Get documents about "Bai giang dai so tuyen tinh va giai tich_tham khao_
Document Sample
´.
Chu.o.ng 1. MA TRAN - DINH THU C (8+4)
ˆ - .
.
I. Ma trˆna
.
* Cho m, n nguyˆn du.o.ng. Ta goi ma trˆn c˜. m × n l` mˆt bang sˆ gˆm m × n
e . a
. o a o ’
. o `
´ o
´
o . .c d u.o.c viˆt th`nh m h`ng, n cˆt c´ dang nhu. sau:
sˆ thu ¯ . ´
e a a o o .
.
a1,1 a1,2 ... a1,n
a a2,2 ... a2,n
(ai,j )m×n = 2,1
... ... ... ...
am,1 am,2 ... am,n
trong d ´ c´c sˆ thu.c
¯o a o . ´
ai,j , i = 1, m, j = 1, n
d u.o.c goi l` c´c phˆn tu. cu a ma trˆn, chı sˆ i chı h`ng v` chı sˆ j chı cˆt cua
¯ . . a a `
a ’ ’ a. ’ o´ ’ a a ’ o ´ ’ o ’
.
phˆn tu. ma trˆn.
`
a ’ a
.
* Ma trˆn c˜. 1 × n d u.o.c goi l` ma trˆn h`ng, ma trˆn c˜. m × 1 d .o.c goi l` ma
a o
. ¯ . . a a
. a a o
. ¯u . . a
a
trˆn cˆt, ma trˆn c˜
o a o . n × n d u.o.c goi l` ma trˆn vuˆng cˆ p n.
¯ . a o ´
a
. . . . a .
* Trˆn ma trˆn vuˆng cˆ p n, d .`.ng ch´o gˆm c´c phˆn tu.
e a
. o a´ ¯u o e ` o a `
a ’
ai,i , i = 1, n
d u.o.c goi l` d u.`.ng ch´o ch´
¯ . . a¯ o e ınh, d .`.ng ch´o gˆm c´c phˆn tu.
¯u o e ` o a `
a ’
ai,n+1−i , i = 1, n
d u.o.c goi l` d u.`.ng ch´o phu cua ma trˆn.
¯ . . a¯ o e . ’ a.
* Ma trˆn vuˆng cˆ
a
. o ´p n c´ c´c phˆn tu. n˘ m ngo`i d u.`.ng ch´o ch´ d` u b˘ ng 0,
a o a `
a `
’ a a ¯ o e ınh ¯ˆ `
e a
ıa a
ngh˜ l`:
ai,j = 0, ∀i = j
d u.o.c goi l` ma trˆn ch´o.
¯ . . a a
. e
a e o
* Ma trˆn ch´o c´
.
ai,i = 1, i = 1, n
d u.o.c goi l` ma trˆn d o.n vi cˆ p n, k´ hiˆu In .
¯ . . a a ¯
. . a´ y e .
* Ma trˆn c˜
a o . m × n c´o
.
ai,j = 0, ∀i, j : i > j
d u.o.c goi l` ma trˆn bˆc thang.
¯ . . a a
. a.
a o
* Ma trˆn c˜ . m × n c´ c´c phˆn tu. d` u b˘ ng 0 d u.o.c goi l` ma trˆn khˆng, k´
o a a ’ ¯ˆ `
` e a ¯ . a o
. . a . y
hiˆu 0m,n .
e
.
* Ta goi ma trˆn chuyˆ n vi
. a
. e’ .
a1,1 a2,1 ... am,1
a a2,2 ... am,2
AT = (aj,i )n×m = 1,2
... ... ... ...
a1,n a2,n ... am,n
Typeset by AMS-TEX
2
’ a
cua ma trˆn
.
a1,1 a1,2 ... a1,n
a2,1 a2,2 ... a2,n
A = (ai,j )m×n =
... ... ... ...
am,1 am,2 ... am,n
l` ma trˆn c´ d u.o.c t`. A b˘ ng c´ch chuyˆn h`ng th`nh cˆt, cˆt th`nh h`ng.
a a o ¯ . u
. `
a a ’
e a a o o
. . a a
. (a ) .o.c goi l` b˘ ng nhau nˆu c´c phˆn
` ´ `
* Hai ma trˆn c` ng c˜ i,j m×n v` (bi,j )m×n d u .
a u
. o a ¯ . a a e a a
tu. o. t`.ng vi tr´ d` u b˘ ng nhau:
’ ’ u . e `
ı ¯ˆ a
ai,j = bi,j , ∀i = 1, m, ∀j = 1, n.
+ Tˆ ng (hiˆu) cua hai ma trˆn c` ng c˜. m × n l` mˆt ma trˆn c˜. m × n, trong d ´
o’ e
. ’ a u
. o a o . a o
. ¯o
phˆn tu. cua ma trˆn tˆ ng (hiˆu) l` tˆ ng (hiˆu) c´c phˆn tu. o. vi tr´ tu.o.ng u.ng:
`
a ’ ’ a o
. ’ e
. a o ’ e
. a `
a ’ ’ . ı ´
(ci,j )m×n = (ai,j )m×n ± (bi,j )m×n
v´.i
o
ci,j = ai,j ± bi,j , ∀i = 1, m, ∀j = 1, n.
+ T´ vˆ hu.´.ng cua sˆ thu.c α v´.i ma trˆn c˜. m × n l` ma trˆn c˜. m × n, trong d ´
ıch o o ´
’ o . o a o
. a a o
. ¯o
mˆi phˆn tu. l` t´ cua α v´.i phˆn tu. o. vi tr´ tu.o.ng u.ng cua ma trˆn ban d` u:
o˜ `
a ’ a ıch ’ o `a ’ ’ . ı ´ ’ a
. a
¯ˆ
(ci,j )m×n = α.(ai,j )m×n
v´.i
o
ci,j = α.bi,j , ∀i = 1, m, ∀j = 1, n.
+ T´ vˆ hu.´.ng c´ t´ phˆn bˆ v´.i ph´p cˆng c´c ma trˆn: α.(A + B) = α.A + α.B,
ıch o o o ınh a o o ´ e o . a a
.
v´
o.i ph´p cˆng c´c hˆ sˆ: (α + β).A = α.A + β.B, c´ t´ kˆt ho.p:
e o a e o ´ ´
o ınh e .
. .
α.(β · A) = (α.β) · A.
ıch ’ a
+ T´ cua hai ma trˆn A = (ai,j )m×n v` B = (bj,k )n×q l` ma trˆn
. a a a
.
C = A × B = (ci,k )m×q ,
v´.i
o
n
ci,k = ai,j bj,k , ∀i = 1, m, ∀k = 1, q.
j=1
ı .
V´ du.
1 3 2 1 3 1.1 + 3.1 + 2.3 1.3 − 3.1 + 2.2 10 4
2 4 7 × 1 −1 = 2.1 + 4.1 + 7.3 2.3 − 4.1 + 7.2 = 27 16
3 5 6 3 2 3.1 + 5.1 + 6.3 3.3 − 5.1 + 6.2 26 16
3
+ Ph´p nhˆn hai ma trˆn c´ t´ kˆt ho.p: A × (B × C) = (A × B) × C, t´ phˆn
e a ´ .
a o ınh e
. ınh a
´ ´
phˆi d oi v´
o ¯ˆ o .i ph´p cˆng:
e o .
A × (B + C) = A × B + A × C; (A + B) × C = A × C + B × C.
Ngo`i ra, nˆu A c´ c˜. m × n, th`
a ´
e o o ı
A × In = Im × A = A.
II. Dinh th´.c
-. u
a . ’ a
* Cho E = {1, 2, 3, . . . , n}. Ta goi ho´n vi cu a tˆp E l` mˆt song ´nh f : E → E,
. . a o
. a
y e
k´ hiˆu
.
1 2 ... n
f:
f (1) f (2) . . . f(n)
hay
(f (1), f(2), . . . , f (n))
´
o a ’ a . a
(c´ tˆ t ca n! ho´n vi kh´c nhau).
V´ du. Cho E = {1, 2, 3}. Anh xa f : E → E x´c d .nh bo.i: f (1) = 1, f(2) = 3, f(3) = 2
ı . ´ . a ¯i ’
a o a . ’ y e a
l` mˆt ho´n vi cua E, k´ hiˆu l`
. .
1 2 3
1 3 2
a
ho˘c
.
(1, 3, 2).
o a .
* Cho mˆt ho´n vi
.
1 2 ... n
f:
f (1) f (2) ... f(n)
ta th`nh lˆp c´c c˘p th´. tu.
a a a a
. . u .
(f (i), f(j)), ∀i = j,
s˜ c´ Cn c˘p th´. tu. nhu. thˆ; mˆt c˘p (f (i), f(j)) d .o.c goi l` nghich thˆ nˆu
e o 2 a . u . ´ . .
e o a ¯u . . a . ´ ´
e e
(i − j)(f (i) − f (j)) < 0.
Goi N (f ) l` sˆ c´c nghich thˆ cua ho´n vi f (c´ trong Cn c˘p th´. tu. trˆn).
. ´
a o a . ´
e ’ a . o 2
a
. u . e
ı .
V´ du. T` sˆ
ım o ´ ’
´ nghich thˆ cua ho´n vi
. e a .
1 2 3 4 5
f : .
3 2 1 5 4
4
T`. ho´n vi n`y, ta c´ c´c c˘p th´. tu.
u a . a o a a . u .
(3, 2), (3, 1), (3, 5), (3, 4), (2, 1), (2, 5), (2, 4), (1, 5), (1, 4), (5, 4),
¯´ o a ´
e
trong d o ta c´ c´c nghich thˆ:
.
(3, 2), (3, 1), (2, 1), (5, 4),
suy ra N (f ) = 4
* Cho ma trˆn (A)n,n . Dinh th´.c cu a A l` mˆt sˆ thu.c, k´ hiˆu v` x´c d inh nhu.
a
. -. u ’ . ´
a o o . y e a a ¯.
.
sau:
det(A) = (−1)N (f ) a1,f (1) a2,f (2) . . . an,f (n)
f ∈Sn
trong d ´ Sn l` tˆp tˆ t ca n! ho`n vi cua n phˆn tu. {1, 2, . . . , n}. Nhu. vˆy, d inh
¯o a a a ’
. ´ a . ’ `
a ’ a ¯.
.
u
th´.c cua ma trˆn A l` mˆt sˆ:
’ a a o o ´
. .
+ b˘ ng tˆ ng d . i sˆ cua n! hang tu. dang
`
a o’ ¯a o ’ ´ . ’ .
a1,f (1) a2,f (2) . . . an,f (n)
+ mˆi hang tu. l` t´ cua n phˆn tu. ai,j m` mˆi h`ng, mˆi cˆt phai c´ mˆt
˜
o . ’ a ıch ’ `a ’ ˜
a o a ˜ .
o o ’ o o .
a ’ o `
a ’
v` chı mˆt phˆn tu . tham gia v`o t´ d ´.
a ıch ¯o
.
+ dˆ u cua mˆi hang tu. phu thuˆc v`o sˆ nghich thˆ cua ho´n vi tu.o.ng u.ng.
´ ’
a ˜
o . ’ . o a o
. ´ . ´
e ’ a . ´
* Ta goi d inh th´.c cˆ p 2 l` gi´ tri t´ d u.o.c t`. bang 2 h`ng, 2 cˆt nhu. sau:
. ¯. u ´
a a a . ınh ¯ . u ’ a o
.
a1,1 a1,2
= a1,1 a2,2 − a2,1 a1,2
a2,1 a2,2
* Ta goi d inh th´.c cˆ p 3 l` gi´ tri t´ d u.o.c t`. bang 3 h`ng, 3 cˆt nhu. sau:
. ¯. u ´
a a a . ınh ¯ . u ’ a o
.
a1,1 a1,2 a1,3
a2,1 a2,2 a2,3 = a1,1 a2,2 a3,3 + a2,1 a3,2 a1,3 + a3,1 a1,2 a2,3
a3,1 a3,2 a3,3
− a3,1 a2,2 a1,3 − a2,1 a1,2 a3,3 − a1,1 a3,2 a2,3
+ Dˆ t´ nhanh d .nh th´.c cˆ p 3, ta viˆt cˆt th´. nhˆ t v` th´. hai tiˆp theo v`o bˆn
- e ınh
’ ¯i u a ´ ´ .
e o u ´
a a u ´
e a e
’ ’ o e
phai bang n´i trˆn:
a1,1 a1,2 a1,3 a1,1 a1,2
a2,1 a2,2 a2,3 a2,1 a2,2
a3,1 a3,2 a3,3 a3,1 a3,2
ı ` . lˆ y dˆ u cˆng l` t´ c´c phˆn tu. n˘ m trˆn c´c d .`.ng ch´o song song
a ’ ´ ´ .
th` 3 phˆn tu a a o a ıch a `a ’ a ` e a ¯u o e
.i d .`.ng ch´o ch´
v´ ¯u o
o e ` . lˆ y dˆ u tr`. l` t´ c´c phˆn tu. n˘ m trˆn c´c
a ’ ´ ´
ınh, ba phˆn tu a a u a ıch a `
a ’ a ` e a
¯ .`.ng ch´o song song v´.i d .`.ng ch´o phu (quy t˘c Serrhus)
du o e o ¯u o e ´
a
.
5
* Ta goi d inh th´.c cˆ p n l` gi´ tri t´ d u.o.c t`. bang:
. ¯. u ´
a a a . ınh ¯ . u ’
a1,1 a1,2 ... a1,n
a2,1 a2,2 ... a2,n
= a1,1 D1 − a2,1 D2 + · · · + (−1)n+1 an,1 Dn
... ... ... ...
an,1 an,2 ... an,n
trong d ´ Dk l` d .nh th´.c cˆ p n − 1 thu d .o.c t`. bang d a cho b˘ ng c´ch bo cˆt
¯o a ¯i u a ´ ¯u . u ’ ¯˜ `
a a ’ o.
th´. nhˆ t v` h`ng th´. k, k = 1, n.
u ´
a a a u
ı .
V´ du.
1 4 5 2
3 3 1 4 5 2 4 5 2 4 5 2
0 3 3 1
= 1. 0 4 0 − 0. 0 4 0 + 2. 3 3 1 − 0. 3 3 1 = 14
2 0 4 0
0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 4 0
0 0 2 1
+ Dinh th´.c khˆng thay d o i nˆu ta d ˆ i h`ng th`nh cˆt
-. u o ’ ´
¯ˆ e ’
¯o a a o
.
+ - inh th´.c d ˆ i dˆ u nˆu ta d ˆ i chˆ hai h`ng (ho˘c hai cˆt) v´.i nhau
D. ’ a e
u ¯o ´ ´ ¯o ’ ˜
o a a
. o
. o
+ Dinh th´.c c´ hai h`ng (ho˘c hai cˆt) ty lˆ v´.i nhau nhau th` b˘ ng 0
-. u o a a
. o
. ’ e o
. ı `a
+ Th` o.a sˆ chung cua mˆt h`ng hay cˆt c´ thˆ d u.a ra ngo`i dˆ u cua d nh th´.c
u ´ ’ o a o o e ¯ ’ ´ ’ ¯i
a a u
. . .
+ - inh th´.c khˆng thay d ˆ i nˆu ta d` ng th`.i cˆng v`o c´c phˆn tu. cua mˆt h`ng
D. u o ¯o ’ e ´ ¯ˆo o o . a a `
a ’ ’ o a
.
(hay mˆt cˆt) n`o d ´ c´c phˆn tu. cua mˆt h`ng (hay mˆt cˆt) kh´c nhˆn v´.i c` ng
o o
. . a ¯o a `
a ’ ’ o a
. o o
. . a a o u
. ´
o o
mˆt sˆ.
V´ du. Giai phu.o.ng tr`
ı . ’ ınh:
1 1 1 ... 1
1 1−x 1 ... 1
1 1 2−x ... 1 = 0.
... ... ... ... ...
1 1 1 ... n−x
Dinh th´.c o. vˆ tr´i cua phu.o.ng tr` l` d th´.c bˆc n nˆn c´ khˆng qu´ n nghiˆm
-. ´
u ’ e a ’ ınh a ¯a u a . e o o a e.
kh´c nhau. Thay x = 0, x = 1, x = 2, . . . , x = n − 1 v`o d .nh th´.c, ta luˆn c´ hai
a a ¯i u o o
h`ng v´.i c´c phˆn tu. b˘ ng 1, nˆn d inh th´.c b˘ ng 0. Vˆy phu.o.ng tr` c´ n nghiˆm
a o a `
a ’ a ` e ¯. u a` a
. ınh o e.
x = 0, x = 1, x = 2, . . . , x = n − 1.
* Dinh th´.c cua ma trˆn vuˆng A = (ai,j )n×n , k´ hiˆu det(A) l` d .nh th´.c cˆ p n
-. u ’ a
. o y e . a ¯i u a ´
’ ’
cua bang
a1,1 a1,2 . . . a1,n
a2,1 a2,2 . . . a2,n
... ... ... ...
an,1 an,2 . . . an,n
a o ınh a ´
v` c´ t´ chˆ t:
+ det(αA) = αn . det(A)
+ det(A × B) = det(A). det(B)
III. Ma trˆn nghich d ’ o
a
. . ¯a
6
* Ma trˆn A = (ai,j )n×n d u.o.c goi l` ma trˆn kha nghich nˆu tˆn tai ma trˆn A−1
a
. ¯ . . a a
. ’ . ´ o
e ` . a
.
sao cho:
A × A−1 = A−1 × A = In .
Khi d o, ma trˆn A−1 d u.o.c goi l` ma trˆn nghich d a o cua A.
¯´ a
. ¯ . . a a
. . ¯’ ’
a ’ a ’
+ Ma trˆn A kha nghich khi v` chı khi
. .
det A = 0.
* Cho A = (ai,j )m×n . Mˆt d inh th´.c con cˆ p k (1 ≤ k ≤ n) cua A l` mˆt d inh
o ¯.
. u ´
a ’ a o ¯.
.
u.c tao th`nh t`. ma trˆn A b˘ ng c´ch bo d i m − k h`ng v` n − k cˆt.
th´ . a u a `
a a ’ ¯ a a o
. .
a o a´ ’
* Cho ma trˆn vuˆng cˆ p n kha nghich
. .
a1,1 a1,2 ... a1,n
a a2,2 ... a2,n
A = 2,1
... ... ... ...
an,1 an,2 ... an,n
Phˆn b` d ai sˆ cua phˆn tu. ai,j , l` sˆ Ai,j = (−1)i+j Di,j trong d ´ Di,j l` d inh
`a u ¯. o ’ ´ `a ’ ´
a o ¯o a ¯.
.c cˆ p n − 1 cua bang thu d u.o.c t`. ma trˆn A b˘ ng c´ch gach bo h`ng th´. i v`
u ´
th´ a ’ ’ ¯ . u a `
a a ’ a u a
. .
cˆt th´. j.
o
. u
a
+ Cho A l` ma trˆn vuˆng kha nghich cˆ p n v` ∆ = det A = 0. Khi d o ma trˆn
a
. o ’ . ´
a a ¯´ a
.
nghich d a
. ¯ ’ o cua A d u.o.c x´c d .nh mˆt c´ch duy nhˆ t bo.i:
’ ¯ . a ¯i o a
. ´ ’
a
1 T
A−1 = Ai,j
∆
A1,1 A2,1 ... Dn,1
1 A1,2 A2,2
... Dn,2
=
∆ ... ... ... ...
A1,n A2,n ... Dn,n
ı . a . ¯’ ’
V´ du. Ma trˆn nghich d ao cua
.
