Das Computeralgebrasystem TI Plus

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Das Computeralgebrasystem TI Plus Powered By Docstoc
					Alexander Lichti, André Saeckel



          Das Computeralgebrasystem des TI-92 Plus -
                      eine Einführung




                                    1.Einleitung



Computeralgebra ist der Teil der Informatik, der sich mit der Erstellung,
Analyse, Implementierung und Anwendung algebraischer Algorithmen
befaßt.


Als am Markt etabliertes, leicht zu handhabendes und weit verbreitetes
Computeralgebrasystem (CAS) bietet sich die in der TI Baureihe von Texas Instruments
implementierte Variante von „Derive“ für viele Interessentengruppen an.
Hier sind insbesondere Schüler, Studenten und Wissenschaftler gemeint, die die Vorteile
eines leistungsfähigen CAS mit der Portabilität eines normalen Taschenrechners kombiniert
sehen wollen.

Da die Bedeutung von algebraischen Berechnungen in Zukunft weiter zunehmen wird, ist es
für den Anwender wichtig zu wissen, was die einzelnen CAS zu leisten vermögen.
Als bekannteste rechnergestützte CAS sind zu nennen:


Mathematica
Maple V
Derive
Axiom
Macsyma
MuPAD




Nun verfügt nicht jeder über einen Zugang zu beispielsweise Mathematica, daher sollen im
weiteren die Fähigkeiten und Grenzen vom TI-92 aufgezeigt werden.
Merkmale:

      Batterien: 4 x AA
      Speicherkapazität:
        256 kB RAM (gesamt)
        188 kB RAM (verfügbar)
        702 kB*** Flash-ROM (verfügbar):
      Größe (H x B x T): 127 x 216 x 38 mm
      Gewicht: 590 g
      Laden neuer Software-Versionen und Anwendungen zur Aktualisierung möglich
      Erlaubt die Verbindung mit TI-89, TI-92 Plus, Voyage™ 200, CBL II™ , CBR™ und
       dem Computer
      Pull-Down- Menü
      Text- und Dateneditor
      "Pretty Print"-Option zeigt Ein- und Ausgabe in mathematischer Schreibweise
      Erweiterung für Assemblerprogrammierung
      Katalog eingebauter Funktionen: Der Katalog bietet Syntax-Anzeigen für alle Befehle
       und Funktionen
      Split Screen Modus:
       Durch die Teilung des Bildschirms können zwei Anwendungen gleichzeitig betrachtet
       werden
      Implementierte Programmbibliotheken bieten:
        ComputerAlgebraSystem (CAS) Funktionen
        Mathematische Funktionen
        Wissenschaftliche Funktionen
        Statistische Funktionen
        Matrizen Funktionen
        Programmierung
        Viele Geometrieanwendungen optional möglich



Aufgaben von Computeralgebrasystemen



Steigende Bedeutung algebraischer Berechnungen:
1. Vorbereitung effizienter numerischer Berechnungen
2. theoretische Zwecke (Theorembeweise)
3. liefern im Gegensatz zur Numerik exakte Ergebnisse



Prinzip:


                           "Äquivalenzumformer"
"symbolischer Text" -----------------------------------> "äquivalenter symbolischer Text"
Beispiele:

Äquivalente Umformung von Polynomen
Implementierung\Einleitung\einleitung.sav

Ausmultiplizieren:

expand[ ( x - 1 ) ^ 10 ]

Faktorisieren:

factor[ ( 1 – 10*x + 45*x^2 – 120*x^3 + 210*x^4 – 252*x^5 + 210*x^6 – 120*x^7 +
45*x^6 – 120*x^7 + 45*x^8 – 10*x^9 + x^10 ]


Anmerkungen:

Die Beispiele der einzelnen Abschnitte wurden als Rom-Abbild abgespeichert.
Es wird in den einzelnen Abschnitten auf die jeweiligen Dateien verwiesen.
Bsp.: Implementierung\Einleitung\einleitung.sav
Laden der jeweiligen Rom-Abbilder mittels rechter Maustaste und „Load state image“.

