; LA FONCTION LOGARITHME NEPERIEN
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LA FONCTION LOGARITHME NEPERIEN

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  • pg 1
									                      LA FONCTION LOGARITHME NEPERIEN
                           1
La fonction inverse x        est continue sur l’intervalle ]0, + ∞[, donc elle admet une infinité de primitives
                           x
sur cet intervalle, dont une seule s’annule en 1.

§ 1 Définition de la fonction logarithme népérien

    Définition

    La fonction logarithme népérien est la primitive de la fonction inverse sur ]0, + ∞[ qui prend la valeur
    0 en 1.
    La fonction logarithme népérien, notée ln, est définie sur ]0, + ∞[ , prend la valeur 0
                                                                                1
    en x = 1, est continue sur ]0, + ∞[ et admet pour dérivée la fonction x 
                                                                                x

§ 2 Propriétés algèbriques

    1- Relation fonctionnelle

    Théorème

    Pour tous les réels a et b strictement positifs, on a ln (a × b) = ln a + ln b

Démonstration :

a étant un nombre réel strictement positif quelconque et x ] 0 ;   [
Soit f(x) = ln (ax) et g(x) = ln x
Les fonctions f et g sont dérivables sur ] 0 ;   [ , comme composée de fonctions dérivables sur ] 0 ;   [ et :
             1   1                         1
f '(x) = a                     et g'(x) =
            ax x                           x
                                                          1
f '(x) = g'(x) donc f et g sont deux primitives de x  sur] 0 ;   [
                                                          x
donc f(x) = g(x) + K avec K constante réelle
f(1) = g(1) +K
d'où : ln(a) = 0 + K et f(x) = g(x) + ln(a)
ainsi : ln(ax) = lnx + lna


    2- Logarithme d’un quotient

Propriétés :
                                       a
Pour tous réels a > 0 et b > 0, ln        lna – lnb
                                       b
                           1
Pour tout réel b > 0, ln     = - lnb
                           b

Démonstration :
     a                       a          a
. a =  b , donc lna = ln      b   ln    ln b d'après la propriété fondamentale
     b                       b          b



                                                       1/10
        a
d'où ln   = lna – lnb
        b
                        1
. Pour a = 1, on a : ln   = ln1 – lnb = - lnb
                        b

    3- Logarithme d’un produit de nombres réels strictement positifs

Propriété :

Pour tous réels a1, a2, …, an de ] 0 ; + ∞ [,
ln ( a1 a2 … an ) = ln a1 + ln a2 + … + ln an

Démonstration :

. pour n = 2, la proposition est vraie : ln(a1a2) = lna1 + lna2, d'après la propriété fondamentale
. on suppose qu'il existe un rang k pour lequel la propriété est vraie :
hypothèse de récurrence : ln (a1a2…ak) = ln a1 + ln a2 + … + ln ak
Alors, ln (a1a2…ak+1) = ln ((a1a2…ak)ak+1) = ln (a1a2…ak) + ln ak+1, d'après la propriété précédente
D'où, ln (a1a2…ak+1) = (ln a1 + ln a2 + … + ln ak) + ln ak+1
Donc la propriété est démontrée au rang k + 1
. Les axiomes de récurrence permettent de conclure que pour tous réels a1, a2, …, an de ] 0 ; + ∞ [,
ln ( a1 a2 … an ) = ln a1 + ln a2 + … + ln an

Propriété :

Pour tout réel a de ] 0 ; + ∞ [, et tout entier relatif n, ln (an) = n ln a

Démonstration :

. dans le résultat précédent, lorsque a1 = a2 = … = an = a, on obtient : pour tout naturel n ≥ 1, pour tout a > 0, ln
an = n ln a
. et si n est strictement négatif, on écrit :
               1 
ln (an) = ln  n  = - ( ln a-n)
              a 
Or – n > 0 donc ln (a-n) = -n ln a, et ln (an) = n ln a
. si n = 0, ln an = ln a0 = ln 1 = 0 et n ln a = 0  ln a = 0


    4- Logarithme d’une racine carrée

Propriété :
                                            1
Pour tout réel a de ] 0 ; + ∞ [, ln   a =     ln a
                                            2
Démonstration :

a= a  a
donc, d'après la propriété fondamentale, ln a = ln       a + ln    a = 2 ln   a
                1
d'où : ln a = ln a
                 2

§ 3 Etude de la fonction logarithme
                                                            2/10
       1- Sens de variation de la fonction logarithme népérien sur ]0 ; + ∞[

La fonction x  ln x est définie sur ]0 ; + ∞[
La fonction x  ln x est continue sur ]0 ; + ∞[
La fonction x  ln x est dérivable sur ]0 ; + ∞[
                                    1
Pour tout x de ]0 ; + ∞[, (ln x)’ =
                                    x
    Théorème

