Docstoc

Bai giang dai so tuyen tinh va giai tich_tham khao_

Document Sample
Bai giang dai so tuyen tinh va giai tich_tham khao_ Powered By Docstoc
					                                              ´.
                 Chu.o.ng 1. MA TRAN - DINH THU C (8+4)
                                  ˆ    - .
                                  .
I. Ma trˆna
          .
   * Cho m, n nguyˆn du.o.ng. Ta goi ma trˆn c˜. m × n l` mˆt bang sˆ gˆm m × n
                        e              .        a
                                                .    o         a o ’
                                                                  .  o `
                                                                     ´ o
      ´
      o .   .c d u.o.c viˆt th`nh m h`ng, n cˆt c´ dang nhu. sau:
     sˆ thu ¯ .          ´
                         e    a      a       o o .
                                             .
                                                                               
                                             a1,1         a1,2     ...     a1,n
                                            a            a2,2     ...     a2,n 
                             (ai,j )m×n   =  2,1                               
                                              ...          ...     ...      ...
                                             am,1         am,2     ...     am,n

    trong d ´ c´c sˆ thu.c
          ¯o a o . ´
                                          ai,j , i = 1, m, j = 1, n
    d u.o.c goi l` c´c phˆn tu. cu a ma trˆn, chı sˆ i chı h`ng v` chı sˆ j chı cˆt cua
    ¯ .       . a a       `
                          a     ’ ’             a.    ’ o´   ’ a   a ’ o  ´   ’ o ’
                                                                                 .
    phˆn tu. ma trˆn.
       `
       a ’           a
                     .
  * Ma trˆn c˜. 1 × n d u.o.c goi l` ma trˆn h`ng, ma trˆn c˜. m × 1 d .o.c goi l` ma
            a o
            .            ¯ .     . a          a
                                              .     a         a o
                                                              .          ¯u . . a
       a
    trˆn cˆt, ma trˆn c˜
              o        a o  . n × n d u.o.c goi l` ma trˆn vuˆng cˆ p n.
                                    ¯ .                  a    o   ´
                                                                  a
       .      .        .                     . a         .
  * Trˆn ma trˆn vuˆng cˆ p n, d .`.ng ch´o gˆm c´c phˆn tu.
       e          a
                  .    o     a´    ¯u o        e ` o   a   `
                                                           a ’

                                                 ai,i , i = 1, n

    d u.o.c goi l` d u.`.ng ch´o ch´
    ¯ .      . a¯ o           e    ınh, d .`.ng ch´o gˆm c´c phˆn tu.
                                        ¯u o      e ` o   a    `
                                                               a ’

                                            ai,n+1−i , i = 1, n

    d u.o.c goi l` d u.`.ng ch´o phu cua ma trˆn.
    ¯ .       . a¯ o          e     . ’          a.
  * Ma trˆn vuˆng cˆ
            a
            .      o     ´p n c´ c´c phˆn tu. n˘ m ngo`i d u.`.ng ch´o ch´ d` u b˘ ng 0,
                         a     o a     `
                                       a        `
                                              ’ a        a ¯ o      e    ınh ¯ˆ `
                                                                              e  a
         ıa a
    ngh˜ l`:
                                         ai,j = 0, ∀i = j
    d u.o.c goi l` ma trˆn ch´o.
    ¯ .       . a       a
                        .    e
            a     e o
  * Ma trˆn ch´o c´
            .
                                             ai,i = 1, i = 1, n
    d u.o.c goi l` ma trˆn d o.n vi cˆ p n, k´ hiˆu In .
    ¯ .       . a        a ¯
                          .       . a´        y e  .
  * Ma trˆn c˜
            a o   . m × n c´o
            .
                                    ai,j = 0, ∀i, j : i > j
    d u.o.c goi l` ma trˆn bˆc thang.
    ¯ .        . a       a
                         .    a.
             a o
  * Ma trˆn c˜    . m × n c´ c´c phˆn tu. d` u b˘ ng 0 d u.o.c goi l` ma trˆn khˆng, k´
                           o a      a ’ ¯ˆ `
                                    `      e    a      ¯ .                 a    o
             .                                                  . a        .          y
    hiˆu 0m,n .
       e
       .
  * Ta goi ma trˆn chuyˆ n vi
           .         a
                     .       e’   .
                                                                                 
                                                 a1,1         a2,1   ...     am,1
                                                a            a2,2   ...     am,2 
                        AT = (aj,i )n×m       =  1,2                             
                                                 ...          ...    ...      ...
                                                 a1,n         a2,n   ...     am,n

                                                                                    Typeset by AMS-TEX
                                                                                            2

     ’       a
    cua ma trˆn
             .                                                             
                                              a1,1       a1,2    ...   a1,n
                                             a2,1       a2,2    ...   a2,n 
                       A = (ai,j )m×n      =                               
                                               ...        ...    ...    ...
                                              am,1       am,2    ...   am,n
    l` ma trˆn c´ d u.o.c t`. A b˘ ng c´ch chuyˆn h`ng th`nh cˆt, cˆt th`nh h`ng.
     a         a o ¯ . u
               .                   `
                                   a     a      ’
                                               e a         a     o o
                                                                 .    .  a    a
                            . (a )                  .o.c goi l` b˘ ng nhau nˆu c´c phˆn
                                                                 `          ´        `
  * Hai ma trˆn c` ng c˜ i,j m×n v` (bi,j )m×n d u .
                 a u
                 .         o             a        ¯       . a a             e a      a
    tu. o. t`.ng vi tr´ d` u b˘ ng nhau:
      ’ ’ u        .     e `
                      ı ¯ˆ a

                               ai,j = bi,j , ∀i = 1, m, ∀j = 1, n.

 + Tˆ ng (hiˆu) cua hai ma trˆn c` ng c˜. m × n l` mˆt ma trˆn c˜. m × n, trong d ´
    o’      e
            .    ’            a u
                              .         o          a o  .      a o
                                                                .                       ¯o
   phˆn tu. cua ma trˆn tˆ ng (hiˆu) l` tˆ ng (hiˆu) c´c phˆn tu. o. vi tr´ tu.o.ng u.ng:
     `
     a ’ ’           a o
                     .    ’      e
                                 .    a o ’      e
                                                 .    a    `
                                                           a ’ ’ . ı                ´

                             (ci,j )m×n = (ai,j )m×n ± (bi,j )m×n

    v´.i
     o
                            ci,j = ai,j ± bi,j , ∀i = 1, m, ∀j = 1, n.
 + T´ vˆ hu.´.ng cua sˆ thu.c α v´.i ma trˆn c˜. m × n l` ma trˆn c˜. m × n, trong d ´
    ıch o o           ´
                    ’ o .        o        a o
                                          .               a       a o
                                                                  .                  ¯o
   mˆi phˆn tu. l` t´ cua α v´.i phˆn tu. o. vi tr´ tu.o.ng u.ng cua ma trˆn ban d` u:
    o˜   `
         a ’ a ıch ’          o     `a ’ ’ . ı              ´     ’       a
                                                                          .       a
                                                                                 ¯ˆ

                                    (ci,j )m×n = α.(ai,j )m×n

    v´.i
     o
                              ci,j = α.bi,j , ∀i = 1, m, ∀j = 1, n.
 + T´ vˆ hu.´.ng c´ t´ phˆn bˆ v´.i ph´p cˆng c´c ma trˆn: α.(A + B) = α.A + α.B,
    ıch o o        o ınh a o o   ´      e o .   a        a
                                                         .
   v´
    o.i ph´p cˆng c´c hˆ sˆ: (α + β).A = α.A + β.B, c´ t´ kˆt ho.p:
          e o      a e o  ´                                ´
                                                     o ınh e .
              .        .

                                     α.(β · A) = (α.β) · A.

    ıch ’          a
 + T´ cua hai ma trˆn A = (ai,j )m×n v` B = (bj,k )n×q l` ma trˆn
                   .                  a                 a      a
                                                               .

                                    C = A × B = (ci,k )m×q ,

    v´.i
     o
                                    n
                           ci,k =         ai,j bj,k , ∀i = 1, m, ∀k = 1, q.
                                    j=1

 ı .
V´ du.
                                                                                 
    1 3     2       1 3        1.1 + 3.1 + 2.3              1.3 − 3.1 + 2.2       10 4
   2 4     7  ×  1 −1  =  2.1 + 4.1 + 7.3              2.3 − 4.1 + 7.2  =  27 16 
    3 5     6       3 2        3.1 + 5.1 + 6.3              3.3 − 5.1 + 6.2       26 16
                                                                                            3


 + Ph´p nhˆn hai ma trˆn c´ t´ kˆt ho.p: A × (B × C) = (A × B) × C, t´ phˆn
     e      a                     ´ .
                          a o ınh e
                          .                                          ınh a
     ´ ´
   phˆi d oi v´
     o ¯ˆ o    .i ph´p cˆng:
                    e o .

               A × (B + C) = A × B + A × C; (A + B) × C = A × C + B × C.

       Ngo`i ra, nˆu A c´ c˜. m × n, th`
          a       ´
                  e     o o            ı

                                         A × In = Im × A = A.


II. Dinh th´.c
    -.      u
                                             a   . ’ a
  * Cho E = {1, 2, 3, . . . , n}. Ta goi ho´n vi cu a tˆp E l` mˆt song ´nh f : E → E,
                                      .                  .     a o
                                                                 .      a
     y e
    k´ hiˆu
         .
                                          1     2   ...    n
                                  f:
                                        f (1) f (2) . . . f(n)
       hay
                                         (f (1), f(2), . . . , f (n))
         ´
      o a ’          a . a
    (c´ tˆ t ca n! ho´n vi kh´c nhau).
V´ du. Cho E = {1, 2, 3}. Anh xa f : E → E x´c d .nh bo.i: f (1) = 1, f(2) = 3, f(3) = 2
  ı .                      ´     .          a ¯i      ’
 a o     a . ’           y e a
l` mˆt ho´n vi cua E, k´ hiˆu l`
    .                        .

                                              1 2       3
                                              1 3       2

  a
ho˘c
  .
                                              (1, 3, 2).
         o    a .
  * Cho mˆt ho´n vi
         .
                                            1       2        ...    n
                                 f:
                                          f (1)   f (2)      ...   f(n)
       ta th`nh lˆp c´c c˘p th´. tu.
            a    a a a
                 .       .    u .

                                          (f (i), f(j)), ∀i = j,

       s˜ c´ Cn c˘p th´. tu. nhu. thˆ; mˆt c˘p (f (i), f(j)) d .o.c goi l` nghich thˆ nˆu
        e o 2 a  .    u .           ´ . .
                                    e o a                    ¯u .    . a      .     ´ ´
                                                                                    e e

                                       (i − j)(f (i) − f (j)) < 0.

    Goi N (f ) l` sˆ c´c nghich thˆ cua ho´n vi f (c´ trong Cn c˘p th´. tu. trˆn).
      .            ´
                a o a       .      ´
                                   e ’    a .       o        2
                                                                a
                                                                .    u . e
 ı .
V´ du. T` sˆ
        ım o             ´ ’
             ´ nghich thˆ cua ho´n vi
                   .     e        a .

                                           1 2      3       4 5
                                   f :                             .
                                           3 2      1       5 4
                                                                                               4


T`. ho´n vi n`y, ta c´ c´c c˘p th´. tu.
 u a . a             o a a  .    u .

             (3, 2), (3, 1), (3, 5), (3, 4), (2, 1), (2, 5), (2, 4), (1, 5), (1, 4), (5, 4),

      ¯´      o a            ´
                             e
trong d o ta c´ c´c nghich thˆ:
                       .

                                    (3, 2), (3, 1), (2, 1), (5, 4),

suy ra N (f ) = 4
  * Cho ma trˆn (A)n,n . Dinh th´.c cu a A l` mˆt sˆ thu.c, k´ hiˆu v` x´c d inh nhu.
                a
                .        -.     u    ’             . ´
                                              a o o .                 y e a a ¯.
                                                                            .
    sau:
                    det(A) =      (−1)N (f ) a1,f (1) a2,f (2) . . . an,f (n)
                                      f ∈Sn

    trong d ´ Sn l` tˆp tˆ t ca n! ho`n vi cua n phˆn tu. {1, 2, . . . , n}. Nhu. vˆy, d inh
           ¯o     a a a ’
                      .     ´          a . ’        `
                                                    a ’                            a ¯.
                                                                                   .
      u
    th´.c cua ma trˆn A l` mˆt sˆ:
           ’        a       a o o   ´
                    .           .
        + b˘ ng tˆ ng d . i sˆ cua n! hang tu. dang
             `
             a   o’ ¯a o ’    ´         .   ’ .

                                          a1,f (1) a2,f (2) . . . an,f (n)

       + mˆi hang tu. l` t´ cua n phˆn tu. ai,j m` mˆi h`ng, mˆi cˆt phai c´ mˆt
             ˜
             o .      ’ a ıch ’          `a ’              ˜
                                                       a o a         ˜ .
                                                                     o o       ’ o o .
           a ’ o        `
                        a ’
          v` chı mˆt phˆn tu . tham gia v`o t´ d ´.
                                            a ıch ¯o
                   .
       + dˆ u cua mˆi hang tu. phu thuˆc v`o sˆ nghich thˆ cua ho´n vi tu.o.ng u.ng.
            ´ ’
            a        ˜
                     o .       ’    .     o a o
                                          .       ´      .    ´
                                                              e ’     a .          ´
  * Ta goi d inh th´.c cˆ p 2 l` gi´ tri t´ d u.o.c t`. bang 2 h`ng, 2 cˆt nhu. sau:
        .  ¯.      u    ´
                        a      a a . ınh ¯ . u ’                a       o
                                                                        .

                                   a1,1     a1,2
                                                 = a1,1 a2,2 − a2,1 a1,2
                                   a2,1     a2,2

  * Ta goi d inh th´.c cˆ p 3 l` gi´ tri t´ d u.o.c t`. bang 3 h`ng, 3 cˆt nhu. sau:
        . ¯.       u    ´
                        a      a a . ınh ¯ . u ’                a       o
                                                                        .

               a1,1    a1,2    a1,3
               a2,1    a2,2    a2,3 = a1,1 a2,2 a3,3 + a2,1 a3,2 a1,3 + a3,1 a1,2 a2,3
               a3,1    a3,2    a3,3
                                        − a3,1 a2,2 a1,3 − a2,1 a1,2 a3,3 − a1,1 a3,2 a2,3

 + Dˆ t´ nhanh d .nh th´.c cˆ p 3, ta viˆt cˆt th´. nhˆ t v` th´. hai tiˆp theo v`o bˆn
   - e ınh
      ’               ¯i       u a ´           ´ .
                                              e o       u     ´
                                                              a a u        ´
                                                                           e         a e
        ’ ’      o e
   phai bang n´i trˆn:
                                          a1,1 a1,2 a1,3 a1,1 a1,2
                                          a2,1 a2,2 a2,3 a2,1 a2,2
                                          a3,1 a3,2 a3,3 a3,1 a3,2
      ı     `     . lˆ y dˆ u cˆng l` t´ c´c phˆn tu. n˘ m trˆn c´c d .`.ng ch´o song song
             a ’ ´ ´ .
   th` 3 phˆn tu a a o              a ıch a      `a ’ a   `     e a ¯u o       e
     .i d .`.ng ch´o ch´
   v´ ¯u o
    o               e                `    . lˆ y dˆ u tr`. l` t´ c´c phˆn tu. n˘ m trˆn c´c
                                     a ’ ´ ´
                          ınh, ba phˆn tu a a           u a ıch a      `
                                                                       a ’ a   `     e a
   ¯  .`.ng ch´o song song v´.i d .`.ng ch´o phu (quy t˘c Serrhus)
   du o       e                 o ¯u o       e               ´
                                                             a
                                                   .
                                                                                           5


  * Ta goi d inh th´.c cˆ p n l` gi´ tri t´ d u.o.c t`. bang:
        . ¯.       u    ´
                        a      a a . ınh ¯ . u ’

                 a1,1   a1,2   ...   a1,n
                 a2,1   a2,2   ...   a2,n
                                          = a1,1 D1 − a2,1 D2 + · · · + (−1)n+1 an,1 Dn
                 ...    ...    ...   ...
                 an,1   an,2   ...   an,n

     trong d ´ Dk l` d .nh th´.c cˆ p n − 1 thu d .o.c t`. bang d a cho b˘ ng c´ch bo cˆt
            ¯o      a ¯i      u a ´             ¯u . u ’        ¯˜       `
                                                                         a     a    ’ o.
     th´. nhˆ t v` h`ng th´. k, k = 1, n.
       u     ´
            a a a         u
 ı .
V´ du.

     1   4   5    2
                         3 3         1      4 5    2      4     5 2      4      5 2
     0   3   3    1
                    = 1. 0 4         0 − 0. 0 4    0 + 2. 3     3 1 − 0. 3      3 1 = 14
     2   0   4    0
                         0 2         1      0 2    1      0     2 1      0      4 0
     0   0   2    1

 +  Dinh th´.c khˆng thay d o i nˆu ta d ˆ i h`ng th`nh cˆt
    -.        u     o              ’ ´
                                 ¯ˆ e          ’
                                            ¯o a         a    o
                                                              .
 +  - inh th´.c d ˆ i dˆ u nˆu ta d ˆ i chˆ hai h`ng (ho˘c hai cˆt) v´.i nhau
    D.             ’ a e
              u ¯o ´ ´               ¯o ’ ˜
                                          o       a         a
                                                            .    o
                                                                 .   o
 +  Dinh th´.c c´ hai h`ng (ho˘c hai cˆt) ty lˆ v´.i nhau nhau th` b˘ ng 0
    -.        u o          a         a
                                     .      o
                                            .    ’ e o
                                                    .                 ı `a
 +  Th` o.a sˆ chung cua mˆt h`ng hay cˆt c´ thˆ d u.a ra ngo`i dˆ u cua d nh th´.c
        u ´             ’      o a            o o e ¯  ’             ´ ’ ¯i
                                                                   a a             u
                               .              .                               .
 +  - inh th´.c khˆng thay d ˆ i nˆu ta d` ng th`.i cˆng v`o c´c phˆn tu. cua mˆt h`ng
    D.        u     o            ¯o ’ e ´    ¯ˆo      o o .    a a     `
                                                                       a    ’ ’   o a
                                                                                  .
    (hay mˆt cˆt) n`o d ´ c´c phˆn tu. cua mˆt h`ng (hay mˆt cˆt) kh´c nhˆn v´.i c` ng
             o o
             . .       a ¯o a          `
                                       a ’ ’      o a
                                                  .              o o
                                                                 . .       a    a o u
       . ´
      o o
    mˆt sˆ.
V´ du. Giai phu.o.ng tr`
 ı .       ’              ınh:

                                1      1      1     ...     1
                                1    1−x      1     ...     1
                                1      1    2−x     ...     1  = 0.
                               ...    ...    ...    ...    ...
                                1      1      1     ...   n−x

Dinh th´.c o. vˆ tr´i cua phu.o.ng tr` l` d th´.c bˆc n nˆn c´ khˆng qu´ n nghiˆm
-.              ´
         u ’ e a ’                       ınh a ¯a u a    .     e o o        a       e.
kh´c nhau. Thay x = 0, x = 1, x = 2, . . . , x = n − 1 v`o d .nh th´.c, ta luˆn c´ hai
   a                                                          a ¯i    u       o o
h`ng v´.i c´c phˆn tu. b˘ ng 1, nˆn d inh th´.c b˘ ng 0. Vˆy phu.o.ng tr` c´ n nghiˆm
 a      o a       `
                  a ’ a      `       e ¯.       u a`         a
                                                             .          ınh o       e.
x = 0, x = 1, x = 2, . . . , x = n − 1.
   * Dinh th´.c cua ma trˆn vuˆng A = (ai,j )n×n , k´ hiˆu det(A) l` d .nh th´.c cˆ p n
     -.      u      ’          a
                               .    o                   y e  .        a ¯i    u a ´
      ’    ’
     cua bang
                                        a1,1 a1,2 . . . a1,n
                                        a2,1 a2,2 . . . a2,n
                                        ...   ... ... ...
                                        an,1 an,2 . . . an,n
      a o ınh a ´
     v` c´ t´ chˆ t:
        + det(αA) = αn . det(A)
        + det(A × B) = det(A). det(B)
III. Ma trˆn nghich d ’ o
          a
          .     .   ¯a
                                                                                         6


  * Ma trˆn A = (ai,j )n×n d u.o.c goi l` ma trˆn kha nghich nˆu tˆn tai ma trˆn A−1
          a
          .                ¯ .      . a        a
                                               .    ’    .    ´ o
                                                              e ` .           a
                                                                              .
    sao cho:
                                  A × A−1 = A−1 × A = In .
    Khi d o, ma trˆn A−1 d u.o.c goi l` ma trˆn nghich d a o cua A.
        ¯´        a
                  .      ¯ .      . a        a
                                             .     .   ¯’     ’
          a       ’              a ’
  + Ma trˆn A kha nghich khi v` chı khi
          .            .

                                             det A = 0.

