B  X    36
Cours de Morphologie Mathématique                    Antoine MANZANERA – ENSTA/LEI
                                    Augmentation de contraste morphologique

                                                                                                g
     Le filtre rehausseur de contraste est défini par :
                                                                                                                                        g ( f )
                       g(f) = g(f) si (g(f)-f )<( f-g(f))                                                g ( f )
                       g(f) = g(f) si (g(f)-f )>( f-g(f))                                                           f
                                                                                                                             g ( f )


                         erodé               dilaté

                                                                                                image originale    image rehaussée




                     g ( f )              g ( f )
                                                                                                      f                     g ( f )
                                                                                                                                                   37
Cours de Morphologie Mathématique                               Antoine MANZANERA – ENSTA/LEI
                                    Ouvertures et fermetures morphologiques

                  Problème Min/Max : étant donné YE, BE,
                  trouver le plus petit X E tel que : Y   B ( X )


                                                                                                                   Y   B X1 
                                                                                                       B               B X 2 
                            X1                      X2                       X3                                        B X 3 

              REPONSE :              C’est le dilaté de Y par le transposé de B:

                                                                                              B (Y )  Y  B
                                                                                               




                                                     B ( X )  X  B   B  B  X   X  B   B
                                                                                                           
                                                                          
                                      On note :
                                                      l’ouverture morphologique de X par B.

                                    et son dual :   B ( X )  X  B  B B
                                                                                          
                                                                           X   X  B  B               
                                                     la fermeture morphologique de X par B.
                                                                                                                                    38
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                               Propriétés algébriques des ouvertures et fermetures

                  CROISSANCE                                                                        EXTENSIVITE
                                                           B ( x)   B ( y )                         L’ouverture est                   B ( x)  x
                                    x y                                                              anti-extensive :
                                                           B ( x)   B ( y )                        La fermeture est                     x   B (x)
                                                                                                         extensive :
                  IDEMPOTENCE                                                                      dém:
                                                                                                                   Dans la propriété d’adjonction :
                                     B  B ( x)   B ( x)                                                         x   B ( y )   B ( x)  y
                                                                                                                                        

                                                                                                                 x   B ( y ) donne  B  B ( y )   y
                                                                                                                                            

                                     B  B ( x)    B ( x)                                         et        y   B (x ) donne x   B  B (x ) 
                                                                                                                                                



                                        B  B ( x)   x   B  B ( x) 
                   dém:                                       
                                                                                                     PROPRIETE MIN/MAX

                   donc              B B  id E   B B
                                                                                                                                     y   B ( x)   B ( x' )
                                                                                                         Soient x, x’, et y
                                                     et     B B  id E   B B
                                                                                                          tels que :                et

                            B B  B   B
                                
                                                                                                                                       x   B ( y)
                                                                                                                                             


                                                                      B   B B  B
                                                                                
                                                                                                      alors         x   B ( y )   B  B ( x ) 
                                                                                                                                     
                           donc          B   B B  B
                                                   


                                           et donc  B B   B B B B
                                                                                                                     B  B ( x' )    B ( x' )  x'
                                                                                                                          


                                                                                                                                                                   39
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                    Ouvertures et fermetures : ensembles et fonctions


                                                                        B

                                                                            C’est le lieu géométrique
                                                                            des points de Bz tels que
                                                                              Bz est inclus dans X
                                                      X
                                                        B(X )

                                                                                    g ( f )

                                    f       g
                                                                                                 g( f )

                                                                                                           40
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                                    Ouvertures et fermetures : images binaires

                                              • l’ouverture élimine les petites composantes, et ouvre les petits isthmes.
                                          B   • la fermeture bouche les petites trous, et ferme les petits détroits.




                                X                           B X                                 B X 
                                                                                                                            41
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                          Ouvertures et fermetures : images numériques


                                        B



                                                       B X                B X 




                                    X                  B X               B X 
                                                                                       42
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                               Opérateurs obtenus par différence d’ouvertures et fermetures

                                    Opérateur par différence :                          ( x)  ( x )   ( x)

                                         Top-hat                                              Top-hat conjugué

                       ( x )  x            ( x)   y ( x)                      ( x)   y x        ( x )  x


                                                 f                                                        f
                                                            g                                                      g




                     Top-hat                 g             Rolling ball                       g

                                                                                                                       43
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                                    Top Hat : images numériques



                                                                                                                      B


                           X             B X                                     B X 




                       B X            B X                           B X   X   B X     B X   B X   X
                                                                                                   ~

                                                                                                                            44
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                                            Top Hat : images numériques


                                        B



                                                                B X               B X 




                                    X                           B X                B X 
                                                                                     ~
                                                                                                45
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                          Introduction aux opérations géodésiques

                    Objectif sous-jacent : l’analyse individuelle des « objets » d’une image.

        En l’absence de données de plus haut niveau sémantique, l’objet dans une image est
        associé à une particule, correspondant en général à une composante connexe.
        L’analyse individuelle des objets nécessite donc l’utilisation d’opérateurs (filtres)
        connexes, c’est-à-dire qui préserve les objets (une composante connexe est soit
        préservée, soit intégralement éliminée).




                                                                                                46
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                                              Opérations géodésiques

               Les opérations géodésiques sont celles qui sont conditionnées par un élément de
            référence r du treillis. Elles sont définies à partir des opérations géodésiques de base :
                                    la dilatation géodésique et la reconstruction géodésique.
                    Dans les opérations géodésiques, l’élément structurant représente le “voisinage
                         élémentaire” de l’origine ; et définit donc la topologie sous-jacente.


                                    La dilatation géodésique dans r :                        y x    y x   r
                                                                                              r




                                                                                                         y x 

                                                                                                    x
                                          y
                                                      r                                        yr x 
                                                                                                                      47
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                                         La reconstruction géodésique

                                                    ( B )0  X   X
                                                       R



                                                                                                         
                                                        1
                                      posons
                                                    ( B )n  X    B ( B )n1  X 
                                                       R               R     R
                                                                                                                 pour       n0
                                                        1                          1            1



                               La reconstruction géodésique
                               de X dans R est définie par :
                                                                                                R
                                                                                                    1
                                                                                                              n 0
                                                                                                                  R
                                                                                                                     
                                                                                               EB ( X )  sup ( B )n ( X )
                                                                                                                            1
                                                                                                                                    
                                    Dans le cadre ensembliste, c’est l’ensemble des composantes connexes
         R                             (au sens de la topologie induite par B1 ) de R qui intersectent X :


                                                                 X




                                                                                                                         E R (X )
                                                                                                                                        48
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                              Ouvertures et fermetures par reconstruction

              L’ouverture par reconstruction élimine les
              composantes connexes qui n’appartiennent pas à
              l’ouvert sans modifier les autres :



                                                                 ouverture par
                                                                 reconstruction

                                                              E X  B ( X ) 


                                                 B


                                    X
                                                               fermeture par
                                                               reconstruction


                                                E  ( X ) 
           La fermeture par reconstruction
                                                                                   c
               est définie par dualité :               Xc                      c
                                                                     B
                                                                                       49
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                                         Reconstruction fonctionnelle



        La dilatation géodésique de f dans r :
                                                                                                     r   g
                         g  f   g  f  r
                          r



                                                                           Er(f)


                                                                                                 f



          La reconstruction géodésique de f dans r :

                              Eg ( f )  sup  ( gr )n ( f )
                               r

                                          n 0


                                                                                                             50
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                              Ouvertures et fermetures par reconstruction

                              Par extension, les ouvertures et fermetures par reconstruction élimine les
                                   structures en préservant les contours des images numériques :



                                                     élément structurant
                                                        de l’ouverture
                                                       morphologique :




                               original                ouverture par reconstruction           fermeture par reconstruction
                                                                                                                             51
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                    Chapitre 2 : Géométrie discrète & Aspects algorithmiques




                                    • Introduction à la géométrie discrète
                                    • Topologies et distances discrètes
                                    • Transformées en distances discrètes
                                    • Calcul des opérateurs de base
                                    • Files d’attente et opérateurs géodésiques




                                                                                             52
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                                    Images discrètes : modélisation

                                                             2
      • Le plan discret est représenté par Z .
      • Une image discrète binaire est un sous-ensemble de Z2.
      • Une image discrète en niveau de gris est une fonction de Z2 dans N.