La fonction x  ln x est strictement croissante sur ]0 ; + ∞[

       2- Résolution d’équations et d’inéquations

       Théorème

Pour tous les réels a et b strictement positifs, on a : ln a < ln b si et seulement si a < b

Conséquences :

ln x < 0 si et seulement si 0 < x < 1
ln x > 0 si et seulement si x ∈ ]1 ; + ∞[

       3- Limites de la fonction logarithme népérien en 0 et en + ∞

Propriétés

lim ln x             et   lim ln x  
x                         x 0
                             x0



Démonstration :

. Soit A un réel strictement positif : peut-on trouver x tel que ln x > A ?
La fonction exponentielle étant strictement croissante, pour que ln x > A, il suffit que eln x > eA , soit x > eA .
Donc lim ln x = +  .
         x 



              1
. Posons X =    On a ln X = - ln x et la limite de X lorsque x tend vers 0 par valeurs positives est +  . Donc
              x
lim ln x = lim (- ln X) = - 
x 0             X
x0



       4- Tableau de variation

      x            0                                                    +∞
   f ’(x)                                     +
                                                                       +∞
 Variation
    de
     f              - ∞---


                                                          3/10
   5- Représentation graphique


                             y
                             6

                             5

                             4

                             3

                             2

                             1


      -4     -3   -2   -1    0      1       2     e 3   4      5   6   7   8      9   10   11   12   x
                            -1

                            -2

                            -3

                            -4

                            -5

                            -6


Remarques :

La tangente à la courbe au point d’abscisse x = 1 est la droite d’équation y = x - 1
La courbe représentative de la fonction logarithme népérien admet l’axe des ordonnées comme asymptote


   6- Autres limites

Propriétés

     ln x
lim       0                 lim ( x ln x )  0
x  x                      x 0
                             x0



Démonstration :

     Par exemple en étudiant la fonction auxiliaire g(x) = x - ln x
g est dérivable sur ]0 ; + ∞[ comme somme de fonctions dérivables sur ]0 ; + ∞[
           1     1
g’(x) =        -
         2 x x
           x 2
g’(x) =
           2x

                                                        4/10
Sur ]0 ; + ∞[ le signe de g’(x) est le signe de   x -2


On résoud l’inéquation :
  x -2>0
  x >2
La fonction racine carrée est strictement croissante sur ]0 ; + ∞[ :
x>4
donc g’(x) > 0 sur ]4 ; + ∞[ et g’(x) < 0 sur ]0 ; 4[ et g’(4) = 0
g est strictement croissante sur ]4 ; + ∞[ et g est strictement décroissante sur ]0 ; 4[

x                      0                                     4                               +∞
Signe de g’(x)                           -                                         +
Variation de g




                                                                2 - ln 2

g admet sur ]0 ; + ∞[ un minimum strictement positif (2 – ln 2 ≈ 0,6)
donc pour tout x de ]0 ; + ∞[ g(x) > 0
et pour tout x de ]0 ; + ∞[         ln x < x
pour tout x > 1       on a :      0 < ln x < x
           ln x        x
d’où : 0 <        <
             x        x
       x           1
 lim       lim         =0
x  x     x 
                    x
                                                 ln x
D’après le théorème des gendarmes : lim               =0
                                           x   x

                         1                  1 1       1
     En posant t =         , on a xln x = ln   ln t
                         x                   t t      t

Or, lorsque x tend vers 0 par valeurs positives, t tend vers +  et on utilise la propriété précédente.


Approximation affine de ln(1+h) pour h proche de 0

       ln(1  h )
lim               =1
h 0       h

L'approximation affine de ln (1 + h) pour h proche de 0, associée à la fonction ln est
donnée par ln(l + h)  ln l + h ln' 1, c'est-à-dire ln (1 + h)  h .




Démonstration :


                                                         5/10
     ln(1  h )  ln 1
lim                      est le nombre dérivé de la fonction logarithme népérien en 1
h 0         h
               ln(1  h )  ln 1
donc lim                         =1
          h 0         h
d'où : ln (1 + h)  h


Pour tout entier naturel non nul n :
           ln( x )
(1)    lim    n
                    0 (2) lim x n ln x  0
      x  x                x 0



Démonstration :

(1) On pose X = xn
                               ln x 1 ln X
Alors ln X = lnxn = n lnx et       
                                xn   n X
                           ln X                 ln x
Or lim X   et lim             0, d' où lim n  0
      x            X  X             x  x