Ein Durchblättern sämtlicher Terme mittels einer Funktion erschien den Autoren nicht geeignet, da im
Funktionsausgabebildschirm des TI-92 überlange Terme „abgeschnitten“ werden.

Die Groß – und Kleinschreibung für Funktionsbefehle ist nicht einheitlich.
Der TI-92 ist nicht case-sensitive, doch wird im folgenden auf die in der Bedienungsanleitung
verwendete Schreibweise Bezug genommen.




Wichtige Tastenkombinationen für die weitere Benutzung:

♦Enter Näherungsweise Berechnung eines Resultats

2nd Apps Wechsel der Ausgabebildschirme

on Abbruch einer Berechnung

♦+ /♦- Kontrast heller/dunkler

2nd Var-Link Anzeige und Verwaltung( löschen, umbenennen etc) sämtlicher belegten Variablen und
Funktionen
                                         2. Numerik


Allgemeine Merkmale:

      Keine Typvereinbarungen für Variable oder Funktion (integer , real, array, …)
       soweit möglich, exakte Ergebnisse


       Beispiele:
       Implementierung\Einleitung\numeric.sav

       1/3 + 2/7

       3^100

       330!


       im Scientific-Modus dargestellt, da ganzzahlige Werte im Speicher nur mit einer Länge von
       bis zu 614 Stellen gespeichert & angezeigt werden. Beliebige Genauigkeit mit dem Befehl
       round(Term, Stellen) möglich


       factor (70612139395722186)


      „beliebige Genauigkeit“ erreichbar

       round (Sqrt( 10 ), 10 )

       MATH/Number-Menü

       (Genauigkeit wird bei Gleitkomma mit max. FLOAT 12 Stellen angezeigt. Bei Überschreitung
       wird auf eine max. dreistellige Exponentenschreibweise gerundet. Einzustellen unter MODE
       Display Digits. Voreinstellung: FLOAT6)

       NORMAL:        12345.6                   kann das Ergebnis nicht durch die im Display
                                                Digits-Modus eingestellt werden, schaltet TI-92
                                                Automatisch von NORMAL auf SCIENTIFIC
       SCIENTIFIC:      1.23456.E 4             1.23456 x 10^4
   es existiert eine Vielzahl numerischer Funktionen

    Beispiele:

    ∑( 1 / x^3, x, 1, 1000 )

    hier ist eine Berechenung mit einer Grenze über 10^3 nicht empfehlenswert.
    Bei einer Berechnung mit 10^6 eine Wartezeit von mehr als 10 Minuten.

    cSolve(x^5+x+1=0,x)

    Beim Versuch, die Aufgabe nur mit solve zu lösen, würde der TI 92 plus die komplexen
    Ergebnisse nicht mitberechnen.

    Direkte Zuweisung der Intervallgrenzen für die nachfolgende Graphik:

    -5 → xmin
     5 → xmax


    Auch möglich unter ♦Window die Intervallgrenzen für x einzugeben.
    Voreinstellungen bei (x,y-min,max,-10,10).

    DrawFunc ( x^3 – 2*x^2 + 2 )

    Mit der Tastenfolge 2nd, APPS ist es nun möglich, zwischen dem Home- &
    Graphenbildschirm hin & her zu switchen. Desweiteren kann man unter
    Mode/Splitscreen/Left-Right einen geteilten Bildschirm einstellen. Der dicke Rahmen zeigt
    an, in welchen Bildschirm man sich befindet.


    fMin(x^3-2*x^2+2,x) | x>1

    Bei TI92 wird an der Stelle des Minimums der Funktion nur der x-Wert ausgegeben.

   weitere Beispiele

    2.4^45

    ( 24 * 10 ^-1 )^45

    round(ans(1),10)

    Für numerische Darstellung von Brüchen kann die Funktion approx() oder die
    Tastenkombination ♦Enter benutzt werden. Die Anzeige des Ergebnisses wird in diesem
    Fallbeispiel von der Einstellung im Display Digits (Anzeigestellen) beeinflusst.
                                   3. Computeralgebra



Einige Beispiele:
Implementierung/Computeralgebra/Computeralgebra.sav

   Summen und Grenzwerte

    ∑(1/n^2 , n , 1 ,∞)

    limit( sin( x )/ x , x , 0 )


   Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen sowie Ungleichungen

    solve( x^2+2x-7=0,x )
    solve( a*x + y = 0 and 2x +(1-a)*y =1, { x, y })
    solve( x^2 – 2 = 0,x) | x> 0


   Listen

    [1, 2, 3, 4 ,5 ]!