                                                X  Z2                                                  I : Z2  N




                      Une image binaire                       Une image binaire                   Une image en niveaux de gris
                  (représentation « pavage »)            (représentation « maillage »)

                                                                                                                                 53
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                                    Topologies dans la maille carrée
         Dans la maille carrée, on peut définir 2 types de relations d’adjacence, donc de topologie :

                      4-connexité :                                               8-connexité :




      Par clôture transitive, on définit la relation de connexion, qui est une relation d’équivalence :




                                    Un chemin 4-connexe                                      Un chemin 8-connexe

               Les classes d’équivalence de la relation de connexion sont les composantes connexes.
                                                                                                                   54
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                                    Théorème de Jordan en maille carrée
                Dans la maille carrée, la notion de trou dans un objet X, qui doit correspondre à une
                composante connexe finie de X c, n’est pas bien définie :

                                                                   Ce problème est lié à la validité du
                                                                   théorème de Jordan, selon lequel une
                                                                   courbe simple fermée sépare le plan en 2
                                                                   composantes connexes, dont une bornée.
                     8-connexité          4-connexité

                ...sauf si l’on considère des topologies différentes pour X et pour X c :


                                                                                                     Exemple :
                                                                                           combien l’image ci-contre
                                                                                           compte-t-elle de composantes
                                                                                           connexes ? Combien de trous ?
                                                                                           (1) Pour la (8,4)-connexité
                  (8,4)-connexité        (4,8)-connexité
                                                                                           (2) Pour la (4,8)-connexité


                                                                                                                           55
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                                    Distances dans la maille carrée
     La distance euclidienne dans la maille carrée se calcule facilement pour 2 points donnés,
     mais est difficile à manipuler d’un point de vue algorithmique pour calculer la carte de
     distance à un ensemble donné (transformée en distance).




              d E ( A, B)  52  32  34

                                                                                 E
                                                                                          
                                                                               Bd10 (C )  z  Z2 ; d E ( z, c)  10   
                                                                                                                           56
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                                    Distances dans la maille carrée
     Les distances discrètes plus faciles à manipuler d’un point de vue algorithmique sont celles
     qui sont induites par la topologie : étant donnée une relation d’adjacence la distance entre A
     et B est alors définie comme le nombre minimum d’arêtes que compte un chemin qui relie
     A à B. Par exemple la distance d4, ou distance de la 4-connexité :

                                         d4 ( A, B)  xA  xB  y A  yB




                  d 4 ( A, B)  5  3  8

                                                                                   B3 4 (C )  z  Z 2 ; d 4 ( z, c )  3
                                                                                    d

                                                                                                                              57
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                                    Distances dans la maille carrée

     De la même façon, la distance d8, ou distance de la 8-connexité :


                                         d8 ( A, B)  max xA  xB , y A  yB 




                  d 8 ( A, B )  max( 5,3)  5


                                                                                     B3 8 (C )  z  Z 2 ; d 8 ( z, c )  3
                                                                                      d

                                                                                                                                58
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                                              Transformée en distance
     La transformée en distance d’une image binaire X est une fonction qui associe à chaque
     pixel de X sa distance au complémentaire Xc. Cette fonction est très utile en analyse
     d’images, par exemple pour le calcul des opérateurs morphologiques :

       FXd : Z 2                          N
              p                      d ( p, X c )




Cours de Morphologie Mathématique
                                                     X
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                                                                                         FXd E   59
                              Transformée en distance : Algorithmes
     Pour les distances d4 et d8, la transformée en distance d’une image binaire X se calcule
     facilement par un algorithme récursif, basé sur 2 balayages d’image : 1 direct, 1 rétrograde :


              % Balayage direct
              for i = 1:w
                for j = 1:h
                   if (i,j)∉X F(i,j)=0;
                   else F(i,j) = min(F(i-1,j)+1,F(i,j-1)+1);
                end
              end                                                                                       Balayage direct et son masque de calcul

              % Balayage rétrograde
              for i = w:-1:1
                for j = h:-1:1
                   F(i,j) = min(F(i,j),F(i+1,j)+1,F(i,j+1)+1);
                end
              end

                       Algorithme de calcul de la transformée en distance d4
                                                                                                      Balayage rétrograde et son masque de calcul


                                                                                                                                                    60
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                              Transformée en distance : Algorithmes
            Illustration du calcul de la transformée en distance d4 en 2 balayages, sur un exemple :




                              Etat « initial »   Après le premier balayage          Après les 2 balayages




                                                                                                            61
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                              Transformée en distance : Algorithmes
                                     La transformée en distance d8 se calcule de façon similaire :



      % Balayage direct
      for i = 1:w
        for j = 1:h
           if (i,j)∉X F(i,j)=0;
           else F(i,j) = min(F(i-1,j)+1,F(i,j-1)+1,F(i-1,j-1)+1);
        end
      end                                                                                                 Balayage direct et son masque de calcul

      % Balayage rétrograde
      for i = w:-1:1
        for j = h:-1:1
           F(i,j) = min(F(i,j),F(i+1,j)+1,F(i,j+1)+1,F(i+1,j+1)+1);
        end
      end

                           Algorithme de calcul de la transformée en distance d8
                                                                                                        Balayage rétrograde et son masque de calcul


                                                                                                                                                      62
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                                      Comparaison distances d4 et d8




                                    Transformée en distance d4                                   Transformée en distance d8



                                                                                                                              63
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                               Distance euclidienne : algorithmes
     On ne peut pas calculer de transformée en distance euclidienne exacte en utilisant un
     algorithme similaire, car la valeur de la transformée en distance en un point ne peut pas
     toujours être décidée en fonction de la valeur de la transformée en distance de ses 8 plus
     proches voisins :




      Sur la figure ci-contre, le pixel Q est
      plus proches de B que de A ou de C.
      Mais tous ses 8 plus proches voisins
      sont soit plus proches de A, soit plus
      proches de C, que de B




                                                                                                  64
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                               Distance euclidienne : algorithmes
     Néanmoins, on peut calculer une très bonne approximation de la transformée en distance
     euclidienne sur la maille carrée, grâce à l’algorithme de Danielsson-Leymarie (DL). Cet
     algorithme consiste à calculer récursivement les coordonnées relatives des pixels les plus
     proches du complémentaire :


        L’algorithme consiste à calculer, pour
        chaque pixel p de X, les coordonnées
        (Rx(p),Ry(p)) tels que le point de Xc le
        plus proche de p a pour coordonnées :
                              (xp + Rx(p),yp + Ry(p))
        La valeur de la transformée en distance
        au point p est donc :

             FXE ( p )             Rx ( p)2  Ry ( p)2


                                                                                                  65
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                               Distance euclidienne : algorithmes
      Le carré de la distance euclidienne est calculé par sommation marginale : quand un
      nombre n augmente de 1, son carré augmente de 2n+1 :

                                                          ( Rx  a )2  ( Ry  b )2  Rx  Ry  2 Rx a  2 Ryb  a 2  b2
                                                                                            2      2




                                                                                          et donc :
                                                               FXE ( x  a, y  b)2  FXE ( x, y )2  2 Rx a  2 Ryb  a 2  b2

                                                        Notations pour l’algorithme :
                                                       V   ( 1,1), (0,1), ( 1,1), ( 1,0)       le voisinage causal

                                                       V   ( 1,1), (0,1), ( 1,1), ( 1,0)       le voisinage anticausal

                                    Enfin, on note :    DF ( a ,b) ( x, y )  2 aRx ( x  a, y  b)  2 bRy ( x  a, y  b)  a 2  b2

      l’augmentation marginale du carré de la transformée en distance, lorsqu’on passe du
      point (x+a,y+b) au point (x,y).
                                                                                                                                         66
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                          Algorithme de Danielsson-Leymarie
          for i = 1:w % Initialisation
            for j = 1:h                                                                               L’algorithme DL a une complexité
               if (i,j)∉X {F(i,j)=0;Rx(i,j)=0;Ry(i,j)=0;}                                             constante par pixel. L’algorithme ci-
               else {F(i,j)=∞;Rx(i,j)=0;Ry(i,j)=0;}                                                   contre, en 2 passes, nécessite 8
            end
          end                                                                                         décalages (multiplication par 2), 12
          for i = 1:w % Balayage direct                                                               sommes et 6 comparaisons par pixel.
            for j = 1:h                                                                               En réalité, l’algorithme en 2 passes
               (1) (a,b) = Arg Min { F(i+u,j+v)+DF(u,v)(i,j);(u,v) ∈V- };
                                                                                                      produit des erreurs qui peuvent être
               (2) Rx(i,j)=Rx(i+a,j+b)+a ; Ry(i,j)=Ry(i+a,j+b)+b;
               (3) F(i,j) = F(i+a,j+b)+DF(a,b)(i,j);                                                  corrigées     par    des      balayages
            end                                                                                       supplémentaires       (utilisant    des
          end                                                                                         masques plus petits). L’algorithme
          for i = w:-1:1 % Balayage rétrograde
            for j = h:-1:1                                                                            DL complet a donc une complexité
               (1) (a,b) = Arg Min { F(i+u,j+v)+DF(u,v)(i,j);(u,v) ∈V+ };                             de : 8 décalages, 14 sommes et 8
               (2) Rx(i,j)=Rx(i+a,j+b)+a ; Ry(i,j)=Ry(i+a,j+b)+b;                                     comparaisons par pixel.
               (3) F(i,j) = F(i+a,j+b)+DF(a,b)(i,j);
          end
          end

                       Algorithme de calcul de la transformée en distance quasi-
                              euclidienne par l’algorithme DL en 2 passes


                                                                                                                                                67
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                                    Algorithme de DL : résultats




                                                                              68
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                                    Implantation des opérateurs de base
                                                                                                        Méthode triviale :
                                                                                    DILATE (Image_IN X, Image_OUT Y,Elt_struct B) {
          Ex : élément                          B                                   Pour tout pixel p X {

        structurant carré                                                               Y(p) = 0;
                                                                                        Pour tout b B {
            de coté c.
                                                                                             Y(p) = Y(p) OU X(p-b);
                                                                                             }
                                                                                         }
                                                                                    }




                                                                                                                      Complexité
                                                                                                                      du calcul par
                                                                                                                        pixel : c2




                                     X                                   B X 
                                                                                                                                      69
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                                    Implantation des opérateurs de base

                                              B  Bh  Bv                                 Bh                           Bv
        Elément
       structurant
     carré de coté c.