  * Cho A = (ai,j )m×n . Mˆt d inh th´.c con cˆ p k (1 ≤ k ≤ n) cua A l` mˆt d inh
                            o ¯.
                            .         u         ´
                                                a                   ’      a o ¯.
                                                                             .
      u.c tao th`nh t`. ma trˆn A b˘ ng c´ch bo d i m − k h`ng v` n − k cˆt.
    th´ .        a   u        a    `
                                   a     a    ’ ¯          a    a        o
                              .                                          .
               a    o    a´      ’
  * Cho ma trˆn vuˆng cˆ p n kha nghich
               .                       .
                                                                  
                                    a1,1       a1,2   ...     a1,n
                                   a          a2,2   ...     a2,n 
                               A =  2,1                           
                                    ...        ...    ...     ...
                                    an,1       an,2   ...     an,n

    Phˆn b` d ai sˆ cua phˆn tu. ai,j , l` sˆ Ai,j = (−1)i+j Di,j trong d ´ Di,j l` d inh
       `a     u ¯. o ’  ´         `a ’            ´
                                                a o                        ¯o      a ¯.
        .c cˆ p n − 1 cua bang thu d u.o.c t`. ma trˆn A b˘ ng c´ch gach bo h`ng th´. i v`
       u ´
    th´ a                ’    ’        ¯ . u         a     `
                                                           a      a       ’ a      u      a
                                                     .               .
    cˆt th´. j.
     o
     .      u
               a
  + Cho A l` ma trˆn vuˆng kha nghich cˆ p n v` ∆ = det A = 0. Khi d o ma trˆn
                        a
                        .       o      ’    .     ´
                                                  a    a                      ¯´        a
                                                                                        .
    nghich d a
         . ¯    ’ o cua A d u.o.c x´c d .nh mˆt c´ch duy nhˆ t bo.i:
                     ’     ¯ . a ¯i           o a
                                              .            ´ ’
                                                           a

                                   1       T
                            A−1 =     Ai,j
                                   ∆                                  
                                       A1,1 A2,1            ...   Dn,1
                                   1  A1,2 A2,2
                                                           ...   Dn,2 
                                                                       
                                 =
                                   ∆  ...   ...            ...   ... 
                                       A1,n A2,n            ...   Dn,n

 ı .        a     . ¯’      ’
V´ du. Ma trˆn nghich d ao cua
            .
                                                    
                                          1     −1 1
                                     A = 2     1 1
                                          1     1 2

 a
l`:                                                         
                                           1  3           −2
                                       1
                               A−1   =     −3 1           1 
                                       5
                                           1 −2           3
 ı:
v`

∆ = det A = (1)(1)(2)+(2)(1)(1)+(1)(−1)(1)−(1)(1)(1)−(2)(−1)(2)−(1)(1)(1) = 5 = 0
                                                                                                            7


 a
v`:

                      1 1                     2 1                      2 1
 A1,1 = (−1)1+1           = 1; A1,2 = (−1)1+2     = −3; A1,3 = (−1)1+3     = 1;
                      1 2                     1 2                      1 1

                     −1    1                     1            1                     1            −1
A2,1 = (−1)2+1               = 3; A2,2 = (−1)2+2                = 1; A2,3 = (−1)2+3                 = −2
                      1    2                     1            2                     1            1

                     −1    1                      1              1                     1            −1
A3,1 = (−1)3+1               = −2; A3,2 = (−1)3+2                  = 1; A3,3 = (−1)3+3                 =3
                      1    1                      2              1                     2            1
         ´
     ınh a
  + T´ chˆ t:
                                                     1 −1
          − Cho A kha d ao v` k = 0, th` (kA)−1 =
                    ’ ¯’ a             ı:              A
                                                     k
          − Cho A, B c` ng cˆ p v` kha d ao, th` (A × B)−1 = B −1 × A−1
                      u     ´
                            a a      ’ ¯’      ı:
                                                           −1
                                 −1
          − Cho A kha d ao th` A c˜ ng kha d ao v` A−1
                     ’ ¯’     ı      u       ’ ¯’ a           =A
                                          `
                                       Phˆn I.4: Hang cua ma trˆn
                                          a             .        ’              a.
             . .           ’             a
  * Ta goi hang cu a ma trˆn A = (ai,j )m×n , k´ hiˆu r(A) l` cˆ p cao nhˆ t cua c´c
                                         .                             y e   .         a a´         ´
                                                                                                    a ’ a
    d inh th´
    ¯.         u .c con kh´c 0 cua A.
                               a       ’
 + Hang cu
        .      ’ a ma trˆn 0m×n l` 0, hang cua ma trˆn A = (a) v´.i a = 0 l` 1.
                            a.            a       .       ’           a.              o         a
 + Hang cua ma trˆn khˆng thay d ˆ i qua c´c ph´p biˆn d ˆ i so. cˆ p sau d ˆy:
        .      ’            a.       o           ¯o ’          a         e        ´
                                                                                  e ¯o’       ´
                                                                                              a       ¯a
              - ˆ i chˆ hai h`ng ho˘c hai cˆt cho nhau;
          a. Do   ’     ˜
                        o          a       a.         o
                                                      .
          b. Nhˆn mˆt h`ng (hay mˆt cˆt) v´.i mˆt sˆ kh´c 0;
                    a     o a
                          .                     o o
                                                . .          o      . ´
                                                                    o o a
          c. Cˆng v`o mˆt h`ng (hay mˆt cˆt) v´.i mˆt h`ng (hay mˆt cˆt) kh´c nhˆn
                 o
                 .       a       o a
                                 .                    o o
                                                      . .           o      o a
                                                                           .                o o
                                                                                            . .       a    a
              v´.i mˆt sˆ.
               o      o o
                       .     ´
    Dˆ t` hang cua ma trˆn Amtimesn , c´ thˆ d` ng c´c phu.o.ng ph´p sau:
    - e ım .
        ’                 ’            a
                                       .                    o e u ’            a            a
 + Phu     .o.ng ph´p theo d inh ngh˜ t´ c´c d inh th´.c con t`. cˆ p 2 tro. lˆn. Gia
                       a              ¯.           ıa: ınh a ¯.                    u     u a ´      ’ e      ’
    su’. ma trˆn c´ 1 d nh th´.c con cˆ p r kh´c 0, t´ tiˆp c´c d inh th´.c cˆ p r + 1, nˆu
                 a o ¯i                u          a´         a                 ´
                                                                      ınh e a ¯.             u a  ´        ´
                                                                                                           e
                  .            .
    tˆ t ca d` u b˘ ng 0 th` kˆt luˆn hang ma trˆn l` r, nˆu c´ d inh th´.c cˆ p r + 1 kh´c
     ´
     a ’ ¯ˆ a   e `                 ı e´ a    .    .             a a
                                                                 .              ´
                                                                                e o ¯.       u a ´         a
    0 th` t´ tiˆp c´c d inh th´.c cˆ p r + 2, c´. nhu. thˆ dˆn d .nh th´.c cˆ p l´.n nhˆ t
                      ´
           ı ınh e a ¯.                    u a   ´             u              ´ ´
                                                                             e ¯e ¯i            ´
                                                                                            u a o        ´
                                                                                                         a
V´ du. T` hang cua ma trˆn
 ı .        ım .          ’            a
                                       .
                                                                        
                                                        1 2 3 5
                                              A = 3 2 4 9
                                                        1 0 1 4

                                    1 2
      Ta c´ d .nh th´.c con cˆ p 2:
          o ¯i      u        ´
                             a          = −4 = 0, v` c´c d .nh th´.c cˆ p 3:
                                                   a a ¯i        u a  ´
                                    3 2

                 1 2      3      1       2    5      1       3 5      2         3    5
                 3 2      4 = 0; 3       2    9 = 0; 3       4 9 = 0; 2         4    9 =0
                 1 0      1      1       0    4      1       1 4      0         1    4

suy ra r(A) = 2
                                                                                                8


 + Phu.o.ng ph´p d`ng ph´p biˆn d ˆ i so. cˆ p: biˆn d ˆ i ma trˆn vˆ dang bˆc
              a   u     e     ´
                              e ¯o  ’       ´
                                            a       ´
                                                    e ¯o’       a ` .
                                                                .   e       a
                                                                            .
   thang
                                                         
                          b1,1 b1,2 . . . b1,r . . . b1,n
                        0     b2,2 . . . b2,r . . . b2,n 
                                                         
                         ... ... ... ... ... ... 
                    B =                                  
                        0      0 . . . br,r . . . br,n 
                                                         
                           0    0 ...      0   ...    0
                           0    0 ...      0   ...    0
    v´.i bi,j = 0, ∀i > j hay i > r v` bii = 0, i = 1, r th` r(A) = r(B) = r.
     o                               a                     ı
 ı .      ım .
V´ du. T` hang ma trˆn    a
                          .
                                                                           
                                    1   3                  2     0        5
                                   2   6                  9     7       12 
                                A=                                         
                                    −2 −5                  2     4        5
                                    1   4                  8     4       20


                                                                                         
                                 1     3       2     0   5                 1 3   2   0   5
         h2−2h1;h3+2h1;h4−h1   0      0       5     7   2  h4−h3;h2↔h3  0 1   6   4   15 
     A          −→                                             −→                        
                                 0     1       6     4   15                0 0   5   7   2
                                 0     1       6     4   15                0 0   0   0   0

suy ra r(A) = 3
  + Ngo`i ra, c´ thˆ t` ma trˆn nghich d a o qua c´c ph´p biˆn d ˆ i so. cˆ p:
         a            ’
                 o e ım          a
                                 .       .     ¯’           a    e       ´
                                                                         e ¯o   ’       ´
                                                                                        a
      a       a     o´         u    o. v´.i A, thu.c hiˆn c´c ph´p biˆn d o i so. cˆ p CHI
     lˆp ma trˆn khˆi A|E (E c` ng c˜ o                 e a     e      ´
                                                                       e ¯ˆ ’      ´
                                                                                   a       ’
      .        .                                  .     .
     TREN HANG, nˆu d .a d .o.c vˆ dang E|B th` B l` nghich d ao cua A.
         ˆ    `
                       e ¯u ¯u . ` .
                        ´          e                ı    a
                                                              . ¯’       ’               
                  1 −1 1 | 1 0 0                            1 −1 1 | 1 0 0
                                           h2−2h1,h3−h1
V´ du. A|E =  2 1 1 | 0 1 0 
  ı .                                           −→         0 3 −1 | −2 1 0 
                  1 1 2 | 0 0 1                             0 2       1 | −1 0 1
                                                                                     
               1 −3 0 | 2 0 −1 h2( 1 ) 1 −3 0 |                        2        0   −1
h1−h3,h2+h3
    −→       0 5 0 | −3 1 1  −→  0 1 0 | −3/5 1/5 1/5 
                                                5


                   2
               0  1 | −1 0 1                         0  2 1 | −1              0    1
                      1 0 0 | 1/5          3/5 −2/5
     h1+3h2,h3−2h2
          −→        0 1 0 | −3/5 1/5               1/5  thu d u.o.c kˆt qua nhu. c˜ .
                                                               ¯ . e   ´      ’       u
                      0 1 1 | 1/5 −2/5 3/5
                                       `
                                     BAI TAP  ˆ
                                              .
       o    ınh, ch´.ng minh c´c d inh th´.c sau chia hˆt cho 17:
1.1. Khˆng t´      u          a ¯.       u             ´
                                                       e

                                   2       0       4         3       2    3
                                   5       2       7 ;      20       9    1
                                   2       5       5        55       2    5

1.2. Ch´.ng minh c´c d ang th´.c sau d ˆy (khˆng t´ d .nh th´.c b˘ ng d .nh ngh˜
       u          a ¯˘ ’     u       ¯a      o    ınh ¯i    u `  a    ¯i       ıa):
                                                                                                                        9

        0 x y z       0 1     1    1
       x 0 z y        1 0 z2 y2
 a.                =                   v´.i xyz = 0
                                        o
        y z 0 x       1 z 2 0 x2
       x y z 0        1 y 2 x2 0
       1 x yz
 b.    1 y zx = (x − y)(y − z)(z − x)
       1 z xy
        1   1 1
 c.     x y     z = (x + y + z)(x − y)(y − z)(z − x)
       x3 y 3 z 3
1.3.     ım
       T` x sao cho:
          3   3 − x −x                                 x   x+1                                     x+2
 a.       2     7     3 =0                        b. x + 3 x + 4                                   x+5 =0
       x + 1 3x − 7 x                                x+6 x+7                                       x+8
              2
       1 x x                                           x   1 2
 c.    3 1 x <0                                   d.   1   x 3                                      >0
       4 5 1                                         x + 1 2 −4
                                                                                                   x   1 1       1    1
                             0                 1     1   0               1     x     x    x
                                                                                                   1   x 1       1    1
                             0                 0     1   1               1     a     0    0
1.4. T´ c´c d .nh th´.c sau:
      ınh a ¯i      u                                      ;                                ;      1   1 x       1    1 ;
                             1                 0     0   1               1     0     b    0
                                                                                                   1   1 1       x    1
                             1                 1     0   0               1     0     0    c
                                                                                                   1   1 1       1    x
                                                                                                1    x  x2      x3
       a+x       x         x                  x2 + 1           xy     xz
                                                                                                x3  x2   x      1
        a       b+x        x ;                  xy           y2 + 1   yz ;                                         ;
                                                                     2                          1   2x 3x2     4x3
        x        x        c+x                   xz             yz   z +1
                                                                                               4x3 3x2 2x       1
                                                                                           a     x x −x      −x
 0     x   y   z          2   x    1     x               x    0      y    0
                                                                                          x 2a      a  0      0
 x     0   z   y          1   x    2     x               0    z      0    t
                 ;                         ;                                ;             x      a 2a 0       0 ;
 y     z   0   x          2   1    x     x               y    0      z    0
                                                                                          −x 0      0 2a      a
 x     y   z   0          x   x    2     1               0    t      0    x
                                                                                          −x 0      0  a     2a
        1        2   3            ...      n                    x         a         a     ...     a
        2        1   2            ...    n−1                    a         x         a     ...     a
        3        2   1            ...    n−2 ;                  a         a         x     ...     a ;
       ...      ... ...           ...     ...                  ...       ...       ...    ... ...
        n      n−1 n−2            ...      1                    a         a         a       a     x
                                                                                     0       1     1 ...    1         1
 cos(x1 − y1 )       cos(x1 − y2 )      ...        cos(x1 − yn )                     1       0     x ...    x         x
 cos(x2 − y1 )       cos(x2 − y2 )      ...        cos(x2 − yn )                     1       x     0 ...    x         x
                                                                 ;                                                       ;
      ...                 ...           ...             ...                         ...     ... ... ...    ...       ...
 cos(xn − y1 )       cos(xn − y2 )      ...        cos(xn − yn )                     1       x     x ...    0         x
                                                                                     1       x     x ...    x         0
                                                                                                 10

                                                           a1      −a2    0    ...      0       0
       1 + x1 y1   1 + x1 y2       ...   1 + x1 yn          0      a2    −a3   ...      0       0
       1 + x2 y1   1 + x2 y2       ...   1 + x2 yn          0       0     a3   ...      0       0
                                                   ;
          ...         ...          ...      ...            ...     ...   ...   ...     ...     ...
       1 + xn y1   1 + xn y2       ...   1 + xn yn          0       0     0    ...    an−1    −an
                                                            1       1     1    ...      1    1 + an
                                                  
              2            1   2            1     −2
1.5. Cho A = 3            0   1  v` B =  4
                                    a             6 . T` A2 , AB, A−1 .
                                                        ım
              0            1   2            5     −3
                                         n                 n                          n
                               2   −1             a    1            cos x   − sin x
1.6. T` c´c ma trˆn
      ım a       a
                 .                           ;                 ;
                               3   −2             0    a            sin x    cos x
                       1   2
1.7. Cho A =                 . T` f (A) v´.i f (x) = x2 − 4x + 3, f (x) = x2 − 2x + 1.
                                ım       o
                       2   1
1.8.                                               
                  2 1 1                   1 2 −2
 a. Cho A =  3 1 2  v` B =  2 3 1 .
                                 a
                  1 −1 0                  1 2 2
        1. T` A−1 , B −1 .
             ım
        2. T` f (A), f(B) v´.i f (x) = x2 − x − 1
             ım               o
                                                                               
                                           2 1 0 0                      1 3 −5 7
                                        3 2 0 0                      0 1 2 −3 
      ım       a
               .       . ¯’      ’
 b. T` ma trˆn nghich d ao cua A = 
                                           1 1 3 4
                                                          ;    B=
                                                                        0 0 1   2
                                                                                  .
                                           2 −1 2 3                     0 0 0   1
1.9.
 a. T` ma trˆn vuˆng cˆ p hai c´ b` phu.o.ng b˘ ng ma trˆn khˆng.
      ım       a.     o    ´
                           a         o ınh            `
                                                      a         a
                                                                .     o
      ım       a      o    ´
                           a
 b. T` ma trˆn vuˆng cˆ p hai c´ b` phu
                                     o ınh     .o.ng b˘ ng ma trˆn d .n vi.
                                                      `
                                                      a         a ¯o .
                .                                               .
1.10. T` ma trˆn X sao cho:
        ım        a.
       1 2              3 5                 3 −2           −1 2
              ×X =             ;      X×               =           ;
      3 4             5 9                5 −4
                                                        5 6                    
       1 2 −3                    1 −3 0                   1 1 −1            1 −1 3
      3 2 −4 ×X =  10 2 7 ;                     X× 2 1         0  =  4 3 2 ;
       2 −1 0                   10 7 8                    1 −1 1            1 −2 5
       2 1              −3 2            −2 4
              ×X ×                  =               ;
       3 2               5 −3            3 −1
       4 1                2 1          5 0
                ×X ×               =         ;
       3 −1               5 3          6 1
                     
            1 1 1
     X×   0 1 1  − 2 2 1 −1 =                   1    0 5
                                                              ;
                              3 0 6             −1 −2 1
           0 0 1
                                                
       1 2 2                 3 5            1 5
      2 5 4  × X +  7 6  = 3  −1 2 ;
       2 4 5                 2 1            −2 0
                                                                                      11

                                                                      
       1     1     1 ...       1                1     2    3 ...     n
     0      1     1 ...       1            0       1    2 ... n − 1
                                                                      
     0      0     1 ...       1 ×X = 0             0    1 . . . n − 2 .
                                                                      
      ... ... ... ... ...                     ... ... ... ...       ...
       0     0     0 ...       1                0     0    0 ...     1
                   ’
1.11. T` hang cua ma trˆn sau:
       ım .                  a
                             .                  
                                    2 1 1 1                               
       2    1 11 2                                          1    3 2 0 5
                                    1 3 1 1
     1     0     4 −1                                 2     6 9 7 12 
                         ;         1 1 4 1 ;                            ;
      11 4 56 −5                                         −2 −5 2 4 5
                                      1 1 1 5
       2 −1 5 −6                                            1    4 8 4 20
                                      1 1 1 1
                 
  1 2 3 14                                                                     
                                                                3 1 −3 1 1
 3 2 1 11                  1 3       5   7     9 1
                         1 −2 3 −4 5 2 ;                   2 −1 7 −3 2 
 1 1 1         6 ;                                                             
                                                              1 3 −2 5 3
  2 3 −1 5                   2 11 12 25 22 4
                                                                3 −2 7 −5 3
  1 1 0         3
                           ´
1.12. Biˆn luˆn theo a sˆ hang ’ a c´c ma trˆn sau: 
     e  .    a
              .           o . cu a              a.                            
      −1 2               1                  1 a −1 2                a 1 1 4
     2      a          −2         ;      2 −1 a 5 ;            1 a 1 3 ;
       3 −6 (a + 3)(a + 7)                  1 10 −6 1               1 2a 1 4
                                                                      
      3 1 1 4                    1 4 3 6                  1 2 −1 3 2
     a 4 10 1               −1 0 1 1                 2 −1 a2 0 4 
                    ;                        ;                        
      1 7 17 3                   2 1 −1 0                 3 1      2 2 7
      2 2 4 3                    0 2 a 4                  1 2     a 1 1
       ım a       a . ’
1.13. T` c´c gi´ tri cua m dˆ: ¯e ’
                                             
                           3 4 5         7 1
                         2 6 −3 4 2 
 a. r(A) = 2 v´.i A = 
                o                             
                           4 2 13 10 0
                           5 0 21 13 m
                                                   
                           1 2 3 −1           1
                         3 2 1 −1            1 
 b. r(A) = 3 v´.i A = 
                o                                   
                           2 3 1 1            1
                           5 5 2 0 2m + 1
                                          
                            1 4 3 6
                         −1 0 1 1 
 c. r(A) = 3 v´.i A = 
                o                          
                            2 1 −1 0
                            0 2 m 4
                                         
                           3 1 1 4
                         m 4 10 1 
 d. r(A) = 2 v´.i A = 
                o                         
                           1 7 17 3
                           2 2 4 3
                                          
                           m 1 1 1
                        1 1 m 1
 e. r(A) = 2 v´.i A = 
                o                          
                           1 1 1 m
                           1 m 1 1
          12


-ooOoo-
                                                                                                                          13

                                                     . .
                 Chu.o.ng 2. HE PHU O NG TR`
                                        ˆ
                                         .                           INH TUYEN T´    ´
                                                                                     ˆ        INH (2+2)
      a ¯i
I. C´c d .nh ngh˜            ıa
    * Ta goi hˆ phu.o.ng tr`
               . e   .                   ınh tuyˆn t´ e ınh m phu.o.ng tr`
                                                        ´                                         ’
                                                                                                 a a e o .
                                                                                       ınh n ˆ n l` hˆ c´ dang
                                                                                                          .
                                 a1,1 x1 + a1,2 x2 + · · · + a1,n xn = b1
                              
                              
                               ...
                                                                                               (1)
                               a2,1 x1 + a2,2 x2 + · · · + a2,n xn = b2
                              
                              
                              
                                  am,1 x1 + am,2 x2 + · · · + am,n xn = bm
trong d o ai,j , bi (i = 1, m, j = 1, n) l` c´c hˆ sˆ (thu.c ho˘c ph´.c), x1 , x2 , . . . , xn l` c´c
         ¯´                                              a a e o  . ´       .      a.       u                         a a
 ’n sˆ. Hˆ phu.o.ng tr` tuyˆn t´ d u.o.c goi l` c´ nghiˆm (hay tu.o.ng th´
a
ˆ o   ´       e.                 ınh          ´
                                              e ınh ¯ .            . a o              e
                                                                                      .                        ıch) nˆu   ´
                                                                                                                          e
 a          e.        ’ o a o
tˆp nghiˆm cua n´ kh´c rˆng.
  .                                     ˜
   + Hˆ (1) c´ thˆ d u.o.c viˆt du.´.i dang ma trˆn AX = B trong d ´:
         e
         .          o e ¯ .’             e´      o .                 a.                        ¯o
                                                                                                               
                     a1,1 a1,2 . . .                a1,n                           x1                         b1
                  a            a2,2 . . . a + 2, n 
      A =  2,1                                               ;        X =  x2 ;               B =  b2  hay
                      ...       ... ...              ...                         .
                                                                                 .x                         .
                                                                                                            .b
                    am,1 am,2 . . .                am,n                          . n                        . m
                                                                                                      
                                                              a1,1 a1,2 . . .           a1,n        b1
                                                         a           a2,2 . . . a + 2, n b2 
du.´.i dang ma trˆn mo. rˆng: A =  2,1
    o .                    a
                           .       ’ o  .                                                              , khi d o hang
                                                                                                                 ¯´ .
                                                              ...     ... ...            ...       ...
                                                             am,1 am,2 . . .            am,n        bm
r(A) cua A d u.o.c goi l` hang cu a hˆ phu.o.ng tr`
          ’        ¯ .        .    a .           ’        e
                                                          .                ınh (1)
        e
II. Hˆ Cramer
        .
    * Hˆ (1) c´ sˆ phu.o.ng tr` b˘ ng sˆ nghiˆm (m = n) v` d .nh th´.c det(A) = 0 d u.o.c
         e
         .          o o ´                  ınh a   `        ´
                                                            o      e
                                                                   .                  a ¯i        u                    ¯ .
        . a e
      goi l` hˆ Cramer.
                   .
                                                                                                              Di
   + Hˆ Cramer c´ nghiˆm duy nhˆ t d u.o.c x´c d .nh nhu. sau: ∀i = 1, n, xi =
         e
         .                 o         e
                                     .                 ´
                                                      a ¯ . a ¯i                                                    , trong
                                                                                                               D
      d ´ D = det(A), c`n Di l` d inh th´.c thu d .o.c t`. D b˘ ng c´ch thay cˆt th´. i b˘ ng
      ¯o                          o           a ¯.          u        ¯u . u           `
                                                                                      a      a           o
                                                                                                         .      u       `
                                                                                                                        a
                         . do.
        . . ´
       o e o .
      cˆt hˆ sˆ tu
                          x1 + 2x2 + 3x3 = 6
                         
V´ du. Giai hˆ:
   ı .           ’ e  .  2x1 − x2 + x3 = 2
                         
                              3x1 + x2 − 2x3 = 2
                       1 2           3
      Do D = 2 −1 1 = 30 = 0, hˆ c´ nghiˆm duy nhˆ t (1, 1, 1):
                                                              e o
                                                              .          e
                                                                         .              ´
                                                                                        a
                       3 1 −2
                     6 2            3                           1 6 3                           1 2 6
                1                                         1                                1
      x=             2 −1 1 = 1; y =                            2 2 1 = 1; z =                  2 −1 2 = 1
              30                                         30                               30
                     2 1 −2                                     3 2 −2                          3 1 2
         a ¯i             y `
III. C´c d .nh l´ vˆ nghiˆm cua hˆ (Kronecker-Kapeli)
                                e          e.       ’       e
                                                            .
   + (1) c´ nghiˆm (tu
              o         e         .o.ng th´                  a ’
                                              ıch) khi v` chı khi r(A) = r(A).
                        .
              o         e                a´     a ¯.                 a ’
   + (1) c´ nghiˆm duy nhˆ t (x´c d inh) khi v` chı khi r(A) = r(A) = n.
                        .
   + nˆ ´u r(A) = r(A) = r < n th` (1) c´ vˆ sˆ nghiˆm v` c´c th`nh phˆn nhiˆm phu
        e                                            ı         o o o   ´      e
                                                                              .      a a        a       `
                                                                                                        a        e.         .
      thuˆc n − r tham sˆ tu` y.
            o
            .                         ´
                                     o y´
                                                                                                                           14
                                                                      