1 −1 1
A = 2 1 1
1 1 2
a
l`:
1 3 −2
1
A−1 = −3 1 1
5
1 −2 3
ı:
v`
∆ = det A = (1)(1)(2)+(2)(1)(1)+(1)(−1)(1)−(1)(1)(1)−(2)(−1)(2)−(1)(1)(1) = 5 = 0
7
a
v`:
1 1 2 1 2 1
A1,1 = (−1)1+1 = 1; A1,2 = (−1)1+2 = −3; A1,3 = (−1)1+3 = 1;
1 2 1 2 1 1
−1 1 1 1 1 −1
A2,1 = (−1)2+1 = 3; A2,2 = (−1)2+2 = 1; A2,3 = (−1)2+3 = −2
1 2 1 2 1 1
−1 1 1 1 1 −1
A3,1 = (−1)3+1 = −2; A3,2 = (−1)3+2 = 1; A3,3 = (−1)3+3 =3
1 1 2 1 2 1
´
ınh a
+ T´ chˆ t:
1 −1
− Cho A kha d ao v` k = 0, th` (kA)−1 =
’ ¯’ a ı: A
k
− Cho A, B c` ng cˆ p v` kha d ao, th` (A × B)−1 = B −1 × A−1
u ´
a a ’ ¯’ ı:
−1
−1
− Cho A kha d ao th` A c˜ ng kha d ao v` A−1
’ ¯’ ı u ’ ¯’ a =A
`
Phˆn I.4: Hang cua ma trˆn
a . ’ a.
. . ’ a
* Ta goi hang cu a ma trˆn A = (ai,j )m×n , k´ hiˆu r(A) l` cˆ p cao nhˆ t cua c´c
. y e . a a´ ´
a ’ a
d inh th´
¯. u .c con kh´c 0 cua A.
a ’
+ Hang cu
. ’ a ma trˆn 0m×n l` 0, hang cua ma trˆn A = (a) v´.i a = 0 l` 1.
a. a . ’ a. o a
+ Hang cua ma trˆn khˆng thay d ˆ i qua c´c ph´p biˆn d ˆ i so. cˆ p sau d ˆy:
. ’ a. o ¯o ’ a e ´
e ¯o’ ´
a ¯a
- ˆ i chˆ hai h`ng ho˘c hai cˆt cho nhau;
a. Do ’ ˜
o a a. o
.
b. Nhˆn mˆt h`ng (hay mˆt cˆt) v´.i mˆt sˆ kh´c 0;
a o a
. o o
. . o . ´
o o a
c. Cˆng v`o mˆt h`ng (hay mˆt cˆt) v´.i mˆt h`ng (hay mˆt cˆt) kh´c nhˆn
o
. a o a
. o o
. . o o a
. o o
. . a a
v´.i mˆt sˆ.
o o o
. ´
Dˆ t` hang cua ma trˆn Amtimesn , c´ thˆ d` ng c´c phu.o.ng ph´p sau:
- e ım .
’ ’ a
. o e u ’ a a
+ Phu .o.ng ph´p theo d inh ngh˜ t´ c´c d inh th´.c con t`. cˆ p 2 tro. lˆn. Gia
a ¯. ıa: ınh a ¯. u u a ´ ’ e ’
su’. ma trˆn c´ 1 d nh th´.c con cˆ p r kh´c 0, t´ tiˆp c´c d inh th´.c cˆ p r + 1, nˆu
a o ¯i u a´ a ´
ınh e a ¯. u a ´ ´
e
. .
tˆ t ca d` u b˘ ng 0 th` kˆt luˆn hang ma trˆn l` r, nˆu c´ d inh th´.c cˆ p r + 1 kh´c
´
a ’ ¯ˆ a e ` ı e´ a . . a a
. ´
e o ¯. u a ´ a
0 th` t´ tiˆp c´c d inh th´.c cˆ p r + 2, c´. nhu. thˆ dˆn d .nh th´.c cˆ p l´.n nhˆ t
´
ı ınh e a ¯. u a ´ u ´ ´
e ¯e ¯i ´
u a o ´
a
V´ du. T` hang cua ma trˆn
ı . ım . ’ a
.
1 2 3 5
A = 3 2 4 9
1 0 1 4
1 2
Ta c´ d .nh th´.c con cˆ p 2:
o ¯i u ´
a = −4 = 0, v` c´c d .nh th´.c cˆ p 3:
a a ¯i u a ´
3 2
1 2 3 1 2 5 1 3 5 2 3 5
3 2 4 = 0; 3 2 9 = 0; 3 4 9 = 0; 2 4 9 =0
1 0 1 1 0 4 1 1 4 0 1 4
suy ra r(A) = 2
8
+ Phu.o.ng ph´p d`ng ph´p biˆn d ˆ i so. cˆ p: biˆn d ˆ i ma trˆn vˆ dang bˆc
a u e ´
e ¯o ’ ´
a ´
e ¯o’ a ` .
. e a
.
thang
b1,1 b1,2 . . . b1,r . . . b1,n
0 b2,2 . . . b2,r . . . b2,n
... ... ... ... ... ...
B =
0 0 . . . br,r . . . br,n
0 0 ... 0 ... 0
0 0 ... 0 ... 0
v´.i bi,j = 0, ∀i > j hay i > r v` bii = 0, i = 1, r th` r(A) = r(B) = r.
o a ı
ı . ım .
V´ du. T` hang ma trˆn a
.
1 3 2 0 5
2 6 9 7 12
A=
−2 −5 2 4 5
1 4 8 4 20
1 3 2 0 5 1 3 2 0 5
h2−2h1;h3+2h1;h4−h1 0 0 5 7 2 h4−h3;h2↔h3 0 1 6 4 15
A −→ −→
0 1 6 4 15 0 0 5 7 2
0 1 6 4 15 0 0 0 0 0
suy ra r(A) = 3
+ Ngo`i ra, c´ thˆ t` ma trˆn nghich d a o qua c´c ph´p biˆn d ˆ i so. cˆ p:
a ’
o e ım a
. . ¯’ a e ´
e ¯o ’ ´
a
a a o´ u o. v´.i A, thu.c hiˆn c´c ph´p biˆn d o i so. cˆ p CHI
lˆp ma trˆn khˆi A|E (E c` ng c˜ o e a e ´
e ¯ˆ ’ ´
a ’
. . . .
TREN HANG, nˆu d .a d .o.c vˆ dang E|B th` B l` nghich d ao cua A.
ˆ `
e ¯u ¯u . ` .
´ e ı a
. ¯’ ’
1 −1 1 | 1 0 0 1 −1 1 | 1 0 0
h2−2h1,h3−h1
V´ du. A|E = 2 1 1 | 0 1 0
ı . −→ 0 3 −1 | −2 1 0
1 1 2 | 0 0 1 0 2 1 | −1 0 1
1 −3 0 | 2 0 −1 h2( 1 ) 1 −3 0 | 2 0 −1
h1−h3,h2+h3
−→ 0 5 0 | −3 1 1 −→ 0 1 0 | −3/5 1/5 1/5
5
2
0 1 | −1 0 1 0 2 1 | −1 0 1
1 0 0 | 1/5 3/5 −2/5
h1+3h2,h3−2h2
−→ 0 1 0 | −3/5 1/5 1/5 thu d u.o.c kˆt qua nhu. c˜ .
¯ . e ´ ’ u
0 1 1 | 1/5 −2/5 3/5
`
BAI TAP ˆ
.
o ınh, ch´.ng minh c´c d inh th´.c sau chia hˆt cho 17:
1.1. Khˆng t´ u a ¯. u ´
e
2 0 4 3 2 3
5 2 7 ; 20 9 1
2 5 5 55 2 5
1.2. Ch´.ng minh c´c d ang th´.c sau d ˆy (khˆng t´ d .nh th´.c b˘ ng d .nh ngh˜
u a ¯˘ ’ u ¯a o ınh ¯i u ` a ¯i ıa):
9
0 x y z 0 1 1 1
x 0 z y 1 0 z2 y2
a. = v´.i xyz = 0
o
y z 0 x 1 z 2 0 x2
x y z 0 1 y 2 x2 0
1 x yz
b. 1 y zx = (x − y)(y − z)(z − x)
1 z xy
1 1 1
c. x y z = (x + y + z)(x − y)(y − z)(z − x)
x3 y 3 z 3
1.3. ım
T` x sao cho:
3 3 − x −x x x+1 x+2
a. 2 7 3 =0 b. x + 3 x + 4 x+5 =0
x + 1 3x − 7 x x+6 x+7 x+8
2
1 x x x 1 2
c. 3 1 x <0 d. 1 x 3 >0
4 5 1 x + 1 2 −4
x 1 1 1 1
0 1 1 0 1 x x x
1 x 1 1 1
0 0 1 1 1 a 0 0
1.4. T´ c´c d .nh th´.c sau:
ınh a ¯i u ; ; 1 1 x 1 1 ;
1 0 0 1 1 0 b 0
1 1 1 x 1
1 1 0 0 1 0 0 c
1 1 1 1 x
1 x x2 x3
a+x x x x2 + 1 xy xz
x3 x2 x 1
a b+x x ; xy y2 + 1 yz ; ;
2 1 2x 3x2 4x3
x x c+x xz yz z +1
4x3 3x2 2x 1
a x x −x −x
0 x y z 2 x 1 x x 0 y 0
x 2a a 0 0
x 0 z y 1 x 2 x 0 z 0 t
; ; ; x a 2a 0 0 ;
y z 0 x 2 1 x x y 0 z 0
−x 0 0 2a a
x y z 0 x x 2 1 0 t 0 x
−x 0 0 a 2a
1 2 3 ... n x a a ... a
2 1 2 ... n−1 a x a ... a
3 2 1 ... n−2 ; a a x ... a ;
... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
n n−1 n−2 ... 1 a a a a x
0 1 1 ... 1 1
cos(x1 − y1 ) cos(x1 − y2 ) ... cos(x1 − yn ) 1 0 x ... x x
cos(x2 − y1 ) cos(x2 − y2 ) ... cos(x2 − yn ) 1 x 0 ... x x
; ;
... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
cos(xn − y1 ) cos(xn − y2 ) ... cos(xn − yn ) 1 x x ... 0 x
1 x x ... x 0
10
a1 −a2 0 ... 0 0
1 + x1 y1 1 + x1 y2 ... 1 + x1 yn 0 a2 −a3 ... 0 0
1 + x2 y1 1 + x2 y2 ... 1 + x2 yn 0 0 a3 ... 0 0
;
... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
1 + xn y1 1 + xn y2 ... 1 + xn yn 0 0 0 ... an−1 −an
1 1 1 ... 1 1 + an
2 1 2 1 −2
1.5. Cho A = 3 0 1 v` B = 4
a 6 . T` A2 , AB, A−1 .
ım
0 1 2 5 −3
n n n
2 −1 a 1 cos x − sin x
1.6. T` c´c ma trˆn
ım a a
. ; ;
3 −2 0 a sin x cos x
1 2
1.7. Cho A = . T` f (A) v´.i f (x) = x2 − 4x + 3, f (x) = x2 − 2x + 1.
ım o
2 1
1.8.
2 1 1 1 2 −2
a. Cho A = 3 1 2 v` B = 2 3 1 .
a
1 −1 0 1 2 2
1. T` A−1 , B −1 .
ım
2. T` f (A), f(B) v´.i f (x) = x2 − x − 1
ım o
2 1 0 0 1 3 −5 7
3 2 0 0 0 1 2 −3
ım a
. . ¯’ ’
b. T` ma trˆn nghich d ao cua A =
1 1 3 4
; B=
0 0 1 2
.
2 −1 2 3 0 0 0 1
1.9.
a. T` ma trˆn vuˆng cˆ p hai c´ b` phu.o.ng b˘ ng ma trˆn khˆng.
ım a. o ´
a o ınh `
a a
. o
ım a o ´
a
b. T` ma trˆn vuˆng cˆ p hai c´ b` phu
o ınh .o.ng b˘ ng ma trˆn d .n vi.
`
a a ¯o .
. .
1.10. T` ma trˆn X sao cho:
ım a.
1 2 3 5 3 −2 −1 2
×X = ; X× = ;
3 4 5 9 5 −4
5 6
1 2 −3 1 −3 0 1 1 −1 1 −1 3
3 2 −4 ×X = 10 2 7 ; X× 2 1 0 = 4 3 2 ;
2 −1 0 10 7 8 1 −1 1 1 −2 5
2 1 −3 2 −2 4
×X × = ;
3 2 5 −3 3 −1
4 1 2 1 5 0
×X × = ;
3 −1 5 3 6 1
1 1 1
X× 0 1 1 − 2 2 1 −1 = 1 0 5
;
3 0 6 −1 −2 1
0 0 1
1 2 2 3 5 1 5
2 5 4 × X + 7 6 = 3 −1 2 ;
2 4 5 2 1 −2 0
11
1 1 1 ... 1 1 2 3 ... n
0 1 1 ... 1 0 1 2 ... n − 1
0 0 1 ... 1 ×X = 0 0 1 . . . n − 2 .
... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
0 0 0 ... 1 0 0 0 ... 1
’
1.11. T` hang cua ma trˆn sau:
ım . a
.
2 1 1 1
2 1 11 2 1 3 2 0 5
1 3 1 1
1 0 4 −1 2 6 9 7 12
; 1 1 4 1 ; ;
11 4 56 −5 −2 −5 2 4 5
1 1 1 5
2 −1 5 −6 1 4 8 4 20
1 1 1 1
1 2 3 14
3 1 −3 1 1
3 2 1 11 1 3 5 7 9 1
1 −2 3 −4 5 2 ; 2 −1 7 −3 2
1 1 1 6 ;
1 3 −2 5 3
2 3 −1 5 2 11 12 25 22 4
3 −2 7 −5 3
1 1 0 3
´
1.12. Biˆn luˆn theo a sˆ hang ’ a c´c ma trˆn sau:
e . a
. o . cu a a.
−1 2 1 1 a −1 2 a 1 1 4
2 a −2 ; 2 −1 a 5 ; 1 a 1 3 ;
3 −6 (a + 3)(a + 7) 1 10 −6 1 1 2a 1 4
3 1 1 4 1 4 3 6 1 2 −1 3 2
a 4 10 1 −1 0 1 1 2 −1 a2 0 4
; ;
1 7 17 3 2 1 −1 0 3 1 2 2 7
2 2 4 3 0 2 a 4 1 2 a 1 1
ım a a . ’
1.13. T` c´c gi´ tri cua m dˆ: ¯e ’
3 4 5 7 1
2 6 −3 4 2
a. r(A) = 2 v´.i A =
o
4 2 13 10 0
5 0 21 13 m
1 2 3 −1 1
3 2 1 −1 1
b. r(A) = 3 v´.i A =
o
2 3 1 1 1
5 5 2 0 2m + 1
1 4 3 6
−1 0 1 1
c. r(A) = 3 v´.i A =
o
2 1 −1 0
0 2 m 4
3 1 1 4
m 4 10 1
d. r(A) = 2 v´.i A =
o
1 7 17 3
2 2 4 3
m 1 1 1
1 1 m 1
e. r(A) = 2 v´.i A =
o
1 1 1 m
1 m 1 1
12
-ooOoo-
13
. .
Chu.o.ng 2. HE PHU O NG TR`
ˆ
. INH TUYEN T´ ´
ˆ INH (2+2)
a ¯i
I. C´c d .nh ngh˜ ıa
* Ta goi hˆ phu.o.ng tr`
. e . ınh tuyˆn t´ e ınh m phu.o.ng tr`
´ ’
a a e o .
ınh n ˆ n l` hˆ c´ dang
.
a1,1 x1 + a1,2 x2 + · · · + a1,n xn = b1
...
(1)
a2,1 x1 + a2,2 x2 + · · · + a2,n xn = b2
am,1 x1 + am,2 x2 + · · · + am,n xn = bm
trong d o ai,j , bi (i = 1, m, j = 1, n) l` c´c hˆ sˆ (thu.c ho˘c ph´.c), x1 , x2 , . . . , xn l` c´c
¯´ a a e o . ´ . a. u a a
’n sˆ. Hˆ phu.o.ng tr` tuyˆn t´ d u.o.c goi l` c´ nghiˆm (hay tu.o.ng th´
a
ˆ o ´ e. ınh ´
e ınh ¯ . . a o e
. ıch) nˆu ´
e
a e. ’ o a o
tˆp nghiˆm cua n´ kh´c rˆng.
. ˜
+ Hˆ (1) c´ thˆ d u.o.c viˆt du.´.i dang ma trˆn AX = B trong d ´:
e
. o e ¯ .’ e´ o . a. ¯o
a1,1 a1,2 . . . a1,n x1 b1
a a2,2 . . . a + 2, n
A = 2,1 ; X = x2 ; B = b2 hay
... ... ... ... .
.x .
.b
am,1 am,2 . . . am,n . n . m
a1,1 a1,2 . . . a1,n b1
a a2,2 . . . a + 2, n b2
du.´.i dang ma trˆn mo. rˆng: A = 2,1
o . a
. ’ o . , khi d o hang
¯´ .
... ... ... ... ...
am,1 am,2 . . . am,n bm
r(A) cua A d u.o.c goi l` hang cu a hˆ phu.o.ng tr`
’ ¯ . . a . ’ e
. ınh (1)
e
II. Hˆ Cramer
.
* Hˆ (1) c´ sˆ phu.o.ng tr` b˘ ng sˆ nghiˆm (m = n) v` d .nh th´.c det(A) = 0 d u.o.c
e
. o o ´ ınh a ` ´
o e
. a ¯i u ¯ .
. a e
goi l` hˆ Cramer.
.
Di
+ Hˆ Cramer c´ nghiˆm duy nhˆ t d u.o.c x´c d .nh nhu. sau: ∀i = 1, n, xi =
e
. o e
. ´
a ¯ . a ¯i , trong
D
d ´ D = det(A), c`n Di l` d inh th´.c thu d .o.c t`. D b˘ ng c´ch thay cˆt th´. i b˘ ng
¯o o a ¯. u ¯u . u `
a a o
. u `
a
. do.
. . ´
o e o .
cˆt hˆ sˆ tu
x1 + 2x2 + 3x3 = 6
V´ du. Giai hˆ:
ı . ’ e . 2x1 − x2 + x3 = 2
3x1 + x2 − 2x3 = 2
1 2 3
Do D = 2 −1 1 = 30 = 0, hˆ c´ nghiˆm duy nhˆ t (1, 1, 1):
e o
. e
. ´
a
3 1 −2
6 2 3 1 6 3 1 2 6
1 1 1
x= 2 −1 1 = 1; y = 2 2 1 = 1; z = 2 −1 2 = 1
30 30 30
2 1 −2 3 2 −2 3 1 2
a ¯i y `
III. C´c d .nh l´ vˆ nghiˆm cua hˆ (Kronecker-Kapeli)
e e. ’ e
.
+ (1) c´ nghiˆm (tu
o e .o.ng th´ a ’
ıch) khi v` chı khi r(A) = r(A).
.
o e a´ a ¯. a ’
+ (1) c´ nghiˆm duy nhˆ t (x´c d inh) khi v` chı khi r(A) = r(A) = n.
.