              (décomposition des polyèdres de Steiner)                Complexité du calcul par pixel : 2c




                                    X                        B X 
                                                                  h                        v
                                                                                                  h
                                                                                                       
                                                                                          B  B X   
                                                                                                             Bv
                                                                                                                  ( Bh )
                                                                                                                           X    B X 
                                                                                                                                             70
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                               Erosions binaires et distances discrètes
      Pour les ensembles (images binaires), dans le cas où l’élément structurant est une boule
      d’une distance discrète, on calculera l’érodé par seuillage de la transformée en distance :

                                                                                        en effet : p   B ( X )  FX ( p)  
                                                                                                                     d
                            ex :
                  distance de la                                                      transformée en distance   FXd : Z 2         N
                   4-connexité                                                        d de l’ensemble X :              p     d ( p, X c )

                                    d4 a, b  xa  xb  ya  yb




                             Transformée en distance d4                                        Erosion par une boule de d4
                                                                                                                                             71
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                               Erosions binaires et distances discrètes


                                              ex :


                                                                           d8 a, b  max xa  xb , ya  yb 
                             distance de la
                              8-connexité




                             Transformée en distance d8                                   Erosion par une boule de d8
                                                                                                                        72
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                               Erosions binaires et distances discrètes

                            ex :                                                                    Grâce aux techniques de
                                                                                                    calcul    récursif    de    la
         distance euclidienne                                                                       transformée en distance, la
                                                                                                    complexité du calcul par pixel
                                                                                                    devient constante : (O(1))
                                    d e a, b    xa  xb 2   ya  yb 2




         Transformée en distance quasi-euclidienne                                           Erosion par une boule quasi-euclidienne
                                                                                                                                       73
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                         Implantation des opérateurs en niveaux de gris

        L’implantation de l’érosion par calcul de la fonction distance n’est valable que pour les
        opérateurs ensemblistes. Existe-t-il des algorithmes pour le calcul de l’érosion en niveaux
        de gris, dont la complexité soit indépendante de la taille de l’élément structurant ?
                   OUI ! Dans le cas d’élément structurant 1D (segment), nous détaillons ci-dessous
                                             l’algorithme de Van Herk :

        Soit X une image 1D à valeurs numériques :



        Soit B un segment de taille K (K = 2p +1). Supposons qu’on souhaite calculer l’érosion
        de X par B.
        On « partitionne » X en segment de taille K :




        L’algorithme de Van Herk comprend 3 phases :
                                                                                                      74
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                              Van Herk / extrema récursifs par blocs
       X=



      E1 =




     E2 =




        Phase (1) :                                                                      Phase (2) :
     for (i = 0;                    i < W ; i++)                                    for (i = W-1; i > 0 ; i--)
       if (i % K                    == 0)                                             if (i % K == 0)
         E1[i] =                    X[i];                                               E2[i] = X[i];
       else                                                                           else
         E1[i] =                    min(E1[i-1],X[i]);                                  E2[i] = min(E2[i+1],X[i]);

               Rq : les calculs de E1 et de E2 sont indépendants et peuvent être réalisés en parallèle.
                                                                                                                     75
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                                    Van Herk / Calcul érosion/dilatation
   X=



   E1 =



   E2 =




   E=




                                    Phase (3) :   for (i = 0; i < W ; i++)
                                                         E[i] = min(E1[i+K/2],E2[i-K/2]);

                                                                                            76
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                                    Van Herk / Conclusion




            Complexité : 3 min/max quelque soit la longueur de l’élément structurant.
            Adapté à un calcul séquentiel, mais compatible avec un parallélisme de données.
            Adaptable à des éléments structurants rectilignes de n’importe quelle orientation.

                                                                                         [Van Herk 92]
                                                                                                         77
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                                    Reconstruction : algorithmique
                    RECONSTRUCTION NAÏVE                                                RECONSTRUCTION SEQUENTIELLE
      Sur une architecture séquentielle,                     Une implantation sensiblement plus efficace consiste à « propager » le
      l’implantation « naïve » de la                         marqueur au cours d’un balayage séquentiel, direct puis rétrograde :
      reconstruction, i.e. basée sur la
                                                                                RECONSTRUIT (Marqueur M, Référence R) {
      définition :                                                               Répéter jusqu’à stabilité {
                          g  f   g  f  r
                           r                                                       // Balayage direct
                                                                                   Pour j de 0 à h {
                          Eg ( f )  sup  ( gr )n ( f )
                           r                                                          Pour i de 0 à w {
                                      n 0                                              M(i,j) = MIN(R(i,j),MAX(M(i-1,j),M(i,j-1),M(i,j));
                                                                                        }
      conduit à un coût de calcul tout à fait                                         }
      prohibitif,   puisque     le   nombre                                        // Balayage rétrograde
      d’itérations de dilatation géodésique                                        Pour j de h à 0 {
                                                                                      Pour i de w à 0 {
      peut être égal au diamètre géodésique
                                                                                        M(i,j) = MIN(R(i,j),MAX(M(i+1,j),M(i,j+1),M(i,j));
      des     plus   grandes     composantes                                            }
      connexes :                                                                      }
                                                                                 }




     marqueur                                                                                                   marqueur
                                                             Néanmoins,        le     nombre
                  référence
                                                             d’itérations de double balayage
                                                             peut parfois être important dans
                                                             le cas de composantes connexes
                                                             enroulées, par exemple :                             référence


                                                                                                                                             78
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                                    Algorithmique des files d’attente
        La file d’attente (FIFO) est une structure de donnée particulièrement utile dans les
        algorithmes morphologiques à base de reconstruction géodésique. Son intérêt est multiple :
        • On restreint les calculs aux pixels susceptibles de changer :
        on examine les pixels qui sont dans la file d’attente, et pas
        tous les pixels de l’image.                                                                                   l     k      j           d      c

        • La terminaison d’un algorithme de relaxation est rendue                                                    est la file d’attente.
        visible par le fait que la file d’attente est vide. On n’a donc                                             c est la valeur de l’élément de tête.
                                                                                                                    l celle de l’élément de queue.
        plus besoin de garder une trace explicite des changements
        pour détecter la convergence.

                                                                                                La fonction POP() supprime l’élément de tête
                x = pop()                     l       k       j              d                et renvoie sa valeur, soit x = c.

                                                                                                La procédure PUSH(y,) ajoute en queue de 
                  push(,y)                m       l       k       j               d
                                                                                                un nouvel élément de valeur y, soit m = y.

                                                                                                La fonction empty() est une fonction
        empty() == TRUE                                                                       booléenne qui renvoie 1 si et seulement si  est
                                                                                                vide.
                                        La structure de donnée File d’attente et ses fonctions associées.
                                                                                                                                                            79
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           Reconstruction binaire à base de files d’attente
  La reconstruction par file d’attente consiste à initialiser la FIFO avec le marqueur, puis pour
  chaque élément de la FIFO extrait, rajouter ses voisins dans l’image, ainsi jusqu’à convergence
  (FIFO vide). Le nombre d’opération est proportionnel au nombre de pixels « ajoutés » au
  marqueur…

                                    Initialisation                                     Parcours




                                      Image                                            pixel traité

                                      Marqueur                                         pixel à traiter

                                      Complémentaire                                   pixel en cours
                                                                                                         80
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                              Ouvertures et fermetures par reconstruction

              L’ouverture par reconstruction élimine les
              composantes connexes qui n’appartiennent pas à
              l’ouvert sans modifier les autres :



                                                                 ouverture par
                                                                 reconstruction

                                                              E X  B ( X ) 


                                                 B


                                    X
                                                               fermeture par
                                                               reconstruction


                                                E  ( X ) 
           La fermeture par reconstruction
                                                                                   c
               est définie par dualité :               Xc                      c
                                                                     B
                                                                                       81
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                                         Reconstruction fonctionnelle



        La dilatation géodésique de f dans r :
                                                                                                     r   g
                         g  f   g  f  r
                          r



                                                                           Er(f)


                                                                                                 f



          La reconstruction géodésique de f dans r :

                              Eg ( f )  sup  ( gr )n ( f )
                               r

                                          n 0


                                                                                                             82
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                                             Extrema régionaux
           La notion d’extremum régional joue un rôle important pour les image numériques, en particulier
           dans le calcul des opérateurs géodésiques. Il s’agit de « plateaux », au bord desquels on ne peut que
           descendre (pour les maxima régionaux), ou monter (pour les minima régionaux) strictement.

