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Mehrschichtige Ober achenmodelle zur computergest utzten Planung

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									                         a
     Mehrschichtige Ober
chenmodelle zur
  computergestutzten Planung in der Chirurgie
              
                 Detlev Stalling1 , Martin Seebass1, Stefan Zachow2
        1
                                u
          Konrad-Zuse-Zentrum fr Informationstechnik, Takustr. 7, 14195 Berlin
  2
      Charite Berlin, Campus Virchow Klinikum, Augustenburger Platz, 13353 Berlin

         Zusammenfassung Polygonale Schdelmodelle bilden ein wichtiges
                                               a
                      u              u
         Hilfsmittel fr computergesttzte Planungen im Bereich der plastischen
         Chirurgie. Wir beschreiben, wie derartige Modelle automatisch aus hoch-
               o                a                      o
         aufgelsten CT-Datenstzen erzeugt werden knnen. Durch einen lokal
         steuerbaren Simplizierungsalgorithmus werden die Modelle so weit ver-
         einfacht, da auch auf kleineren Graphikcomputern interaktives Arbei-
               o
         ten mglich wird. Die Verwendung eines speziellen Transparenzmodells
             o
         ermglicht den ungehinderten Blick auf die bei der Planung relevanten
                                  a
         Knochenstrukturen und lt den Benutzer zugleich die Kopfumrisse des
         Patienten erkennen.
         Keywords: Iso
chen, Simplizierung, Transparenzen
                       a

1 Einleitung
Komplizierte chirurgische Eingrie werden heute zunehmend am Computer vor-
                                     u
ausgeplant. Dies gilt insbesondere fr die plastische Chirurgie im Kopfbereich.
Voraussetzung ist dabei in der Regel ein detailliertes Polygonmodell, das min-
               o                                          a
destens die knchernen Strukturen sowie die Hautober
che des Patienten be-
                            o                   o
schreibt. Solche Modelle knnen in hoher Au
sung aus computertomographi-
                                              u
schen Schnittbildern rekonstruiert werden. Fr eine interaktive Planung ist es
jedoch oftmals erforderlich, die Anzahl der Dreiecke im Modell zu reduzieren,
bzw. die Darstellung auf andere Art und Weise zu beschleunigen.
    In diesem Beitrag stellen wir ein vollautomatisches Verfahren vor, mit dem
               a                                                 o
polygonale Schdelmodelle mit vorgegebener, lokal variabler Au
sung aus CT-
                               o
Daten rekonstruiert werden knnen. Wir beschreiben weiter, wie qualitativ hoch-
wertige Bilder durch eine geeignete semi-transparente Darstellung der Hautober-
  a                     o

che erzeugt werden knnen. Der Einsatz verschiedener Beschleunigungstechni-
ken erlaubt es, die resultierenden Modelle schon auf kleineren Graphikrechnern,
z.B. Silicon Graphics O2, 
ieend darzustellen.
                                                    u        u
    Die hier vorgestellten Techniken wurden ursprnglich fr die Planung der
            u
robotergesttzten Implantation von Ohrepithesen am Virchow-Klinikum Berlin
entwickelt. Dabei sind vom Benutzer bestimmte Bohrpunkte auf der Knochen-
      a                               a
ober
che zu denieren, an denen spter ein Steg zur Befestigung einer Ohrepi-
these angebracht wird. Trotz dieses speziellen Anwendungsbezugs sind die hier
                                                            u
diskutierten Methoden jedoch so allgemein, da sie auch fr andere Planungs-
                               o
aufgaben eingesetzt werden knnen.
2 Modellerstellung
Bei der Erstellung polygonaler Patientenmodelle lassen sich prinzipiell zwei Her-
angehensweisen unterscheiden. Zum einen gibt es Verfahren, bei denen ver-
sucht wird, ubereinanderliegende, in verschiedenen Schichten denierte Kontu-
             
ren durch Dreiecke miteinander zu verbinden. Solche Verfahren gestatten es,
glatte, an die reale Anatomie angepate Modelle zu erstellen, wobei sich die
     o                                      a
Au
sung der Modelle leicht kontrollieren lt. Auf der anderen Seite gibt es
                                     a
voxelbasierte Methoden, die Grenz
chen aus einem entsprechend segmentier-
                                                 a
ten Bildvolumen extrahieren. Sofern nur ein binres Labelling vorliegt, lassen
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sich im allgemeinen nur schwer glatte Modelle erzeugen. In unserem Fall knnen
                                               a
allerdings sowohl Knochen wie auch Hautober
che mittels Schwellwertsegmen-
tierung aus CT-Daten extrahiert werden. Das erlaubt es, Verfahren zur Berech-
               a                                                          a
nung von Iso
chen einzusetzen, die sehr viel robuster als die oben erwhnten
konturbasierten Methoden sind.