+ nˆ ´u r(A) = r(A) = r < n th` (1) c´ vˆ sˆ nghiˆm v` c´c th`nh phˆn nhiˆm phu
e ı o o o ´ e
. a a a `
a e. .
thuˆc n − r tham sˆ tu` y.
o
. ´
o y´
14
ax1 + x2 + x3 = 1
V´ du. Biˆn luˆn theo a sˆ
ı . e. a. o´ nghiˆm cua hˆ:
e
. ’ e . x1 + ax2 + x3 = 1
x1 + x2 + ax3 = 1
u a e ´ ’
D` ng c´c ph´p biˆn d o i so a ¯ˆ a ¯. . . cˆ p d e x´c d inh hang cua A v` A
´ ’ ’
e
¯ˆ a
a 1 1 | 1 1 1 a | 1
h1↔h3
A = 1 a 1 | 1 −→ 1 a 1 | 1
1 1 a | 1 a 1 1 | 1
1 1 a | 1 1 1 a | 1
h2−h1 h3+h2
−→ 0 a − 1 1 − a | 0 −→ 0 a − 1 1−a | 0
h3−ah1 2 2
0 1−a 1−a | 1−a 0 0 2−a−a | 1−a
+ Nˆ e´u 2 − a − a2 = 0, c´ 2 .`.ng ho.p:
o tru o .
1 1 1 | 1
a = 1 th` A −→ 0 0 0 | 0 ⇒ r(A) = r(A) = 1 < 3, hˆ c´ vˆ sˆ
ı: e o o o
. ´
0 0 0 | 0
nghiˆm phu thuˆc 2
e. . o
. ´
tham sˆ tu` y.
o y´
1 1 −2 | 1
a = −2 th` A −→ 0 −3 3 | 0 ⇒ r(A) = 2 < r(A = 3, hˆ vˆ
ı: e o
.
0 0 0 | 3
nghiˆm. e.
+ Nˆ e´u 2 − a − a2 = 0 ⇔ a = 1, a = −2, th` r(A) = r(A) = 3, hˆ c´ nghiˆm duy nhˆ t.
ı e o
. e
. ´
a
IV. Phu.o.ng ph´p giai hˆ a ’ e .
+ C´c ph´p biˆ ¯ˆ
a e ´n d o i so. cˆ p cho hˆ tu.o.ng d .o.ng (tu.o.ng u.ng v´.i c´c ph´p biˆn d o i
e ’ a´ e
. ¯u ´ o a e ´
e ¯ˆ ’
a ’
theo h`ng cua ma trˆn mo o a . rˆng):
’ .
.
− Do- ˆ i chˆ hai phu.o.ng tr` cho nhau (d ˆ i chˆ hai h`ng cua ma trˆn)
’ ˜
o ınh ¯o’ ˜
o a ’ a.
a
− Nhˆn hai vˆ cua phu ´
e ’ .o.ng tr` n`o d ´ v´.i mˆt sˆ kh´c 0 (nhˆn c´c phˆn tu.
ınh a ¯o o o o a ´ a a `a ’
.
.i mˆt sˆ kh´c 0)
e
trˆn mˆt h`ng cua ma trˆn v´
o a
. ’ a o
. . ´
o o a
− Cˆng t`.ng vˆ cua mˆt phu.o.ng tr` v´.i mˆt phu.o.ng tr` kh´c nhˆn v´.i
o. u ´
e ’ o
. ınh o o
. ınh a a o
.i bˆi sˆ mˆt h`ng kh´c)
. ´ .
mˆt sˆ (cˆng mˆt h`ng v´ o o o a
o o o o a
. o . ´ . a
´ ¯.
1. Ap dung d inh l´ Carmer y
.
Nˆu hˆ phu.o.ng tr` tuyˆn t´ l` hˆ Cramer, c´ thˆ ´p dung d .nh l´ Carmer
e´ e . ınh ´
e ınh a e . o e a ’ . ¯i y
−1 −1
ho˘c t` ma trˆn A , suy ra X = A B.
a ım
. a
.
2x + 3y + 2z = 9
V´ du. Giai b˘ ng phu.o.ng ph´p ma trˆn nghich d ao:
ı . ’ a ` a a. . ¯’ x + 2y − 3z = 14
3x + 4y − z = 16
2 3 2
Do det(A) = 1 2 −3 = −6 = 0 nˆ hˆ l` Cramer. ` e a
e .
3 4 1
A1,1 A2,1 A3,1 14 5 −13
1 1
V´.i A−1 =
o A1,2 A2,2 A3,2 = −10 −4 8
det(A) −6
A1,3 A2,3 A3,3 −2 1 1
14 5 −13 9 2 x=2
−1 1 14 = 3 , suy ra
e
nˆn X = A B = − −10 −4 8 y=3
6
−2 1 1 16 −2 z = −2.
15
2. Phu.o.ng ph´p Gauss (khu. dˆn ˆ n sˆ)
a ’ ` aa ’ o´
D` ng c´c ph´p biˆn d o i so a
u a e ´
e ¯ˆ ’ . cˆ p theo c´c h`ng, biˆn d o i ma trˆn mo. rˆng A th`nh
´ a a ´
e ¯ˆ ’ a ’ o a
. .
o `
e
ma trˆn A1 c´ nhiˆu phˆn tu
a `
a ’. 0 (nhu. ma trˆn bˆc thang), khi d ´ r(A) = r(A ) v`
a a ¯o a
. . . 1
r(A) = r(A1 ).
´
e
+ nˆu r(A1 ) < r(A1 ), th` hˆ vˆ nghiˆm
ı e o
. e
.
+ nˆu r(A1 ) = r(A1 ) = r th` lˆp hˆ phu.o.ng tr` m´.i (tu.o.ng d .o.ng hˆ d ˜ cho) sau
´
e ı a e
. . ınh o ¯u e ¯a
.
kho bo c´c h`ng m` moi phˆn tu. d` u b˘ ng 0. Giai hˆ n`y (r phu.o.ng tr`
’ a a a . `a ’ ¯ˆ a e ` ’ e a. a
ınh, n ˆ n’
o `
´ a
sˆ) b˘ ng c´ch chon r ˆ n co ’ a
a a’ . ban v` n − r ˆ n khˆng co. ban (thay b˘ ng tham sˆ tu`
a’ o ’ `
a ´
o y
.
´
y), nˆ ´u r = n th` hˆ c´ nghiˆm duy nhˆ t.
e ı e o. e
. ´
a
V´ du. Giai c´c hˆ phu.o.ng tr` sau:
ı . ’ a e . ınh
x1 − 3x2 + 2x3 = −1
x1 + 9x2 + 6x3 = 3
x1 + 3x2 + 5x3 = 1
1 −3 2 −1 1 −3 2 1 1 −3 2 −1
h2 −h h2 ×1/2
A = 1 9 6 3 −→1 0 12 4 4 −→ 0 3 1 1 ,
h3 −h1 h3 −h2
1 3 5 1 0 6 3 2 0 0 1 0
x1 − 3x2 + 2x3 = −1
x1
= −1 + 3x2 − 2x3 x1 = 0
1
suy ra 3x2 + x3 = 1 ⇒ 3x2 = 1 − x3 ⇒ x2 =
3
x3 = 0 x3 =0 x3 = 0
x1 − 3x2 + 2x3 − x4 = 2
2x1 + 7x2 − x3 = −1
4x1 + x2 + 3x3 − 2x4 = 1
1 −3 2 −1 2 1 −3 2 −1 2
h −2h1 h3 −h
B = 2 7 −1 0 −1 2 −→ 0 13 −5 2 −5 −→2
h3 −4h1
4 1 3 −2 1 0 13 −5 2 −7
1 −3 2 −1 2
0 13 −5 2 −5 = B1 . Do r(B) = r(B1 ) = 2 < 3 = r(B1 ) = r(B), hˆ e
.
0 0 0 0 −2
o e
vˆ nghiˆm..
x1 + 5x2 + 4x3 + 3x4 = 1
2x − x + 2x − x = 0
1 2 3 4
5x1 + 3x2 + 8x3 + x4 = 1
4x1 + 9x2 + 10x3 + 5x4 = 2
1 5 4 3 1 1 5 4 3 1
2 −1 2 −1 0 h3 −h1 −2h2 2 −1 2 −1 0
C= −→
5 3 8 1 1 h4 −2h1 −h2 0 0 0 0 0
4 9 10 5 2 0 0 0 0 0
h2 −2h1 1 5 4 3 1
−→ , t´.c l`:
u a
’
bo h3 ,h4 0 −11 −6 −7 −2
16
x1 + 5x2 + 4x3 + 3x4 =1
−11x2 − 6x3 − 7x4 = −2.
14 2 1
x1 = − α + β +
11 11 11
6 7 2
Chon x3 = α, x4 = β, ta suy ra:
. x2 = − α − β +
11 11 11
x3 = α
x4 = β
ax + y + z = 1
ı . ’ a e a
V´ du 2. Giai v` biˆn luˆn theo a:
. . x + ay + z = a
x + y + az = a2
a 1 1 1 1 1 a a2 1 1 a a2
h3 ↔h h2 −h
A = 1 a 1 a −→ 1 1 a 1 a −→1 0 a − 1 1 − a a − a2
h3 −ah1
1 a a2
1 a 1 1 1 0 1−a 1−a 1−a
2 3
1 1 a a2
h3 +h2
−→ 0 a − 1 1−a a − a2 , suy ra:
2 2 3
0 0 2−a−a 1+a−a −a
* Nˆ´u 2 − a − a2 = 0 ⇔ (a = 1) ∨ (a = −2)
e
+ Nˆu a = 1, th` A → (1 1 1 1), tu.o.ng d u.o.ng v´.i x + y + z = 1 nˆn c´ vˆ sˆ nghiˆm
´
e ı ¯ o ´
e o o o e
.
dang (1 − α − β; 1; 1) v´ o.i α, β tu` y.
y´
.
1 1 −2 4
+ Nˆu a = −2, th` A → 0 −3 3 −6 suy ra r(A) = 2 < 3 = r(A) nˆn hˆ vˆ
´
e ı e e o
.
0 0 0 3,
nghiˆm.e.
* Nˆ´u 2 − a − a2 = 0 ⇔ (a = 1) ∧ (a = −2)
e
1 1 a a2
h :a−1 0 1 −1 −a , nˆn hˆ d ˜ cho tu.o.ng u.ng v´.i:
A 2 −→ e e ¯a ´ o
h3 :2−a−a 2 (a + 1)2 .
0 0 1
a+2 a+1
2 x1 = −
x + y + az = a
a−2
y − z = −a 1
⇔ x2 =
(a + 1)2
a+2
z =
a−2
x = (a + 1)
2
3
a+2
ax + y + z = 1
ı . ’ a e a
V´ du 3. Giai v` biˆn luˆn theo a, b:
. . x + by + z = 3
x + 2by + z = 4
a 1 1 4 1 1
D = det(A) = 1 b 1 = (1 − a)b; Dx = 3 b 1 = −2b + 1;
1 2b 1 4 2b 1
a 4 1 a 1 4
Dy = 1 3 1 = 1 − a; Dz = 1 b 3 = 4b − 2ab − 1
1 4 1 1 2b 4
17
a=1
´
+ Nˆu D = (1 − a)b = 0 ⇔
e e a
, hˆ l` Cramer, c´ nghiˆm duy nhˆ t:
. o e
. a´
b=0
x = −2b + 1
1
(1 − a)b
1
x =
2
b
x = 4b − 2ab − 1
3
(1 − a)b
x+ y+z =1
x+
y +z = 4
+ Nˆu a = 1, hˆ tro. th`nh:
´
e e ’ a
. x + by + z = 3 ⇔ (b − 1)y ı::
= −1 , th`
x + 2by + z = 4 (2b − 1)y =0
x =2−α
1 x+y+z =0
´
e
− Nˆu 2b − 1 = 0 ⇔ b = : ⇔ y =2 y´
, α tu` y.
2 y =2
z =α
x+ y+z =4
1
´
− Nˆu 2b−1 = 0 ⇔ b = :
e (b − 1)y = −1 vˆ nghiˆm v` (b−1)0 = −1
o e ı
.
2
y =0
ax − y + z = 4
+ Nˆ e e ’. th`nh:
´u b = 0, hˆ tro a x o
+ z = 3 vˆ nghiˆm e
. .
x +z =4
V. Hˆ phu
e .o.ng tr` ´ ınh thuˆn nhˆ t
ınh tuyˆn t´
e `
a ´
a
.
* Hˆ phu.o.ng tr`
e
. ´
ınh tuyˆn t´ `a ´
a a e o .
e ınh thuˆn nhˆ t l` hˆ c´ dang
.
AX = 0 (II)
a a a o ´ ¯o
(B l` ma trˆn to`n sˆ 0), khi d ´ r(A) = r(A), hˆ luˆn luˆn c´ nghiˆm:
. e o
. o o e
.
´ e o e ´
+ nˆu r(A) = n, hˆ c´ nghiˆm duy nhˆ t nghiˆm tˆm thu o
e a e `
a .`.ng x = x = · · · =
. . . 1 2
xn = 0;
´
e e o o o
. ´
+ nˆu r(A) < n, hˆ c´ vˆ sˆ nghiˆm, c´c th`nh phˆn cua nghiˆm phu thuˆc n − r(A)
e
. a a `
a ’ e
. . o
.
tham sˆ, nˆn c´ nghiˆm kh´c nghiˆm khˆng (nghiˆm khˆng tˆm thu.`.ng).
´
o e o e
. a e
. o e
. o `
a o
+ V´.i hˆ c´ n phu.o.ng tr`
o e o. ınh, n ˆ n sˆ, hˆ c´ nghiˆm khˆng tˆm thu.o.ng khi v` chı khi
’ ´ .
a o e o e
. o `a a ’
a o e ´ a
a `
det(A) = 0 v` c´ nghiˆm duy nhˆ t tˆm thu .o.ng khi v` chı khi det(A) = 0.
a ’
.
ax1 + x2 + · · · + xn−1 + xn = 0
x1 + ax2 + · · · + xn−1 + xn = 0
V´ du. T` a dˆ hˆ
ı . ım ’ .
¯e e ... = 0 c´ nghiˆm khˆng tˆm
o e
. o `
a
x1 + x2 + · · · + axn−1 + xn = 0
x1 + x2 + · · · + xn−1 + axn = 0.
thu.o.ng
18
a 1 ... 1 1
1 a ... 1 1
det(A) = . . . . . .
1 1 ... a 1
1 1 ... 1 a
a + n − 1 a + n −1 ... a + n −1 a +n − 1
1 a ... 1 1
h1 + hi
= ... ...
i=1
1 1 ... a 1
1 1 ... 1 a
1 1 ... 1 1
1 a ... 1 1
= (a + n − 1) . . . . . .
1 1 ... a 1
1 1 ... 1 a
1 1 ... 1 1
0 a − 1 ... 0 0
hi −h1
= (a + n − 1) . . . ... = (a + n − 1)(a − 1)n−1
i=1
0 0 ... a − 1 0
0 0 ... 0 a−1
a = 1−n
Hˆ c´ nghiˆm khˆng tˆm thu.`.ng khi det(A) = 0 ⇔
e o
. e
. o `a o
a = 1.
´
e
+ nˆu
a
(α1 ; α2 ; . . . ; αn−1 ; αn ) v` (β1 ; β2 ; . . . ; βn−1 ; βn )
a e ’ e ı
l` nghiˆm cua hˆ (II) th`
. .
∀h, k ∈ R : (hα1 + kβ1 ; hα2 + kβ2 ; . . . ; hαn−1 + kβn−1; hαn + kβn )
u a e e
c˜ ng l` nghiˆm hˆ (II).
. .
+ Tru.`.ng ho.p r(A) < n (sˆ ˆ n cua hˆ) th` r(A) ˆ n co. ban d u.o.c biˆu diˆn qua
o . ´ ’
o a ’ e. ı a’ ’ ¯ . e’ ˜
e
a’ o . ban (lˆ y gi´ tri tu` y). Nˆu chon n − r(A) ˆ n khˆng co. ban
n − r(A) ˆ n khˆng co ’ ´
a a . y´ ´
e a’ o ’
.
tu.o.ng u.ng theo n − r(A) th`nh phˆn cua n − r(A) bˆ sˆ:
´ a `
a ’ o o´
.
(1; 0; 0; . . . ; 0); (0; 1; 0; . . . ; 0); (0; 0; 1; . . . ; 0); . . . ; (0; 0; 0; . . . ; 1)
th` n − r(A) nghiˆm cu thˆ cua hˆ (II) d u.o.c goi l` mˆt hˆ nghiˆm co. ba n cu a
ı e
. ’
. e ’ e . ¯ . . a o e. . e
. ’ ’
e
hˆ.
.
x1 + 2x2 − 2x3 + x4 = 0
2x + 4x + 2x − x = 0
. ban cua 1 2 3 4
V´ du. T` hˆ nghiˆm co ’
ı . ım e . e
. ’
x1 + 2x2 + 4x3 − 2x4 = 0
4x1 + 8x2 − 2x3 + x4 = 0.
19
1 2 −2 1 1 2 −2 1
2 4 2 −1 h2 −2h1 0 0 6 −3 h3 −h2 1 2 −2 1
A= −→ −→ u.ng
´
1 2 4 −2 h3 −h1 0 0 6 −3 h2:2 0 0 2 −1
4 8 −2 1 h4 −4h1 0 0 6 −3 h4 −h2
v´.i hˆ:
o e .
x1 + 2x2 − 2x3 + x4 = 0 x1 = −2x2
⇔
2x3 − x4 = 0 x4 = 2x3 .
+ Chon (x2 , x3 ) = (1, 0), ta c´: nghiˆm (−2; 1; 0; 0)
. o e.
o e
+ Chon (x2 , x3 ) = (0, 1), ta c´: nghiˆm (0; 0; 1; 2)
. .
* Gia ’ i th´ c´ch t` ma trˆnghich d a o o. phˆn IV, chu.o.ng 1
ıch a ım a ¯’ ’ `
a
. .
a1,1 a1,2 a1,3 . . . a1,n
a a2,2 a2,3 . . . a2,n
Cho ma trˆn vuˆng A = 2,1
a
. o c´ det(A) = 0. X´t hˆ
o e e .
... ...
an,1 an,2 an,3 . . . an,n
n phu.o.ng tr` 2n ˆ n:
ınh a’
a1,1 x1 + a1,2 x2 + a1,3 x3 + · · · + a1,n xn + xn+1
=0
a2,1 x1 + a2,2 x2 + a2,3 x3 + · · · + a2,n xn
+ xn+2 =0
a3,1 x1 + a3,2 x2 + a3,3 x3 + · · · + a3,n xn + xn+3 =0
..................
an,1 x1 + an,2 x2 + an,3 x3 + · · · + an,n xn + xn+1 =0
o . a
c´ dang ma trˆn
.
A × X + X = 0 ⇔ A × X = −X (1)
x1 xn+1
x2 xn+2
v´.i X = x3 v` X = xn+3
o . a .
.
. .
.
xn x2n
v` det(A) = 0, ∃A−1 nˆn: (1)⇔ X = −A−1 × X ⇔ X + A−1 × X = 0 (*)
ı e
a1,1 a1,2 a1,3 . . . a1,n | 1 0 0 . . . 0
a2,1 a2,2 a2,3 . . . a2,n | 0 1 0 . . . 0
. ´
Hˆ c´ ma trˆn hˆ sˆ: a3,1 a3,2 a3,3 . . . a3,n | 0 0 1 . . . 0 = (A|E)
e o
. a e o
.
... ... ...
an,1 an,2 an,3 . . . an,n | 0 0 0 . . . 1
Gia’ su. qua c´c ph´p biˆn d o i so. cˆ p trˆn c´c h`ng, ta d .a d u.o.c ma trˆn vˆ dang
’ a e ´
e ¯ˆ ’ ´
a e a a ¯u ¯ . a ` .