                          Soit f une fonction numérique.

  f : Rn  N                                                                                    Un point x appartient à un maximum
                                                                                                régional du graphe de f lorsqu’on ne peut
 SGi ( f )  x  R n / f ( x )  i                                                            pas atteindre un point y tel que f(y)>f(x)
                                                                                                sans redescendre strictement :

                                       
     max f   SGi ( f ) \ E SGi ( f ) SGi 1 ( f )      
                         iN


                                                                                                                maxima
                                                                                                               régionaux




                                                                                                                                             83
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                     Reconstruction numérique à base de FIFO
      Dans le cas de la reconstruction numérique (fonctionnelle), l’utilisation des FIFO est moins immédiate car il faut
      déterminer le domaine de stabilité (ensemble des points fixes) de la fonction marqueur f, au bord duquel la propagation
      va être initialisée. Ce domaine de stabilité est en fait l’ensemble des maxima régionaux de f. On utilise alors la
      propriété suivante :

                              La reconstruction de f est la même que la reconstruction
                              de la restriction de f à ses maxima régionaux :
                                                                                                    E r ( f )  E r ( f  1maxf )

                                        r                                                                    r
                                            f                                                                    f  1maxf
                                                     r
                                                   E (f)                                                                     E r ( f  1maxf )




                                                                                                                                                 84
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                     Reconstruction numérique à base de FIFO
                                    (1) La première étape consiste donc à calculer les maxima régionaux de f :
                   Pour cela, on reconstruit f-1 sous f :                                               Initialisation de la FIFO :

                                            f                                                              m = (f-1);
                                                                                                           Pour tout pixel p {
                                                 f 1                                                        Si  q voisin de p tq (f-1)(q) > f(p) {
                                                                                                                m(p) = f(p);
                                                                                                                F.push(p);
                                                                                                                }
                                                                                                             }




                                         Propagation de la FIFO :
                                                                                                           Par différence, on obtient
                                                                                                           les maxima régionaux :
                                                 Tant que non(F.empty()) {
                                                   F.pop(p);
                                                                                                                    Si (m(p) == f(p)) y(p) = 0;
                                                   Pour tout voisin q de p tq f(q)>m(q) {
                                                                                                                       sinon y(p) = f(p);
                                                     m(q) = f(q);
                                                     F.push(q);
                                                     }
                                                   }




                                                                                                                                                  85
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                     Reconstruction numérique à base de FIFO
                                    (2) Puis on reconstruit maxf sous r :

                                                                                  // Initialisation FIFO
                                                                                  m = maxf;
                                                                                  Pour tout pixel p tq
                                                                                    (m(p)  0) et ( q voisin de p tq m(q) = 0) {
                                                                                      F.push(p);
                                                                                      }
                                                                                  // Propagation FIFO
                                                                                  Tant que non(F.empty()) {
                                                                                     F.pop(p);
                                                                                     Pour tout voisin q de p tq m(p)>m(q) {
                                                                                        m(q) = MIN(f(q),m(p));
                                                                                        F.push(q);
                                                                                        }
                                                                                     }



                                                                              Le coût de calcul de la reconstruction
                                                                              numérique par FIFO est donc obtenue par un
                                                                              nombre constant de parcours d’images : 2
                                                                              balayages complets pour les initialisations de
                                                                              FIFO, et 2 parcours de FIFO où les points ne
                                                                              sont examinés qu’une fois en général (2 ou 3
                                                                              dans des cas extrêmes où 2 ou plusieurs
                                                                              maxima régionaux sont très proches).

                                                                                                                                    86
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                              Ouvertures et fermetures par reconstruction

                              Par extension, les ouvertures et fermetures par reconstruction élimine les
                                   structures en préservant les contours des images numériques :



                                                     élément structurant
                                                        de l’ouverture
                                                       morphologique :




                               original                ouverture par reconstruction           fermeture par reconstruction
                                                                                                                             87
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                               Transformées en distance et FIFO
     Les files d’attente peuvent également être utilisées pour calculer la transformée en distance
     de manière efficace par propagation du contour. L’algorithme correspond alors à une
     application à la maille carrée de l’algorithme de Dijkstra. Tous les algorithmes récursifs
     présentés précédemment s’adaptent facilement à ce cadre. Par exemple, pour la distance d4 :

              % Initialisation FIFO
              for i = 1:w
                for j = 1:h
                   if (i,j)∈X
                      if (i’,j’),d4((i,j),(i’,j’))==1)&(i’,j’)∉X : {F(i,j) = 1; Q.push(i,j);}
                      else : F(i,j) =  ; endif
                   endif
                endfor
              endfor
              % Parcours de la FIFO et étiquetage
              while ~(Q.empty)
                Q.pop(i,j);
                forall (i’,j’), (i’,j’)∈X,d4((i,j),(i’,j’))==1) and F(i’,j’)== : {F(i’,j’) = F(i,j)+1 ; Q.push(i’,j’);}
                endfor
              endwhile
                                    Algorithme de calcul de la transformée en distance d4 par l’algorithme de Dijkstra avec FIFO.
                                                                                                                                    88
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                  Chapitre 3 : Filtrage morphologique – opérateurs connexes



                                    • Filtres morphologiques.
                                    • Ouvertures et fermetures algébriques.
                                    • Analyse granulométrique.
                                    • Filtres alternés séquentiels.
                                    • Pyramides et espaces d’échelles morphologiques.
                                    • Opérateurs connexes et applications de la géodésie
                                    • Filtres connexes et F.A.S par reconstruction
                                    • Invariance par changement de contraste et EDP




                                                                                               89
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                                    L’approche morphologique du filtrage

                                             En traitement linéaire des
                                             images,     filtrer,     c’est
                                             éliminer             certaines
                                             composantes fréquentielles
                                             des images.
                                               Filtrage = Convolution




                En morphologie mathématique, filtrer, c’est simplifier
                l’image en supprimant certaines structures
                géométriques (en général implicitement définies par
                un ou plusieurs éléments structurants).
                Le filtre morphologique simplifie l’image en
                préservant la structure, mais il perd en général de
                l’information ( Croissance).
                Le filtre morphologique est stable et possède une
                classe d’invariance connue ( Idempotence).
                                                                                      90
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                                    Rappel : ouvertures et fermetures morphologiques


         l’ouverture morphologique de X par B.                                              la fermeture morphologique de X par B.
                                           
                            X   X  B  B
       B(X )  X  B  B B                                                                                    X   X  B  B
                                                                                           B ( X )  X  B  B B              
                                                                                                                                          




                      B

                                                    X                                            B X                        B X 
       CROISSANCE                                                IDEMPOTENCE                               EXTENSIVITE

                                       B ( x)   B ( y )        B  B ( x)   B ( x)                  L’ouverture est
                                                                                                                                 B ( x)  x
       x y
                                                                                                            anti-extensive :

                                      B ( x)   B ( y )         B  B ( x)    B ( x)                La fermeture est
                                                                                                             extensive :
                                                                                                                                    x   B (x)
                                                                                                                                                  91
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                                              Filtres morphologiques
                                    Un filtre morphologique est un opérateur  croissant et idempotent :
                      x  y   ( x)   ( y )                                                                ( x )    ( x )
                              On peut construire différentes familles de filtres morphologiques à partir
                                  des filtres de base, l’ouverture et la fermeture morphologiques :

                                              Combinaisons                                 Opérateurs                Filtres
                                                sup/inf                                    géodésiques           morphologiques

              ouv / ferm                        sup d’ouv /                                ouv / ferm par            Ouv /Ferm
            morphologiques                      inf de ferm                                reconstruction            algébriques



                                                   filtres alternés
                                                     séquentiels
                                                                                             nivellements          Granulométries


                                                                                                                                     92
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                                    Ouvertures et fermetures algébriques
                                            Les ouvertures et fermetures algébriques généralisent
                                                les ouvertures et fermetures morphologiques.

                                    • Une ouverture algébrique est un filtre morphologique anti-extensif.
                                    • Une fermeture algébrique est un filtre morphologique extensif.


                                                 • Un sup d’ouvertures morphologiques est une ouverture algébrique
                       PROPRIETE
                                                 • Un inf de fermetures morphologiques est une fermeture algébrique
ex :




                     Image originale             Ouverture morpholoqique                 Ouverture morpholoqique     Ouverture algébrique par
                                                  par un segment vertical                par un segment horizontal   union des deux ensembles
                                                                                                                                                93
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                                               Granulométries
                L’analyse granulométrique est l’étude de la taille des objets fondée sur le principe du
                   tamisage : sélection des objets par un ensemble de tamis de différentes tailles.

                       Formellement, une granulométrie peut être définie par une famille d’ouvertures :

                                                      0                 telle que :

                                            0     '     '    '     '

             ex1 :            R                                             ex2 :      N   Ouvertures par une
                                                                                                        suite croissante de
                                                                                                         boules discrètes
                Ouvertures par des boules euclidiennes de rayon 




                                                                                                                              94
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                                    Granulométrie et anti-granulométrie
     La famille des opérateurs duaux (fermetures de taille croissante) est une anti-granulométrie :

                                                  granulométrie




                                                anti-granulométrie




                                                                                                      95
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                        Fonction de distribution granulométrique
                                 Soit m une mesure bornée sur un treillis E (aire, intégrale…)
                        Pour xE, on note x (resp. x-) l’image de x par l’opérateur de granulométrie
                                          (resp.d’anti-granulométrie) d’indice .

                                       m ( x )                                                             
      On note Fx (  )  1                       la fonction de distribution sur x de la granulométrie
                                       m ( x0 )
                                                           Fx (  )



                                                                                                                




      anti-granulométrie                                         original                           granulométrie   96
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                                    Spectre granulométrique
         Le spectre granulométrique est la dérivée de la fonction de distribution granulométrique :


                                             f x ( )  F ' x ( )


                                                f x ( )


                                                                                                    




      anti-granulométrie                                original                         granulométrie   97
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                                           L’analyse granulométrique
                                            Etude quantitative des images par la mesure de la
                                          contribution de chaque composante à l’image globale :


                               Traitement linéaire :                                              Morphologie mathématique :
                             Transformée de Fourier                                                    Analyse granulométrique
           Composantes = sinusoïdes complexes                                                     Composantes = famille de boules
                                      v
                                                                                                                f x ( )
                                            Ln(||F(u,v)||)
                                                                                                                                            



                                                             u                                   Historiquement : une des premières
                                                                                                 application de la morphologie mathématique
                                                                                                 était l’étude quantitative des sols poreux par
                                                                                                 analyse     granulométrique      de     coupes
                                                                                                 microscopiques.