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2.1 Extraktion von Iso
chen
                                     a
Polygonale Darstellungen von Iso
chen in 3D-Bildvolumina lassen sich aus
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Teil
chen konstruieren, die fr jede Gitterzelle separat berechnet werden
  o                                                                a
knnen. Beim Marching Cubes Algorithmus wird dazu eine binre Klassizie-
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rung der Eckpunkte einer Gitterzelle vorgenommen. Die zugehrigen 28 = 256
                     a
verschiedenen Teil
chen lassen sich leicht in einer Tabelle au
isten. Die Tabel-
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le kann so aufgebaut werden, da die Flchen benachbarter Zellen garantiert
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zusammenpassen und sich somit eine topologisch konsistente Gesamt
che er-
                o
gibt. Um ein mglichst glattes Modell zu erhalten, wird die Lage der Eckpunkte
der Dreiecke auf den Kanten der Gitterzellen durch lineare Interpolation der
Grauwerte bestimmt.
     Aufgrund der Verschiebung von Punkten entlang von Kanten erhlt man a
                                      u
allerdings oft sehr kleine bzw. sehr dnne langgestreckte Dreiecke. Solche Drei-
         o
ecke knnen praktisch ohne Genauigkeitsverlust eliminiert werden, indem man
   a
Flchenpunkte aus verschiedenen Zellen, die nahe an einem gemeinsamen Git-
terknoten liegen, zu einem gemeinsamen Punkt zusammenfat. Die Koordina-
ten des neuen Punktes ergeben sich durch Mittelung der Koordinaten der Aus-
gangspunkte. Auf diese Weise wird aus sehr kleinen Dreiecken ein Punkt und
                       u
aus langgestreckten dnnen Dreiecken eine Kante. Das entsprechende Verfahren
ist als Compact Cubes Algorithmus bekannt und geht auf Moore und Warren
    u              u
zurck [3]. Gegenber dem einfachen Marching Cubes Algorithmus erhlt mana
eine um etwa 40% reduzierte Anzahl von Polygonen. Man beachte, da Punkte
                         o
verschmolzen werden knnen, sobald alle acht an einem Gitterknoten angenzen-
den Zellen traversiert worden sind. Auf diese Weise wird das Speichern einer
           o                a
vollaufgelsten Zwischen
che vermieden.
     In unserem Fall wenden wir den Algorithmus mit zwei verschiedenen Schwell-
                           o                      u
werten an, um hochaufgelste Ausgangsmodelle fr Knochen und Hautober
che  a
zu erzeugen. In der Regel empehlt es sich, die Ausgangsbilddaten zuvor mit ei-
nem geeigneten Filter auf 256  256 Pixel pro Schicht zu reduzieren. Auch nach
einer solchen Reduktion besteht ein mit Compact Cubes produziertes komplettes
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Schdelmodell typischerweise aus etwa 500 000 Dreiecken. Da dies fr interakti-
ves Arbeiten zu gro ist, mu das Modell im folgenden weiter vereinfacht werden.