                                                                       ax1 + x2 + x3 = 1
                                                                      
V´ du. Biˆn luˆn theo a sˆ
 ı .       e.        a.                  o´ nghiˆm cua hˆ:
                                                    e
                                                    .      ’ e    .  x1 + ax2 + x3 = 1
                                                                      
                                                                            x1 + x2 + ax3 = 1
       u        a          e       ´        ’
     D` ng c´c ph´p biˆn d o i so a ¯ˆ a ¯.  .  . cˆ p d e x´c d inh hang cua A v` A
                                                       ´      ’                        ’
                                  e
                                    ¯ˆ                                                         a
         a 1 1 | 1                                    1 1 a | 1
                                       h1↔h3
A =  1 a 1 | 1  −→  1 a 1 | 1 
         1 1 a | 1                                   a 1 1 | 1                                                           
                    1         1            a          |      1                    1       1              a        |     1
      h2−h1                                                             h3+h2
       −→  0 a − 1 1 − a |                                  0  −→  0 a − 1                        1−a          |     0 
     h3−ah1                                     2                                                             2
                    0 1−a 1−a | 1−a                                               0       0       2−a−a | 1−a
 + Nˆ  e´u 2 − a − a2 = 0, c´ 2 .`.ng ho.p:
                                          o tru o               .          
                                                   1 1 1 | 1
              a = 1 th` A −→  0 0 0 | 0  ⇒ r(A) = r(A) = 1 < 3, hˆ c´ vˆ sˆ
                               ı:                                                                                  e o o o
                                                                                                                    .         ´
                                                   0 0 0 | 0
              nghiˆm phu thuˆc 2 
                       e.         .        o
                                           .                   ´
                                                   tham sˆ tu` y.
                                                               o y´               
                                                        1 1 −2 | 1
              a = −2 th` A −→  0 −3 3 | 0  ⇒ r(A) = 2 < r(A = 3, hˆ vˆ
                                  ı:                                                                                      e o
                                                                                                                          .
                                                        0 0           0 | 3
              nghiˆm.  e.
 + Nˆ  e´u 2 − a − a2 = 0 ⇔ a = 1, a = −2, th` r(A) = r(A) = 3, hˆ c´ nghiˆm duy nhˆ t.
                                                                       ı                           e o
                                                                                                   .           e
                                                                                                               .            ´
                                                                                                                            a
IV. Phu.o.ng ph´p giai hˆ   a        ’ e     .
 + C´c ph´p biˆ ¯ˆ
       a       e          ´n d o i so. cˆ p cho hˆ tu.o.ng d .o.ng (tu.o.ng u.ng v´.i c´c ph´p biˆn d o i
                          e       ’          a´           e
                                                          .               ¯u                 ´       o a         e     ´
                                                                                                                       e ¯ˆ   ’
              a           ’
     theo h`ng cua ma trˆn mo o        a          . rˆng):
                                                 ’ .
                                        .
          − Do- ˆ i chˆ hai phu.o.ng tr` cho nhau (d ˆ i chˆ hai h`ng cua ma trˆn)
                   ’        ˜
                            o                         ınh                    ¯o’    ˜
                                                                                    o         a        ’         a.
                     a
          − Nhˆn hai vˆ cua phu    ´
                                   e ’             .o.ng tr` n`o d ´ v´.i mˆt sˆ kh´c 0 (nhˆn c´c phˆn tu.
                                                              ınh a ¯o o              o o a ´                a a        `a ’
                                                                                       .
                                                                  .i mˆt sˆ kh´c 0)
                 e
              trˆn mˆt h`ng cua ma trˆn v´
                            o a
                            .                ’           a o
                                                         .                . ´
                                                                         o o a
          − Cˆng t`.ng vˆ cua mˆt phu.o.ng tr` v´.i mˆt phu.o.ng tr` kh´c nhˆn v´.i
                 o.         u         ´
                                      e ’           o
                                                    .                    ınh o       o
                                                                                     .                   ınh a         a o
                                                           .i bˆi sˆ mˆt h`ng kh´c)
                  . ´ .
              mˆt sˆ (cˆng mˆt h`ng v´ o o o a
                  o o o                    o a
                                           .             o . ´ .                          a
    ´                ¯.
1. Ap dung d inh l´ Carmer       y
           .
     Nˆu hˆ phu.o.ng tr` tuyˆn t´ l` hˆ Cramer, c´ thˆ ´p dung d .nh l´ Carmer
       e´ e   .                      ınh          ´
                                                 e ınh a e           .               o e a  ’        .      ¯i       y
                               −1                           −1
ho˘c t` ma trˆn A , suy ra X = A B.
  a ım
  .                    a
                       .                                                           
                                                                                    2x + 3y + 2z = 9
                                                                                   
V´ du. Giai b˘ ng phu.o.ng ph´p ma trˆn nghich d ao:
 ı .         ’ a   `                           a            a.          .    ¯’          x + 2y − 3z = 14
                                                                                   
                                                                                   
                                                                                       3x + 4y − z = 16
                              2 3 2
     Do det(A) = 1 2 −3 = −6 = 0 nˆ hˆ l` Cramer.                  ` e a
                                                                    e .
                              3 4 1
                                                                                                         
                                          A1,1 A2,1 A3,1                              14        5 −13
                              1                                               1 
     V´.i A−1 =
       o                                  A1,2 A2,2 A3,2  =                         −10 −4              8 
                          det(A)                                              −6
                                          A1,3 A2,3 A3,3                             −2         1        1      
                                                                                             
                                                 14      5 −13                  9             2                  x=2
                                                                                                                
                        −1             1                                   14  =  3 , suy ra
       e
     nˆn X = A B = −                           −10 −4               8                                               y=3
                                       6                                                                        
                                                                                                                
                                                −2       1          1          16           −2                      z = −2.
                                                                                                               15


2. Phu.o.ng ph´p Gauss (khu. dˆn ˆ n sˆ)
                    a                       ’ ` aa ’         o´
    D` ng c´c ph´p biˆn d o i so a
       u       a     e       ´
                            e ¯ˆ     ’    . cˆ p theo c´c h`ng, biˆn d o i ma trˆn mo. rˆng A th`nh
                                               ´           a a           ´
                                                                         e ¯ˆ  ’       a     ’ o            a
                                                                                       .         .
                 o      `
                        e
ma trˆn A1 c´ nhiˆu phˆn tu
      a                          `
                                 a      ’. 0 (nhu. ma trˆn bˆc thang), khi d ´ r(A) = r(A ) v`
                                                               a    a                  ¯o                        a
       .                                                       .    .                                    1
r(A) = r(A1 ).
      ´
      e
  + nˆu r(A1 ) < r(A1 ), th` hˆ vˆ nghiˆm
                                    ı e o
                                       .              e
                                                      .
  + nˆu r(A1 ) = r(A1 ) = r th` lˆp hˆ phu.o.ng tr` m´.i (tu.o.ng d .o.ng hˆ d ˜ cho) sau
      ´
      e                                  ı a e
                                             .     .              ınh o               ¯u       e ¯a
                                                                                               .
    kho bo c´c h`ng m` moi phˆn tu. d` u b˘ ng 0. Giai hˆ n`y (r phu.o.ng tr`
              ’ a a            a .          `a ’ ¯ˆ a   e `               ’ e a.                              a
                                                                                                     ınh, n ˆ n’
      o `
      ´ a
    sˆ) b˘ ng c´ch chon r ˆ n co ’ a
                  a                a’     . ban v` n − r ˆ n khˆng co. ban (thay b˘ ng tham sˆ tu`
                                                               a’     o          ’         `
                                                                                           a              ´
                                                                                                         o y
                           .
    ´
    y), nˆ  ´u r = n th` hˆ c´ nghiˆm duy nhˆ t.
            e             ı e o.             e
                                             .              ´
                                                            a
V´ du. Giai c´c hˆ phu.o.ng tr` sau:
  ı .        ’ a e    .                ınh
                                          x1 − 3x2 + 2x3 = −1
                                         
                                              x1 + 9x2 + 6x3 = 3
                                         
                                         
                                              x1 + 3x2 + 5x3 = 1
                                                                                                  
               1 −3 2 −1                             1 −3 2 1                        1 −3 2 −1
                                       h2 −h                              h2 ×1/2
    A =  1 9 6 3  −→1  0 12 4 4  −→  0 3 1 1 ,
                                       h3 −h1                             h3 −h2
               1 3 5 1                               0 6 3 2                         0 0 1 0
                                                                                       
          x1 − 3x2 + 2x3 = −1
                                                  x1
                                                             = −1 + 3x2 − 2x3            x1 = 0
                                                                                         
                                                                                                   1
suy ra            3x2 + x3 = 1 ⇒                       3x2 = 1 − x3                   ⇒ x2 =
         
                                                 
                                                                                        
                                                                                                  3
                             x3 = 0                    x3     =0                           x3 = 0
                                   
                                    x1 − 3x2 + 2x3 − x4 = 2
                                   
                                       2x1 + 7x2 − x3                     = −1
                                   
                                   
                                       4x1 + x2 + 3x3 − 2x4 = 1
                                                                                  
         1 −3 2 −1 2                                      1 −3 2 −1 2
                                            h −2h1                                     h3 −h
B =  2 7 −1 0 −1  2                          −→  0 13 −5 2 −5  −→2
                                            h3 −4h1
    4 1            3 −2 1                               0 13 −5 2 −7
         1 −3 2 −1 2
     0 13 −5 2 −5  = B1 . Do r(B) = r(B1 ) = 2 < 3 = r(B1 ) = r(B), hˆ                                         e
                                                                                                                 .
         0 0        0      0 −2
 o       e
vˆ nghiˆm..
                                    
                                     x1 + 5x2 + 4x3 + 3x4 = 1
                                    
                                    
                                     2x − x + 2x − x = 0
                                            1        2         3       4
                                     5x1 + 3x2 + 8x3 + x4 = 1
                                    
                                    
                                    
                                        4x1 + 9x2 + 10x3 + 5x4 = 2
                                                                                
         1 5        4      3 1                             1 5 4 3 1
      2 −1 2 −1 0  h3 −h1 −2h2  2 −1 2 −1 0 
C=                                         −→                                   
         5 3        8      1 1 h4 −2h1 −h2 0 0 0 0 0
         4 9 10 5 2                                        0 0 0 0 0
     h2 −2h1     1      5        4       3       1
       −→                                              , t´.c l`:
                                                          u a
      ’
    bo h3 ,h4    0 −11 −6 −7 −2
                                                                                             16

  x1 + 5x2 + 4x3 + 3x4       =1
      −11x2 − 6x3 − 7x4      = −2.
                                                            14        2       1
                                                x1 = − α + β +
                                               
                                               
                                                            11       11       11
                                               
                                                              6       7       2
     Chon x3 = α, x4 = β, ta suy ra:
          .                                       x2 = − α − β +
                                               
                                                            11       11       11
                                                x3 = α
                                               
                                               
                                               
                                                  x4 = β
                                             
                                              ax + y + z = 1
                                             
  ı .            ’ a e         a
V´ du 2. Giai v` biˆn luˆn theo a:
                         .     .                 x + ay + z = a
                                             
                                             
                                              x + y + az = a2
                                                                                           
         a 1 1 1                        1 1 a a2                      1      1     a    a2
                             h3 ↔h                          h2 −h
A =  1 a 1 a  −→ 1  1 a 1 a  −→1  0 a − 1 1 − a a − a2 
                                                           h3 −ah1
         1  a a2
               1                        a 1 1 1                    0 1−a 1−a 1−a
                                                                                      2    3

                  1    1           a                 a2
     h3 +h2
      −→  0 a − 1               1−a               a − a2         , suy ra:
                                          2              2      3
                  0    0      2−a−a 1+a−a −a
* Nˆ´u 2 − a − a2 = 0 ⇔ (a = 1) ∨ (a = −2)
    e
  + Nˆu a = 1, th` A → (1 1 1 1), tu.o.ng d u.o.ng v´.i x + y + z = 1 nˆn c´ vˆ sˆ nghiˆm
       ´
       e               ı                            ¯          o                        ´
                                                                                  e o o o      e
                                                                                               .
     dang (1 − α − β; 1; 1) v´     o.i α, β tu` y.
                                               y´
       .                                                 
                                     1 1 −2 4
  + Nˆu a = −2, th` A →  0 −3 3 −6  suy ra r(A) = 2 < 3 = r(A) nˆn hˆ vˆ
       ´
       e                  ı                                                              e e o
                                                                                             .
                                     0 0        0     3,
     nghiˆm.e.
* Nˆ´u 2 − a − a2 = 0 ⇔ (a = 1) ∧ (a = −2)
    e                                            
                         1 1 a              a2
            h :a−1  0 1 −1                 −a , nˆn hˆ d ˜ cho tu.o.ng u.ng v´.i:
     A 2      −→                                      e e ¯a                   ´   o
         h3 :2−a−a  2                   (a + 1)2            .
                         0 0 1
                                         a+2              a+1
                             2               x1 = −
                                             
      x + y + az = a                        
                                                          a−2
     
                                            
                                             
                y − z = −a                                 1
                                         ⇔      x2 =
     
                            (a + 1)2        
                                                        a+2
                     z =                    
                                             
                               a−2           
                                              x = (a + 1)
                                                                  2
                                                 3
                                                          a+2
                                                ax + y + z = 1
                                               
  ı .            ’ a e         a
V´ du 3. Giai v` biˆn luˆn theo a, b:
                         .     .                    x + by + z = 3
                                               
                                               
                                                    x + 2by + z = 4
                           a 1 1                               4 1 1
     D = det(A) = 1 b 1 = (1 − a)b; Dx = 3 b 1 = −2b + 1;
                           1 2b 1                              4 2b 1
                a 4 1                          a 1 4
     Dy = 1 3 1 = 1 − a; Dz = 1 b 3 = 4b − 2ab − 1
                1 4 1                          1 2b 4
                                                                                          17

                                  a=1
    ´
 + Nˆu D = (1 − a)b = 0 ⇔
    e                                        e a
                                         , hˆ l` Cramer, c´ nghiˆm duy nhˆ t:
                                             .              o      e
                                                                   .          a´
                                   b=0
                                  
                                   x = −2b + 1
                                  
                                   1
                                             (1 − a)b
                                  
                                  
                                  
                                              1
                                     x =
                                   2
                                             b
                                  
                                  
                                  
                                  x =        4b − 2ab − 1
                                   3
                                                (1 − a)b
                                                          
                                 x+ y+z =1
                                                           x+
                                                                         y +z = 4
 + Nˆu a = 1, hˆ tro. th`nh:
      ´
      e          e ’ a
                 .                 x + by + z = 3 ⇔               (b − 1)y                ı::
                                                                                 = −1 , th`
                                
                                                          
                                                           
                                   x + 2by + z = 4             (2b − 1)y        =0
                                                               x =2−α
                                                              
                                 1    x+y+z           =0
         ´
         e
    − Nˆu 2b − 1 = 0 ⇔ b = :                               ⇔     y =2              y´
                                                                             , α tu` y.
                                 2          y         =2      
                                                              
                                                                z =α
                                    x+            y+z =4
                                1 
         ´
    − Nˆu 2b−1 = 0 ⇔ b = :
         e                                (b − 1)y         = −1 vˆ nghiˆm v` (b−1)0 = −1
                                                                   o     e    ı
                                                                          .
                                2 
                                  y                       =0
                                  ax − y + z = 4
                                 
 + Nˆ e          e    ’. th`nh:
      ´u b = 0, hˆ tro a            x                    o
                                           + z = 3 vˆ nghiˆm   e
                 .                                            .
                                 
                                    x      +z =4
V. Hˆ phu
    e      .o.ng tr`         ´ ınh thuˆn nhˆ t
                    ınh tuyˆn t´
                             e              `
                                            a       ´
                                                    a
     .
 * Hˆ phu.o.ng tr`
       e
       .                      ´
                     ınh tuyˆn t´           `a       ´
                                                     a a e o .
                              e ınh thuˆn nhˆ t l` hˆ c´ dang
                                                            .

                                            AX = 0                                       (II)

         a       a     a o ´           ¯o
     (B l` ma trˆn to`n sˆ 0), khi d ´ r(A) = r(A), hˆ luˆn luˆn c´ nghiˆm:
                 .                                         e o
                                                           .        o o         e
                                                                                .
       ´               e o        e            ´
  + nˆu r(A) = n, hˆ c´ nghiˆm duy nhˆ t nghiˆm tˆm thu o
       e                                       a       e     `
                                                             a         .`.ng x = x = · · · =
                       .          .                    .                      1     2
     xn = 0;
       ´
       e             e o o o
                     .          ´
  + nˆu r(A) < n, hˆ c´ vˆ sˆ nghiˆm, c´c th`nh phˆn cua nghiˆm phu thuˆc n − r(A)
                                       e
                                       .     a   a        `
                                                          a ’           e
                                                                        .     .   o
                                                                                  .
     tham sˆ, nˆn c´ nghiˆm kh´c nghiˆm khˆng (nghiˆm khˆng tˆm thu.`.ng).
              ´
              o e o        e
                           .       a       e
                                           .     o           e
                                                             .       o      `
                                                                            a      o
  + V´.i hˆ c´ n phu.o.ng tr`
       o e o.                ınh, n ˆ n sˆ, hˆ c´ nghiˆm khˆng tˆm thu.o.ng khi v` chı khi
                                      ’ ´ .
                                     a o e o            e
                                                        .      o   `a                 a ’
                   a o       e            ´ a
                                          a `
     det(A) = 0 v` c´ nghiˆm duy nhˆ t tˆm thu      .o.ng khi v` chı khi det(A) = 0.
                                                                 a ’
                             .
                         
                          ax1 + x2 + · · · + xn−1 + xn = 0
                         
                         
                          x1 + ax2 + · · · + xn−1 + xn = 0
                         
                         
V´ du. T` a dˆ hˆ
  ı .      ım      ’ .
                 ¯e e      ...                                   = 0 c´ nghiˆm khˆng tˆm
                                                                          o     e
                                                                                .     o   `
                                                                                          a
                         
                         
                          x1 + x2 + · · · + axn−1 + xn = 0
                         
                         
                         
                             x1 + x2 + · · · + xn−1 + axn = 0.
thu.o.ng
                                                                                                                  18




                 a      1 ... 1 1
                 1      a ... 1 1
      det(A) = . . . . . .
                 1      1 ... a 1
                 1      1 ... 1 a
               a + n − 1 a + n −1 ... a + n −1 a +n − 1
                    1            a    ...      1       1
      h1 + hi
          =       ...           ...
         i=1
                    1            1    ...      a       1
                    1            1    ...      1       a
                      1      1 ... 1 1
                      1      a ... 1 1
      = (a + n − 1) . . . . . .
                      1      1 ... a 1
                      1      1 ... 1 a
                           1      1  ...   1      1
                           0 a − 1 ...     0      0
      hi −h1
        = (a + n − 1) . . .      ...                 = (a + n − 1)(a − 1)n−1
       i=1
                           0      0  ... a − 1    0
                           0      0  ...   0     a−1

                                                                      a = 1−n
   Hˆ c´ nghiˆm khˆng tˆm thu.`.ng khi det(A) = 0 ⇔
    e o
     .       e
             .    o     `a           o
                                                                      a = 1.
    ´
    e
 + nˆu
                                                   a
                   (α1 ; α2 ; . . . ; αn−1 ; αn ) v` (β1 ; β2 ; . . . ; βn−1 ; βn )
     a     e   ’ e          ı
    l` nghiˆm cua hˆ (II) th`
           .       .

             ∀h, k ∈ R : (hα1 + kβ1 ; hα2 + kβ2 ; . . . ; hαn−1 + kβn−1; hαn + kβn )

    u     a      e    e
   c˜ ng l` nghiˆm hˆ (II).
                 .    .
 + Tru.`.ng ho.p r(A) < n (sˆ ˆ n cua hˆ) th` r(A) ˆ n co. ban d u.o.c biˆu diˆn qua
        o      .               ´ ’
                              o a      ’    e.   ı      a’      ’ ¯ .       e’   ˜
                                                                                 e
              a’   o     . ban (lˆ y gi´ tri tu` y). Nˆu chon n − r(A) ˆ n khˆng co. ban
   n − r(A) ˆ n khˆng co ’       ´
                                 a     a . y´         ´
                                                      e                a’      o      ’
                                                           .
   tu.o.ng u.ng theo n − r(A) th`nh phˆn cua n − r(A) bˆ sˆ:
           ´                     a       `
                                         a     ’           o o´
                                                           .

                 (1; 0; 0; . . . ; 0); (0; 1; 0; . . . ; 0); (0; 0; 1; . . . ; 0); . . . ; (0; 0; 0; . . . ; 1)

    th` n − r(A) nghiˆm cu thˆ cua hˆ (II) d u.o.c goi l` mˆt hˆ nghiˆm co. ba n cu a
       ı             e
                     .        ’
                          . e ’ e   .      ¯ .      . a o e.   .     e
                                                                     .       ’    ’
     e
    hˆ.
      .                           
                                   x1 + 2x2 − 2x3 + x4 = 0
                                  
                                  
                                   2x + 4x + 2x − x = 0
                        . ban cua      1       2      3      4
V´ du. T` hˆ nghiˆm co ’
 ı .     ım e .    e
                   .            ’
                                   x1 + 2x2 + 4x3 − 2x4 = 0
                                  
                                  
                                  
                                    4x1 + 8x2 − 2x3 + x4 = 0.
                                                                                           19

                                                       
               1 2 −2 1                    1 2 −2 1
              2 4 2 −1  h2 −2h1  0 0 6 −3  h3 −h2 1 2 −2 1
      A=                     −→                         −→                     u.ng
                                                                                   ´
               1 2 4 −2          h3 −h1    0 0 6 −3         h2:2   0 0 2 −1
               4 8 −2 1         h4 −4h1    0 0 6 −3 h4 −h2
v´.i hˆ:
 o e  .
         x1 + 2x2 − 2x3 + x4 = 0             x1 = −2x2
                                      ⇔
                     2x3 − x4 = 0            x4 = 2x3 .
  + Chon (x2 , x3 ) = (1, 0), ta c´: nghiˆm (−2; 1; 0; 0)
          .                       o       e.
                                  o       e
  + Chon (x2 , x3 ) = (0, 1), ta c´: nghiˆm (0; 0; 1; 2)
          .                                .
  * Gia   ’ i th´ c´ch t` ma trˆnghich d a o o. phˆn IV, chu.o.ng 1
                 ıch a     ım         a         ¯’ ’      `
                                                          a
                                  .         .                  
                                    a1,1 a1,2 a1,3 . . . a1,n
                                 a        a2,2 a2,3 . . . a2,n 
      Cho ma trˆn vuˆng A =  2,1
                   a
                   .     o                                       c´ det(A) = 0. X´t hˆ
                                                                   o              e e .
                                     ...    ...
                                    an,1 an,2 an,3 . . . an,n
n phu.o.ng tr` 2n ˆ n:
                ınh   a’
     
      a1,1 x1 + a1,2 x2 + a1,3 x3 + · · · + a1,n xn + xn+1
     
                                                                                    =0
     
      a2,1 x1 + a2,2 x2 + a2,3 x3 + · · · + a2,n xn
     
                                                          + xn+2                   =0
       a3,1 x1 + a3,2 x2 + a3,3 x3 + · · · + a3,n xn             + xn+3             =0
     
     
      ..................
     