                                                                                                                                                  98
Cours de Morphologie Mathématique                                Antoine MANZANERA – ENSTA/LEI
                                    Construction des filtres alternés
                                     L’ensemble des filtres sur un treillis complet E forme un treillis              
               Théorème                         Soient      ,                    tels que                    
                                     • L’ensemble ci-contre est un sous-treillis de                       :
                                                                                                                     
                                                                                                                     
                                     • De plus, on a l’équivalence :
                                                                                                                     
                              
                Matheron 1988                                                                                       
       dem : (1) filtres (idempotence) :            
                                                    
                       (2) ordres :                  
                                                           
                                                     
                       (3) plus petit majorant :
                              soit  un filtre tel que            et                      alors         
                       (4) équivalence :            
                                           et             
                                                                                                                                99
Cours de Morphologie Mathématique                                 Antoine MANZANERA – ENSTA/LEI
                                      Exemple de filtres alternés
 On prend :                             (ouverture morphologique)                          (fermeture morphologique)




       élément
     structurant




                                            I                                                     




                     
Cours de Morphologie Mathématique
                                                        Antoine MANZANERA – ENSTA/LEI
                                                                                                                        100
                                      Filtres alternés séquentiels

                           Soit        0    une granulométrie, et                        *
                                                                                                         0
                                                                                             l’anti-granulométrie associée

                Alors les opérateurs suivants :

                                                      ... 2 21 1
                                                       ... 2 2 11
            sont des filtres, dits filtres alternés séquentiels associés à la granulométrie                              0
                   Propriétés d’absorption :

                                                     '    '                   mais              '   '
                                        ' 
                                                      '     '                 mais              '   '
                                                                                                                             Serra 1988 101
Cours de Morphologie Mathématique                           Antoine MANZANERA – ENSTA/LEI
                                    Filtres alternés séquentiels : démonstration des propriétés

            Filtre morphologique (idempotence) :

                                                    '    '        ' ()
                       (*)                '                   '  '     '  '  '   '  '
         et           (*)           '                            '  '   ' '  '   '  '
                                        donc      '     '  '   '  '   '  '  
    d’où            ... 2 21 1   ... 2 21 1       ... 2 21 1     ... 2 21 1
       et           ... 2 21 1   ... 2 21 1       ... 2 21 1     ... 2 21 1
            Propriétés d’absorption :

                                      '   '  ' ...  1  1    ... 2 21 1    ... 2 21 1 
                                                                                                        
                                               '  ' ...  1  1    ... 2 21 1    '
                                                                                   
                                       '     ... 2 21 1  '  ' ...  1  1    ... 2 21 1 
                                                                                                         
                                                 '                                                                        102
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                                    Application à la réduction du bruit

                                         Les filtres alternés séquentiels conduisent à
                                         une bonne réduction du bruit grâce à une
                                         élimination progressive des pics et des creux
                                         de faible surface.



                  Original                                                                     Application directe
                                                                                              du filtre alterné 4 4




                         1                       2                                     5             8
                                                                                                                        103
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                                    Application à la réduction du bruit
                Original f(x)                                  …en 1d :


                                           Somme f(x)+(x)


                   Bruit (x)
                                                                                            Application directe
                                                                                           du filtre alterné 5 5




                           2                   3                                    4              5
                                                                                                                     104
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                                     Espace d’échelle morphologique
                                Une granulométrie induit un espace d’échelle (scale-space), qui fournit
                                     une représentation des images à différents niveaux de détail.




                                                                                                          105
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                                    Retour à la reconstruction géodésique

                                                     ( B )0  X   X
                                                        R



                                                                                                         
                                                         1
                                       posons
                                                     ( B )n  X    B ( B )n1  X 
                                                        R               R     R
                                                                                                                 pour       n0
                                                         1                         1            1



                               La reconstruction géodésique
                               de X dans R est définie par :
                                                                                                R
                                                                                                    1
                                                                                                              n 0
                                                                                                                  R
                                                                                                                     
                                                                                               EB ( X )  sup ( B )n ( X )
                                                                                                                            1
                                                                                                                                    
                                     Dans le cadre ensembliste, c’est l’ensemble des composantes connexes
         R                              (au sens de la topologie induite par B1 ) de R qui intersectent X :


                                                                 X




                                                                                                                         E R (X )
                                                                                                                                        106
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                                             Mesures géodésiques
                                    x, y  X
                                                                                             x                      y
                              La distance géodésique
                               entre x et y dans X :

                                         
                  d X ( x, y )  min n  0; x  ( B )n y
                                                   X
                                                         1
                                                                                                                           X

                            C’est la longueur du (ou des) plus court(s) chemin(s) dans X entre x et y.


                                                                                                 Soit X une composante
                     Soit X une                                                                         connexe.
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              La fonction de
            propagation de X :                                                                X  max X ( x ); x  X 
                                                                                                  maxd X ( x, y ); x, y  X 
           X : X  N
               x  maxd X ( x, y ); y  X 
                                                                                                                                  107
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                                    Etiquetage des composantes connexes

          La première application de la reconstruction géodésique est l’analyse individuelle de
          particules, qui consiste à extraire les composantes connexes l’une après l’autre par
          reconstruction du premier pixel rencontré lors d’un balayage video :




                                      Image binaire                                   Etiquetage des composantes
                                                                                               connexes
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                                Suppression des objets touchant le bord de l’image




      La suppression des objets touchant le bord de
      l’image binaire X s’obtient par différence avec la
      reconstruction du bord dans X :



                                                                                        X


    Y



                                                                                    X \ E X (Y )
                                                                                                   109
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                                    Bouchage de trous

      Le bouchage de trous dans l’image binaire
      (bidimensionnelle !) X s’obtient par complément
      de la reconstruction dans Xc d’un ensemble qui
      n’intersecte pas X :


                                                                              X
    Y




                                                                            Xc
                                                                          ( E (Y ))c   110
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                                    Seuillage par hystérésis




                    I                     Ih                                            Ib            E Ib ( I h )




                                       Seuil haut

             Image en                                                                           Seuil par hystérésis
          niveaux de gris

                                                                                    Seuil bas
                                                                                                                       111
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                                         Connexions généralisées

          En faisant varier la taille des éléments structurants utilisés dans les reconstructions, on
          obtient une hiérarchie de voisinages, et donc une topologie à divers degrés de détails :




                                                             X                              X          X
                                    Image X                 EB1 (Y )                       EB5 (Y )   EB20 (Y )
                                              Marqueur Y                                                          112
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                                         Reconstruction fonctionnelle



        La dilatation géodésique de f dans r :
                                                                                                     r   g
                         g  f   g  f  r
                          r



                                                                           Er(f)


                                                                                                 f



          La reconstruction géodésique de f dans r :

                              Eg ( f )  sup  ( gr )n ( f )
                               r

                                          n 0


                                                                                                             113
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                                             Extrema régionaux
           La notion d’extremum régional joue un rôle important pour les image numériques, en particulier
           dans le calcul des opérateurs géodésiques. Il s’agit de « plateaux », au bord desquels on ne peut que
           descendre (pour les maxima régionaux), ou monter (pour les minima régionaux) strictement.

                          Soit f une fonction numérique.

  f : Rn  N                                                                                    Un point x appartient à un maximum
                                                                                                régional du graphe de f lorsqu’on ne peut
 SGi ( f )  x  R n / f ( x )  i                                                            pas atteindre un point y tel que f(y)>f(x)
                                                                                                sans redescendre strictement :

                                       
     max f   SGi ( f ) \ E SGi ( f ) SGi 1 ( f )      
                         iN


                                                                                                                maxima
                                                                                                               régionaux




                                                                                                                                             114
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                                    Calcul des maxima régionaux
          Les maxima régionaux d’une fonction numérique f peuvent se calculer à partir de la
          reconstruction de f-1 sous f : maxf = f - Ef-1(f)


                   f                                                                                                  f-Ef-1(f)
                                                                                     f
                                                                                                                         Ef-1(f)
                             f-1                                                              f-1



                                                                                                                     h-maxf
                     f
                                                                                          f

                                      minf                                                     f-h


                         Minima régionaux : par dualité                                   Généralisation : h-extrema régionaux
                                                                                                                                   115
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                                                             Erodés ultimes
     Les maxima régionaux de la transformée en distance correspondent aux composantes connexes qui disparaissent lors
     d’érosions successives.
                                                                                                                  
                                                                                                     SGi ( FXd )  x  R n / FXd ( x)  i                
              FXd la transformée en distance d de l’ensemble X.                                                  x  R     n
                                                                                                                                 / d ( x, X c )  i             
                                                                                                                  Bi ( X )

                 X
                     d
                                           
   maxF d   SGi ( FX ) \ E SGi ( FX ) SGi 1 ( FX )
                                                  d  d
                                                                     =                                           
                                                                                        ERO _ ULT ( X )    Bi ( X ) \ E             Bi ( X )
                                                                                                                                                       Bi1   (X )   
                          iN                                                                                  iN


                                          Application : singularisation de particules se recouvrant partiellement :




                               original                           érodés ultimes (en noir)                               transformée en distance
                                                                                                                                                                        116
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                              Ouvertures et fermetures par reconstruction

                                        La reconstruction géodésique est un filtre morphologique :

                   x  y  E r ( x)  E r ( y)                                                          E r E r ( x )   E r ( x )


                                        Si  (resp.  ) est un opérateur anti-extensif (resp. extensif)

                                     alors l’opérateur :     E  (x ) 
                                                                x
                                                                                              (resp.   E  ( x) 
                                                                                                            xc          c   c
                                                                                                                                )

                                               est une ouverture (resp. fermeture) algébrique.