    ->Fakultät wird auf alle Listenelemente angewandt

    ln(ans(1))

    ->Logarithmus wird auf alle Listenelemente angewandt

    ans(i) liefert das Ergebniss einer vorheringen Operationn aus dem Speicher an der Stelle i.
    Bei der Anzeige der Ergebnisse in numerischer Darstellung muss die Tastenkombination
    ♦Enter benutzt werden.

   Transformationsregeln

    Define f(x)=x^2
    f(3)+f(a+b)

    Globale Wertzuweisung auch für Variablen mittels define

    Define a=3
    a^3
    Lokale Wertzuweisung für Variablen und Funktionen innerhalb von Programmen
    mittels local möglich

   Integration

    ∫( x^n, x )

    ∫( log( x )^2 * ( 1 + x^2)/ x , x )

    d((ans(1)),x)

    ∫( sin( sin( x ) ), x , 0 , 1 )




                                          4. Graphik


2D-Graphik

   Polynome
    Implementierung/Graphik/Polynom.sav

    Define f(x)=a*x^3 + 3x^2 -2

    Define d1f= d (f(x),x)

    Define d2f= d (d1f,x)

    d1f

    d2f

    1→a

    DrawFunc f(x)

    DrawFunc d1f

    DrawFunc d2f

    CyclePic “pol”,21,.5,1,1
    Animation liegt schon fertig berechnet vor.

    RclPic polges
   Logarithmusfunktionen
    Implementierung/Graphik/Ln-Funktion.sav

    Define h(x)= ln(a*x+b)^2*sin(x)

    Define d1f= d (h(x),x)

    Define d2f= d (d1f,x)

    d1f

    d2f

    1→a

    2→b

    DrawFunc h(x)

    DrawFunc d1h

    DrawFunc d2h



   3D-Graphik
    Implementierung/Graphik/graph3d.sav

    Implementierung/Graphik/graph3d_seite.sav

    Implementierung/Graphik/graph3d_contour.sav

    Implementierung/Graphik/graph3d+contour.sav



    Erstellung einer 3D Graphik anhand eines Beispiels:

    o Mode / Graph / 3d
    o Eingabe der Funktion im Menü Y(♦W ):
    o Sin(x y)
    o ♦F / Coordinate=Rect, Axes=Box, Labels=On, Style=Hidden Surface
    o ♦E / eyeθ°=-60, eyeΦ°=-43, eyeψ°=2, xmin=0, xmax=3, ymin=0, ymax=3, zmin=-
      1, zmax=+1, xgrid=20, ygrid=20, ncontour=5
    o ♦R

    o Drehen der Graphik durch Cursortasten oder durch genaue Eingabe der
      Winkelansicht, hier:
    o ♦E / eyeθ°=-96, eyeΦ°=90, eyeψ°=2
    o ♦R
    o Ausgabe der Contour der Graphik unter
    o ♦F / Style=Contour Levels

    Ansicht lässt sich leicht ändern durch manuelle Vorgehensweise:
    o   MODE / Splitscreen = LEFT-RIGHT
    o   Split 1 App = Graph
    o   Split 2 App = Graph
    o   Number of Graphs = 2
    o   Graph 2 = 3D

    Oder mittels setMode Funktion im Vorfeld:
    o setMode ({„split screen“ , „Left-Right“ , „Split 1 App“ , „Graph“ , “Split 2 App”,
       “Graph”, “Number of Graphs” , “2” , “Graph2” , “3d”

    Mit 2nd Apps ist es nun möglich, zwischen den beiden Bildschirmen zu switchen und
    jeden getrennt voneinander, wie man es im Vollmodus gewöhnt ist,- zu bearbeiten.