     
     
       an,1 x1 + an,2 x2 + an,3 x3 + · · · + an,n xn                    + xn+1      =0

 o .         a
c´ dang ma trˆn
             .
                            A × X + X = 0 ⇔ A × X = −X                                     (1)
                                   
             x1                xn+1
           x2             xn+2 
                                   
v´.i X =  x3  v` X =  xn+3 
 o         .      a       . 
           . 
              .             . 
                                 .
             xn                 x2n
     v` det(A) = 0, ∃A−1 nˆn: (1)⇔ X = −A−1 × X ⇔ X + A−1 × X = 0 (*)
      ı                     e
                                                                                 
                          a1,1 a1,2 a1,3 . . . a1,n | 1 0 0 . . . 0
                        a2,1 a2,2 a2,3 . . . a2,n | 0 1 0 . . . 0 
                                                                                 
                  . ´ 
Hˆ c´ ma trˆn hˆ sˆ:  a3,1 a3,2 a3,3 . . . a3,n | 0 0 1 . . . 0  = (A|E)
  e o
  .           a e o
              .                                                                   
                          ...     ...    ...
                          an,1 an,2 an,3 . . . an,n | 0 0 0 . . . 1
     Gia’ su. qua c´c ph´p biˆn d o i so. cˆ p trˆn c´c h`ng, ta d .a d u.o.c ma trˆn vˆ dang
           ’       a    e     ´
                              e ¯ˆ  ’      ´
                                           a     e a a           ¯u ¯ .            a ` .
                                                                                   . e
                                                                           
            1      0     0    ...   0   |   b1,1   b1,2   b1,3   ...   b1,n
          0       1     0    ...   0   |   b2,1   b2,2   b2,3   ...   b2,n 
                                                                           
          0       0     1    ...   0   |   b3,1   b3,2   b3,3   ...   b3,n  = (E|B)
                                                                           
           ...    ...   ...
            0      0     0    ...   1   | bn,1     bn,2   bn,3   ...   bn,n
                                                                                          20


u.ng v´.i hˆ:
´     o e  .
     
      x1
     
                            + b1,1 xn+1 + b1,2 xn+2 + b1,3 xn+3 + · · · + b1,n x2n   =0
     
     
     
             x2            + b2,1 xn+1 + b2,2 xn+2 + b2,3 xn+3 + · · · + b2,n x2n   =0
                   x3       + b3,1 xn+1 + b3,2 xn+2 + b3,3 xn+3 + · · · + b3,n x2n   =0
     
     
      .........
     
     
     
                        xn + bn,1 xn+1 + bn,2 xn+2 + bn,3 xn+3 + · · · + bn,n x2n    =0

c´ dang X + B × X = 0, suy ra B = A−1
 o .
                                            `
                                          BAI TAPˆ
                                                 .
                                                                   
                                         3x − 5y + 2z + 4t = 2  2x + y − z = 1
                                                                   
        ’ i c´c hˆ phu.o.ng tr` sau:
2.1. Gia a e     .            ınh         7x − 4y + z + 3t = 5          x− y+z =2
                                        
                                                                   
                                                                    
                                          5x + 7y − 4z − 6t = 3        4x + 3y + z = 3
                                                             
      x + y − 3z = −1  2x + 3y − z + 5t = 0  x − 2y + 3z − 4t = 4
                                                             
     
      2x + y − 2z = 1            
                                   3x − y + 2z − 7t = 0            y − z + t = −3
      x + 2y − 3z = 1
                                  4x + y − 3z + 6t = 0  x + 3y
                                                                           − 3t = 1
     
                                 
                                                              
                                                               
         x+ y+ z =3                   x − 2y + 4z − 7t = 0
                                                                   −7y + 3z + 3t = −3
                                                         x − y + 2z − 3t = 1
      2x + y − 3z = 4
                                 x + 3y + 4z = 8 
                                                        
                                                          x + 4y − z − 2t = −2
         x + 2y + z = 1             2x + y − z = 2
     
                                
                                                         x − 4y + 3z − 2t = −2
                                                         
       3x − 3y + 2z = 11            2x + 6y − 5z = 4    
                                                              8y
                                                            x − + 5z − 2t = −2
  2x + 3y − z + t = 2  3x + 4y + 5z + 7t = 1  x + y + 5z = −7

                               
                                                              
                                                               
 2x + 3y + z            = 4  2x + 6y − 3z + 4t = 2  x + 3y + z = 5
 2x + 3y + 2z
                        = 3  4x + 2y + 13z + 10t = 0  2x + y + z = 2
                                                              

                               
                                                              
                                                               
  2x + 3y               = 5  2x          + 21z + 13t = 3  2x + 3y − 3z = 14
 2x − 5y + 4z + 3t = 0  3x + y − 3z + t = 1  x + 2y + 3z − t = 1
                                                           

 3x − 4y + 7z + 5t = 0  2x − y + 7z − 3t = 2  3x + 2y + z − t = 1
                                                            
 4x − 9y + 8z + 5t = 0  x + 3y − 2z + 5t = 3  2x + 3y + z + t = 1
                                                           

                               
                                                            
                                                             
   3x − 2y + 5z − 3t = 0           3x − 2y + 7z − 5t = 3        5x + 5y + 5z      =2
                                     
      8x + 6y + 5z + 2t = 21  x1 + x2
                                     
                                                                  =1
                                     
      3x + 3y + 2z + t = 10  x1 + x2 + x3
     
                                     
                                                                 =4
       4x + 2y + 3z+          =8              x2 + x3 + x4        = −3
                                     
     
      3x + 5y + z + t = 15 
                                     
                                                  x3 + x4 + x5 = 2
     
                                     
                                      
      7x + 4y + 5z + 2t = 18                           x4 + x5 = −1
      x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 0
     
     
      7x + 14x + 20x + 27x = 0
            1      2       3       4
     
      5x1 + 10x2 + 16x3 + 19x4 = −2
     
     
       3x1 + 5x2 + 6x3 + 13x4 = 5
        ’ a e
2.2. Giai v` biˆn luˆn theo a c´c hˆ sau:
                 .    a
                      .           a e  .
                                                                                          21
                                                       
      (a + 1)x +
                               y+            z =1       ax + y + z + t = 1
                                                        
                  x + (a + 1)y +              z =a          x + ay + z + t = a
     
                                                       
                                                        
                                                    2
                  x+            y + (a + 1)z = a            x + y + az + t = a2
     
      x − y + az + t = a                                                      
     
                                               2 −1 1 −1              x         1
      x + ay − z + t              = −1  2 −1 0 −3   y   2 
                                                               ×  =            
      ax + ay − z − t = −1
                                               3 0 −1 1               z         −3
     
     
          x + y + z + t = −a                    2 2 −2 a               t         −6
                                   
                                    ax1 − 3x2 + x3 = −2
                                   
2.3. Cho hˆ phu
            e        .o.ng tr`ınh     ax1 + x2 + 2x3 = 3
             .                     
                                   
                                      3x1 + 2x2 + x3 = b.
 a. T` a dˆ hˆ trˆn l` hˆ Cramer; u.ng v´.i gi´ tri cua a v`.a t` t` nghiˆm cua hˆ
                 ’ .
       ım ¯e e e a e              .            ´    o a . ’          u ım, ım         e
                                                                                      .  ’ e.
     theo b.
       ım           ’ .
                  ¯e e e o
 b. T` a, b dˆ hˆ trˆn vˆ nghiˆm.       e.
       ım           ’ .
                  ¯e e e o o o          ´
 c. T` a, b dˆ hˆ trˆn c´ vˆ sˆ nghiˆm, t` nghiˆm tˆ ng qu´t cua hˆ.
                                                e
                                                .   ım     e
                                                           .    o’     a ’ e   .
2.4. T` m dˆ a e
        ım       ¯e’ c´c hˆ phu.o.ng tr` sau d ˆy:
                            .              ınh    ¯a
     o       em
 a. c´ nghiˆ   
               .                                                   
  2 3 1                   x           7         3 6                 −9
 3 7 −6  ×  y  =  −2 ;  4 8  × x =  12 ;
                                                          y
5 8 1  x                  m  2 7    
                                                                    m 
  3 2 5                 x           1        3 7 5         x         −m
 2 4 6  ×  y  =  3 ;  2 3 1  ×  y  =  2 ;
  5 7 m                 z           5        6 9 3         z          5
                                        
                                        mx + 2y + 3z + 2t = 3
 3x + 4y + 5z + 7t = 1 
                                       
                                        

 2x + 6y − 3z + 4t = 2  2x + my + 3z + 2t = 3
                                        
                                      ;     2x + 3y + mz + 2t = 3

 4x + 2y + 13z + 10t = m              

                                        2x + 3y + 2z + mt = 3
                                        
   5x       + 21z + 13t = 3            
                                           2x + 3y + 2z + 3t = m
                      2x − y + z − t = 1               
                     
                                                                 x + y + (1 − m)z = m + 2
                      2x − y             − 3t = 2      
      o
 b. vˆ nghiˆm:e
              .                                        ; (1 + m)x − y +           2z = 0
                      3x
                                   − z + t = −3       
                     
                                                               2x − my +         3z = m + 2
                         2x + 2y − 2z + mt = −6
                  
                   mx1 + x2 + x3 + · · · + xn
                  
                                                           =0
                  
                   x1 + mx2 + x + 3 + · · · + xn = 0
                  
                  
     o ¯i
 c. vˆ d .nh:     x1 + x2 + mx3 + · · · + xn   =0
               
               
                .........
               
               
               
                 x1 + x2 + x3 + · · · + mxn   =0
   3x + 2y + z + t = 1                                       

                                 3x + 2y + z = 3              x + my − z + 2t        =0
   2x + 3y + z + t = 1                                       
                               ;   mx + y + 2z = 3 ;             2x − y + mz + 5t       =0

    x + 2y + 3z − t = 1         
                                                              
                                                               

                                  mx − 3y + z = −2               x + 10y − 6z + t      =0
    5x + 5y + 2z      = 2m + 1
                                                                                   22


     o     e        ´
                    a
 d. c´ nghiˆm duy nhˆ t:
           .                                                
                                                             x + 4y + 3z + 6t   =0
 x + 3y − z + t = 1              x + y + z + mt    =1    
                                                            

                              
                                                            −x
                                                                     + z+ t      =0
 3x + 3y − z + mt = 2            x + my + z + t    =1 
                           ;                              ;   2x + y − z          =0
 2x + 2y + z + t = 3
                               mx + y + z + t
                                                    =1    

                              
                                                           
                                                                 2y + mx         =0
  5x + 3y     + 2t = 1            x + y + mz + t     =1    
                                                              2x + 5y + 3z + 7t   =0
2.5. Ch´.ng minh hˆ sau c´ nghiˆm duy nhˆ t, t`
       u          e
                  .      o     e
                               .          ´
                                         a ım       nghiˆm d o:
                                                        e ¯´
                                                        .
                   
                          x2 + x3 + x4 + · · · + xn−1 + xn   =1
                   
                   
                    x1
                             + x3 + x4 + · · · + xn−1 + xn   =2
                   
                      x1 + x2      + x4 + · · · + xn−1 + xn   =3
                    
                    
                     .........
                    
                    
                    
                      x1 + x2 + x3 + x4 + · · · + xn−1        =n

                            ’ .
2.6. T` d ` u kiˆn theo a dˆ hˆ sau c´ nghiˆm duy nhˆ t
      ım ¯iˆ
           e    e
                .         ¯e e       o     e.         ´
                                                      a
             
              x1 +
             
                          ax2                                         =0
             
             
              x1 + (1 + a)x2 +
                                     ax3                             =0
                           x2 + (1 + a)x3 +       ax4                 =0
             
             
             
                                      x3 + (1 + a)x4 +       ax5     =0
             
             
                                                   x4 + (1 + a)x5     =0

2.7.  en luˆn theo a sˆ nghiˆm cua hˆ phu.o.ng tr`
     Biˆ.     a
              .          o´        e.     ’ e .          ınh:
      (a − 3)x +
                            y+             z = 0  ax + ay + z = a
                                                   
                x + (a − 3)y +              z =0;     ax + y + az = 1 ;
     
                                                  
                                                   
                x+           y + (a − 3)z = 0           x + ay + az = 1
                                                
                                                 x − y + az + t     =a
     
              ax + ay + (a + 1)z = a          
                                                 x + ay − z + t      = −1
               ax + ay + (a − 1)z = a ;
     
                                                ax + ay − z − t = −1
                                                
        (a + 1)x + ay + (2a + 3)z = 1          
                                                   x + y + z + t = −a
2.8. T` nghiˆm nguyˆn du
       ım       e        e       .o.ng (nˆu c´) cua hˆ phu.o.ng tr` sau:
                                           ´
                                           e o ’ e                ınh
                .                                     .
       x + y + z = 100                   x + 2y + 3z = 14
                                   ;                         ;
       x + 15y + 25z = 500             2x + 3y − z = 5
                                 x− y+ z+ t =2
          x + 3y − 3z = 1 
                              ;      2x + y − 3z + 2t = 2
       3x − 3y + 4z = 4        
                                     3x − 2y + z + t = 3
2.9. T` c´c d a th´.c bˆc 3 f (x) biˆt:
       ım a ¯        u a   .               e´
 a. f (−1) = 0; f (1) = 4; f (2) = 3; f (3) = 16;
 b. f (−1) = 5; f (1) = 5; f (3) = 45; f (−4) = −25.
2.10. T` nghiˆm tˆ ng qu´t v` hˆ nghiˆm co. ban cua hˆ phu.o.ng tr` sau:
         ım       e
                  .   o’        a a e    .      e
                                                .       ’   ’ e .          ınh
                                                                                               23
                                         
                                         x + y − 4z = 0
     2x − y + 5z + 7t = 0 
                                        
                                          2x + 9y + 6z = 0
         4x − 2y + 7z + 5t = 0 ;                               ;
    
                                         3x + 5y + 2z = 0
                                         
         2x − y + z − 5t = 0            
                                           4x
                                             + 7y + 5z = 0
     x + 2y + 4z − 3t = 0  x
                                           
                                                       + 8z + 7t = 0
    
     3x + 5y + 6z − 4t = 0  2x + y + 4z + t = 0
                                            
                                         ;
     4x + 5y − 2z + 3t = 0  3x + 2y − z − 6t = 0
                                           
    
                                           
                                            
         3x + 8y + 24z − 19t = 0               7x + 4y + 6z − 5t = 0
2.11.
 a. Trong mˆt x´ nghiˆp san xuˆ t, c´ 15 cˆng nhˆn d u.o.c chia l`m 3 bˆc (I,II,III),
                o ı
                .           e
                            .     ’      a´ o         o      a ¯ .            a    a.
    hu ’.o.ng lu.o.ng th´ng lˆn lu.o.t l`: 600.000, 500.000, 400.000 d` ng. Mˆi th´ng x´
                        a       `
                                a           a                                ¯ˆ
                                                                              o     o˜   a       ı
                                       .
           e
    nghiˆp ph´t 7,7 triˆu d o
           .      a         e ¯ˆ
                            .     ` ng tiˆn lu.o.ng. Hoi trong x´ nghiˆp ˆ y, sˆ cˆng cˆng mˆi
                                         `e             ’         ı     e a
                                                                        .       ´
                                                                            ´ o o      o       ˜
                                                                                               o
      a o e a     ’
    bˆc c´ thˆ l` bao nhiˆu?
      .                         e
 b. Mˆt ho.p t´c x˜ nˆng nghiˆp c´ 300 ha d ˆ t, 850 cˆng lao d ong v` 65 triˆu d` ng
       o . a a o
        .                              e o
                                       .               ¯a´       o         ¯ˆ
                                                                            .    a     e ¯ˆ
                                                                                       .     o
    tiˆn vˆn d`nh cho san xuˆ t vu h` thu v´.i du. d inh trˆng c´c loai cˆy I,II,III c´ chi
      `
      e o a  ´                ’      ´
                                     a . e           o . ¯.        `o   a     . a          o
    ph´ san xuˆ t cho mˆi ha giao trˆng nhu. sau:
         ı ’        ´
                    a       ˜
                            o                `
                                             o
                                     ´ `         `
                      Loai cˆy Vˆn b˘ ng tiˆn (d` ng) Lao d ong (cˆng)
                        . a          o a         e ¯ˆ  o         ¯ˆ .     o
                          I                 200.000                   2
                         II                 150.000                   3
                        III                 400.000                   5
                                            -ooOoo-
                                                                                                  24


Chu.o.ng 3
                              ´
                 HAM NHI` U BIEN & T´
                  `     ˆ
                        E     ˆ           ˆ   ´
                                    ICH PHAN KEP
     a     `
I. H`m nhiˆu biˆn
           e      ´
                  e
       a   e
1. Kh´i niˆm
           .
   * Cho D ⊂ R2 . Mˆt ´nh xa
                    o a
                    .      .
                                        f : D→R
                                         (x, y) → f (x, y) = z ∈ R

    d u.o.c goi l` h`m hai biˆn x´c d inh trˆn D, D d u.o.c goi l` miˆn x´c d inh
    ¯ .      . a a           ´
                             e   a ¯.       e         ¯ .    . a    `e   a ¯.
    cu                 ´
      ’ a h`m hai biˆn f (x, y).
            a          e
 ı .
V´ du.
       `
 + Miˆn x´c d inh cua h`m z = f (x, y) = 1 − x2 − y 2 l` tˆp
        e a ¯.        ’ a                              a a.

                                   D = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 1

         ınh o a              a ınh
      (h` tr`n tˆm O b´n k´ 1).
 +       ` n x´c d .nh cua h`m z = f (x, y) = ln(x+y) l` tˆp D = (x, y) ∈ R2 : x + y > 0
      Miˆ a ¯i
          e               ’ a                               a a .
      (nu.a m˘t ph˘ng n˘ m ph´ trˆn d u.`.ng th˘ng y = −x trˆn m˘t ph˘ng xOy.
          ’     a
                .    ’
                     a      `
                            a    ıa e ¯ o             a’                e     a
                                                                              .      ’
                                                                                     a
  *   Cho h`m hai biˆn z = f (x, y). Trˆn m˘t ph˘ng Oxy, mˆi c˘p (x, y) d u.o.c biˆu diˆn
             a           ´
                         e                   e     a
                                                   .     ’
                                                         a             ˜ .
                                                                       o a             ¯ .  e’    ˜
                                                                                                  e
      bo’.i mot d iˆm M(x, y), nˆn ta c´ thˆ xem z = f (x, y) l` h`m c´c d e m M(x, y), k´
             . ¯e  ’             e        o e   ’                     a a       a ¯iˆ  ’            y
        `
        e
      hiˆu z = f (M).
  *           a           ´
                          e                o `    e a ¯i
      Cho h`m hai biˆn z = f (x, y) c´ miˆn x´c d .nh D. Trong khˆng gian Oxyz, x´t
                                                                                o                  e
       a ¯iˆ  ’                ’
      c´c d e m P (x, y, z) thoa m˜n (x, y) ∈ D v` z = f (x, y). Khi M chay trˆn miˆn D,
                                   a                   a                             .    e    `
                                                                                               e
      c´c d e m P vach trong khˆng gian mˆt m˘t cong d u.o.c goi l` d` thi cu a h`m
       a ¯iˆ  ’        .            o              o.    a
                                                         .         ¯ .      .   a ¯ˆ . ’
                                                                                   o             a
      hai biˆ ´n x = f (x, y).
              e
  *   Cho D ⊂ Rn = {(x1 , x2 , . . . , xn ) : xi ∈ R, i = 1, ..., n}. Mˆt ´nh xa
                                                                         o a
                                                                          .        .
                                        f : D→R
                            (x1 , x2 , . . . , xn ) → f (x1 , x2 , . . . , xn ) = z ∈ R

    d u.o.c goi l` h`m n biˆn f (x1 , x2 , . . . , xn ) x´c d .nh trˆn D (D d u.o.c goi l` miˆn
    ¯ . . a a               e´                           a ¯i        e      ¯ .      . a `   e
     a ¯.
    x´c d inh).
  * Cho h`m hai biˆn z = f (x, y) x´c d .nh trong khoang ho. U cua Mo (xo , yo ) (khˆng
            a         e´               a ¯i                    ’      ’  ’                  o
    cˆn x´c d .nh tai Mo ). Sˆ L d u.o.c goi l` gi´.i han cu a f (x, y) khi M(x, y) dˆn
     `
     a a ¯i          .           ´ ¯ .
                                 o             .    a o      .     ’                        `a
    ¯e´                  ´
    dˆn Mo (xo , yo ) nˆu v´
                         e o  .i moi d˜y d e m M (x , y ) thuˆc U dˆn d e n M (x , y ), ta
                                              ’                         ` ¯ˆ ´
                                   . a ¯iˆ            n n n         o
                                                                    .   a           o o o
     ` u c´: lim f (xn , yn ) → L. Ta k´ hiˆu:
    ¯e
    dˆ o                                 y e     .
               n→∞

                                               lim f (x, y) = L.
                                             x→xo
                                             y→yo


  * H`m sˆ z = f (x, y) x´c d inh trong miˆn D d u.o.c goi l` liˆn tuc tai Mo (xo , yo ) ∈ D
     a o ´               a ¯.              `e     ¯ . . a e . .
     ´
     e
    nˆu:
                                    lim f (x, y) = f (xo , yo ).
                                         x→xo
                                         y→yo
                                                                                                    25

    - .      a      a
2. Dao h`m v` vi phˆn h`m nhiˆu biˆn
                             a        a        `
                                               e        ´
                                                        e
     - . a
2.1. Dao h`m riˆng  e
  * Cho h`m sˆ
             a     ´ z = f (x, y) x´c d .nh trˆn khoang ho. U cua Mo (xo , yo ), khi d o ∆x =
                   o                   a ¯i         e        ’    ’     ’                   ¯´
     x−xo v` ∆y = y−yo d u . . `
               a                ¯  .o.c goi lˆn lu.o.t l` sˆ gia cu a biˆn sˆ x v` y, ∆ z = f (x +
                                             a          a o´       ’    ´ ´
                                                                        e o        a
                                                   .                                    x         o
     ∆x, yo )−f (xo , yo ) v` ∆y z = f (xo , yo +∆y) d .o.c goi lˆn lu.o.t l` sˆ gia riˆng cu a h`m
                             a                              ¯u . . `  a      . a o´    e      ’ a
     z = f (x, y) theo x v` theo y tai Mo (xo , yo ), c`n ∆z = f (xo +∆x, yo +∆y)−f (xo , yo )
                             a            .                   o
        .o.c goi l` sˆ gia to`n phˆn cu a h`m z = f (x, y) tai M (x , y ).
                       ´                  `      ’
     ¯
     du .      . a o              a        a            a                  .    o o o
                  ∆x z                ∆y z
       ´
  * Nˆu lim
       e                 v` lim
                           a                tˆn tai h˜.u han th` c´c gi´.i han d o d u.o.c goi l` c´c
                                             `
                                             o . u            .   ı a     o . ¯´ ¯ .         . a a
            ∆x→0 ∆x          ∆y→0 ∆y
     ¯.       a       e       ’
     d ao h`m riˆng cu a h`m x = f (x, y) tai (xo , yo ) cu a biˆn x v` biˆn y, k´
                                      a                     .             ’     ´
                                                                                e     a e   ´       y
        e `       .o.t l`:
     hiˆu lˆn lu . a
        . a

                                                         ∂z                  ∆x z
                         zx (xo , yo ) = fx (xo , yo ) =    (xo , yo ) = lim
                                                         ∂x             ∆x→0 ∆x
                                                         ∂z                  ∆y z
                         zy (xo , yo ) = fy (xo , yo ) =    (xo , yo ) = lim
                                                         ∂y             ∆y→0 ∆y


      ´ a
      e                    o a ¯a a
  * Nˆu h`m z = f (x, y) c´ c´c d . o h`m riˆng theo biˆn x v` biˆn y tai ∀(x, y) ∈ D,
                                            e          ´
                                                       e     a e ´     .
    ta n´i z = f (x, y) c´ c´c d ao h`m riˆng theo biˆ
         o               o a ¯.       a     e            ´n x v` theo biˆn y trong
                                                         e     a          ´
                                                                          e
       `e
    miˆn D, k´ hiˆu l`:
               y e a.