                                    Cas particulier important :    (ouverture) et    (fermeture) :

                                              ouverture par reconstruction :                            E x  (x ) 

                                            fermeture par reconstruction :                       E  ( x) 
                                                                                                       xc         c     c



                                                                                                                                       117
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                              Ouvertures et fermetures par reconstruction

              L’ouverture par reconstruction élimine les
              composantes connexes qui n’appartiennent pas à
              l’ouvert sans modifier les autres :



                                                                 ouverture par
                                                                 reconstruction

                                                              E X  B ( X ) 


                                                 B


                                    X
                                                               fermeture par
                                                               reconstruction


                                                E  ( X ) 
           La fermeture par reconstruction
                                                                                   c
               est définie par dualité :               Xc                      c
                                                                     B
                                                                                       118
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                              Ouvertures et fermetures par reconstruction

                              Par extension, les ouvertures et fermetures par reconstruction élimine les
                                   structures en préservant les contours des images numériques :



                                                     élément structurant
                                                        de l’ouverture
                                                       morphologique :




                               original                ouverture par reconstruction           fermeture par reconstruction
                                                                                                                             119
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                                                         Nivellements
       Cas où la fonction marqueur f et la fonction de
             référence r ne sont pas ordonnées                                                            r


                          On décompose f en deux fonctions :

                                    f  f  f                                                                                 f
                                       f  f

                                             f  ( x)  f ( x) si f ( x)  r ( x)                     f  ( x)  f ( x) si f ( x)  r ( x)
                                                     0 sinon                                                  0 sinon




                                                                                                                                             120
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                                                            Nivellements
                                                                                                                                   reconstruction
                                                            reconstruction                                                           duale de f+
                                                              de f-dans r                                                              dans r




                                    N  ( f )  Er ( f )
                                      r
                                                                                                        N ( f )  E r ( f  )
                                                                                                         r




                                                                                                      nivellement de
                                                                                                         f dans r

       Les nivellements définissent                                                                                  N r ( f )  N ( f )  N ( f )
                                                                                                                                  r          r


       des opérateurs connexes, qui                                                                                               N ( f )  N ( f )
                                                                                                                                    r          r

       simplifient    l’image   par
       sélection des ensembles de
       niveaux     ou     de  leurs
       complémentaires :


                                                                                                                                                         121
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                                          Exemples de nivellement




                                                  filtre gaussien                 nivellement




                               original




                                                    filtre médian                 nivellement
                                                                                                122
Cours de Morphologie Mathématique                 Antoine MANZANERA – ENSTA/LEI
                           Nouvel espace d’échelles morphologique
                  Une granulométrie induit un espace d’échelle via les filtres alternés séquentiels par
                          reconstruction (i.e. nivellement des filtres alternés séquentiels) :




                                                                                                          123
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                              Opérations sur les ensembles de niveau
     Par définition, la dilatation (resp. l’érosion) fonctionnelle par un élément structurant plan g
     peut être calculée à partir des dilatations (resp. érosions) des sections du sous-graphe
     (ensembles de niveau) par le support de g.
                                                           SGi ( f )  x  R / f ( x )  i
                                                                                                                     SGi(h)
                                                                                        n
                                                                                                    i
                                                                                                    i

                                                                                                        h    SG(h)

                                                                                                   SG(h)   SGi (h)  
                                                                                                                        i
                                                                                                            iR

                                                                                                   SG(h)  h   g ( f )
                   f  SG( f )
     SG( f )   SGi ( f )  
                              i
                            iR

                                               SGi ( f )
       i                                       f

                                                     g     SGi (h)   supp( g ) SGi ( f )
                                    SG ( f )
                                                                                                                          124
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                           Invariance par changement de contraste
        Une conséquence de la propriété précédente est l’invariance par changement de contraste :
        les opérateurs morphologiques commutent avec les anamorphoses, c’est-à-dire les
        transformations croissantes des niveaux de gris :


                                        a f


                                           f                                         a  f 


                                                              a f



                                                                               a   f   a  f 

                                    f
                                                               f 
                                                                                                        125
Cours de Morphologie Mathématique              Antoine MANZANERA – ENSTA/LEI
                            Morphologie mathématique et EDP
         Une transformation invariante par contraste (i.e. une transformation morphologique) doit respecter les relations
         d’inclusion (= ordre) des ensembles de niveau. On montre que cela correspond à un déplacement de lignes de
         niveau (i.e. frontière des ensembles de niveau) dans la direction de leur courbure, et proportionnellement au
         module du gradient. Exprimé en termes d’équations aux dérivées partielles (EDP), cela se traduit par une équation
         de la forme :                                                                                      2
                                                                                                                         I                  I
                                                      I                                                            Ix            I xx 
                                                          I G(curv I ), t )
                                                                    (                             où l’on note           x                 x 2     I xy 
                                                                                                                                                              2I
                                                      t                                                                 I                 2I               xy
                                                                                                                    Iy            I yy 
                                                                                                                         y                 y   2

                                         I  I xx I  2 I xy I x I y  I yy I
                                                          2                                 2

         Avec : curv( I )  div                        y                                 x

                                                                           
                                                                                                  et avec G(x,y) continue et croissante par rapport à x.
                                         I           Ix  I y 2
                                                                      3

                                            
                                                         2        2




                                                    I                                                                             I
                  Dilatation : G(x,y) = 1;              I                            Erosion : G(x,y) = -1;                           I
                                                    t                                                                             t

                                                  La courbure de I au point z est égale à l’inverse du rayon du cercle osculateur à
                                                  la courbe isophote en z, c’est-à-dire à la courbe de niveau :
                                                  I I(z) = {(x,y) / I(x,y) = I(z)}
                                              courbe isophote de valeur I(z)

                 1                                L’intérêt du formalisme EDP est de fournir un cadre rigoureux aux
             curvI ( z )                        transformations utilisant des éléments structurants infinitésimaux, mais
                                    z             également de généraliser les filtres (espaces d’échelles) morphologiques.
                                                                                                                                     [Alvarez et al 92]
                                                                                                                                                                     126
Cours de Morphologie Mathématique                                 Antoine MANZANERA – ENSTA/LEI
                      Espace d’échelle, EDP et filtrage morphologique
      Le filtrage morphologique peut être exprimé                                     L’une des équations de diffusion invariante par changement
      dans le formalisme des Equations aux                                            de contraste la plus simple dans le formalisme EDP est la
      Dérivées Partielles (EDP). Ici la simplification                                diffusion par courbure moyenne : (G(x,y) = x)
      progressive de l’image se traduit par un
      phénomène de diffusion. Le respect du
      principe d’invariance par changement de
      contraste implique la contrainte suivante sur la
      forme de l’équation :

                             I
                                 I G(curv( I ), t )
                             t
                  avec G(x,y) continue et croissante par rapport à x.                                      t=0                                   t=5




                                                         courbe isophote
                                                          de valeur I(z)
                    1
                curvI ( z )
                                               z
                                                                                                           t = 20                               t = 100
                                                                                                                        I
                                                                                                                            I curv( I )
                                                                                                                        t
                                                                                                                    diffusion par courbure moyenne        127
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                          Chapitre 4 : Segmentations géométrique et topologique




                                    • Squelettes : introduction.
                                    • Squelette morphologique.
                                    • Squelette multi-échelle par fonction de choc géodésique
                                    • Connexité du squelette multi-échelle
                                    • Représentation des formes multi-échelle
                                    • Ligne de partage des eaux (LPE) : introduction.
                                    • LPE et filtrage morphologique.




                                                                                                128
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                                    Squelettes : motivations
      L’objectif de la squelettisation est de représenter un ensemble avec un minimum
      d’information, sous une forme qui soit à la fois simple à extraire et commode à manipuler.




    Remarque : Pour les squelettes, on se limitera dans le cadre de ce cours au cas des ensembles
    bidimensionnels (images binaires 2D), bien que certaines notions s’appliquent également aux
    dimensions supérieures.
                                                                                                    129
Cours de Morphologie Mathématique            Antoine MANZANERA – ENSTA/LEI
                                Squelettes : propriétés recherchées (1)

                                    Préservation de la géométrie

                           Le squelette doit rendre compte des
                           propriétés géométriques de la forme :
                           ramifications, parties allongées...


                                       Epaisseur nulle


                   Le squelette doit être constitué de courbes sans épaisseur.


                                    Préservation de la topologie

              Le squelette doit conserver les relations de connexité :
              même nombre de composantes connexes, même
              nombre de trous par composante connexe.