. e
1 0 0 ... 0 | b1,1 b1,2 b1,3 ... b1,n
0 1 0 ... 0 | b2,1 b2,2 b2,3 ... b2,n
0 0 1 ... 0 | b3,1 b3,2 b3,3 ... b3,n = (E|B)
... ... ...
0 0 0 ... 1 | bn,1 bn,2 bn,3 ... bn,n
20
u.ng v´.i hˆ:
´ o e .
x1
+ b1,1 xn+1 + b1,2 xn+2 + b1,3 xn+3 + · · · + b1,n x2n =0
x2 + b2,1 xn+1 + b2,2 xn+2 + b2,3 xn+3 + · · · + b2,n x2n =0
x3 + b3,1 xn+1 + b3,2 xn+2 + b3,3 xn+3 + · · · + b3,n x2n =0
.........
xn + bn,1 xn+1 + bn,2 xn+2 + bn,3 xn+3 + · · · + bn,n x2n =0
c´ dang X + B × X = 0, suy ra B = A−1
o .
`
BAI TAPˆ
.
3x − 5y + 2z + 4t = 2 2x + y − z = 1
’ i c´c hˆ phu.o.ng tr` sau:
2.1. Gia a e . ınh 7x − 4y + z + 3t = 5 x− y+z =2
5x + 7y − 4z − 6t = 3 4x + 3y + z = 3
x + y − 3z = −1 2x + 3y − z + 5t = 0 x − 2y + 3z − 4t = 4
2x + y − 2z = 1
3x − y + 2z − 7t = 0 y − z + t = −3
x + 2y − 3z = 1
4x + y − 3z + 6t = 0 x + 3y
− 3t = 1
x+ y+ z =3 x − 2y + 4z − 7t = 0
−7y + 3z + 3t = −3
x − y + 2z − 3t = 1
2x + y − 3z = 4
x + 3y + 4z = 8
x + 4y − z − 2t = −2
x + 2y + z = 1 2x + y − z = 2
x − 4y + 3z − 2t = −2
3x − 3y + 2z = 11 2x + 6y − 5z = 4
8y
x − + 5z − 2t = −2
2x + 3y − z + t = 2 3x + 4y + 5z + 7t = 1 x + y + 5z = −7
2x + 3y + z = 4 2x + 6y − 3z + 4t = 2 x + 3y + z = 5
2x + 3y + 2z
= 3 4x + 2y + 13z + 10t = 0 2x + y + z = 2
2x + 3y = 5 2x + 21z + 13t = 3 2x + 3y − 3z = 14
2x − 5y + 4z + 3t = 0 3x + y − 3z + t = 1 x + 2y + 3z − t = 1
3x − 4y + 7z + 5t = 0 2x − y + 7z − 3t = 2 3x + 2y + z − t = 1
4x − 9y + 8z + 5t = 0 x + 3y − 2z + 5t = 3 2x + 3y + z + t = 1
3x − 2y + 5z − 3t = 0 3x − 2y + 7z − 5t = 3 5x + 5y + 5z =2
8x + 6y + 5z + 2t = 21 x1 + x2
=1
3x + 3y + 2z + t = 10 x1 + x2 + x3
=4
4x + 2y + 3z+ =8 x2 + x3 + x4 = −3
3x + 5y + z + t = 15
x3 + x4 + x5 = 2
7x + 4y + 5z + 2t = 18 x4 + x5 = −1
x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 0
7x + 14x + 20x + 27x = 0
1 2 3 4
5x1 + 10x2 + 16x3 + 19x4 = −2
3x1 + 5x2 + 6x3 + 13x4 = 5
’ a e
2.2. Giai v` biˆn luˆn theo a c´c hˆ sau:
. a
. a e .
21
(a + 1)x +
y+ z =1 ax + y + z + t = 1
x + (a + 1)y + z =a x + ay + z + t = a
2
x+ y + (a + 1)z = a x + y + az + t = a2
x − y + az + t = a
2 −1 1 −1 x 1
x + ay − z + t = −1 2 −1 0 −3 y 2
× =
ax + ay − z − t = −1
3 0 −1 1 z −3
x + y + z + t = −a 2 2 −2 a t −6
ax1 − 3x2 + x3 = −2
2.3. Cho hˆ phu
e .o.ng tr`ınh ax1 + x2 + 2x3 = 3
.
3x1 + 2x2 + x3 = b.
a. T` a dˆ hˆ trˆn l` hˆ Cramer; u.ng v´.i gi´ tri cua a v`.a t` t` nghiˆm cua hˆ
’ .
ım ¯e e e a e . ´ o a . ’ u ım, ım e
. ’ e.
theo b.
ım ’ .
¯e e e o
b. T` a, b dˆ hˆ trˆn vˆ nghiˆm. e.
ım ’ .
¯e e e o o o ´
c. T` a, b dˆ hˆ trˆn c´ vˆ sˆ nghiˆm, t` nghiˆm tˆ ng qu´t cua hˆ.
e
. ım e
. o’ a ’ e .
2.4. T` m dˆ a e
ım ¯e’ c´c hˆ phu.o.ng tr` sau d ˆy:
. ınh ¯a
o em
a. c´ nghiˆ
.
2 3 1 x 7 3 6 −9
3 7 −6 × y = −2 ; 4 8 × x = 12 ;
y
5 8 1 x m 2 7
m
3 2 5 x 1 3 7 5 x −m
2 4 6 × y = 3 ; 2 3 1 × y = 2 ;
5 7 m z 5 6 9 3 z 5
mx + 2y + 3z + 2t = 3
3x + 4y + 5z + 7t = 1
2x + 6y − 3z + 4t = 2 2x + my + 3z + 2t = 3
; 2x + 3y + mz + 2t = 3
4x + 2y + 13z + 10t = m
2x + 3y + 2z + mt = 3
5x + 21z + 13t = 3
2x + 3y + 2z + 3t = m
2x − y + z − t = 1
x + y + (1 − m)z = m + 2
2x − y − 3t = 2
o
b. vˆ nghiˆm:e
. ; (1 + m)x − y + 2z = 0
3x
− z + t = −3
2x − my + 3z = m + 2
2x + 2y − 2z + mt = −6
mx1 + x2 + x3 + · · · + xn
=0
x1 + mx2 + x + 3 + · · · + xn = 0
o ¯i
c. vˆ d .nh: x1 + x2 + mx3 + · · · + xn =0
.........
x1 + x2 + x3 + · · · + mxn =0
3x + 2y + z + t = 1
3x + 2y + z = 3 x + my − z + 2t =0
2x + 3y + z + t = 1
; mx + y + 2z = 3 ; 2x − y + mz + 5t =0
x + 2y + 3z − t = 1
mx − 3y + z = −2 x + 10y − 6z + t =0
5x + 5y + 2z = 2m + 1
22
o e ´
a
d. c´ nghiˆm duy nhˆ t:
.
x + 4y + 3z + 6t =0
x + 3y − z + t = 1 x + y + z + mt =1
−x
+ z+ t =0
3x + 3y − z + mt = 2 x + my + z + t =1
; ; 2x + y − z =0
2x + 2y + z + t = 3
mx + y + z + t
=1
2y + mx =0
5x + 3y + 2t = 1 x + y + mz + t =1
2x + 5y + 3z + 7t =0
2.5. Ch´.ng minh hˆ sau c´ nghiˆm duy nhˆ t, t`
u e
. o e
. ´
a ım nghiˆm d o:
e ¯´
.
x2 + x3 + x4 + · · · + xn−1 + xn =1
x1
+ x3 + x4 + · · · + xn−1 + xn =2
x1 + x2 + x4 + · · · + xn−1 + xn =3
.........
x1 + x2 + x3 + x4 + · · · + xn−1 =n
’ .
2.6. T` d ` u kiˆn theo a dˆ hˆ sau c´ nghiˆm duy nhˆ t
ım ¯iˆ
e e
. ¯e e o e. ´
a
x1 +
ax2 =0
x1 + (1 + a)x2 +
ax3 =0
x2 + (1 + a)x3 + ax4 =0
x3 + (1 + a)x4 + ax5 =0
x4 + (1 + a)x5 =0
2.7. en luˆn theo a sˆ nghiˆm cua hˆ phu.o.ng tr`
Biˆ. a
. o´ e. ’ e . ınh:
(a − 3)x +
y+ z = 0 ax + ay + z = a
x + (a − 3)y + z =0; ax + y + az = 1 ;
x+ y + (a − 3)z = 0 x + ay + az = 1
x − y + az + t =a
ax + ay + (a + 1)z = a
x + ay − z + t = −1
ax + ay + (a − 1)z = a ;
ax + ay − z − t = −1
(a + 1)x + ay + (2a + 3)z = 1
x + y + z + t = −a
2.8. T` nghiˆm nguyˆn du
ım e e .o.ng (nˆu c´) cua hˆ phu.o.ng tr` sau:
´
e o ’ e ınh
. .
x + y + z = 100 x + 2y + 3z = 14
; ;
x + 15y + 25z = 500 2x + 3y − z = 5
x− y+ z+ t =2
x + 3y − 3z = 1
; 2x + y − 3z + 2t = 2
3x − 3y + 4z = 4
3x − 2y + z + t = 3
2.9. T` c´c d a th´.c bˆc 3 f (x) biˆt:
ım a ¯ u a . e´
a. f (−1) = 0; f (1) = 4; f (2) = 3; f (3) = 16;
b. f (−1) = 5; f (1) = 5; f (3) = 45; f (−4) = −25.
2.10. T` nghiˆm tˆ ng qu´t v` hˆ nghiˆm co. ban cua hˆ phu.o.ng tr` sau:
ım e
. o’ a a e . e
. ’ ’ e . ınh
23
x + y − 4z = 0
2x − y + 5z + 7t = 0
2x + 9y + 6z = 0
4x − 2y + 7z + 5t = 0 ; ;
3x + 5y + 2z = 0
2x − y + z − 5t = 0
4x
+ 7y + 5z = 0
x + 2y + 4z − 3t = 0 x
+ 8z + 7t = 0
3x + 5y + 6z − 4t = 0 2x + y + 4z + t = 0
;
4x + 5y − 2z + 3t = 0 3x + 2y − z − 6t = 0
3x + 8y + 24z − 19t = 0 7x + 4y + 6z − 5t = 0
2.11.
a. Trong mˆt x´ nghiˆp san xuˆ t, c´ 15 cˆng nhˆn d u.o.c chia l`m 3 bˆc (I,II,III),
o ı
. e
. ’ a´ o o a ¯ . a a.
hu ’.o.ng lu.o.ng th´ng lˆn lu.o.t l`: 600.000, 500.000, 400.000 d` ng. Mˆi th´ng x´
a `
a a ¯ˆ
o o˜ a ı
.
e
nghiˆp ph´t 7,7 triˆu d o
. a e ¯ˆ
. ` ng tiˆn lu.o.ng. Hoi trong x´ nghiˆp ˆ y, sˆ cˆng cˆng mˆi
`e ’ ı e a
. ´
´ o o o ˜
o
a o e a ’
bˆc c´ thˆ l` bao nhiˆu?
. e
b. Mˆt ho.p t´c x˜ nˆng nghiˆp c´ 300 ha d ˆ t, 850 cˆng lao d ong v` 65 triˆu d` ng
o . a a o
. e o
. ¯a´ o ¯ˆ
. a e ¯ˆ
. o
tiˆn vˆn d`nh cho san xuˆ t vu h` thu v´.i du. d inh trˆng c´c loai cˆy I,II,III c´ chi
`
e o a ´ ’ ´
a . e o . ¯. `o a . a o
ph´ san xuˆ t cho mˆi ha giao trˆng nhu. sau:
ı ’ ´
a ˜
o `
o
´ ` `
Loai cˆy Vˆn b˘ ng tiˆn (d` ng) Lao d ong (cˆng)
. a o a e ¯ˆ o ¯ˆ . o
I 200.000 2
II 150.000 3
III 400.000 5
-ooOoo-
24
Chu.o.ng 3
´
HAM NHI` U BIEN & T´
` ˆ
E ˆ ˆ ´
ICH PHAN KEP
a `
I. H`m nhiˆu biˆn
e ´
e
a e
1. Kh´i niˆm
.
* Cho D ⊂ R2 . Mˆt ´nh xa
o a
. .
f : D→R
(x, y) → f (x, y) = z ∈ R
d u.o.c goi l` h`m hai biˆn x´c d inh trˆn D, D d u.o.c goi l` miˆn x´c d inh
¯ . . a a ´
e a ¯. e ¯ . . a `e a ¯.
cu ´
’ a h`m hai biˆn f (x, y).
a e
ı .
V´ du.
`
+ Miˆn x´c d inh cua h`m z = f (x, y) = 1 − x2 − y 2 l` tˆp
e a ¯. ’ a a a.
D = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 1
ınh o a a ınh
(h` tr`n tˆm O b´n k´ 1).
+ ` n x´c d .nh cua h`m z = f (x, y) = ln(x+y) l` tˆp D = (x, y) ∈ R2 : x + y > 0
Miˆ a ¯i
e ’ a a a .
(nu.a m˘t ph˘ng n˘ m ph´ trˆn d u.`.ng th˘ng y = −x trˆn m˘t ph˘ng xOy.
’ a
. ’
a `
a ıa e ¯ o a’ e a
. ’
a
* Cho h`m hai biˆn z = f (x, y). Trˆn m˘t ph˘ng Oxy, mˆi c˘p (x, y) d u.o.c biˆu diˆn
a ´
e e a
. ’
a ˜ .
o a ¯ . e’ ˜
e
bo’.i mot d iˆm M(x, y), nˆn ta c´ thˆ xem z = f (x, y) l` h`m c´c d e m M(x, y), k´
. ¯e ’ e o e ’ a a a ¯iˆ ’ y
`
e
hiˆu z = f (M).
* a ´
e o ` e a ¯i
Cho h`m hai biˆn z = f (x, y) c´ miˆn x´c d .nh D. Trong khˆng gian Oxyz, x´t
o e
a ¯iˆ ’ ’
c´c d e m P (x, y, z) thoa m˜n (x, y) ∈ D v` z = f (x, y). Khi M chay trˆn miˆn D,
a a . e `
e
c´c d e m P vach trong khˆng gian mˆt m˘t cong d u.o.c goi l` d` thi cu a h`m
a ¯iˆ ’ . o o. a
. ¯ . . a ¯ˆ . ’
o a
hai biˆ ´n x = f (x, y).
e
* Cho D ⊂ Rn = {(x1 , x2 , . . . , xn ) : xi ∈ R, i = 1, ..., n}. Mˆt ´nh xa
o a
. .
f : D→R
(x1 , x2 , . . . , xn ) → f (x1 , x2 , . . . , xn ) = z ∈ R
d u.o.c goi l` h`m n biˆn f (x1 , x2 , . . . , xn ) x´c d .nh trˆn D (D d u.o.c goi l` miˆn
¯ . . a a e´ a ¯i e ¯ . . a ` e
a ¯.
x´c d inh).
* Cho h`m hai biˆn z = f (x, y) x´c d .nh trong khoang ho. U cua Mo (xo , yo ) (khˆng
a e´ a ¯i ’ ’ ’ o
cˆn x´c d .nh tai Mo ). Sˆ L d u.o.c goi l` gi´.i han cu a f (x, y) khi M(x, y) dˆn
`
a a ¯i . ´ ¯ .
o . a o . ’ `a
¯e´ ´
dˆn Mo (xo , yo ) nˆu v´
e o .i moi d˜y d e m M (x , y ) thuˆc U dˆn d e n M (x , y ), ta
’ ` ¯ˆ ´
. a ¯iˆ n n n o
. a o o o
` u c´: lim f (xn , yn ) → L. Ta k´ hiˆu:
¯e
dˆ o y e .
n→∞
lim f (x, y) = L.
x→xo
y→yo
* H`m sˆ z = f (x, y) x´c d inh trong miˆn D d u.o.c goi l` liˆn tuc tai Mo (xo , yo ) ∈ D
a o ´ a ¯. `e ¯ . . a e . .
´
e
nˆu:
lim f (x, y) = f (xo , yo ).
x→xo
y→yo
25
- . a a
2. Dao h`m v` vi phˆn h`m nhiˆu biˆn
a a `
e ´
e
- . a
2.1. Dao h`m riˆng e
* Cho h`m sˆ
a ´ z = f (x, y) x´c d .nh trˆn khoang ho. U cua Mo (xo , yo ), khi d o ∆x =
o a ¯i e ’ ’ ’ ¯´
x−xo v` ∆y = y−yo d u . . `
a ¯ .o.c goi lˆn lu.o.t l` sˆ gia cu a biˆn sˆ x v` y, ∆ z = f (x +
a a o´ ’ ´ ´
e o a
. x o
∆x, yo )−f (xo , yo ) v` ∆y z = f (xo , yo +∆y) d .o.c goi lˆn lu.o.t l` sˆ gia riˆng cu a h`m
a ¯u . . ` a . a o´ e ’ a
z = f (x, y) theo x v` theo y tai Mo (xo , yo ), c`n ∆z = f (xo +∆x, yo +∆y)−f (xo , yo )
a . o
.o.c goi l` sˆ gia to`n phˆn cu a h`m z = f (x, y) tai M (x , y ).
´ ` ’
¯
du . . a o a a a . o o o
∆x z ∆y z
´
* Nˆu lim
e v` lim
a tˆn tai h˜.u han th` c´c gi´.i han d o d u.o.c goi l` c´c
`
o . u . ı a o . ¯´ ¯ . . a a
∆x→0 ∆x ∆y→0 ∆y
¯. a e ’
d ao h`m riˆng cu a h`m x = f (x, y) tai (xo , yo ) cu a biˆn x v` biˆn y, k´
a . ’ ´
e a e ´ y
e ` .o.t l`:
hiˆu lˆn lu . a
. a
∂z ∆x z
zx (xo , yo ) = fx (xo , yo ) = (xo , yo ) = lim
∂x ∆x→0 ∆x
∂z ∆y z
zy (xo , yo ) = fy (xo , yo ) = (xo , yo ) = lim
∂y ∆y→0 ∆y
´ a
e o a ¯a a
* Nˆu h`m z = f (x, y) c´ c´c d . o h`m riˆng theo biˆn x v` biˆn y tai ∀(x, y) ∈ D,
e ´
e a e ´ .
ta n´i z = f (x, y) c´ c´c d ao h`m riˆng theo biˆ
o o a ¯. a e ´n x v` theo biˆn y trong
e a ´
e
`e
miˆn D, k´ hiˆu l`:
y e a.