                                                ∂z                             ∂z
                           fx (x, y) = zx =        ;       fy (x, y) = zy =
                                                ∂x                             ∂y

V´ du. T´ c´c d ao h`m riˆng cua
  ı .     ınh a ¯ . a           e      ’
           y
  + z = x , x > 0:
             zx = (xy )x = yxy−1 ;
             zy = (xy )x = xy . ln x
           x
  + z = ey :
                      x       x     x        x 1
             zx = e y      = ey .        = ey . ;
                         x          y x         y
                      x       x     x        x      x          x x
             zy = e y      = ey .        = e y . − 2 = − 2 .e y
                         y          y y            y           y
  + z = Arctg xy;
                                      (xy)x           y
             zx = (Arctg xy)x =              2
                                                =            ;
                                    1 + (xy)      1 + x2 y 2
                     (xy)y            x
             zy =             =
                   1 + (xy)2      1 + x2 y 2
           a
2.2. Vi phˆn
   * Vi phˆn to`n phˆn cua h`m hai biˆn z = f (x, y) l`: dz = zx dx + zy dy, c´ thˆ u.ng
           a     a      `
                        a ’ a                ´
                                             e                 a                     o e ´’
              ’
            ¯ˆ ınh ` ¯´
                      a           a . ’ a
     dung d e t´ gˆn d ung gi´ tri cua h`m sˆ ph´ .´
                                                   o u   .c tap theo cˆng th´.c sˆ gia h˜.u han
                                                                      o     u o  ´      u
      .                                                                                      .
     nhu. sau:

              f (xo + ∆x, yo + ∆x)         fx (xo , yo ) · ∆x + fy (xo , yo ) · ∆y + f (xo , yo )
                                                                                                26


V´ du. T´ gˆn d ung c´c sˆ sau: a. A = (0.998)3.001 ;
  ı .     ınh ` ¯´
              a            a o ´                                      b. B =   (4.001)2 + (2.997)2
                          y
    e
a. X´t z = f (x, y) = x tai Mo (1; 3). Ta c´:
                             .                   o
                y                    2
  + f (x, y) = x ⇒ f (1, 3) = 3.1 = 3
  + fx (x, y) = yxy−1 ⇒ fx (1, 3) = 3.12 = 3
  + fy (x, y) = xy . ln x ⇒ fy (1, 3) = 13 . ln 1 = 0
    Chon ∆x = −0.002, ∆y = 0.001, khi d o:
        .                                       ¯´

A = (1 − 0.002)3+0.001 = f (1 − 0.002, 3 + 0.001) = f (xo + ∆x, yo + ∆y)
     fx (xo , yo ) · ∆x + fy (xo , yo ) · ∆y + f (xo , yo ) = 3 · (−0.002) + 0 · (0.001) + 1 = 0.994

b. X´t z = f (x, y) = x2 + y 2 tai Mo (4, 3). Ta c´:
    e                              .              o
                                        √
  + f (x, y) = x2 + y 2 ⇒ f (4, 3) = 42 + 32 = 5
                     x                       4     4
  + fx (x, y) =             ⇒ fx (4, 3) = 2      = = 0.8
                   x2 + y 2               4 + 32   5
                     y                       3     3
  + fy (x, y) =             ⇒ fx (4, 3) = 2    2
                                                 = = 0.6
                   x2 + y 2               4 +3     5
    Chon ∆x = 0.001, ∆y = −0.003, khi d o:
        .                                   ¯´

  B=     (4.001)2 + (2.997)2 =           (4 + 0.0001)2 + (3 − 0.003)2 = f (xo + ∆x, yo + ∆y)
       fx (xo , yo ) · ∆x + fy (xo , yo ) · ∆y + f (xo , yo )
    = 0.8 · 0.001 + 0.6 · (−0.003) + 5 = 4.999

  * Nˆu c´c d ao h`m riˆng zx , zy (d .o.c goi l` d ao h`m riˆng cˆ p 1) c˜ ng c´ d . o
      ´
      e a ¯.         a      e          ¯u .    . a ¯.       a      e   ´
                                                                       a      u    o ¯a
                                                 .o.c goi l` d a o h`m riˆng cˆ p 2 cu a
                                                                               ´      ’
     a     e       ı a ¯a a           e
    h`m riˆng th` c´c d . o h`m riˆng d o d u .
                                            ¯´ ¯       . a ¯.        a   e    a
                     .o.c k´ hiˆu v` x´c d nh nhu. sau:
    z = f (x, y), d u . y e a a ¯i
                  ¯            .          .

                                                        ∂ 2f
                                   zxx = fxx (x, y) =         = (zx )x ;
                                                        ∂x2
                                                         ∂ 2f
                                   zxy   = fxy (x, y) =        = (zx )y ;
                                                        ∂x∂y
                                                         ∂ 2f
                                   zyx   = fyx (x, y) =        = (zy )x ;
                                                        ∂y∂x
                                                        ∂ 2f
                                   zyy   = fyy (x, y) =       = (zy )y
                                                        ∂y 2

     ´
     e                  o a ¯. a
 + Nˆu z = f (x, y) c´ c´c d ao h`m riˆng cˆ p 2 liˆn tuc trong miˆn D th` trong miˆn
                                         e   ´
                                             a      e .             `e       ı     `e
   d o: zxy = zyx .
   ¯´
     ´
 * Nˆu z = f (u, v) l` h`m kha vi v` u = u(x, y), v = v(x, y) c´ c´c d ao h`m riˆng
     e                  a a      ’      a                           o a ¯.     a  e
                           ` n D th` trong miˆn d o tˆn tai c´c d ao h`m riˆng
   ux, uy , vx , vy trong miˆ
                            e      ı        ` ¯´ ` . a ¯ .
                                             e       o                 a   e

                                           zx = zu · ux + zv · vx ;
                                           zy = zu · uy + zv · vy
                                                                                                            27


V´ du. Cho z = eu sin v v´.i u = xy, v = x2 + y 2 . T´ zx , zy .
  ı .                               o                             ınh
     V` zu = eu sin v; zv = eu cos v; ux = y; uy = x; vx = 2x; vy = 2y, nˆn:
       ı:                                                                                        e
                                      u             u                 xy         2
  + zx = zu ·ux +zv ·vx = e sin v ·y +e cos v ·2x = ye sin(x +y )+2xe cos(x2 +y 2)     2       xy

  + zy = zu ·uy +zv ·vy = eu sin v ·x+eu cos v ·2y = xexy sin(x2 +y 2 )+2yexy cos(x2 +y 2 )
1.3. Cu.c tri cua h`m hai biˆn
        .       . ’ a                  e´
   * Cho h`m z = f (x, y) x´c d .nh, liˆn tuc trong miˆn D. Ta n´i z d at cu.c d ai
               a                         a ¯i         e    .              `
                                                                          e                o    ¯.     . ¯.
     (tu   .o.ng tu., cu.c tiˆ u) d ia phu.o.ng tai M (x , y ) ∈ D nˆu tˆn tai khoang ho. U
                                  e’ ¯.                                               ´ o
                                                                                     e ` .           ’     ’
                     .      .                              .     o o o
       ’
     cua Mo (xo , yo ) trong D sao cho f (xo , yo ) ≥ f (x, y) (tu            .o.ng tu., f (x , y ) ≤ f (x, y))
                                                                                       .     o o
     v´.i moi (x, y) ∈ D.
      o        .
  + Quy t˘ c t` cu.c tri: Gia su. z = f (x, y) c´ d . o h`m riˆng liˆn tuc d e n cˆ p
                 ´
                a ım .                 .        ’ ’                 o ¯a a              e    e          ´ ´
                                                                                                   . ¯ˆ a
     2 trong khoa      ’ ng ho. ch´.a Mo (xo , yo ) v` c´ fx (xo , yo ) = fy (xo , yo ) = 0. D˘t A =
                                ’     u                   a o                                        -a.
     fxx (xo , yo ), B = fxy (xo , yo ), C = fyy (xo , yo ), th`   ı:
            + Nˆu B 2 − AC < 0, A < 0 th` z = f (x, y) d at cu.c d ai tai (xo , yo );
                   ´
                   e                                  ı               ¯. . ¯. .
            + Nˆ   ´u B 2 − AC < 0, A > 0 th` z = f (x, y) d at cu.c tiˆu tai (xo , yo );
                   e                                  ı               ¯. .          ’
                                                                                   e .
            + Nˆu B − AC > 0 th` (xo , yo ) khˆng phai l` d e m cu.c tri;
                   ´
                   e     2
                                              ı            o       ’ a ¯iˆ    ’     .     .
                   ´     2
            + Nˆu B − AC = 0 th` khˆng kˆt luˆn d .
                   e                          ı o       ´
                                                        e    a ¯u   .o.c.
                                                              .
V´ du. T` cu.c tri cua h`m sˆ:
  ı .        ım .         .   ’ a          o´
  a. z = f (x, y) = x2 − xy + y 2 + 3x − 2y + 1
  b. z = x3 + y 3 − 3xy
a. Ta c´: zx = 2x − y + 3; zy = −x + 2y + 2; zxx = 2; zxy = −1; zyy = 2.
         o                                                       
                                                                  x = −4
                                                                 
                  zx = 0              2x − y + 3        =0                      3
     Giai ’                    ⇔                             ⇔
                  zy = 0              −x + 2y − 2 = 0            
                                                                 y =        1
                                                                             3
                               4 1
                ’
     Tai d iˆm Mo − ,
        . ¯e                                  o
                                       , ta c´: A = zxx        = 2, B = zxy           = −1, C = zyy       = 2,
                               3 3                         Mo                    Mo                    Mo
nˆn: B 2 − AC = (−1)2 − 2 · 2 = −3 < 0.
 e
                                                                4 1                       4
     Suy ra h`m 2 biˆn d . t cu.c tiˆu tai Mo − ,
                   a          ´
                              e ¯a .              ’
                                                 e .                    v´.i zmin = − .
                                                                          o
                                                                3 3                       3
                         2                      2
         o
b. Ta c´: zx = 3x − 3y; zy = 3y − 3x; zxx = 6x; zxy = −3; zyy = 6y.
                  zx = 0              3x2 − 3y = 0             x=y=0
     Giai ’                    ⇔          2
                                                         ⇔
                  zy = 0              3y − 3x = 0              x=y=1
      . ¯iˆ ’
     Tai d e m Mo (0, 0), ta c´: A = zxx
                              o                              = −3, C = zyy
                                                         = 0, B = zxy            = 0,
                                                    Mo                      Mo
                                                                           Mo
nˆn: B 2 − AC = 9 − 0 = 9 > 0. Vˆy Mo (0, 0) khˆng phai l` cu.c tri.
 e                                a
                                  .             o     ’ a .       .
    Tai d e
      . ¯iˆ’m M1 (1, 1), ta c´: A = zxx
                             o              = 6, B = zxy     = −3, C = zyy       = 6,
                                         Mo              Mo                 Mo
nˆn: B 2 − AC = 9 − 36 = −27 < 0. Suy ra h`m 2 biˆn d . t cu.c tiˆu tai M1 (1, 1) v´.i
 e                                            a     ´
                                                    e ¯a .           ’
                                                                    e .            o
zmin = −1.
                                        `   ˆ
                                      BAI TAP
                                            .
                           x−y
3.1.1. Cho h`m f (x, y) =
             a                  . Ch´.ng minh:
                                    u
                           x+y

                          lim    lim f (x, y)    = 1; lim     lim f (x, y) = −1
                         x→0     y→0                   y→0    x→0
                                                                                                            28


          ¯o                 o    ` .
                                  o
trong khi d ´ lim f (x, y) khˆng tˆn tai.
              x→0
               y→0

                                       x2 y 2
3.1.2. Cho h`m f (x, y) =
            a                                     . Ch´.ng minh:
                                                      u
                                x2 y 2 + (x − y)2


                          lim     lim f (x, y)   = lim        lim f (x, y) = 0
                          x→0     y→0                 y→0    x→0


            ¯o                      ` .
, trong khi d ´ lim f (x, y) khˆng tˆn tai.
                               o    o
                x→0
                 y→0

                                                  1    1
3.1.3. Cho h`m f (x, y) = (x + y) sin
            a                                       sin . Ch´.ng minh lim
                                                            u                                lim f (x, y)    a
                                                                                                            v`
                                                  x    y              x→0                    y→0

lim    lim f (x, y)   khˆng tˆn tai, nhu.ng lim f (x, y) = 0
                        o    ` .
                             o
y→0   x→0                                   x→0
                                                 y→0
3.1.4. T´ c´c gi´.i han sau:
        ınh a   o .
                                                                   x2
           x+y             x2 + y 2                      xy                              2 2
     lim 2           ; lim 4        ; lim                               ; lim (x2 + y 2 )x   y
    x→0 x − xy + y 2   x→0 x + y 4 x→0                x 2 + y2            x→0
      y→0                   y→0             y→0                           y→0
3.1.5. Cho h`m
            a                            2     2
                                     xy x − y              nˆu x2 + y 2 = 0
                                                             ´
                                                             e
                         f (x, y) =      x2 + y 2
                                    
                                      0                     nˆu x2 + y 2 = 0.
                                                             ´
                                                             e
Ch´.ng minh f ”yx (0, 0) = f ”xy (0, 0).
    u
3.1.6. Nghiˆn c´.u cu.c tri d ia phu.o.ng cu a c´c h`m sau:
               e u           .   . ¯.               ’ a a
 a. z = x4 + y 4 − x2 − 2xy − y 2 + 1
  b. x = 2x4 + y 4 − x2 − 2y 2 − 1
II. T´ phˆn hai l´.p
       ıch      a             o
     -ı
1. D`nh ngh˜ t´    ıa, ınh chˆ t  ´
                                  a
      Xuˆ t ph´t t`. c´c b`i to´n thu.c tˆ (nhu. t´ thˆ t´ vˆt thˆ h` tru, d .`.ng k´
          ´
          a      a u a a a                   . e ´               ’
                                                         ınh e ıch a .  ’
                                                                       e ınh . ¯u o   ınh
  o      `
         e            o ¯i
mˆt miˆn), ta c´ d .nh ngh˜ sau:
   .                               ıa
   * Cho h`m z = f (x, y) x´c d .nh trong miˆn h˜.u han D trong xOy. Phˆn hoach
              a                       a ¯i                `
                                                          e    u   .             a    .
            a            `      ’ y ´ o e a e ıch
      D th`nh n miˆn nho tu` y c´ tˆn v` diˆn t´ ∆s1 , ∆s2 , . . . , ∆sn . Trˆn mˆi ∆Si
                          e                             .                      e    ˜
                                                                                    o
                            ´
                            a                  y´ a . o     ’
      (i = 1, . . . , n), lˆ y Mi (xi , yi ) tu` y v` goi tˆ ng
                                                  n
                                          In =          f (xi , yi )∆si
                                                  i=1


       a o ’    ıch     a     ’
      l` tˆ ng t´ phˆn cu a f (x, y) trong D.
        ´        .`.ng k´ l´.n nhˆ t cua c´c miˆn ∆s dˆn d e n 0 (max d → 0) m` I dˆn
                                    ´          `
      Nˆu khi d o
        e      ¯u        ınh o      a ’ a        e    i `
                                                        a ¯ˆ ´         i       a n ` a
      ¯e´    o o   .i han x´c d inh I, khˆng phu thuˆc c´ch chia miˆn D (phˆn hoach) v`
      dˆn mˆt gi´ . a ¯.                 o          o a           `e       a           a
             .                                 .    .                           .
                                                                                                         29


   c´ch chon Mi (xi , yi ) trong mˆi miˆn ∆si th` gi´.i han d ´ d u.o.c goi l` t´ phˆn
    a      .                      ˜
                                  o   `e        ı o . ¯o ¯ .             . a ıch    a
   hai l´
        o.p cu a f (x, y) trong miˆn D v` k´ hiˆu l`:
             ’                      `
                                    e      a y e a.
                                                           n
                               f (x, y)ds =     lim              f (xi , yi )∆si
                                              max di →0
                           D                               i=1


  trong d ´ f (x, y) l` h`m du.´.i dˆ u t´ phˆn, D l` miˆn lˆ y t´ phˆn, ds l`
        ¯o            a a      o      ´
                                     a ıch       a       a `      ´
                                                             e a ıch          a       a
    ´ ´ .
  yˆu tˆ diˆn t´                ´
                            a e ıch
   e o e ıch, x, y l` biˆn t´ phˆn.           a
+ Khi t´ phˆn hai l´.p tˆn tai, ta c´ thˆ chia D bo.i lu.´.i c´c d u.`.ng song song v´.i
       ıch a            o ` .
                           o            o e ’         ’   o a ¯ o                    o
  Ox, Oy, khi d ´ ∆si l` h` ch˜
                ¯o       a ınh u   . nhˆt, yˆu tˆ diˆn t´ ds b˘ ng dx, dy:
                                        a   e´ o e ıch
                                                ´ .            `
                                                               a
                                        .
                                                               n
                              f (x, y)dxdy =      lim              f (xi , yi )∆si
                                               max di →0
                          D                                 i=1


+ Diˆn t´ miˆn D d u.o.c t´ b˘ ng:
    e ıch `
    .       e    ¯ . ınh `   a

                                       S(D) =           dxdy
                                                   D


+ Tˆ ho.p tuyˆn t´ nh˜.ng h`m kha t´ trˆn D c˜ ng kha t´ trˆn D v`:
    ’
   o .       ´
             e ınh u       a    ’ ıch e      u      ’ ıch e      a

             [αf1 (x, y) ± βf2 (x, y)]dxdy = α         f1 (x, y)dxdy ± β                 f2 (x, y)dxdy
         D                                        D                                  D


   ´
   e             ’ ıch e       ı             u      ’ ıch e      a
+ Nˆu f (x, y) kha t´ trˆn D th` |f (x, y)| c˜ ng kha t´ trˆn D v`:


                                   f (x, y)dxdy ≤          |f (x, y)|dxdy
                               D                       D


+ Chia D th`nh 2 miˆn D1 , D2 r`.i nhau bo.i mˆt d u.`.ng L. Nˆu f (x, y) kha t´ trˆn
             a        `
                      e           o       ’   o ¯ o
                                              .               ´
                                                              e             ’ ıch e
                ’ ca biˆn L) th` n´ kha t´ trˆn D v`:
  ca D1 , D2 (kˆ ’ e
   ’           e               ı o    ’ ınh e         a

                        f (x, y)dxdy =        f (x, y)dxdy +              f (x, y)dxdy
                    D                    D1                           D


   ´
   e             ’ ıch e      a                                  ı:
+ Nˆu f (x, y) kha t´ trˆn D v` m ≤ f (x, y) ≤ M, ∀(x, y) ∈ D, th`

                                                            f (x, y)dxdy
                                                       D
                              ∃µ ∈ [m, M] : µ =
                                                               S(D)
                                                                                                                             30

    ´
    e                      ’ ıch e      a    ’ a                  ı:
 + Nˆu f (x, y), g(x, y) kha t´ trˆn D v` thoa m˜n f (x) ≤ g(x) th`

                                               f (x, y)dxdy ≤                  g(x, y)dxdy
                                           D                              D


2. C´ch t´nh t´ch phˆn hai l´.p
    a     ı    ı       a        o
     ´
     e a      ´
 + Nˆu h`m sˆ f (x, y) liˆn tuc trˆn miˆn D = {a ≤ x ≤ b; ϕ(x) ≤ y ≤ ψ(x)} trong d ´
              o          e .       e     `e                                      ¯o
          a        e .      e           ı:
    ϕ(x) v` ψ(x) liˆn tuc trˆn [a, b] th`

                                                                      b    ϕ(x)
                                      f (x, y)dxdy =                              f (x, y)dy dx
                                                                      a   ψ(x)
                                  D


V´ du 1. T´ thˆ t´ h` tru gi´.i han bo.i c´c m˘t:
 ı .           ’
          ınh e ıch ınh . o .        ’ a      a
                                              .

                    x = 0, x = 1, y = −1, y = 1, z = 0, z = x2 + y 2 .
                                                           1      1                                   1
                                                                                                                  2          4
    Ta c´: V =
        o                   f (x, y)dxdy =                            (x2 + y 2 )dy dx =                  2x2 +       dx =
                                                       0         −1                               0               3          3
                    D
V´ du 2. T´ thˆ t´ h` tru gi´.i han bo.i m˘t
 ı .           ’
          ınh e ıch ınh . o .        ’    a
                                          .

            z = f (x, y) = xy 2 , m˘t z = 0, x = 0, x = 1, y = −2, y = 3.
                                   a
                                   .
                        1             3
                                                           x2    1 y3 3        35
    Ta c´: V =
        o                   xdx ·          y 2 dy =                        =
                    0               0 3 −2
                                      −2                   2                    6
 ı .           ’
          ınh e ıch ınh . o  .i han bo.i c´c m˘t:
V´ du 3. T´ thˆ t´ h` tru gi´ .       ’ a     a
                                              .