   Animationsgraphik
    Implementierung/Graphik/animation.sav

    Zu animierende Funktion:
    a*sin(x*y)
    Programm erzeugt alle zur Animation nötige Bilder und speichert diese ab. Danach werden
    die Bilder für die Animation nacheinander abgespielt. In diesem Beispiel muss die Funktion
    immer wieder neu berechnet werden, daher längere Berechnungsphase.

    :Schl()
    :Prgm
    :Local i,d
    :setMode(„Graph“,“3D“)
    :setGraph(„axes“,“axes“)
    :-60→eyeθ
    :-43→eyeΦ
    :2→eyeψ
    :0→xmin
    :3→xmax
    :0→ymin
    :3→ymax
    :-2→zmin
    :2→zmax
    :a*sin(x*y) →z1(x,y)
    :for i,1,10,1
    :i/10→a
    :StoPic #(„pics“&string(i))
    :Endfor
    :CyclePic “pics”,10,.2,25,-1
    :EndPrgm
                            5. Spezielle Anwendungen



5.1 Lineare Gleichungssysteme
Implementierung/Spezielle Anwendungen/LGS.sav

   eine Lösung

    solve ( x + 3y – z = 4 and -2x + y + 3z = 9 and 4x + 2y + z = 11 , { x, y, z } )


   unendlich viele Lösungen

    solve ( x + 2y – z = 4 and 2x + 5y + 2z = 9 and x + 4y + 7z = 6 , { x, y, z } )

    Der TI92 plus gibt hier für eine Variable einen symbolischen Wert @ aus.
    Bei älterer ROM-Version kann er aber auch eine Null für die erste Variable ausgeben.

   Keine Lösung

    solve ( -2y + z = -4 and 2x + y – z = -2 and 4x – z = -4 , {x, y, z } )

    Gibt symbolischen Wert „false“ zurück.
    „true“ wird zurückgegeben, wenn jeder reelle Wert die Gleichung/Ungleichung erfüllt.
    Bsp: x=x



5.2 Kurvendiskussion von Funktionenscharen (Polynom 2. Grades)

   Definition

    Define f(x)=ax^2 + bx + c


    Globale Zuweisung von a, b, c

    .3→a

    .5→b

    1→c

    lokale Zuweisung von Parametern innerhalb von Funktionen und Programmen
    mittels local möglich
    f(x)

    f(3)

    Löschen der Zuweisung für a, b, c

    DelVar a, b, c


   Ableitung

    Define d1f=d(f(x),x)

    d1f

    Define d2f=d(d1f,x)

    d2f

    Ableitung mittels konkreter Zuweisung

    .3→a

    .5→b

    1→c

    d1f



   Graphische Darstellung

    DrawFunc f(x)

    DrawFunc d1f

    DrawFunc d2f
5.3 Funktionenscharen bei Parameteränderung
Implementierung/spezielle Anwendungen/Polynom.sav

   Ein Polynom 2. Grades

    Define f(x)=a*x^2+b*x+c
    0.5→b
    1→c
    f(x)

    Für f(x) soll eine Animation erstellt werden.
    Hierfür soll der Parameter a von 0 bis 2 im Abstand 0.1 laufen.
    In der Funktion schleife() wird für das Polynom f(x) für jeden Wert von a ein Bild erzeugt und
    abgespeichert. Das dauert recht lange, da das Polynom jedes Mal komplett neu berechnet und
    dargestellt werden muss.
    Anschließend werden alle erstellten Bilder für die Animation verwandt.

    :schleife()
    :Prgm
    :Local i,d
    :setMode(„Graph“,“function“)
    :-3→xmin
    :3→xmax
    :-1.5→ymin
    :!0→ymax
    :a*x^2+b*x+c→y1(x)
    :for i,1,20,1
    :i/10→a
    :StoPic #(„pics“&string(i))
    :Endfor
    :CyclePic “pics”,10,.5,5,1
    :EndPrgm

				
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posted:3/12/2011
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