∂z ∂z
fx (x, y) = zx = ; fy (x, y) = zy =
∂x ∂y
V´ du. T´ c´c d ao h`m riˆng cua
ı . ınh a ¯ . a e ’
y
+ z = x , x > 0:
zx = (xy )x = yxy−1 ;
zy = (xy )x = xy . ln x
x
+ z = ey :
x x x x 1
zx = e y = ey . = ey . ;
x y x y
x x x x x x x
zy = e y = ey . = e y . − 2 = − 2 .e y
y y y y y
+ z = Arctg xy;
(xy)x y
zx = (Arctg xy)x = 2
= ;
1 + (xy) 1 + x2 y 2
(xy)y x
zy = =
1 + (xy)2 1 + x2 y 2
a
2.2. Vi phˆn
* Vi phˆn to`n phˆn cua h`m hai biˆn z = f (x, y) l`: dz = zx dx + zy dy, c´ thˆ u.ng
a a `
a ’ a ´
e a o e ´’
’
¯ˆ ınh ` ¯´
a a . ’ a
dung d e t´ gˆn d ung gi´ tri cua h`m sˆ ph´ .´
o u .c tap theo cˆng th´.c sˆ gia h˜.u han
o u o ´ u
. .
nhu. sau:
f (xo + ∆x, yo + ∆x) fx (xo , yo ) · ∆x + fy (xo , yo ) · ∆y + f (xo , yo )
26
V´ du. T´ gˆn d ung c´c sˆ sau: a. A = (0.998)3.001 ;
ı . ınh ` ¯´
a a o ´ b. B = (4.001)2 + (2.997)2
y
e
a. X´t z = f (x, y) = x tai Mo (1; 3). Ta c´:
. o
y 2
+ f (x, y) = x ⇒ f (1, 3) = 3.1 = 3
+ fx (x, y) = yxy−1 ⇒ fx (1, 3) = 3.12 = 3
+ fy (x, y) = xy . ln x ⇒ fy (1, 3) = 13 . ln 1 = 0
Chon ∆x = −0.002, ∆y = 0.001, khi d o:
. ¯´
A = (1 − 0.002)3+0.001 = f (1 − 0.002, 3 + 0.001) = f (xo + ∆x, yo + ∆y)
fx (xo , yo ) · ∆x + fy (xo , yo ) · ∆y + f (xo , yo ) = 3 · (−0.002) + 0 · (0.001) + 1 = 0.994
b. X´t z = f (x, y) = x2 + y 2 tai Mo (4, 3). Ta c´:
e . o
√
+ f (x, y) = x2 + y 2 ⇒ f (4, 3) = 42 + 32 = 5
x 4 4
+ fx (x, y) = ⇒ fx (4, 3) = 2 = = 0.8
x2 + y 2 4 + 32 5
y 3 3
+ fy (x, y) = ⇒ fx (4, 3) = 2 2
= = 0.6
x2 + y 2 4 +3 5
Chon ∆x = 0.001, ∆y = −0.003, khi d o:
. ¯´
B= (4.001)2 + (2.997)2 = (4 + 0.0001)2 + (3 − 0.003)2 = f (xo + ∆x, yo + ∆y)
fx (xo , yo ) · ∆x + fy (xo , yo ) · ∆y + f (xo , yo )
= 0.8 · 0.001 + 0.6 · (−0.003) + 5 = 4.999
* Nˆu c´c d ao h`m riˆng zx , zy (d .o.c goi l` d ao h`m riˆng cˆ p 1) c˜ ng c´ d . o
´
e a ¯. a e ¯u . . a ¯. a e ´
a u o ¯a
.o.c goi l` d a o h`m riˆng cˆ p 2 cu a
´ ’
a e ı a ¯a a e
h`m riˆng th` c´c d . o h`m riˆng d o d u .
¯´ ¯ . a ¯. a e a
.o.c k´ hiˆu v` x´c d nh nhu. sau:
z = f (x, y), d u . y e a a ¯i
¯ . .
∂ 2f
zxx = fxx (x, y) = = (zx )x ;
∂x2
∂ 2f
zxy = fxy (x, y) = = (zx )y ;
∂x∂y
∂ 2f
zyx = fyx (x, y) = = (zy )x ;
∂y∂x
∂ 2f
zyy = fyy (x, y) = = (zy )y
∂y 2
´
e o a ¯. a
+ Nˆu z = f (x, y) c´ c´c d ao h`m riˆng cˆ p 2 liˆn tuc trong miˆn D th` trong miˆn
e ´
a e . `e ı `e
d o: zxy = zyx .
¯´
´
* Nˆu z = f (u, v) l` h`m kha vi v` u = u(x, y), v = v(x, y) c´ c´c d ao h`m riˆng
e a a ’ a o a ¯. a e
` n D th` trong miˆn d o tˆn tai c´c d ao h`m riˆng
ux, uy , vx , vy trong miˆ
e ı ` ¯´ ` . a ¯ .
e o a e
zx = zu · ux + zv · vx ;
zy = zu · uy + zv · vy
27
V´ du. Cho z = eu sin v v´.i u = xy, v = x2 + y 2 . T´ zx , zy .
ı . o ınh
V` zu = eu sin v; zv = eu cos v; ux = y; uy = x; vx = 2x; vy = 2y, nˆn:
ı: e
u u xy 2
+ zx = zu ·ux +zv ·vx = e sin v ·y +e cos v ·2x = ye sin(x +y )+2xe cos(x2 +y 2) 2 xy
+ zy = zu ·uy +zv ·vy = eu sin v ·x+eu cos v ·2y = xexy sin(x2 +y 2 )+2yexy cos(x2 +y 2 )
1.3. Cu.c tri cua h`m hai biˆn
. . ’ a e´
* Cho h`m z = f (x, y) x´c d .nh, liˆn tuc trong miˆn D. Ta n´i z d at cu.c d ai
a a ¯i e . `
e o ¯. . ¯.
(tu .o.ng tu., cu.c tiˆ u) d ia phu.o.ng tai M (x , y ) ∈ D nˆu tˆn tai khoang ho. U
e’ ¯. ´ o
e ` . ’ ’
. . . o o o
’
cua Mo (xo , yo ) trong D sao cho f (xo , yo ) ≥ f (x, y) (tu .o.ng tu., f (x , y ) ≤ f (x, y))
. o o
v´.i moi (x, y) ∈ D.
o .
+ Quy t˘ c t` cu.c tri: Gia su. z = f (x, y) c´ d . o h`m riˆng liˆn tuc d e n cˆ p
´
a ım . . ’ ’ o ¯a a e e ´ ´
. ¯ˆ a
2 trong khoa ’ ng ho. ch´.a Mo (xo , yo ) v` c´ fx (xo , yo ) = fy (xo , yo ) = 0. D˘t A =
’ u a o -a.
fxx (xo , yo ), B = fxy (xo , yo ), C = fyy (xo , yo ), th` ı:
+ Nˆu B 2 − AC < 0, A < 0 th` z = f (x, y) d at cu.c d ai tai (xo , yo );
´
e ı ¯. . ¯. .
+ Nˆ ´u B 2 − AC < 0, A > 0 th` z = f (x, y) d at cu.c tiˆu tai (xo , yo );
e ı ¯. . ’
e .
+ Nˆu B − AC > 0 th` (xo , yo ) khˆng phai l` d e m cu.c tri;
´
e 2
ı o ’ a ¯iˆ ’ . .
´ 2
+ Nˆu B − AC = 0 th` khˆng kˆt luˆn d .
e ı o ´
e a ¯u .o.c.
.
V´ du. T` cu.c tri cua h`m sˆ:
ı . ım . . ’ a o´
a. z = f (x, y) = x2 − xy + y 2 + 3x − 2y + 1
b. z = x3 + y 3 − 3xy
a. Ta c´: zx = 2x − y + 3; zy = −x + 2y + 2; zxx = 2; zxy = −1; zyy = 2.
o
x = −4
zx = 0 2x − y + 3 =0 3
Giai ’ ⇔ ⇔
zy = 0 −x + 2y − 2 = 0
y = 1
3
4 1
’
Tai d iˆm Mo − ,
. ¯e o
, ta c´: A = zxx = 2, B = zxy = −1, C = zyy = 2,
3 3 Mo Mo Mo
nˆn: B 2 − AC = (−1)2 − 2 · 2 = −3 < 0.
e
4 1 4
Suy ra h`m 2 biˆn d . t cu.c tiˆu tai Mo − ,
a ´
e ¯a . ’
e . v´.i zmin = − .
o
3 3 3
2 2
o
b. Ta c´: zx = 3x − 3y; zy = 3y − 3x; zxx = 6x; zxy = −3; zyy = 6y.
zx = 0 3x2 − 3y = 0 x=y=0
Giai ’ ⇔ 2
⇔
zy = 0 3y − 3x = 0 x=y=1
. ¯iˆ ’
Tai d e m Mo (0, 0), ta c´: A = zxx
o = −3, C = zyy
= 0, B = zxy = 0,
Mo Mo
Mo
nˆn: B 2 − AC = 9 − 0 = 9 > 0. Vˆy Mo (0, 0) khˆng phai l` cu.c tri.
e a
. o ’ a . .
Tai d e
. ¯iˆ’m M1 (1, 1), ta c´: A = zxx
o = 6, B = zxy = −3, C = zyy = 6,
Mo Mo Mo
nˆn: B 2 − AC = 9 − 36 = −27 < 0. Suy ra h`m 2 biˆn d . t cu.c tiˆu tai M1 (1, 1) v´.i
e a ´
e ¯a . ’
e . o
zmin = −1.
` ˆ
BAI TAP
.
x−y
3.1.1. Cho h`m f (x, y) =
a . Ch´.ng minh:
u
x+y
lim lim f (x, y) = 1; lim lim f (x, y) = −1
x→0 y→0 y→0 x→0
28
¯o o ` .
o
trong khi d ´ lim f (x, y) khˆng tˆn tai.
x→0
y→0
x2 y 2
3.1.2. Cho h`m f (x, y) =
a . Ch´.ng minh:
u
x2 y 2 + (x − y)2
lim lim f (x, y) = lim lim f (x, y) = 0
x→0 y→0 y→0 x→0
¯o ` .
, trong khi d ´ lim f (x, y) khˆng tˆn tai.
o o
x→0
y→0
1 1
3.1.3. Cho h`m f (x, y) = (x + y) sin
a sin . Ch´.ng minh lim
u lim f (x, y) a
v`
x y x→0 y→0
lim lim f (x, y) khˆng tˆn tai, nhu.ng lim f (x, y) = 0
o ` .
o
y→0 x→0 x→0
y→0
3.1.4. T´ c´c gi´.i han sau:
ınh a o .
x2
x+y x2 + y 2 xy 2 2
lim 2 ; lim 4 ; lim ; lim (x2 + y 2 )x y
x→0 x − xy + y 2 x→0 x + y 4 x→0 x 2 + y2 x→0
y→0 y→0 y→0 y→0
3.1.5. Cho h`m
a 2 2
xy x − y nˆu x2 + y 2 = 0
´
e
f (x, y) = x2 + y 2
0 nˆu x2 + y 2 = 0.
´
e
Ch´.ng minh f ”yx (0, 0) = f ”xy (0, 0).
u
3.1.6. Nghiˆn c´.u cu.c tri d ia phu.o.ng cu a c´c h`m sau:
e u . . ¯. ’ a a
a. z = x4 + y 4 − x2 − 2xy − y 2 + 1
b. x = 2x4 + y 4 − x2 − 2y 2 − 1
II. T´ phˆn hai l´.p
ıch a o
-ı
1. D`nh ngh˜ t´ ıa, ınh chˆ t ´
a
Xuˆ t ph´t t`. c´c b`i to´n thu.c tˆ (nhu. t´ thˆ t´ vˆt thˆ h` tru, d .`.ng k´
´
a a u a a a . e ´ ’
ınh e ıch a . ’
e ınh . ¯u o ınh
o `
e o ¯i
mˆt miˆn), ta c´ d .nh ngh˜ sau:
. ıa
* Cho h`m z = f (x, y) x´c d .nh trong miˆn h˜.u han D trong xOy. Phˆn hoach
a a ¯i `
e u . a .
a ` ’ y ´ o e a e ıch
D th`nh n miˆn nho tu` y c´ tˆn v` diˆn t´ ∆s1 , ∆s2 , . . . , ∆sn . Trˆn mˆi ∆Si
e . e ˜
o
´
a y´ a . o ’
(i = 1, . . . , n), lˆ y Mi (xi , yi ) tu` y v` goi tˆ ng
n
In = f (xi , yi )∆si
i=1
a o ’ ıch a ’
l` tˆ ng t´ phˆn cu a f (x, y) trong D.
´ .`.ng k´ l´.n nhˆ t cua c´c miˆn ∆s dˆn d e n 0 (max d → 0) m` I dˆn
´ `
Nˆu khi d o
e ¯u ınh o a ’ a e i `
a ¯ˆ ´ i a n ` a
¯e´ o o .i han x´c d inh I, khˆng phu thuˆc c´ch chia miˆn D (phˆn hoach) v`
dˆn mˆt gi´ . a ¯. o o a `e a a
. . . .
29
c´ch chon Mi (xi , yi ) trong mˆi miˆn ∆si th` gi´.i han d ´ d u.o.c goi l` t´ phˆn
a . ˜
o `e ı o . ¯o ¯ . . a ıch a
hai l´
o.p cu a f (x, y) trong miˆn D v` k´ hiˆu l`:
’ `
e a y e a.
n
f (x, y)ds = lim f (xi , yi )∆si
max di →0
D i=1
trong d ´ f (x, y) l` h`m du.´.i dˆ u t´ phˆn, D l` miˆn lˆ y t´ phˆn, ds l`
¯o a a o ´
a ıch a a ` ´
e a ıch a a
´ ´ .
yˆu tˆ diˆn t´ ´
a e ıch
e o e ıch, x, y l` biˆn t´ phˆn. a
+ Khi t´ phˆn hai l´.p tˆn tai, ta c´ thˆ chia D bo.i lu.´.i c´c d u.`.ng song song v´.i
ıch a o ` .
o o e ’ ’ o a ¯ o o
Ox, Oy, khi d ´ ∆si l` h` ch˜
¯o a ınh u . nhˆt, yˆu tˆ diˆn t´ ds b˘ ng dx, dy:
a e´ o e ıch
´ . `
a
.
n
f (x, y)dxdy = lim f (xi , yi )∆si
max di →0
D i=1
+ Diˆn t´ miˆn D d u.o.c t´ b˘ ng:
e ıch `
. e ¯ . ınh ` a
S(D) = dxdy
D
+ Tˆ ho.p tuyˆn t´ nh˜.ng h`m kha t´ trˆn D c˜ ng kha t´ trˆn D v`:
’
o . ´
e ınh u a ’ ıch e u ’ ıch e a
[αf1 (x, y) ± βf2 (x, y)]dxdy = α f1 (x, y)dxdy ± β f2 (x, y)dxdy
D D D
´
e ’ ıch e ı u ’ ıch e a
+ Nˆu f (x, y) kha t´ trˆn D th` |f (x, y)| c˜ ng kha t´ trˆn D v`:
f (x, y)dxdy ≤ |f (x, y)|dxdy
D D
+ Chia D th`nh 2 miˆn D1 , D2 r`.i nhau bo.i mˆt d u.`.ng L. Nˆu f (x, y) kha t´ trˆn
a `
e o ’ o ¯ o
. ´
e ’ ıch e
’ ca biˆn L) th` n´ kha t´ trˆn D v`:
ca D1 , D2 (kˆ ’ e
’ e ı o ’ ınh e a
f (x, y)dxdy = f (x, y)dxdy + f (x, y)dxdy
D D1 D
´
e ’ ıch e a ı:
+ Nˆu f (x, y) kha t´ trˆn D v` m ≤ f (x, y) ≤ M, ∀(x, y) ∈ D, th`
f (x, y)dxdy
D
∃µ ∈ [m, M] : µ =
S(D)
30
´
e ’ ıch e a ’ a ı:
+ Nˆu f (x, y), g(x, y) kha t´ trˆn D v` thoa m˜n f (x) ≤ g(x) th`
f (x, y)dxdy ≤ g(x, y)dxdy
D D
2. C´ch t´nh t´ch phˆn hai l´.p
a ı ı a o
´
e a ´
+ Nˆu h`m sˆ f (x, y) liˆn tuc trˆn miˆn D = {a ≤ x ≤ b; ϕ(x) ≤ y ≤ ψ(x)} trong d ´
o e . e `e ¯o
a e . e ı:
ϕ(x) v` ψ(x) liˆn tuc trˆn [a, b] th`
b ϕ(x)
f (x, y)dxdy = f (x, y)dy dx
a ψ(x)
D
V´ du 1. T´ thˆ t´ h` tru gi´.i han bo.i c´c m˘t:
ı . ’
ınh e ıch ınh . o . ’ a a
.
x = 0, x = 1, y = −1, y = 1, z = 0, z = x2 + y 2 .
1 1 1
2 4
Ta c´: V =
o f (x, y)dxdy = (x2 + y 2 )dy dx = 2x2 + dx =
0 −1 0 3 3
D
V´ du 2. T´ thˆ t´ h` tru gi´.i han bo.i m˘t
ı . ’
ınh e ıch ınh . o . ’ a
.
z = f (x, y) = xy 2 , m˘t z = 0, x = 0, x = 1, y = −2, y = 3.
a
.
1 3
x2 1 y3 3 35
Ta c´: V =
o xdx · y 2 dy = =
0 0 3 −2
−2 2 6
ı . ’
ınh e ıch ınh . o .i han bo.i c´c m˘t:
V´ du 3. T´ thˆ t´ h` tru gi´ . ’ a a
.
x2
x = 1, x = 2, y = , y = x2 , z = 0, z = xy.
2
2 x2 2
3x5 63
o
Ta c´: V = xydxdy = xydy dx = dx = .
1 x2
2 1 8 16
D
V´ du 4. T´
ı . ınh xdxdy, v´.i D l` miˆn gi´.i han bo.i c´c d u.`.ng y = x v` y = x2 .
o a ` e o . ’ a ¯ o a
D
Miˆn D d u.o.c x´c d .nh: D = {0 ≤ x ≤ 1; x2 ≤ y ≤ x}, nˆn:
`e ¯ . a ¯i e
1 x
1
xdxdy = xdy dx = .
0 x2 12
D
V´ du 5. T´ I =
ı . ınh (x − y)dxdy, trong d o D d u.o.c gi´.i han bo.i c´c d u.`.ng
¯´ ¯ . o . ’ a ¯ o
D
y = ±1, x = y 2 , y = x + 1.
31
Miˆn D d u.o.c x´c d .nh: D = {−1 ≤ y ≤ 1; y − 1 ≤ x ≤ y 2 }, suy ra:
`e ¯ . a ¯i
1 y2 1
y4 y2 1 −7
I= (x − y)dx dy = − y3 + − dy = .
−1 y−1 −1 2 2 2 15
x = x(u, v)
e . e ¯o a . a a’ ’
+ Cho f (x, y) liˆn tuc trˆn D d ´ng v` bi ch˘n, l` anh cua D qua ´nh xa
. a . .
y = y(u, v)
´
e
Nˆu
e . a o a ¯a a e e .
x(u, v), y(u, v) liˆn tuc v` c´ c´c d . o h`m riˆng liˆn tuc
∂x ∂x
J (u, v) = ∂u ∂v = 0, ∀(u, v) ∈ D
∂y ∂y
∂u ∂v
ı:
th`
f (x, y)dxdy = f [x(u, v), y(u, v)]|J (u, v)|dudv
D D
x = r cos ϕ
’
a ¯a
Ch˘ng han khi d ˘t
. . ı:
th`
y = r sin ϕ
cos ϕ −r sin ϕ
J (u, v) = =r
sin ϕ r cos ϕ
¯´
khi d o:
f (x, y)dxdy = f (r cos ϕ, r sin ϕ)rdrdϕ
D D
dxdy trong d ´ D l` d .`.ng tr`n d .n vi.
2
−y2
V´ du 6. T´ t´ phˆn I =
ı . ınh ıch a e−x ¯o a ¯u o o ¯o .
D
2π 1 2π
2 1 1 1
Ta c´: I =
o dϕ e−r rdr = 1− dϕ = π 1 − .
0 0 0 2 e e
V´ du 7. T´ t´ phˆn I =
ı . ınh ıch a (x + 2y)dxdy, trong d o D l` h` b` h`nh gi´.i han
¯´ a ınh ınh a o .