      a
2.2 Flchensimplizierung
In Bereich der Computergraphik haben sich in den vergangenen Jahren Sim-
plizierungsalgorithmen durchgesetzt, bei denen die Modelle schrittweise durch
wiederholte Anwendung bestimmter Elementaroperationen vereinfacht werden.
Solche Elementaroperationen sind insbesondere das Entfernen eines Punktes aus
       a
der Flche und das anschlieende Retriangulieren des entstehenden Lochs, sowie
das Zusammenziehen einer Kante.
      u
    Fr das vorliegende Problem haben wir auf einen 1997 von Garland und
                                                          u
Heckbert vorgeschlagenen Kontraktionsalgorithmus zurckgegrien, der einen
guten Kompromi zwischen Schnelligkeit und Genauigkeit darstellt [1]. Das Ver-
fahren beruht darauf, da der quadratische Abstand eines Punktes von einer
Ebene als quadratische Form geschrieben werden kann. Die Summe der quadra-
              a                                           a
tischen Abstnde eines Punktes von mehreren Ebenen lt sich nun in gleicher
              u
Weise ausdrcken, wobei die Komponenten der quadratischen Formen einzeln
aufzusummieren sind.
                                                    a      u          a
    Vor der eigentlichen Simplizierung werden zunchst fr jeden Flchenpunkt
die quadratischen Formen der an den Punkt grenzenden Dreiecke zu einer qua-
dratischen Form Qi aufsummiert. Anschlieend wird jede Kante vi vj daraufhin
                                                                u
untersucht, welcher Fehler sich bei einer Kontraktion ergeben wrde. Dieser Feh-
                                                        o
ler ergibt sich aus dem Minimum von (Qi +Qj )(p). Die Lsung des Minimierungs-
                      a
problems liefert zustzlich die optimale Position, auf die die beiden Endpunkte
der Kante zusammengezogen werden sollten. Im Laufe der Simplizierung wird
nun nacheinander jeweils die Kante kontrahiert, die den geringsten Fehler verur-
                                                          u
sacht. Nach Kontraktion einer Kante werden die Fehler fr angrenzende Kanten
                                                                    u
entsprechend aktualisiert. Die Simplifzierung wird solange fortgefhrt, bis die
     u
gewnschte Anzahl von Dreiecken erreicht ist. Dabei ist es vorteilhaft, wenn die
verschiedenen Teilgeometrien (Haut und Knochen) gleichzeitig simpliziert wer-
                                                                            a
den. Nur so verteilt sich der durch die Reduktion verursachte Fehler gleichmssig
im Gesamtmodell.
      u
    Fr spezielle Anwendungen kann es sinnvoll sein, in bestimmten Regionen
        o          o
eine hhere Au
sung zu verwenden. In der Regel werden dies die Bereiche
                   a
sein, in denen spter ein operativer Eingri stattnden soll. Eine lokal variable
     o       a
Au
sung lt sich mit dem Algorithmus von Garland und Heckbert erreichen,
indem man die Fehlerquadriken Qi lokal skaliert. Im speziellen Anwendungsfall
                                              a
der Ohrepithesen-Planung legen wir dazu zunchst interaktiv eine Kugel um das
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zu behandelnde Ohr. Wird im Inneren der Kugel eine 10fach hhere Genauigkeit
                 u
gefordert, so mssen alle Fehlerquadriken innerhalb der Kugel mit dem Faktor
100 skaliert werden. Es empehlt sich weiterhin, die Skalierung linear in einem

Ubergangsbereich auf eins zu reduzieren. In Abbildung 1 ist die Wirkung einer
solchen Skalierung zu sehen.
Abbildung1. (a) Ausgangsmodell nach Iso
chen-Berechnung. (b) Zwischenergebnis
                                           a
 a                                                                        o
whrend der Simplizierung. (c) Modell mit 25 000 Dreiecken und 10fach erhhter
                                  o
Genauigkeit innerhalb eines kugelfrmigen Gebietes.

3 Darstellung
Neben der reinen Modellerstellung spielt die grasche Darstellung des Modells
 u
fr praktische Anwendungen eine entscheidende Rolle. Im Fall der Epithesenpla-
                         a                                    a
nung dient die Hautober
che vornehmlich zur Orientierung, whrend auf dem
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darunterliegenden Knochen die eigentlichen Bohrlcher gesetzt werden mssen.
                                         a
Deshalb bietet es sich an, die Hautober
che transparent uber dem undurch-
                                                          
             a
sichtigen Schdelknochen darzustellen.
3.1 Transparenzen
                     a
Bei transparenten Flchen setzt sich die Farbe an einem Punkt aus der Farbe
des Objektes selbst und der Hintergrundfarbe zusammen. Bei mehreren transpa-
                    a
renten Objekten erhlt man nur dann ein korrektes Ergebnis, wenn alle Objekte
sortiert von hinten nach vorne uberlagert werden. Im Prinzip kann es vorkom-
                                