                                                               x2
                            x = 1, x = 2, y =                     , y = x2 , z = 0, z = xy.
                                                               2
                                                   2       x2                           2
                                                                                            3x5      63
        o
    Ta c´: V =              xydxdy =                            xydy dx =                       dx =    .
                                               1           x2
                                                            2                       1        8       16
                    D

V´ du 4. T´
 ı .      ınh       xdxdy, v´.i D l` miˆn gi´.i han bo.i c´c d u.`.ng y = x v` y = x2 .
                            o      a ` e    o .      ’ a ¯ o                 a
                D
    Miˆn D d u.o.c x´c d .nh: D = {0 ≤ x ≤ 1; x2 ≤ y ≤ x}, nˆn:
     `e     ¯ . a ¯i                                        e
                    1    x
                                     1
        xdxdy =            xdy dx =     .
                  0    x2            12
     D

V´ du 5. T´ I =
 ı .      ınh                   (x − y)dxdy, trong d o D d u.o.c gi´.i han bo.i c´c d u.`.ng
                                                   ¯´    ¯ .       o .      ’ a ¯ o
                            D


                                          y = ±1, x = y 2 , y = x + 1.
                                                                                                                                   31


     Miˆn D d u.o.c x´c d .nh: D = {−1 ≤ y ≤ 1; y − 1 ≤ x ≤ y 2 }, suy ra:
      `e    ¯ . a ¯i
          1      y2                   1
                                         y4        y2    1          −7
     I=             (x − y)dx dy =          − y3 +    −     dy =       .
         −1    y−1                   −1   2         2    2          15
                                                                                                                         x = x(u, v)
                  e .      e    ¯o     a . a a’           ’
 + Cho f (x, y) liˆn tuc trˆn D d ´ng v` bi ch˘n, l` anh cua D qua ´nh xa
                                              .                    a    .                                                              .
                                                                                                                         y = y(u, v)
      ´
      e
     Nˆu
                               e . a o a ¯a a               e     e .
            x(u, v), y(u, v) liˆn tuc v` c´ c´c d . o h`m riˆng liˆn tuc
                        ∂x ∂x
            J (u, v) = ∂u ∂v = 0, ∀(u, v) ∈ D
                         ∂y ∂y
                        ∂u ∂v
       ı:
     th`
                                 f (x, y)dxdy =                             f [x(u, v), y(u, v)]|J (u, v)|dudv
                             D                                        D

                             x = r cos ϕ
  ’
  a           ¯a
Ch˘ng han khi d ˘t
       .        .                                                ı:
                                                               th`
                             y = r sin ϕ

                                                                      cos ϕ −r sin ϕ
                                                 J (u, v) =                          =r
                                                                      sin ϕ r cos ϕ

    ¯´
khi d o:

                                         f (x, y)dxdy =                         f (r cos ϕ, r sin ϕ)rdrdϕ
                             D                                         D


                                                                           dxdy trong d ´ D l` d .`.ng tr`n d .n vi.
                                                                 2
                                                                     −y2
V´ du 6. T´ t´ phˆn I =
 ı .      ınh ıch a                                           e−x                     ¯o     a ¯u o      o ¯o .
                                                         D
                        2π                   1                             2π
                                                          2                     1         1                    1
     Ta c´: I =
         o                   dϕ                  e−r rdr =                          1−            dϕ = π 1 −     .
                    0                    0                             0        2         e                    e

V´ du 7. T´ t´ phˆn I =
 ı .      ınh ıch a                                           (x + 2y)dxdy, trong d o D l` h` b` h`nh gi´.i han
                                                                                  ¯´     a ınh ınh a    o .
                                                         D
bo.i c´c d .`.ng
 ’ a ¯u o
                         x + y = 1, x + y = 2, 2x − y = 1, 2x − y = 3.
                                                       1                                                  1
     Ta c´: D = {(u, v) : 1 ≤ u ≤ 2, 1 ≤ v ≤ 3} v` J = 3
         o                                       a                                                        3 = − 1 = 0, nˆn:
                                                                                                                        e
                                                       2                                                   1    3
                                                                                                         −
                                                       3                                                   3
                       1 u + v 4u − 3v
             I=      −           +           dudv
                       3     3         3
                    D
                                     2               3                                        2
                         1                                                            1                             11
                   =−                                    (5u − v)dv du = −                        (10u − 4)du = −
                         9       1               1                                    9   1                          9
                                                                                        32


V´ du 8. T´ I =
 ı .      ınh           ydxdy v´.i D l` miˆn:
                               o      a ` e
                    D
 a. H` quat tr`n tˆm O, b´n k´ a n˘ m trong g´c phˆn tu. th´. 2.
      ınh      .     o a           a ınh       `
                                               a            o     `
                                                                  a        u
       `
 b. Miˆn gi´ .
       e      o.i han bo.i c´c d .`.ng cong c´ phu.o.ng tr` trong hˆ toa d ˆ cu.c l`: r =
                         ’ a ¯u o               o             ınh         e . ¯o . a
                                                                          .       .
    2 + cos ϕ, r = 1.
            π               a
                               2      a3 π               a3
 a. I =       sin ϕdϕ         r dr =        sin ϕdϕ = .
          π
          2               0           3 π2
                                                         3
            2π       2+cos ϕ                      2π
                                             1
 b. I =                       rdr sin ϕdϕ =          (3 + 4 cos ϕ + cos2 ϕ) sin ϕdϕ = 0.
          0        1                         2 0
V´ du 9. T´ I =
 ı .      ınh             4 − x2 − y 2 dxdy trong d ´:
                                                  ¯o
                    D
                         D l` nu.a trˆn cua h` tr`n (x − 1)2 + y 2 ≤ 1.
                             a ’       e  ’ ınh o
             x = r cos ϕ                                                 π
     -a
     D˘t
       .                     th` D = {(r, ϕ) : 0 ≤ r ≤ 2 cos ϕ, 0 ≤ ϕ ≤ }, khi d ´:
                                ı                                                ¯o
             y = r sin ϕ                                                 2
             π                                     π
                     2 cos ϕ
             2                                 8 2                    8 π      2
     I=                        4 − r2 rdr dϕ =       (1 − sin3 ϕ)dϕ =        −    .
           0       0                           3 0                    3 2      3
III. T´ phˆn 3 l´.p
       ıch       a        o
    -.
1. Dinh ngh˜ t´  ıa, ınh chˆ t   ´
                                 a
     Cho f l` mˆt h`m bi ch˘n, x´c d .nh trˆn mˆt tˆp V d o d .o.c trong R3 . Chia V
               a o a.           . a .    a ¯i    e     o a
                                                        . .       ¯ ¯u .
th`nh h˜.u han nh˜.ng tˆp Vi d o d .o.c, khˆng c´ d e m trong chung. Lˆp tˆ ng t´ phˆn
  a      u     .       u     a
                             .      ¯ ¯u .     o    o ¯iˆ’                 a o
                                                                           .   ’    ıch a
                                      n
                                           f (ξ, η, τ )∆Vi                             (1)
                                     i=1


o. d ay ∆Vi l` thˆ t´ tˆp Vi , v` (ξ, η, τ ) l` mˆt d iˆm tu` y thuˆc Vi .
’ ¯ˆ              ’
             a e ıch a   .        a           a o ¯e
                                                   .   ’     y´    o
                                                                   .
             a o´ l´
   * Goi D l` sˆ o  .n nhˆ t trong c´c d u.`.ng k´ d(V ) cua ph´p phˆn hoach {V }
                         ´
                         a          a ¯ o        ınh       ’     e    a
        .                                                i                 .   i 1≤i≤n .
        ´
        e
      Nˆu
                                             n
                                      lim         f (ξ, η, τ )∆Vi
                                     D→0
                                            i=1

    tˆn tai th` gi´ tri n`y d u.o.c goi l` t´ phˆn ba l´.p cu a h`m f trˆn tˆp V v`
     ` .
     o         ı a . a ¯ .           . a ıch    a      o    ’    a      e a .     a
    d u.o.c k´ hiˆu l`
    ¯ . y e a    .
                                            f (x, y, z)dxdydz,
                                       V

    h`m f d u.o.c goi l` kha t´
     a      ¯ .    . a      ’ ınh trˆn V .
                                      e
      ıch a         o.p c´ c´c t´ chˆ t ho`n to`n tu.o.ng tu. nhu. t´ phˆn hai l´.p.
 + T´ phˆn ba l´ o a ınh a            ´   a    a                    ıch a       o
                                                           .
2. C´ch t´nh t´ch phˆn ba l´
     a    ı      ı       a       o.p
 + Nˆ           ´
           ` a ıch a a o ınh o
      ´u miˆn lˆ y t´ phˆn l` mˆt h` hˆp
      e     e                       .      .

                               V = [a1 , b1 ] × [a2 , b2 ] × [a3 , b3 ],
                                                                                                                                                  33


      ı:
    th`
                                                                          b1             b2           b3
                                     f (x, y, z)dxdydz =                                                   f (x, y, z)dz         dy dx
                                                                         a1          a2           a3
                             V


V´ du. T´ I =
 ı .    ınh                            xyzdxdydz v´.i V = [0, 1] × [2, 4] × [5, 8].
                                                  o
                                 V

                         1                    4               8
                                                                          x2     1       y2   4       z2       8       1     39   117
           I=                xdx ·                ydy ·           zdz =              ·            ·                =     ·6·    =
                     0                    2               5               2      0       2    2       2        5       2      2    2

 + Nˆu miˆn l` mˆt thˆ tru mo. rˆng (gi´.i han bo.i 2 m˘t ψ1 (x, y), ψ2 (x, y), m˘t tru
     ´
     e     ` a o
           e       .     ’
                        e . ’ o   .       o .      ’    a
                                                        .                        a
                                                                                 .    .
    o ¯u.`.ng sinh song song Oz, d .`.ng chuˆ n l` biˆn
   c´ d o                        ¯u o       a’ a e

                                      Dxy = {(x, y) : a ≤ x ≤ y, ϕ1 (x) ≤ y ≤ ϕ2 (x)}

    v´.i ϕ1 , ϕ2 liˆn tuc trˆn [a, b] th`
     o             e .      e           ı:

                                                                     b         ϕ2 (x)             ψ1 (x,y)
                             f (x, y, z)dxdydz =                                                                   d(x, y, z)dz     dy dx
                                                                    a     ϕ1 (x)              ψ2 (x,y)
                    V



V´ du. T´
 ı .    ınh                      (1 − x − y)dxdydz v´.i miˆn V gi´.i han bo.i c´c m˘t ph˘ng toa d ˆ v`
                                                    o    `e      o .      ’ a      a
                                                                                   .    ’
                                                                                        a     . ¯o a
                                                                                                  .
                     V
 a    ’
      a
m˘t ph˘ng x + y + z = 1.
 .
        o                                                                  e
    Ta c´: V = {(x, y, z) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 − x, 0 ≤ z ≤ 1 − x − y}, nˆn:

               1         1−x              1−x−y                                                            1           1−x
   I=                                                (1 − x − y)dz dy dx =                                                   (1 − x − y)2 dy dx
           0         0                0                                                                0           0
               1
                   1                        1
     =               (1 − x)3 (1 − x3 )dx =
           0       3                        12

  * Dˆ i biˆn trong t´ phˆn ba l´.p: Cho f liˆn tuc trˆn miˆn d ong, d o d u.o.c v`
    -o ’     ´
             e          ıch     a        o            e .   e       ` ¯´
                                                                     e         ¯ ¯ . a
                                                            x = x(u, v, w)
                                                           
                   3
    bi chˆn V ⊂ R , v´  .i V l` a nh cu a V qua d o.n ´nh
                              a ’     ’                                        ´
     . a .             o                         ¯    a
                                                           
                                                                               e a a
                                                             y = y(u, v, w) Nˆu c´c h`m
                                                           
                                                             z = z(u, v, w).
     ´
     o                                                  e .      o a ¯.      a    e     e
    sˆ x = x(u, v, w), y = y(u, v, w), z = z(u, v, w) liˆn tuc, c´ c´c d ao h`m riˆng liˆn
    tuc trˆn V v` nˆu
     .     e     a e ´

                                                                               xu                      xv          xw
                                                                  D(x, y, z)
                                          J (u, v, w) =                      = yu                      yv          yw = 0
                                                                  D(u, v, w)
                                                                               zu                      zv          zw
                                                                                                       34


      ı .    . ¯e   ’                      o
    th` tai moi d iˆ m (u, v, w) ∈ V , ta c´:

            f (x, y, z)dxdydz =               f [x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)]|J (u, v, w)|dudvdw
       V                             V

                         
                          x = r cos ϕ
                         
    ´
    e           ¯o .
 + Nˆu theo toa d ˆ tru:
              . .                        ı:
                           y = r sin ϕ th`
                         
                         
                           z = r,

                                                 cos ϕ −r sin ϕ                     0
                                   J (r, ϕ, z) = sin ϕ r cos ϕ                      0
                                                   0      0                         1

     e
    nˆn
                            f (x, y, z)dxdydz =                  f (r cos ϕ, r sin ϕ, z)rdrdϕdz
                    V                                      V


V´ du. T´ I =
 ı .    ınh                   (x2 + y 2 )zdxdydz trong d o V l` miˆn gi´.i han bo.i c´c m˘t
                                                       ¯´     a ` e    o .      ’ a      a
                                                                                         .
                        V
x2 + y 2 = 1 v` z = 2.
              a
     H` tru tr`n xoay V d u.o.c x´c d .nh bo.i: V = {(r, ϕ, z) : 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ ϕ ≤
       ınh . o          ¯ .      a ¯i      ’
2π, 0 ≤ z ≤ 2}, suy ra:
                                          2               2π              1
                                I=            zdz ·            dϕ ·           dr = π.
                                      0               0               0
                         
                          x = r cos ϕ sin θ
                         
    ´
    e           ¯o ` a
 + Nˆu theo toa d ˆ cˆu:
              . .                              ı:
                           y = r sin ϕ sin θ th`
                         
                         
                           z = r cos θ,

                                   cos ϕ sin θ                 r cos ϕ cos θ        −r sin ϕ sin θ
                    J (r, ϕ, θ) == sin ϕ sin θ                 r cos θ sin ϕ        r cos ϕ sin θ
                                      cos θ                      −r sin θ                 0

     e
    nˆn

            f (x, y, z)dxdydz ==                 f (r cos ϕ sin θ, r sin ϕ sin θ, r cos θ)r2 sin θdrdϕdθ
        V                                 V



V´ du. T´ I =
 ı .    ınh                   (x2 + y 2 )dxdydz trong d ˆ V l` miˆn gi´.i han bo.i m˘t cˆu
                                                      ¯o´    a ` e    o    .   ’    a `
                                                                                    . a
                        V
x2 + y 2 + z 2 = 1 v` m˘t n´n x2 = y 2 − z 2 = 0 (z > 0).
                    a a o
                       .
                                                                                                                35
                                                                                                          √    2
                                                                                          2
                                                                                                           2
                                                                                          x + y2
                                                                                                      =
                 x2 + y 2 + z 2            =1                                                              2
       ’ e
     Giai hˆ
           .                                          giao tuyˆn l` d u.`.ng tr`n
                                                              ´
                                                              e a ¯ o          o
                 x2 + y 2 − z 2            = 0,                                          
                                                                                                        √
                                                                                         
                                                                                                          2
                                                                                             z         =
suy ra:                                                                                                   2
                                                                                                 π
                    V = {(r, ϕ, theta) : 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ θ ≤                            }
                                                                                                 4
v` f (x, y, z) = x2 + y 2 = r2 sin θ, nˆn
 a                                     e
                                                          π                  π
                         1                2π
                              4
                                                          4       1      4
               I=            r dr ·            dϕ ·           dθ = 2π      (1 − cos2 θ)d(− cos θ)
                     0                0               0           5
                                  3                   π
                                                                     √ 0
                    2π        cos θ                   4          8−5 2
                =                   − cos θ                   =        π
                     5          3                     0            30

  ´.         ’ ıch
* U ng dung cu a t´ phˆn k´p
                       a   e
        .
  + Diˆn t´ cua mˆt h` ph˘ng D d ´ng, d d u.o.c, bi chˆn trong R2
      e ıch ’
      .                  ’
                   o ınh a
                   .           ¯o     ¯o ¯ .      . a .

                                                          S(D) =           dxdy
                                                                       D


 + Thˆ t´ miˆn V d o d .o.c, d ´ng, bi chˆn
      ’
     e ıch `e    ¯ ¯u . ¯o           . a .

                                                          V=           dxdydz
                                                                   V


              ´
              e       a ınh .
            Nˆu V l` h` tru cong, x´t D l` h` chiˆu cua V xuˆng m˘t ph˘ng,
                                        e     a ınh ´
                                                    e ’     ´
                                                            o    a
                                                                 .    ’
                                                                      a
                          a a     e ınh .
            z = f (x, y) l` m˘t trˆn h` tru cong:
                             .

                                                      V=           f (x, y)dxdy
                                                               D


            Nˆu V l` thˆ tru mo. rˆng, x´t D l` h`
             ´
             e         a e  ’ .       ’ o.     e                  ´
                                                                  e  ’    e
                                                       a ınh chiˆu cua D lˆn xOy, z =
                                      a a     .´.i, m˘t trˆn cua V :
            ψ1 (x, y), z = ψ2 (x, y) l` m˘t du o     a e      ’
                                           .         .

                                      V=                  f (ψ1 (x, y), ψ2 (x, y))dxdy
                                                  D


V´ du 1. T´ diˆn t´ h` gi´.i han bo.i c´c d u.`.ng th˘ng x = 1, x = 2 v` c´c d u.`.ng
  ı .     ınh e ıch ınh o .
                 .                ’ a ¯ o            ’
                                                     a                 a a ¯ o
      2        2
    a       2a
y = ,y =         (x > 0)
     x       x
                                                                                                                        36

                                 a2     2a2
    D = {(x, y) : 1 ≤ x ≤ 2,        ≤y≤     }, suy ra:
                                 x       x
                                                 2a2
                                     2                                       2
                                                  x                                  2a2   a2
        S(D) =         dxdy =                          dx dx =                           −            dx = a2 ln 2
                                 1           a2
                                             x                           1            x    x
                   D


V´ du 2. T´ thˆ t´ vˆt thˆ V gi´.i han bo.i c´c m˘t
 ı .           ’
          ınh e ıch a
                    .    e’    o .      ’ a      a
                                                 .

                            x2 + y 2 = 2, z = 4 − x2 − y 2 , z = 0.

     V l` h` tru cong, m˘t trˆn c´ phu.o.ng tr` z = 4 − x2 − y 2 , h` chiˆu D cua
        a ınh .         a.   e o              ınh                   ınh  ´
                                                                         e     ’
             ’                    2    2
V lˆn m˘t ph˘ng xOy l` h` tr`n x + y ≤ 2. Vˆy
   e    a.  a        a ınh o                     a
                                                 .
                                                                             √
                                                                2π               2
                                 2           2
               V=          (4 − x − y )dxdy =                        ·               (4 − r2 )rdr = 6π
                                                            0            0
                       D

 + Cho S l` m˘t cong c´ phu.o.ng tr` z = f (x, y), trong d ´ f liˆn tuc, c´ d ao h`m
            a a .       o             ınh                      ¯o  e .     o ¯.   a
     e     e .      e   ` ¯´
                         e                       .o.c, th` diˆn t´ m˘t cong S l`:
   riˆng liˆn tuc trˆn miˆn d ong, bi chˆn, d d u .
                                    . a ¯o ¯
                                         .               ı e ıch a
                                                             .      .          a

                                     S=                 1 + fx 2 + fy 2 dxdy
                                                 D


V´ du. T´ diˆn t´ phˆn m˘t cˆu x2 + y 2 + z 2 = a2 n˘ m trong m˘t tru x2 + y 2 = a2 .
  ı .    ınh e ıch `
              .          a   a `
                              . a                       `
                                                        a          a. .
       a      ´     a `                 ’     ´
     M˘t tru c˘t m˘t cˆu th`nh hai manh d ˆi x´    .ng nhau qua m˘t ph˘ng xOy, mˆi
                                                                       ’            ˜
       .    . a     . a      a               ¯o u                  a
                                                                   .   a            o
manh n`y lai d .o.c c´c m˘t ph˘ng toa d ˆ chia th`nh 4 manh b˘ ng nhau. V´.i z ≥ 0, ta
   ’    a . ¯u . a        a
                          .    ’
                               a       ¯o
                                     . .         a        ’     `
                                                                a        o
                                     2     2         a2
c´: z = a2 − x2 − y 2 , suy ra 1 + zx + zy = 2
 o                                                              e
                                                             , nˆn
                                                a − x2 = y 2
                                                                                 2π               a
                                         a                                                              rdr
   S=8                                                 dxdy = 8x                      dϕ0 ·           √        = 4πa2
                                a2 − x2 − y 2                                                 0        a2 − r2
         x2 +y2 ≤a2 ,x≥0,y≥0


                                                    `   ˆ
                                                   BAI TAP
                                                        .
3.2.1. T´
        ınh
                                                       x ln ydxdy
                                                  D

v´.i D l` h` ch˜. nhˆt:
 o      a ınh u     a
                    .
                                         0 ≤ x ≤ 4, 1 ≤ y ≤ e.

3.2.2. T´
        ınh
                                             (cos2 x + sin2 y)dxdy
                                         D
                                                                         37


v´.i D l` h` vuˆng:
 o      a ınh o
                                                      π         π
                                  0≤x≤                  ,0 ≤ y ≤ .
                                                      4         4
3.2.3. T´
        ınh
                                         2         x2
                               I=                       (2x − y)dy dx.
                                     1            x


3.2.4. T´
        ınh
                                                  (x − y)dxdy
                                             D

v´.i D l` h` gi´.i han bo.i:
 o      a ınh o .       ’

                                  y = 2 − x2 , y = 2x − 1.

3.2.5. T´
        ınh
                                                 (x + 2y)dxdy
                                         D

v´.i D l` h` gi´.i han bo.i c´c d u.`.ng th˘ ng:
 o      a ınh o .       ’ a ¯ o            ’
                                           a

                               y = x, y = 2x, x = 2, x = 3.

3.2.6. T´
        ınh
                                             ex+sin y cos ydxdy
                                    D

v´.i D l` h` ch˜. nhˆt:
 o      a ınh u     a
                    .
                                                                   π
                                  0 ≤ x ≤ π, 1 ≤ y ≤                 .
                                                                   2
3.2.7. T´
        ınh
                                                 (x2 + y 2 )dxdy
                                         D

v´.i D l` miˆn gi´.i han bo.i c´c d u.`.ng
 o      a ` e    o .      ’ a ¯ o

                               y = x, x = 0, y = 1, y = 2.

3.2.8. T´
        ınh
                                             ln(x2 + y 2 )dxdy
                                     D

v´.i D l` miˆn h`nh v`nh kh˘n gi´.x hai d u.`.ng tr`n
 o      a ` e ı      a     a    u       ¯ o        o

                               x2 + y 2 = e2 v` x2 + y 2 = e4 .
                                              a
                                                                                 38


3.2.9. T´
        ınh
                                              (x2 + y 2 )dxdy
                                         D

v´.i miˆn D gi´.i h`n bo.i d u.`.ng tr`n x2 + y 2 = 2ax.
 o    `e      o a ’ ¯ o               o
3.2.10. T´ınh
                                            x3 ydxdy
                                                 D

v´.i D l` miˆn gi´.i han bo.i c´c d u.`.ng
 o      a ` e    o .      ’ a ¯ o

                                 y = 0 v` y =
                                        a                      2ax − x2 .

3.2.11. T´
         ınh
                                             sin(x + y)dxdy
                                         D

v´.i D l` miˆn gi´.i han bo.i c´c d u.`.ng
 o      a ` e    o .      ’ a ¯ o
                                                                          π
                                 y = 0, y = x, x + y =                      .
                                                                          2

3.2.12. T´
         ınh
                                             x2 (y − x)dxdy
                                         D

v´.i D l` miˆn gi´.i han bo.i c´c d u.`.ng
 o      a ` e    o .      ’ a ¯ o

                                     x = y 2 v` y = x2 .
                                              a

3.2.13. T´
         ınh
                                                 f (x, y)dxdy
                                             D

v´.i D l` miˆn gi´.i han bo.i d u.`.ng
 o      a ` e    o .      ’ ¯ o

                                             x2  y2
                                                + 2 = 1,
                                             a2  b
c`n h`m du.´.i dˆ u t´ phˆn
 o a            ´
           o a ıch a
                                                                 2    2
                                                         c   1− x2 − y2
                                                                a    b
                                f (x, y) =                                tdt.
                                                     0

3.2.14. T´
         ınh
                                                     r2 drdϕ
                                                 D
                                                                                                    39


v´.i D l` miˆn:
 o      a `   e
 a. C´c d u.`.ng tr`n r = a v` r = 2a.
       a ¯ o        o        a
     - u.`.ng r = a sin 2ϕ.
  b. D o
3.2.15. T´
         ınh
                                                     r sin ϕdrdϕ
                                                 D

v´.i D l` miˆn:
 o      a `  e
                                                      π
 a. Quat tr`n gi´.i han bo.i c´c d u.`.ng r = a, ϕ = , ϕ = π.
        .    o     o .      ’ a ¯ o
                                                      2
                                              π
  b. Nu.a d u.`.ng tr`n r ≤ 2a cos ϕ, 0 ≤ ϕ ≤ .
       ’ ¯ o         o
                                              2
  c. Nu.a d u.`.ng tr`n r = 2 + cos ϕ v` r = 1.
       ’ ¯ o         o                  a
3.2.16. Su. dung cˆng th´.c d ˆ i biˆn trong toa d ˆ cu.c, t´nh c´c t´ phˆn:
          ’ √.       o     u ¯o ’ e  ´          . ¯o .
                                                   .        ı    a ıch a
           R           R2 −x2
 a.                             ln(1 + x2 + y 2 )dy dx
       0       0
                   √
           R           Rx−x2
 b.                √              R2 − x2 − y 2 dy dx
       0       −       Rx−x2
3.2.17.
 a. T´ınh
                                                         1       2x
                                                                      dy dx
                                                     0       x

                                                 x = u(1 − v)
      b˘ ng c´ch d`ng c´c biˆn m´.i
       `
       a     a    u    a    ´
                            e   o
                                                 y = uv
     ınh
 b. T´
                                                                 dxdy
                                                             D

      nˆu D gi´.i han bo.i c´c d u.`.ng
       ´
       e      o .      ’ a ¯ o

                                         xy = 1, xy = 2, y = x, y = 3x.