                                                                                              130
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                                Squelettes : propriétés recherchées (2)

                         Invariance aux transformations affines

                       Le squelette doit commuter avec la
                       translation, la rotation et l’homothétie


                                    Réversibilité

              Le squelette doit permettre de
              retrouver la forme originale




                                              Continuité

              Une petite modification de la forme originale doit
              induire une petite modification du squelette

                                                                                           131
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                                    Squelette morphologique
           Le squelette morphologique est fondée sur la notion d’axe médian (Blum 67). Il utilise la
                                        notion de boule maximale :

         Une boule B est dite maximale dans X si :                               Le squelette morphologique (euclidien)
                                                                                 est la réunion des centres de boules
                        B  B'  X  B'  B                                      (euclidiennes) maximales :
                                    Propriété : une boule                  S ( X )   x  R 2 ; B( x,  ) est maximale dans X 
                                    maximale       touche   la                            0
                                    frontière de X en au moins
                                    deux points distincts




                                           B

          X


                                                                                                                                    132
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                                    Propriétés du squelette morphologique (1)
                     De par sa définition, le squelette morphologique euclidien respecte la géométrie
                     de la forme originale, et il est invariant par homothétie. Il possède de plus les
                     propriétés suivantes :



                                    • Il est sans épaisseur (d’intérieur vide).



                                    • Il est anti-extensif et idempotent :
                                                      S( X )  X                                 S ( S ( X ))  S ( X )

                                    • Si X est ouvert, alors X et S(X) ont la même topologie.

                                                                 Contre-exemple :
                                                                                                    X                 S(X)
                                                                                                                             133
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                                    Propriétés du squelette morphologique (2)

         Réversibilité :
                          La donnée de la transformée en distance euclidienne de X sur S(X) permet de
                                                  reconstruire exactement X :




                                                                                                        134
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                                    Propriétés du squelette morphologique (3)

     Non-continuité :
                          Le squelette morphologique euclidien n’est pas une transformation continue :




                                                                                                         135
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                             Squelette morphologique : passage au discret

            Dans le cas discret, les boules maximales sont les boules d’une distance discrète donnée

    Exemples :




                  voisinage élémentaire     boule de rayon 3                                        voisinage élémentaire            boule de rayon 3
                       de l’origine                                                                      de l’origine

                                    Distance d4                                                                        Distance d8

                                    PROPRIÉTÉ
    Un point x est centre d’une boule maximale
    de rayon r dans X si et seulement si il                                       Sr ( X )   x  Z2 ; B( x, r ) est maximale dans X 
    appartient à l’érodé de X par une boule de                                                   B ( 0,r ) ( X ) \  B ( 0,1)  B ( 0,r ) ( X ) 
    taille r, mais pas à l’ouvert de cet érodé par
    la boule élémentaire :
                                                                                                                                                        136
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                             Squelette morphologique : passage au discret
                                    Par conséquent, le squelette morphologique est égal à l’union des
                                     résidus d’ouverture des érodés successifs de la forme originale :


                                                  S ( X )   Sr ( X )
                                                             rN

                                                             B ( 0,r ) ( X ) \  B ( 0,1)  B ( 0,r ) ( X )            Lantuéjoul 78
                                                             rN




                             Formule d’inversion du squelette morphologique :                                                 1       1
                                                                                                                                  3
                                                                                                             0
                                             X    B ( 0 , r ) S r ( X )                                            2
                                                   rN                                                              1         1
                                                                                                                                            137
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                             Squelette morphologique : passage au discret

     La formule de Lantuéjoul fournit un moyen explicite de calculer le squelette morphologique :


         X                                    B (X )
                                                1
                                                                              B (X )
                                                                                    2
                                                                                                     B (X )
                                                                                                         3




     B (X )
           1
                                      B  B ( X ) 
                                          1         1
                                                                         B  B ( X ) 
                                                                              1           2
                                                                                                 B  B ( X ) 
                                                                                                     1       3




                                                                         S0 ( X )  S1 ( X )      S0 ( X )  S1 ( X )
    S0 ( X )                        S0 ( X )  S1 ( X )                            S2 ( X )    S2 ( X )  S3 ( X )




                                                                                                                        138
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                             Squelette morphologique : passage au discret

               Comme l’ensemble des résidus d’ouverture coïncide avec
             l’ensemble des maxima locaux de la transformée en distance,
            le squelette morphologique discret est égal aux maxima locaux
                            de la transformée en distance :

                       S ( X )  x  X ; y ,  ( x, y )  1   ( y , X c )   ( x, X c )




                                    Contrairement au cas continu, le squelette morphologique
                            !       ne préserve pas la topologie de la forme originale :


                     Les algorithmes de squelettisation connexe traitent
                     donc le problème de préservation de la topologie
                     directement dans le cadre discret.

                                                                                                  139
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                                    Squelette morphologique : Propriété




                                                                                 140
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                                    Squelette morphologique : Propriété




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                                    Squelette morphologique : Propriété




                                                                                 142
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                                    Squelette morphologique : Propriété




                                                                                 143
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                       Squelette morphologique / Erodés ultimes
        REMARQUE : Noter les parallèles entre le squelette morphologique et les érodés ultimes :




                             Squelette morphologique                                          Erodés ultimes
                                            =




                                                                                                    =
                                Maxima locaux de la                                       Maxima régionaux de la
                              transformée en distance                                     transformée en distance
                                            =




                                                                                                    =
                                                                                          Résidus d’ouverture par
                                    Résidus d’ouverture
                                                                                              reconstruction
                                                                                                                    144
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                                    Squelettes euclidiens multi-échelles

     Il existe de nombreuses techniques de calcul des squelettes homotopiques (qui préservent la
     topologie). Les plus classiques sont : les squelettes pas amincissement, les squelettes par
     reconnexion du squelette morphologique. Nous présentons dans la suite une des techniques
     les plus élégantes et les plus efficaces : le squelette euclidien multi-échelles.

     Son principe de calcul repose sur les 4 étapes suivantes :

     1- Associer une étiquette unique à chaque pixel du contour

     2- Propager les valeurs des étiquettes aux pixels les plus proches

     3- Calculer une fonction de choc locale selon la différence des valeurs des étiquettes entre
     pixels adjacents

     4- Le squelette est obtenu par seuillage de la fonction de choc.

     Une propriété remarquable est que, grâce au calcul récursif de la transformée en distance,
     chacune de ces étapes a un coût de calcul constant.

                                                                                                    145
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                                         Etiquetage de contours

                  Soit X une image binaire.


                             Contour en 4-connexité :                                   Contour en 8-connexité :

        4  z  X ; q  X : d 4 ( z, q)  1
         X
                                                                                8  z  X ; q  X : d 8 ( z, q)  1
                                                                                 X




      Remarque : le contour en 4-connexité forme une courbe 8-connexe pour chaque
      composante 8-connexe de X. Le contour en 8-connexité forme une composante 4-connexe
      pour chaque composante 4-connexe de X.

                                                                                                                          146
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                                        Etiquetage de contours
      L’étiquetage de contours consiste à attribuer à chaque pixel de contour de X une paire
      d’étiquettes () tels que :
      1-  identifie chaque composante connexe de X
      2-  attribue à chaque pixel de chaque composante un numéro unique selon un certain sens
      de parcours.




                                    X                                           X
                                                                                                 147
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                                        Etiquetage de contours
      L’étiquetage de contours consiste à attribuer à chaque pixel de contour de X une paire
      d’étiquettes () tels que :
      1-  identifie chaque composante connexe de X
      2-  attribue à chaque pixel de chaque composante un numéro unique selon un certain sens
      de parcours.




                                    X                                           X
                                                                                                 148
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                                    Propagation des étiquettes
      La propagation des étiquettes aux pixels les plus proches se fait simplement en utilisant
      l’algorithme de calcul de la transformée en distance sur le complémentaire du contour. On
      associe alors à chaque pixel (x,y) les coordonnées relatives (Rx(x,y),Ry(x,y)) du pixel de
      contour le plus proche de (x,y).
      Si L est une fonction étiquette sur le contour de X, la propagation de l’étiquette L selon la
      distance d est la fonction définie sur X comme suit :


                                        d ( x, y)  L( x  Rx , y  Ry )
                                         L




         • La propagation des étiquettes  (composantes connexes) fournit la partition de X en
         zones d’influence (SKIZ).
         • La propagation des étiquettes  (énumération de contours) calcule les zones d’influence
         de chaque pixel du contours, ce qui, par différenciation, fournira le squelette.



                                                                                                      149
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                                    Propagation des étiquettes




                                    4 X                                     F(d EX )c
                                                                               4

                                                                                         150
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                                    Propagation des étiquettes




                                    X                                       d EX
                                                                              

                                                                                     151
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                                    Propagation des étiquettes




                                    X                                       E
                                                                              d
                                                                                X


                                                                                    152
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                                     Propagation des étiquettes




                                    X   (1 étiquette)                                    X (679 étiquettes)

                                                                                                                153
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                                    Propagation des étiquettes




                                    F(d EX )c
                                      4
                                                                                E
                                                                                 d
                                                                                   X




                                                                                       154
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                                                      Fonction de choc
           • La fonction de choc associe à chaque pixel p une valeur proportionnelle à «
           l’éloignement » maximum entre le pixel du contour correspondant à l’étiquette de p et
           ceux qui correspondent à l’étiquette des pixels voisins de p.
           • L’éloignement est associé à une fonction de coût k définie sur le contour, où chaque
           pixel est identifié par sa paire d’étiquette ().
           On note NX(p) le point du contour de X le plus proche de p :
                                                                                    N X ( p )  x p  Rx ( p ), y p  R y ( p ) 

                          Fonction de choc 8-connexe :                                     Fonction de choc 4-connexe :

          S8 ( p)  max k ( N X ( p), N X ( q))                                  S4 ( p)  max k ( N X ( p), N X ( q))
                                    d 4 ( p ,q ) 1                                            d8 ( p ,q ) 1



                  Remarquer la dualité : on calcule la valeur maximale dans le 4-voisinage pour un
                  squelette 4-connexe, et réciproquement.