men, da sich Dreiecke wechselseitig uberdecken, so da eine korrekte Tiefen-
                                      
                 o                 a
sortierung unmglich ist. Man erhlt jedoch oft zufriedenstellende Ergebnisse,
wenn man alle Dreiecke nach der Entfernung ihres Schwerpunktes vom Blick-
                          u                                   u
punkt sortiert. Um nicht fr jede Ansicht neu sortieren zu mssen, erzeugen wir
drei Listen, in denen die Dreiecke entsprechend ihrer x-, y- und z -Koordinaten
geordnet sind. Bei gegebener Blickrichtung wird nun die jeweils passendste Liste
entweder von hinten nach vorne oder umgekehrt traversiert.
                                                  a
   Eine wesentliche Verbesserung der Bildqualitt ergibt sich, wenn man die
       a
Opazitt  der Dreiecke von deren Orientierung relativ zur Blickrichtung ab-
 a
hngig macht. Dahinter steht die Idee, da der optische Weg durch eine Glas-
                o
platte umso grsser wird, je 
acher ein Strahl auftrit [2]. Es gilt
                =1 e      d=cos = 1 01=cos  ; cos  = n  v
                                 a
Wie Abbildung 2 zeigt, ist die Flche an den Silhouetten relativ undurchsichtig.
                                      a
Dadurch ist die Form gut erkennbar, whrend in anderen Bereichen der Blick auf
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den darunterliegenden Knochen frei bleibt. Der Eekt lt sich noch knstlich
uberhhen, indem der Ausdruck n  v mit einer Konstanten 
 potenziert wird.
 o
Abbildung2. (a) Konstante Transparenz. (b) Transparenz abhngig vom Winkel zwi-
                                                            a
                                                 o                     a
schen Dreiecksnormale und Blickrichtung. (c) Uberhhung der Richtungsabhngigkeit.

3.2 Beschleunigungstechniken
    a
Schdelmodelle werden in der Regel nur von aussen betrachtet. Deshalb mssen u
Dreiecke auch nur mit ihrer nach aussen gerichteten Seite dargestellt werden,
sofern man Transparenzen ignoriert. Durch dieses sogenannte Backface-Culling
wird eine Geschwindigkeitssteigerung um nahezu einen Faktor zwei erreicht. Ein
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weiterer Trick, der sich allerdings ausschlielich auf undurchsichtige Flchen an-
         a
wenden lt, besteht darin, Dreicke in Streifen zu organisieren. Dreiecksstreifen
 o
knnen auf vielen Graphikcomputern erheblich schneller dargestellt werden als
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die gleiche Menge isolierter Dreiecke. Eine optimale Zerlegung der Flche in
                                                        o
Streifen ist ein NP-schweres Problem. Heuristische Lsungen, wie sie zum Bei-
spiel im Graphik-Toolkit Open Inventor implementiert sind, liefern aber schon
bei vertretbarem Rechenaufwand eine deutliche Geschwindigkeitssteigerung.
4 Ergebnisse und Ausblick
Die beschriebenen Verfahren zur Erzeugung und Darstellung von mehrschichti-
           a
gen Ober
chenmodellen wurden in das am Konrad-Zuse-Zentrum Berlin ent-
wickelte Visualisierungssystem Amira integriert (http://amira.zib.de). Dieses
System ist sehr modular aufgebaut und stellt bereits eine Vielzahl von Daten-
                                     u                                   a
strukturen und Algorithmen zur Verfgung. Die Erfahrung zeigt, da Schdel-
modelle mit 50 000 Dreiecken mit etwa 5-10 Bildern pro Sekunde auf einer SGI
                         o                     o                        a u
O2 dargestellt werden knnen. Bei dieser Au
sung ist die Modellqualitt fr
viele Anwendungen ausreichend. Die Zeit, um ein solches Modell zu erstellen,
betrug etwa 90 Sekunden inklusive aller Simplizierungsschritte.
References
1. Garland M, Heckbert PS: Surface Simplication Using Quadric Error Metrics. SIG-
   GRAPH 97 Conference Proceedings, 209{216, 1997
2. Kay DS, Greenberg DP: Transparency for Computer Synthesized Images. Computer
   Graphics, 13(3), 158{164, 1979
3. Moore D, Warren J: Mesh Displacement: An Improved Contouring Method for
   Trivariate Data. TR-91-166, Rice Univesity, Department of Computer Science, 1991

								
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