3.2.18. T´ c´c t´nh phˆn ba l´.p sau:
         ınh a ı      a      o
              x2   y2   z2                               x2  y2  z2
 a. I =          + 2 + 2 dxdydz v´.i V gi´.i han bo.i m˘t 2 + 2 + 2 = 1.
                                      o  o .      ’    a
                                                       . a
              a2   b    c                                    b   c
               V

 b. I =                (x2 + y 2 )dxdydz, v´.i V d u.o.c gi´.i han bo.i c´c m˘t x2 + y 2 = z 2 , z = 2.
                                           o     ¯ .       o .      ’ a      a
                                                                             .
               V

 c. I =                (x2 + y 2 )dxdydz, v´.i V d u.o.c gi´.i han bo.i c´c m˘t x2 + y 2 = 2z, z = 2.
                                           o     ¯ .       o .      ’ a      a
                                                                             .
               V
                                                                                     40


3.2.19. T´ I =
         ınh            xyzdxdydz, v´.i V n˘ m trong g´c phˆn t´m th´. nhˆ t, gi´.i han
                                    o      `
                                           a          o    ` a
                                                           a        u    ´
                                                                         a      o .
                    V
bo.i c´c m˘t sau, v´.i 0 < a < b, 0 < α < β, 0 < m < n:
 ’ a      a
          .        o

                   x2 + y 2      x2 + y 2
              z=            ,z =          , xy = a2 , xy = b2 , y = αx, y = βx
                      m             n

                                         -ooOoo-
                                                                                                                        41


Chu.o.ng 4
                                   . .
                                PHU O NG TR`        ˆ
                                           INH VI PHAN
I. Phu.o.ng tr`        a   ´
                           a
              ınh vi phˆn cˆ p 1
     a     e
1. Kh´i niˆm chung
           .
  * Ta goi phu.o.ng tr`
        .             ınh vi phˆn cˆ p 1 l` phu.o.ng tr` c´ dang
                               a   ´
                                   a      a            ınh o .

                                                      F (x, y, y ) = 0                                                 (I)

        a
      ho˘c
        .
                                                        y = f (x, y)                                                 (Io )
               ¯o      a e o ´ ´
     trong d ´ x l` biˆn sˆ, y l` h`m cua x, v` y l` d ao h`m cua y.
                                             a a       ’           a      a ¯. a            ’
         ´u c´ h`m y = ψ(x) thoa m˜n phu.o.ng tr` (I) hay (Io ) th` y = ψ(x) d u.o.c goi
   * Nˆ o a
         e                                   ’   a                    ınh                         ı             ¯ .       .
     l` nghiˆm cu a phu.o.ng tr`
      a          e
                 .       ’                      ınh (I) hay (Io ).
   * Nˆu c´ h`m y = ψ(x, C) ho˘c hˆ th´.c Φ(x, y, C) = 0 thoa m˜n (I) hay (Io ) v´.i C
         ´
         e o a                                 a e u
                                               .    .                                   ’      a                    o
     t` y y trong miˆn n`o d o cua R, v` v´.i mˆi d ` u kiˆn d` u y(xo ) = yo v´.i (xo , yo )
      u ´                  `e a ¯´ ’                     a o         ˜
                                                                     o ¯iˆ  e      e ¯ˆ
                                                                                   .    a                    o
     thuˆc miˆn x´c d .nh cua phu.o.ng tr`
           o
           .       `e a ¯i               ’                             ’ o             ´ a .
                                                            ınh, chı c´ duy nhˆ t gi´ tri C = Co l`m cho
                                                                                       a                         a
     y = ψ(x, Co ) hay Φ(x, y, Co ) = 0 tho                                 `
                                                             ’ a m˜n d iˆu kiˆn d` u, th` y = ψ(x, C) ho˘c
                                                                     a ¯e          e ¯ˆ
                                                                                    .     a         ı                   a.
     Φ(x, y, C) = 0 d u.o.c goi l` nghiˆm tˆ ng qu´t cu a phu.o.ng tr`
                            ¯ .       .     a      e
                                                   .        o ’          a    ’                       ınh (I) hay (Io ).
         ´
   * Nˆu y = ψ(x, C) hay Φ(x, y, C) = 0 l` nghiˆm tˆ ng qu´t cua (I) hay (Io ), cho
         e                                                       a        e
                                                                          .     o’         a ’
     C = Co (gi´ tri cu thˆ x´c d inh) th` y = ψ(x, Co ) hay Φ(x, y, Co ) = 0 d .o.c goi
                       a . . e a ¯.     ’                    ı                                                 ¯u .       .
      a          e
                 .       e         ’                              ´
     l` nghiˆm riˆng cu a (I) hay (Io ). Nˆu nghiˆm y = ψ(x) khˆng phai l` nghiˆm
                                                                  e         e
                                                                            .                       o      ’ a        e.
     riˆng nhˆn t`. nghiˆm tˆ ng qu´t v´.i bˆ t k` gi´ tri C n`o (kˆ ca C = ±∞) th` ta
        e          a u
                   .            e
                                .         o’      a o a y a .    ´                     a        ’
                                                                                               e ’                   ı
                           e     y . ’
     goi n´ l` nghiˆm k` di cu a (I) hay (Io ).
        . o a              .
  + (D.- inh l´ tˆn tai v` duy nhˆ t nghiˆm): Cho phu.o.ng tr`nh (Io ). Nˆu f (x, y)
                   y o`      . a                  a´             e
                                                                 .                             ı             e´
     liˆn tuc trong miˆn n`o d ´ ch´ ¯ e
       e                      `
                              e        a ¯o u         .a d iˆ m (x , y ) th` tˆn tai ´t nhˆ t mˆt nghiˆm
                                                               ’                   ı `o . ı             ´
                                                                                                        a    o        e
              .                                                         o o                                  .         .
                                                  a e    ´
     y = ψ(x) sao cho yo = ψ(xo ) v` nˆu fy (x, y) liˆn tuc tai (xo , yo ) th` y = ψ(x) tˆn
                                                                            e . .                        ı             `o
     tai duy nhˆ
       .             ´t.
                     a
2. C´c loai phu.o.ng tr`
     a        .                                   a
                                   ınh vi phˆn cˆ p 1      ´
                                                           a
2.1. Phu   .o.ng tr` biˆn sˆ phˆn ly
                             ´ ´
                     ınh e o a
                                                               dy
     L` phu.o.ng tr` m` nˆu thay y =
        a                 ınh a e         ´                                       ’ ´
                                                                        ı o e e ¯o ` .         ’ e
                                                                     th` c´ thˆ biˆn d ˆ i vˆ dang f1 (y)dy =
                                                               dx
f2 (x)dx. Lˆ y t´ phˆn bˆ t d .nh 2 vˆ th` giai d .o.c phu.o.ng tr`
                ´
               a ıch a a ¯i          ´              ´
                                                    e ı ’ ¯u .                              ınh.
V´ du 1. Giai phu.o.ng tr`
  ı .            ’                ınh:
                                                 ydy = (x2 + 1)dx.
    Lˆ y t´ phˆn hai vˆ cua phu.o.ng tr` d a cho:
      ´
     a ıch a             ´
                         e ’           ınh ¯˜
                              y2   x3       C        2
       ydy = (x2 + 1)dx ⇔        =    +x+     ⇔ y 2 = x3 + 2x + C
                              2    3        2        3
 ı .       ’
V´ du 2. Giai phu.o.ng tr`
                         ınh:

                                    (y − x2 y)dy + (xy 2 + x)dx = 0.tag1

      Ta c´:
          o                                 (1)⇔ y(x2 − 1)dy = x(y 2 + 1)dx                                           (2)
                                                                                       42


 + Nˆu x2 − 1 ≡ 0 ⇔ x ≡ ±1 th` dx = 0, nˆn (2) thoa m˜n. Vˆy x = ±1 l` nghiˆm
     ´
     e                        ı         e        ’   a     a
                                                           .         a      e
                                                                            .
    ’
   cua (1).
                                   y             x
 + Nˆu x2 − 1 ≡ 0 ⇔ x ≡ ±1: (2)⇔ 2
     ´
     e                                  dy == 2           ´
                                                          a ıch a        ´
                                                                         e
                                                     dx. Lˆ y t´ phˆn 2 vˆ:
                                 y +1          x −1

                   ydy           xdx    1              1             1
                       =               ⇔ ln |y 2 + 1| = ln |x2 − 1| + ln |C|
                 y2 +1          x 2 −1  2              2             2

                                                              y 2 + 1 = C(x2 − 1), ∀C = 0
    ⇔ y 2 + 1 = C(x2 − 1) (∀C = 0). Vˆy (1) c´ nghiˆm:
                                     a
                                     .       o     e
                                                   .
                                                                   x = ±1
V´ du 3. Giai phu.o.ng tr`
 ı .       ’             ınh:
                                        y = 3x2 y                                     (1)
                                  dy
   Ta c´:
       o                    (1)⇔      = 3x2 y ⇔ dy = 3x2 ydx                          (2)
                                  dx
    ´
 + Nˆu y ≡ 0 th` y = 0, nˆn (2) thoa m˜n. Vˆy y = 0 l` nghiˆm cua (1).
    e          ı         e        ’     a    a
                                             .        a     e. ’
                    dy
    ´
 + Nˆu y ≡ 0: (2)⇔
    e                  = 3x2 dx. Lˆ y t´ phˆn 2 vˆ:
                                   ´
                                   a ıch a         ´
                                                   e
                    y
                                                      3             3
                ln |y| = x3 + ln |C| ⇔ ln |y| = ln |Cex | ⇔ y = Cex , ∀C = 0

     Vˆy (1) c´ nghiˆm: y = Cex (v´.i C t` y y).
                                 3
      a
      .         o     e
                      .              o      u ´
2.2. Phu.o.ng tr` vi phˆn d ˘ng cˆ p cˆ p 1
                 ınh      a ¯a ’   ´ ´
                                   a a
     L` phu
      a     .o.ng tr` c´ dang y = f (x, y) v´.i f (λx, λy) = f (x, y), ∀λ = 0.
                    ınh o .                  o
     D˘t y = ux, ta c´: u x + u = y = f (x, y) = g(u), ta d .a vˆ phu.o.ng tr` c´ biˆn
     -a
      .                 o                                   ¯u `   e           ınh o e´
 ´
sˆ phˆn ly u x = g(u) − u.
 o a
V´ du 6. Giai phu.o.ng tr`
  ı .        ’            ınh:
                                            x+y
                                      y =                                            (1)
                                            x−y
    -a
    D˘t y = ux ⇒ y = u x + u, ta c´:
      .                           o
               x + ux          1+u        1−u        dx
(1)⇔ u x + u =         ⇔ux=          −u ⇔     2
                                                du =    .
               x − ux          1−u        1+u        x
     ´
     a ıch a        e´
    Lˆ y t´ phˆn 2 vˆ:

         du     1      2udu            1                   ln |1 + u2|   ln |Cx2|
            2
              −              = ln |x| + ln |C| ⇔ arctg u −             =
        1+u     2     1 + u2           2                         2           2

 a       o     e
Vˆy (1) c´ nghiˆm:
 .             .
                                   y
                          2Arctg     = ln |C(x2 + y 2 )|, ∀C = 0
                                   x
V´ du 5. Giai phu.o.ng tr`
 ı .       ’             ınh:
                                             y2
                                       y =      −2                                    (1)
                                             x2
    -a                            o
    D˘t y = ux ⇒ y = u x + u, ta c´:
      .
                    2
    (1)⇔ u x + u = u − 2 ⇔ u x = u2 − u − 2                                           (2)
                                                                                               43

                                   u = −1                                          y = −x
 + Nˆu u2 − u − 2 ≡ 0 ⇔
    ´
    e                                          ı
                                             th` u = 0, (2) thoa m˜n, vˆy
                                                              ’   a    a
                                                                       .                     a a
                                                                                            l` c´c
                                   u=2                                             y = 2x
        e   ’
    nghiˆm cua (1)
        .
                                  u = −1
 + Nˆu u2 − u − 2 ≡ 0 ⇔
    ´
    e                                         th` (2) tu.o.ng d .o.ng v´.i:
                                                ı             ¯u       o
                                  u =2

                    du     dx  1   u−2  1          u−2
                         =    ⇒ ln     + ln C ⇔ ln     = Cx3
               u2   −u−2   x   3   u−1  3          u+1

                    3
                                                                              y − 2x = Cx3 (y + x)
                                       a      e   ’       a
    ⇔ y−2x = Cx (y+x), ∀C = 0. Suy ra c´c nghiˆm cua (1) l`:
                                              .
                                                                                   y = −x
v´.i C t` y y.
 o      u ´
2.3. Phu.o.ng tr` vi phˆn tuyˆn t´ cˆ p 1
                    ınh         a      ´
                                       e ınh a  ´
     L` phu
      a      .o.ng tr` c´ dang y + p(x)y = q(x) trong d ´ p(x), q(x) l` c´c h`m liˆn tuc
                        ınh o .                               ¯o           a a a  e .
  e
trˆn [a, b].
     C´ch giai thu.c hiˆn qua c´c bu.´.c:
       a       ’      .      e.        a   o
          − Gia  ’ i phu.o.ng tr` tuyˆn t´ thuˆn nhˆ t (q(x) = 0), ta c´: y ≡ 0 ho˘c
                                   ınh   ´ ınh
                                         e            `
                                                      a    ´
                                                           a                 o        a
                                                                                      .
             dy
                   = −p(x)dx ⇒ y = Ce− p(x)dx, vˆy nghiˆm l`: y = Ce− p(x)dx
                                                        a.    e a
                                                               .
              y
          − T` nghiˆm riˆng y ∗ cua phu.o.ng tr` khˆng thuˆn nhˆ t (q(x) = 0) b˘ ng
               ım         e.      e      ’              ınh o        `a   ´
                                                                          a         `
                                                                                    a
              a ¯˘           ∗
             c´ch d at y = C(x).u(x) v´      o.i u(x) = e− p(x)dx, suy ra
                       .

                                 y ∗ = e−   p(x)dx
                                                     .   q(x)e   p(x)dx
                                                                      dx.

        − lˆp nghiˆm tˆ ng qu´t cua phu.o.ng tr` khˆng thuˆn nhˆ t dang y = y + y ∗
           a
           .       e.   o’    a ’              ınh o      `
                                                          a    ´
                                                               a .
V´ du 6. Giai phu.o.ng tr`
 ı .       ’             ınh:
                                   y − 2xy = x
 + Giai phu.o.ng tr` thuˆn nhˆ t y − 2xy = 0, ta c´ nghiˆm:
      ’            ınh  `
                        a      ´
                               a                  o     e
                                                        .
               dy                  2                 x2
           a. y = 2xdx ⇒ ln y = x + ln C ⇒ y = Ce .
   y = 0 ho˘c
 + Nghiˆm riˆng cua phu.o.ng tr` khˆng thuˆn nhˆ t l`:
        e
        .    e      ’          ınh o       `
                                           a      ´
                                                  a a

                             2           2       2   1   2                  1
                     y ∗ = ex .     x.e−x dx = ex . − e−x                 =− .
                                                     2                      2
                                                     1
    Vˆy (1) c´ nghiˆm tˆ ng qu´t: y = y + y ∗ = Cex − v´.i C t` y y.
                                                   2
      a
      .       o      e
                     .    o’  a                        o      u ´
                                                     2
V´ du 7. Giai phu.o.ng tr`
 ı .       ’             ınh:
                                                 2
                                 y + 2xy = xe−x .
 + Giai phu.o.ng tr` thuˆn nhˆ t y + 2xy = 0, ta c´ nghiˆm:
      ’            ınh  `
                        a    ´
                             a                    o     e
                                                        .
               dy                     2                   −x2
           a. y = −2xdx ⇒ ln y = −x + ln C ⇒ y = Ce
   y = 0 ho˘c                                                 .
                                                                                                           44


 + Nghiˆm riˆng cua phu.o.ng tr` khˆng thuˆn nhˆ t l`:
       e
       .    e    ’             ınh o      `
                                          a    ´
                                               a a
                                                                                             2
                       ∗     −x2         −x2      x2        −x2                 x2 e−x
                      y =e         .   x.e       .e dx = e           .    xdx =        .
                                                                                    2
                                                                                        2
                                                                      x2 e−x
                                                                                v´.i C t` y y.
                                                                2
     Vˆy (1) c´ nghiˆm tˆ ng qu´t l`: y = y + y ∗ = Ce−x +
       a
       .        o       e
                        .    o’      a a                                         o      u ´
                                                                          2
2.4. Phu.o.ng tr` Bernoulli
                 ınh
     L` phu
       a    .o.ng tr` c´ dang y + p(x)y = q(x).y α .
                     ınh o .
                                                                  y 1−α
     -e ’
        ’
     Dˆ giai, gia thiˆt y ≡ 0, chia 2 vˆ cho y α , rˆi d ˘t z =
                 ’    e´                   ´
                                           e        ` ¯a
                                                    o .                      a a
                                                                           (l` h`m theo x, z ≡ 0),
                                                                 1−α
giai phu.o.ng tr` tuyˆn t´ cˆ p 1 theo z.
   ’            ınh       ´
                          e ınh a   ´
  ı .        ’
V´ du 8. Giai phu   .o.ng tr`
                            ınh:
                                         y + 2xy = 2x3 y 3 .
  + Nˆu y ≡ 0 th` y = 0: (1) thoa m˜n nˆn y = 0 l` nghiˆm cua phu.o.ng tr`
       ´
       e            ı                  ’     a e           a      e
                                                                  .      ’              ınh
                                                                1 −2
                                                   -a
  + Nˆu y ≡ 0 (1)⇒ y y −3 + 2xy −2 = 2x3 . D˘t z = − y
       ´
       e                                             .                     a a
                                                                        (l` h`m theo x, z ≡ 0),
                                                                2
                   −3
     th` z = y y , phu
        ı:                  .o.ng tr` tro. th`nh
                                    ınh ’ a                     z − 4xz = 2x3                  (3)
         ’
     Giai (3). Phu  .o.ng tr` thuˆn nhˆ t:
                             ınh     `
                                     a       ´
                                             a

                                                 dz                  2
                           z − 4xz = 0 ⇒            = 4xdx ⇒ z = Ce2x
                                                 z
 a     e    e
v` nghiˆm riˆng
       .
                  2             2            2        1          1          2       1              1
         z ∗ = e2x     2x3 e−2x dx = e2x          −       x2 +           e−2x   =           x2 +       .
                                                      2          2                  2              2

                                                     2  1                           1
     Vˆy (3) c´ nghiˆm tˆ ng qu´t: z = z + z ∗ = Ce2x −
      a
      .       o     e o
                    .    ’      a                                           x2 +         e       o     e
                                                                                      , nˆn (1) c´ nghiˆm
                                                                                                       .
                                                       2                           2
  1             2       1
     = −2Ce2x + x2 +
 y2                    2 , v´.i C t` y y.
                             o      u ´
   y=0
                                            `
                                          BAI TAPˆ
                                                 .
          ’ a
4.1.1. Gia i c´c phu  .o.ng tr`nh vi phˆn sau (da ng d u.a vˆ biˆn sˆ phˆn ly):
                              ı        a              ¯      e ´ ´
                                                            ` e o a
                                                .
                                                 x+y           x−y
    (xy 2 −x)dx+(y +x2 y)dy = 0;          y +sin          −sin         = 0;        y = 2x+y +4;
                                                    2             2
          √                                                               2
                                                                       2x            5y
    y = y − x + 1;           y = ex+y −1;      xy = ey −1;                    dx+ 2      dy = 0;
                                                                    1 + 2x2         y +1
    (1 + e2x )y 2 dy = ex dx (biˆt y(0) = 0);
                                  ´
                                  e                y = ey−4x (biˆt y(1) = 1)
                                                                    ´
                                                                    e
          ’ a
4.1.2. Gia i c´c phu  .o.ng tr`nh vi phˆn sau (da ng d ˘ ng cˆ p cˆ p 1):
                              ı        a              ¯a’     ´ ´
                                                              a a
                                                .
            2
          y                     y   y                 y                 2xy
    y = 2 − 2;           y = ex + ;        xy = y ln ;         y = 2           ;
          x                         x                 x               x − y2
                                              √                 y           y             y x
    (x2 +2xy)dx+xydy = 0;            xy = y− xy;          y =       1 + ln       ;    y = + ;
                                                                x           x             x y
                                                                                                            45

         y         y                                       y        y              π
     y =    + cos2 ;       x3 y = y(x2 + y 2 );                           ´
                                                                          e
                                                     y = + sin (biˆt y(1) = );
         x         x                                       x        x              2
                   y                π              y    y2
                         ´
    xy − y = xtg (biˆt y(1) = );
                         e                                      ´
                                                                e
                                            y = + 2 (biˆt y(−1) = 1);
                   x                2              x x
         y     1 y 3
    y = +                  ´
                           e
                        (biˆt y(−1) = 1);
         x 2 x
4.1.3. Gia i c´c phu.o.ng tr`nh vi phˆn sau (da ng tuyˆn t´ cˆ p 1):
         ’ a                 ı        a          .       ´
                                                         e ınh a   ´
                                                                       y
    y + 2y = 4x;        (1 + x2 )y − 2xy = (1 + x2 )2 ;       xy −          = x;
                                                                     1+x
                                               2
    xy + y = x2 cos x;         y + 2xy = xe−x ;       y cos x + y sin x = 1;
                     2 x             x     2x               1                      2
    xy −xy = (1+x )e ;           y +e y = e ;        y−         y = x ln x;     y − y = 4x2 ;
                                                         x ln x                    x
                               y     3
    y + xy = 3x;        y + = 3x ;         y + 2y = cos x;         y − 2y = sin x;
                               x
    xy + y = ex (biˆt y(1) = 0);
                     ´
                     e                                                    ´
                                                                          e
                                        (x + 1)xy − y = x(x + 1) (biˆt y(1) = 0)

II. Phu.o.ng tr`        a    ´
                             a
               ınh vi phˆn cˆ p 2
      a     e
1. Kh´i niˆm chung
            .
  * Ta goi phu.o.ng tr`
         .            ınh vi phˆn cˆ p 2 l` phu.o.ng tr` c´ dang
                               a   ´
                                   a      a            ınh o .