                  1
(2) On pose X =
                  x
          1     1       ln X
xnlnx =    n
             ln   n
         X     X         X
                            ln X
Or lim X   et lim  n  0
   x 0             X     X
D'où le résultat d'après la limite d'une fonction composée




§ 4 Lien avec la fonction exponentielle

   Propriété
                                                         6/10
    • Pour tout réel m, l'équation ln x = m admet une unique solution dans l'intervalle ]0 ; + ∞[ .
    De plus, cette solution est le réel em.
    • Pour tout a dans ℝ et pour tout b dans ]0; + ∞[ , on a : ln (ea) = a et elnb = b

    Remarques

    • Comme el = e , on a ln e = 1 .
    • Pour tout a dans ℝ et pour tout b dans ]0 ; + ∞[ on a :
    ea = b si et seulement si ln b = a .
    On dit que la fonction logarithme népérien et la fonction exponentielle sont réciproques l'une de l'autre.
    • Les courbes d'équations respectives y = ex et y = ln x sont symétriques l'une de l'autre par rapport à la droite
    d'équation y = x

    Démonstration partielle

• La fonction logarithme népérien est continue et strictement croissante sur ]0 ; + ∞[ et prend toutes les valeurs de
l'intervalle ]- ∞ ; + ∞[ = ℝ. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation ln x = m admet une unique
solution α dans ] 0 ; + ∞[
• Pour a dans ℝ, le réel ea est solution de l'équation ln x = a, donc ln (ea) = a .
Pour b dans ]0 ; + ∞[ , b est l'unique solution de l'équation ln x = ln b , donc b = eln b . On en déduit
sans difficulté l'équivalence ea = b si et seulement si ln b = a.

Exemples

• Soit l'équation, ln (x - 2) = 3
Elle est définie sur I = ]2 ; + ∞[ .On a
ln (x - 2) = 3 si et seulement si x – 2 = e3
Comme 2 + e3 est bien un élément de I, l'équation proposée admet l'unique solution 2 + e3
• Soit l'équation e2x - 1 = 3
Elle est définie sur ℝ. On a :
e2x-1 = 3 si et seulement si 2x - l = ln 3
     1  ln 3
x=
        2

                                                     1  ln 3
     L'équation proposée admet l'unique solution
                                                        2




                                                                7/10
                y
                6         y = exp(x)
                                                     y=x

                5

                4

                3

               b
               2                                                                    y = ln x
                                                               y = ln x
               1
               a

-3   -2   -1    0   a 1   2         3    4   5   6    7    8      9       10   11     12       13   x
                              b
               -1

               -2

               -3

               -4

               -5

               -6




                                  8/10
§ 5 Dérivées et primitives

1) Dérivée de ln u

Propriété
Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I.
                                                                                 u'
 La fonction x  ln (u(x)) , notée ln u, est dérivable sur I et on a (ln u)' =
                                                                                 u
Démonstration :
Ce résultat est obtenu en appliquant le théorème sur la composée de deux fonctions dérivables

2) Primitive de ln u

Propriété
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I qui ne s’annule pas sur I
                                                u'
Une primitive sur l'intervalle I de la fonction    est la fonction ln |u|
                                                u

Démonstration :
Comme u est continue sur I (car elle est dérivable) et ne s'annule pas sur I, u ne
change pas de signe sur I
                                                         u'
    Si u > 0 sur I, |u| = u et (ln |u|)' = (ln u)' =
                                                         u
                                                             u' u '
    Si u < 0 sur I, |u | = - u et (ln |u|) = (ln (- u))' =     =
                                                            u    u

§ 6 Logarithmes décimaux

C'est Briggs qui invente les logarithmes décimaux vers 1617 et Gunter qui invente
la règle à calcul en 1624.

Définition :

On appelle fonction logarithme décimal la fonction notée log définie sur ]0; + ∞[
             ln x
par log x =
            ln 10
En particulier, log 10 = 1 et log 1 = 0.

Propriétés
  1. La fonction log est définie et dérivable sur ]0 ; + ∞[.
  2. Elle est strictement croissante sur cet intervalle car ln 10 > 0.
  3. La fonction log possède toutes les propriétés algébriques de la fonction
  ln.
En particulier, pour tous réels a et b strictement positifs et p entier quelconque :
log (a × b) = log a + log b
log (ap) = p × log a
log 10p = p
 4. Pour tout réel A, 10n ≤ A < 10n + 1 équivaut à n ≤ log A < n + 1.

Démonstrations
Ces propriétés sont des conséquences immédiates de la définition.


                                         9/10
      y
      2



                              y = ln x


      1

                                  y = log x




-1    0   1           2   3              4    x




     -1




     -2




              10/10

								
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