D
bo.i c´c d .`.ng
’ a ¯u o
x + y = 1, x + y = 2, 2x − y = 1, 2x − y = 3.
1 1
Ta c´: D = {(u, v) : 1 ≤ u ≤ 2, 1 ≤ v ≤ 3} v` J = 3
o a 3 = − 1 = 0, nˆn:
e
2 1 3
−
3 3
1 u + v 4u − 3v
I= − + dudv
3 3 3
D
2 3 2
1 1 11
=− (5u − v)dv du = − (10u − 4)du = −
9 1 1 9 1 9
32
V´ du 8. T´ I =
ı . ınh ydxdy v´.i D l` miˆn:
o a ` e
D
a. H` quat tr`n tˆm O, b´n k´ a n˘ m trong g´c phˆn tu. th´. 2.
ınh . o a a ınh `
a o `
a u
`
b. Miˆn gi´ .
e o.i han bo.i c´c d .`.ng cong c´ phu.o.ng tr` trong hˆ toa d ˆ cu.c l`: r =
’ a ¯u o o ınh e . ¯o . a
. .
2 + cos ϕ, r = 1.
π a
2 a3 π a3
a. I = sin ϕdϕ r dr = sin ϕdϕ = .
π
2 0 3 π2
3
2π 2+cos ϕ 2π
1
b. I = rdr sin ϕdϕ = (3 + 4 cos ϕ + cos2 ϕ) sin ϕdϕ = 0.
0 1 2 0
V´ du 9. T´ I =
ı . ınh 4 − x2 − y 2 dxdy trong d ´:
¯o
D
D l` nu.a trˆn cua h` tr`n (x − 1)2 + y 2 ≤ 1.
a ’ e ’ ınh o
x = r cos ϕ π
-a
D˘t
. th` D = {(r, ϕ) : 0 ≤ r ≤ 2 cos ϕ, 0 ≤ ϕ ≤ }, khi d ´:
ı ¯o
y = r sin ϕ 2
π π
2 cos ϕ
2 8 2 8 π 2
I= 4 − r2 rdr dϕ = (1 − sin3 ϕ)dϕ = − .
0 0 3 0 3 2 3
III. T´ phˆn 3 l´.p
ıch a o
-.
1. Dinh ngh˜ t´ ıa, ınh chˆ t ´
a
Cho f l` mˆt h`m bi ch˘n, x´c d .nh trˆn mˆt tˆp V d o d .o.c trong R3 . Chia V
a o a. . a . a ¯i e o a
. . ¯ ¯u .
th`nh h˜.u han nh˜.ng tˆp Vi d o d .o.c, khˆng c´ d e m trong chung. Lˆp tˆ ng t´ phˆn
a u . u a
. ¯ ¯u . o o ¯iˆ’ a o
. ’ ıch a
n
f (ξ, η, τ )∆Vi (1)
i=1
o. d ay ∆Vi l` thˆ t´ tˆp Vi , v` (ξ, η, τ ) l` mˆt d iˆm tu` y thuˆc Vi .
’ ¯ˆ ’
a e ıch a . a a o ¯e
. ’ y´ o
.
a o´ l´
* Goi D l` sˆ o .n nhˆ t trong c´c d u.`.ng k´ d(V ) cua ph´p phˆn hoach {V }
´
a a ¯ o ınh ’ e a
. i . i 1≤i≤n .
´
e
Nˆu
n
lim f (ξ, η, τ )∆Vi
D→0
i=1
tˆn tai th` gi´ tri n`y d u.o.c goi l` t´ phˆn ba l´.p cu a h`m f trˆn tˆp V v`
` .
o ı a . a ¯ . . a ıch a o ’ a e a . a
d u.o.c k´ hiˆu l`
¯ . y e a .
f (x, y, z)dxdydz,
V
h`m f d u.o.c goi l` kha t´
a ¯ . . a ’ ınh trˆn V .
e
ıch a o.p c´ c´c t´ chˆ t ho`n to`n tu.o.ng tu. nhu. t´ phˆn hai l´.p.
+ T´ phˆn ba l´ o a ınh a ´ a a ıch a o
.
2. C´ch t´nh t´ch phˆn ba l´
a ı ı a o.p
+ Nˆ ´
` a ıch a a o ınh o
´u miˆn lˆ y t´ phˆn l` mˆt h` hˆp
e e . .
V = [a1 , b1 ] × [a2 , b2 ] × [a3 , b3 ],
33
ı:
th`
b1 b2 b3
f (x, y, z)dxdydz = f (x, y, z)dz dy dx
a1 a2 a3
V
V´ du. T´ I =
ı . ınh xyzdxdydz v´.i V = [0, 1] × [2, 4] × [5, 8].
o
V
1 4 8
x2 1 y2 4 z2 8 1 39 117
I= xdx · ydy · zdz = · · = ·6· =
0 2 5 2 0 2 2 2 5 2 2 2
+ Nˆu miˆn l` mˆt thˆ tru mo. rˆng (gi´.i han bo.i 2 m˘t ψ1 (x, y), ψ2 (x, y), m˘t tru
´
e ` a o
e . ’
e . ’ o . o . ’ a
. a
. .
o ¯u.`.ng sinh song song Oz, d .`.ng chuˆ n l` biˆn
c´ d o ¯u o a’ a e
Dxy = {(x, y) : a ≤ x ≤ y, ϕ1 (x) ≤ y ≤ ϕ2 (x)}
v´.i ϕ1 , ϕ2 liˆn tuc trˆn [a, b] th`
o e . e ı:
b ϕ2 (x) ψ1 (x,y)
f (x, y, z)dxdydz = d(x, y, z)dz dy dx
a ϕ1 (x) ψ2 (x,y)
V
V´ du. T´
ı . ınh (1 − x − y)dxdydz v´.i miˆn V gi´.i han bo.i c´c m˘t ph˘ng toa d ˆ v`
o `e o . ’ a a
. ’
a . ¯o a
.
V
a ’
a
m˘t ph˘ng x + y + z = 1.
.
o e
Ta c´: V = {(x, y, z) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 − x, 0 ≤ z ≤ 1 − x − y}, nˆn:
1 1−x 1−x−y 1 1−x
I= (1 − x − y)dz dy dx = (1 − x − y)2 dy dx
0 0 0 0 0
1
1 1
= (1 − x)3 (1 − x3 )dx =
0 3 12
* Dˆ i biˆn trong t´ phˆn ba l´.p: Cho f liˆn tuc trˆn miˆn d ong, d o d u.o.c v`
-o ’ ´
e ıch a o e . e ` ¯´
e ¯ ¯ . a
x = x(u, v, w)
3
bi chˆn V ⊂ R , v´ .i V l` a nh cu a V qua d o.n ´nh
a ’ ’ ´
. a . o ¯ a
e a a
y = y(u, v, w) Nˆu c´c h`m
z = z(u, v, w).
´
o e . o a ¯. a e e
sˆ x = x(u, v, w), y = y(u, v, w), z = z(u, v, w) liˆn tuc, c´ c´c d ao h`m riˆng liˆn
tuc trˆn V v` nˆu
. e a e ´
xu xv xw
D(x, y, z)
J (u, v, w) = = yu yv yw = 0
D(u, v, w)
zu zv zw
34
ı . . ¯e ’ o
th` tai moi d iˆ m (u, v, w) ∈ V , ta c´:
f (x, y, z)dxdydz = f [x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)]|J (u, v, w)|dudvdw
V V
x = r cos ϕ
´
e ¯o .
+ Nˆu theo toa d ˆ tru:
. . ı:
y = r sin ϕ th`
z = r,
cos ϕ −r sin ϕ 0
J (r, ϕ, z) = sin ϕ r cos ϕ 0
0 0 1
e
nˆn
f (x, y, z)dxdydz = f (r cos ϕ, r sin ϕ, z)rdrdϕdz
V V
V´ du. T´ I =
ı . ınh (x2 + y 2 )zdxdydz trong d o V l` miˆn gi´.i han bo.i c´c m˘t
¯´ a ` e o . ’ a a
.
V
x2 + y 2 = 1 v` z = 2.
a
H` tru tr`n xoay V d u.o.c x´c d .nh bo.i: V = {(r, ϕ, z) : 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ ϕ ≤
ınh . o ¯ . a ¯i ’
2π, 0 ≤ z ≤ 2}, suy ra:
2 2π 1
I= zdz · dϕ · dr = π.
0 0 0
x = r cos ϕ sin θ
´
e ¯o ` a
+ Nˆu theo toa d ˆ cˆu:
. . ı:
y = r sin ϕ sin θ th`
z = r cos θ,
cos ϕ sin θ r cos ϕ cos θ −r sin ϕ sin θ
J (r, ϕ, θ) == sin ϕ sin θ r cos θ sin ϕ r cos ϕ sin θ
cos θ −r sin θ 0
e
nˆn
f (x, y, z)dxdydz == f (r cos ϕ sin θ, r sin ϕ sin θ, r cos θ)r2 sin θdrdϕdθ
V V
V´ du. T´ I =
ı . ınh (x2 + y 2 )dxdydz trong d ˆ V l` miˆn gi´.i han bo.i m˘t cˆu
¯o´ a ` e o . ’ a `
. a
V
x2 + y 2 + z 2 = 1 v` m˘t n´n x2 = y 2 − z 2 = 0 (z > 0).
a a o
.
35
√ 2
2
2
x + y2
=
x2 + y 2 + z 2 =1 2
’ e
Giai hˆ
. giao tuyˆn l` d u.`.ng tr`n
´
e a ¯ o o
x2 + y 2 − z 2 = 0,
√
2
z =
suy ra: 2
π
V = {(r, ϕ, theta) : 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ θ ≤ }
4
v` f (x, y, z) = x2 + y 2 = r2 sin θ, nˆn
a e
π π
1 2π
4
4 1 4
I= r dr · dϕ · dθ = 2π (1 − cos2 θ)d(− cos θ)
0 0 0 5
3 π
√ 0
2π cos θ 4 8−5 2
= − cos θ = π
5 3 0 30
´. ’ ıch
* U ng dung cu a t´ phˆn k´p
a e
.
+ Diˆn t´ cua mˆt h` ph˘ng D d ´ng, d d u.o.c, bi chˆn trong R2
e ıch ’
. ’
o ınh a
. ¯o ¯o ¯ . . a .
S(D) = dxdy
D
+ Thˆ t´ miˆn V d o d .o.c, d ´ng, bi chˆn
’
e ıch `e ¯ ¯u . ¯o . a .
V= dxdydz
V
´
e a ınh .
Nˆu V l` h` tru cong, x´t D l` h` chiˆu cua V xuˆng m˘t ph˘ng,
e a ınh ´
e ’ ´
o a
. ’
a
a a e ınh .
z = f (x, y) l` m˘t trˆn h` tru cong:
.
V= f (x, y)dxdy
D
Nˆu V l` thˆ tru mo. rˆng, x´t D l` h`
´
e a e ’ . ’ o. e ´
e ’ e
a ınh chiˆu cua D lˆn xOy, z =
a a .´.i, m˘t trˆn cua V :
ψ1 (x, y), z = ψ2 (x, y) l` m˘t du o a e ’
. .
V= f (ψ1 (x, y), ψ2 (x, y))dxdy
D
V´ du 1. T´ diˆn t´ h` gi´.i han bo.i c´c d u.`.ng th˘ng x = 1, x = 2 v` c´c d u.`.ng
ı . ınh e ıch ınh o .
. ’ a ¯ o ’
a a a ¯ o
2 2
a 2a
y = ,y = (x > 0)
x x
36
a2 2a2
D = {(x, y) : 1 ≤ x ≤ 2, ≤y≤ }, suy ra:
x x
2a2
2 2
x 2a2 a2
S(D) = dxdy = dx dx = − dx = a2 ln 2
1 a2
x 1 x x
D
V´ du 2. T´ thˆ t´ vˆt thˆ V gi´.i han bo.i c´c m˘t
ı . ’
ınh e ıch a
. e’ o . ’ a a
.
x2 + y 2 = 2, z = 4 − x2 − y 2 , z = 0.
V l` h` tru cong, m˘t trˆn c´ phu.o.ng tr` z = 4 − x2 − y 2 , h` chiˆu D cua
a ınh . a. e o ınh ınh ´
e ’
’ 2 2
V lˆn m˘t ph˘ng xOy l` h` tr`n x + y ≤ 2. Vˆy
e a. a a ınh o a
.
√
2π 2
2 2
V= (4 − x − y )dxdy = · (4 − r2 )rdr = 6π
0 0
D
+ Cho S l` m˘t cong c´ phu.o.ng tr` z = f (x, y), trong d ´ f liˆn tuc, c´ d ao h`m
a a . o ınh ¯o e . o ¯. a
e e . e ` ¯´
e .o.c, th` diˆn t´ m˘t cong S l`:
riˆng liˆn tuc trˆn miˆn d ong, bi chˆn, d d u .
. a ¯o ¯
. ı e ıch a
. . a
S= 1 + fx 2 + fy 2 dxdy
D
V´ du. T´ diˆn t´ phˆn m˘t cˆu x2 + y 2 + z 2 = a2 n˘ m trong m˘t tru x2 + y 2 = a2 .
ı . ınh e ıch `
. a a `
. a `
a a. .
a ´ a ` ’ ´
M˘t tru c˘t m˘t cˆu th`nh hai manh d ˆi x´ .ng nhau qua m˘t ph˘ng xOy, mˆi
’ ˜
. . a . a a ¯o u a
. a o
manh n`y lai d .o.c c´c m˘t ph˘ng toa d ˆ chia th`nh 4 manh b˘ ng nhau. V´.i z ≥ 0, ta
’ a . ¯u . a a
. ’
a ¯o
. . a ’ `
a o
2 2 a2
c´: z = a2 − x2 − y 2 , suy ra 1 + zx + zy = 2
o e
, nˆn
a − x2 = y 2
2π a
a rdr
S=8 dxdy = 8x dϕ0 · √ = 4πa2
a2 − x2 − y 2 0 a2 − r2
x2 +y2 ≤a2 ,x≥0,y≥0
` ˆ
BAI TAP
.
3.2.1. T´
ınh
x ln ydxdy
D
v´.i D l` h` ch˜. nhˆt:
o a ınh u a
.
0 ≤ x ≤ 4, 1 ≤ y ≤ e.
3.2.2. T´
ınh
(cos2 x + sin2 y)dxdy
D
37
v´.i D l` h` vuˆng:
o a ınh o
π π
0≤x≤ ,0 ≤ y ≤ .
4 4
3.2.3. T´
ınh
2 x2
I= (2x − y)dy dx.
1 x
3.2.4. T´
ınh
(x − y)dxdy
D
v´.i D l` h` gi´.i han bo.i:
o a ınh o . ’
y = 2 − x2 , y = 2x − 1.
3.2.5. T´
ınh
(x + 2y)dxdy
D
v´.i D l` h` gi´.i han bo.i c´c d u.`.ng th˘ ng:
o a ınh o . ’ a ¯ o ’
a
y = x, y = 2x, x = 2, x = 3.
3.2.6. T´
ınh
ex+sin y cos ydxdy
D
v´.i D l` h` ch˜. nhˆt:
o a ınh u a
.
π
0 ≤ x ≤ π, 1 ≤ y ≤ .
2
3.2.7. T´
ınh
(x2 + y 2 )dxdy
D
v´.i D l` miˆn gi´.i han bo.i c´c d u.`.ng
o a ` e o . ’ a ¯ o
y = x, x = 0, y = 1, y = 2.
3.2.8. T´
ınh
ln(x2 + y 2 )dxdy
D
v´.i D l` miˆn h`nh v`nh kh˘n gi´.x hai d u.`.ng tr`n
o a ` e ı a a u ¯ o o
x2 + y 2 = e2 v` x2 + y 2 = e4 .
a
38
3.2.9. T´
ınh
(x2 + y 2 )dxdy
D
v´.i miˆn D gi´.i h`n bo.i d u.`.ng tr`n x2 + y 2 = 2ax.
o `e o a ’ ¯ o o
3.2.10. T´ınh
x3 ydxdy
D
v´.i D l` miˆn gi´.i han bo.i c´c d u.`.ng
o a ` e o . ’ a ¯ o
y = 0 v` y =
a 2ax − x2 .
3.2.11. T´
ınh
sin(x + y)dxdy
D
v´.i D l` miˆn gi´.i han bo.i c´c d u.`.ng
o a ` e o . ’ a ¯ o
π
y = 0, y = x, x + y = .
2
3.2.12. T´
ınh
x2 (y − x)dxdy
D
v´.i D l` miˆn gi´.i han bo.i c´c d u.`.ng
o a ` e o . ’ a ¯ o
x = y 2 v` y = x2 .
a
3.2.13. T´
ınh
f (x, y)dxdy
D
v´.i D l` miˆn gi´.i han bo.i d u.`.ng
o a ` e o . ’ ¯ o
x2 y2
+ 2 = 1,
a2 b
c`n h`m du.´.i dˆ u t´ phˆn
o a ´
o a ıch a
2 2
c 1− x2 − y2
a b
f (x, y) = tdt.
0
3.2.14. T´
ınh
r2 drdϕ
D
39
v´.i D l` miˆn:
o a ` e
a. C´c d u.`.ng tr`n r = a v` r = 2a.
a ¯ o o a
- u.`.ng r = a sin 2ϕ.
b. D o
3.2.15. T´
ınh
r sin ϕdrdϕ
D
v´.i D l` miˆn:
o a ` e
π
a. Quat tr`n gi´.i han bo.i c´c d u.`.ng r = a, ϕ = , ϕ = π.
. o o . ’ a ¯ o
2
π
b. Nu.a d u.`.ng tr`n r ≤ 2a cos ϕ, 0 ≤ ϕ ≤ .
’ ¯ o o
2
c. Nu.a d u.`.ng tr`n r = 2 + cos ϕ v` r = 1.
’ ¯ o o a
3.2.16. Su. dung cˆng th´.c d ˆ i biˆn trong toa d ˆ cu.c, t´nh c´c t´ phˆn:
’ √. o u ¯o ’ e ´ . ¯o .
. ı a ıch a
R R2 −x2
a. ln(1 + x2 + y 2 )dy dx
0 0
√
R Rx−x2
b. √ R2 − x2 − y 2 dy dx
0 − Rx−x2
3.2.17.
a. T´ınh
1 2x
dy dx
0 x
x = u(1 − v)
b˘ ng c´ch d`ng c´c biˆn m´.i
`
a a u a ´
e o
y = uv
ınh
b. T´
dxdy
D
nˆu D gi´.i han bo.i c´c d u.`.ng
´
e o . ’ a ¯ o
xy = 1, xy = 2, y = x, y = 3x.
3.2.18. T´ c´c t´nh phˆn ba l´.p sau:
ınh a ı a o
x2 y2 z2 x2 y2 z2
a. I = + 2 + 2 dxdydz v´.i V gi´.i han bo.i m˘t 2 + 2 + 2 = 1.
o o . ’ a
. a
a2 b c b c
V
b. I = (x2 + y 2 )dxdydz, v´.i V d u.o.c gi´.i han bo.i c´c m˘t x2 + y 2 = z 2 , z = 2.
o ¯ . o . ’ a a
.
V
c. I = (x2 + y 2 )dxdydz, v´.i V d u.o.c gi´.i han bo.i c´c m˘t x2 + y 2 = 2z, z = 2.
o ¯ . o . ’ a a
.
V
40
3.2.19. T´ I =
ınh xyzdxdydz, v´.i V n˘ m trong g´c phˆn t´m th´. nhˆ t, gi´.i han
o `
a o ` a
a u ´
a o .