                                                                                                                                     155
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                                       Fonction de choc
              La fonction de coût associée à la fonction de choc est la distance géodésique entre 2
                     points du contour p1 = NX(p) et p2 = NX(q) , le long du contour de X :

                                     k ( p1 , p2 )  d  ( p1 , p2 ) X




                                                                                                      156
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                                             Fonction de choc
                   La fonction de choc associée à la distance géodésique se calcule très simplement en
                            comparant les étiquettes X et X entre 2 pixels p et q adjacents :

                       (1) Si X(p) ≠ X(q) , alors p est à la frontière des zones d’influence de plusieurs
                                                  contours connexes, et donc :

                                              k ( N X ( p), N X ( q))  




                                                                                                              157
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                                                  Fonction de choc
                               (2) Si X(p) = X(q) , alors la fonction de choc est égale à la différence des
                               étiquettes X, modulo le nombre total de pixel du contour contenant p et q.

                                     Fonction de choc symétrique

                            k ( N X ( p), N X (q))   ( p)   (q) mod  X
                                                     X
                                                      d
                                                               X
                                                                d           p                  Nombre de pixels de la composante
                                                                                               connexe du contour de X contenant p.



                                     Fonction de choc asymétrique
                           k ( N X ( p), N X (q))   ( p)   (q)mod  X
                                                     X
                                                      d
                                                               X
                                                                d           p




            La fonction de choc symétrique produit un squelette centré mais d’épaisseur 2, tandis
            que la fonction de choc asymétrique produit un squelette d’épaisseur 1, avec une erreur
            possible de placement d’un demi-pixel.

                                                                                                                                      158
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                                           Fonction de choc




                                    E
                                     d
                                       X
                                                                                S8 E 
                                                                                     d
                                                                                       X


                                                                                            159
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                                    Squelette multi-échelles
             Une fois la fonction de choc S définie, le squelette à l’échelle s est simplement défini
                              comme le seuil de niveau s de la fonction de choc :

                                           Sks ( X )  z; S ( z )  s 




                  S8 E 
                       d
                         X
                                        Sk1 ( X )                                   Sk5 ( X )   Sk20 ( X )




                                                                                                             160
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                                          Squelette multi-échelles

          PROPRIETE : La fonction de choc associée à la distance géodésique le long du
          contour est connexe-monotone : pour tout entier n, l’ensemble des pixels dont la
          fonction de choc est supérieure à n a le même nombre de composantes connexes que
          l’image initiale :




                              Sk1 ( X )                Sk2 ( X )                  Sk5 ( X )

                                                                                              161
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                         Connectivité des squelettes multi-échelles

          La propriété de connexe-monotonie de la fonction de choc est due au fait que les zones
          d’influence des pixels du contour sont connexes :




              La connectivité des zones d’influence
              des pixels implique la croissance de la
              fonction de choc le long du squelette à
              partir des extrémités :




                                                                                                   162
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                         Connectivité des squelettes multi-échelles

          La connectivité des zones d’influence des pixels est aussi une condition nécessaire de
          connectivité des squelettes multi-échelles. En ce sens l’algorithme DL pour le calcul de
          la fonction distance quasi-euclidienne est plus adapté qu’une transformée en distance
          euclidienne exacte :



           En se basant sur la distance euclidienne
           exacte, on pourrait construire un chemin
           connexe reliant A, B et C, qui aurait un
           (exo-)squelette déconnecté :




                                                                                                     163
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                                          Squelettes multi-échelles




                              Sk1 ( X )                 Sk5 ( X )                  Sk50 ( X )




                                                                                                164
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                                        Reconstruction multi-échelles

          La reconstruction de l’image X à l’échelle s s’obtient par la formule d’inversion du
          squelette :

                                               Rs ( X )                              d
                                                                                 Bz ( FX ( z ))
                                                               zSks ( X )




                                    X                       R20(X)                                R100(X)
                                                                                                            165
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                                    Carte de reconstruction
          Toutes les reconstructions pour l’ensemble des échelles peuvent être obtenues
          rapidement à partir de la carte de reconstruction définie comme suit :


                                                   max
                                    MX p                     d
                                                                 SX z
                                           z Sk1 X ; p B z F X z




          La reconstruction de l’image X à l’échelle s s’obtient ensuite par seuillage de la carte
          de reconstruction à la valeur s :


                                      R    X      z; MX z



                                                                                                     166
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                                        Carte de reconstruction




                                    X                     MX                    z; M X ( z )  100 


                                                                                                        167
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                                       LPE : motivation
            La ligne de partage des eaux (LPE) constitue l’approche morphologique de la
       segmentation d’une image en niveaux de gris. Le but est d’obtenir une partition de l’image
          en régions regroupant des pixels jugés équivalents en fonction d’un certain critère.




   ex1 : analyse des cristaux de minerai d’uramium

                                                                                     ex2 : détection de contours

              La segmentation est la base de la représentation de l’image qui permettra d’aller vers une
                                          description évoluée de la scène.
                                                                                                                   168
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                                    LPE par simulation d’immersion
    Si l’on considère une image comme une surface topographique, où l’altitude correspond au
    niveau de gris, le principe de construction de la LPE par immersion est le suivant : en
    imaginant que tous les minima régionaux sont percés, on immerge progressivement le relief
    par une montée des eaux.


                                                                                (1) A chaque fois que la hauteur
                                               LPE
                                                                                de l’eau atteint l’altitude d’un
                                                                                minimum régional, un nouveau
                                                                                bassin versant est créé.


                                                                                (2) A chaque fois que deux
                                                                                bassins se rencontrent, on
                                                                                empêche leur fusion en
                                                                                construisant une “digue”.

                                                                      bassin
                                                                                     L’ensemble des digues
                                                                      versant            forme la LPE.
                                                                                                                   169
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                                    Calcul de la LPE
    original I sur 4                                                                              ensemble des
    niveaux de gris
                                        ai : SKIZ                                                    bassins
                                     géodésique de                                                  versants :
mi  x; I ( x )  i                 mi dans mi1                      i : mi 1 \ E m ( mi )
                                                                                       i 1
                                                                                                    ai  i


     m0

                                                                                                                   résultat
                                                                                                                 superposée à
     m1                                                                                                            l’image
                                                                                                                  originale :



     m2

                                    (croissance des bassins         (apparition des nouveaux
                                    versants et construction            bassins versants)
                                          des digues)
       m3
                                                                                                                            170
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                               LPE : problème de la sursegmentation
               Dans le cas d’images
            naturelles, l’application de
            l’algorithme précédent sur
           l’image (uranium) ou sur le
           gradient morphologique de
             l’image (bureau) produit
             une sursegmentation très
                    importante.




                                                                             171
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                                               LPE avec marqueurs
        La première technique pour éviter la sursegmentation est d’utiliser des marqueurs qui ont
          pour rôle d’imposer la présence de certains bassins versants seulement, de manière à
                                   contraindre la topologie de la LPE.
                                    LPE non contrainte                                     LPE contrainte




                                                                                         Marqueurs

    Pratiquement, on impose la présence des marqueurs par un OU logique à chaque étape, et on
                       ne fait pas apparaître de nouveaux bassins versants.
                                                                                                            172
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                            LPE avec marqueurs : applications
        exemple 1                          exemple 2




                                                                         Séquence du Taxi de Hambourg


                   marqueurs (en jaune)




                                                                       marqueurs : objets mobiles + fond




                          LPE contrainte        LPE brute                         LPE contrainte
                                                                                                           173
Cours de Morphologie Mathématique                 Antoine MANZANERA – ENSTA/LEI
                                        LPE par filtrage
                 La seconde technique pour éviter la sursegmentation est de sélectionner les bassins
                      versants qui apparaîtront dans la LPE en fonction de leur “importance”.
                                    Cette importance revêt deux aspects différents :


               digue à conserver
               digue à éliminer




                    minima de
                  faible surface
                                                                                                minima de faible
                                                                                                  dynamique

                                              La surface                                      La profondeur
                                      Cet aspect est lié à la notion                    Cet aspect est lié à la notion
                                      de bruit spatial dans l’image                     de dynamique dans l’image
                                                                                                                         174
Cours de Morphologie Mathématique                       Antoine MANZANERA – ENSTA/LEI
                                          LPE : filtrage spatial

                                    L’élimination des digues produites par des bassins de faible surface
                                         peut être obtenue grâce au filtrage morphologique spatial :




                                             
                                                                                               fermeture par reconstruction
                                                                                               par une boule de diamètre .


                                                                                                                              175
Cours de Morphologie Mathématique                              Antoine MANZANERA – ENSTA/LEI
                                    LPE : filtrage de dynamique
                    L’élimination des digues produites
                   par des bassins de faible dynamique
                    peut être obtenue grâce au filtrage
                                                                          h
                     morphologique de dynamique :                                           CI (x,y)
                                                                                     I(x)

                                                                         h
             La reconstruction de la fonction I dans la
             fonction I+h élimine les minima régionaux de
             dynamique inférieure à h :                                                                    I(y)
                                                                                        x              y




                                            I+h
         h

                                        I




                                                                                                                  176
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                                    LPE par filtrage : résultats
              En appliquant les deux
              filtrages précédents sur
           l’image (uranium) ou sur le
           gradient morphologique de
                l’image (bureau), on
              élimine dans la LPE les
             bassins non significatifs.




                                                                              177
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