                                               F (y , y , y, x) = 0                                       (II)

     hay
                                                y = f (y , y, x)                                         (IIo )
                               ´
     trong d ´ y l` h`m sˆ theo biˆn x, c`n y , y l` d ao h`m cˆ p 1,2 cua y, v` nghiˆm
              ¯o a a           o          ´
                                          e      o               a ¯. a          a´         ’        a      e
                                                                                                            .
       ’
     cu a phu     .o.ng tr` l` h`m y = ψ(x) hay Φ(x, y) = 0 thoa m˜n phu.o.ng tr` d o.
                           ınh a a                                               ’     a                ınh ¯´
   * H`m y = ψ(x, C1 , C2 ) ho˘c Φ(x, y, C1 , C2 ) = 0 thoa m˜n phu.o.ng tr` (II) hay
       a                              a
                                      .                                 ’      a                  ınh
     (IIo ) v´.i C1 , C2 l` h˘ ng sˆ t` y y trong tˆp con n`o d ´ cua R, v` v´.i mˆi d ` u
               o            a `  a      ´
                                        o u ´                a.          a ¯o ’               a o       ˜
                                                                                                        o ¯iˆ e
     kiˆn y(xo ) = yo v` y (xo ) = yo ta t` d u .
        e                   a                    ım ¯     .o.c duy nhˆ t c˘p sˆ C , C sao cho y =
                                                                          ´ .
                                                                         a a o 10 20 ´
        .
     ψ(x, C10 , C20 ) hay Φ(x, y, C10 , C20 ) = 0 thoa (II) hay (IIo ) d u.o.c goi l` nghiˆm
                                                               ’                       ¯ .       . a        e
                                                                                                            .
     tˆ ng qu´t cu a c´c phu.o.ng tr`
      o’          a     ’    a                 ınh d ´.¯o
       e´
   * Nˆu y = ψ(y, C1 , C2 ) hay Φ(x, y, C1 , C2 ) = 0 l` nghiˆm tˆ ng qu´t cua (II) hay
                                                                      a      e
                                                                             .      o’       a ’
     (IIo ), cho C1 = C01 , C2 = C02 v´         o .i C , C l` hai sˆ x´c d inh cu thˆ th` y =
                                                                     a       ´
                                                                             o a ¯.                   ’
                                                                                                     e ı
                                                        01      02                             .
     ψ(x, C01 , C02 ) hay Φ(x, y, C01 , C02 ) = 0 d u .   ¯  .o.c goi l` nghiˆm riˆng cu a phu.o.ng
                                                                                 e        e        ’
                                                                     . a         .
     tr`      ¯o
        ınh d ´.
  + (Dinh l´ tˆn tai v` duy nhˆ t nghiˆm): Trong phu.o.ng tr`nh (IIo ), nˆu h`m
       -.         y ` o    . a              a´          e
                                                        .                               ı               ´
                                                                                                        e a
                      e .              ` n n`o d o ch´.a d iˆ m (yo , yo , xo ) th` tˆn tai mˆt nghiˆm
                                        e
     f (y , y, x) liˆn tuc trong miˆ a ¯´ u ¯ e                   ’                    ı o` .        o.     e.
                     ’                                                         a e   ´
     y = y(x) cu a (IIo ) sao cho y + o = y(xo ), yo = y (xo ) v` nˆu fy .fy c˜ng liˆn tuc         u     e .
     trong miˆn ch´.a d iˆ m (yo , yo , xo ) th` nghiˆm ˆ y l` duy nhˆ t.
                 `e      u ¯e  ’                    ı       . ´
                                                            e a a                  ´
                                                                                   a
2. C´c loai phu.o.ng tr`
      a       .                  ınh vi phˆn cˆ p 2 thu.`.ng g˘p
                                             a      ´
                                                    a               o      a
                                                                           .
2.1. Phu  .o.ng tr` vi phˆn cˆ p 2 giam cˆ p d .o.c
                    ınh        a a  ´       ’      ´
                                                  a ¯u .
  + Phu.o.ng tr`nh c´ dang y = f (x) (thiˆu y, y )
                    ı     o .                         ´
                                                      e
       a         ’ ıch a
     C´ch giai: t´ phˆn 2 lˆn.     `a
V´ du 1. Giai phu.o.ng tr`
  ı .           ’              ınh:
                                               y = x + 1.
                                                                                              46

                                        x2
         o
     Ta c´: y =       (x + 1)dx =           + x + C1 , suy ra:
                                        2
               x2                        x3     x2
     y=             + x + C1 dx =            +       + C1 x + C2 v´.i C1 , C2 t` y y.
                                                                  o            u ´
               2                           6     2
  + Phu.o.ng tr`nh c´ dang y = f (y , x) (thiˆu y)
                 ı       o .                           ´
                                                       e
     C´ch giai: d at y = z (h`m theo x) ⇒ y = z . Nˆn: z = f (z, x) l` phu.o.ng
      a       ’ ¯˘     .              a                               e               a
  ınh a´       ’                   ’
tr` cˆ p 1 cua z theo x, giai ra nghiˆm tˆ     e
                                               .     o’ng qu´t z = ψ(x, C1 ), thay z = y , ta c´:
                                                             a                                 o
y = ψ(x, C1 ) gia  ’ i ra nghiˆm tˆ ng qu´t cua phu.o.ng tr` ban d` u.
                                e
                                .    o’      a     ’            ınh         a
                                                                           ¯ˆ
  ı .       ’
V´ du 2. Giai phu     .o.ng tr`
                              ınh:
                                              y = y + x.
    D˘t y = z (h`m theo x) ⇒ y = z , suy ra z − z = x. Dˆy l` phu.o.ng tr` vi
    -a.         a                                           -a a            ınh
  a     ´
        e ınh a ´     ’ a              o
phˆn tuyˆn t´ cˆ p 1 cua h`m z theo x v´.i p(x) = −1, q(x) = x nˆn c´ nghiˆm:
                                                                e o       e
                                                                          .
                      p(x)dx
     z=       q(x)e        dx + C1 e−      p(x)dx
                                                    =    xe−x dx + C1 ex = C1 ex − (x + 1).
                                                             x2
Thay z = y , ta c´: y = C1 ex − (x + 1) ⇒ y = C1 ex −
                 o                                              − x + C2 v´.i C1, C2 t` y y.
                                                                          o           u ´
                                                             2
  + Phu.o.ng tr`nh c´ dang y = f (y, y ) (thiˆu x)
                 ı       o .                  ´
                                              e
               ’ ¯a
     C´ch giai: d ˘t y = z (h`m theo y), d ao h`m theo x, ta c´: y = zy · y = z · z,
      a             .             a        ¯.    a               o
  e
nˆn: z · z = f (y, z).
     Giai phu.o.ng tr` cˆ p 1 cua z theo biˆn y, ta c´: z = ψ(y, C1 ), thay z = y rˆi giai
       ’                ınh a´      ’      ´
                                           e         o                             `
                                                                                   o ’
  ´
tiˆp phu
  e      .o.ng tr` y = ψ(y, C ) ta c´ nghiˆm tˆ ng qu´t cua phu.o.ng tr` d a cho.
                 ınh                  o    e    o’      a ’               ınh ¯˜
                                  1         .
  ı .         ’
V´ du 3. Giai phu    .o.ng tr`
                             ınh:

                                    (1 − y)y + 2(y )2 = 0                                    (1)

                                             dz
D˘t y = z (theo y) ⇒ y = z y = z z (v´.i z =
-a
 .                                   o                 o
                                                ), ta c´:
                                             dy

                                     (1 − y)z z + 2z 2 = 0                                   (2)

       ´
  + Nˆu z ≡ 0 ⇒ z = 0: (2) thoa m˜n nˆn z ≡ 0 l` nghiˆm cua (2)⇒ y = 0 ⇒ y = C1
       e                             ’     a e            a      e.     ’
        o .i C t` y y) l` nghiˆm cua (1)
     (v´ 1 u ´ a                e   ’
                                .
  + Nˆ ´u 1 − y ≡ 0 ⇔ y ≡ 1 ⇒ y = 0: (1) thoa m˜n nˆn y = 1 l` nghiˆm (1) (tru.`.ng
       e                                              ’    a e             a      e
                                                                                  .     o
     ho .p riˆng cua nghiˆm y = C )
               e    ’       e
       .                    .          1
       ´
  + Nˆu y ≡ C1 ⇔ z ≡ 0:
       e
                      dz            dz       2dy
     (2)⇒ (1 − y)         = −2z ⇒        =         ⇒ ln |z| = 2 ln |y − 1| + ln |C1 |
                      dy            z       y −1
                                              dy                      1
     Suy ra: z = y = C1 (y − 1)2 ⇒                 2
                                                     = C1 dx ⇒ −          = C1 x + C2 .
                                          (y − 1)                  y−1
                                            1
                                y=−                                   u ´
                                                   + 1; C1 = 0, C2 t` y y
     Vˆy (1) c´ nghiˆm: 
       a.        o       e
                         .             C1x + C2
                                              u ´
                                y = C1, C1 t` y y
            .o.ng tr`                    e ınh cˆ p 2 v´.i hˆ sˆ h˘ ng
2.2. Phu                        a
                     ınh vi phˆn tuyˆn t´´           ´
                                                     a      o     . ´ `
                                                                  e o a
                                                                                                  47


     L` phu.o.ng tr` c´ dang y + py + qy = f (x) trong d ´ p, q l` h˘ ng sˆ thu.c. * Dˆi
       a                ınh o .                                     ¯o     a a`   ´
                                                                                  o .      -o´
 o
v´.i phu.o.ng tr`nh thuˆn nhˆ t (f (x) = 0):
                   ı        `
                            a       ´
                                    a
         ’
     Giai phu    .o.ng tr` d ac tru.ng:
                          ınh ¯˘                           k 2 + pk + q = 0.              (DT)
                                 .
       ´
  + Nˆu (DT) c´ 2 nghiˆm thu
       e              o          e      .c phˆn biˆt k , k th` nghiˆm tˆ ng qu´t cua phu.o.ng
                                              a    e 1 2 ı             e   o’    a ’
                                  .    .            .                  .
       ınh        `
     tr` thuˆn nhˆ t l`:
                  a       ´
                          a a
                                           y = C1 ek1 x + C2ek2 x .
  + Nˆu (DT) c´ nghiˆm k´p k1 = k2 th` nghiˆm tˆ ng qu´t cua phu.o.ng tr` thuˆn
       ´
       e              o       e.     e            ı      e
                                                         .     o’     a ’            ınh    `
                                                                                            a
        a´t l`:
     nhˆ a
                                            y = (C1 + C2 x)ek1 x .
  + Nˆu (DT) c´ 2 nghiˆm ph´.c k1 = α + βi, k2 = α − βi th` nghiˆm tˆ’ng qu´t cua
       ´
       e              o          e
                                 .     u                                 ı     e
                                                                               .  o      a ’
     phu   .o.ng tr` thuˆn nhˆ t l`:
                    ınh      `
                             a       ´
                                     a a

                                  y = eαx (C1 cos βx + C2 sin βx).

* Dˆi v´.i phu.o.ng tr`nh khˆng thuˆn nhˆ t y + py + qy = f (x) (vˆ pha i c´ dang d ˘c
  -o o
    ´                   ı    o       `
                                     a   ´
                                         a                         ´ ’ o .
                                                                   e                ¯a .
  e
biˆt):
  .
Bu.´.c 1: Giai phu.o.ng tr` thuˆn nhˆ t tu.o.ng u.ng, t` nghiˆm tˆ ng qu´t du.´.i dang:
    o         ’            ınh   `a    ´
                                       a         ´      ım     e
                                                               . o’     a     o .
y = C1 y1 (x) + C2 y2 (x)
Bu.´.c 2: T` nghiˆm riˆng y ∗ cua phu.o.ng tr` khˆng thuˆn nhˆ t dˆ suy ra nghiˆm
    o        ım       e
                      .    e       ’           ınh o         `
                                                             a   ´ ’
                                                                 a ¯e               e.
          ∗
y =y+y
  + Nˆu f (x) c´ dang Pn (x)eax (Pn (x) l` d a th´.c bˆc n):
       ´
       e         o .                      a ¯    u a  .
      − Nˆu a khˆng phai l` nghiˆm cua (DT) th` y ∗ c´ dang:
           ´
           e      o       ’ a      e
                                   .   ’           ı     o .

                          y ∗ = (an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + ao )eax

     − Nˆu a l` nghiˆm d .n cua (DT) th` y ∗ c´ dang:
        ´
        e     a     e ¯o
                    .        ’         ı      o .

                         y ∗ = x(an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + ao )eax

     − Nˆu a l` nghiˆm k´p cua (DT) th` y ∗ c´ dang:
        ´
        e     a     e
                    .   e   ’         ı      o .

                         y ∗ = x2 (an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + ao )eax

 + Nˆu f (x) c´ dang eax [Pn (x) cos bx + Qm (x) sin bx]: (Pn (x), Qm (x) l` c´c d a th´.c
    e´        o .                                                          a a ¯       u
    a         ¯a
   bˆc n, m), d ˘t h = max{m, n}:
    .           .
   − Nˆu a + bi khˆng phai l` nghiˆm cua (DT) th` y ∗ c´ dang:
        ´
        e            o     ’ a        e
                                      .    ’           ı    o .

          y ∗ = (ah xh + · · · + a1 x + ao ) cos bx + (bh xh + · · · + b1 x + bo ) sin bx eax

     − Nˆu a + bi l` nghiˆm cua (DT) th` y ∗ c´ dang:
        ´
        e          a     e
                         .   ’         ı      o .

         y ∗ = x. (ah xh + · · · + a1 x + ao ) cos bx + (bh xh + · · · + b1 x + bo ) sin bx eax

      Dˆ x´c d .nh c´c sˆ ai , bi o. trˆn, ta d` ng phu.o.ng ph´p hˆ sˆ bˆ t d .nh: t´ y ∗ , y ∗
      - e a ¯i
         ’           a o´         ’ e          u                   . ´ ´
                                                               a e o a ¯i            ınh
 `
 o          ∗ ∗    ∗
                       a
rˆi thay y , y , y v`o phu      .o.ng tr` khˆng thuˆn nhˆ t, d` ng nhˆ t hai vˆ v` giai hˆ
                                         ınh o          `
                                                        a      ´
                                                              a ¯ˆ o      a´         ´
                                                                                    e a ’ e      .
phu .o.ng tr` theo a , b .
            ınh       i i
                                                                                           48


 + Nguyˆn l´ chˆng chˆ t nghiˆm: Nˆu y1 (x), y2 (x) lˆn lu.o.t l` nghiˆm riˆng cu a
           e y `      o        ´
                               a    e.     ´
                                           e              `
                                                          a     . a        e
                                                                           .    e   ’
    c´c phu
     a      .o.ng tr`nh y + p(x).y + q(x).y = f (x) v` y + p(x).y + q(x).y = f (x) th`
                    ı                                a                                ı
                                               1                                2
                     a       e   e     ’
    y1 (x) + y2 (x) l` nghiˆm riˆng cu a y + p(x).y + q(x).y = f1 (x) + f2 (x).
                             .
 ı .        ’
V´ du 1. Giai phu  .o.ng tr`
                           ınh:
                                     y − 2y − 3y = e4x                             (1)
                                                                k1 = −1
    Phu.o.ng tr` d ˘c tru.ng k 2 − 2k − 3 = 0 c´ nghiˆm
               ınh ¯a
                    .                          o     e
                                                     .                    nˆn phu.o.ng tr`
                                                                           e             ınh
                                                                     k2 = 3
thuˆn nhˆ t: y − 2y − 3y = 0 c´ nghiˆm y = C1 e−x + C2 e3x , C1 , C2 t` y y.
    `
    a      ´
           a                          o        e
                                               .                               u ´
        ´
        e     ’
      Vˆ phai (1) c´ dang Pn (x)e v´
                       o .             ax
                                            o.i n = 0, a = 4 = k , k nˆn nghiˆm riˆng c´ dang
                                                                1 2 e        e
                                                                             .    e    o .
                            y∗     = 4ao e4x
y ∗ = ao e4x , suy ra:                                   a          o
                                               . Thay v`o (1), ta c´:
                            y∗     = 16ao e4x
                                                  1
16ao e4x − 8ao e4x − 3ao e4x = e4x ⇒ ao = , suy ra:
                                                  5
                    ∗       −x       3x    1 4x
      y = y + y = C1 e + C2 e + e , ∀C1, C2 .
                                           5
V´ du 2. Gia
   ı .          ’ i phu.o.ng tr`
                               ınh:
                                        y − 2y + y = 6xex                                  (2)
      Phu.o.ng tr` d ˘c tru.ng k 2 − 2k + 1 = 0 c´ nghiˆm k´p k1 = k2 = 1 nˆn phu.o.ng
                 ınh ¯a  .                          o      e
                                                           .    e                  e
tr` thuˆn nhˆ t: y − 2y + y = 0 c´ nghiˆm y = (C1 x + C2)ex , C1, C2 t` y y.
   ınh    `
          a      ´
                 a                      o      e
                                               .                                u ´
      Vˆ phai (2) c´ dang Pn (x)eax v´.i n = 1, a = 1 = k1 = k2 nˆn nghiˆm riˆng c´ dang
       ´ ’
       e            o .                o                            e       e
                                                                            .    e     o .
                                   y∗     = [a1 x3 + (3a1 + ao )x2 + 2ao x]ex
y ∗ = x2 (a1 x + ao )ex , suy ra:                                                            .
                                   y∗     = [a1 x3 + (6a1 + ao )x2 + (6a1 + 4ao )x + 2ao ]ex
                            6a1 = 6        a1 = 1
Thay v`o (2), ta c´:
        a            o               ⇒                ⇒ y ∗ = x3 ex nˆn (2) c´ nghiˆm:
                                                                     e        o      e
                                                                                     .
                            2ao = 0        ao = 0
             y = y + y ∗ = (C1 x + C2 )ex + x3 ex = (C1 x + C2 + x3 )ex , ∀C1 , C2
V´ du 3. Giai p[hu.o.ng tr`
   ı .        ’              ınh:
                                        y + y = 4xex                                       (3)
      Phu.o.ng tr` d ˘c tru.ng k 2 + 1 = 0 c´ nghiˆm k = ±i nˆn phu.o.ng tr` thuˆn
                  ınh ¯a .                        o     e
                                                        .             e            ınh   `a
nhˆ t: y + y = 0 c´ nghiˆm y = e0x (C1 sin x + C2 cos x) = C1 sin x + C2 cos x, C1 , C2
   a´                  o       e.
 u ´
t` y y.
      Vˆ phai (3) c´ dang Pn (x)eax v´.i n = 1, a = 1 = k1 , k2 nˆn nghiˆm riˆng c´ dang:
         ´
         e    ’      o .                  o                         e       e
                                                                            .    e   o .
                                       y∗    = (a1 x + a1 + ao )ex
      y ∗ = (a1 x + ao )ex , suy ra:                                .
                                       y∗    = (a1 x + 2a1 + ao )ex
                a           o                           -ˆ
      Thay v`o (3), ta c´: 2a1 x + 2a1 + 2ao = 4x. D` ng nhˆ t 2 vˆ:
                                                          o      ´
                                                                 a     e´
          a1        =2            a1 = 2
                          ⇒                 ⇒ y ∗ = (2x − 2)ex nˆn (2) c´ nghiˆm:
                                                                 e        o    e
                                                                               .
          a1 + ao = 0             ao = −2
                   y = y + y ∗ = (C1 sin x + C2 cos x) + (2x − 2)ex , ∀C1 , C2
V´ du 4. Giai phu.o.ng tr`
  ı .           ’             ınh:
                                        y − y = 2ex − x2                                 (4)
     Phu.o.ng tr` d ˘c tru.ng k 2 − 1 = 0 c´ nghiˆm k = ±1 nˆn phu.o.ng tr` thuˆn
                ınh ¯a
                     .                     o     e
                                                 .           e            ınh  `
                                                                               a
  ´                                  x      −x
nhˆ t: y − y = 0 c´ nghiˆm y = C1 e + C2 e , C1 , C2 t` y y.
  a                o    e.                            u ´
                                                                                         49


                 e y `   o      ´
                                a        e
                                         .         e
                                                   .     e      ’       a o’
     Theo nguyˆn l´ chˆng chˆ t nghiˆm, nghiˆm riˆng cua (4) l` tˆ ng hai nghiˆm riˆnge. e
                                               x
                                y − y = 2e                        (4a)
cua hai phu.o.ng tr` sau:
 ’                  ınh
                                y − y = −x2                       (4b)
Vˆ´ phai (4a) c´ dang Pn (x)eax v´.i n = 0, a = 1 = k1 nˆn nghiˆm riˆng c´ dang:
  e    ’        o .                o                          e        e
                                                                       .     e   o .
                                             ∗
                                           y1     = (ao x + ao )ex
      ∗
     y1 = x(ao )ex = ao xex , suy ra:        ∗
                                                                     .
                                           y1     = (ao x + 2ao )ex
                                                                          e ∗
     Thay v`o (4a), ta c´: (ao x + 2ao − ao x)ex = 2ex ⇒ ao = 1, nˆn y1 = xex
            a             o
  ´
  e    ’
Vˆ phai (4b) c´ dang Pn (x)e v´
                o .            ax
                                    o.i n = 2, a = 0 = k , k nˆn nghiˆm riˆng c´ dang:
                                                           1 2 e         e
                                                                          .    e   o .
                                                                     a2 = 1
      ∗       2
                                         y2∗
                                                 = 2a2 x + a1 (4b) 
     y2 = a2 x + a1 x + ao , suy ra:                             ⇒                 ∗
                                                                       a1 = 0 ⇒ y2 = x2 + 2.
                                         y2∗
                                                 = 2a2              
                                                                    
                                                                       ao = 2
                             ’             ∗     ∗    ∗      x      2                 ’
     Suy ra nghiˆm riˆng cua (4) l`: y = y1 + y2 = xe + x + 2 v` nghiˆm tˆ ng qu´t:
                  e
                  .    e             a                                     a     e
                                                                                 .   o    a

                  y = y + y ∗ = C1 ex + C2 e−x + xex + x2 + 2, ∀C1 , C2

                                            `
                                          BAI TAPˆ
                                                 .
          ’ i c´c phu.o.ng tr`nh vi phˆn cˆ p 2 sau (dang gia m cˆ p):
4.2.1. Gia a                  ı        a a  ´           .    ’   ´
                                                                 a
                            y                 2
xy = y ;       xy = y ln ;          x2 y = y ;      y 3 y = 1;    y (ex + 1) + y = 0;
                            x
                                                       2                    2
(x ln x)y − y = 0;        x2 y + 3xy = 0;       1 + y = 2yy ;       yy − y = 0
4.2.2. Gia i c´c phu.o.ng tr`nh vi phˆn cˆ p 2 sau (dang tuyˆn t´ v´.i hˆ sˆ h˘ ng):
          ’ a                 ı        a a  ´           .      e ınh o e o `
                                                               ´           . ´ a
                 x                       2x                      2
y −2y +y = e ;         y −5y +6y = e ;          y −2y +2y = 2x ;       y +y −2y = xex ;
y − 3y + 2y = ex (2x + 3);         y − y − x;       y − 6y + 5y = 3ex + 5x2 ;
               2
y − 5y = 3x + sin 5x;           y + y = sin x cos 3x;     y − 2y − 3y = 3 − 4ex
                                         -ooOoo-
                                                                                                 50


                                      a e            ’
                                     T`i liˆu tham khao
                                           .
  ´
  e
Tiˆng Viˆt  e.
 1. Lu  .o.ng H`. 2002. Gi´o tr` H`m nhiˆu biˆn sˆ. Trung tˆn D`o tao T`. Xa, Dai
                  a              a    ınh a          `e     ´ ´
                                                            e o                a -a .     u      - .
    hoc Huˆ.
      .        ´
               e
 2. Lˆ Tu ’
     e .    . Hy. 1974. Gi´o tr` Giai t´ Viˆn Dai hoc Huˆ.
                               a     ınh     ’ ıch, e - . .               ´
                                                                          e
                                                          .
            ´
 3. Lˆ Viˆt Ngu
     e e             ., Phan v˘n Danh. 2000. To´n hoc cao cˆ p (chuyˆn ng`nh Sinh, Y,
                                  a                       a             ´
                                                                        a           e   a
                                                                 .
      o        a
    Nˆng Lˆm). NXB Gi´o duc.     a    .
 4. Th´i Xuˆn Tiˆn, Da
         a       a      e    - ˘ng Ngoc Duc. 2002. To´n cao cˆ p (phˆn Giai t´
                               .        .     .                a       ´
                                                                       a         `
                                                                                 a    ’ ıch). Trung
     a -a .
    tˆm D`o tao T`       u. Xa, Dai hoc Huˆ.
                                  - . .        e´
 5. Nguyˆ   ˜n D` Tr´ v` cˆng su.. 1983. To´n hoc cao cˆ p. Tˆp I,II,III. NXB Dai hoc
            e    - ınh ı a o       .     .             a     .      a´       a.              - . .
     a
    v` THCN.
  ´
  e
Tiˆng Anh
                                                    .               ´
 6. P.E. Danko, A.G. Popov. 1996. B`i tˆp To´n cao cˆ p (ban dich). NXB Gi´o duc.
                                                 a a        a       a       ’     .          a    .
 7. G.Dorofeev, M.Potapov, N.Rozov. 1976. Elementary mathematics. Mir Publisher.
                            ’ ıch a        .      ’
 8. Liasko. 1979. Giai t´ to´n hoc (ban dich). Tˆp I. NXB Dai hoc v` THCN.
                                                        .        a.           - . . a

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Categories:
Tags:
Stats:
views:501
posted:3/6/2011
language:Vietnamese
pages:50