V
bo.i c´c m˘t sau, v´.i 0 < a < b, 0 < α < β, 0 < m < n:
’ a a
. o
x2 + y 2 x2 + y 2
z= ,z = , xy = a2 , xy = b2 , y = αx, y = βx
m n
-ooOoo-
41
Chu.o.ng 4
. .
PHU O NG TR` ˆ
INH VI PHAN
I. Phu.o.ng tr` a ´
a
ınh vi phˆn cˆ p 1
a e
1. Kh´i niˆm chung
.
* Ta goi phu.o.ng tr`
. ınh vi phˆn cˆ p 1 l` phu.o.ng tr` c´ dang
a ´
a a ınh o .
F (x, y, y ) = 0 (I)
a
ho˘c
.
y = f (x, y) (Io )
¯o a e o ´ ´
trong d ´ x l` biˆn sˆ, y l` h`m cua x, v` y l` d ao h`m cua y.
a a ’ a a ¯. a ’
´u c´ h`m y = ψ(x) thoa m˜n phu.o.ng tr` (I) hay (Io ) th` y = ψ(x) d u.o.c goi
* Nˆ o a
e ’ a ınh ı ¯ . .
l` nghiˆm cu a phu.o.ng tr`
a e
. ’ ınh (I) hay (Io ).
* Nˆu c´ h`m y = ψ(x, C) ho˘c hˆ th´.c Φ(x, y, C) = 0 thoa m˜n (I) hay (Io ) v´.i C
´
e o a a e u
. . ’ a o
t` y y trong miˆn n`o d o cua R, v` v´.i mˆi d ` u kiˆn d` u y(xo ) = yo v´.i (xo , yo )
u ´ `e a ¯´ ’ a o ˜
o ¯iˆ e e ¯ˆ
. a o
thuˆc miˆn x´c d .nh cua phu.o.ng tr`
o
. `e a ¯i ’ ’ o ´ a .
ınh, chı c´ duy nhˆ t gi´ tri C = Co l`m cho
a a
y = ψ(x, Co ) hay Φ(x, y, Co ) = 0 tho `
’ a m˜n d iˆu kiˆn d` u, th` y = ψ(x, C) ho˘c
a ¯e e ¯ˆ
. a ı a.
Φ(x, y, C) = 0 d u.o.c goi l` nghiˆm tˆ ng qu´t cu a phu.o.ng tr`
¯ . . a e
. o ’ a ’ ınh (I) hay (Io ).
´
* Nˆu y = ψ(x, C) hay Φ(x, y, C) = 0 l` nghiˆm tˆ ng qu´t cua (I) hay (Io ), cho
e a e
. o’ a ’
C = Co (gi´ tri cu thˆ x´c d inh) th` y = ψ(x, Co ) hay Φ(x, y, Co ) = 0 d .o.c goi
a . . e a ¯. ’ ı ¯u . .
a e
. e ’ ´
l` nghiˆm riˆng cu a (I) hay (Io ). Nˆu nghiˆm y = ψ(x) khˆng phai l` nghiˆm
e e
. o ’ a e.
riˆng nhˆn t`. nghiˆm tˆ ng qu´t v´.i bˆ t k` gi´ tri C n`o (kˆ ca C = ±∞) th` ta
e a u
. e
. o’ a o a y a . ´ a ’
e ’ ı
e y . ’
goi n´ l` nghiˆm k` di cu a (I) hay (Io ).
. o a .
+ (D.- inh l´ tˆn tai v` duy nhˆ t nghiˆm): Cho phu.o.ng tr`nh (Io ). Nˆu f (x, y)
y o` . a a´ e
. ı e´
liˆn tuc trong miˆn n`o d ´ ch´ ¯ e
e `
e a ¯o u .a d iˆ m (x , y ) th` tˆn tai ´t nhˆ t mˆt nghiˆm
’ ı `o . ı ´
a o e
. o o . .
a e ´
y = ψ(x) sao cho yo = ψ(xo ) v` nˆu fy (x, y) liˆn tuc tai (xo , yo ) th` y = ψ(x) tˆn
e . . ı `o
tai duy nhˆ
. ´t.
a
2. C´c loai phu.o.ng tr`
a . a
ınh vi phˆn cˆ p 1 ´
a
2.1. Phu .o.ng tr` biˆn sˆ phˆn ly
´ ´
ınh e o a
dy
L` phu.o.ng tr` m` nˆu thay y =
a ınh a e ´ ’ ´
ı o e e ¯o ` . ’ e
th` c´ thˆ biˆn d ˆ i vˆ dang f1 (y)dy =
dx
f2 (x)dx. Lˆ y t´ phˆn bˆ t d .nh 2 vˆ th` giai d .o.c phu.o.ng tr`
´
a ıch a a ¯i ´ ´
e ı ’ ¯u . ınh.
V´ du 1. Giai phu.o.ng tr`
ı . ’ ınh:
ydy = (x2 + 1)dx.
Lˆ y t´ phˆn hai vˆ cua phu.o.ng tr` d a cho:
´
a ıch a ´
e ’ ınh ¯˜
y2 x3 C 2
ydy = (x2 + 1)dx ⇔ = +x+ ⇔ y 2 = x3 + 2x + C
2 3 2 3
ı . ’
V´ du 2. Giai phu.o.ng tr`
ınh:
(y − x2 y)dy + (xy 2 + x)dx = 0.tag1
Ta c´:
o (1)⇔ y(x2 − 1)dy = x(y 2 + 1)dx (2)
42
+ Nˆu x2 − 1 ≡ 0 ⇔ x ≡ ±1 th` dx = 0, nˆn (2) thoa m˜n. Vˆy x = ±1 l` nghiˆm
´
e ı e ’ a a
. a e
.
’
cua (1).
y x
+ Nˆu x2 − 1 ≡ 0 ⇔ x ≡ ±1: (2)⇔ 2
´
e dy == 2 ´
a ıch a ´
e
dx. Lˆ y t´ phˆn 2 vˆ:
y +1 x −1
ydy xdx 1 1 1
= ⇔ ln |y 2 + 1| = ln |x2 − 1| + ln |C|
y2 +1 x 2 −1 2 2 2
y 2 + 1 = C(x2 − 1), ∀C = 0
⇔ y 2 + 1 = C(x2 − 1) (∀C = 0). Vˆy (1) c´ nghiˆm:
a
. o e
.
x = ±1
V´ du 3. Giai phu.o.ng tr`
ı . ’ ınh:
y = 3x2 y (1)
dy
Ta c´:
o (1)⇔ = 3x2 y ⇔ dy = 3x2 ydx (2)
dx
´
+ Nˆu y ≡ 0 th` y = 0, nˆn (2) thoa m˜n. Vˆy y = 0 l` nghiˆm cua (1).
e ı e ’ a a
. a e. ’
dy
´
+ Nˆu y ≡ 0: (2)⇔
e = 3x2 dx. Lˆ y t´ phˆn 2 vˆ:
´
a ıch a ´
e
y
3 3
ln |y| = x3 + ln |C| ⇔ ln |y| = ln |Cex | ⇔ y = Cex , ∀C = 0
Vˆy (1) c´ nghiˆm: y = Cex (v´.i C t` y y).
3
a
. o e
. o u ´
2.2. Phu.o.ng tr` vi phˆn d ˘ng cˆ p cˆ p 1
ınh a ¯a ’ ´ ´
a a
L` phu
a .o.ng tr` c´ dang y = f (x, y) v´.i f (λx, λy) = f (x, y), ∀λ = 0.
ınh o . o
D˘t y = ux, ta c´: u x + u = y = f (x, y) = g(u), ta d .a vˆ phu.o.ng tr` c´ biˆn
-a
. o ¯u ` e ınh o e´
´
sˆ phˆn ly u x = g(u) − u.
o a
V´ du 6. Giai phu.o.ng tr`
ı . ’ ınh:
x+y
y = (1)
x−y
-a
D˘t y = ux ⇒ y = u x + u, ta c´:
. o
x + ux 1+u 1−u dx
(1)⇔ u x + u = ⇔ux= −u ⇔ 2
du = .
x − ux 1−u 1+u x
´
a ıch a e´
Lˆ y t´ phˆn 2 vˆ:
du 1 2udu 1 ln |1 + u2| ln |Cx2|
2
− = ln |x| + ln |C| ⇔ arctg u − =
1+u 2 1 + u2 2 2 2
a o e
Vˆy (1) c´ nghiˆm:
. .
y
2Arctg = ln |C(x2 + y 2 )|, ∀C = 0
x
V´ du 5. Giai phu.o.ng tr`
ı . ’ ınh:
y2
y = −2 (1)
x2
-a o
D˘t y = ux ⇒ y = u x + u, ta c´:
.
2
(1)⇔ u x + u = u − 2 ⇔ u x = u2 − u − 2 (2)
43
u = −1 y = −x
+ Nˆu u2 − u − 2 ≡ 0 ⇔
´
e ı
th` u = 0, (2) thoa m˜n, vˆy
’ a a
. a a
l` c´c
u=2 y = 2x
e ’
nghiˆm cua (1)
.
u = −1
+ Nˆu u2 − u − 2 ≡ 0 ⇔
´
e th` (2) tu.o.ng d .o.ng v´.i:
ı ¯u o
u =2
du dx 1 u−2 1 u−2
= ⇒ ln + ln C ⇔ ln = Cx3
u2 −u−2 x 3 u−1 3 u+1
3
y − 2x = Cx3 (y + x)
a e ’ a
⇔ y−2x = Cx (y+x), ∀C = 0. Suy ra c´c nghiˆm cua (1) l`:
.
y = −x
v´.i C t` y y.
o u ´
2.3. Phu.o.ng tr` vi phˆn tuyˆn t´ cˆ p 1
ınh a ´
e ınh a ´
L` phu
a .o.ng tr` c´ dang y + p(x)y = q(x) trong d ´ p(x), q(x) l` c´c h`m liˆn tuc
ınh o . ¯o a a a e .
e
trˆn [a, b].
C´ch giai thu.c hiˆn qua c´c bu.´.c:
a ’ . e. a o
− Gia ’ i phu.o.ng tr` tuyˆn t´ thuˆn nhˆ t (q(x) = 0), ta c´: y ≡ 0 ho˘c
ınh ´ ınh
e `
a ´
a o a
.
dy
= −p(x)dx ⇒ y = Ce− p(x)dx, vˆy nghiˆm l`: y = Ce− p(x)dx
a. e a
.
y
− T` nghiˆm riˆng y ∗ cua phu.o.ng tr` khˆng thuˆn nhˆ t (q(x) = 0) b˘ ng
ım e. e ’ ınh o `a ´
a `
a
a ¯˘ ∗
c´ch d at y = C(x).u(x) v´ o.i u(x) = e− p(x)dx, suy ra
.
y ∗ = e− p(x)dx
. q(x)e p(x)dx
dx.
− lˆp nghiˆm tˆ ng qu´t cua phu.o.ng tr` khˆng thuˆn nhˆ t dang y = y + y ∗
a
. e. o’ a ’ ınh o `
a ´
a .
V´ du 6. Giai phu.o.ng tr`
ı . ’ ınh:
y − 2xy = x
+ Giai phu.o.ng tr` thuˆn nhˆ t y − 2xy = 0, ta c´ nghiˆm:
’ ınh `
a ´
a o e
.
dy 2 x2
a. y = 2xdx ⇒ ln y = x + ln C ⇒ y = Ce .
y = 0 ho˘c
+ Nghiˆm riˆng cua phu.o.ng tr` khˆng thuˆn nhˆ t l`:
e
. e ’ ınh o `
a ´
a a
2 2 2 1 2 1
y ∗ = ex . x.e−x dx = ex . − e−x =− .
2 2
1
Vˆy (1) c´ nghiˆm tˆ ng qu´t: y = y + y ∗ = Cex − v´.i C t` y y.
2
a
. o e
. o’ a o u ´
2
V´ du 7. Giai phu.o.ng tr`
ı . ’ ınh:
2
y + 2xy = xe−x .
+ Giai phu.o.ng tr` thuˆn nhˆ t y + 2xy = 0, ta c´ nghiˆm:
’ ınh `
a ´
a o e
.
dy 2 −x2
a. y = −2xdx ⇒ ln y = −x + ln C ⇒ y = Ce
y = 0 ho˘c .
44
+ Nghiˆm riˆng cua phu.o.ng tr` khˆng thuˆn nhˆ t l`:
e
. e ’ ınh o `
a ´
a a
2
∗ −x2 −x2 x2 −x2 x2 e−x
y =e . x.e .e dx = e . xdx = .
2
2
x2 e−x
v´.i C t` y y.
2
Vˆy (1) c´ nghiˆm tˆ ng qu´t l`: y = y + y ∗ = Ce−x +
a
. o e
. o’ a a o u ´
2
2.4. Phu.o.ng tr` Bernoulli
ınh
L` phu
a .o.ng tr` c´ dang y + p(x)y = q(x).y α .
ınh o .
y 1−α
-e ’
’
Dˆ giai, gia thiˆt y ≡ 0, chia 2 vˆ cho y α , rˆi d ˘t z =
’ e´ ´
e ` ¯a
o . a a
(l` h`m theo x, z ≡ 0),
1−α
giai phu.o.ng tr` tuyˆn t´ cˆ p 1 theo z.
’ ınh ´
e ınh a ´
ı . ’
V´ du 8. Giai phu .o.ng tr`
ınh:
y + 2xy = 2x3 y 3 .
+ Nˆu y ≡ 0 th` y = 0: (1) thoa m˜n nˆn y = 0 l` nghiˆm cua phu.o.ng tr`
´
e ı ’ a e a e
. ’ ınh
1 −2
-a
+ Nˆu y ≡ 0 (1)⇒ y y −3 + 2xy −2 = 2x3 . D˘t z = − y
´
e . a a
(l` h`m theo x, z ≡ 0),
2
−3
th` z = y y , phu
ı: .o.ng tr` tro. th`nh
ınh ’ a z − 4xz = 2x3 (3)
’
Giai (3). Phu .o.ng tr` thuˆn nhˆ t:
ınh `
a ´
a
dz 2
z − 4xz = 0 ⇒ = 4xdx ⇒ z = Ce2x
z
a e e
v` nghiˆm riˆng
.
2 2 2 1 1 2 1 1
z ∗ = e2x 2x3 e−2x dx = e2x − x2 + e−2x = x2 + .
2 2 2 2
2 1 1
Vˆy (3) c´ nghiˆm tˆ ng qu´t: z = z + z ∗ = Ce2x −
a
. o e o
. ’ a x2 + e o e
, nˆn (1) c´ nghiˆm
.
2 2
1 2 1
= −2Ce2x + x2 +
y2 2 , v´.i C t` y y.
o u ´
y=0
`
BAI TAPˆ
.
’ a
4.1.1. Gia i c´c phu .o.ng tr`nh vi phˆn sau (da ng d u.a vˆ biˆn sˆ phˆn ly):
ı a ¯ e ´ ´
` e o a
.
x+y x−y
(xy 2 −x)dx+(y +x2 y)dy = 0; y +sin −sin = 0; y = 2x+y +4;
2 2
√ 2
2x 5y
y = y − x + 1; y = ex+y −1; xy = ey −1; dx+ 2 dy = 0;
1 + 2x2 y +1
(1 + e2x )y 2 dy = ex dx (biˆt y(0) = 0);
´
e y = ey−4x (biˆt y(1) = 1)
´
e
’ a
4.1.2. Gia i c´c phu .o.ng tr`nh vi phˆn sau (da ng d ˘ ng cˆ p cˆ p 1):
ı a ¯a’ ´ ´
a a
.
2
y y y y 2xy
y = 2 − 2; y = ex + ; xy = y ln ; y = 2 ;
x x x x − y2
√ y y y x
(x2 +2xy)dx+xydy = 0; xy = y− xy; y = 1 + ln ; y = + ;
x x x y
45
y y y y π
y = + cos2 ; x3 y = y(x2 + y 2 ); ´
e
y = + sin (biˆt y(1) = );
x x x x 2
y π y y2
´
xy − y = xtg (biˆt y(1) = );
e ´
e
y = + 2 (biˆt y(−1) = 1);
x 2 x x
y 1 y 3
y = + ´
e
(biˆt y(−1) = 1);
x 2 x
4.1.3. Gia i c´c phu.o.ng tr`nh vi phˆn sau (da ng tuyˆn t´ cˆ p 1):
’ a ı a . ´
e ınh a ´
y
y + 2y = 4x; (1 + x2 )y − 2xy = (1 + x2 )2 ; xy − = x;
1+x
2
xy + y = x2 cos x; y + 2xy = xe−x ; y cos x + y sin x = 1;
2 x x 2x 1 2
xy −xy = (1+x )e ; y +e y = e ; y− y = x ln x; y − y = 4x2 ;
x ln x x
y 3
y + xy = 3x; y + = 3x ; y + 2y = cos x; y − 2y = sin x;
x
xy + y = ex (biˆt y(1) = 0);
´
e ´
e
(x + 1)xy − y = x(x + 1) (biˆt y(1) = 0)
II. Phu.o.ng tr` a ´
a
ınh vi phˆn cˆ p 2
a e
1. Kh´i niˆm chung
.
* Ta goi phu.o.ng tr`
. ınh vi phˆn cˆ p 2 l` phu.o.ng tr` c´ dang
a ´
a a ınh o .
F (y , y , y, x) = 0 (II)
hay
y = f (y , y, x) (IIo )
´
trong d ´ y l` h`m sˆ theo biˆn x, c`n y , y l` d ao h`m cˆ p 1,2 cua y, v` nghiˆm
¯o a a o ´
e o a ¯. a a´ ’ a e
.
’
cu a phu .o.ng tr` l` h`m y = ψ(x) hay Φ(x, y) = 0 thoa m˜n phu.o.ng tr` d o.
ınh a a ’ a ınh ¯´
* H`m y = ψ(x, C1 , C2 ) ho˘c Φ(x, y, C1 , C2 ) = 0 thoa m˜n phu.o.ng tr` (II) hay
a a
. ’ a ınh
(IIo ) v´.i C1 , C2 l` h˘ ng sˆ t` y y trong tˆp con n`o d ´ cua R, v` v´.i mˆi d ` u
o a ` a ´
o u ´ a. a ¯o ’ a o ˜
o ¯iˆ e
kiˆn y(xo ) = yo v` y (xo ) = yo ta t` d u .
e a ım ¯ .o.c duy nhˆ t c˘p sˆ C , C sao cho y =
´ .
a a o 10 20 ´
.
ψ(x, C10 , C20 ) hay Φ(x, y, C10 , C20 ) = 0 thoa (II) hay (IIo ) d u.o.c goi l` nghiˆm
’ ¯ . . a e
.
tˆ ng qu´t cu a c´c phu.o.ng tr`
o’ a ’ a ınh d ´.¯o
e´
* Nˆu y = ψ(y, C1 , C2 ) hay Φ(x, y, C1 , C2 ) = 0 l` nghiˆm tˆ ng qu´t cua (II) hay
a e
. o’ a ’
(IIo ), cho C1 = C01 , C2 = C02 v´ o .i C , C l` hai sˆ x´c d inh cu thˆ th` y =
a ´
o a ¯. ’
e ı
01 02 .
ψ(x, C01 , C02 ) hay Φ(x, y, C01 , C02 ) = 0 d u . ¯ .o.c goi l` nghiˆm riˆng cu a phu.o.ng
e e ’
. a .
tr` ¯o
ınh d ´.
+ (Dinh l´ tˆn tai v` duy nhˆ t nghiˆm): Trong phu.o.ng tr`nh (IIo ), nˆu h`m
-. y ` o . a a´ e
. ı ´
e a
e . ` n n`o d o ch´.a d iˆ m (yo , yo , xo ) th` tˆn tai mˆt nghiˆm
e
f (y , y, x) liˆn tuc trong miˆ a ¯´ u ¯ e ’ ı o` . o. e.
’ a e ´
y = y(x) cu a (IIo ) sao cho y + o = y(xo ), yo = y (xo ) v` nˆu fy .fy c˜ng liˆn tuc u e .
trong miˆn ch´.a d iˆ m (yo , yo , xo ) th` nghiˆm ˆ y l` duy nhˆ t.
`e u ¯e ’ ı . ´
e a a ´
a
2. C´c loai phu.o.ng tr`
a . ınh vi phˆn cˆ p 2 thu.`.ng g˘p
a ´
a o a
.
2.1. Phu .o.ng tr` vi phˆn cˆ p 2 giam cˆ p d .o.c
ınh a a ´ ’ ´
a ¯u .
+ Phu.o.ng tr`nh c´ dang y = f (x) (thiˆu y, y )
ı o . ´
e
a ’ ıch a
C´ch giai: t´ phˆn 2 lˆn. `a
V´ du 1. Giai phu.o.ng tr`
ı . ’ ınh:
y = x + 1.
46
x2
o
Ta c´: y = (x + 1)dx = + x + C1 , suy ra:
2
x2 x3 x2
y= + x + C1 dx = + + C1 x + C2 v´.i C1 , C2 t` y y.
o u ´
2 6 2
+ Phu.o.ng tr`nh c´ dang y = f (y , x) (thiˆu y)
ı o . ´
e
C´ch giai: d at y = z (h`m theo x) ⇒ y = z . Nˆn: z = f (z, x) l` phu.o.ng
a ’ ¯˘ . a e a
ınh a´ ’ ’
tr` cˆ p 1 cua z theo x, giai ra nghiˆm tˆ e
. o’ng qu´t z = ψ(x, C1 ), thay z = y , ta c´:
a o
y = ψ(x, C1 ) gia ’ i ra nghiˆm tˆ ng qu´t cua phu.o.ng tr` ban d` u.
e
. o’ a ’ ınh a
¯ˆ
ı . ’
V´ du 2. Giai phu .o.ng tr`
ınh:
y = y + x.
D˘t y = z (h`m theo x) ⇒ y = z , suy ra z − z = x. Dˆy l` phu.o.ng tr` vi
-a. a -a a ınh
a ´
e ınh a ´ ’ a o
phˆn tuyˆn t´ cˆ p 1 cua h`m z theo x v´.i p(x) = −1, q(x) = x nˆn c´ nghiˆm:
e o e
.
p(x)dx
z= q(x)e dx + C1 e− p(x)dx
= xe−x dx + C1 ex = C1 ex − (x + 1).
x2
Thay z = y , ta c´: y = C1 ex − (x + 1) ⇒ y = C1 ex −
o − x + C2 v´.i C1, C2 t` y y.
o u ´
2
+ Phu.o.ng tr`nh c´ dang y = f (y, y ) (thiˆu x)
ı o . ´
e
’ ¯a
C´ch giai: d ˘t y = z (h`m theo y), d ao h`m theo x, ta c´: y = zy · y = z · z,
a . a ¯. a o
e
nˆn: z · z = f (y, z).
Giai phu.o.ng tr` cˆ p 1 cua z theo biˆn y, ta c´: z = ψ(y, C1 ), thay z = y rˆi giai
’ ınh a´ ’ ´
e o `
o ’
´
tiˆp phu
e .o.ng tr` y = ψ(y, C ) ta c´ nghiˆm tˆ ng qu´t cua phu.o.ng tr` d a cho.
ınh o e o’ a ’ ınh ¯˜
1 .
ı . ’
V´ du 3. Giai phu .o.ng tr`
ınh:
(1 − y)y + 2(y )2 = 0 (1)
dz
D˘t y = z (theo y) ⇒ y = z y = z z (v´.i z =
-a
. o o
), ta c´:
dy
(1 − y)z z + 2z 2 = 0 (2)
´
+ Nˆu z ≡ 0 ⇒ z = 0: (2) thoa m˜n nˆn z ≡ 0 l` nghiˆm cua (2)⇒ y = 0 ⇒ y = C1
e ’ a e a e. ’
o .i C t` y y) l` nghiˆm cua (1)
(v´ 1 u ´ a e ’
.
+ Nˆ ´u 1 − y ≡ 0 ⇔ y ≡ 1 ⇒ y = 0: (1) thoa m˜n nˆn y = 1 l` nghiˆm (1) (tru.`.ng
e ’ a e a e
. o
ho .p riˆng cua nghiˆm y = C )
e ’ e
. . 1
´
+ Nˆu y ≡ C1 ⇔ z ≡ 0:
e
dz dz 2dy
(2)⇒ (1 − y) = −2z ⇒ = ⇒ ln |z| = 2 ln |y − 1| + ln |C1 |
dy z y −1
dy 1
Suy ra: z = y = C1 (y − 1)2 ⇒ 2
= C1 dx ⇒ − = C1 x + C2 .
(y − 1) y−1
1
y=− u ´
+ 1; C1 = 0, C2 t` y y
Vˆy (1) c´ nghiˆm:
a. o e
. C1x + C2
u ´
y = C1, C1 t` y y
.o.ng tr` e ınh cˆ p 2 v´.i hˆ sˆ h˘ ng
2.2. Phu a
ınh vi phˆn tuyˆn t´´ ´
a o . ´ `
e o a
47
L` phu.o.ng tr` c´ dang y + py + qy = f (x) trong d ´ p, q l` h˘ ng sˆ thu.c. * Dˆi
a ınh o . ¯o a a` ´
o . -o´
o
v´.i phu.o.ng tr`nh thuˆn nhˆ t (f (x) = 0):
ı `
a ´
a
’
Giai phu .o.ng tr` d ac tru.ng:
ınh ¯˘ k 2 + pk + q = 0. (DT)
.
´
+ Nˆu (DT) c´ 2 nghiˆm thu
e o e .c phˆn biˆt k , k th` nghiˆm tˆ ng qu´t cua phu.o.ng
a e 1 2 ı e o’ a ’
. . . .
ınh `
tr` thuˆn nhˆ t l`:
a ´
a a
y = C1 ek1 x + C2ek2 x .
+ Nˆu (DT) c´ nghiˆm k´p k1 = k2 th` nghiˆm tˆ ng qu´t cua phu.o.ng tr` thuˆn
´
e o e. e ı e
. o’ a ’ ınh `
a
a´t l`:
nhˆ a
y = (C1 + C2 x)ek1 x .
+ Nˆu (DT) c´ 2 nghiˆm ph´.c k1 = α + βi, k2 = α − βi th` nghiˆm tˆ’ng qu´t cua
´
e o e
. u ı e
. o a ’
phu .o.ng tr` thuˆn nhˆ t l`:
ınh `
a ´
a a
y = eαx (C1 cos βx + C2 sin βx).
* Dˆi v´.i phu.o.ng tr`nh khˆng thuˆn nhˆ t y + py + qy = f (x) (vˆ pha i c´ dang d ˘c
-o o
´ ı o `
a ´
a ´ ’ o .
e ¯a .
e
biˆt):
.
Bu.´.c 1: Giai phu.o.ng tr` thuˆn nhˆ t tu.o.ng u.ng, t` nghiˆm tˆ ng qu´t du.´.i dang:
o ’ ınh `a ´
a ´ ım e
. o’ a o .
y = C1 y1 (x) + C2 y2 (x)
Bu.´.c 2: T` nghiˆm riˆng y ∗ cua phu.o.ng tr` khˆng thuˆn nhˆ t dˆ suy ra nghiˆm
o ım e
. e ’ ınh o `
a ´ ’
a ¯e e.
∗
y =y+y
+ Nˆu f (x) c´ dang Pn (x)eax (Pn (x) l` d a th´.c bˆc n):
´
e o . a ¯ u a .
− Nˆu a khˆng phai l` nghiˆm cua (DT) th` y ∗ c´ dang:
´
e o ’ a e
. ’ ı o .
y ∗ = (an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + ao )eax
− Nˆu a l` nghiˆm d .n cua (DT) th` y ∗ c´ dang:
´
e a e ¯o
. ’ ı o .
y ∗ = x(an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + ao )eax
− Nˆu a l` nghiˆm k´p cua (DT) th` y ∗ c´ dang:
´
e a e
. e ’ ı o .
y ∗ = x2 (an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + ao )eax
+ Nˆu f (x) c´ dang eax [Pn (x) cos bx + Qm (x) sin bx]: (Pn (x), Qm (x) l` c´c d a th´.c
e´ o . a a ¯ u
a ¯a
bˆc n, m), d ˘t h = max{m, n}:
. .
− Nˆu a + bi khˆng phai l` nghiˆm cua (DT) th` y ∗ c´ dang:
´
e o ’ a e
. ’ ı o .
y ∗ = (ah xh + · · · + a1 x + ao ) cos bx + (bh xh + · · · + b1 x + bo ) sin bx eax
− Nˆu a + bi l` nghiˆm cua (DT) th` y ∗ c´ dang:
´
e a e
. ’ ı o .
y ∗ = x. (ah xh + · · · + a1 x + ao ) cos bx + (bh xh + · · · + b1 x + bo ) sin bx eax
Dˆ x´c d .nh c´c sˆ ai , bi o. trˆn, ta d` ng phu.o.ng ph´p hˆ sˆ bˆ t d .nh: t´ y ∗ , y ∗
- e a ¯i
’ a o´ ’ e u . ´ ´
a e o a ¯i ınh
`
o ∗ ∗ ∗
a
rˆi thay y , y , y v`o phu .o.ng tr` khˆng thuˆn nhˆ t, d` ng nhˆ t hai vˆ v` giai hˆ
ınh o `
a ´
a ¯ˆ o a´ ´
e a ’ e .
phu .o.ng tr` theo a , b .
ınh i i
48
+ Nguyˆn l´ chˆng chˆ t nghiˆm: Nˆu y1 (x), y2 (x) lˆn lu.o.t l` nghiˆm riˆng cu a
e y ` o ´
a e. ´
e `
a . a e
. e ’
c´c phu
a .o.ng tr`nh y + p(x).y + q(x).y = f (x) v` y + p(x).y + q(x).y = f (x) th`
ı a ı
1 2
a e e ’
y1 (x) + y2 (x) l` nghiˆm riˆng cu a y + p(x).y + q(x).y = f1 (x) + f2 (x).
.
ı . ’
V´ du 1. Giai phu .o.ng tr`
ınh:
y − 2y − 3y = e4x (1)
k1 = −1
Phu.o.ng tr` d ˘c tru.ng k 2 − 2k − 3 = 0 c´ nghiˆm
ınh ¯a
. o e
. nˆn phu.o.ng tr`
e ınh
k2 = 3
thuˆn nhˆ t: y − 2y − 3y = 0 c´ nghiˆm y = C1 e−x + C2 e3x , C1 , C2 t` y y.
`
a ´
a o e
. u ´
´
e ’
Vˆ phai (1) c´ dang Pn (x)e v´
o . ax
o.i n = 0, a = 4 = k , k nˆn nghiˆm riˆng c´ dang
1 2 e e
. e o .
y∗ = 4ao e4x
y ∗ = ao e4x , suy ra: a o
. Thay v`o (1), ta c´:
y∗ = 16ao e4x
1
16ao e4x − 8ao e4x − 3ao e4x = e4x ⇒ ao = , suy ra:
5
∗ −x 3x 1 4x
y = y + y = C1 e + C2 e + e , ∀C1, C2 .
5
V´ du 2. Gia
ı . ’ i phu.o.ng tr`
ınh:
y − 2y + y = 6xex (2)
Phu.o.ng tr` d ˘c tru.ng k 2 − 2k + 1 = 0 c´ nghiˆm k´p k1 = k2 = 1 nˆn phu.o.ng
ınh ¯a . o e
. e e
tr` thuˆn nhˆ t: y − 2y + y = 0 c´ nghiˆm y = (C1 x + C2)ex , C1, C2 t` y y.
ınh `
a ´
a o e
. u ´
Vˆ phai (2) c´ dang Pn (x)eax v´.i n = 1, a = 1 = k1 = k2 nˆn nghiˆm riˆng c´ dang
´ ’
e o . o e e
. e o .
y∗ = [a1 x3 + (3a1 + ao )x2 + 2ao x]ex
y ∗ = x2 (a1 x + ao )ex , suy ra: .
y∗ = [a1 x3 + (6a1 + ao )x2 + (6a1 + 4ao )x + 2ao ]ex
6a1 = 6 a1 = 1
Thay v`o (2), ta c´:
a o ⇒ ⇒ y ∗ = x3 ex nˆn (2) c´ nghiˆm:
e o e
.
2ao = 0 ao = 0
y = y + y ∗ = (C1 x + C2 )ex + x3 ex = (C1 x + C2 + x3 )ex , ∀C1 , C2
V´ du 3. Giai p[hu.o.ng tr`
ı . ’ ınh:
y + y = 4xex (3)
Phu.o.ng tr` d ˘c tru.ng k 2 + 1 = 0 c´ nghiˆm k = ±i nˆn phu.o.ng tr` thuˆn
ınh ¯a . o e
. e ınh `a
nhˆ t: y + y = 0 c´ nghiˆm y = e0x (C1 sin x + C2 cos x) = C1 sin x + C2 cos x, C1 , C2
a´ o e.
u ´
t` y y.
Vˆ phai (3) c´ dang Pn (x)eax v´.i n = 1, a = 1 = k1 , k2 nˆn nghiˆm riˆng c´ dang:
´
e ’ o . o e e
. e o .
y∗ = (a1 x + a1 + ao )ex
y ∗ = (a1 x + ao )ex , suy ra: .
y∗ = (a1 x + 2a1 + ao )ex
a o -ˆ
Thay v`o (3), ta c´: 2a1 x + 2a1 + 2ao = 4x. D` ng nhˆ t 2 vˆ:
o ´
a e´
a1 =2 a1 = 2
⇒ ⇒ y ∗ = (2x − 2)ex nˆn (2) c´ nghiˆm:
e o e
.
a1 + ao = 0 ao = −2
y = y + y ∗ = (C1 sin x + C2 cos x) + (2x − 2)ex , ∀C1 , C2
V´ du 4. Giai phu.o.ng tr`
ı . ’ ınh:
y − y = 2ex − x2 (4)
Phu.o.ng tr` d ˘c tru.ng k 2 − 1 = 0 c´ nghiˆm k = ±1 nˆn phu.o.ng tr` thuˆn
ınh ¯a
. o e
. e ınh `
a
´ x −x
nhˆ t: y − y = 0 c´ nghiˆm y = C1 e + C2 e , C1 , C2 t` y y.
a o e. u ´
49
e y ` o ´
a e
. e
. e ’ a o’
Theo nguyˆn l´ chˆng chˆ t nghiˆm, nghiˆm riˆng cua (4) l` tˆ ng hai nghiˆm riˆnge. e
x
y − y = 2e (4a)
cua hai phu.o.ng tr` sau:
’ ınh
y − y = −x2 (4b)
Vˆ´ phai (4a) c´ dang Pn (x)eax v´.i n = 0, a = 1 = k1 nˆn nghiˆm riˆng c´ dang:
e ’ o . o e e
. e o .
∗
y1 = (ao x + ao )ex
∗
y1 = x(ao )ex = ao xex , suy ra: ∗
.
y1 = (ao x + 2ao )ex
e ∗
Thay v`o (4a), ta c´: (ao x + 2ao − ao x)ex = 2ex ⇒ ao = 1, nˆn y1 = xex
a o
´
e ’
Vˆ phai (4b) c´ dang Pn (x)e v´
o . ax
o.i n = 2, a = 0 = k , k nˆn nghiˆm riˆng c´ dang:
1 2 e e
. e o .
a2 = 1
∗ 2
y2∗
= 2a2 x + a1 (4b)
y2 = a2 x + a1 x + ao , suy ra: ⇒ ∗
a1 = 0 ⇒ y2 = x2 + 2.
y2∗
= 2a2
ao = 2
’ ∗ ∗ ∗ x 2 ’
Suy ra nghiˆm riˆng cua (4) l`: y = y1 + y2 = xe + x + 2 v` nghiˆm tˆ ng qu´t:
e
. e a a e
. o a
y = y + y ∗ = C1 ex + C2 e−x + xex + x2 + 2, ∀C1 , C2
`
BAI TAPˆ
.
’ i c´c phu.o.ng tr`nh vi phˆn cˆ p 2 sau (dang gia m cˆ p):
4.2.1. Gia a ı a a ´ . ’ ´
a
y 2
xy = y ; xy = y ln ; x2 y = y ; y 3 y = 1; y (ex + 1) + y = 0;
x
2 2
(x ln x)y − y = 0; x2 y + 3xy = 0; 1 + y = 2yy ; yy − y = 0
4.2.2. Gia i c´c phu.o.ng tr`nh vi phˆn cˆ p 2 sau (dang tuyˆn t´ v´.i hˆ sˆ h˘ ng):
’ a ı a a ´ . e ınh o e o `
´ . ´ a
x 2x 2
y −2y +y = e ; y −5y +6y = e ; y −2y +2y = 2x ; y +y −2y = xex ;
y − 3y + 2y = ex (2x + 3); y − y − x; y − 6y + 5y = 3ex + 5x2 ;
2
y − 5y = 3x + sin 5x; y + y = sin x cos 3x; y − 2y − 3y = 3 − 4ex
-ooOoo-
50
a e ’
T`i liˆu tham khao
.
´
e
Tiˆng Viˆt e.
1. Lu .o.ng H`. 2002. Gi´o tr` H`m nhiˆu biˆn sˆ. Trung tˆn D`o tao T`. Xa, Dai
a a ınh a `e ´ ´
e o a -a . u - .
hoc Huˆ.
. ´
e
2. Lˆ Tu ’
e . . Hy. 1974. Gi´o tr` Giai t´ Viˆn Dai hoc Huˆ.
a ınh ’ ıch, e - . . ´
e
.
´
3. Lˆ Viˆt Ngu
e e ., Phan v˘n Danh. 2000. To´n hoc cao cˆ p (chuyˆn ng`nh Sinh, Y,
a a ´
a e a
.
o a
Nˆng Lˆm). NXB Gi´o duc. a .
4. Th´i Xuˆn Tiˆn, Da
a a e - ˘ng Ngoc Duc. 2002. To´n cao cˆ p (phˆn Giai t´
. . . a ´
a `
a ’ ıch). Trung
a -a .
tˆm D`o tao T` u. Xa, Dai hoc Huˆ.
- . . e´
5. Nguyˆ ˜n D` Tr´ v` cˆng su.. 1983. To´n hoc cao cˆ p. Tˆp I,II,III. NXB Dai hoc
e - ınh ı a o . . a . a´ a. - . .
a
v` THCN.
´
e
Tiˆng Anh
. ´
6. P.E. Danko, A.G. Popov. 1996. B`i tˆp To´n cao cˆ p (ban dich). NXB Gi´o duc.
a a a a ’ . a .
7. G.Dorofeev, M.Potapov, N.Rozov. 1976. Elementary mathematics. Mir Publisher.
’ ıch a . ’
8. Liasko. 1979. Giai t´ to´n hoc (ban dich). Tˆp I. NXB Dai hoc v` THCN.
. a. - . . a
